El Nmero, la Forma y elTamaodematematicasiesojaelmarzo 13, 2015

Un Eterno y Grcil Bucle

Nuestra mente humana, a partir de la experiencia que proporcionan los sentidos fsicos, CREA TRESABSTRACCIONES:

NMERO, FORMA y TAMAO.Se trata de tres creaciones mentales que conforman todo un universo:EL UNIVERSO DE LAS MATEMTICAS.Dedico esta primera entrada a un anlisis somero de estos tres productos del intelecto humano que mostrndose profundamente relacionados entre s son irreducibles a uno solo, conformando, as,UN ETERNO y GRCIL BUCLEde autorreferencia mutua.ADEMS,la auto referencia, entendida como lacapacidad de un ente de contemplarse a s mismo, es una accin compleja y desconcertante, pero parece ser necesaria para desvelar misterios tan profundos como la naturaleza del pensamiento humano.Nmeros y cantidades en la antigua GreciaLos griegos de la antigedad distinguan entre nmero (de elementos de un conjunto discreto) y cantidad (de magnitud) o tamao de un cuerpo.

Para ellos un nmero era un agregado de unidades. Podemos precisar ms. Un nmero es una multiplicidad que se obtiene por repeticin de un individuo la unidad , cuyas partes estn separadas son discontinuas y tienen fronteras bien definidas. Por todo ello, una caracterstica esencial de los nmeros era su carcter discreto. Por otra parte, los nmeros no tienen sentido si se separan de los objetos materiales o ideales a los que enumeran. As, tres rboles tiene sentido, pero tres por s mismo carece de significado. Es decir, un nmero es un atributo de un grupo de objetos y carece de autonoma propia.Una cantidad era el tamao o magnitud de algo. Y puede ser, entre otras cosas, una cantidad de tiempo, de longitud, de volumen, de velocidad o de masa. La caracterstica esencial de la cantidad es su continuidad. Una cantidad puede dividirse indefinidamente, pero no est formada por partes separadas que son rplicas de una unidad, sino que sus componentes estn unidos entre s por fronteras comunes: donde acaba uno empieza otro.Por ejemplo, un rea plana puede dividirse en trozos que, al estar unidos unos con otros, pierden su singularidad quedando como partes indiferenciadas de un todo. Por otra parte, los matemticos griegos no estudiaron la cantidad como algo abstracto, para ellos las cantidades tienen siempre un carcter concreto: son una cantidad de algo.

El concepto de cantidad estaba estrechamente ligado a la Geometra. Una proporcin entre dos segmentos es una cantidad que a veces puede expresarse con ayuda de nmeros. Cuando dichos segmentos admiten una unidad de medida comn podemos decir que la razn de uno a otro es, por ejemplo, de 7 / 10 pero, para los griegos, 7 / 10 no es un nmero sino una forma de expresar una cantidad concreta, que podra leerse algo as como siete partes de diez.Ellos solamente consideraban como nmeros los enteros positivos y ni siquiera consideraban como nmero a la unidad. La unidad era, eso, la unidad de la que estaban formados los nmeros, pero ella misma no era un nmero.VER:Cambios en las nociones de nmero, unidad, cantidad y magnitudLa hermosura de los nmeros.pps

El principio de todas las cosas es la mnada o unidad; de esta mnada nace la dualidad indefinida que sirve de sustrato material a la mnada, que es su causa; de la mnada y la dualidad indefinida surgen los nmeros; de los nmeros, puntos; de los puntos, lneas; de las lneas, figuras planas; de las figuras planas, cuerpos slidos; de los cuerpos slidos, cuerpos sensibles, cuyos componentes son cuatro: fuego, agua, tierra y aire; estos cuatro elementos se intercambian y se transforman totalmente el uno en el otro, combinndose para producir un universo animado, inteligente, esfrico, con la tierra como su centro, y la tierra misma tambin es esfrica y est habitada en su interior. Tambin hay antpodas, y nuestro abajo es su arriba.

Digenes Laercio,Vitae philosophorum VIII, 15.El NMERO para contar y ordenar

Para poder CONTAR y ORDENAR elementos de conjuntos discretos, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de elementos que posean y as saber de cuntos dispona exactamente. De ah surgi la idea de crear smbolos que representaran esas cantidades de elementos.Por ejemplo:

De esta manera, si alguien saba la cantidad de gallinas que tena en su finca, podra establecer del mismo modo la cantidad de das que podra alimentar a su familia.Es por esta necesidad que el hombre crea lo que hoy conocemos como nmeros naturales. Ellosson los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas ms elementales en el tratamiento de las cantidades.

Operaciones con nmeros naturales

En consecuencia, los nmeros naturales son aquellos que nos sirven para contar y ordenar elementos de conjuntos discretos, por lo que con ellos solo son posibles dos operaciones: la de sumar y la de multiplicar. Por qu?Si sumamos dos nmeros naturales, el resultado siempre ser otro nmero natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos. Sin embargo, no siempre podemos restar dos nmeros naturales y obtener como resultado otro nmero natural y lo mismo ocurre con la divisin.Por ejemplo, intenta restar 3 menos 8, ves cmo el resultado no nos da un nmero que nos sirva para contar u ordenar elementos? El resultado sera algo como -5.Lo mismo pasa con la divisin ya que si, por ejemplo, dividiramos 7 entre 5, el resultado sera un nmero que tampoco nos sirve para contar u ordenar elementos ya que el resultado correcto dara 1,4.Algunos autores excluyen al 0 (cero) de los nmeros naturales, pero otros lo incluyen debido a que sirven para representar un conjunto sin elementos o vaco. En matemticas, Los nmeros naturales se representan con la letra n mayscula (N)-Por lo tanto LOS NMEROS PARA CONTAR o nmeros naturales son aquellos que van del uno hasta el infinito, es decir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.

Todo es Nmero

Rezala divisa pitagrica.Unoen griego es /mnos/, que tambin gnifica uno solo. De /monrkhes/ viene monarca, es decir, de la unin de /mnos/ y /arkh/, yo mando.Unoen latn esunus; denec unusse formninguno, y dealiquis unus, alguno. Tambin deunusvieneuniversitasy de ahuniversidad, que significa vertido en uno. Este trmino originalmente signific la unicidad de cualquier gremio o corporacin, hasta que se identific con el gremio de maestros y alumnos.Dosen griego es /ds-/; de ahdiploma, porque originalmente era un certificado que constaba de dos placas de plomo unidas y que se daba a los soldados cuando obtenan su licencia. Refieren por ah que tambin en los concursos de tarugos se dan dos diplomas, el original y la copia, por si pierden el primero. En latn esdu o y de ah el verbodubitare, dudar, de donde vienendudaydubitativo; recordemos el dubicio ergo cogito, cogito ergo sum dudo, luego pienso; pienso, luego existo de Descartes.

