magia matemÁtica… poque · matemÁtica para descubrir juntos la magia y encanto que encierra la...
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MAGIA MATEMÁTICA…
PORQUE LA MATEMÁTICA TAMBIÉN TIENE SU ENCANTO.
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PRESENTA
JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ
LICENCIADO EN MATEMÁTICA Y FÍSICA
ESPECIALISTA EN CULTURA POLÍTICA
ESPECIALISTA EN TELEMÁTICA E INFORMÁTICA
DOCENTE TIEMPO COMPLETO DE MATEMÁTICA
I.E. PBRO ANTONIO JOSÉ BERNAL LONDOÑO S.J
2
¿CÓMO LOGRAR, EN NUESTROS ESTUDIANTES, MOTIVACIÓN POR EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS?
3
“SER COMPETENTE IMPLICA:
SABER APLICAR EN LA COTI-
DIANIDAD E INFORMALIDAD
LA FORMALIDAD DE LA NO
COTIDIANIDAD” JGB
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INSTITUCIÓN EDUCATIVAPBRO.ANTONIO JOSÉ BERNAL L. S.JANTES CENTENARIO IGNACIANO- TOSCANA
NÚCLEO EDUCATIVO:
TELÉFONOS:
EXPERIENCIA SIGNIFICATIVA:
PROYECTO:
TIEMPO:
EDUCADOR RESPONSABLE:
EQUIPO COLABORADOR:
919 MEDELLÍN
4631218
MAGIA MATEMÁTICA
CLUB MATEMÁTICO
13 AÑOS EN EL ÁREA Y 10 CON LOSESTUDIANTES (2010)
JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ
DIRECTIVAS ; CLUB MATEMÁTICOINSTITUCIONAL Y ÁREA DEMATEMÁTICAS
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OBJETIVOS
IMPLEMENTAR EL JUEGO LIBRE Y DIRIGIDO
PEDAGÓGICAMENTE EN EL PROCESO
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA PARA DESCUBRIR JUNTOS LA MAGIA Y
ENCANTO QUE ENCIERRA LA MISMA
HACER “CONCRETO” LO ABSTRACTO DE LA
MATEMÁTICA
HUMANIZAR MUCHO MÁS LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
6
METODOLOGÍA PRESENTACIÓN DE LOS TEMAS Y EXPLICACIÓN POR PARTE DEL
MAGO
CARRUSELES EXPLICATIVO – PRÁCTICOS
MESAS DE TRABAJO EN LAS CUALES SE SOCIALIZAN INVESTIGACIONES, A NIVEL INFORMAL, PROPUESTAS Y DESARROLLADAS POR EDUCADORES Y ESTUDIANTES
TRABAJOS Y TALLERES EN PEQUEÑOS GRUPOS CON UNA GUIA PREVIAMENTE ELABORADA
CONSULTAS E INVESTIGACIONES VÍA INTERNET SOBRE TEMAS DE INTERÉS PARTÍCULAR O COLECTIVOS
PROPUESTAS DE ALGUNOS TRUCOS, RETOS O DESAFIOS MATEMÁTICOS PARA SU POSIBLE DISCUSIÓN O SOLUCIÓN PEDOGÓGICA
DIVULGACIÓN DE SUS HALLAZGOS E INTERESES A TRAVÉS DE CARTELERA INSTITUCIONAL DEL CLUB MATEMÁTICO
7
8
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EMANADAS POR EL MEN
TEORÍAS SOBRE LA IMPORTANCIA Y DINAMISMO DEL BINOMIO JUEGO –APRENDIZAJE, SEGÚN INVESTIGACIÓN DE LA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA
MODELO DEL CONSTRUCTIVISMO
NIVELES DE DESARROLLO DE PENSAMIENTO DE VAN HIELE:
NIVEL 1: RECONOCIMIENTO DE FORMAS
NIVEL 2: EXPLORACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS
NIVEL 3: RELACIONES LÓGICAS ENTRE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS
NIVEL 4Y5: FORMACIÓN Y ESTRUTURACIÓN AXIOMÁTICA – DEDUCTIVA DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS
PROYECTOS “ÁBACO” DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL Y ” CAJA DE POLINOMIOS” DE LA UNIVERSIDAD DE NARIÑO
ESTUDIOS COGNITIVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA (BOOTH 1984, CHAIKLIN 1984)
MODELO POR COMPETENCIAS (PROPOSITIVA-ARGUMENTATIVA-INTERPRETATIVA-COMUNICATIVA) DEL MEN.
2010: MODELO PEDAGÓGICO DESARROLLISTA SOCIAL QUE INTEGRA EL SER Y EL SABER.
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IMPACTO INSTITUCIONAL TODA LA COMUNIDAD EDUCATIVA HABLA, CRITICA,
INVESTIGA Y SE PREOCUPA POR EL MEJORAMIENTO DEL ÁREA
LA COMUNIDAD NO ES AJENA A SU PROCESO Y EJECUCIÓN
EL CLUB MATEMÁTICO HA DEJADO DE SER UN GRUPO CERRADO A LAS DEMÁS EXPERIENCIAS Y SE HA POSICIONADO EN UNO DE LOS QUE LOS ESTUDIANTES ADMIRAN, RESPETAN Y DESEAN INGRESAR PARA HACER PARTE ACTIVA DE LA INVESTIGACIÓN
EL PROYECTO SE BRINDA A TODOS LOS INTERESADOS A NIVEL INTERNO Y EXTERNO DE LA INSTITUCIÓN
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RESULTADOS OBTENIDOS ESTAMOS HUMANIZANDO LAS
MATEMÁTICAS A MEDIDA QUE LA
ACERCAMOS AL ESTUDIANTE
EN UNA FORMA NATURAL Y
ESPONTÁNEA
YA NO ES LA MÁS DIFÍCIL. ES
LA MÁS FÁCIL O UN ÁREA
NORMAL COMO LAS DEMÁS
HASTA EL QUE SE CREÍA MÁS
AJENO AL ÁREA, AHORA COMO
MÍNIMO LA CRITICA, CUESTIONA
Y APOYA SUS ESFUERZOS PARA
MEJORAR
o EL 60 % DE LOS ESTUDIANTES DE LA
INSTITUCIÓN SE HAYA EN UN NIVEL
MEDIO, MIENTRAS QUE EL 20 % ALCANZANIVELES ALTOS TANTO EN EL
PROCESO MATEMÁTICO INSTITUCIONAL
COMO EN LAS PRUEBAS EXTERNAS(SABER E ICFES)
LA I.E AJBL S.J HA OBTENIDO LOS
MEJORES RESULTADOS EN EL ICFES
A NIVEL DEL NÚCLEO Y DE LA
CIUDAD DE MEDELLÍN.
