INTRODUCCION

 El presente análisis y diseño de losas sólidas armadas en dos sentidos resulta adecuado cuando hay luces considerables (6m ó más) y/o sobrecargas grandes (300 Kg/m2 ó más) en cuyo caso de usar una losa aligerada resultaría una estructura más pesada y antieconómica que una losa sólida armada en dos sentidos. El diseño de losas sólidas se realizará tanto por el caso de losas apoyadas sobre vigas perimetrales como para el caso de losas planas “Flat-Slabs”.

 Hasta la década de los 70s se analizaba separadamente el caso de losas apoyadas sobre vigas perimetrales y el caso de losas planas sin embargo desde la norma americana del año 83 y la presente norma peruana se considera que ambos son variantes de una misma hipótesis, para el caso de losas apoyadas sobre vigas de acuerdo a la dimensión de estas ultimas se considera la rigidez de los elementos de apoyo que teóricamente puede variar desde valores mu8y pequeños hasta valores infinitos y en caso de losas planas se considera que es un caso particular en que la rigidez de los elementos de apoyo es cero.

 Esta teoría de un análisis único para ambos casos se basa en el principio del MOMENTO ISOSTATICO TOTAL (Mo) y se analiza a través del METODO DIRECTO y/o método de la estructura equivalente.

COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS

 Experimentos realizados en la Universidad de Illinois (USA) con modelos realizados a escala para losas armadas en dos sentidos y apoyadas sobre vigas perimetrales en los cuatro bordes con luces espaciadas a 1.5m fueron sometidas mediante ensayos a cargas similares a las reales, habiéndose estudiado los mecanismos de falla por flexión, cortante y torsión para el caso de las vigas de borde habiéndose realizado además un chequeo de deflexiones y agrietamiento para diferentes condiciones de carga. Dichos experimentos demostraron que el concepto de momento isostático total trabaja adecuadamente para un eje cualesquiera de la losa y de acuerdo a las características que se muestran en el grafico siguiente:

8)( 2

12 llMo

Mo = Momento Isostático total que equivale a la semisuma de los momento

positivos en los apoyos más el tramo central.

WL2= Carga total de la franja de analisis

L = Longitud del claro considerado.

 

Una vez conocido el momento isostático total (Mo) para la franja en estudio el siguiente paso es dividir dicho momento en momentos negativos en los apoyos y momentos positivos en el centro del tramo, tal como se aprecia en el grafico siguiente:

32)(3)(2

32 2

MMM

MMo

Finalmente tanto los momentos positivos como negativos deben dividirse en el nacho de la franja en estudio en 3 sectores; viga propiamente dicha, losa adyacente a la viga (franja columna) y losas alejada de la vigas (franja central)

VARIABLES QUE INTERVIENEN PARA EL CALCULO

 1. RIGIDEZ DE LA COLUMNA DE APOYO

Las columnas influyen sobre la distribución de momentos en la losa por la restricción que ejercen sobre las vigas y las losas, es decir por el empotramiento parcial que producen sobre estos elementos estructurales. En el grafico se aprecia como influye la rigidez de la columna sobre el sistema de entrepiso.

 2. RIGIDEZ DE LA SECCION DE LA VIGA

Como en el método del momento isostático total, al final tenemos que repartir los momentos transversales para la viga en si y para la losa en sus franjas de columnas y franja central, la relación entre la rigidez flexionante de la viga de apoyo y la rigidez flexionante de la losa influye en la distribución de momentos así tenemos que si la viga rígida gran parte del momento es para la viga de apoyo y poco momento para la losa en si, en cambio si la viga de apoyo es poco rígida en si, en cambio si la viga de apoyo es poco rígida (viga chata), gran parte del momento será soportado por la viga y en el caso extremo de losas planas al no haber vigas de apoyo, el 100% de momento es soportado por la losa, siendo este ultimo caso de mucho riesgo estructural especialmente ante solicitaciones sísmicas. En el gráfico siguiente se muestran los casos mencionados.