Tambin el prefijo latinobi nos sirve para expresar la idea de dos o de doble.De ahbceps, palabra formada por el referidobi-, dos, msca pu t,cap itis, cabeza; es el nombre de sendos msculos del brazo y de la pierna que en su interseccin tienen dos tendones o cabezas; por cierto quebceps,trcepsyfrcepsson tres palabras que, por excepcin, a pesar de ser graves y terminar en ese, llevan acento escrito.El prefijo latinotri da lugar a muchas palabras. De las etimologas ms atinadas est la detrabajodetr ipa liare, torturar; sta a su vez proviene detri pa lium, literalmente, tres palos. Eltri pa liumera un aparato formado por tres palos cruzados que usaban los romanos, inicialmente, para sujetar animales, aunque no falt uno ms ingenioso que lo usara para sujetar a los esclavos cuando eran azotados, de modo que detr ipa liumsurgi el verbotr ipa liare, y as pas al espaol antiguo la palabratrebajo, dolor, esfuerzo, sacrificio, el verbotrebajary, de aqu,trabajoytrabajar.De los prefijostri ytertis vienetestis, con lo que se aluda a la tercera persona que estaba presente en un acontecimiento. Eltestislatino da lugar a las palabrastestigo,atestiguar,testificare, incluso,testar. Lo que resulta curioso es que de aqu proviene tambin el trminotestculo, para unos porque, cuando los romanos deponan un testimonio, se asan de esas partes nobilsimas para afirmar que los ponan en prenda de su dicho, cosa que, desde luego, aminoraba de manera notable las declaraciones falsas; sin embargo, los ms nclitos fillogos afirman que nuestras partes nobles o, mejor dicho, nuestras partes dobles, se llaman as porque eran testigos, la prueba de que el recin nacido era varn, cosa muy importante para pueblos guerreros como los romanos. En Resumen

Los nmeros naturales pueden emplearse con dos fines distintos:(a) describir el tamao de un conjunto finito y(b) describir la posicin de un elemento en una sucesin finita.

Los nmeros cardinales se pueden emplear para cuantificar el tamao de un conjunto (finito o infinito), mientras que los nmeros ordinales pueden emplearse para describir la posicin de un elemento en una sucesin (finita o infinita). Cuando se trata de conjuntos finitos, los nmeros naturales, los ordinales y los cardinales coinciden, es decir, son bsicamente identificables. En el caso de conjuntos infinitos la situacin es ms complicada y hay que distinguir entre ordinales y cardinales (adems, para conjuntos infinitos los nmeros naturales no son de utilidad) El aspecto del tamao de un conjunto se describe mediantenmeros cardinales, que tambin fueron descubiertos por Cantor, mientras que el aspecto de la posicin se generaliza mediante los nmeros ordinales.En lateora de conjuntos, los nmeros naturales se suelen construir comoconjuntostales que cada nmero natural es el conjunto de todos los nmeros naturales ms pequeos.

Visto as, cada nmero natural es unconjunto bien ordenado: por ejemplo, el conjunto del 4 tiene los elementos 1, 2, 3 y 4, que por supuesto se ordenan 1 < 2 < 3 < 4, y ste es un buen orden. Un nmero natural es menor que otrosi y solo sies un elemento del otro.Bajo esta convencin, se puede demostrar que todo conjuntofinitobien ordenado es ordenadamente isomorfo a exactamente unnmero natural. Este isomorfismo motiva a generalizar esta construccin hacia los conjuntos no finitos y sus correspondientes nmeros que seran ms grandes que cualquier nmero natural.CONSULTAR:http://www.project2061.org/esp/publications/sfaa/online/chap9.htm

La FORMA de un cuerpo (o una figura)

Los cuerpos (y las figuras que los representan) tienen muchas PROPIEDADES, algunas medibles y otras, no. Entre stas ltimas est la FORMA (y la belleza, y )

La FORMA es un concepto difcil de atrapar. Se trata de una esencia de los cuerpos (y de las figuras que los representan) independiente del tamao.Es importante darse cuenta que la FORMA, como el TAMAO, es un propiedad relacional': se adquiere COMPARANDO los cuerpos (o las figuras) entre s. Pero sta, a diferencia de aquel, busca las relaciones dentro de s, en los elementos que la componen.Para definir la FORMA se recurre al siguiente artificio: se crea el concepto de SEMEJANZA que permite CLASIFICAR todos los cuerpos (y las figuras) en clases de equivalencia. Cada una de esas clases define una FORMA.

Para terminar, solo nos queda dar un PROCESO para determinar cundo dos cuerpos (o dos figuras) son SEMEJANTES. Lo son cuando existe una homotecia que transforma uno en otro. Es decir, cuando se pueden poner en posicin de Thales.En resumen: todos los cuerpos semejantes tienen la misma forma, aunque pueden tener distinto tamao. Existen muchas formas, pero solo las geomtricas se pueden describir fcilmente: por eso las llamamos geomtricas.Aqu y ahora, pondremos de maniFiesto que los NMEROS y las FORMAS tienen una conexin insospechada en el siguiente sentido: veremos que los Nmeros tienen Forma y que las Formas se pueden caracterizar mediante Nmeros (su mdulo) Pero no son Nmeros para Contar, se trata ms bien de Proporciones, una nueva clase de Nmeros: los Nmeros Reales o Nmeros para Medir.

Por ejemplo, dentro de la familia de los rectngulos hay infinitas formas diferentes. Es decir, no todos los rectngulos son semejantes entre s. Pues bien, estas infinitas formas rectangulares quedan caracterizadas mediante un nmero, su MDULO, que es la razn entre sus dos dimensiones: largo y ancho.