EL CLUB MATEMÁTICO, Y EL
PROYECTO EN SÍ, HA OCUPADO
LUGARES HONROSOS EN LA FERIA
DE LA CIENCIA INSTITUCIONAL YNÚCLEAR EN VARIOS AÑOSCONSECUTIVOS
RECIBIÓ LA MENCIÓN: “CECILIA
LINCE” EN EL 2004 COMO MEJOR
MAESTRO Y PROYECTO CIUDAD DEMEDELLÍN
SE HA DEMOSTRADO CON EL CLUB
QUE EL USO DEL MATERIAL CONCRETO
NO ES PRIORIDAD UNICA DE LA
EDUCACIÓN INICIAL SINO QUE SE
PUEDE Y SE DEBE IMPLEMENTAR EN
TODOS LOS PROCESOS EDUCATIVOS.
11
CONTAMOS CON EL AVAL DEL MUNICIPIO DE MEDELLÍNPremio “Cecilia Lince” 2004
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VEAMOS ALGUNOS TRUCOS …CARTAS MÁGICAS
A 1 3 5 7 9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 33 35
37 39 41 43 45 47 49 51 53
55 57 59 61 63
13
B
2 3 6 7 10 11 14 15 18
19 22 23 26 27 30 31 34 35
38 39 42 43 46 47 50 51 54
55 58 59 62 63
14
C4 5 6 7 12 13 14 15 20
21 22 23 28 29 30 31 36 37
38 39 44 45 46 47 52 53 54
55 60 61 62 63
15
D
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
16
E
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
17
F
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
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ADIVINANDO LA CARTA SEÑALADA
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CUADRADOS MÁGICOS EN EL CALENDARIO
D L M M J V S
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
JULIO XXXX
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VASOS FLOTANTES
SE TIENEN 8 VASOS: 4 LLENOS Y 4 VACÍOS
EL RETO CONSISTE EN MOVER SÓLO 2 VASOS DE TAL FORMA QUE QUEDEN ALTERNADOS: 1 LLENO, 1 VACIO, 1 LLENO, ETC.
22
¿6+4=1?
DADA LA SIGUIENTE FIGURA:
COLOCAR 4 PALILLOS MÁS DE TAL FORMA QUE
DE CÓMO RESULTADO UNO
23
MONEDAS QUE VUELAN
DADA LA FIGURA:
TRASLADE SÓLO 2 MONEDAS O BOTONES A OTRA POSICIÓN, DE MANERA QUE SE FORMEN DOS HILERAS QUE, AL SUMARSE YA SEA HORIZONTAL O VERTICALMENTE, CONTENGAN 6 MONEDAS O BOTONES CADA UNA.
24
PALILLOS Y MÁS PALILLOS
SABIENDO QUE CON TRES PALILLOS IGUALES
FORMAMOS UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO.
EQUILÁTERO: EL QUE POSEE SUS TRES LADOS,
3 ÁNGULOS IGUALES
EL RETO CONSISTE EN CONSTRUIR 4
TRIÁNGULOS COMO EL ANTERIOR, UTILIZANDO
ÚNICAMENTE 6 PALILLOS SIN PARTIRLOS O
QUEBRARLOS.
25
¿SERÁ POSIBLE?
PODRÍA PARTIR UNA BARRA O PASTEL DE CHOCOLATE EN 8
PARTES IGUALES REALIZANDO TAN SÓLO 3 CORTES.
FAVOR ESCRIBIR LA EXPLICACIÓN DE COMO HACERLO.
26
LÁPIZ INVISIBLE
PODRÍAN CONSTRUIR LA H ó LA F MAYÚSCULA SIN LEVANTAR EL LÁPIZ NI REPISAR.
QUE TAL SI INTENTAN CONSTRUIR LOS SIGUIENTES DIBUJOS SIN LEVANTAR EL LÁPIZ DEL PAPEL NI REPISAR.
27
LOS 8 INSEPARABLES
COLOCAR LOS NÚMEROS DEL 1 AL 8 (UNA SOLA VEZ) DE TAL FORMA QUE NÚMEROS COSECUTIVOS NO QUEDEN JUNTOS VERTICAL, HORIZONTAL NI DIAGONALMENTE
28
TEMAS Y SUBTEMAS POR NIVELES
BÁSICA PRIMARIA
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR DESDE VARIAS ESTRATEGIAS
EL ÁBACO Y SUS MARAVLLAS
LAS REGLETAS DE COUSINIERE
GEOMETRÍA CON PAPELITOS Y CUBOS
TRUCOS MATEMÁTICOS
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PRIMARIA, 6º Y 7ºCALCULADORA DIGITAL
(1º PARTE)
TABLAS MÁGICAS
TABLAS DE DOBLE ENTRADA
RAÍZ CUADRADA DESDE LOS DIVISORES
LA MATEMÁTICA EN OTRAS CULTURAS
MATEMÁTICA EN UN 2X3
LOS FRACCIONARIOS
RETOS MATEMÁTICOS
REGLETAS DE CUISENAIRE
ENTRE OTROS
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8º Y 9º
CUADRADOS Y
TRIÁNGULOS MÁGICOS
CALCULADORA
DIGITAL (2º PARTE)
(ÁLGEBRA)
ROMPECABEZAS
ALGEBRAICO
TABLA DE DOBLE ENTRADA Y LOS PRODUCTOS NOTABLES
MATEMÁTICA EN UN 2X3 (2ª PARTE)
DESAFIOS MATEMÁTICOS
LA FACTORIZACIÓN EN 4 PASOS
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10º Y 11º
GANÁNDOLE A LA CALCULADORA
CALCULADORA TRIGONOMÉTRICA
ALGO DE CÁLCULO EN LAS MANOS
DIDÁCTICA DEL CÁLCULO
GRÁFICA DE FUNCIONES Y SU DESPLAZAMIENTO
LA FACTORIZACIÓN EN 2 PASOS
EL GEOPLANO Y LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
EL TANGRAN Y PIEZAS DE SOMA
TRUCOS CON CARTAS Y MONEDAS Y MUCHO MÁS...
