ma ecuaciones diferenciales

0

ACADEMIA DE CIENCIAS BSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECD-CV

REV00

II

Directorio

Lic. Emilio Chuayffet Chemor

Secretario de Educacin

Dr. Fernando Serrano Migalln

Subsecretario de Educacin Superior

Mtro. Hctor Arreola Soria

Coordinador General de Universidades Tecnolgicas y Politcnicas

Dr. Gustavo Flores Fernndez

Coordinador de Universidades Politcnicas.

III

Pagina Legal.

Participantes

Adela Becerra Chvez Universidad Politcnica de Quertaro Baruch Campos Lpez Universidad Politcnica de Huatusco Ismael Osuna Galn Universidad Politcnica de Chiapas

Primera Edicin: 2013

DR 2013 Coordinacin de Universidades Politcnicas.

Nmero de registro:

Mxico, D.F.

ISBN-----------------

NDICE

Introduccin..................................................................................... 1

Ficha tcnica................................................................................... 3

Programa de Estudios.................................................................... 6

Desarrollo prcticas y actividades de aprendizaje.................. 8

Instrumentos de evaluacin diagnstica.. 13

Instrumentos de evaluacin sumativa.. 14

Glosario.. 21

Bibliografa...................................................................................... 25

1

INTRODUCCIN

En este manual se presenta la planeacin del curso Ecuaciones Diferenciales. El

contenido de este curso se ha desarrollado considerando que el estudiante ha tomado al

menos un curso bsico de clculo diferencial e integral y uno de lgebra lineal.

El objetivo de este curso es la descripcin de fenmenos fsicos (por ejemplo, un oscilador

harmnico, esquematizado en la pgina de presentacin), econmicos, biolgicos, entre

otros, mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), llamadas tambin, modelos

matemticos, las cuales contienen una funcin desconocida y una o ms de sus

derivadas. El proceso de creacin de un modelo matemtico de esta naturaleza

comprende:

La formulacin de un problema real en trminos matemticos.

El anlisis o solucin (si es posible) del problema matemtico resultante. La

interpretacin de los resultados matemticos en el contexto de la situacin original.

En este sentido, se recomienda al instructor y estudiantes solucionar ejercicios prcticos de

moderada dificultad, enfatizando en los tres aspectos del proceso antes mencionado.

Adems, como herramienta alternativa, los paquetes computacionales facilitan el anlisis

de EDO cuya solucin analtica es difcil de encontrar por las tcnicas convencionales que

se vern durante el curso.

El estudiante debe ser eficiente al aplicar conceptos de clculo y lgebra lineal como:

derivacin sucesiva e integracin, manejo de operadores lineales (matrices) cuando se

tiene un sistema de EDO, respectivamente.

El objetivo general de la asignatura es: Desarrollar la habilidades y capacidades en el

alumno para analizar y resolver problemas aplicados a la ingeniera que involucren

ecuaciones diferenciales ordinarias.

2

El curso comprende seis unidades. Introduccin a las ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de Primer Orden, Aplicacin de las ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden,

Aplicacin de las ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo Orden y Transformada de

Laplace.

Esta asignatura contribuye con sus conocimientos a que los estudiantes resuelvan

problemas relacionados con la ingeniera que impliquen ecuaciones diferenciales.

3

Nombre: Ecuaciones Diferenciales

Clave: ECD-CV

Justificacin:

Esta asignatura es una herramienta que se fundamenta en el clculo

diferencial, integral y vectorial permitiendo el modelado y anlisis de

sistemas fsicos aplicados a la ingeniera, por ejemplo sistemas dinmicos,

mecnicos, elctricos, ambientales, qumicos, trmicos, entre otros.

Objetivo: El alumnos ser capaz de analizar y resolver problemas aplicados a la

ingeniera que involucren ecuaciones diferenciales ordinarias

Conocimientos previos: Clculo diferencial e integral, lgebra lineal, Clculo Vectorial

Capacidades asociadas

1. Comprender los conceptos bsicos de la matemtica universitaria

2. Utilizar el lenguaje de la matemtica para expresarse correctamente

3. Formular problemas en lenguaje matemtico para facilitar su anlisis y solucin

4. Utilizar modelos matemticos para la descripcin de situaciones reales

5. Utilizar las herramientas computacionales de clculo numrico y simblico en el planteamiento y

resolucin de problemas

6. Aplicar el razonamiento lgico deductivo para la solucin de problemas

7. Trabajar con datos experimentales para contribuir a su anlisis

8. Manipular datos cuantitativos para extraer informacin cualitativa

9. Aplicar el conocimiento terico de la fsica, qumica o biologa a la realizacin e interpretacin de

experimentos.

