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MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO

Educación Primaria

TEMA 22 LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVA. INTRODUCCIÓN. 1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. 2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS. 3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.

3.1. Definición del conjunto de los números naturales. 3.2. Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo. 3.3. Ordenación en el conjunto de los números naturales.

4. LOS NÚMEROS ENTEROS.

4.1. Definición del conjunto de los números enteros. 4.2. Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo. 4.3. Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios

números. 4.4. Ordenación de los números enteros.

5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS.

5.1. Definición del conjunto de los números racionales. 5.2. Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo. 5.3. Ordenación de los números racionales. 5.4. Representación de los números racionales en la recta.

6. LOS NÚMEROS DECIMALES.

6.1. Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. 6.2. Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo. 6.3. Algoritmo para el cálculo de raíces exactas.

Especialidad de Primaria © MAGÍSTER Tema 22

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7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. 8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. 9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y

CALCULADORA.

9.1. Cálculo escrito. 9.2. Cálculo mental. 9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo.

a) Aproximación por cifras significativas. b) Aproximación mediante notación científica. c) Proceso de redondeo d) Estimación de raíces.

9.4. Calculadora. 10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

10.1. Tratamiento en el currículo 10.2. Recursos didácticos.

BIBLIOGRAFÍA.


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INTRODUCCIÓN. Los contenidos referentes a matemáticas en Primaria se han organizado en cuatro bloques: El primero de todos corresponde al concepto de número y sus operaciones. En dicho tema se pretende dar una panorámica actual de lo que representa el concepto de número, los diferentes tipos de números que existen, su necesidad y principales utilizaciones y sus métodos fundamentales de cálculo. Se ha de dar especial relevancia tanto al sistema de numeración que se utiliza, el decimal, como las relaciones y propiedades que aparecen en sus cálculos para el desarrollo de un correcto cálculo mental. Con todo ello se busca que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensión conceptual y competencia en el cálculo. 1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica en su celebre frase “Todo es número” quería expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. Las matemáticas de todos los tiempos no consideran a los números con simples símbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar cualquier fenómeno geométrico, físico, químico, tecnológico, etc. El gran edificio de los números ha sido consustancial a la propia evolución humana, desde las arcaicas civilizaciones donde ya aparecieron los números naturales, enteros o racionales como instrumento para el progreso de las sociedades hasta la fundamentación de los números reales o la aparición de los números complejos que obedece más bien a cuestiones profundas e igualmente útiles para el desarrollo de la tecnología. El cálculo numérico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números. La palabra cálculo procede del latín “calculus” que no eran sino las pequeñas piedras con las que los romanos realizaban sus cuentas numéricas. Durante todo este tiempo se han creado múltiples expresiones algebraicas, símbolos y procedimientos de cálculo numérico para poder desarrollar estas ideas que a la postre han servido para que la evolución actual de la sociedad. 2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS. Distinguimos en este tema cuatro grandes conjuntos de números unos incluidos dentro de otros: los números naturales, los enteros, los racionales (fraccionarios) y los reales (decimales).

El concepto de número natural está presente desde el inicio de la actividad en matemáticas en todas las civilizaciones. La necesidad para la introducción de estos números es evidente: poder contar o enumerar elementos por lo que la naturaleza de la noción de número natural está estrechamente ligada al concepto de conjunto. Actualmente los números naturales se utilizan para las mismas funciones que los utilizaría cualquier antigua civilización.


4

Los números enteros fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se plantearon relaciones de debito y comercio. Por lo tanto, estos números son tan arcaicos como las relaciones económicas de las primeras civilizaciones. Otros usos que durante la historia se han dado a estos números son el de medición de determinadas magnitudes: tiempo, temperatura, etc. Así como para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.

Ejemplo 1: Si en un vagón de metro hay 50 personas y en una parada de metro se suben 4 viajeros, en la siguiente se bajan 5 y se suben 2 y en la tercera se suben 2 y se bajan 7. ¿Cuántos viajeros habrá en el vagón tras la tercera parada?. Solución: 50 + 4 – 5 + 2 + 2 – 7 = 46 viajeros Ejemplo 2: La temperatura ha disminuido dos grados cada día durante los últimos quince días. Si estábamos a 23º C, ¿Qué temperatura marca hoy el termómetro?. Solución: 23º – 2º·15 = – 7º Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación: 2x + 5 = 1 Solución: 2x = 1 – 5 ⎡ 2x = – 4 ⎡ x = – 2

La motivación histórica para la introducción de los números racionales es la necesidad de caracterizar la partición de un total en partes iguales o lo que es lo mismo, dar soluciones de ecuaciones de la forma:

b·x = a,

siendo a,b ≠ 0 números enteros dados y x un "número" a determinar. Dado que en general b no es divisor de a, la anterior ecuación no tiene soluciones en el conjunto Z de números enteros. Como consecuencia, debemos buscar un conjunto de números más grande que Z, en el que plantear y resolver tales ecuaciones. La construcción de este conjunto se realiza a partir de Z dando sentido a objetos de la forma a / b, b ≠ 0, siendo a, b 5 Z. Lo esencial es definir una estructura algebraica para

tales objetos de forma que las ecuaciones b·x = a se resuelvan mediante x=a/b.

Las fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos.

Ejemplo 1: Calcular el precio de un coche que sin IVA cuesta 12.000 €. Solución: Si el IVA es del 16% entonces calculamos el aumento del siguiente modo:

€192010016000.12 =⋅

Por lo que el coche costará 13.920 €.


5

Ejemplo 2: Un autobús lleva 40 personas. En la primera parada bajan las 3/5 partes y en la segunda un cuarto de las que quedaron. ¿Cuántas quedaron en el transporte?. Solución. Calculamos primeramente las que se bajaron en la primera parada:

245340 =⋅

Por lo tanto quedaron 16 personas. Calculando un cuarto de 16 obtenemos las que se bajaron en la segunda parada:

44116 =⋅

Luego en el autobús quedaron 12 personas. Ejemplo 3: Calcular las dos quintas partes de un terreno de 24 ha.

ha695224 =⋅

Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema fraccionario.

La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números decimales o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor. 3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.

3.1. Definición del conjunto de los números naturales.

El conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3, . .

N = 0, 1, 2, 3, 4, . . .

A este conjunto se le denomina con la letra N y se verifica que es un conjunto infinito pero con un primer elemento que es el 1.

Figura 1: Representación de los números naturales.


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Como ya dijimos anteriormente, los números naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y ordenar elementos.

En muchas ocasiones al número 0 no se le considera número natural sino entero por cuestiones históricas acerca de la inclusión tardía del cero como compensación a la idea de nada que hasta entonces no se anotaba en los cálculos. Por ello muchos no le suelen otorgar el rango de “natural”. 3.2. Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo. Entendemos por operación interna en el conjunto de los números naturales N a toda operación que parte del conjunto cartesiano N x N y cuyo resultado está en el propio conjunto N. Las principales operaciones internas en el conjunto de los naturales son la suma y la multiplicación.

La suma se entiende modernamente como el proceso por el cual se cuentan los elementos de la unión de dos o más conjuntos. Así, dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n + m como el número de elementos del conjunto AΩB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación suma son, entre otras, las siguientes:

Asociativa. ( ) ( ) cbacbaNcba ++=++∈∀ ,,, Elemento neutro. aaaNa =+=+∈∀ 00, Conmutativa. abbaNba +=+∈∀ ,, Cancelativa. bacbcaNcba =⇒+=+∈∀ ,,,

El producto o multiplicación de números naturales se entiende de modo análogo del siguiente modo. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m y se denota mediante n·m como el número de elementos del conjunto cartesiano AxB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación producto o multiplicación son, entre otras, las siguientes:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaNcba ⋅⋅=⋅⋅∈∀ ,,, o Elemento neutro. aaaNa =⋅=⋅∈∀ 11, o Conmutativa. abbaNba ⋅=⋅∈∀ ,, o Cancelativa. bacbcacNcba =⇒⋅=⋅≠∈∀ ,0,, o 00 =⋅∈∀ aNa

o Distributiva respecto de la suma. ( ) cabacbaNcba ⋅+⋅=+⋅∈∀ ,, A partir de la multiplicación se puede definir la potencia de números naturales. Una potencia es una multiplicación iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia “a elevado a n” es el producto

4434421vecesn

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...