32
¿PENSANDO=INTERPRETANDO?
33
TABLAS DE MULTIPLICAR
DESDE LA GEOMETRÍA
CONSTRUIMOS VARIOS CUADRADOS. CADA UNO DE ELLOS ACTUARÁ COMO LA UNIDAD:
34
RESOLVAMOS 2X3
COLOCAMOS 2 PAPELITOS VERTICALMENTE:
35
LUEGO, COLOCAMOS HORIZONTALMENTE, 3 PAPELITOS
CONTANDO CON UNO DE LOS YA EXPUESTOS:
36
PEDIMOS AL JÓVEN QUE COMPLETE LA FIGURA:
¿CUÁNTOS CUADRADOS CUENTA? R/ 6
ENTONCES 2X3=6 Y 6 ES UN NÚMERO RECTÁNGULAR
37
VEAMOS AHORA 3X3
COLOCAMOS 3 CUADRITOS VERTICALMENTE
38
Y LUEGO, COLOCAMOS 3 CUADRITOS HORIZONTALMENTE,
CONTANDO CON EL YA EXPUESTO
39
LE PEDIMOS QUE COMPLETE LA FIGURA:
¿CUÁNTOS CUADRITOS SE CUENTAN? R/ 9
ENTONCES 3X3=9 Y 9 ES UN NÚMERO CUADRADO
PERFECTO, PORQUE SE FORMA UN CUADRADO DE LADO 3.
40
41
TABLAS MANUALES (UNA POR UNA)
TABLA DEL 9.
Enumeramos los dedos de nuestras manos del 1 al 10
así:
42
EJEMPLOS:
Obtengamos en nuestras manos 9*5:
Cuento en las manos desde el 1 al 5, y bajo el último dedo.
Ahora basta con contar cuantos dedos hay antes (4) y después (5) del dedo acostado, para obtener 45.
43
Obtengamos en nuestras manos 9*6
Cuento en las manos desde el 1 al 6, y bajo el último
dedo.
Ahora basta con contar cuantos dedos hay antes y
después del dedo acostado, para obtener 54.
44
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR EN
LAS MANOS
45
TABLAS EN EL PAPEL
SE TOMA LO QUE LE FALTA A CADA FACTOR PARA
LLEGAR A 10.
SE MULTIPLICAN DICHAS DIFERENCIAS ENTRE SÍ.
(ESTA SERÁ LA ÚLTIMA CIFRA)
SE OBTIENE LA RESTA CRUZADA ENTRE UN
FACTOR Y UNA DIFERENCIA. (ESTA SERÁ LA
PRIMERA CIFRA)
46
47
CALULADORA DIGITAL
Como las tablas de multiplicar del 1 al 5, son relativamente
fáciles, trabajaremos con las tablas mayores al 5.
Enumeramos nuestros dedos del 6 al 10 en ambas manos.
48
EJEMPLOS
Si quisiéramos multiplicar 7*7; procederíamos así:
Contamos en una mano hasta 7 bajando los dedos
En la otra mano realizo lo mismo de acuerdo al segundo factor.
49
C) Cada dedo acostado vale por diez. En este caso tenemos 40.
D) Los dedos que quedan parados se multiplican entre sí y se suman al valor anterior. En este caso, 3*3 =9
Entonces 7*7 =40+9 =49
50
Para obtener 7*8 procedemos de igual forma que el
anterior
DEDOS ACOSTADOS: 5X10= 50+
DEDOS PARADOS: 2X3= 6 .
5651
TABLAS DEL 11 AL 15
ENUMERAMOS LOS DEDOS DE CADA MANO DEL 11 AL 15
ACÁ SÓLO TRABAJAN LOS DEDOS ACOSTADOS
Y AL FINAL HAY QUE SUMAR UNA CONSTANTE DE 100
52
VEAMOS: 12X12
DEDOS ACOSTADOS: 4X10= 40
DEDOS ACOSTADOS 2X2= 4
MÁS 100 100
144
53
ANALICEMOS 13X11
DEDOS ACOSTADOS: 4X10= 40
DEDOS ACOSTADOS: 3X1= 3
MÁS 100 100
143
54
CALCULADORA DIGITALHAGA CLIC PARA VISUALIZAR VIDEO
55
NUESTRAS MANOS SE CONVIERTEN
MÁGICAMENTE EN UNA CALCULADORA
CIENTÍFICA.
56
EL ÁLGEBRA EN NUESTRAS
MANOS
57
Se analiza un poco el manejo de las variables (letras) en nuestras manos.
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
1. Suma de variables: Basta doblar los dedos de la variable respectiva, contar dichos dedos y acompañarlo de la variable.
2. Resta de variables semejantes: El mismo proceso de la suma pero no olvide que está restando.
No olvide: a) Tome los valores en cada mano según lo indique el ejercicio, haga la resta de dedos (vaya anulándolos) y si el resultado queda en la mano derecha será negativo.