10. Comprender los conceptos fundamentales y principios de la fsica, qumica o biologa, universitarias.

11. Aplicar conceptos, teoras y principios fsicos, qumicos o biolgicos para describir y explicar fenmenos

naturales.

12. Aplicar principios, leyes y teoras generales para encontrar soluciones a problemas particulares.

14. Dominar la terminologa, nomenclatura, convenciones y unidades utilizadas en fsica, qumica o la

biologa.

FICHA TCNICA

Ecuaciones Diferenciales

4

Estimacin de

tiempo (horas)

necesario para

transmitir el

aprendizaje al

alumno, por Unidad

de Aprendizaje:

Unidades de

aprendizaje

HORAS TEORA HORAS PRCTICA

Presencial

No

presencial

Presencial

No

presencial

Introduccin a

las ecuaciones

diferenciales

6 2 11 4

Ecuaciones

diferenciales

ordinarias de

primer orden

12 1 13 4

Aplicacin de

EDO de primer

orden

4 2 6 3

Ecuaciones

diferenciales

ordinarias de

orden superior

7 0 8 3

Aplicacin de

EDO de orden

superior

3 1 5 4

Transformada de

Laplace 8 2 7 4

Total de horas por

cuatrimestre: 120

Total de horas por

semana: 6

Crditos: 8

5

Bibliografa:

TTULO: Ecuaciones Diferenciales: y problemas con valores en la frontera

AUTOR: C. Henry Edwards

AO: 2009

EDITORIAL O REFERENCIA: Prentice-Hall

LUGAR Y AO DE LA EDICIN Mxico 2009, 4 edicin

ISBN O REGISTRO: ISBN: 9789702612858

TTULO: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

AUTOR: William E. Boyce

AO: 2007

EDITORIAL O REFERENCIA: Limusa

LUGAR Y AO DE LA EDICIN 2007, 11 edicin

ISBN O REGISTRO: 9681849744

TTULO: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

AUTOR: Dennis G. Zill

AO: 2009

EDITORIAL O REFERENCIA: Editorial Interamerica

LUGAR Y AO DE LA EDICIN Mxico, 2009 , novena edicin

ISBN O REGISTRO: ISBN-13: 978-970-830-055-1,

ISBN-10: 970-830-055-1

6

Presencial NO Presencial Presencial NO Presencial

Al completar la unidad de

aprendizaje el alumno ser

capaz de:

Clasificar ecuaciones

diferenciales,

Identificar la solucin

correspondiente

Relacionar sistemas fsicos y

de la ingeniera con un modelo

de ecuaciones diferenciales.

EC1 Solucin de un cuestionario donde

clasifique una ecuacin diferencial

segn el tipo, orden y linealidad.

EP1. Resolucin de problemario con

ejercicios para identificar si una funcin

dada es una solucin de una EDO.


ejercicios donde relacione sistemas

fsicos con su correspondiente modelo

representado por una ecuacin

diferencial

Exposicin y Discusin

guiadaEjercicios e investigacin X N/A N/A N/A N/A

Material impreso,

audiovisual

can,

computadora, pintarron,

plumones

6 2 11 4 Documental

Cuestionario de

clasificacin de

ecuaciones Diferenciales

Lista de cotejo para

problemario

Biblioteca



capaz de:

Resolver EDO de primer

orden por los mtodos de:

variables separables, con

coeficientes homogneos,

exactas y lineales.

EC1. Solucin de un cuestionario

donde reconozca las caractersticas de

una EDO de variables separables,

coeficientes Homogneos, exactas y

lineales de primer orden.


ejercicios de EDO de primer orden

utilizando los mtodos

correspondientes.

Exposicin

Taller de ejercicios y

practicas mediante la

accin

X N/A N/A N/A N/A Material impreso

can.


plumones

12 1 13 4 Documental

Cuestionario para

identificar el mtodo de

solucin de EDO de

primer orden


problemario



capaz de:

Seleccionar el mtodo a

utilizar para resolver las EDO de

primer orden.


ejercicios de ingeniera que impliquen

el uso de sistemas de ecuaciones

diferenciales de primer orden.

