los picos como extremos en el cálculo...
TRANSCRIPT
Los “picos” como extremos en el
cálculo diferencialde funciones
Pablo García y Colomé
f
y
( )0' 0f x =
xa b0x
f ( )0'f x →∞
y
ab 0xx
( )0 máximorelativo
f x = ( )0 máximorelativo
f x =
Pablo García y Colomé
fy
( )0' 0f x =
xa b 0x
f ( )0'f x →∞
y
a b0x x
( )0 mínimorelativo
f x = ( )0 mínimorelativo
f x =
Pablo García y Colomé
f
( )0'f x →∞y
xa 0x b
f
( )0' 0f x =y
xa 0x b
no hay máximos ni mínimos relativos∴
asíntota
Pablo García y Colomé
DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable independiente a los valores del eje de las abscisas donde la derivada es cero o no existe
x
x
y
( )' 0f x =( )'f x →∞
( )' 0f x =( )' 0f x =
( )picorm
no hay
f
rM no hay
asíntota
Pablo García y Colomé
( )233f x x x= +
( ) ( )1 33
3
2' 1 2 ' xf x x f xx
− += + ⇒ =
33
3
3
2
8
0 2 0
2
x x
xx
x
+= ⇒ + =
= − ⇒ = −⇒
33
3
2 0 0x
xx x+→ ∞ ⇒ ⇒ ==
1 28 0x y x= − =
Pablo García y Colomé
1
9 0.04 08 ;
1 1 0
dyxdxxdyxdx
⎧ = − ⇒ = + >⎪⎪= − ⎨⎪ = − ⇒ = − <⎪⎩
( )238 ; 8 3 8 4x y y= − = − + − ⇒ =
( )8, 4rM∴ −Pablo García y Colomé
2
1 1 00 ;
1 3 0
dyxdxx
dyxdx
⎧ = − ⇒ = − <⎪⎪= ⎨⎪ = ⇒ = + >⎪⎩
0 ; 0x y= =
( )0,0rm∴Pablo García y Colomé
x
y( )8, 4rM −
( )233f x x x= +
( )0, 0rm
x
y( )8, 4rM −
( )233f x x x= +
( )0, 0rm
x
y( )8, 4rM −
( )233f x x x= +
( )0, 0rm
Pablo García y Colomé
( )
2
4 22
1 22
x si xf x
x si x
⎧− ≤⎪⎪= ⎨
⎪ + >⎪⎩
2x <
( ) ( )' ; ' 0 0f x x f x x= − = ⇒ − =
2x >
0x =
Pablo García y Colomé
Continuidad en 2x =
( ) ( )2
2 2 limx
f f x→
= =
Derivabilidad en 2x =
( ) ( )' '2
12 0 ; 02x
f x x f x− +== − = − < = >
1 20 2x y x= =
1 1 00
1 1 0
dyxdxx
dyxdx
⎧ = − ⇒ = >⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ = ⇒ = − <⎪⎩
( )0,4rM∴
1 1 02
13 02
dyxdxxdyxdx
⎧ = ⇒ = − <⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ = ⇒ = >⎪⎩
( )2, 2rm∴
x
y
( )0,4rM
( )2,2rm
( )
2
4 22
1 22
x si xf x
x si x
⎧− ≤⎪⎪= ⎨
⎪ + >⎪⎩
( )2
2 33 14
y x= −
( )( )
12 3
12 3
1 1 22 1
dy dy xx xdx dx x
−= − ⋅ ⇒ =
−
( )1
2 3
00 01
d xdx
xy
x= ⇒ = ⇒
−=
( )1
2 31 0 1dyx
xxd
→∞ ⇒ = ⇒ = ±−
1 2 31 ; 0 ; 1x x x= − = =Pablo García y Colomé
( )1
2 31
dy xdx
x=
−
( )1
2 01 1,0
0.5 0r
dyxdxx mdyxdx
⎧ = − ⇒ <⎪⎪= − ∴ −⎨⎪ = − ⇒ >⎪⎩
Pablo García y Colomé
( )1
2 31
dy xdx
x=
−
2
0.5 0 30 0,40.5 0
r
dyxdxx M
dyxdx
⎧ = − ⇒ >⎪ ⎛ ⎞⎪= ∴⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ = ⇒ <
⎪⎩
Pablo García y Colomé
( )1
2 31
dy xdx
x=
−
( )3
0.5 01 1,0
2 0r
dyxdxx m
dyxdx
⎧ = ⇒ <⎪⎪= ∴⎨⎪ = ⇒ >⎪⎩
Pablo García y Colomé
x
y
( )2
2 33 14
y x= −
( )1,0rm( )1,0rm −
30,4rM ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
5 23 36y x x= −
2 13 3
13
5 5 1243
3
dy dy xx xdx dx
x
− −= − ⇒ =
13
5 12 120 0 5 12 053
dy x x xdx x
−= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
13
13
5 12 3 0 03
dy x x xdx x
−→ ∞ ⇒ →∞ ⇒ = ⇒ =
1 21205
x y x= =
2
1 2 43 3
5 12 10 12
3 9
dy x d y xdx dxx x
− −= ⇒ =
( )
2
1 2
1 00 ;
1 0
0,0r
dyxd y dxxdx dyx
dxM
⎧ = − ⇒ >⎪⎪= ⇒ →∞ ⎨⎪ = ⇒ <⎪⎩
∴
2
2 212 120 , 6.455 5r
d yx mdx
⎛ ⎞= ⇒ > ⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠
Pablo García y Colomé
y
x
12 , 6.455rm ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
5 23 36y x x= −
( )0,0rM
Pablo García y Colomé
Cálculo vectorial
Sea una función escalar de variable
vectorial continua
A los puntos donde las primeras
derivadas parciales
Se anulan o no existen, se les
denomina puntos críticos
( )= ,z f x y
x yz y z
( ) ( ) ( )= = − −2
23, 1 4z f x y x y
( )( )
( )−∂ ∂
= = −∂ ∂−
2 23
13
2 42 1
3 1
yz zy y xx yx
( ){ }= ∈1, ,0s y yPablo García y Colomé
Pablo García y Colomé