Hablaremos, pues, de las Formas de los NMEROS y del Nmero de las FORMAS, como un ejemplo ms de ese Eterno y Grcil Bucle entre Nmero, Forma y Tamao.Empieza la funcin; presentemos a los

La FORMA de los NMEROS En la antigedad la Aritmtica (NMERO) y la Geometra (CANTIDAD) iban de la mano. En sus investigaciones matemticas, Pitgoras y sus discpulos utilizaban piedrecillas (en latn calculus) o marcas que disponan segn determinadas formas geomtricas. As, podan asociar nmeros y formas, cambiar estas y observar lo que ocurra con los respectivos nmeros, relacionar unas formas con otras, unos nmeros con otros, etc. En definitiva, trabajaban con la forma y el nmero a la vez. Los resultados fueron extraordinarios y permitieron descubrir importantes teoremas y relaciones. A lo largo de la historia ilustres matemticos como Gauss o Euler tambin dedicaron su tiempo al estudio de los nmeros figurados.Los griegos llamaban triangulares a los nmeros que correspondan a disposiciones de piedrecillas formando tringulos. Los cuatro primeros nmeros triangulares son los siguientes:

Llamaban cuadrados a aquellos nmeros que se obtenan al distribuir puntos o piedrecillas de modo que la imagen obtenida fuese la de un cuadrado. Aqu tienes los cuatro primeros nmeros cuadrados:

Daban el nombre de rectangulares u oblongos a los nmeros que se obtenan al distribuir las piedrecillas de modo que se obtuviesen determinados rectngulos. Aqu tienes tambin los primeros nmeros oblongos:

De forma anloga, los nmeros pentagonales estaban asociados con la forma de pentgono. Los primeros son los siguientes:

De forma anloga definan los nmeros hexagonales, octogonales, etc.Los nmeros poligonales aparecieron en los albores de laEscuela Pitagricacomo un elemento esencial de su misticismo numrico: no slo las cosas son en esencia nmeros sino que los nmeros son concebidos como cosas, de modo que las expresiones nmeros triangulares o nmeros cuadrados no son meras metforas sino que esos nmeros son, efectivamente, ante el espritu y ante los ojos, tringulos y cuadrados.

La asociacin del nmero con la imagen geomtrica permiti a los pitagricos la representacin visual de los nmeros combinando las dos esencias con que tiene que ver la Matemtica: el nmero y la forma, confiriendo a los nmeros propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgndoles de este modo un carcter universal e inmutable.La consideracin de los nmeros poligonales y su representacin geomtrico-visual permita, por una parte, constatar que ciertos nmeros tienen caractersticas diferentes que otros a tenor de las diferentes configuraciones geomtricas a que dan lugar, y por otra, el descubrimiento de forma geomtrico-emprica, casi corprea, de importantes propiedades de los nmeros y la obtencin de interesantes relaciones entre ellos. La polifiguracin numrica llevaba a extender conceptos de la Aritmtica como generalizacin de la experiencia prctica, desarrollando un atomismo numrico bellamente ilustrado en una geometra de nmeros figurados. stos, que son las primeras y las ms simples estructuras de la Geometra numrica estn en el corazn de las Matemticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de laTeora de Nmeros.A partir de las distribuciones geomtricas de puntos que hicieron los pitagricos con los nmeros poligonales, aparecan, como evidencia empricovisual, numerosas propiedades de los nmeros enteros, al considerar la relacin entre rdenes consecutivos de nmeros de un determinado tipo y relaciones entre nmeros poligonales de tipos diferentes. As por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-simo nmero triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los siguientes esquemas grficos nos proporcionan importantes propiedades aritmticas de los nmeros enteros:

Los nmeros poligonales han sido uno de los tpicos ms atractivos de la Historia de la Aritmtica tratado por matemticos de la talla de Nicmaco, Diofanto, Mersenne, Euler,Gauss, Lagrange,Legendrey Cauchy. Forman parte de las races histricas de laTeora de Nmeros, apareciendo en numerosos mbitos como por ejemplo en el Tringulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Anlisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el Clculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados porFermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtencin de sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los nmeros poligonales ha alcanzado un valor prctico en una incipiente aplicacin criptogrfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitgoras se sita en el umbral del pensamiento matemtico.

y los NMEROS de la FORMA: Proporciones Notables en Geometra (PARA SABER MS)En cualquiera de las civilizaciones antiguas se busc la perfeccin de las formas en la relacin de medidas que vinculaban las distintas partes de la obra, cada parte con el total, el total con el formato-soporte e incluso las del soporte en s.El trmino que emplearon los griegosfueSimetra, pero como hoy esa palabraha pasado a referirse a otra cosa distinta, concretamente la equidistancia de dos cosas a un centro o eje en sentido inverso, pues las relaciones de medida se estudian como Proporcin, y es un campo fundamental dentro de la Composicin.-Hay dos tipos de proporcin geomtrica:-1- la que establece entre dos elementos una razn simple, expresable como dos mltiplos de una unidad mdulo: 2/3, 3/5, 1/2 (proporcin esttica)2- la que relaciona dos valores por una razn inconmensurable, como un radical: de 2, de 3, de 5, nmero pi, razn urea, etc. (proporcin dinmica) Ver:Mdulo de rectangulosLos pitagricos y el platonismo en general estudiaronexhaustivamentelas razones estticascuando matemticas y geometra estaban en paales. Vincularon estas razones a los intervalos consonantes en msica, donde el unsono es la razn 1:1, la octava 1:2, la quinta (do-sol) 2:3, la cuarta (do-fa) 3:4, la tercera mayor (do-mi) 4:5, etc. Se comprueba perfectamente en un monocordio bien en una guitarra, donde el traste 12 est justo en el punto medio de la longitud de la cuerda, el 7 en los 2/3, el 5 en los 3/4 etc, siempre por orden en calidad armnica.

La msica, donde la escala es unidimensional, se rige por las razones simples, aunque compositores contemporneos han experimentado razones inconmensurables, en especial en su dimensin temporal (ritmos). En las artes visuales las razones musicales rigen estructuras modulares, mientras que las razones dinmicas dan un carcter espacial ms abierto.Todo esto nos conduce a que podemos CARACTERIZAR LAS FORMAS mediante NMEROS:El cuadrado es el rectngulo mod(1) y representa la unidad, el unsono. Tiene mucha fuerza visual, pero es la forma rectangular ms esttica. En el resto de los rectngulos domina el ancho el alto, as que participan de las propiedades expresivas de la direccin horizontal y de la vertical. Como quiera que la horizontal es la dimensin del tiempo, de la constancia, de la estabilidad, de la pasividad, los formatos apaisados refuerzan en los paisajes la sensacin de placidez, de intemporalidad, mientras que los verticales pueden subrayar temas ms activos y comunicativos, como el retrato, la figura el movimiento vertical de por ejemplo una cascada.

Los formatos modulares o estticos nos resultan cmodos perceptivamente. Estn basados en razones aritmticas simples:

Algunos rectngulos dinmicos interesantes son: el rectngulo 2, quese obtiene abatiendo la diagonal de un cuadrado, el 3, que se inscribe en un hexgono regular, o el rectngulo ureo, que se obtiene abatiendo la diagonal de la mitad del cuadrado:

El rectngulo ureo merece un artculo aparte. El 2 tambines importante a nivelprctico porque resuelve el problema de la duplicacin manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectngulos iguales, est claro que stas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectngulo esttico. Sin embargo las dos mitades de un raiz de 2 tienen esta misma proporcin. La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectngulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporcin 1 a 2, que es el formato A-0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de ste es el A-2, la mitad de ste A-3, y as con el A-4 que sustituye los tradicionales formatos arbitrarios de folio, el A-5 que sustituye la cuartilla, el A-6 la octavilla, etc. etc.