58
MULTIPLICANDO VARIABLES
59
1) Doble los dedos de las variables
2) El exponente lo dará el número de dedos acostados.
Ejemplo: * =
(2+2=4 dedos acostados)
.=
DIVIDIENDO VARIABLES
60
1 Tomo la mayor potencia de la variable en la mano izquierda y resto dichos valores (dedos acostados).
2) Si la diferencia me da en la mano izquierda el exponente es positivo; en la mano derecha da
exponente negativo.
Ejemplo:
“SE APRENDE TANTO
JUGANDO COMO …
… SE JUEGA TANTO
MIENTRAS SE APRENDE “
61
MATEMÁTICAS EN UN 2*3: Multiplicando rápido por los múltiplos de 5:
Multiplicación por 5: Es fácil multiplicar por 5; sólo debes sacar la mitad del factor y agregar un cero.
EJEMPLOS: 120*5 = mitad de 120 es 60 y un cero = 600
84*5 = mitad de 84 es 42 y un cero = 420
17*5= mitad de 17 es 8,5 y quitamos la coma =85
Multiplicación por 15: Obtengo la mitad del número
Sumo esta mitad al número original y agrego un cero.
EJEMPLOS: 120*15= mitad de 120 es 60; 60+120= 180 Y un cero= 1800
84*15= mitad de 84 es 42; 42+84= 126 y un Cero =1260
17*15= mitad de 17 es 8,5; 17+8,5=25,5 y quitando la coma=255.
62
MULTIPLICANDO POR NÚMEROS ENTRE 11 Y 19
MULTIPLICO UNIDAD X UNIDAD
A UN FACTOR LE SUMO LAS UNIDADES DEL OTRO
17* 14* 15*
11 13 19
7 12 45
18 17 24 .
187 182 28563
MULTIPLICANDO VALORES ENTRE 21 Y 29
MULTIPLICO UNIDAD X UNIDAD
A UN FACTOR LE SUMO LAS UNIDADES DEL OTRO
POR ÚLTIMO DUPLICO Y MÁS LO QUE LLEVO
24* 22* 21*
28 23 25
32 6 5
32X2=64Y3 25X2=50 26X2=52
672 506 525
64
MULTIPLICANDO POR 9,99,999.
SE RESTA 1 AL OTRO FACTOR
SE COLOCA LO QUE LE FALTA A CADA CIFRA (MENOS LA ÚLTIMA) PARA LEGAR A 9
LO QUE LE FALTA A LA ÚLTIMA CIFRA PARA LLEGAR A 10
4532* 352* 128*
9999 9999 . 99999 .
4531 . 351 . ?
546 . 964 .
8 . 8 .
45315468 3519648
65
MULTIPLICANDO NÚMEROS CERCANOS A 100 Ó A 1000
SE TOMAN LAS DIFERENCIAS DE CADA FACTOR CON EL 100 Ó EL 1000
SE MULTIPLICAN ENTRE SÍ DICHAS DIFERENCIAS (FORMANDO 2 ó 3 CIFRAS)
SE RESTA EN X UN FACTOR CON UNA DIFERENCIA
98X96= 08 = 9408 97X99= 03 = 9603
2 4 3 1
997X996= 012 = 993012 995X998= ?
3 4 66
“APRENDER DEBE
SER UN HOBBY ( GUSTO)
Y NO UNA CARGA DE
INÚTILES FORMULISMOS”
“CUALQUIER ESPACIO
HA DE SER LABORATORIO
PARA GENERAR AMOR
HACIA EL CONOCIMIENTO”
67
CUADRADOS DE LOS NÚMEROS DEL 11 AL 19
UNIDAD AL CUADRADO
SUMO BASE + SUS UNIDADES
112= 1*1=1 Y 11+1=12 121
122 = 2*2=4 Y 12+2= 14 144
142 = 4*4=16 Y 14+4= 18+1=19 196
152= ?
68
CUADRADOS DE NÚMEROS TERMINADOS EN 5
SIEMPRE TERMINA EN 25
MULTIPLICO LAS DECENAS DE LA BASE POR EL NÚMERO SUCESOR
252 = 25 Y 2X3= 6 625
452 = 25 Y 4X5= 20 2025
852 = ?
69
FRACCIONES DE IGUAL NUMERADOR SUMA O ADICIÓN:
1 + 1 = 5 (SUMO DENOMINADORES)
2 3 6 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
2 + 2 = 12 (DOBLE SUMA DENOMINADORES)
2 4 8 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
1 + 1 = 5 ?
2 3 6
70
FRACCIONES DE IGUAL NUMERADOR RESTA:
1 – 1 = 1 (RESTO DENOM HACIA LA IZQUIERDA)
2 3 6 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
2 – 2 = -2 (DUPLICO DENOMINADORES Y RESTO)
4 3 12 (MULTIPLICO DENOMINADORES)
1 1 = 1
2 – 3 6
71
72
ÁBACO BINARIO
74
FRACCIONES DECIMALES
3 + 2 = 32
10 100 100
0.3+0.02=0.32
75
ÁBACO ALGEBRAICO
3 X2 + 2X + 4
76
¿INGLÉS EN EL ÁBACO?