7

Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Como consecuencia de lo dicho anteriormente, la potenciación será también una operación interna en N y presenta las siguientes propiedades:

a) 1, 0 =∈∀ aNa

b) aaNa =∈∀ 1,

c) mnmn aaaNmna +=⋅∈∀ ,,,

d) mnmn aaamnconNmna −=≥∈∀ :,,,

e) ( ) mnmn aaNmna ⋅=∈∀ ,,,

La operación de radicación o raíz es la operación inversa de la operación de potencia de modo que dados los naturales a y n “la raíz n – ésima de a”, denotada por n a , es el resultado b si y sólo si al elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir,

abba nn =⇔=

Al número “n” lo llamaremos índice de la raíz y al valor “a” lo denominaremos radicando. , raiz n – ésima del siguiente modo: Diremos que la raíz n- ésima de un número a

Ejemplo 1: 4224 2 == porque Ejemplo 2: 273327 33 == porque

Por último, la operación de división en los números naturales conlleva un proceso de reparto en el que habrá un total “D” a repartir (dividendo), un conjunto “d” de elementos a quienes se reparte (divisor), la cantidad “c” que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante “r” (resto). De este modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente llamado “prueba de la división”,

D = d·c + r

donde el resto es siempre menor que el divisor. 3.3. Ordenación en el conjunto de los números naturales.

Dados dos números naturales a, b 5 N, se dice por definición que a es menor o igual que b y se escribe a ″ b si existe algún natural c 5 N tal que

a + c = b

Ejemplo: 3 ″ 5 porque 3 + 2 = 5.


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4. LOS NÚMEROS ENTEROS. 4.1. Definición del conjunto de los números enteros. Consideramos el conjunto de los números naturales N (que llamaremos enteros positivos) al que unimos el número 0 y los números naturales con signo menos (llamados negativos). El conjunto unión de todos esos números es el conjunto de números enteros.

Z = . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . Este nuevo conjunto se denota mediante la letra Z y se observa que es un conjunto infinito, como los números naturales, pero a diferencia del anterior no tiene elemento primero o mínimo. 4.2. Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo.

Las principales operaciones internas en el conjunto de los enteros son la suma, la resta y la multiplicación. Para poder definir de un modo más cómodo las principales operaciones en los números enteros, damos previamente la definición de valor absoluto de un número entero.

Llamamos “valor absoluto de un número entero a”, y lo denotamos mediante |a|, al número natural que resulta de suprimir el signo a dicho número entero.

Ejemplos: |– 2| = 2, |+4| = 4

Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los números enteros, podemos dar reglas prácticas para la suma/resta de números enteros del siguiente modo:

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los

números y se añade el signo del más grande en valor absoluto. Ejemplo: + 2 + 5 = + (2 + 5) = + 7 Ejemplo: – 2 – 7 = – (2 + 7) = – 9

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los

números y se añade el signo de aquel de mayor valor absoluto. Ejemplo: + 2 – 5 = – (5 – 2) = – 3 Ejemplo: – 2 + 7 = + (7 – 2) = + 5

Bajo estas premisas, podemos observar que la suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes propiedades:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaZcba ++=++∈∀ ,,, o Elemento neutro. aaaZa =+=+∈∀ 00,


9

o Elemento simétrico. 0,, =−∈−∃∈∀ aaZaZa o Conmutativa. abbaNba +=+∈∀ ,, .

De igual modo, para el producto podemos dar reglas prácticas del siguiente modo:

• Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican los valores

absolutos de los números y se añade el signo mas. Ejemplo: (+ 2)·(+ 5) = + (2·5) = + 10 Ejemplo: (– 2)·(– 7) = + (2·7) = + 14

• Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican los valores

absolutos de los números y se añade el signo menos. Ejemplo: (+ 2)·(– 5) = – (2·5) = – 10 Ejemplo: (– 2)·(+ 7) = – (2·7) = – 14

Así, entre otras, el producto cumple con las siguientes propiedades:

o Asociativa. ( ) ( ) cbacbaZcba ⋅⋅=⋅⋅∈∀ ,,, o Elemento neutro. aaaZa =⋅=⋅∈∀ 11, o Conmutativa. abbaNba +=+∈∀ ,, .

o Distributiva respecto de la suma. ( ) cabacbaZcba ⋅+⋅=+⋅∈∀ ,,, Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1). Observar que ahora todo número entero tiene su opuesto mientras que, algunos, siguen sin tener su inverso.

Por último, la potenciación extiende su definición y propiedades definiendo la potencia de exponente negativo, del siguiente modo:

n

nn

aaa 11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

Ejemplo: Calcular 2– 3

Z∉=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

81

212

33

4.3. Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios

números. A partir de la multiplicación y división exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy utilizadas en las matemáticas:

o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b si existe un entero c tal que

a = b·c


10

Ejemplo: Múltiplos del número 6 son 6, 12, 24, 36, . . . o Dados dos enteros a y b, se dice que b es divisor de a si existe un entero c tal que

a = b·c

Por lo tanto, la división de a entre b debe ser exacta (resto 0) Ejemplo: Divisores del número 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12.

o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es

primo es compuesto. Ejemplo: Números primos son 13, 17, 23, 37, . . . mientras que números compuestos son 25, 36, 72, 121, . . .

En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números:

o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por,

M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.

Ejemplo: Calcular el M.c.d.(12, 18, 9). Puesto que los divisores de cada número son:

12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12; 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18; 9 = 1, 3 y 9 El mayor número entero que divide a todos es 3. Existe una regla muy útil que permite calcular el M.c.d. de varios números, previa descomposición en números primos de todos ellos, en la que se tomará el producto de los factores primos comunes con el mayor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las descomposiciones. Ejemplo: Calcular el m.c.d.(12, 18, 9)

Por lo tanto, 12 = 22·3, 18 = 2·32, 9 = 32 por lo que m.c.d.(12, 18, 9) = 3.


11

o Dados dos enteros a y b, se dice llama mínimo común múltiplo de a y b, y se denota por, m.c.m.(a,b) al menor entero que es múltiplo a la vez ambos números.

Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9). Puesto que los primeros múltiplos de cada número son: Múltiplos del 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, . . . Múltiplos del 18: 18, 36, 54, 72, 90, . . . Múltiplos del 9 = 1, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 . . . El menor número entero que es múltiplo de todos ellos es 36. Existe una regla muy útil que permite calcular el m.c.m. de varios números, previa descomposición en números primos de todos ellos, en la que se tomará el producto de todos los factores primos con el menor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las descomposiciones.

Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9)

Utilizando las descomposiciones antes calculadas, m.c.m.(12, 18, 9) = 22·32 = 4·9 = 36.

4.4. Ordenación de los números enteros. Dados dos números enteros a, b 5 Z, se dice por definición que a es menor o igual que b, y se escribe a ″ b, si b – a 5 N

Ejemplo: 1 – 4 < – 2 porque – 2 – ( – 4) = 2 5 N. 5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS. 5.1. Definición del conjunto de los números racionales. Consideramos el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los número reales menos el cero Z*. Sea el producto cartesiano:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈= 0,,* bZba

baZxZ

A este conjunto se le denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus elementos es una fracción.


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En dicho conjunto, diremos que dos fracciones ba y

dc son equivalentes si el producto de medios es

igual que el producto de extremos, es decir:

cbdadc

ba

⋅=⋅⇔=

De este modo, llamaremos número racional ba al conjunto formado por la fracción

ba y todas sus

equivalentes. El conjunto formado por los números racionales se es por definición el conjunto de los números racionales y se denota mediante Q.

Ejemplo: La clase 32 es la formada por

32 y todas sus equivales.

Observar igualmente que cada elemento del conjunto Q así definido tiene un representante canónico

exclusivo de la forma ba con m.c.d.(a,b) = 1, Esta es la llamada fracción irreducible de cada número

racional.

Ejemplo: La fracción 64 tiene como irreducible

32 .

Del mismo modo, podemos decir que simplificar (amplificar) una fracción ba consiste en encontrar

una fracción equivalente dc dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo

número entero. Todas estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo número racional.

De entre las definiciones más comunes en las fracciones podemos destacar:

• Fracción propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del

denominador. Ejemplos: ...,75,

2315,

32 −

−

• Fracción impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto

del denominador. Ejemplos: ...,2332,

25,

53 −

−

En este caso siempre existirá una descomposición de la fracción impropia como un número entero más una fracción propia:

dcn

bacondcyndZndcimpropia

ba

+=<≠∈∃⇔ 0,,,,


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• Fracción positiva: Dada la fracción ba , diremos que es positiva si a·b > 0. Si una fracción es

positiva, su número racional también es positivo ya que todas las fracciones que son

equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: ...,1232,

211,

1366

−−

++

+

• Fracción negativa: Dada la fracción ba , diremos que es negativa si a·b < 0. Si una fracción es

negativa, su número racional también es negativo ya que todas las fracciones que son

equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: ...,72,

89,

7445

−+

+−

−

• Fracción nula o cero: Dada la fracción ba , diremos que es nula si a = 0. Si una fracción es

nula, su número racional también es nulo. Ejemplos: ...,3

0,8

0,4

0−+−

5.2. Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo. Para dotar al conjunto Q que acabamos de definir de un carácter numérico debemos dotarlo de una serie de propiedades algebraicas. Esto será muy fácil ya que bastar seguir las reglas que sabemos de la aritmética con fracciones.