El formato 2 es el que permite ampliar al doble de superficie en una fotocopiadora un documento sin tener que hacer ajustes ni recortes, por eso en las mquinas siempre estn los valores de raz de 2 y su inverso: 141% y 71%. Llegar un da en que se resuelva el problema con los formatos de copia estndar? Parece difcil, ya no serviran los lbumes antiguos, los marcosantiguos, los sensores y pelculas antiguas

El TAMAO de un cuerpo o una figura

El TAMAO (o como dira un griego antiguo, la MAGNITUD) de un cuerpo o de una figura es algo que no se aprecia en absoluto. Es decir, el TAMAO es algo relativo, que los seres humanos apreciamos por COMPARACIN.Y aqu radica la clave y la dificultad que entraa este concepto; un concepto que, cuando se generaliza a cualquier PROPIEDAD medible -no solo al tamao- de un cuerpo o de una figura, conduce al concepto de CANTIDAD.

Las cosas no son grandes o pequeas per se. Si slo existiese un cuerpo en todo el universo no podramos aplicarle ninguno de esos calificativos. El tamao de un cuerpo se pone de manifiesto cuando est al lado de otro cuerpo, y podemos compararlos. Es, pues, una propiedad relativa que surge de la COMPARACIN.Es ms, para que el TAMAO de las cosas adquiera una significacin universal deberemos compararlas SIEMPRE con el mismo objeto: la UNIDAD de medida.En efecto, si solo tenemos dos segmentos de linea recta, A y B, lo nico que podemos hacer es compararlos por cociente': A/B.A esta comparacin por cociente A/B los griegos la llamaron RAZN, y determina cuntas veces el segmento A contiene al B. Como se ve en la figura adjunta, hay tres posibles resultados:

1. Que A sea un mltiplo de B, es decir, que A contenga a B un nmero exacto de veces. Entonces la razn es un nmero entero m.2. Que A y B tengan una parte alcuota, es decir, que tengan un divisor comn. Entonces la razn es una fraccin m/n.3. Que A y B sean inconmensurables, es decir, que no tengan ningn divisor comn. Entonces la razn es un nmero irracional.La RAZNes el concepto que crea la matemtica para comparar dos tamaos. Una RAZN es un cociente entre dos tamaos que determina cuntas veces contiene el numerador al denominador: Vesfera/Vcilindro=2/3.

Y aqu esta la clave de todo este asunto, cuando el denominador es la UNIDAD DE MEDIDA, estas razones o cocientes se convierten en CANTIDADES.Las CANTIDADES (por ejemplo, de LONGITUD) extienden el concepto de NMERO en el siguiente sentido: se pueden comparar, ordenar y sumar. Esto permite cuantificarlas o expresarlas numricamente. Pero estos nuevos nmeros tienen la potencia del continuo': se pueden dividir y dividir indefinidamente (el infinito actual!) Es decir, no existe un lmite al proceso de la particin de forma que no existe una cantidad (por ejemplo, de longitud) mnima (el infinitsimo)Termino, el TAMAO es la primera propiedad de un cuerpo (o de una figura) donde se creo este artificio que condujo al concepto de CANTIDAD (de longitud, de superficie o de volumen) Posteriormente se generaliz a todas las PROPIEDADES que admiten esta comparacin, ordenacin y suma, y se las llam MAGNITUDES en general. De esta forma la palabra MAGNITUD pierde su significado original de tamao para significar PROPIEDAD MEDIBLE.

Medir:Es comparar la CANTIDAD de magnitud con otra similar, llamada unidad, para averiguar cuntas veces la contiene.

Unidad:Es una cantidad que se adopta como patrn para comparar con ella cantidades de la misma especie.Por ejemplo, supn que queremos saber la cantidad de agua con la que se llena una piscina. Para ello no tenemos ms que unbaldeo cubeta y una fuentede agua. En ese caso, lo que haramos sera empezar a llenar cubeta de agua y vaciar su cantidad dentro de la piscina varias veces. Al contar el nmero de veces que hemos llenado y vaciado la cubeta dentro de la piscina, tambin habremos hecho una medida de cunta agua necesita la piscina para quedar llena.- Unidades de medida:Sera muy complejo que todos midiramos las cantidades, las longitudes, los pesos, etc. con lo que nos pareciera; ya que cada quien tendra un parmetro distinto y no habra un acuerdo universal para establecer clculos precisos sobre algo.Es por ello que se crearon las unidades de medida con el fin de tener un parmetro de referencia sobre las cantidades, magnitudes y dems en todo el mundo.

EJEMPLO:Cinco frmulas para CALCULAR el rea de un tringuloConsideremos el tringulo de la figura siguiente:

Sabemos que el rea o superficieSdel mismo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente, es decir, viene dada por la conocida frmula base por altura partido por dos:S=bh/2(1)Observemos que en el tringulo rectnguloBHC, se cumple quesenC=ha, es decir,h=asenC. Poniendo esta igualdad en la frmula anterior, obtenemos esta otra:S=basenC/2(2)O sea, que el rea de un tringulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ngulo que forman.En un artculo de dedicado al teorema de los senos obtenamos la siguiente frmula:a/senA=b/senB=c/senC=2REn la frmula anteriorRes el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo. DespejandosenCde la frmula anterior tenemos quesenC=c2R. Si se sutituye esta igualdad en la frmula(2)se obtiene:S=abc/4R(3)De este modo tenemos tambin que el rea de un tringulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.Observemos ahora la figura siguiente:En esta figura se ha dibujado la circunferencia inscrita al tringuloABC. Desde el incentroI, se han formado tres tringulos:IAB,IACeICB, cuya suma de reas completa el reaSdel tringuloABC.Los radios de la circunferencia hacen de alturas de esos tringulos, porque son perpendiculares a los lados en los puntos de tangencia, as que:rea[IAB]=cr/2;rea[IAC]=br/2;rea[ICB]=ar/2Por tanto:S=cr/2+br/2+ar/2S=r(a+b+c)/2Si llamamossal semipermetro del tringulo, comos=a+b+c2, tenemos:S=rs(4)Es decir, el rea de un tringulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semipermetro.Por ltimo, citamos la llamadafrmula de Hern, til cuando se conocen los tres lados del tringulo. Es la siguiente:S= raz[s(sa)(sb)(sc)](5)Al igual que antes,ses el semipermetro del tringulo.