ED1. Realizacin de una prctica

donde resuelva un sistema fsicos que

impliquen el uso de EDO de primer

orden mediante simulacin, realizando

la comparacin de sus resultados

obtenidos.


Gua

Investigacin y Resolucin

de situaciones

problemticas

X X X N/A Modelo fsico Material impreso

can.


plumones

4 2 6 3Documental

De campo


problemario

Gua de observacin de

prcticas.

+El tipo de practica

depender del enfoque del

programa educativo

+Otro Espacio educativo:

biblioteca



capaz de:

Resolver EDO de orden

superior por los mtodos de:

coeficientes indeterminados,

variacin de parmetros y

Cauchy-Euler.

EC1. Solucin de un cuestionario

donde reconozca las caractersticas de

una EDO lineal de orden superior y sus

mtodos de resolucin.


ejercicios de EDO lineales de orden

superior.

Exposicin

Taller de ejercicios y

practicas mediante la

accin

X N/A N/A N/A N/A Material impreso

can.


plumones

7 0 8 3 Documental

Cuestionario de

identificar de

caractersticas de EDO de

orden superior.


problemario



capaz de:

Seleccionar el mtodo a

utilizar para resolver las EDO de

orden superior.


ejercicios de ingeniera que impliquen

el uso de sistemas de ecuaciones

diferenciales de orden superior.

ED1. Realizacin de una prctica

donde resuelva un sistema fsicos que

impliquen el uso de EDO de orden

superior mediante simulacin,

realizando la comparacin de sus

resultados obtenidos


Gua

Investigacin y Resolucin

de situaciones

problemticas

X X N/A N/A Modelo fsico II Material impreso,

can.


plumones

3 1 5 4Documental

De campo


problemario

Gua de observacin para

prcticas.

+El tipo de practica

depender del enfoque del

programa educativo

+ Otro espacio educativo

biblioteca

Al completar la unidad el

alumno ser capaz de:

Resolver EDO con el uso de

la transformada de Laplace.

EC1. Solucin de un cuestionario de

transformada y transformada inversa

aplicando las propiedades bsicas a

funciones compuestas.


ejercicios de ecuaciones lineales con

condiciones iniciales mediante la

transformada de Laplace.

Exposicin Taller y practicas mediante

la accinX N/A N/A N/A N/A

Material impreso,

formulario

can.


plumones

8 2 7 4 Documental

Cuestionario de

transformada y

transformada inversa de

Laplace


problemario

PROGRAMA DE ESTUDIO

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL GRUPO

RESPONSABLE:Academia de Ciencias Bsicas

NOMBRE DE LA

ASIGNATURA:Ecuaciones Diferenciales

CLAVE DE LA ASIGNATURA: ECD-CV

OBJETIVO DE LA

ASIGNATURA:El alumno ser capaz de analizar y resolver problemas aplicados a la ingeniera que involucren ecuaciones diferenciales ordinarias

UNIVERSIDADES

PARTICIPANTES:Universidades Politcnicas de: Huatusco, Chiapas y Quertaro

CONTENIDOS PARA LA FORMACIN

TOTAL HRS. DEL

CUATRIMESTRE:120 Horas

FECHA DE EMISIN: 8 de junio del 2010

ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE

OBSERVACINUNIDADES DE APRENDIZAJE

MOVILIDAD FORMATIVA

MATERIALES

REQUERIDOS

EQUIPOS

REQUERIDOS TCNICA

TOTAL DE HORAS

PRCTICA TERICA PRCTICA

PROYECTOINSTRUMENTO

Introduccin a las ecuaciones diferenciales

PARA LA

ENSEANZA

(PROFESOR)

PARA EL APRENDIZAJE

(ALUMNO)AULA LABORATORIO

EVIDENCIAS

TCNICAS SUGERIDAS

OTRO

ESPACIO EDUCATIVO

Transformada de Laplace

Ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden

Aplicacin de EDO de primer orden

Ecuaciones diferenciales ordinarias de

orden superior

Aplicacin de EDO de orden superior

RESULTADOS DE

APRENDIZAJE

8

Nombre de la

asignatura:


Nombre de la Unidad

de Aprendizaje Aplicacin de EDO de primer orden

Nombre de la prctica,

ejercicio o actividad de

aprendizaje:

Prctica de simulacin de un sistema de EDO de primer orden

Nmero : 1

Duracin (horas) : 15 horas

Resultado de

aprendizaje:

Seleccionar el mtodo a utilizar para resolver las EDO de primer orden.