77
ROMPECABEZAS ALGEBRAICO El álgebra toda en un rompecabezas:
Aquí el trabajo fundamental radica en la construcción del rompecabezas algebraico. Debemos construir las siguientes piezas
81
CONSTRUYAMOS EL MATERIAL
CONSTRUIMOS UN CUADRADO CUYO LADO SEA IGUAL A LA
UNIDAD (1)
AL CALCULAR SU ÁREA: LADO * LADO (1*1= 1) OBTENEMOS
1 Y REALIZAMOS MÍNIMO 10 DE ELLOS.
82
CONSTRUIMOS UN RECTÁNGULO CUYA ALTURA SEA IGUAL A
LA UNIDAD Y DE BASE CUALQUIER MEDIDA ( QUE
LLAMAREMOS X )
AL CÁLCULAR SU ÁREA: BASE * ALTURA
( X*1 = X ) OBTENEMOS LA VARIABLE X Y REALIZAMOS MÍNIMO
10 DE ELLOS.
83
CONSTRUIMOS OTRO RECTÁNGULO CUYA ALTURA SEA IGUAL
A LA UNIDAD Y DE BASE CUALQUIER MEDIDA PERO
DIFERENTE A X ( LA LLAMAREMOS “Y” )
AL CÁLCULAR SU ÁREA: BASE * ALTURA
( Y*1 =Y ) OBTENEMOS LA VARIABLE Y
84
CONSTRUIMOS LOS CUADRADOS DE LADO IGUAL A LA VARIABLE X ;
PARA OBTENER EL ÁREA CORRESPONDIENTE A X2 . DE
IGUALFORMA PARA Y2
Y POR ÚLTIMO UN RECTÁNGULO DE DIMENSIONES X e Y PARA
FORMAR EL ÁREA CORRESPONDIENTE A X*Y.
85
86
EJEMPLOS Si quisiéramos factorizar: X2 + 5x +6.
Reunimos todas esas áreas y trato de formar un
Cuadrado o rectángulo así:
Y la respuesta es su área total:
(x + 3) (x + 2)
X2 +5x+6= (x+3) (x+2) 87
AL FACTORIZAR 4 Y2+4Y+1, DISPONEMOS EN
FORMA DE CUADRADO O RECTÁNGULO LAS ÁREAS
SOLICITADAS
DE DONDE SE DEDUCE QUE:
4 Y2+4Y+1 = ( 2Y+1 ) ( 2Y+1 )
88
PARA TRABAJAR POLINOMIOS CON COEFICIENTE NEGATIVO
NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO Y SUS
SIGNOS POSITIVO Y NEGATIVO ASÍ:
89
PARA FACTORIZAR: X2-1 (DIFERENCIAS DE CUADRADOS)
COLOCAMOS LAS ÁREAS (X2 ) Y (1) EN EL PLANO
SEGÚN SU SIGNO:
90
DEBEMOS COMPLETAR UN CUADRADO O
RECTÁNGULO
EN ESTE CASO PODEMOS SUMAR Y RESTAR EL ÁREA
CORRESPONDIENTE A X ; y PARA ELLO COMPLETAMOS LA
FIGURA
X+1
X + 1
X-1
Y SI HALLAMOS SU ÁREA TOTAL TENEMOS: BASE X ALTURA
ENTONCES X2 -1= (X+1) (X-1)91
“NO SÓLO DE PAN
(CONOCIMIENTO) VIVE EL
HOMBRE”
92
VEAMOS UNA MULTIPLICACIÓN DE
POLINOMIOS (2X+2) (X+3)
COLOCO LAS FICHAS O ÁREAS DEL FACTOR
BASE (2X+2)
93
Y ACOMODAMOS LAS FICHAS QUE
CONFORMAN LA ALTURA (X+3)
DEBO CONTAR CON EL NÚMERO (1) COLOCADO EN
LA BASE
94
COMPLETAMOS EL CUADRADO O
RECTÁNGULO, CON LAS PIEZAS ADECUADAS
EL RESULTADO SERÁ LA SUMA DE TODAS LAS FICHAS O ÁREAS QUE CONFORMAN LA FIGURA, ES DECIR:
(2X+2) (X+3) = 2X2 +8X+6
95
ALGO MÁS DEL ROMPECABEZAS ALGEBRAICO
LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS
PRODUCTOS NOTABLES
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
LA FACTORIZACIÓN EN 4 ó 2 CASOS
96
ECUACIONES CON EL ROMPECABEZAS
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
a) 2X – 3 = X +4
1) DISPONGO LAS
FICHAS DE IGUAL
FORMA COMO LO
INDICA EL
EJERCICIO
97
2X – 3 = X + 4
2) HAGO LA
TRASPOSICIÓN DE
TÉRMINOS,
DESLIZÁNDOLOS
HORIZONTALMENTE
98
2X-3=X+4
ELIMINO O SIMPLIFICO
VALORES IGUALES
(VERTICALMENTE)
Y LEO
HORIZONTALMENTE EL
RESULTADO
(O FORMO GRUPOS
IGUALES PARA CADA X
SEGÚN EL # DE X)
99
100
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1) X+Y = 6 2) X -Y = 2
DISPONEMOS LAS PIEZAS, SEGÚN LO INDICA EL SISTEMA
101
CALCULADORA DIGITAL TRIGONOMÉTRICA
102
ÁBACO NEPERIANO ÁBACO INVENTADO POR JOHN NAPIER PARA
REALIZAR PRODUCTOS Y COCIENTES DE NÚMEROS
103
Multiplicación
PROVISTOS DEL CONJUNTO DESCRITO, SUPONGAMOS QUE
DESEAMOS CALCULAR EL PRODUCTO DEL NÚMERO 46785399
POR 7. EN EL TABLERO COLOCAREMOS LAS VARILLAS
CORRESPONDIENTES AL NÚMERO, TAL COMO MUESTRA LA
FIGURA. HACIENDO POSTERIORMENTE LA LECTURA DEL
RESULTADO EN LA FRANJA HORIZONTAL CORRESPONDIENTE AL 7 DEL CASILLERO DEL TABLERO, OPERACIÓN QUE SOLO
REQUIERE SENCILLAS SUMAS, CON LLEVADA NATURALMENTE DE LOS DÍGITOS SITUADOS EN DIAGONAL.
104
46785399 por 7
105
46785399
x 96431
46785399
X 96431
46785399
140356197
187141596
280712394
421068591
4511562810969
106
LÁPIZ INVISIBLE PODRÍAN CONSTRUIR LA H O LA F MAYÚSCULA SIN
LEVANTAR EL LÁPIZ NI REPISAR.