El Tringulo Numrico:Un Eterno y Grcil Bucle

Una de las herramientas mgicas de las matemticas es el tringulo de Pascal. Adems de ser muy til, tambin es muy sencillo de construir. Incluso puede ayudarte en algn examen y en la vida real. No te lo crees? Comprubalo tu mismo.Tringulo de Pascal, de Tartaglia o numrico

As me llaman, aunque no soy un tringulo geomtrico, ms bien una disposicin numrica en forma de tringulo. Soy una figura elegante, repleta de muchas caractersticas interesantes.

Cada linea se construye a partir de la anterior. Con excepcin de los nmeros 1, que siempre estn en los extremos, cada nmero es igual a la suma de los dos nmeros que tiene por encima.Las aplicaciones del famoso tringulo ya las conocan los matemticos indios (siglo XI), chinos y persas. Pero fue el filsofo y matemtico francsBlaise Pascal(1623-1662) el primero en organizar muchas propiedades de manera conjunta, escribiendo el primer tratado sobre esta disposicin numrica.En Italia todos lo conocen como el tringulo deTartaglia, en honor al algebrista italiano, unos de los principales matemticos del siglo XVI y seguramente el primero en publicarlo en Europa.

Infinito y simtricoNo tiene fin y es simtrico respecto al eje vertical. Se puede leer igualmente empezado por la izquierda que por la derecha.Potencias cuadradasLa suma de todos los valores de cualquier fila del tringulo, es igual a una potencia de 2. La primera fila se denomina fila cero.

De esta forma se obtienen todas las potencias de 2: 1,2,4,8,16,32,64,128,256, etc.Potencia de una sumaObserva con atencin y vers cmo cada fila del tringulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

Esta propiedad es muy utilizada en matemticas. Es uno de loserrores tpicosde lgebra que cometen los estudiantes. Conociendo este tringulo numrico, es difcil que te equivoques.Nmeros poligonalesNmeros poligonales

Fueron descubiertos por lospitagricos. Estn presentes aqu, absolutamente todos los que quieras tener. Los encuentras? Te echo una mano. En la diagonal pintada de color azul, se encuentran losnmeros triangulares.Los nmeros cuadrados estn un poco ms escondidos. Coge esta misma diagonal y haz una pequea operacin para obtenerlos:1 1+3=4 3+6=9 6+10=16 10+15=25 15+21=36 21+28=49 etc.Como ves cada nmero cuadrado se obtiene sumando dos nmeros triangulares consecutivos. Tiene su lgica, porque un cuadrado es la suma de dos tringulos.Nmeros pentagonalesEn este caso tienes que coger la diagonal de los nmeros naturales.1 2+3=5 3+4+5=12 4+5+6+7=22 5+6+7+8+9=35 etc.Observa el patrn numrico que se cumple, realmente bonito.Nmeros hexagonalesEstos se ven a simple vista. Ya los tienes? Van dando saltos. S, tambin aparecen en la diagonal coloreada de azul.

Sucesin de FibonacciSeguramente habrs odo hablar de ella. Tambin la encontramos en este conjunto mgico de nmeros.

Qu pasar si diferenciamos los nmeros pares de los impares?Al usar diferentes colores para distinguirlos, obtenemos un fractal !! A ver quien me dice ahora que las matemticas son aburridas Obtenemos un patrn igualito altringulo de Sierpinski. Si quieres profundizar un poco en relacin a los patrones que pueden formarse en el tringulo de Pascal, puedes entraraqu.

Puedes construir fcilmente este fractal a partir de un tringulo equiltero (hazlo bien grande). Une los puntos medios de los lados y obtendrs 4 tringulos. Uno en el centro invertido. Despus tienes que ir repitiendo el proceso en cada uno de los tringulos que se apoyan en su base.Un objeto con estas caractersticas de auto semejanza en distintas escalas, se denomina fractal. Podemos decir entonces que el tringulo de Pascal es un fractal, aunque bien es verdad que hay que buscarlo. qu importante es dibujar en matemticas!Te permite calcular probabilidades

Cul es la probabilidad exacta de sacar exactamente dos caras tirando cuatro monedas?Tengo 4 objetos, me voy a la fila 4. Observo que tengo 16 casos posibles (sumando los valores de esa fila)Tengo que sacar 2 caras. Cuento hasta llegar a la casilla nmero 2 de esta fila (el primer 1 es la posicin cero). Obtengo el nmero 16. 6/16= 375%Cul es la probabilidad de obtener tres caras tirando cinco monedas?Te sale que es igual a un 3125%? Estupendo!!Imagnate la cantidad de apuestas que puedes hacer con tus amigos. Cuestin de probabilidades y posibles combinaciones de elementos

Los nmeros del tringulo de Pascal coinciden exactamente con los nmeros combinatorios.Por ejemplo, si tienes cinco libros, de cuntas maneras puedes elegir tres libros para leer durante unas vacaciones (no importa el orden)? Ves a la fila 5 , y sitate en la posicin nmero 3 (recuerda queel primer 1 es la posicin cero).Esa es la respuesta! De 10 formas diferentes.Potencias de 11Tambin estn todas. Slo tienes que ver cada fila como un nico nmero. A partir de la quinta fila, cuando ya aparecen nmeros de 2 cifras,necesitamos agrupar estos nmeros para obtener la potencia de 11

ActividadesA continuacin, te propongo una serie de actividades recreativas para que te des cuenta de las grandes relaciones que esconde este tringulo mgico.En los siguientes diagramas hay una relacin entre los nmeros azules y el nmero de color verde. Puedes verla?

La encontraste, verdad? Observa que el patrn de esta relacin se cumple siempre en cualquier parte del tringulo numrico.La siguiente tambin es sencilla. Puedes encontrarla? Eres capaz de enunciar dicha relacin?

Como ves las posibilidades que ofrece el tringulo de Pascal son enormes. Permite resolver muchos problemas de clculo. Te aseguro que aprenders mucho si sigues descubrindolas por ti mismo. Dale rienda suelta a tu imaginacin y disfruta jugando con los nmeros, las matemticas no te decepcionarn T qu opinas? Te espero entublogde matemticas(1).Si te ha gustado el artculo, comprtelo en tus redes sociales.