Dados dos números racionales Qdc

ba

∈, podemos definir, a partir de las operaciones suma y

producto en los enteros, la suma de los números racionales como:

bdcbda

dc

ba ⋅+⋅

=+

Ejemplo: 1513

15310

51

32

=+

=+

De igual modo para el producto se tendrá que:

dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅

Ejemplo: 27

74249

72

449

−=⋅⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

Estas definiciones no dependen de los representantes utilizados para cada clase de equivalencia.

Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operación las siguientes propiedades:


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• Suma.

o Asociativa. fe

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∈∀ ,,,

o Elemento neutro. */),0(000, Znnba

ba

baQ

ba

∈==+=+∈∀

o Elemento simétrico. 0,, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+∈−∃∈∀

ba

baQ

baQ

ba

o Conmutativa. ba

dc

dc

baQ

dc

ba

+=+∈∀ ,, .

• Producto.

o Asociativa. fe

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅∈∀ ,,,

o Elemento neutro. */),(111, Znnnba

ba

baQ

ba

∈==⋅=⋅∈∀

o Elemento simétrico. 1,, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∈∃∈∀

ab

baQ

abQ

ba

o Conmutativa. ba

dc

dc

baQ

dc

ba

⋅=⋅∈∀ ,, .

o Distributiva respecto de la suma.fe

ba

dc

ba

fe

dc

baQ

fe

dc

ba

⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅∈∀ ,,,

En cuanto a la potencia, se extiende la definición a de potencias de exponente fraccionario, dando la equivalencia entre potencia y raiz del siguiente modo:

q pqp aa =/

Por lo tanto, la radicación, no es más que una potencia de exponente fraccionario.

Ejemplo: Calcular (4/9)1/2

32

94

94 12/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Observaciones. 1. La resta de fracciones se define de igual modo que la suma mediante la propiedad del elemento

opuesto para la suma: ( )

bdcbda

bdcbda

dc

ba

dc

ba ⋅−⋅

=−⋅+⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−

Ejemplo:2413

242815

67

85

67

85

+=+−

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

−


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2. La división se define a partir de la definición de multiplicación y la propiedad del elemento inverso.

cbda

cd

ba

dc

ba

dc

ba

⋅⋅

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−1

:

Ejemplo: 7512

32512

2750249

2427:

509

+=⋅

+=⋅⋅

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

5.3. Ordenación de los números racionales.


ba

∈, , se dice por definición que ba es menor o igual que

dc y se

escribe dc

ba≤ si

0≥−ba

dc

Ejemplo: 21

31≤ porque 0

61

62

63

31

21

>=−=−

5.4. Representación de los números racionales en la recta. Para representar el punto en el que el número racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros. Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda. Ejemplo: Representación gráfica de la fracción 6/5.

Para ello se observa que cada unidad se ha dividido en cinco partes iguales y se ha procedido a contar a partir del 0 hacia la derecha seis partes iguales. 6. LOS NÚMEROS DECIMALES. 6.1. Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. El conjunto de expresiones decimales de la forma

± n,a1 a2 a3 . . .


16

con n ≥ 0 es un natural cualquiera y ai números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9 para todo i natural donde eliminamos los casos en que ai = 9 para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de número decimales. Este conjunto es equivalente al conjunto de números reales R. Estas expresiones se interpretan como

±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . ) donde llamaremos a n la parte entera y a la expresión restante parte decimal.

Ejemplo: El número 23´4674 tiene parte entera 23 y parte decimal 0´4674. Todo número racional tiene un desarrollo decimal asociado único que se puede calcular dividiendo su numerador entre su denominador. Esto constituye una inmersión del conjunto de los racionales en los decimales que conserva las operaciones de suma y producto a la vez que la ordenación de los números.

Ejemplo: Pasar a número decimal los siguientes números racionales: 92,

34,

52

Solución: Dividiendo, en cada caso, numerador entre denominador encontramos que

21092,31

34,40´

52

=== .

Los números decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en tres grupos según su formación. Los dos primeros son desarrollos que aparecen a partir de los números racionales mientras que el último grupo constituye un nuevo tipo de número no tratado hasta ahora: los números irracionales.

• Decimales exactos: Si ±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . ) tiene únicamente un número finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un número racional.

Por ejemplo, la expresión n = 43´27 se puede multiplicar por 100 obteniendo:

100n = 4327

De donde se obtiene que: 1004327

=n

• Decimales periódicos: De igual modo si la sucesión de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura

periódica a partir de alguna de ellas, entonces el número se denomina periódico y al conjunto finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de periódicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no aparece a partir de la coma). En este segundo subgrupo llamamos anteperiodo al conjunto de cifras entre la coma y el periodo. Se puede demostrar que también todo número decimal periódico es racional.


17

o Como ejemplo la expresión decimal periódica pura n = 2,315315315. . . se puede multiplicar por 1000 obteniendo:

1000n = 2315´315315 . . . Restando las expresiones anteriores:

De lo que se deduce que 111257

9992313....3153152 ==

Otro ejemplo puede ser la expresión decimal periódica mixta n = 0,127272727. . . se puede multiplicar por 10 obteniendo:

10n = 1´27272727 . . . Nuevamente multiplicando por 100:

1000n = 127´272727 . . . Restando las expresiones anteriores:

De lo que se deduce que 557

990126....1272727270 ==

• Decimales no exactos ni periódicos (números irracionales): La negación de los anteriores

casos nos lleva por último, a que la sucesión de cifras a1a2a3 . . sea de carácter infinito pero sin contener ninguna estructura periódica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones decimales no corresponden a ningún número racional por lo que son expresiones irracionales que dan lugar a los llamados número irracionales.

Un ejemplo de este caso, podría ser el número 1,101001000100001 . . . cuya expresión no es finita y no tiene periodo. Números muy populares que tienen desarrollo decimal irracional son π = 3´1415 . . . , e = 2´7071 . . . ó 2 = 1´4142 . . .

6.2. Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo. Es evidente que, salvo en situaciones muy particulares, sólo podremos efectuar operaciones sobre números decimales de carácter exacto o periódico. La caracterización de este tipo de desarrollos decimales como números racionales permite poder efectuar cualquier cálculo mediante los números racionales correspondientes.


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De cualquier modo, podemos realizar operaciones con números decimales exactos mediante los propios desarrollos decimales del siguiente modo. Dados los desarrollos

(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . + ap·10-p)

(m + b1·10-1+ b2·10-2 + b3·10-3+ . . . + aq·10-q ) con n, m, p, q ≥0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9, tendremos que la suma de estos dos números vendrá dada por:

(n+m) + (a1 + b1)·10-1+ (a2 + b2)·10-2 + (a3 + b3)·10-3 + . . . Por lo tanto, para sumar (restar) números decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma posición y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a partir del elemento opuesto para la suma.

Ejemplo 1: Calcular 12´234 + 24´43. Ejemplo 2: Calcula 12´234 – 4´96.

Del mismo modo, el producto vendrá dado por:

(n·m) + (a1·m + b1·n)·10-1+ . . . La división se puede definir a partir del elemento inverso para el producto.

Ejemplo 3: Calcula 12´234 x 2´03 Ejemplo 4: Calcula 471´25 : 2´3

Con estas operaciones R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se deriva en que R es un conjunto denso y por lo tanto es representable como una recta mientras que Q no es denso y su representación como una recta es incompleta y aunque le faltan los números irracionales. 6.3. Algoritmo para el cálculo de raíces exactas. El algoritmo de cálculo de raíces está basado en métodos de aproximación de raíces de ciertas funciones. Explicamos el algoritmo mediante el desarrollo del mismo en el cálculo de la raíz cuadrada de 141´61:


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Se toman grupos de dos en dos a partir de la coma tanto a derecha como a izquierda de la misma. Se construye el casillero a la derecha donde irá indicada la solución al finalizar el algoritmo.

Se busca el número que al cuadrado quede más próximo por defecto al último grupo de dos cifras situado totalmente a la izquierda (1). Se coloca en el casillero solución y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (1 – 1).

Se baja el siguiente grupo de dos cifras (41). Se multiplica por dos al resultado que aparece en la casilla superior derecha y se busca aquella cifra natural entre 0 y 9 tal que la multiplicación del casillero (2 __ x ___) quedé más próxima por defecto al número creado en la parte de la izquierda (41).

Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla del resultado (1), se efectúa la multiplicación y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (41 – 21 = 20).

Se baja el siguiente grupo de dos cifras (61). Al pasar la coma, se coloca la coma en el casillero solución. Se multiplica por dos al resultado que aparece en la casilla de solución (11) y se busca aquella cifra natural entre 0 y 9 tal que la multiplicación del casillero (22__ x ___) quedé más próxima por defecto al número creado en la parte de la izquierda (2061).

Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla del resultado (9), se efectúa la multiplicación y se calcula la resta entre el valor aproximado y el real (2061 – 2061 = 0). El resultado es el indicado en el casillero solución 11´9. En el caso de no dar resto cero se bajan el siguiente grupo de cifras que en este caso serían 00.


