Matemáticas Financieras Avanzadas

MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS

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Sesión No. 4

Nombre: Interés compuesto. Calculo de Monto, Valor actual y tiempo.

Objetivo Al término de la sesión el estudiante aplicará el cálculo del valor actual de una

cantidad que recibirá o pagará en un tiempo futuro, a través de una serie de

ejercicios aplicativos.

Contextualización En esta sesión aprenderemos a calcular el valor actual o presente en un

momento determinado, de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo

posterior.

Asimismo, comprenderás a calcular el valor actual de deudas que devengan

interés.

Además, se calculará el tiempo en aquellas situaciones financieras donde esta

variable se desconoce.

Fuente: http://lanuevaeconomia.com/wp-content/uploads/2011/05/Tasa-de-cambio-tasa-de-inflaci%C3%B3n-y-Valor-Actual-Constante-en-proyectos-de-

inversi%C3%B3n.gif

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Introducción al Tema

A veces se sabe el monto que debe pagarse y se requiere determinar el capital a

invertir a una tasa de interés determinada, para llegar a tener dicho monto; se

está entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor

presente.

Fuente http://ciberconta.unizar.es/ifinanzas/dibujos/valoractualyfinal.JPG

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Explicación

Valor actual o presente

Para calcularlo se retorna a la fórmula: M = C (1+i)n

En la cual se despeja el capital: 𝐶 = 𝑀(1+𝑖)𝑛

= 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛

Generalizando, puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables

involucradas: monto (M), capital(C), tiempo(n) y tasa de interés (i), puede

calcularse la cuarta.

Ejemplo 1: Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de $850,000. Le

pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de año y medio, al

término de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable mensualmente?

Solución: Sr. Pérez paga en este momento $425,000 (50% de la operación) y

debe pagar el otro 50% en un plazo de año y medio, como se aprecia en la

siguiente gráfica:

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Para calcular la cantidad a depositar se utiliza la fórmula de capital:

𝐶 = 𝑀(1+𝑖)𝑛

= 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 n = año y medio = 18 meses

𝐶 = 425,000 �1 + 0.0612�−18

= 388,507.87 un año = 12 meses

A fin de garantizar el pago de su adeudo, Sr. Pérez debe depositar $388,507.87,

los cuales, con la reinversión de los intereses se incrementarán hasta formar el

monto de $425,000 en un plazo de año y medio.

Como se ve en este ejemplo C es el valor actual de M. esto es, puede

considerarse que el capital C y el monto son dos valores equivalentes dada una

determinada tasa de interés y un período también determinado.

En el campo de los negocios es indispensable considerar que el valor del dinero

cambia a través del tiempo, pues muchas veces se realizan inversiones en el

momento presente que generan flujos de efectivo que se recibirán dentro de uno

o más años. El valor presente de dichos flujos deberá compararse con la

inversión que se está realizando (también a valor presente) y, para lograrlo, se

deben descontar ambos, inversión e ingresos, a fin de poderlos comparar en

forma equivalente en el momento presente.

Ejemplo 2: La compañía de Novedades Actuales planea realizar una inversión

de $50,000 para producir un artículo de moda que espera le genere ingresos de

$80,000 dentro de 2 años. Si se considera una inflación promedio de 25% anual,

¿conviene la inversión?

Solución: se comparan los $50,000 que se deben invertir en el momento

presente con los $80,000 que se espera recibir en 2 años. Para hacerlo es

necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Se traen a valor presente

los $80,000 y así se tiene una misma base de comparación. La tasa de inflación

se acumula de la misma forma que el interés.

M = 80,000 n = 2 años, i = 0.25

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𝐶 = 80000(1 + 0.25)−2 = 51, 200

Los $80,000 que la empresa recibirá en dos años equivalen a $51,200

descontados de la inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con

el valor presente de la inversión y muestra que efectivamente se logrará una

utilidad $1,200 y que, por lo tanto, conviene invertir.

Valor actual de deudas que devengan interés

En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan interés y

de las cuales se quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidación.

Ejemplo 3: Se descuenta en un banco un documento de $500,000 con

vencimiento a 3 meses que devenga 2% de interés mensual. El banco lo

descuenta a una tasa de 22% anual. ¿Cuál es la cantidad que se recibe?

Se calcula el Monto original: Se calcula el valor actual:

M = 500,000(1+.02)3 C = 530,604(1+.22)-3/12

M = 530,604 C = 504,871.16

Como la tasa de interés cobrada por el banco es menor que la que se cargó en

el valor del documento, el acreedor tuvo un beneficio adicional.

Cálculo del Tiempo

Ejemplo 4: ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de interés a) de 36% anual convertible mensualmente, y b) de 24% anual también convertible mensualmente?

Solución: La fórmula que se utilizará para el cálculo del tiempo es:

𝑛 =log �𝑀𝐶�

log(1 + 𝑖)

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a) Ahora, dado que 𝑗12 = 0.36, el interés mensual 𝑖 = 0.36año

= 0.3612 meses

= 0.03

También C = 1000 y M = 2(1000) = 2000 porque se duplicará

Entonces 𝑛 =𝑙𝑜𝑔�20001000�

log (1+.03)= 23.45 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

b) 𝑖 = 24% año

= 24%12 meses

= 2% = .02 entonces 𝑛 =𝑙𝑜𝑔�20001000�

log (1+.02)= 35 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

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Conclusión

En esta sesión aprendimos a traer a valor presente un monto con vencimiento

futuro, además aplicamos el cálculo del tiempo que es una de las variables del

interés compuesto.

En la siguiente sesión se explicará el concepto de Anualidades.

Fuente: http://www.milenio.com/media/2010/09/06/mex-negocios-02.jpg

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Valor Presente/Valor actual. (2010). Consultado el 4 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=EdrtzvJNSsg

• Valor presente y futuro. (2010). Consultado el 4 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=pKD8cmh7nvo

• Ramirez, M. (20 de octubre del 2012). Despeje del tiempo en problemas

de interés compuesto. Consultado el 4 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=Qwad8K8gPKU

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca del cálculo de valor presente y tiempo,

aplica los conceptos para solucionar los siguientes ejercicios:

1) ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si

ha firmado un documento por $650,000 que incluye capital e intereses a

18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?

2) ¿Cuál era la población de un país hace diez años si en la actualidad tiene

81’765,000 habitantes y su tasa de crecimiento se estima en 3.2% anual?

3) Una distribuidora de automóviles ofrece a sus clientes 10% de descuento

en la compra al contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio al

contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses. ¿Que alternativa

debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés?:

a) 2%

b) 3%

c) 4%

4) ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $160,000.00 para que

junto con sus intereses sea de $500,000.00 si acumula intereses al 9%

semestral?

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

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Bibliografía

1. Cantú, Jesús. (2005). Matemáticas financieras. México: Banca y Comercio.

2. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw Hill.

3. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Educación.