Captulo 12. Adelantos de perihelios.

60) Adelanto del perihelio de mercurio.

Hagamos una recapitulacin. Para nosotros, el espacio es un conjunto de cuantos. Los

cuerpos masivos alcanzan a ordenar los cuantos que los rodean hasta una distancia

dada por el principio de mnima accin. Ms all de esa distancia la influencia del

cuerpo masivo no alcanza el nivel energtico para actuar sobre los cuantos. Cuando

otro cuerpo se acerca al primero, atravesando el mar de cuantos experimenta la

fuerza de ese primer cuerpo cuando alcanza el lmite de influencia y sufre desviaciones

cunticas de su trayectoria. Estas desviaciones se miden por el ngulo:

RcNt

MGN

**2*

***2*126/1

Donde: G: constante de gravitacin universal.

c: velocidad de la luz en el vaco.

M: masa del cuerpo que produce el desvo.

R: distancia del cuerpo que produce el desvo.

N1/Nt: nmero racional que depende de la cantidad de cuantos que

interactan.

Nt, depende del nmero de cuantos de la partcula que se deflecta y N1, del nmero de

cuantos de la partcula que produce el campo.

Ahora estudiemos que ocurre cuando el cuerpo m queda orbitando al cuerpo M. El

ngulo de deflexin total en una vuelta debe ser aproximadamente 2 radianes.

*2* cunticoN

Reemplazando :

*2**2*

***2*1*

26/1

RcNt

MGNN

Ahora, teniendo en cuenta que al final deseamos que nuestros clculos se parezcan en

todo lo posible a los relativistas, considerando rbitas elpticas, debemos tomar un valor

promedio para R, o mejor, para 1/R, pues se trata de calcular ya no un fenmeno

localizado, como la desviacin de un fotn que apenas roza la zona de fuerza del

cuerpo masivo, sino una accin que se da en toda la rbita. Por lo tanto:

minmax**2

minmax

min

1

max

1*

2

11

RR

RR

RRmedioR

Recordando que para esas rbitas la excentricidad es:

a

x

a

ba

a

b

2

22

2

2

1

Obsrvese que a es la distancia del vrtice de la elipse al foco mas cercano. Y

como:

1*min

1*max

axaR

axaR

21*

1

1**1**2

1*1*1

aaa

aa

medioR

226/1 1****2***1***2

*2

acNt

MGNN

Despejamos:

MGN

acNtN

**1

1***2* 226/1

Para Mercurio, tomando N1 y Nt con valores que coinciden con la deflexin de la

luz ya estudiada para el Sol, es decir, N1/Nt se iguala a 10/14, y aceptando datos

recientes de su rbita:

30

2926/1

10*989.1**10

206.01*10*9.57**2*14

G

cN

Que nos da el valor:

610*8983138.5N

Con este nmero tenemos una aproximacin al valor de cada uno de los desfases:

rbita

radianes

N

710*06525.1*2

Convertidos estos radianes/ rbita a segundos de arco en cien aos:

aomercurioorbitadasrbita

seggraddiasaosrbitarad

*9.87*

60min*60*180*365*100**10*06525.1 7

centuria

arcosegundos1223.9

Este sera el desfase para fotones. Para cuerpo masivo debemos ajustar el valor

de las interacciones cunticas. Utilizando el dato experimental para el avance del

perihelio de mercurio por centuria 42.99

7

337118.4

1239.9

99.42int seracccionedeAjuste

En lugar de un entero encontramos un nmero racional. Tenemos, entonces, que

abandonar la idea de un nmero entero de desviaciones cunticas por rbita para

completar el adelanto del perihelio, y aceptar un nmero entero de desviaciones

en varias rbitas. O sea, decimos que se presentan 33 desviaciones cunticas en

7 vueltas completas de la rbita. Luego, el adelanto promedio por revolucin

queda:

revolucinradianes

ac

MG

revolucin

radianes

ac

MG

22

226/1

1**

**999930143.5

1***2

***2*

14

10*

7

33

Es interesante caer en cuenta que 7x7 revoluciones de mercurio corresponden a:

aosdas

ao

revolucin

dasesmercuriorevolucion 80.11

26.365

1*

79.877*7

Los que nos permite sospechar una relacin entre el adelanto del perihelio de

mercurio y el periodo famoso de la actividad solar.