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7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. El sistema de numeración arábigo que utilizamos actualmente para representar nuestros números es posicional y basado en 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En cuanto a que el sistema de numeración es decimal o de base 10 es consecuencia de la utilización de diez símbolos para escribir cualquier número. No hay ninguna razón intrínseca por la que deban usarse potencias de 10 en lugar de potencias de otros números. La razón más extendida es la simple estructura de nuestras manos en diez dedos. Sin embargo hubo otras culturas que utilizaron sistemas de numeración diferentes como por ejemplo los babilonios que usaron la numeración sexagesimal de la que todavía respetamos en la medida del tiempo o los ángulos.

Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa diferente en función de la posición en la que este. Por ejemplo, en nuestro sistema de numeración, los números 247 y 724 son diferentes aún cuando se escriben con las mismas cifras. Esto es debido a que cada número es un polinomio de la potencia 10 con coeficientes dados por números desde el 0 hasta el 9. Así

247 = 2·102 + 4·101 + 7·100

724 = 7·102 + 2·101 + 4·100

De este modo, cada posición de una cifra que describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos:

Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina decenas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina centenas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades de millar.

Observar como en el sistema de numeración decimal, y según su expresión como polinomios de potencias de base 10 se tendrá que:

1 unidad de millar = 10 céntenas 1 céntena = 10 decenas 1 decena = 10 unidades.

Para ilustrar el sistema de numeración decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se muestran las unidades, decenas, centenas, . . . de algunos números naturales:

Centenas de millar

Unidades de millar

Centenas decenas unidades Natural

4 5 2 0 1 45.201 3 7 0 370 2 5 9 5 2.595 9 0 0 0 0 90.000


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Como dijimos anteriormente, toda expresión decimal consta de una parte entera y una parte decimal. Teniendo en cuenta que la parte decimal de un desarrollo en base 10 se puede también reescribir como un polinomio en potencias de base 10 y exponente negativo, podemos definir nuevas posiciones como son las siguientes:

Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 1 se le denomina décimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 2 se le denomina centésimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 3 se le denomina milésimas. Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 4 se le denomina diez milésimas.

Y por tanto,

1 unidad = 10 décimas 1 décima = 10 centésimas

1 centésima = 10 milésimas 1 milésima = 10 diezmilésimas

Para ilustrar el sistema de numeración decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se muestran las posiciones numéricas de los símbolos que integran algunos números decimales

Centenas Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas Natural 4 6 2 4 1 7 462´417 3 7 0 3´70 = 3´7 2 0 0 1 20´01 9 0 0 0 0 5 900´005

Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E.

Para ejemplificar, supongamos que los dos símbolos para un sistema binario sean 0 y 1. En ese caso los primeros números del sistema de numeración binario con esos símbolos serán:

02, 12, 102, 112, 1002, 1012, 1102, 1112, . . .

que corresponderán sucesivamente a los números 110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, . . . del sistema numérico decimal.

Así, si queremos conocer qué número decimal corresponde al binario 10012, no tendremos más que utilizar el polinomio en potencias de base 2 del que procede:

1·23 + 0·22 +0·21 +1·20 = 8 + 1 = 9


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Otros ejemplos son:

210 = 1·21 ⎨ 210 = 102.

310 = 1·21 + 1 ⎨ 310 = 112.

810 = 1·23 ⎨ 810 = 10002.

1010 = 1·23 + 1·21 ⎨ 1010 = 10102. Por otra parte, si queremos sabes que número binario corresponde al número 43110 deberemos dividir reiteradamente entre 2 al número y sus sucesivos cocientes y tomar nota del último cociente y sucesivos restos en el orden marcado inverso a como los hemos obtenido. Dicha lectura nos proporcionará el número binario equivalente, según se muestra en el ejemplo:

Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. Los cuatro tipos de números descritos anteriormente se relacionan mediante inclusiones de unos en otros según muestra el siguiente esquema:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−

++−−

...101001´0,,,2

)(

,5/6,4/31/

1,2,3,4...,

,...4,3,2,1,0)(

,...2,1,0,1,2...,)(

,...3/4,2/8)(

...12345´0,312,7´1,73´0

)(

e

IesIrracionalNúmeros

nareduciblesnoiosfraccionar

Números

negativosenterosNúmeros

NnaturalesNúmeros

ZenterosNúmeros

QracionalesNúmeros

RrealesodecimalesNúmeros

π


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9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA.

9.1. Cálculo escrito. Todas las propiedades citadas anteriormente sobre cada uno de los conjuntos crean la llamada jerarquía de operaciones en R que sirve para conocer el lugar por el que hay que empezar cualquier cálculo numérico y el orden ha seguir. Si el cálculo es escrito, una ayuda importante suele ser la inclusión de paréntesis y corchetes con el fin de dar las siguientes reglas:

1. En cualquier cálculo se efectuarán siempre los paréntesis y corchetes lo primero y dentro de estos nuevamente se buscarán estos elementos.

2. En ausencia de paréntesis, corchetes se efectuarán los productos, potencias y divisiones. 3. En ausencia de paréntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones, se efectúan las sumas

y las restas.

Ejemplo 1: ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] [ ] 605551155154:552:30455

1416:3045947216:304534 2

−=−−=−⋅+−=−+−=+−⋅+−=

=−−⋅+−=⋅−−⋅+−+

Ejemplo 2:

6323

6319

6342

6319

32

18938

23

32

18918

18956

23

32

212

278

23

32

27:

31

278

23

32

23

24:

31

278

23

32

232:

31

278

23

32

232:

31

32

23

32 3

=−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

9.2. Cálculo mental. Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los cálculos mentales más simples que vayan conformando procesos lógicos mentales conformes a las reglas de cálculo, mediante ejercicios encaminados a ello como puedan ser:

Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensación en todo tipo de números.

Ejemplo: Operar mentalmente: 74 – 28 (= 76 – 30); 11 x 12 (=10 x 12 + 12).

Buscar mentalmente un número a partir de un cierto número dado ellos y mediante las operaciones básicas.

Ejemplo: Calcula mentalmente los cinco primeros números naturales a partir de cuatro y con las operaciones básicas.


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Cálculos concatenados con números naturales o enteros. Ejemplo: Calcula mentalmente 2 – 4 + 5 – 4 + 6 =

Búsqueda de dobles, triples, quíntuplos, mitades, cuartas partes, etc. de cantidades dadas. Ejemplo: Busca mentalmente el doble, el triple, la mitad y la tercera parte del número 6.

Buscar múltiplos y divisores de un número dado.

Ejemplo: Calcula mentalmente cinco múltiplos y cinco divisores del número 36. Búsqueda de números primos hasta 100.

Ejemplo: Buscar mentalmente los números primos que hay entre los 20 primeros números naturales.

Descomposición de números compuestos en productos varios y en producto de primos.

Ejemplo: Descomponer mentalmente en producto los números 10, 15, 18. Después buscar una factorización en primos.

Cálculo de m.c.d. y m.c.m. de pares de números múltiplos o primos unos con otros.

Ejemplo: Calcular mentalmente el m.c.d. (6,2), m.c.m.(10, 20) Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador.

Ejemplo: Calcular mentalmente: =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

64

65

61

Cálculo de la fracción de un número dado. Ejemplo: Calcular mentalmente los 2/3 de 30 kg.

Redondear números decimales y operar estimando mediante estas aproximaciones.

Ejemplo: Calcular mentalmente aproximando a las décimas: 2´76 + 3´45 = Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros.

Ejemplo: Calcular mentalmente 12´3454 : 10000, 6´52 x 10000.

9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo. Frecuentemente un número decimal es lo suficientemente extenso como para que cree serios problemas en los cálculos a realizar, bien porque provenga de un número irracional, tenga desarrollo decimal periódico o simplemente porque tenga una longitud inadecuada para poder efectuar los cálculos con comodidad. En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente. a) Aproximación por cifras significativas. En determinadas situaciones se opta por estimar o aproximar un número decimal dado mediante un número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras


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del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero.

Ejemplo 1: La estimación a 3 cifras significativas del número 0´09054 es a = 0´00905. Ejemplo 2: La estimación por cifras significativas a las décimas del número 6´54 es a = 6´5.

Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los números sin transformar se denomina dígito más significativo.

Por ejemplo, supongamos el número 0´0020803. Dos números aproximados podrían ser 0,002080 y 0,00208 con 2 el número más significativo. En el primero tenemos cuatro dígitos significativos (2080), mientras que en el segundo tenemos sólo tres (208). Obsérvese sin embargo que ambos son el mismo número. Pero el primero de ellos ofrece una predicción más extensa que el segundo, pues proporciona una sexta cifra que no es dada por el otro. b) Aproximación mediante notación científica.

Este proceso se utiliza usualmente cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del modo siguiente:

(a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m,

La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y 9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.