Justificacin La finalidad de la prctica es que el alumno realice simulaciones apoyndose en

software de simulacin e interpreta resultados fsicamente.

Desarrollo

A continuacin se presentan una serie de ejercicios que permitirn fundamentar las actividades que se

han desarrollado en clase. Use software para encontrar la solucin e intrprete resultados.

1. La vida media del cobalto radioactivo es de 5.27 aos. Un accidente nuclear ha provocado que el nivel de

cobalto ascendi en una regin hasta 50 veces el nivel aceptable para la vida humana. Cunto tiempo

tiene que pasar para que la regin vuelva a ser aceptable?

2. Un objeto con peso de 500 Kg se hunde en el agua empezando del reposo. Dos fuerzas actan sobre l,

una fuerza de flotacin de 100 Kg y una fuerza de resistencia del agua la cual es numricamente igual a

100 v Kg donde v est en Kg/seg. Encuentra la velocidad recorrida despus de 5 seg y su velocidad lmite.

3. Un termmetro se saca de una habitacin, en donde la temperatura del aire es de 21.1 C, al exterior, en

donde la temperatura es de 12.2 C bajo cero. Despus de 1/2 min el termmetro marca 32.2 C. Cunto

tiempo demorar el termmetro en alcanzar los 9.4 C bajo cero?

PRACTICA GUA DE SIMULACIN DE UN SISTEMA DE EDO DE PRIMER

ORDEN

9

4. Haz el modelo para el circuito resistencia condensador (R - C). Debes modelar la ecuacin en trminos de

la carga Q(t).

5. Una batera de 24 Voltios se conecta en serie con una inductancia de Henrios y una resistencia de 20

Ohmios. Determine la intensidad de corriente i=i(t), si la intensidad inicial era igual a cero.

Evidencias a desarrollar:

EP1. Resolucin de problemario con ejercicios de ingeniera que impliquen el uso de sistemas de

ecuaciones diferenciales de primer orden.

10

Nombre de la

asignatura:


Nombre de la

Unidad de

Aprendizaje

Aplicacin de EDO de orden superior

Nombre de la

prctica,

ejercicio o

actividad de

aprendizaje:

Prctica de simulacin de un sistema de EDO de orden superior.

Nmero :

1

Duracin (horas) :

13 horas

Resultado de

aprendizaje: Seleccionar el mtodo a utilizar para resolver las EDO de orden superior.

Justificacin La finalidad de la prctica es que el alumno realiza interpretaciones de soluciones de

ecuaciones diferenciales apoyndose en software matemtico.

Desarrollo:

A continuacin se presentan una serie de ejercicios que permitirn fundamentar las actividades que se han

desarrollado en clase. Usando software matemtico, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

interpretando el resultado fsico.

1. Un resorte se estira 10 cm por una fuerza de 1 250 dinas. Una masa de 5 g se suspende del resorte y,

despus de que est en equilibrio, se estira 20 cm y se suelta. Asumiendo que hay una fuerza

amortiguadora en dinas igual a 30 v, donde v es la velocidad instantnea en centmetros por segundo,

encuentre en cualquier tiempo:

a. La posicin

b. La velocidad.

2. Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 Kg se sujeta al extremo del resorte y se la

suelta desde la posicin de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 10 m/seg. Halla la ecuacin

del movimiento para cualquier instante t

PRACTICA GUA DE SIMULACIN DE UN SISTEMA DE EDO DE ORDEN

SUPERIOR

11

3. El periodo de las oscilaciones libres no amortiguadas de una masa sujeta a un resorte es

4/ segundos. Si la constante del resorte es 16 lb/pie. Cul es el valor numrico del peso?

4. Suponga que est abierto un circuito simple en serie que consta de un inductor, un resistor y un

capacitor, y que hay una carga inicial de Q0 = 10 -8 coulombs (C) en el capacitor. Halle la carga en el

capacitor y la corriente que fluye en el circuito, despus de que el interruptor se cierra en cada uno de los

siguientes casos.

L H (henrys) c (farads)

R ohms

0.5 10-5 1000

1 10-4 200

2 10-6 2000

Evidencia a generar en el desarrollo de la prctica, ejercicio o actividad de aprendizaje:

EP. Resolucin de problemario con ejercicios de ingeniera que impliquen el uso de sistemas de ecuaciones

diferenciales de orden superior.