 

3. EFECTO TORSIONANTE EN VIGAS

La rigidez torsionante de las vigas proporciona un empotramiento parcial a las losas, su efecto es importante en las vigas de borde o para vigas interiores cuando un tramo esta cargado y el adyacente no. Para que un sistema de piso exista, el efecto de rigidez torsionante de las vigas es necesario que haya un comportamiento monolítico entre columnas de apoyo y el sistema de entrepiso.

 

4. TIPO DE CARGA

En un sistema de piso no siempre se encuentran cargados todos los tableros. En el caso por ejemplo de bodegas, almacenes, etc, hay tableros que soportan una gran carga viva y otros no. Para considerar este efecto de las cargas vivas conviene hacer un juego de las posiciones más desfavorables de la sobrecarga para poder lograr el calculo de los momentos y cortes críticos. En el gráfico siguiente se muestra este juego de posiciones de sobre carga para lograr las solicitaciones criticas.

a. Franja de tablero de ajedrez para momentos positivos máximos en ambos sentidos.

b. Carga de tablero de ajedrez para momentos negativos máximos en un eje horizontal.

c. Distribución de carga por franjas para momentos positivos máximos en un eje vertical.

d. Distribución de carga por franjas para momentos negativos máximos en un eje horizontal

De lo anterior se desprende se puede concluir que cuanto mayor sea el valor de las cargas permanentes y menor el de las sobrecargas, el comportamiento de las losas será más adecuado, en cambio si las sobrecargas son considerables, el comportamiento es más desfavorable y se debe tener cuidado para el diseño de la losa y las vigas de apoyo.

5. OTROS FACTORES

Además de las variables antes indicadas existen una serie de factores que influyen en el comportamiento de una losa sólida armada en dos sentidos. Entre los factores más importantes tenemos la calidad del concreto, el porcentaje de refuerzo, la cantidad de acero en compresión, las formas de vaciado y vibrado, etc.

 

Valores que no son fáciles de cuantificar y que se incorporan, en forma indirecta en los diferentes métodos de solución.

METODO DE SOLUCION

Para resolver el problema tanto de losas apoyadas sobre vigas como el de losas planas, existen 3 métodos de solución:

1.      Método de coeficientes del ACI.

2.      Método Directo.

3.      Método de la estructura equivalente.

 1.    METODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI

Este método es bastante impreciso y requeriría que la estructura se sumamente simétrica en luces y cargas para que nos de resultados adecuados en momentos para vigas y losa. Este método servirá tan solo como valores referenciales para un cálculo preliminar, en el gráfico siguiente se muestran los valores usuales para cálculo de momentos en una losa continua.

2. METODO DIRECTO

Este método como su nombre lo indica es de aplicación bastante simple, aplica el concepto de momento isostático total para luego dividir este momento en valores positivos al centro del tramo y valores negativos en los extremos del eje en estudio, posteriormente dichos momentos serán repartidos transversalmente en viga de apoyo, franja central de losa y franja de columna de losa.

Este método es el que emplea la Norma Peruana de Diseño en Concreto Armado y como ya se dijo es de fácil aplicación, tiene sin embargo método las siguientes limitaciones:

a). Debe existir por lo menos tres claros continuos en cada dirección (para poder deducir más o menos como se comporta el resto)

b). Los tableros deben ser de tipo rectangular con una relación: claro mayor a claro menor no mayor a dos

22

1 LL

 c). Entre tramos sucesivos no debe haber una diferencia de luces en mas de 30% del mayor de ellos.

d). Las columnas deben estar alineadas sobre el mismo eje aceptándose una excentricidad máxima del 10% de la luz del tramo adyacente y en el sentido del análisis.

e). La estructura debe estar sujeta únicamente a cargas verticales del tipo distribuida en cada tablero y la sobrecarga no debe exceder de tres veces la carga permanente.

f). Cuando existen vigas perimetrales de apoyo en los cuatro bordes de un tablero la relación de rigidez entre las dos direcciones perpendiculares de la columna debe cumplir con la siguiente relación:

0.52.0 212

221 LL

donde:

 

L1; Luz en el sentido de análisis

L2; Luz en el sentido perpendicular

a1, a2; Relación de rigideces de los apoyos en ambos sentidos.