Ejemplo 1: Cuando nos dicen que la distancia de la Tierra al Sol es a=1´495·109 km., nos están dando un número aproximado:

(1 + 4·10-1 + 9·10-2 + 5·10-3) ·109, Obviamente, tal número posee cuatro dígitos significativos.

c) Proceso de redondeo

Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas, . . . ) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última haremos lo siguiente:

• Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5. • Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.


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Ejemplo 1: Consideremos π = 3,141592…. y calculemos redondeos a las diezmilésimas, milésimas y centésimas.

a=3,1416 (diezmilésimas) a=3,142 (milésimas) a=3,14 (centésimas) Ejemplo 2: Consideremos redondeos a las décimas de los números siguientes:

6,527 → 6,5, 0,456 → 0,5, 2,195 → 2,2, 1,450 → 1,5,

0,950→1,0, 4,851→4,9, 0,850→0,9, 0,05→0,1. d) Estimación de raíces. Por lo tanto, si se trata de estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es decir n a , hasta cierta posición (unidades, décimas, centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos valores decimales p y q consecutivos en tal posición tales que

nn qap ≤≤

El valor p nos proporcionará un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q será un valor por exceso. Ejemplo 1: Para estimar a las unidades 53 , observamos que

64853749 22 =≤≤=

Por lo que una estimación por defecto a las unidades de la raíz pedida es 7 y por exceso es 8.

Ejemplo 2: Para estimar o aproximar a las centésimas el valor de 41 , primeramente estimamos la parte entera de la raíz. Observamos que el intervalo [6, 7] cumple que

49741636 22 =≤≤= Por lo tanto, 6 será una cota por defecto para la parte entera y 7 lo será por exceso.

Para aproximar a las décimas, calculamos las potencias siguientes a las décimas entre los número 6 y 7, es decir, el cuadrado de 6´1, 6´2, 6´3, . . . , 6´9. En este caso tendremos que:

6´4 2 = 40´96 6´5´2 = 42´25

Por lo tanto, el intervalo en décimas al que pertenece nuestra raíz es [6´4, 6´5] por lo que los extremos serán cotas por defecto y exceso respectivamente.


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Para aproximar a las centésimas, calculamos las potencias siguientes:

6´42 = 40´96 6´412 = 41´0881

Por lo tanto, el intervalo en décimas al que pertenece nuestra raíz es [6´4, 6´41] por lo que los extremos serán cotas por defecto y exceso respectivamente.

9.4. Calculadora. La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente útil para llegar con mayor rapidez a determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al cálculo escrito y mental que el alumno debe ejercitar.

La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas (adecuados a los conocimientos que se están abordando) a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en procesos de búsqueda, ensayo-error, comprobación de un cálculo mental antes efectuado, etc. Pero nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad.

Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: Las teclas de operación suma, resta, multiplicación, división, exponente, raíz y memoria. Es importante hacer hincapié en que la jerarquía de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora

Ejercicios adecuados podrían ser: Ejemplo: ¿Cuál es el mayor número que puedes conseguir en pantalla pulsando dos veces cada una de estas teclas? A) 2 + =, b) 2 x =, c) 2 / x =. Ejemplo: Calcula mentalmente y después comprueba tus cálculos con la calculadora: – 4 ·2 – 5 ·6 + 8·5 = Ejemplo: Busca con la calculadora el dígito que hay que poner en cada espacio para que se verifique la igualdad 4 __ 5 + 85__ = 1__13 Ejemplo: Si en tu calculadora no funcionase la tecla cero, como conseguirías que apareciesen los siguientes números: 180, 108, 1080, 104050. Ejemplo: En la pantalla de la calculadora aparece el número 56329, ¿cómo conseguirías variar el 3 en un 0?, ¿y el 6 en un 8?.

10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA. 10.1. Tratamiento en el currículo Los diferentes contenidos que se han desarrollado en esta unidad son objeto de aprendizaje en los tres


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ciclos de la Educación Primaria. Este hecho se recoge en el análisis de los distintos elementos del currículo del REAL DECRETO 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. Objetivos La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y

mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.

3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.

7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.

Contenidos Los contenidos que se desarrollan en esta unidad se relacionan fundamentalmente con el bloque de contenido 1. Números y operaciones. La selección de contenidos de los tres ciclos es:


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Primer ciclo Segundo ciclo Tercer ciclo

Bloque 1. Números y operaciones

Números naturales - Recuento, medida,

ordenación y expresión de cantidades en situaciones de la vida cotidiana.

- Lectura y escritura de números. Grafía, nombre y valor de posición de números hasta tres cifras.

- Utilización de los números ordinales.

- Orden y relaciones entre números. Comparación de números en contextos familiares.

Operaciones - Utilización en situaciones

familiares de la suma para juntar o añadir; de la resta para separar o quitar; y de la multiplicación para calcular número de veces.

- Expresión oral de las operaciones y el cálculo.

- Disposición para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar información, para la interpretación de mensajes y para resolver problemas en situaciones reales.

Estrategias de cálculo - Cálculo de sumas y restas

utilizando algoritmos estándar.

- Construcción de las tablas de multiplicar del 2, 5 y 10 apoyándose en número de veces, suma repetida,

Números naturales y fracciones - Sistema de numeración

decimal. Valor de posición de las cifras. Su uso en situaciones reales.

- Orden y relación entre los números. Notación.

- Números fraccionarios para expresar particiones y relaciones en contextos reales, utilización del vocabulario apropiado.

- Comparación entre fracciones sencillas: mediante ordenación y representación gráfica.

Operaciones - Utilización en situaciones

familiares de la multiplicación como suma abreviada, en disposiciones rectangulares y problemas combinatorios.

- Utilización en contextos reales de la división para repartir y para agrupar.

- Interés para la utilización de los números y el cálculo numérico para resolver problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolución y los resultados obtenidos.

Estrategias de cálculo - Descomposición aditiva y

multiplicativa de los números. Construcción y memorización de las tablas de multiplicar.

Números enteros, decimales y fracciones - Uso en situaciones reales del

nombre y grafía de los números de más de seis cifras.

- Múltiplos y divisores. - Números positivos y

negativos. Utilización en contextos reales.

- Números fraccionarios. Obtención de fracciones equivalentes.

- Números decimales. Valor de posición y equivalencias. Uso de los números decimales en la vida cotidiana.

- Ordenación de números enteros, de decimales y de fracciones por comparación y representación gráfica.

- Expresión de partes utilizando porcentajes. Correspondencia entre fracciones sencillas, decimales y porcentajes.

- Sistemas de numeración en culturas anteriores e influencias en la actualidad.

Operaciones - Potencia como producto de

factores iguales. Cuadrados y cubos.

- Jerarquía de las operaciones y usos del paréntesis.

Estrategias de cálculo - Utilización de operaciones de

suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en situaciones cotidianas y en contextos de resolución de problemas.


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disposición en cuadrículas...

- Desarrollo de estrategias personales de cálculo mental para la búsqueda del complemento de un número a la decena inmediatamente superior, para el cálculo de dobles y mitades de cantidades y para resolver problemas de sumas y restas.

- Cálculo aproximado. Estimación y redondeo del resultado de un cálculo hasta la decena más cercana escogiendo entre varias soluciones y valorando las respuestas razonables.

- Familiarización con el uso de la calculadora para la generación de series y composición y descomposición de números.

- Resolución de problemas que impliquen la realización de cálculos, explicando oralmente el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

- Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de soluciones.

- Gusto por la presentación ordenada y limpia de los cálculos y sus resultados.

- Utilización de los algoritmos estándar, en contextos de resolución de problemas, de suma, resta, multiplicación y división por una cifra.

- Utilización de estrategias personales de cálculo mental.

- Estimación del resultado de una operación entre dos números, valorando si la respuesta es razonable.

- Utilización de la calculadora en la resolución de problemas de la vida cotidiana, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos.

- Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar informaciones, manifestando iniciativa personal en los procesos de resolución de problemas de la vida cotidiana.

- Interés por la presentación limpia, ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.

- Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones.

- Utilización de la tabla de multiplicar para identificar múltiplos y divisores.

- Calculo de tantos por ciento básicos en situaciones reales.

- Estimación del resultado de un cálculo y valoración de respuestas numéricas razonables.

- Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales de cálculo mental y relaciones entre los números, explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

- Utilización de la calculadora en la resolución de problemas, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos.

- Capacidad para formular razonamientos y para argumentar sobre la validez de una solución identificando, en su caso, los errores.

- Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo, manifestando iniciativa para resolver problemas que implican la aplicación de los contenidos estudiados.