LA AUTO REFERENCIA

Estimado lector, qu cree Ud. que tienen en comn las siguientes personalidades:Kurt Gdel, el ms grande lgico del siglo XX, quien revolucion al mundo de las matemticas con un perturbador teorema;Maurits Cornelis Escher, un artista grfico holands que era capaz de plasmar en una hoja de papel enigmticas paradojas yJohann Sebastin Bach, el gran compositor barroco que, entre muchas otras obras, cre las embriagantes fugas para rgano. A primera vista es difcil imaginar algn ente integrador. Se trata slo de tres destacados personajes, que brillaron en disciplinas tan dismiles como las matemticas, el dibujo y la msica.Sin embargo, s existe un elemento comn y ese no es otro que la auto referencia (o recursividad), aquel extrao y perturbador fenmeno que permite que un evento se contenga a s mismo, hasta el infinito. Como dos espejos, puestos uno frente al otro, cuyas imgenes se enfrentan y proyectan hasta la eternidad. Aprovechando ese puente de comunin,Douglas R. Hofstadter, un destacado acadmico y escritor, nos presenta el libro Gdel, Escher, Bach; Un eterno y grcil bucle (Tusquets editores S.A., serie Metatemas).La obra gira en torno aKurt Gdel, quien en el siglo pasado remeci al mundo intelectual, al enunciar y demostrar un inquietante teorema conocido como de la incompletitud, el cual tuvo un profundo impacto en las matemticas y la filosofa, al poner en evidencia la imposibilidad de acceder a una verdad numrica absoluta y completa.Gdelutiliz el razonamiento matemtico para inspeccionar el propio razonamiento matemtico (a esta auto referencia el autor la denomina bucle), y a travs de ese camino encontr sentido a situaciones paradjicas que por milenios haban puesto en aprietos al razonamiento humano.

Junto aGdel, aparece la figura deMaurits Cornelis Escher, aquel genial artista que llev al papel situaciones imposibles, utilizando para ello ciclos autocontenidos e infinitos. Entre sus muchas obras podemos recordar aquella que muestra dos manos entrelazadas, en donde cada una dibuja a la otra; o ese grabado que presenta una cascada que se alimenta eternamente de la misma agua que precipita.El tercer protagonista esJohann Sebastin Bach, el gigante de la msica, que en muchas de sus composiciones utiliz estructuras recursivas, las que permitieron dar vida a maravillosas piezas musicales, como sus famosas fugas y cnones.Aquiles y un cangrejoPara acompaar a estas tres figuras histricas, se incluyen en el relato a personajes de ficcin, como Aquiles y la tortuga, ambos tomados de la obra deLewis Carroll(el autor de Alicia en el pas de las maravillas), o un enigmtico cangrejo y un Genio con su lmpara, entre muchos otros. Los dilogos entre estos protagonistas imaginarios, complementan las complejas y desconcertantes ideas que se desarrollan a travs de toda la obra.

El autor,Douglas R. Hofstadter, es una personalidad de intereses mltiples. Con formacin en fsica, ha trabajado y enseado en reas tan diversas como literatura comparada, idiomas, psicologa, informtica, ciencias cognitivas e inteligencia artificial. Su saber multidisciplinario, es el que le permite acceder a una mejor comprensin de los mecanismos que utiliza el cerebro humano para procesar e interpretar la informacin que lo conecta con la realidad.El afn de comprender los secretos del funcionamiento de la mente constituye la temtica central del libro, y el autor logra imprimirle a ste un desarrollo magistral, mediante el expediente de desnudar el proceso creador de los personajes ya presentados. A travs de dilogos, juegos y acertijos somos invitados a descubrir los elementos comunes, presentes en la obra del matemtico, del msico y del dibujante. Y para nuestra sorpresa, es posible identificar un hilo conductor, el que se manifiesta a travs de algunas propiedades de la realidad (como los bucles), las cuales aunque muchas veces desafan al sentido comn, son las que permiten que un sistema complejo, como el binomio cerebro-mente, llegue a comprenderse a s mismo.

El objetivo del autor se cumple plenamente, presentndonos una obra maciza que exige ser leda con concentracin y apertura de espritu. En sus pginas abundan los smbolos, cdigos y juegos de palabras, cuya correcta interpretacin nos obliga utilizar adecuadamente el cerebro y la mente, los mismos elementos cuyo enigma intentamos develar (otro bucle?).El libro gan el premio Pulitzer y ha tenido un gran xito de ventas, situacin inesperada para este tipo de literatura, pero que pone en evidencia cun importante es para la humanidad, el deseo de acceder a los ms profundos secretos de la naturaleza y, en especial, a comprender los misterios de nuestro pensamiento.

Aqu, de paso, os dejo

EL LAMENTO DE UN MATEMTICO.Es un artculo extrao y sorprendente. A pesar de ser un clsico, y de haber supuesto un autntico bombazo en el mundo de la educacin matemtica, en Estados Unidos primero y despus en todo el mundo, su autor,Paul Lockhart, nunca lo public. Sin embargo, a los pocos meses de nacer en el ao 2002 corra como la plvora entre los crculos de profesores de matemticas ms sensibilizados por los contenidos de esta materia en la enseanza primaria y secundaria.

Experiencia Matemtica: una experiencia inolvidable de qu son las MATEMTICAS

Una definicin ingenua, vlida para hacerse una primera idea, es que lasmatemticas son la ciencia de la cantidad y el espacio. Se podra ampliar un poco esta definicin y aadir que las matemticas se ocupan igualmente de los simbolismos concernientes a la cantidad y al espacio.

Hay un gran libro titulado Experiencia matemtica, cuyos autores son Philip J. Davis y Reuben Hersch. Su primera parte, El Paisaje Matemtico, comienza precisamente con el ttulo de este artculo y se introduce con el prrafo anterior. Este libro vio la luz en 1982 y se public aqu en Espaa en 1989 (coeditado por el Centro de Publicaciones del MEC y la Editorial Labor). Para mi fue, es y ser (nunca se acaba de leer del todo) uno de los pilares que hace que siga con mucha ilusin en esto de las matemticas. El libro pretende modificar y ampliar la anterior definicin de las matemticas de forma que refleje el desarrollo de las matemticas a lo largo de los ltimos siglos e indique qu visin tuvieron diversas escuelas sobre lo que esta ciencia debera ser.Este inicio del libro contina as:

Las ciencias de la cantidad y el espacio, en sus versiones ms sencillas, se conocen comoaritmticaygeometra. La aritmtica que se ensea en la escuela elemental o primaria se ocupa de nmeros de diversas clases y de las reglas para operar con nmeros, como la adicin, la sustraccin, etc. Al mismo tiempo, aborda situaciones de la vida cotidiana en que se utilizan estas operaciones.