QUE TAL SI INTENTAN CONSTRUIR LOS SIGUIENTES
DIBUJOS SIN LEVANTAR EL LÁPIZ DEL PAPEL NI REPISAR.
107
REGLETAS CUISENAIRE EL NÚMERO NATURAL Y LAS OPERACIONES CON
NÚMEROS NATURALES PUEDEN TRABAJARSE CON AYUDA DE DISTINTOS MATERIALES.
- UN MATERIAL DIDÁCTICO ESPECÍFICO LO CONSTITUYEN LAS REGLETAS CUISENAIRE. SUPONEN LA APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS A UN CONTEXTO DE MEDIDA.
108
REGLETAS CUISENAIRE LAS REGLETAS CUISENAIRE SON BLOQUES DE MADERA DE
DISTINTAS LONGITUDES Y COLORES , QUE SE EMPLEAN PARA CONTAR Y OPERAR CON CANTIDADES REALES.
109
CON LAS REGLETAS SE PUEDEN HACER ACTIVIDADES ADITIVAS COMO LA CONSTRUCCIÓN DE TRENES CON DOS O MÁS REGLETAS Y LUEGO MEDIR SU TOTALIDAD CON UNA ÚNICA REGLETA ; TAMBIÉN SE PUEDEN HACER ACTIVIDADES DE SUSTRACCIÓN COMO DETERMINAR EL COMPLEMENTO DE UNA REGLETA RESPECTO DE OTRA MAYOR.
CONVIENE ESTUDIAR LAS COMPOSICIONES Y DESCOMPOSICIONES ADITIVAS DE LOS NÚMEROS, PARA CONOCERLOS EN SUS RELACIONES CON LOS DEMÁS. POR EJEMPLO, AL ESTUDIAR 5 SE DEBE VER QUE : 0+5 = 5 ; 1+4 = 5 ; 2+3 = 5 ; 3+2 = 5 ; 4+1 = 5 ; 5+0 = 5. INVERSAMENTE, QUE TAMBIÉN 5 = 5+0 ; 5 = 4+1 ; 5 = 3+2 ; 5 = 2+3 ; 5 = 1+4 ; 5 = 0+5 ; 5 = 1+1+1+1+1.
110
Trabajando sólo con regletas blancas y naranjas se
puede incidir sobre la estructura del sistema de
numeración decimal (la blanca es la unidad, la naranja
es la decena) y aplicar a las relaciones aditivas
111
Y PARA NO OLVIDAR TABLAS MÁGICAS (4, 8, 9 Y 5)
DOBLANDO PAPEL
EN EL GEOPLANO
CON PAPEL CALCANTE
TABLAS PARA DIVIDIR
RAÍZ CUADRADA DESDE LOS DIVISORES
SUMAS RÁPIDAS
112
¿SERÁ POSIBLE UNIR DIVERSIÓN CON CONOCIMIENTO?
113
LOS 8 INSEPARABLES COLOCAR LOS NÚMEROS DEL 1 AL 8 (UNA SOLA VEZ) DE TAL
FORMA QUE NÚMEROS COSECUTIVOS NO QUEDEN JUNTOS
VERTICAL, HORIZONTAL NI DIAGONALMENTE
114
LA DIDÁCTICA DEL CÁLCULOEL VALOR ABSOLUTO: X
ENTIÉNDASE ÉSTE COMO LA DISTANCIA DE UN VALOR REAL AL CERO:
-8 = LA DISTANCIA DEL -8 AL CERO ES 8
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8
5 = LA DISTANCIA DEL 5 AL CERO ES 5
0 1 2 3 4 5
5115
RESOLVAMOSLA INECUACIÓN: X-3 2
UBICAMOS EN LA RECTA EL VALOR 3:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
CON EL COMPÁS, HACIENDO CENTRO EN 3 Y UNA ABERTURA
IGUAL A 2, HACEMOS ARCO A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA
DE 3 3+2
(//////////////)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3-2
LA SOLUCIÓN SERÁ EL INTERVALO S= (1,5)
116
RESOLVAMOSX+2 3 X-(-2) 3
UBICAMOS EN LA RECTA EL VALOR -2:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 CON EL COMPÁS, HACEMOS CENTRO EN EL -2 Y CON UNA
ABERTURA IGUAL A 3, REALIZAMOS ARCO A LA IZQUIERDA Y A
LA DERECHA PERO HACIA FUERA
-2+3
//////////////) (//////////////////
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2 -3
LA SOLUCIÓN SERÁ: S= (-00, -5) U (1, +00) 117
LAS MATEMÁTICAS EN OTRAS CULTURAS LOS EGIPCIOS, POR EJEMPLO, PARA SUMAR
ABREVIADAMENTE, SIN SABER QUIZÁ EMPLEABAN EL
SISTEMA BINARIO O EN BASE DOS YA QUE SU MÉTODO LO
QUE HACIA ERA DUPLICAR Y LUEGO SELECCIONABAN EL
RESULTADO.
118
MULTIPLICACIÓN EGIPCIA1. MULTIPLICAR 12X24
TOMAMOS EL FACTOR MAYOR (24) Y LO DUPLICAMOS O DOBLAMOS EN AMBAS COLUMNA, ASÍ:
1 24 DOBLAMOS
DOBLAMOS 2 48
4 96
8 192
119
12 X 24 (EGIPTO) EN LA COLUMNA DE LA IZQUIERDA, OBTENEMOS
LOS SUMANDOS QUE GENERAN EL FACTOR
MENOR.
Y EN LA COLUMNA DE LA DERECHA, HASTA
SUMAR SUS RESPECTIVOS SUMANDOS PARA
OBTENER EL RESULTADO.