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Criterios de evaluación Son un referente fundamental para el desarrollo de la evaluación del proceso de enseñanza- aprendizaje que permite valorar la consecución de los objetivos y competencias básicas definidas en el currículo de las diferentes enseñanzas. En los diferentes ciclos son: Primer ciclo 1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números hasta el 999. Este criterio pretende comprobar la capacidad de aplicar a situaciones inventadas los conocimientos adquiridos sobre el uso de los números. Se evaluará la capacidad para interpretar y emitir informaciones en situaciones familiares empleando números hasta el entorno del millar. Igualmente se pretende valorar el dominio sobre el valor de posición que tienen los números, en el orden de magnitud indicado, en el sistema decimal de numeración y la capacidad de asociar escritura cifrada y denominaciones orales. 3. Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma, resta y multiplicación, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales. Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos de sumas, restas y multiplicaciones, la estructura del sistema decimal de numeración, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento más conveniente. Debe prestarse especial atención a la capacidad para desarrollar estrategias propias de cálculo mental en contextos habituales. Se valorará también la aplicación intuitiva de las propiedades de las operaciones y la capacidad de explicar oralmente los razonamientos. 8. Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana, seleccionando las operaciones de suma y resta y utilizando los algoritmos básicos correspondientes u otros procedimientos de resolución. Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un problema. Con este criterio se pretende evaluar la capacidad de seleccionar y aplicar la operación adecuada a la situación problemática a resolver. Es asimismo importante observar la capacidad de emplear más de un procedimiento y la madurez que se manifiesta en la expresión oral y escrita del proceso de resolución. Segundo ciclo 1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el valor posicional y en la recta numérica. Este criterio pretende comprobar el manejo, en situaciones reales, de la representación de cantidades de hasta seis cifras, partiendo del concepto de valor de posición. Igualmente se trata de verificar, en contextos de la vida cotidiana, la capacidad de interpretar y expresar situaciones con cantidades de la mencionada magnitud, de dominar la organización de la serie escrita de las cifras de un número y de situarlo en la recta.


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2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas. Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos la estructura del sistema decimal de numeración y las propiedades de las operaciones, mostrando flexibilidad a la hora de elegir el procedimiento más adecuado, si bien debe prestarse especial atención al dominio de los algoritmos escritos. 3. Utilizar estrategias personales de cálculo mental en cálculos relativos a la suma, resta, multiplicación y división simples. Se trata de valorar la capacidad para utilizar con cierta agilidad estrategias personales de cálculo mental en situaciones de cálculo sencillas. Se atenderá especialmente a la explicación que hacen sobre las estrategias aplicadas. No se trata tanto de valorar la rapidez en el cálculo como de apreciar si llegan a resultados válidos, que serán exactos o estimados en función de los números que intervienen y de la situación en que el cálculo se produce. 8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución. Este criterio trata de comprobar la capacidad para utilizar estrategias personales para la resolución de problemas y para aplicar los conocimientos adquiridos. Es asimismo importante observar la facultad de emplear más de un procedimiento y la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y la expresión, oral y escrita, de forma ordenada el proceso seguido. Tercer ciclo 1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas). Con este criterio se pretende comprobar el manejo, en situaciones tomadas de la vida real, de diferentes tipos de números, interpretando su valor y siendo capaces de comparar e intercalar números escritos de diferentes maneras. 2. Realización de operaciones y cálculos numéricos sencillos mediante diferentes procedimientos, incluido el cálculo mental, que hagan referencia implícita a las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas. Se trata de comprobar la capacidad de operar con los números y el conocimiento sobre la jerarquía de las operaciones. Igualmente, se trata de apreciar la utilización de las propiedades de las operaciones, las estrategias personales y los diferentes procedimientos que se utilizan según la naturaleza del cálculo que se ha de realizar (algoritmos escritos, cálculo mental, tanteo, estimación, calculadora), decidiendo sobre el uso más adecuado. 3. Utilizar los números decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e intercambiar información en contextos de la vida cotidiana.


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Con este criterio se pretende comprobar la utilización de los diferentes tipos de números en contextos reales, estableciendo equivalencias entre ellos, y la capacidad de identificarlos y utilizarlos como operadores en la interpretación y la resolución de problemas. 8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas. Este criterio está dirigido especialmente a comprobar la capacidad en la resolución de problemas, atendiendo al proceso seguido. Se trata de verificar que ante un problema los alumnos y las alumnas tratan de resolverlo de forma lógica y reflexiva y comprobar que comprenden la importancia que el orden y la claridad tienen en la presentación de los datos y en la búsqueda de la solución correcta, para detectar los posibles errores, para explicar el razonamiento seguido y para argumentar sobre la validez de una solución. 10.2. Recursos didácticos. Recursos personales. Los recursos personales se entienden como todas aquellas interacciones que apoyan y participan en el trabajo de contenidos y objetivos objeto de aprendizaje. Entre ellos resalta el papel del maestro y de los iguales. Se parte de la labor del maestro, como uno de los principales recursos personales. Desde la normativa, entre las funciones que la LOE dispone para el mismo, se destaca: la enseñanza de las áreas; la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje; la tutoría y orientación del aprendizaje en colaboración con las familias; la atención al desarrollo afectivo, social y moral de los alumnos; la organización y participación en las actividades complementarias; la colaboración con los servicios de orientación o la participación en un clima de respeto y colaboración. Todas estas funciones se llevarán a cabo desde el principio de colaboración y trabajo en equipo, en concordancia con la importancia que la nueva ley adjudica a la participación de todos los agentes implicados en el proceso educativo. Desde la base psicopedagógica constructivista, el papel del profesor se entiende, fundamentalmente como mediador esencial entre el alumno y los contenidos al determinar su selección, organización y presentación. Se destaca también el papel de los compañeros ya que intervienen en la labor de mediación y será una de las funciones del profesor canalizar tal mediación para que sea oportuna y eficaz.


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Por último, en concordancia con la LOE se destaca el valor de la familia como recurso personal y la necesidad de que desde los centros de escolares se coopere estrechamente con la misma, con el fin de respetar su responsabilidad fundamental. Recursos ambientales. Los recursos ambientales comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula, hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de él puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos. Destacan los siguientes: El aula:

- Organización de las actividades.

El colegio: - Espacios de uso común relacionados con los contenidos que se trabajan en este tema: jardín,

patio, huerto (si lo hubiera) y el patio. El entorno social:

- Instituciones, organizaciones y servicios del entorno: o Centros culturales y de ocio: Ludotecas, bibliotecas, de exposiciones, museos de

ciencias, parques, jardines, huertos… o Ferias de ciencia.

Las salidas fuera del centro desempeñan un importante papel en la enseñanza al facilitar la observación y el encuentro con el medio natural, social, cultural y laboral y los procesos y fenómenos que en ellos tienen lugar. Ilustran y hacen más comprensibles a los alumnos determinados conocimientos. Recursos materiales. En el tratamiento didáctico de las ciencias resultan de especial interés los siguientes materiales: de representación, impresos, audiovisuales e informáticos. Específicos/ de representación. Regletas: Este material nos permite, entre otras cosas, asignando un valor numérico a cada regleta, componer y descomponer números, sumar… Recomendado para 1er ciclo de Educación Primaria Cubos encajables: Este material consiste en 100 cubos de 2 cm. de arista y diez colores distintos que se encajan fácilmente. Permiten componer patrones, representar números, o incluso representar el cuadrado de, al menos los cinco primeros números naturales. Recomendado para 1.er, 2.º y 3.er ciclo de Educación Primaria. Regletas retroproyectables: Son muy útiles para organizar la clase y desarrollar actividades colectivas. Recomendado para 1er ciclo de Educación Primaria


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Ábaco abierto: Mejora la comprensión del Sistema de Numeración Decimal y sus operaciones. Recomendado para 1º y 2º ciclo de Educación Primaria Cartas numéricas: Permite comparar, clasificar, contar. Recomendado para 1º , 2º y 3º Ciclo de Educación Primaria Dominó de Equivalencias: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los números por suma y restas no superiores a 12. Recomendado para 1º Ciclo de Educación Primaria Dominós de Sumas: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los números por suma no superiores a 12. Recomendado para 1ºy 2º Ciclo de Educación Primaria Dominós de Operaciones: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los números por operaciones de suma, resta, división y multiplicación. Recomendado para 3º Ciclo de Educación Primaria. Dominó de Equivalencias de Fracciones: Sustituye los números por fracciones y su representación gráfica. Recomendado para 3ª Ciclo de Educación Primaria Tabla de Fracciones: Juego de 10 regletas troqueladas para dividirlas en 10 partes iguales. Permite ordenar, representar fracciones, buscar equivalencias…Recomendado para 3º Ciclo de Educación Primaria Círculo de Fracciones: Son dos círculos de colores distintos, uno de ellos serigrafiado con fracciones. Cada uno de los círculos tiene una ranura y gira uno alrededor del otro. Recomendado para 3ª Ciclo de Educación Primaria. Suma 15: Tablero con 9 casillas numeradas del 1 al 9. Seis fichas para colocar. Tres para cada jugador. Cada jugador procura sumar 15 entre dos casillas o evitar que lo consiga el contrincante. Recomendado para 1º Ciclo de Educación Primaria El Juego del 11: Consta de tablero dividido en varias zonas, dados y fichas. Siguiendo las instrucciones se debe alcanzar la casilla central del 11. Recomendado para 2º y 3º Ciclo de Educación Primaria. (Estos materiales están descritos por Montserrat Torra, en las carpetas para construir las Matemáticas del proyecto sur). Impresos.