Ahora convirtamos el adelanto de radianes/revolucin a segundos de

arco/centuria:

revolucinradianes

ac

MG

revolucin

radianes

ac

MG22226/1 1**

***9999302.5

1***2

***2*

14

10*

7

33

dasenperiodoT

das

revolucin

radianes

ac

MG 26.365*100*

60*60*180*

1**

***9999302.522

sigloegundoar

ac

M cos

1**

*10*054549.122

16

Como no existe diferencia con la expresin relativista no tenemos necesidad de

comparar resultados con los de esa teora, y solo comprobaremos los nuestros

con los valores experimentales.

Planeta a, semieje

mayor*109

metros

T, periodo

das

Excentricidad

medido

Calculado

Mercurio 57.91 87.97 0.206 42.98 42.99

Venus 108.20 224.7 0.007 8.54 8.63

Tierra 149.6 365.26 0.017 3.80 3.84

Marte 227.9 686.98 0.093 1.34 1.35

Asteroides 413.7 1681.3 0.097 0.3044

Jpiter 778.3 4332.7 0.048 0.0623

Saturno 1427.0 10760 0.056 0.0137

Urano 2871.0 30685 0.046 0.0024

Neptuno 4497.1 60082 0.010 0.0008

Plutn 5913.5 90767 0.248 0.0004

La coincidencia tan perfecta entre teoras y datos experimentales ahora no nos

causa extraeza, dada la enorme difusin de la exactitud de las predicciones

relativistas en este campo, predicciones que numricamente son iguales a las

nuestras. Volveremos a tratar este adelanto de las rbitas cuando someramente

nos refiramos a los pulsares y las estrellas binarias. Por el momento, saltemos a

las rbitas que los electrones realizan alrededor de los ncleos atmicos.

61) Adelanto de la rbita en los tomos.

Fue Sommerfeld quien encontr esta precesin. En su intercambio epistolar

Einstein y el mismo Sommerfeld comentaron los dos adelantos orbitales, pero,

aparentemente, no vieron ninguna evidencia del origen similar de ambos. Incluso,

de esa correspondencia se desprende una ligera impaciencia de parte de Einstein

para que Sommerfeld aceptara que no tenan relacin; evidentemente tema una

ingerencia de la cuntica en su teora relativista.

La expresin de Sommerfeld para el adelanto rbital es:

r

r1**2

Donde:

2

2

1c

adorbitalvelocidr

Resulta que, a pesar de la aparente discrepancia, esta expresin y la Einsteniana

son idnticas con solo considerar que la velocidad tomada en la frmula es la

velocidad mxima en la rbita del electrn. Es decir:

2

2

1C

mximavelocidr

El adelanto del perinucleo quedara

2

2

2

2

1

11

**2

c

mximavelocidad

c

mximavelocidad

Con la aproximacin usual

2

2

2

2

*211

c

mximavelocidad

c

mximavelocidadr

Obtenemos

2

2

2

2

2

2

2

2

*21

*2**2

*21

*211

**2

c

mximavelocidad

c

mximavelocidad

c

mximavelocidad

c

mximavelocidad

Pero de la mecnica normal de un cuerpo orbitando a otro bajo una fuerza central

mediaR

mediavmcentrfugaFuerza

mediaR

teconsAAF e

2

2

*tan

Y escribiendo para las rbitas elpticas

221 **max/ nvnmediavimavnamediaR

Donde a es el semieje mayor, y n1 y n2 son parmetros que dependen de la

excentricidad de la elipse.

annmA

am

nnAimav

na

nimavm

na

A e

e

e 1

2

21

2

22

1

2

2

2

1

**/

*

**max

/

/max*

/

Reemplazando en el adelanto del perincleo

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

*

/**

*21

*

*21

*2*

**/

**2ca

mA

c

mximavelocidad

nn

c

mximavelocidacd

ca

nnmA

e

e

Expresin que si comparamos con la relativista a todas luces es similar.

2*

/**6

ca

mAarelativist e

los nmeros n1 y n2 , corresponden a nmeros enteros como en nuestra

interpretacin cuntica. Estos factores enteros son otro argumento a favor de la

naturaleza cuntica del adelanto. Si en el caso gravitacional se presentaban 33

desviaciones en 7 rbitas completas, en el elctrico se presentan desviaciones en

rbitas completas que dependen de los llamados nmeros cunticos..

