PROYECTO CIRCUITOS ELECTRICOS II

Presentado por:

LEONARDO CHICAIZA

MARLON RAMIREZ

Director:ING. PAL MEJA

LUGARES GEOMTRICOS

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS- ESPECARRERA DE INGENIERA MECATRNICAPROYECTO SANGOLQUI2015

TABLA DE CONTENIDO

LUGARES GEOMTRICOSLugares Geomtricos de ImpedanciasBreve explicacin.Si se representa la impedancia equivalente de un circuito lineal, Z, como un punto en el plano complejo, la lnea que resulta de unir estos puntos, al variar cualquiera de los componentes de la impedancia, se denomina lugar de impedancia como es bien conocido. Si slo se vara un componente de cualquiera de las impedancias que integran el circuito, el lugar de impedancia Z, resulta siempre una circunferencia o una recta. Esto es esencia la base de lo que se explicar a continuacin.Introduccin.Las redes elctricas pueden estar sujetas a variaciones de tipo frecuencial, paramtrico, etc. La respuesta de la red depender precisamente de dichas variaciones. El anlisis desarrollado abarca nicamente redes en estado sinusoidal permanente, realizndose un estudio de los lugares geomtricos generados por la variacin de frecuencias o parmetros. Los elementos bsicos de una red son: resistor, inductor y capacitor; pueden ser sometidos a variaciones. As la impedancia (Z) puede ser alterada al variar su parte real (R) o su parte imaginaria (X). (1)La variacin de la parte imaginaria depende de la variacin paramtrica, inductancia (L), capacitancia (C) o de la variacin frecuencial, reactancia inductiva (XL) o reactancia capacitiva (XC), como se muestra en la siguiente expresin:

Donde:La variacin de R (resistencia) o de X (reactancia) permite obtener en el plano complejo Z el lugar geomtrico respectivo.IMPORTANTE: El plano inverso de Z es el plano complejo Y, donde sus coordenadas son , e .Tambin: Donde:(2)(3)Resistencia Variable y reactancia fijaConsiderando el dipolo de la figura 1 se tiene:

Figura 1.Dipolo , con R variable, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

; R variableSiendo: se debe considerar un predominio inductivo o predominio capacitivoSi: el lugar geomtrico de Z se lo ve representado en la figura 2. Si: el lugar geomtrico de Z se lo ve representado en la figura 3.

Si:

Figura 2. Lugar Geomtrico de con , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfSegn la ecuacin 3:Donde:(4)Si: Figura 3. Lugar Geomtrico de con , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfSegn la ecuacin 3:Donde:(5)Las ecuaciones 4 y 5 representan la ecuacin de una circunferencia con coordenadas del centro y valor del radio, dado por:Si:

Si:

La representacin grfica de estas circunferencias se las ve en las figuras 4 y 5 respectivamente. Adems los ejes G (conductancia) y B (susceptancia ) representan el plano complejo Y (admitancia), que corresponde al plano inverso de Z (impedancia).

Figura 4. Lugar Geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Figura 5. Lugar Geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Las circunferencias 4 y 5, son limitadas o representadas por semi-circunferencias (figuras 4 y 5) por la variacin que tiene R en el rango (rango positivo) y por ende tambin la G variar en forma inversa en el rango positivo .Respecto a los ngulos, debe notarse que estos son los mismos pero de signo contrario.

Resistencia Fija y Reactancia VariableConsiderando el dipolo de la figura 6, se tiene.

Figura 6.Dipolo , con jX variable, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

; La figura 7 demuestra el lugar geomtrico de al variar la reactancia en los lmites especificados.

Figura 7.Lugar geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfSegn la ecuacin 2 se tendr: en forma generalDonde: =0, ecuacin de una circunferencia con coordenadas del centro y valor del radio dados por:=(6), La grfica de la ecuacin 6 se lo ve en la figura 8, que corresponde al lugar geomtrico de la admitancia .

Figura 8.Lugar geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Siendo una recta, una circunferencia de radio infinito, su inversin da otra circunferencia. De ah que se concluye con el hecho de que la inversin de una circunferencia es otra circunferencia. Segn los desarrollos geomtricos se tienen las siguientes consideraciones de inversin. Una recta que pasa por el origen de coordenadas, tiene su inversa una circunferencia de radio infinito, es decir, otra recta. Figuras 9a y 9b.