- Normativa de la educación Primaria (LOE; RD/D de desarrollo curricular; órdenes de evaluación; ROC,...).

- Guías didácticas de los proyectos editoriales (guías de Metodología, programaciones, cuentos, fichas, recursos lingüísticos y actividades, murales, CDs de música, bits de inteligencia).

Audiovisuales. - Aparatos: Visuales (Retroyector, proyector de opacos, proyector de diapositivas, cámara

fotográfica); Auditivos (Minicadena, grabadora, radio, walkman, discman) y audiovisules Televisión, DVD, cámara de vídeo).

- Producciones: Visuales (diapositivas, transparencias, reportaje gráfico, fotografías); auditivos

(cintas de audio de canciones, cuentos y sonidos del entorno) y audovisuales (películas de vídeo y


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DVD, diaporamas, programas de televisión de cuentacuentos, series de dibujos animados, anuncios publicitarios)

Informáticos. - El ordenador y sus componentes: 1 El teclado 1 El ratón 1 La pantalla

- Programas informáticas: 1 Trampolín. Educación Primaria Primer Ciclo. Anaya interactiva. 1 Colección de Pipo: Matemáticas con Pipo.

- Páginas web http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkContent?idContent=3525&locale=es_ Página Web con muchas actividades para los alumnos como por ejemplo, sumar sin parar, restar sin parar, multiplicar sin parar... http://www.aplicaciones.info/ortogra2/calculo.htm Página Web sobre cálculo interactivo. http://www.educa.madrid.org/portal/c/contents/several_contents/view_resource?contentId=-1882750751&layoutId=10162.17&portletId=101&p_p_id=101&p_l_id=10162.17 Página web sobre juegos educativos y fichas matemáticas. http://www.vedoque.com/juegos/granja-matematicas.html Juegos para practicar operaciones. BIBLIOGRAFÍA - ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y

VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006. - ÁLVAREZ, Mª D.; MIRANDA, A. Y.; PARRA, S.; REDONDO, R.; SANTOS, T.: Matemáticas

3º ESO (Serie Practica), Santillana, 2006. - COLERA, J.; GARCÍA, J.E.; GAZTELU, I. Y OLIVEIRA, M.J.: Matemáticas 3º ESO (Serie

Nuestro Mundo), Anaya, 1998.


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ESQUEMA RESUMEN

1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica en su celebre frase “Todo es número” quería expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. Las matemáticas de todos los tiempos no consideran a los números con simples símbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar cualquier fenómeno geométrico, físico, químico, tecnológico, etc. El cálculo numérico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números.

2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS. • El concepto de número natural es tan arcaico como la propia especie humana. Sirven para

contar y enumerar. • Los números enteros tienen explicación en el campo del comercio y economía. También sirven

para medir determinadas magnitudes como el tiempo, temperatura, etc. Así como para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.

• Los números racionales sirvieron para realizar particiones de un total en partes iguales. Las fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos. Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema fraccionario.

• La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números decimales o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor.

3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.

3.1.Definición del conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3, . . . Como ya dijimos anteriormente, los números naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y ordenar elementos.


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3.2.Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n + m como el número de elementos del conjunto AΩB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación suma son, entre otras, las siguientes: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa, Cancelativa. Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m y se denota mediante n·m como el número de elementos del conjunto cartesiano AxB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación producto o multiplicación son, entre otras, las siguientes: Asociativa, Elemento neutro, conmutativa, cancelativa, Distributiva respecto de la suma. Una potencia es una multiplicación iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia “a elevado a n” es el producto

4434421vecesn

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...

Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Sus propiedades son:

a) 1, 0 =∈∀ aNa

b) aaNa =∈∀ 1,

c) mnmn aaaNmna +=⋅∈∀ ,,,

d) mnmn aaamnconNmna −=≥∈∀ :,,,

e) ( ) mnmn aaNmna ⋅=∈∀ ,,, La operación de radicación o raíz es la operación inversa de la operación de potencia de modo que dados los naturales a y n “la raíz n – ésima de a”, denotada por n a , es el resultado b si y sólo si al

elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir, abba nn =⇔= . Al número “n” lo llamaremos índice de la raíz y al valor “a” lo denominaremos radicando. La operación de división en los números naturales conlleva un proceso de reparto en el que habrá un total “D” a repartir (dividendo), un conjunto “d” de elementos a quienes se reparte (divisor), la cantidad “c” que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante “r” (resto). De este modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente llamado “prueba de la división”, D = d·c + r, donde el resto es siempre menor que el divisor. 3.3.Ordenación en el conjunto de los números naturales. Dados dos números naturales a, b 5 N, se dice por definición que a es menor o igual que b y se escribe a ″ b si existe algún natural c 5 N tal que a + c = b


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4. LOS NÚMEROS ENTEROS. 4.1.Definición del conjunto de los números enteros. El conjunto Z = . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . es el conjunto de los números enteros. Se observa que es un conjunto infinito, como los números naturales, pero no tiene elemento primero o mínimo. 4.2.Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo. Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los números enteros, podemos dar reglas prácticas para la suma/resta de números enteros del siguiente modo:

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los números y se añade el signo del más grande en valor absoluto.

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números y se añade el signo de aquel de mayor valor absoluto.

La suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro, Elemento simétrico, conmutativa. De igual modo, para el producto podemos dar reglas prácticas del siguiente modo:

• Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican los valores absolutos de los números y se añade el signo mas.

• Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican los valores absolutos de los números y se añade el signo menos.

El producto cumple con las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa, Distributiva respecto de la suma. Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1). Por último, la potenciación extiende su definición y propiedades definiendo la potencia de exponente

negativo, del siguiente modo: n

nn

aaa 11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

4.3.Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios números.

A partir de la multiplicación y división exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy utilizadas en las matemáticas:

o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b y que b es un divisor de a si existe un entero c tal que a = b·c

o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es primo es compuesto.


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En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números:

o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por, M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.


4.4.Ordenación de los números enteros. Dados dos números enteros a, b 5 Z, se dice por definición que a es menor o igual que b, y se escribe a ″ b, si b – a 5 N 5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS. 5.1.Definición del conjunto de los números racionales.

Al conjunto ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈= 0,,* bZba

baZxZ se denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus

elementos es una fracción. Diremos que dos fracciones ba y

dc son equivalentes si el producto de

medios es igual que el producto de extremos, es decir: cbdadc

ba

⋅=⋅⇔=

• Llamaremos número racional ba al conjunto formado por la fracción

ba y todas sus

equivalentes. El conjunto formado por los números racionales se es por definición el conjunto de los números racionales y se denota mediante Q.

• La fracción irreducible es aquella de la forma ba con m.c.d.(a,b) = 1.

• Simplificar (amplificar) una fracción ba consiste en encontrar una fracción equivalente

dc dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo número entero. Todas

estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo número racional.

De entre las definiciones más comunes en las fracciones podemos destacar:

• Fracción propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador.

• Fracción impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto del denominador. En este caso siempre existirá una descomposición de la fracción impropia como un número entero más una fracción propia.


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• Fracción positiva: Dada la fracción ba , diremos que es positiva si a·b > 0. Si una fracción es

positiva, su número racional también es positivo ya que todas las fracciones que son equivalentes han de tener el mismo signo.

• Fracción negativa: Dada la fracción ba , diremos que es negativa si a·b < 0. Si una fracción es

negativa, su número racional también es negativo ya que todas las fracciones que son equivalentes han de tener el mismo signo.

• Fracción nula o cero: Dada la fracción ba , diremos que es nula si a = 0. Si una fracción es

nula, su número racional también es nulo.

5.2.Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo.


ba

∈, podemos definir, a partir de las operaciones suma y

producto en los enteros, la suma (resta) de los números racionales como: bd

cbdadc

ba ⋅±⋅

=±

De igual modo para el producto y división se tendrá que:dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅ y cbda

dc

ba

⋅⋅

=:

respectivamente. Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operación las siguientes propiedades:

• Suma. Asociativa; Elemento neutro; Elemento simétrico; Conmutativa. • Producto: Asociativa; Elemento neutro; Elemento simétrico; Conmutativa; Distributiva

respecto de la suma. En cuanto a la potencia, se extiende la definición a de potencias de exponente fraccionario, dando la

equivalencia entre potencia y raíz del siguiente modo: q pqp aa =/ . Por lo tanto, la radicación, no es más que una potencia de exponente fraccionario. 5.3.Ordenación de los números racionales.


ba

∈, , se dice por definición que ba es menor o igual que

dc y se

escribe dc

ba≤ si 0≥−

ba

dc

5.4.Representación de los números racionales en la recta. Para representar el punto en el que el número racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros. Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de


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los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda. 6. LOS NÚMEROS DECIMALES. 6.1.Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales. El conjunto de expresiones decimales de la forma ± n,a1 a2 a3 . . . con n ≥ 0 es un natural cualquiera y ai números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9 para todo i natural, donde eliminamos los casos en que ai = 9 para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de número decimales. Este conjunto es equivalente al conjunto de números reales R. Todo número racional tiene un desarrollo decimal asociado único que se puede calcular dividiendo su numerador entre su denominador. Los números decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en:

• Decimales exactos: Si ±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . ) tiene únicamente un número finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un número racional.