Posteriormente indagaremos si en los famosos cusares binarios la precesin

tambin se puede enfocar como un proceso cuntico.

62) Curvatura del espacio y adelanto del perihelio.

Considerar el factor que deducimos en el numeral anterior como indicio de una

naturaleza diferente del origen del adelanto del perihelio y del perincleo es

problemtico, teniendo en cuenta que las expresiones para estos adelantos

pueden quedar iguales cambiando el nmero de cargas elctricas interactuantes y

aun sin tener en cuenta el factor debido a la diferencias de velocidades y

distancias al centro de giro. En efecto, consideraremos el caso de dos rbitas, una

gravitacional y otra elctrica con carga central Z*e, ambas con excentricidad

despreciable, y calculemos el arco correspondiente al adelanto del perihelio por

revolucin.

22

2***6***6

c

MG

c

RgvSg

g

2

272

2

2

*

*10***Re**

cm

ceZ

c

vSe e

Ahora, si se cumple

Planckm

G

cemMmdecires

m

ceMG

272272 *10**10**

Es decir, con una carga central de 6 coulombios tendremos exactamente la

misma expresin para el avance del perihelio en el caso elctrico y en el caso

gravitacional. Que el adelanto del perihelio se deba a una curvatura del espacio

tiempo nos lleva a la consideracin que una carga de 6 coulombios produce la

misma curvatura que una masa corregida de Planck Como curiosidad calculemos

ese S, el arco de avance por revolucin, en ambos casos:

Planckdelongitud

c

planckMG

c

RgvSg

g **6

*

***6***6

22

2

Planckdelongitud

cPlanckm

ceZ

c

vSe e

**6

*

*10***Re**2

272

2

2

Es curioso constatar que el arco de avance por revolucin es un invariante para un

sistema y solo depende de la masa central. Por ejemplo, para el sistema solar:

2

***6tan

c

solMGsolaldoorbicuerpocualquierparaSg

Incluso podemos escribir ese avance de una forma bastante singular:

S

PlanckLongitud

solMG

PlanckMG

/**6

***6

/***6

PlanckM

solMPlanckLongitudS ***6

Como los 43 del adelanto del planeta Mercurio estn tan arraigados,

desafortunadamente, en la imaginera popular como si fueran el non plus ultra de

la verdad, calculemos ese adelanto por este mtodo:

revolucinradianesmercurioysolentreR

PlanckMmercurioysolentreR

solMPlanckdeLongitud

mercurioysolentreR

S

/*

86901.27841

*

***6

diasmercurioPeriodo

dasrevolucin

radian

seg

revolucinmercurioysolentreR

radian 365*100**

60*60*180*

*

*86901.27841

mercurioT

dasrevolucin

radian

seg

revolucinmercurioysolentreR

radian 365*100**

60*60*180*

*

*86901.27841

mercurio

dasrevolucin

radian

seg

revolucin

radian

99.87

365*100**

60*60*180*

*10*91.57

*86901.278419

sigloarcosegundos /166600772.4199.87*10*91.57

10*097614294.29

14

Teniendo en cuenta la excentricidad de la rbita de mercurio que no es

despreciable, o lo que es ms correcto, la verdadera longitud de la elipse recorrida

por el planeta:

sigloarcosegundos /9178.42206.01

16660077.412

Exactamente el resultado de la relatividad.

Para los dems planetas del sistema solar tendremos

sigloarcosegundosTR

/)1(**

10*097614294.22

14

Planeta R media

entre

planeta y el

Sol

metro*109

T, periodo

das

Excentricidad

medido

Calculado

Mercurio 57.91 87.97 0.206 42.98 43.00

Venus 108.20 224.7 0.007 8.54 8.63

Tierra 149.6 365.26 0.017 3.80 3.84

Marte 227.9 686.98 0.093 1.34 1.35

Asteroides 413.7 1681.3 0.097 0.3044

Jpiter 778.3 4332.7 0.048 0.0623

Saturno 1427.0 10760 0.056 0.0137

Urano 2871.0 30685 0.046 0.0024

Neptuno 4497.1 60082 0.010 0.0008

Plutn 5913.5 90767 0.248 0.0004

Abandonemos este tema seguros que an falta mucho por decir sobre estos

adelantos del perihelio, tanto elctricos como relativistas. Sin embargo, no

podemos esperar para informar sobre una curiosidad muy interesante acerca del

posible origen comn, y; por consiguiente acerca de la identidad de la explicacin

fsica de ambos adelantos del perihelio.