1. DETERMINACION DEL MOMENTO ISOSTATICO TOTAL

 Se determina como se muestra en el grafico siguiente:

WlWdw

llWMo n

8.15.18

)( 22

2. DISTRIBUCION DEL MOMENTO Mo EN MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS A LO ALRGO DEL TRAMO EN ESTUDIO

Para el caso de tramos interiores se considera siempre el 65% del momento isostatico total (Mo) para los momentos negativos y el 35% restante para el momento positivo, tal como se muestra en el siguiente grafico:

Para el caso de tramos exteriores o de borde el % del momento isostatico total que va para los apoyos negativos y tramos centrales depende de los valores que se muestra en la tabla 1.

 

1 2 3 4 5

Apoyo extremo libre

(sobre muros) el apoyo es sobre

muro-viga

Losas con vigas entre todo apoyo

(sobre vigas)

Losas sin vigas entre los apoyos internos

Apoyo exterior totalmente

restringido (el apoyo es sobre

placas)Sin vigas de

bordeCon vigas de

borde

Momento(-) interior M1 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momento(+) M2 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Momento(-) exterior M3 0.0 0.16 0.26 0.30 0.65

Tabla 1

 TRANSMISION DEL MOMNETO DE LA LOSA A LA COLUMNA (solo en el caso de losas planas)

 Como ya se indica en el caso de losas planas no hay vigas de apoyo y por tanto la columna soporta todo el momento y el corte que transmite la losa por lo que habrá que verificar que dichos momentos y cortes no sean excesivos. En el gráfico siguiente se muestra como se transmite los momentos y cortes de la losa hacia la columna de apoyo.

dCdCf

2

1

321

1

Rf MMn

Este momento nominal (Mn) se verifica si puede ser soportado o no por la columna, en el caso de que el movimiento fuera grande tendra que reforzar adicionalmente la columna. En la práctica normalmente la columna soporta el momento de la losa. Mayor problema aun es verificar que el corte ultimo que se produzca sea soportado por la columna, para lo cual se hace el siguiente chequeo:

6/)2()2(2/

).2(

22/1

)/(.

3 abadbaadCJ

dbaActambien

dcbdca

dondeCJMnv

AeVu

u

donde

uu = Esfuerzo de corte transmitido a la columna

Vu = corte actuante que se puede calcular de la siguiente forma

l2: ancho tributario

l1: ancho de la luz

 Ac. área de influencia que resiste el corte

J/C: Momento polar de inercia entre distancia del eje neutro a la fibra extrema

γu: factor de transmisión donde

γu= 1- γf

 Mn: momento nominal calculado en el paso anterior

 Finalmente  Vu Vc Ok¡

Vu>Vc tenemos que rediseñar

 El siguiente paso consistirá en distribuir los momentos positivos y negativos transversalmente en franja columna y viga propiamente dicha. Sin embargo previamente tenemos que chequear el efecto de cargas desfavorables que como se indica en la teoría depende de la magnitud de las sobrecargas.

 EFECTO DE LAS CARGAS DESFAVORABLES

Para chequear el efecto de las cargas desfavorables se sigue la siguiente metodología:

1. Este efecto se chequeará cuando la relación entre carga permanente y sobrecarga (βa) sea menor o igual a 2

2. Si tenemos que hacer el chequeo debe cumplirse que αc≥ αmin en cuyo caso no tenemos que hacer ninguna corrección.

3. En cambio si αc< αmin los momentos positivos hallados en el paso (2) deben ser amplificados por el siguiente valor:

donde:

aa : relación de rigideces entre las columnas arriba y debajo de la losa en estudio y la rigidez a la flexión del sistema viga-losa

  Kc= rigidez de la columna

Ks= rigidez de la losa Kb= rigidez del trabe (no viga)

 