1 24
2 48
4 96
8 192
12 288
120
MULTIPLICACIÓN PITAGÓRICA O GRIEGA
LOS GRIEGOS FUERON MÁS CREATIVOS Y EMPLEARON EL
SIGNO X (POR) CREANDO COLUMNAS O DIAGONALES ENTRE
EL.
1 5 10 100 1000 10.000
ANALICEMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
121
123 X 258A. CONSTRUIMOS EL SIGNO X
B. UBICAMOS LOS FACTORES EN FORMA DIAGONAL
122
123 X 258 (GRECIA)C. OBTENEMOS LOS PRODUCTOS PARCIALES
BUSCANDO UBICARLOS CORRECTAMENTE.
123
MULTIPLICACIÓN MUSULMANA O ÁRABE
APLICADA EN CASI TODA EUROPA EN TIEMPOS DEL DESCUBRIMIENTODE AMÉRICA.
SE ACOMODAN LOS FACTORES EN UN ARREGLO RECTÁNGULAR Y SE SUMAN LOS RESULTADOS EN FORMA DIAGONAL. VEAMOS:
124
293 X 10421)
CONSTRUYO UNA TABLA O RECTÁNGULO SEGÚN LAS CIFRAS DE LOS FACTORES Y TRAZO LAS DIAGONALES DE CADA CUADRITO.
125
293 X 1042 (ÁRABE) 2) OBTENGO LOS PRODUCTOS PARCIALES
TENIENDO EN CUENTA QUE 2X3=06 Y 5X1=05.ANALICEMOS ALGUNOS PRODUCTOS.
126
293 X 1042 (ÁRABE)3) TERMINAMOS DE OBTENER LOS PRODUCTOS Y EL
RESULTADO LO DARÁ LA SUMA DE CADA UNA DE LAS DIAGONALES:
SUMAR
LUEGO: 293 X 1042 = 305306.
127
MULTIPLICACIÓN FULMÍNEA
RESULTA INTERESANTE EL PROCEDIMIENTO PARA
MULTIPLICAR DOS NÚMEROS DE VARIAS CIFRAS
INDICADO POR MATEMÁTICOS COMO “FOURIER”
EN 1831; “CAUCHY” EN 1840, EN EL QUE SE
PROCEDE DE IZQUIERDA A DERECHA.
128
PASO 1: ESCRIBIMOS UN FACTOR FIJO Y EL OTRO EN UNA TIRA DE PAPEL (FACTOR MÓVIL) PERO INVERTIDO. SE DISPONE SUCESIVAMENTE DEBAJO DEL MULTIPLICANDO, HASTA QUE SU ÚLTIMA CIFRA SE COLOQUE EN LA VERTICAL QUE PASA POR LA CIFRA FINAL DEL FIJO.
PASO 2: EN CADA CASO SE VÁ OBTENIENDO EL PRODUCTO (SU SUMA) DE LAS CIFRAS QUE COINCIDEN Y SE VA COLOCANDO EN DIAGONAL AL FRENTE PARA OBTENER EL PRODUCTO FINAL.
129
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS: 892 X 136 (FULMÍNEA)
892 FACTOR FIJO
634 FACTOR MÓVIL
892
634 32
634 60 (36+24)
634 83 (8+27+48)
634 60 (54+6)
634 12
388912130
MULTIPLICACIÓN RUSA Y CHINA (ALDEANA)
PARECE SER QUE LOS ANTIGUOS PUEBLOS DE RUSIA
Y CHINA NO EMPLEABAN LAS TABLAS PITAGÓRICAS Y
SE DEDICABAN SIMPLEMENTE A DOBLAR (DUPLICAR)
UN FACTOR Y A REDUCIR A LA MITAD EL OTRO
FACTOR. VEAMOS
(10) (20) (30) (40) (50) (60) (70) (80) (90)
131
RESOLVER 12X35 COMO EN CHINA-RUSIA
12 X 35
6 70
MITAD 3 140
DOBLE
1 280
1) AL MENOR FACTOR SE
LE EXTRAE LA MITAD EN
FORMA SUCESIVA,
DESPRECIANDO
RESIDUOS SI LOS HAY,
MIENTRAS EL FACTOR
MAYOR SE VÁ
DOBLANDO.
132
12 X 3512 X 35
6 70
3 140
1 280
420
1) POR EL LADO DEL FACTOR MENOR, DONDE SE OBTUVO COCIENTE PAR SE TACHAN SUS VALORES.
2) EL RESULTADO SERÁ LA SUMA DE LOS VALORES, NO TACHADOS, EN LA COLUMNA DEL FACTOR
MAYOR.
133
CUADRADOS MÁGICOS SON AQUELLOS CUADRADOS EN LOS CUALES
SE CUMPLE QUE: “LA SUMA DE LOS NÚMEROS
DE CADA FILA, COLUMNA O DIAGONAL ES LA
MISMA”
EXISTEN CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN
IMPAR (COMO EL DE 3X3 Ó 5X5) Y DE ORDEN
PAR (COMO EL DE 4X4 Ó 6X6). VEAMOS SU
CONSTRUCCIÓN Y DESARROLLO.
134
1) EN EL SIGUIENTE CUADRADO MÁGICO DE
3X3 COLOCAR LOS NÚMEROS DEL 1 AL 9 (SIN
REPETIRLOS) DE TAL FORMA QUE LA SUMA
EN CUALQUIER DIRECCIÓN SEA 15.
SUMA=15 S= L + L
2
DONDE L= VALOR DEL LADO DEL CUADRADO
135
CUADRADOS DE ORDEN PAR COLOCAR LOS NÚMEROS DEL 1 AL 16 (SIN
REPETIRLOS) DE TAL FORMA QUE LA SUMA EN
CUALQUIER DIRECCIÓN SEA 34.