63) Posibles paralelismos formales en las expresiones del adelanto del perihelio

relativista y del adelanto del perihelio elctrico.

En el numeral anterior logramos expresar el adelanto del perihelio relativista de

una trayectoria con poca excentricidad, medido como el arco adelantado y no

como el correspondiente ngulo (Figura), con la expresin:

PlanckM

solMPlanckLongitudgS ***6

Para el adelanto en el caso elctrico de la rbita tipo Sommerfeld podemos escribir

el mismo diferencial de arco como:

centralesascdenumeroZ

PlanckLongitudeSarg

***1

La diferencia de expresiones an puede dar cabida a la consabida frase: Se trata

de fenmenos sustancialmente distintos, frase parece acuada por el mismo

Einstein en un intercambio de misivas con un Sommerfeld apocado por la fama del

descubridor de la Relatividad, y que se lee en tantos textos relativistas. Pero,

multiplicando por , la carga elemental, el numerador y el denominador de la

ecuacin anterior, obtenemos:

*

arg****1

e

centralesascdenumeroeZPlanckLongitudeS

planckdeaC

centralaCPlanckLongitud

e

eZPlanckLongitudeS

arg

arg**

*

****1

Que nos permite el paralelismo:

planckdeaC

centralaCPlanckLongitud

e

eZPlanckLongitudeS

PlanckM

centralMPlanckLongitud

PlanckM

solMPlanckLongitudSg

arg

arg**

*

****1

***6***6

Aunque el paralelismo ahora es contundente, falta explicar el inocente 6 de la

expresin relativista. Para ello llevemos las expresiones a una forma conceptual

equivalente. Dividamos en el caso gravitacional por el volumen imaginando unas

masas diluidas para hallar el cociente de las densidades.

volumenPlanckM

volumencentralMPlanckLongitudgS

/

/***6

Como volumen escojamos el volumen de Planck:

3

*3

*4

dePlancklongitudPlanckdeVolumen

Y tenemos:

PlanckdeDensidad

centralmasaDensidadPlanckLongitudgS ***6

En el caso elctrico, para obtener una densidad de masa, debemos recurrir a la

densidad de energa almacenada en el campo elctrico:

22

0

2*

*2electricoCampo

cc

energaDensidadcampodelmasadeDensidad

2

2

27

74

/

*10**

10***8

1

plancklongitud

ce

ccampodelmasadeDensidad

4

72

/**8

10*

plancklongitud

ecampodelmasadeDensidad

Por lo tanto:

472

3

/**8

10*

/**4

/*3

plancklongitud

e

plancklongitud

Planckmasa

campodelmasadeDensidad

PlanckDensidad

6

10*

**6

72

e

plancklongitudPlanckmasa

campodelmasadeDensidad

PlanckDensidad

De modo que podemos escribir en definitiva:

campoDensidadPlanckdeDensidad

PlanckDensidadcentralmasaDensidadPlanckLongitudgS

*

***

campodelmasaDensidadPlanckdeDensidad

PlanckDensidadcentralacmasadeDensidadZPlanckLongitudeS

*

*arg**

En definitiva:

campodelmasaDensidad

centralacmasadeDensidadPlanckLongitudeS

campoDensidad

centralmasaDensidadPlanckLongitudgS

arg**

**

En definitiva, para nosotros no hay ninguna diferencia entre los fenmenos

gravitatorios y elctricos, a no ser las diferencias que se infieren naturalmente de

los mecanismos conocidos de estas interacciones. En el caso gravitatorio un

cuerpo que recibe energa de un campo gravitacional se ve impulsado por esa

energa a travs de un entorno que a su vez est sujeto al mismo campo

gravitatorio, y recibe energa de ste en la misma proporcin que el cuerpo.

En el caso elctrico, si el entorno no tiene carga elctrica, el cuerpo electrizado

recibe energa del campo y se mueve por un entorno que no recibe energa de ese

campo.

Esa caracterstica del entorno, a saber: corresponder a la misma fuerza que la

partcula, hace posible la aproximacin geomtrica de la relatividad; pero esta

aproximacin geomtrica queda desvirtuada por muchos hechos y

consideraciones. Hechos y consideraciones que despiertan mucha suspicacia en

las comunidades cientficas y que omitiremos en consecuencia.