Figura 9.Inversin de una recta que pasa por el origen, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Una recta paralela a un eje de coordenadas, tiene como inverso una circunferencia de radio finito ubicado sobre el otro eje de coordenadas, como se puede ver en las siguientes figuras 8, 7, 5, 4, 3 y 2. Una circunferencia puede ser invertida mediante la inversin de los puntos ubicados sobre el dimetro prolongado al origen. Figura 10.

Figura 10.Inversin de circunferencia considerando la inversin de los puntos sobre el dimetro proyectado al origen, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Se debe considerar que C (centro circunferencia invertido) no es la inversin de C (centro de circunferencia) y que adems la distancia (dimetro circunferencia invertido) no es la inversa de la distancia (dimetro de circunferencia). Inversin de una circunferencia mediante el uso de la frmula general.As, la ecuacin de una circunferencia en el plano Z viene dada por la ecuacin. (7)Donde: y r=radio de circunferenciaLa ecuacin 7 se lo presenta en forma ms general por la ecuacin:(8)Segn la ecuacin 2 y 3 se tiene que: Reemplazando en la ecuacin 8, se consigue lo siguiente: (9)Representa la ecuacin de una circunferencia en el plano Y (circunferencia invertida).EJEMPLO: Hallar el lugar geomtrico inverso del grafico dado por la figura 11.

Figura 11.Lugar geomtrico de una admitancia, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfDonde: Tambin:Desarrollando: Donde los coeficientes son:A=1 ; C=-1,5 ; D=1 ; E=0,75Utilizando la ecuacin inversa, se tiene que:

Reordenando de forma de ver las coordenadas del centro y el valor del radio, se ve que:, siendo y Las grficas de esta circunferencia se las ven en la figura 12.

Figura 12.Lugar geomtrico de una impedancia, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfAqu los puntos m, s no existen, puesto que en el Y, K, S tampoco existen. Entonces la regin de circunferencia vlida en el plano Z es el recorrido: m, s, q, n, n y q (lnea llena)

Lugares Geomtricos de CorrientesComo una de la aplicacin ms directa de los lugares geomtricos de inmitancias, aparecen los lugares geomtricos de intensidad de corriente.

Figura 13.Red con parmetro variable, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

(10)La ecuacin 10 nos dice que el lugar geomtrico de la intensidad de corriente es igual al valor geomtrico de la admitancia Y multiplicada por el voltaje de excitacin (considerado fijo, al igual que la frecuencia ).Considerando nuevamente la ecuacin 10 se tiene que:, donde: Adems si se considera , referencia entonces , componente de fasor en fase con , componente del fasor a El plano correspondiente a estas ltima relaciones se demuestra en las figuras 14 a y b

a) Componente a + 90 de Vb) Componente a - 90 de VFigura 14a-14b.Planos del lugar geomtrico de intensidad de corriente, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Para el caso de que , los planos correspondientes sern los dados por las figuras 15 a y b.

a) Comp. a +90 de b) Comp. a -90 de Figura 15a-15b.Planos del lugar geomtrico de intensidad de corriente, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Se puede concluir entonces, que todos los puntos del plano Y alterados en el valor correspondern a puntos en el plano EJEMPLO: Determinar el lugar geomtrico de la intensidad de corriente en la red de la figura 16.

Figura 16.Red con reactancia variable, recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfPor lo tanto al determinar el lugar geomtrico de y multiplicando por , se obtiene el lugar geomtrico de El lugar geomtrico de est dado por la figura 17.

Figura 17.Lugar geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfDonde: El lugar geomtrico de est dado por la figura 18.

Figura 18.Lugar geomtrico de , recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfDel lugar geomtrico de se puede sacar algunas relaciones importantes, como:, en fase con (puntos de corte). nunca en fase con (no hay puntos de corte).

Figura 19.Condicin , y de corte recuperado de:http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdfPor construccin grfica, el mdulo de est ubicado en la recta que une el origen de coordenadas (o) con el centro de la semicircunferencia. El mdulo va entonces desde el origen de coordenadas hasta la interseccin con la semicircunferencia.

Referencias Bibliogrficas

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