LOS ORÍGENES Rama de las matemáticas que se ocupa de las

propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y perímetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

El hombre, mediante la observación de la naturaleza y todo cuanto lo rodea, fue formando conceptos de formas, figuras planas, cuerpos, volúmenes, rectas y curvas.

De esa manera, a la Luna y al Sol los veía proyectados como discos; el rayo de luz le dio la idea de línea recta; los bordes de algunas hojas y el arco iris, la idea de curva; los troncos de algunos árboles y las montañas le dieron idea de las formas mas diversas

De la construcción de las casas con paredes verticales y sus techos horizontales surgió la noción de perpendicularidad y paralelismo; se llegó a descubrir que la distancia mas corta entre dos ciudades es el camino recto

Si bien en Egipto surgieron los conceptos de geometría en forma práctica, fue en Grecia donde estos conceptos adquirieron forma científica, alcanzando su máximo esplendor estrechamente ligados a la filosofía; de tal manera que para ingresar en la escuela filosófica de Platón se debían tener conocimientos de geometría.

En esta rama de la matemática se han destacado las siguientes personas: Tales de Mileto ( 639-545 a. C. ), uno de los siete sabios de Grecia, Pitágoras ( 580-496 a. C.), famoso por le teorema que lleva su nombre, y Euclides, que dio origen

a la geometría euclidiana. La palabra geometría es un vocablo compuesto por geo, que significa tierra y metría, que significa medir; es decir medir la tierra

En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y perímetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

GEOMETRIA PRIMITIVA DEMOSTRATIVA

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados

Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

POSTULADOS O AXIOMAS

PUNTO, RECTA Y PLANO Plano: es el conjunto de puntos que forman un

espacio de dos dimensiones. Al plano se lo designa con una letra del alfabeto griego

Recta: la intersección de dos planos es un conjunto de puntos que forman un espacio de una dimensión llamado recta

Punto: es la intersección de dos rectas

Los puntos, rectas y planos deben satisfacer ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar y que surgen de la observación y experiencia.

Dichas propiedades se conocen con el nombre de POSTULADOS O AXIOMAS:

1_ Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos

2_ Por un punto pasan infinitas rectas

3_ Por una recta r pasan infinitos planos

4_ Dos puntos determinan una recta, a la cual pertenecen

5_ Existen infinitos puntos que pertenecen a una recta y existen infinitos puntos que no pertenecen a ella

6_ Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano, el cual contiene a dicha recta y a dicho punto

7_ La recta determinada por dos puntos de un plano esta incluida en dicho plano

8_ Existen infinitos puntos que pertenecen a un plano y existen también infinitos puntos fuera de él

PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales).

Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.

También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

POLÍGONOS

La palabra polígono esta formada por dos voces de origen griego: polys (mucho) y gonia ( ángulo )

POLIGONOS CONVEXOS

Dado tres o más puntos pertenecientes a un mismo plano, tales que tres de ellos no estén alineados y que las rectas determinadas por dos de los puntos consecutivos dejen a los restantes en un mismo semiplano: se llama polígono convexo a la intersección de todos estos semiplanos

ELEMENTOS DE UN POLIGONO• Ángulos: son los formados por sus lados, al cortarse

dos a dos• Vértices: son los vértices de sus lados• Diagonal: es la recta que une los dos vértices no

consecutivos

CLASIFICACION DE LOS POLIGONOSAtendiendo al numero de lados, los polígonos se

clasifican de la siguiente manera: • Polígono de tres lados: triángulo• Polígono de cuatro lados: cuadrilátero• Polígono de cinco lados: pentágono• Polígono de seis lados: hexágono• Polígono de siete lados: heptágono• Polígono de ocho lados: octágono

Polígono de nueve lados: eneágono Polígono de diez lados: decágono Polígono de once lados: undecágono Polígono de doce lados: dodecágono Polígono de quince lados: pentadecágono Polígono de veinte lados: icoságonoLos polígonos de n lados se llaman por el nombre de la

cantidad de lados. Así, el polígono de 22 lados se llama ´´ polígono de veintidós lados ``