13

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN DIAGNSTICA

NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA:

MATERIA:

NOMBRE DEL MAESTRO:

Resuelve los siguientes ejercicios

1. Calcula las derivadas de las siguientes funciones

xxexf 3)(

2)( xsenxg

xxexh 3)(

x

xxh

ln

12)(

2. Calcula las siguientes integrales

xdxln

dxx 73 2

0

2cos dxxx

1

1

2

2

12

3dx

x

x

3. Calcule las derivadas parciales x

, y

, yx

2

,xy

2

yexyxyxf cos4),( 3

CALIFICACIN:

CUESTIONARIO GUIA DE EVALUACIN DE DIAGNSTICA

14

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN SUMATIVA


MATERIA:

NOMBRE DEL MAESTRO:

1. Identifica los elementos de las siguientes ecuaciones diferenciales.

ECUACION DIFERENCIAL Variable

Dependiente Orden

Ordinario o

Parcial

CUESTIONARIO GUA DE CLASIFICACIN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

15

2. Marque con L la ecuacin que sea lineal y con NL en caso contrario. Justifique su respuesta.

1. - )()( xbyxadx

dy (___)

2. - )cos(2 3 xyx

dx

dy

(___)

3.- x

dx

dy

dx

yd 22

2

)(4 (___)

CALIFICACIN:

16


MATERIA:

NOMBRE DEL MAESTRO:

De los siguientes ejercicios identifica cual o cuales serian los mtodos de solucin. Justifique su respuesta.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

CALIFICACIN:

CUESTIONARIO GUA PARA IDENTIFICAR EL MTODO DE SOLUCIN DE

EDO DE PRIMER ORDEN

17


MATERIA:

NOMBRE DEL MAESTRO:

De las siguientes ecuaciones diferenciales indique las caractersticas e indique un mtodo de solucin.

Justifique sus respuestas.

yy 4''

xdx

dy

dx

yd 22

2

)(4

222 2)'( yxy 1)0(y

CALIFICACIN:

CUESTIONARIO GUA PARA IDENTIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE EDO

DE ORDEN SUPERIOR

18


MATERIA:

NOMBRE DEL MAESTRO:

1. Calcule las transformadas de Laplace usando la definicin

2. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Laplace, verifique las siguientes igualdades.

3. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Laplace, verifique las siguientes igualdades.

CALIFICACIN:

CUESTIONARIO GUA DE TRANSFORMADA Y TRANSFORMADA INVERSA

DE LAPLACE

19

LISTA DE COTEJO PARA PROBLEMARIO

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE _____________

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIN

NOMBRE DEL ALUMNO: MATRICULA:

PRODUCTO: UNIDAD 1: EP1, EP2, UNIDAD 2: EP1, UNIDAD 3: EP1,

UNIDAD 4: EP1, UNIDAD 5: EP1, UNIDAD 6:EP1

FECHA:

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES PERIODO CUATRIMESTRAL:

NOMBRE DEL DOCENTE: FIRMA DEL DOCENTE:

INSTRUCCIONES

Revisar las actividades que se solicitan y marque en los apartados SI cuando la evidencia se cumple; en caso contrario marque NO. En la columna OBSERVACIONES indicaciones que puedan ayudar al alumno a saber cules son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario.

Valor del

reactivo Caracterstica a cumplir (Reactivo)

CUMPLE OBSERVACIONES

SI NO

10%

Presentacin:

El trabajo entregado cumple con los requisitos de:

Buena presentacin, orden y limpieza

Portada. (Nombre de la escuela o logotipo, Carrera, Asignatura, Nombre del Docente,

Nombre (s) de alumno (s), Grupo, Lugar y

Fecha de entrega).

50%

Resolucin del problema

Seleccionar los datos apropiados para resolver el problema

Conocer hechos y propiedades matemticas

Seleccionar y evaluar estrategias adecuadas para resolver el problema

Simbolizar en trminos matemticos

Manipular de forma estandarizada clculos, expresiones simblicas y frmulas

30%

Expresin del resultado

Representar el contenido matemtico en forma verbal y/o grfico

Expresar correctamente los resultados obtenidos al resolver problemas

10% Responsabilidad:

Entreg el reporte en la fecha y hora sealada

100% CALIFICACIN:

20

GUIA DE OBSERVACION PARA PRACTICAS

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE _____________

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIN

NOMBRE DEL ALUMNO: FIRMA DEL ALUMNO:

PRODUCTO: UNIDAD 3: ED1, UNIDAD 5: ED1 FECHA:

ASIGNATURA: ECUACIONES DIERENCIALES PERIODO CUATRIMESTRAL:

NOMBRE DEL DOCENTE: FIRMA DEL DOCENTE:

INSTRUCCIONES

Revisar las actividades que se solicitan y marque en los apartados SI cuando la evidencia se cumple; en caso contrario marque NO. En la columna OBSERVACIONES indicaciones que puedan ayudar al alumno a saber cules son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario.