La geometra se ensea en cursos posteriores. Se ocupa, en parte, de problemas de medicin espacial. Cuntos centmetros cuadrados tiene un rectngulo de 4 cm de base y 8 cm de altura?Si trazo (imaginariamente) dos rectas en el espacio que no se corten, cul ser la distancia entre ambas? La geometra estudia tambin aspectos del espacio que estn provistos de fuerte atractivo esttico o de elementos sorprendentes. Nos dice, por ejemplo, que en un paralelogramo cualquiera las diagonales se cortan en sus puntos medios; o que en todos los tringulos, las tres medianas se intersectan en un punto. Nos ensea que podemos embaldosar un suelo con tringulos equilteros o con hexgonos, pero no con pentgonos regulares.Pero la geometra, cuando se ensea segn la estructur Euclides hacia el ao 300 a.C., tiene otra faceta cuya importancia es vital. Consiste en su presentacin como ciencia deductiva. Partiendo de cierto nmero de ideas elementales, admitidas como evidentes por s, y fundndose en unas pocas reglas de manipulacin matemtica y lgica, la geometra eucldea va tejiendo un entramado de deducciones de complejidad creciente.En la enseanza de la geometra elemental no se destacan solamente los aspectos visuales o espaciales de esta materia sino tambin su metodologa, en la cual es la hiptesis la que lleva hasta la conclusin. Tal proceso deductivo se denominaprueba, odemostracin.La geometra eucldea fue el primer ejemplo de sistema deductivo formalizado, y ha adquirido carcter de paradigma para la totalidad de tales sistemas. La geometra ha sido el gran campo de prcticas del razonamiento lgico, y se ha sostenido (con razn o sin ella) que el estudio de la geometra proporciona al estudiante una formacin bsica en tal razonamiento.

Aunque los matemticos de la Antigedad comprendan claramente los aspectos deductivos de la aritmtica, hasta el siglo XIX no se hizo hincapi en ellos ni en la enseanza de las matemticas ni en su creacin. De hecho, en fechas tan cercanas como el decenio de 1950 no faltaban profesores de secundaria que, aturdidos por el impacto de la matemtica moderna, afirmasen que la geometra tena demostracin, mientras que la aritmtica y el lgebra no.El creciente nfasis con que fueron acentuados los aspectos deductivos de todas las ramas de las matemticas hicieron que, a mediados del siglo XIX,C. S. Peirceanunciase que la matemtica es la ciencia de la formacin de conclusiones necesarias. Conclusiones acerca de qu? Sobre la cantidad? Referentes al espacio? En esta definicin de Peirce no se especifica cules han de ser los contenidos de la matemtica; la matemtica podra tratar de cualquier cosa, en tanto su estudio se atenga al esquema hiptesis-deduccin-conclusin

EnEl signo de los cuatro, Sherlock Holmes le hace notar a Watson que la labor detectivesca es, o tendra que ser, una ciencia exacta, que debiera ser tratada con ese mismo talante, desapasionado y fro. Se ha esforzado usted en teirla de romanticismo, lo cual produce efectos muy similares al de incluuir en el quinto postulado de Euclides una historia amorosa o la fuga de dos amantes. Conan Doyle est afirmando aqu, en tono irnico, que la deteccin criminal podra perfectamente ser considerada como una rama de la matemtica. Peirce hubiera estado de acuerdo.La definicin de las matemticas es cambiante. Cada generacin y cada matemtico reflexivo de cada generacin formula una definicin, segn sus luces. Habrn sido examinadas cierto nmero de distintas formulaciones antes de poner a este volumen la palabraFinis.

Me gustara concluir esta entrada, al hilo de los argumentos de Philip J. Davis y Reuben Hersch, proclamando de nuevo mi conviccin en que as como no se puede definir el amor, tampoco se puede definir la matemtica. Pero que no se pueda definir el amor o las matemticas, no implica que no se puedan EXPERIENCIAR. Y en los dos casos no requiere mucho esfuerzo el darse un par de buenas experiencias!Incluso en los aos escolares!Y lo ms importante es, quiz, darse cuenta que nuestra aspiracin se debe dirigir, ms que a definir las cosas, a EXPERIENCIARLAS. En la seguridad de que la experiencia de las cosas se basa ms en el cmo, que apunta a la calidez de las cosas que se viven; que en el qu, que apunta a la rapidez y cantidad de cosas (lasetambinmatemticas) que se viven. Porque una cosa es segura: un par de buenas experiencias amorosas, digo matemticas, bastan para saber qu son lasmatemticas(y el amor!)No dejes que la cantidad te prive de la calidad que da la COMPRENSIN!Tampoco dejes que el qu VIVES se anteponga al cmo lo EXPERIENCIAS!La Invisibilidad de lasMatemticasdematematicasiesojaelmarzo 13, 2015

No, este artculo no va de la INVISIBILIDAD de estas matemticas. Que tambin lo son, sin que se sepa muy bien por qu! Pero de eso hablaremos otro da.Aqu quiero disertar sobre unaSORPRENDENTE e INEXPLICABLE PARADOJAen la que viven inmersas las MATEMTICAS: aunque es unaciencia que viene demostrando su utilidad desde hace ms de cuatro mil aos en la casi totalidad de las facetas de la actividad humana; SE MUESTRAN COMO ALGO IRRELEVANTE en la vida cotidiana posterior al periodo en que nos obligan a pasar por el colegio.Para m esta paradoja es el reflejo claro de un tpico que se mantiene sin reflexin alguna: que las matemticas son necesarias. Tal es as que los hacedores de currculos nos venden (o nos imponen) las matemticas bajo ese sello: LA NECESIDAD.

Las matemticas son bellas, son creativas y son reveladoras de nuestros potenciales. Adems, de propina, resultan sertremendamente tiles; pero NO SON NECESARIAS para la mayora de las personas. Y conviene tenerlo claro porque es recubierto denecesidad como nos tragamos el anzuelo de la OBLIGATORIEDAD, que descubrimos dolorosamente cuando sentimos desgarrarse poco a poco la base de nuestra existencia y de nuestra experiencia como humanos: LA LIBERTAD.

Adis a la magia, al gozo, a la pasin que podra aportarnos la Vida y las matemticas! Adis a disFrutar de la Vida y de las matemticas como lo que son: UN ARTE que nos permite crear sinfonas NUMRICAS, colorear con lasFORMAS y los TAMAOS, y levantar preciosas ESTRUCTURAS FORMALES. Solo que, a diferencia de lamsica, dela pintura, de la arquitectura lo hace en un universo intangible: EL UNIVERSO DE NUESTRA RACIONALIDAD. Un universo que danza y se reconoce dentro de un omniverso: EL OMNIVERSO DE LA CONCIENCIA HUMANA.Empecemos. Juan Luis Herrero Prez y Jos Lorenzo Blanco aciertan al hablar, en su artculo para la revista Suma, deLA INVISIBILIDAD DE LAS MATEMTICAS.Porque ciertamente, tal como se observa a diario, es como si lasmatemticasse hicieranINVISIBLESEN LA VIDA COTIDIANA:las matemticas no son consideradas como algo til en la vida cotidiana o posterior a la vida acadmica. Al ciudadano corriente se le hacen invisibles. Esto origina una serie de reflexiones sobre las matemticas que se ensean, las de la vida y las divergencias entre ambas.Esta aparente contradiccin entre el aumento de intervencin de las Matemticas en la vida del ciudadano comn y su percepcin de la escasa presencia de las mismas, fue denominada por Niss como la ((paradoja de la relevancia) que l describe como la existencia simultnea de la relevancia objetiva con la irrelevancia subjetiva de las Matemticas.