• Decimales periódicos: De igual modo si la sucesión de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura periódica a partir de alguna de ellas, entonces el número se denomina periódico y al conjunto finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de periódicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no aparece a partir de la coma).

• Decimales no exactos ni periódicos (números irracionales): La negación de los anteriores casos nos lleva por último, a que la sucesión de cifras a1a2a3 . . sea de carácter infinito pero sin contener ninguna estructura periódica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones decimales no corresponden a ningún número racional. Dar ejemplo.

6.2.Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo. Dados los desarrollos:

(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . + ap·10-p)

(m + b1·10-1+ b2·10-2 + b3·10-3+ . . . + aq·10-q ) con n, m, p, q ≥0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9, tendremos que la suma de estos dos números vendrá dada por:

(n+m) + (a1 + b1)·10-1+ (a2 + b2)·10-2 + (a3 + b3)·10-3 + . . . Por lo tanto, para sumar (restar) números decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma posición y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a partir del elemento opuesto para la suma.(Dar ejemplos)

Del mismo modo, el producto vendrá dado por: (n·m) + (a1·m + b1·n)·10-1+ . . . La división se puede definir a partir del elemento inverso para el producto. Dar ejemplos).


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El conjunto R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se deriva en que R es un conjunto denso y representable como una recta mientras que Q no. 6.3.Algoritmo para el cálculo de raíces exactas. El algoritmo de cálculo de raíces está basado en métodos de aproximación de raíces de ciertas funciones. Dar un ejemplo. 7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. El sistema de numeración arábigo es posicional y decimal. Decimal porque está basado en 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9. Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa diferente en función de la posición en la que este. De este modo, cada posición de una cifra que describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos unidades, decenas, centenas, unidades de millar, décimas, centésimas, milésimas, . . . Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E. Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−

++−−

...101001´0,,,2

)(

,5/6,4/31/

1,2,3,4...,

,...4,3,2,1,0)(

,...2,1,0,1,2...,)(

,...3/4,2/8)(

...12345´0,312,71,73´0

)(

e



Números


NnaturalesNúmeros

ZenterosNúmeros

QracionalesNúmeros


π


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9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA.

9.1. Cálculo escrito. Si el cálculo es escrito, una ayuda importante suele ser la inclusión de paréntesis y corchetes con el fin de dar las siguientes reglas: En cualquier cálculo se efectuarán siempre los paréntesis y corchetes lo primero y dentro de estos nuevamente se buscarán estos elementos. En ausencia de paréntesis, corchetes se efectuarán los productos, potencias y divisiones. En ausencia de paréntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones, se efectúan las sumas y las restas.

9.2.Cálculo mental. Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los cálculos mentales más simples que vayan conformando procesos lógicos mentales conformes a las reglas de cálculo, mediante ejercicios encaminados a ello. Dar ejemplos. 9.3.Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo. Frecuentemente un número decimal es lo suficientemente extenso como para que cree serios problemas en los cálculos a realizar, bien porque provenga de un número irracional, tenga desarrollo decimal periódico o simplemente porque tenga una longitud inadecuada para poder efectuar los cálculos con comodidad. En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente. a) Aproximación por cifras significativas. En determinadas situaciones se opta por estimar o aproximar un número decimal dado mediante un número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero. Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los números sin transformar se denomina dígito más significativo. b) Aproximación mediante notación científica. Este proceso se utiliza usualmente cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del

modo siguiente: (a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m, La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y 9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.


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c) Proceso de redondeo Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas, . . . ) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última haremos lo siguiente:

• Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5. • Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.

d) Estimación de raíces. Para estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es decir n a , hasta cierta posición (unidades, décimas, centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos valores decimales p y q consecutivos en tal posición tales que nn qap ≤≤ . El valor p es un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q será un valor por exceso. 9.4.Calculadora. La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente útil para llegar con mayor rapidez a determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al cálculo escrito y mental que el alumno debe ejercitar. La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas (adecuados a los conocimientos que se están abordando) a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en procesos de búsqueda, ensayo-error, comprobación de un cálculo mental antes efectuado, etc. Pero nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad. Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: Las teclas de operación suma, resta, multiplicación, división, exponente, raíz y memoria. Es importante hacer hincapié en que la jerarquía de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora 10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA. Los diferentes contenidos que se han desarrollado en este tema se trabajan en los tres ciclos de la Educación Primaria. Este hecho se recoge en el análisis de los diferentes elementos curriculares: objetivos, contenidos y criterios de evaluación.


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CUESTIONES PARA EL REPASO TEMA 22 1. DAR USOS Y APLICACIONES DE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS. 2. DEFINIR EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. MÚLTIPLO, DIVISOR, M.C.M. Y

M.C.D. 3. DETERMINAR LA RELACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS. 4. DEFINIR EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. DAR EJEMPLOS DE OTROS

SISTEMAS Y DÓNDE SE UTILIZARON. 5. DAR EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y DAR EJEMPLOS DE TRABAJO

SOBRE EL CÁLCULO MENTAL.


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SOLUCIONES A LAS CUESTIONES DE REPASO DEL TEMA 22. 1. DAR USOS Y APLICACIONES DE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS. • El concepto de número natural es tan arcaico como la propia especie humana. Sirven para

contar y enumerar. • Los números enteros tienen explicación en el campo del comercio y economía. También sirven

para medir determinadas magnitudes como el tiempo, temperatura, etc. Así como para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.

• Los números racionales sirvieron para realizar particiones de un total en partes iguales. Las fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos. Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema fraccionario.

• La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números decimales o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor.

2. DEFINIR EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. MÚLTIPLO, DIVISOR,

M.C.M. Y M.C.D. El conjunto Z = . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . es el conjunto de los números enteros. Se observa que es un conjunto infinito, como los números naturales, pero no tiene elemento primero o mínimo.

o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b y que b es un divisor de a si existe un entero c tal que a = b·c

o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es primo es compuesto.

o En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números:

o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por, M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.



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3. DETERMINAR LA RELACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−

++−−

...101001´0,,,2

)(

,5/6,4/31/

1,2,3,4...,

,...4,3,2,1,0)(

,...2,1,0,1,2...,)(

,...3/4,2/8)(

...12345´0,312,71,73´0

)(

e



Números


NnaturalesNúmeros

ZenterosNúmeros

QracionalesNúmeros


π

4. DEFINIR EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. DAR EJEMPLOS DE OTROS

SISTEMAS Y DÓNDE SE UTILIZARON.

El sistema de numeración arábigo es posicional y decimal. Decimal porque está basado en 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9. Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa diferente en función de la posición en la que este. De este modo, cada posición de una cifra que describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos unidades, decenas, centenas, unidades de millar, décimas, centésimas, milésimas, . . . Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E. Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. 5. DAR EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y DE TRABAJO SOBRE EL

CÁLCULO MENTAL. • Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensación en todo tipo de

números. • Buscar mentalmente un número a partir de un cierto número dado ellos y mediante las

operaciones básicas. • Cálculos concatenados con números naturales o enteros. • Búsqueda de dobles, triples, quíntuplos, mitades, cuartas partes, etc de cantidades dadas.


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• Buscar múltiplos y divisores de un número dado. • Búsqueda de números primos hasta 100. • Descomposición de números compuestos en productos varios y en producto de primos. • Cálculo de m.c.d. y m.c.m. de pares de números múltiplos o primos unos con otros. • Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador. • Cálculo de la fracción de un número dado. • Redondear números decimales y operar estimando mediante estas aproximaciones. • Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros. Estimaciones en expresiones decimales: a) Aproximación por cifras significativas: En determinadas situaciones se opta por estimar o

aproximar un número decimal dado mediante un número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero.

Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los números sin transformar se denomina dígito más significativo.

b) Aproximación mediante notación científica: Este proceso se utiliza usualmente cuando el

número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del modo siguiente:

(a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m, La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y 9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.

c) Proceso de redondeo: Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas, . . . ) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última haremos lo siguiente: • Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5. • Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.

d) Estimación de raíces: Por lo tanto, si se trata de estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es decir n a , hasta cierta posición (unidades, décimas, centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos

valores decimales p y q consecutivos en tal posición tales que nn qap ≤≤ . El valor p nos proporcionará un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q será un valor por exceso.

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