SUMAR= 34
136
LOS ROMANOS EN EL ÁBACO JGB DE JUAN GUILLERMO
C M D X C L I X V I
137
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA EN EL ÁBACO JGB DE JUAN GUILLERMO
138
ÁBACO PLANO JGBHAGA CLIC PARA VISUALIZAR EL VIDEO
139
LA MATEMÁTICA Y LA FÍSICA EN UNA PIRÁMIDE PERMITE DINAMIZAR EL MUNDO DE LAS FÓRMULAS Y
ECUACIONES
140
EL ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL
ES UN MATERIAL DIDÁCTICO QUE PERMITE OPERAR
O REALIZAR CÁLCUOS MATEMÁTICOS (ARITMÉTICOS,
GEOMÉTRICOS, ALGEBRAICOS, TRIGONOMÉTRICOS)
EN UNA FORMA MÁS CPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y
LÓGICA YA QUE TOMA COMO BASE LA GEOMETRÍA Y
EVOLUCIÓNA EN EL PENSAMIENTO HASTA LOGRAR
GENERALIZAR O ABSTRAER RESULTADOS EN UN
CAMPO NO TAN CONCRETO COMO EL ÁLGEBRA Y LA
TRIGONOMÉTRIA.
141
MATERIAL EN UN CARTÓN PAJA, MADERA O ACRÍLICO
DISEÑAR Y RECORTAR:1) UN CUADRADO QUE ACTUARÁ COMO UNIDAD:
2)UN RECTÁNGULO QUE ACTUARÁ COMO DECENA O
COMO CUALQUIER VARIBLE (PARA LAS FRACCIONES ACTUARÁ COMO LA UNIDAD)
Ó
142
3) UN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUARÁ COMO CENTENA O CUADRADO DE CUALQUIER VARIABLE)
4) DE IGUAL FORMA PODRÍAMOS OBTENER LAS FRACCIONES Y SUS RESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE ACÁ OTRAS VARIABLES)
143
5) PARA LA TRIGONOMETRÍA: RECORDEMOS QUE
Y QUE POR TEOREMA DE PITÁGORAS EN UNA CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO IGUAL A
1) ENTONCES
144
6) Y SE PUEDE LLEVAR AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA APROXIMACIÓN AL CONCEPTO Y COMPRENSIÓN DEL MISMO.
VEAMOS EN FORMA PRÁCTICA.
NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO:
- +
+ -
145
A) OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS:
1) 5+3=
DISPONGO UN RECTÁNGULO DE 5 UNIDADES EN EL I Ó III CUADRANTE POR ESTAR POSITIVO.
A CONTINUACIÓN, DISPONGO UN RECTÁNGULO DE 3 UNIDADES.
LA RESPUESTA SERÁ UN RECTÁNGULO DE 8 UNIDADES. (¡SIMPLE! ¿VERDAD?)
146
2) (-5) + (4) DISPONGO LOS
RECTÁNGULOS EN LOS CUADRANTES SEGÚN SUS SIGNOS.
OBSERVO QUE 4 POSITIVOS SE ANULAN Ó CANCELANCON 4 NEGATIVOS DANDO COMO RESPUESTA 1 NEGATIVO.
147
3) (3) POR (-2)
UN FACTOR LO COLOCO EN
UN SEMIEJE POSITIVO (X)
EL OTRO EN UN SEMIEJE
NEGATIVO (Y)
SE COMPLETA LA FIGURA Y
EL RESULTADO SE OBTIENE
CONTANDO EL NÚMERO DE
CUADROS.
= -6.
148
4) (12) POR (12)
= 144
149
B) OPERACIONES DE FRACCIONES.
1)
COLOCO UNA UNIDAD DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN SEMIEJE (X)
LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL OTRO SEMIEJE (Y)
SELECCIONO UN ÁREA CUYA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN SEXTOS.)
OBSERVEMOS QUE
Y
LUEGO
150
2) COLOCO LAS UNIDADES
FRACCIONADAS EN EL SEMIEJE ADECUADO.
SELECCIONO EL ÁREA DE BASE 4 Y ALTURA 2, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL (QUEDA DIVIDIDA EN DOCEAVOS)
OBSERVEMOS QUE:
Y
LUEGO:
151
TRIGONOMETRÍA: IDÉNTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS TENEMOS QUE:
152
“Y DIOS NOS DIÓ EL CONOCIMIENTO…
…Y HABITÓ ENTRE NOSOTROS” 153
PARA EL CÁLCULO:
1) DADA LA FUNCIÓN Y= X, SU DERIVADA Y = 1
SE PODRÍA ENTENDER COMO CUANTAS VECES SE NECESITA EL FACTOR X, PARA OBTENER LA FUNCIÓN Y= X (EN ESTE CASO 1 VEZ) O TAMBIÉN DERIVAR LA FUNCIÓN CON RSPECTO A X (1 Y X ORIGINAN Y= X)
154
2) DADA LA FUNCIÓN REAL Y= ; SU DERIVADA ___= =2X
AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN ÁREA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS EQUIS (2X).
155
156
157
158
EL ÁLGEBRA SIN LA TORTURA DE LAS LETRAS
SI INDAGAMOS UN POCO SOBRE EL ORIGEN DEL ÁLGEBRA, PODEMOS VISLUMBRAR SUS INICIOS, Y QUIZÁZ LOS DE LA MATEMÁTICA MISMA, ESTÁN EN LA GEOMETRÍA Y LA ELEMENTAL ARITMÉTICA.
VEAMOS ALGUNAS CONEXIONES O EVIDENCIAS.
159
AHORA SI, REEMPLAZO LA BASE 10 POR X O POR CUALQUIER LETRA) Y 100 POR
Y ASÍ SUCESIVAMENTE LOGRAMOS DICHA EQUIVALENCIA.
160
FACTORIZACIÓND)
161
ALGUNOS DE NUESTROS ENCUENTROS Y SUS SOCIOS
162
MÁS SOCIOS Y MAS ENCUENTROS
163
ENCUENTROS EN EL 2010
164
ENCUENTROS 2010
165
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