Valor del

reactivo Caracterstica a cumplir (Reactivo)

CUMPLE OBSERVACIONES

SI NO

20%

Presentacin:

La prctica entregada cumple con los requisitos de:

Buena presentacin, orden y limpieza

50%

Resolucin del problema

Seleccionar los datos apropiados para resolver el problema

Conocer hechos y propiedades matemticas

Seleccionar y evaluar estrategias adecuadas para resolver el problema

Manipular de forma estandarizada clculos, expresiones simblicas y frmulas

Aplica las instrucciones computaciones suficientes y necesarias para mostrar la solucin del problema planteado.

30%

Expresin del resultado

Representar el contenido matemtico en forma verbal y/o grfico

Expresar correctamente los resultados obtenidos al resolver problemas

100% CALIFICACIN:

21

GLOSARIO

Bobina. Cilindro en el que se enrolla hilo conductor devanado.

Capacitancia. Es la razn entre la magnitud de la carga en cualquiera de los dos

conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.

Capacitor. Instrumento que proporciona capacitancia, es decir la propiedad de almacenar

energa elctrica por un mal conductor, cuando dos superficies separadas se mantienen a

una diferencia de potencial.

Conductancia . La recproca (1/R) de la resistencia. Se expresa en Siemens.

Conductor. Permite el libre paso de los electrones

Corriente elctrica. Flujo de electrones a travs de un conductor.

Condicin Inicial. Los valores dados de la funcin desconocida, )(xy , y de sus 1n

derivadas en un solo punto 0x : tal que )1(0)1(

1000 )(,,)(,)( nn yxyyxyyxy Se les

llaman condiciones iniciales.

Ecuacin diferencial. Una ecuacin diferencial es una igualdad donde intervienen una

funcin incgnita y sus derivadas operadas con funciones conocidas.

Ecuacin diferencial ordinaria. Es la Ecuacin diferencial de una sola variable.

Ecuacin diferencial parcial. Es la Ecuacin diferencial donde la funcin incgnita tiene dos

o ms variables. Ecuacin Diferencial Exacta. Una ecuacin diferencial

0),(),( dyyxNdxyxM es una ecuacin exacta en una regin R del plano xy si

corresponde a la diferencial de alguna funcin ),( yxf .

Ecuacin Numrica. Ecuacin cuyas cantidades estn representadas por nmeros.

Ecuacin Lineal. Una ecuacin lineal de primer orden, de la forma )()()( 01 xgyxadx

dyxa .

Es una ecuacin lineal.

Ecuacin de Variables Separables Dada una ecuacin lineal de primer orden, tal que

)()( yhxgdx

dy, Se denomina, separada, o de variables separables.

Ecuacin Caracterstica. Se le llama as a la ecuacin de la forma 001 araran

n

que se obtiene de sustituir la expresin rxey en la ecuacin

22

00'

1

1

1 yayayayan

n

n

n

Ecuacin de coeficientes constantes. Se define como la educacin de la forma

00'

1

1

1 yayayayan

n

n

n , Tal que ia con ni ,,1 , es constante.

Equivalente. Que tiene el mismo valor.

Expresin Algebraica. Se llama as a la expresin que tiene por lo menos una literal.

Funcin Continua. Una funcin )(xf es continua en 0xx si y slo si:

1) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x0.

2) Existe f(x0) tal que f(x0) = L

Funcin Lineal. Se define una funcin lineal con dos variables como una expresin de la

forma f(x, y) = ax + by. Su representacin grfica es una recta.

Funcin Primitiva. Dada una funcin cualquiera f(x), definida en un intervalo cerrado [a,b],

se llama funcin primitiva de f(x) a otra funcin F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho

intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Grado de una ecuacin diferencial. Existe si la funcin incgnita se puede expresar como

un polinomio en los distintos rdenes, el grado de la ecuacin diferencial se considera el

grado mayor en que aparece el orden mayor.