2L

Da WW

min

1421

a

a

as

LI

KKK

K

bs

cc

,)(

βaRelacion de Claros l2/l1

Rigidez Relativa de la Viga

0 0.5 1.0 2.0 4.0

2.0 0.5 - 2.0 0 0 0 0 0

1.0

0.50.81.0

1.252.0

0.60.70.70.81.2

00

0.10.40.5

0000

0.2

00000

00000

0.5

0.50.81.0

1.252.0

1.31.51.61.94.9

0.30.50.61.01.6

00.20.20.50.8

0000

0.3

00000

0.33

0.50.81.0

1.252.0

1.82.02.32.8

13.0

0.50.90.91.52.6

0.10.30.40.81.2

000

0.20.5

0000

0.3

DISTRIBUCION TRANSVERSAL DE LOS MOMENTOS

Esta distribución es para ver que parte de los momentos positivos y negativos, va para la franja columna, para la franja central y para ka viga en si. Para el cálculo utilizaremos la tabla siguiente:

RELACION DE RIGIDECES

Valores L2 / L1

0.5 1.0 2.0

MomentosNegativosInteriores

α1 L2/L1 = 0 

α1 L2/L1 ≥ 0 

75 

90

75 

75

75 

45

MomentosNegativosen apoyosexteriores

Α1 L2/L1 = 0 

α1 L2/L1 ≥ 0

βt = 0βt = 2.5βt = 0

βt = 2.5

1007510090

1007510075

10075

10045

Momentospositivos

Α1 L2/L1 = 0α1 L2/L1 ≥ 0   60

906075

6045

Porcentaje de los momentos totales que se asignan a las franjas de las columnas

De la tabla anterior se obtiene el % de momento que va para la franja columna pero queda aun por definir que parte de este momento es para la viga en si y que parte para la losa en franja columna, para lo cual utilizaremos el siguiente criterio:

 

1. Si la relación de rigideces es (α1 L2/L1 ) ≥ 1. 0, entonces el 85% de momento es para la viga y el 15% restante es para la losa en su franja columna.

2. Si la relación de rigideces es (α1 L2/L1 ) = 0, entonces es una losa plana y el 100% del momento va para la losa en su franja columna.

3. Si la relación de rigideces es (α1 L2/L1 ) 1.0, se realiza una interpolación lineal entre los dos casos.

 

Es evidente que el % de momento para la losa en su franja central será el 100% menos lo que absorve la franja columna.

4. Finalmente tenemos que destacar que para entrar en la tabla anterior tenemos que conocer el parámetro βt , que se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde y la rigidez a flexión de una franja de losa cuyo ancho es igual al claro de la viga de borde medido centro a centro de los apoyos y su cálculo es como se indica a continuación:

363.01

.2.

3yxyx

C

IECE

scs

cbt

5. Una vez que se conoce el momento en franja-columna y franja central de la losa se procede a calcular el área de acerp para cada franaja con las formulas ya conocidas

con “b” igual al ancho de la franja, así como con el acero que se halla para la viga en si se verifica el reforzamiento de las vigas.

 6. Un aspecto que falta detallar es como hallar el peralte de la losa al respecto la norma indica que el peralte no será menor de 12.5 cm losas con ábacos o 10 cm para losas sin ábacos.

En forma alternativa, los peraltes mínimos serán por lo menos iguales a los valores calculados en las ecuaciones (1) y (2) el que resulte mayor y no necesitan ser mayores que el valor calculado en la ecuación (3)

bffA

aadf

MuA

c

ys

ys '85.0)2/(

)3(36

140008.0ln

)2(93614000

8.0ln

)1(1

112.0536

140008.0ln

fy

h

fy

h

fy

h

m

En el caso de losas planas vale decir sin viga de apoyo, el problema de corte es critico, por lo que se usa la tabla siguiente para espesores mínimos

ESPESORES MINIMOS DE LOSAS SIN VIGAS INTERIORES

  Sin Abacos TablerosInteriores

Con Abacos TablerosExteriores

Esfuerzo de Fluenciafy kg/cm2)

Tableros Exteriores Tableros Exteriores

Sin vigas de borde

Con vigas de borde

Sin vigas de borde

Con vigas de borde

2800 4200

ln/33 ln/30

ln/36 ln/33

ln/36 ln/33

ln/36 ln/33

ln/40 ln/30

ln/40 ln/36