POLIGONO REGULARUn polígono convexo se llama regular cuando tiene sus

lados y sus ángulos iguales

TRIÁNGULO

Dados tres puntos del plano, no alineados y tales que las rectas determinadas por dos de los puntos consecutivos deje al restante en un mismo semiplano: se llama triángulo a la intersección de todos esos semiplanos

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOSSegún sus lados:• Equilátero: tiene todos sus lados iguales• Isósceles: tiene dos lados iguales y uno diferente• Escaleno: ninguno de sus lados es igual

Según sus ángulos:

Acutángulo: 3 ángulos agudos Rectángulo: 1 ángulo recto ( 90 grados ) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados

CLASIFICACION DE LOS CUADRILÁTEROS

Paralelogramo: cuadrado, paralelogramo propiamente dicho, rombo, rectángulo

No Paralelogramo: trapecio, trapezoide, romboide

PARALELOGRAMOSEs el cuadrilátero que tiene paralelos los pares de lados

opuestos. La base del paralelogramo es uno cualquiera. La altura es perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto ( o a su prolongación )

PROPIEDADES de los PARALELOGRAMOS

1_ En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales

2_ En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales

3_ En todo paralelogramo los ángulos consecutivos son suplementarios

4_ En todo paralelogramo las diagonales se cortan, mutuamente, en partes iguales

5_ Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales, el cuadrilátero es un paralelogramo

6_ El punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo es centro de simetría del mismo

7_ Base media de un paralelogramo es el segmento comprendido entre los puntos medios de los lados opuestos.

RECTÁNGULO

Es el paralelogramo con los lados opuestos iguales y los cuatro ángulos recto. Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, los demás ángulos también son rectos.

Entonces, la condición necesaria y suficiente para que un paralelogramo sea rectángulo es que tenga un ángulo recto. El rectángulo, por ser un paralelogramo, goza de las propiedades del mismo. Además, goza de las siguientes particularidades:

1_ Las diagonales del rectángulo son iguales

2_ Las bases medias del rectángulo son ejes de simetría del mismo

ROMBO

Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos. Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales, los cuatro lados son iguales

En consecuencia, la condición necesaria y suficiente para que un paralelogramo sea rombo es que tenga dos lados consecutivos iguales. El rombo, por ser paralelogramo, goza de todas sus propiedades. Sus propiedades especiales son:

1_ Las diagonales del rombo son perpendiculares en su punto medio y bisectrices de los ángulos que unen

2_ Las diagonales del rombo son ejes de simetría del mismo

CUADRADO

Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Por ser un paralelogramo, el cuadrado goza de todas sus propiedades. Además:

1_ Por tener 4 lados iguales es un rombo y goza de las propiedades del mismo

2_ Por tener 4 ángulos rectos es un rectángulo y goza de las propiedades del mismo

En consecuencia, todo cuadrado es rombo y todo cuadrado es rectángulo

Sus propiedades especiales son:

1_ Las diagonales y las bases medias del cuadrado son ejes de simetría

2_ La diagonal del cuadrado es bisectriz

NO PARALELOGRAMOSTRAPECIO

Es el cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Los trapecios pueden ser: rectángulos, isósceles, o escalenos

TRAPEZOIDE

Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos

ROMBOIDE

Es el trapezoide especial que tiene dos lados consecutivos iguales y los otros dos lados iguales, pero distintos de los anteriores

Geometría analítica.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.

De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional.

Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.

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Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros.

El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

RESEÑA DE ALGUNOS GRANDES

MATEMÁTICOS QUE SE ESPECILALIZARON EN

LA GEOMETRÍA

PITÁGORAS Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático

griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

EUCLIDES Euclides (matemático) (fl. 300 a.C.), matemático

griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos (una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides.

Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Los historiadores también cuestionan la originalidad de algunas de sus aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en la teoría de números

Integrantes del grupo:

β Carrión Emiliano.β Carrión Leonel.β Garro Andrés.β Giordana Pablo.

Profesor: Hugo Valderrey

Profesor: Hugo Valderrey