Homognea. Una ecuacin es homognea de la forma 0)()( 01 yxadx

dyxa

Ley de Kirchhoff de voltaje. La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier

trayectoria cerrada es cero.

Ley de Kirchhoff de corriente. La suma de las corrientes que entran a un nodo, debe ser

igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo.

Ley de Ohm. Establece que la tensin en los extremos de materiales conductores es

directamente proporcional a la corriente que fluye a travs del material.

Lmites. Son los valores de las magnitudes mxima y mnima que pueden leerse en una

escala.

La linealidad de una ecuacin. Una educacin es lineal cuando se satisface lo siguiente:

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, es decir, todo

exponente donde aparece y es 1. Cada coeficiente en la ecuacin slo depende de x ,

que es la variable independiente.

23

Matemticas. Ciencia exacta encargada del estudio de los nmeros y de las operaciones

que se pueden efectuar con ellos, adems, estudia la forma y dimensiones de las figuras y

los cuerpos geomtricos.

Magnitud. Atributo de un fenmeno, cuerpo o sustancia que es susceptible de ser

distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.

Modelo Matemtico. Es cualquier conjunto de ecuaciones o estructuras matemticas,

completas y consistentes, que es elaborado para corresponder a alguna otra entidad.

Puede ser una entidad: fsica, biolgica, social, psicolgica o conceptual, incluso otro

modelo matemtico. La construccin de un modelo matemtico cumple con un mnimo de

objetivos:

o Obtener respuestas sobre lo que suceder en el mundo fsico

o Influir en la experimentacin u observaciones posteriores

o Promover el progreso y la comprensin conceptuales

o Auxiliar a la axiomatizacin de la situacin fsica

Nodo. Un punto donde dos o ms elementos tienen una conexin en comn.

Orden de un ecuacin diferencial Es el orden mayor en que aparece la funcin incgnita.

Potencial elctrico. Es el trabajo realizado al desplazar una carga de un punto a otro dentro

de un campo elctrico.

Problema de valor inicial. Dada la ecuacin ),( yxfdx

dy, se busca una solucin sujeta a

00 )( yxy .

Principio de Superposicin. Sean kyyy ,,, 21 soluciones de la ecuacin homognea de

orden n , en el intervalo I . Entonces la combinacin lineal )()(11 xycxycy kk . En

donde ic con ki ,,2,1 , tambin es una solucin.

Rango. Es la diferencia algebraica entre los valores superior e inferior del campo de

medida del instrumento.

Resistencia elctrica. Oposicin al paso de la corriente elctrica.

Resistividad. Es una medida de la facilidad con la que se mueven los electrones a travs

de cierto material.

Solucin de una ecuacin. Cualquier funcin en un intervalo I que posee al menos n

24

derivadas continuas en I , es una solucin de la ecuacin diferencial ordinaria de orden

n reduce la ecuacin a una identidad, es una solucin de la ecuacin en el intervalo.

Transformada de Laplace. Dada una funcin )(tf definida para toda 0t la transformada

de Laplace de f es la funcin F de s Definida de la siguiente manera:

0

)()()( dttfesFtfL st En todos los valores de s para los cuales la integral impropia

converja.

Valor nominal. Valor utilizado para designar una caracterstica de un dispositivo o para

servir de gua durante su utilizacin prevista.

Valor Absoluto. Valor de una cifra, independiente del lugar que ocupe o del signo que vaya

precedida.

Valor Relativo. Valor que depende de la posicin que dicha cifra ocupa en el nmero.

Variable. En un sentido muy general, este trmino se emplea para indicar cualquier

magnitud fsica que pueda sufrir cambios. Si se controlan estos cambios se tiene una

variable independiente. Si la cantidad fsica cambia en respuesta a la variacin de una o

ms variables, se tiene una variable dependiente.

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BIBLIOGRAFA

Bsica

Ecuaciones Diferenciales: y problemas con valores en la frontera. C. Henry Edwards. Prentice-Hall.

Mxico 2009, 4 edicin. ISBN: 9789702612858

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11 edicin. ISBN: 9681849744

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Mxico, 2009, novena edicin. ISBN-13: 978-970-830-055-1, ISBN-10: 970-830-055-1

Complementaria

Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales, Editorial nter Amrica, Ross Shepley l., 3a. ed.-

Mxico.

ma ecuaciones diferenciales

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