Cabe preguntarse: cul es el motivo de esta aparente invisibilidad?Para muchos ciudadanos adultos el nico signo de visibilidad que conceden a las Matemticas es su carcter de obstculo social. Sufrieron en la escuela un duro aprendizaje de conceptos y algoritmos a los que no concedan y no conceden inters ni utilidad ms all del mbito escolar.Sus capacidades generales fueron calificadas exclusivamente por sus destrezas matemticas (an resuenan en los odos de muchos frases tan crueles y lapidarias como es malo en Matemticas, no llegar muy lejos

Y para colmo, cuando trataron de acceder a un puesto de trabajo se utilizaron las Matemticas como elemento discriminados, muchas veces innecesariamente (de vez en cuando encuentran reflejo en la prensa los peregrinos conocimientos matemticos exigidos a los aspirantes a una plaza de barrendero, conserje o limpiador).Si las Matemticas no fueran ya invisibles, muchos ciudadanos desearan condenarlas a serlo. Y entonces, nos preguntamos cules han sido los beneficios del aprendizaje que de las Matemticas ha tenido que realizar un ciudadano corriente?

Alguien argumentar que a travs de las Matemticas escolares los alumnos desarrollan muchas capacidades de trascendencia tan vital como el razonamiento lgico, la precisin y el rigor en el lenguaje, la capacidad de anlisis crtico, el sentido de la precisin y la estimacin, la visin espacial, etc.Otras materias actan sobre esas capacidades, aunque parece que slo las Matemticas lo hagan sobre todas ellas a la vez. Sin embargo, es difcil cuantificar el logro en esos campos y ms la intervencin que el aprendizaje de las Matemticas haya tenido en ellos. Y si son difcilmente perceptibles para el profesor, para el individuo sometido al proceso son prcticamente invisibles. Manuel de Len, que es profesor de investigacin del CSIC y presidente del Comit Espaol de Matemticas y del International Congress of Mathematicians 2006-Madrid, tambin incide en lo mismo:

Escoja usted dos nmeros primos muy grandes, digamos de 100 dgitos, que no comunicar a nadie. Multiplquelos y obtendr otro de 200 dgitos, que har pblico. Usando software simple puede codificar un mensaje con este nmero y enviarlo sin temor. La nica manera de descifrarlo sera descomponer el nmero de 200 dgitos en sus factores primos. Qudese tranquilo, se necesitaran siglos para conseguirlo. ste es el principio del llamado protocolo RSA creado en 1978 por Rivest, Shamir y Adleman, es en esencia lo que usted usa cuando introduce su tarjeta en un cajero automtico o compra por Internet y es una de las maravillosas aplicaciones de las matemticas a la vida diaria. Podramos enumerar bastantes ms: compresin de imgenes, TAC, prediccin meteorolgica, exploracin espacial, aerodinmica de automviles, mercado financiero y tantos otros ejemplos de esa irrazonable eficacia de las matemticas aplicadas a las ciencias naturales a la que se refera Wigner, Nobel de Fsica en 1963.

El prrafo anterior encaja en la necesidad de las matemticas de justificar su importancia. Como vemos, los matemticos cumplimos sobradamente este requisito perolas matemticas siguen siendo una ciencia invisible en la vida diaria, excepto en la problemtica situacin de la educacin secundaria. Y los tpicos sobre las matemticas y sus practicantes se perpetan.

Habiendo desechado estos dos tpicos -las matemticas son intiles, los matemticos son extraos e insociables- analicemos las razones ltimas de las matemticas. Habra muchas, aparte de la utilidad, que justificaran su existencia, como la curiosidad intelectual y la bsqueda de la belleza; sos podan ser tambin los motivos por los que Velzquez pintaba cuadros o Quevedo escriba sonetos. Pero las matemticas se han desarrollado adems para responder a desafos intelectuales, creando as uno de los mayores patrimonios de la humanidad.

Por qu queremos resolver la conjetura de Poincar? Por la misma razn que un alpinista sube al Everest o un navegante cruza el Atlntico en solitario. Porque estn ah. En palabras del matemtico francs Jacobi, por el honor del espritu humano. Reivindiquemos a los matemticos como audaces aventureros del conocimiento! Deca el gran matemtico alemn Hilbert: Wir mssen wissen, wir werden wissen(Debemos saber, sabremos). Lo repito, para m esta paradoja es el reflejo claro de un tpico que se mantiene sin reflexin alguna: que las matemticas son necesarias y que, por tanto, tienen que ser OBLIGATORIAS.

Sin duda alguna es Paul Lockhart quien pone el dedo en la llaga en sumagnficoLAMENTO DE UN MATEMTICO.Es un artculo extrao y sorprendente para muchos, pero que merece una atenta lecturaexentade prejuicios. A los pocosmeses de nacer en el ao 2002 corra como la plvora entre los crculos de profesores de matemticas ms sensibilizados por los contenidos de esta materia en la enseanza primaria y secundaria.Un msico se despierta de una terrible pesadilla. En su sueo se encuentra en una sociedad donde la educacin musical ha sido declarada obligatoria. Estamos ayudando a nuestros estudiantes a ser ms competitivos en un mundo cada vez ms repleto de sonidos. Educadores, sistemas escolares y el estado mismo se disponen a comandar este proyecto vital. Se encargan estudios, se forman comits, se toman decisiones todo sin la participacin o el asesoramiento de un slo compositor o msico profesional.

Despertndose entre sudores fros, el msico se da cuenta de que, gracias sean dadas, todo era un sueo alocado. Por supuesto!, se reafirma, ninguna sociedad reducira un arte tan hermoso y cargado de sentido a un estado tan automtico y trivial; ninguna cultura sera tan cruel con sus hijos como para arrebatarles un medio de expresin humana tan natural y satisfactorio. Qu absurdo!

Todo el mundo sabe que hay algo mal Todos estn equivocados Los nicos que entienden de verdad qu es lo que est pasando son precisamente aquellos a los que se culpa con ms frecuencia y a los que menos se escucha: los alumnos. Dicen la clase de matemticas es estpida y aburrida. Y tienen razn.Ante todo es necesario entender queLAS MATEMTICAS SON UN ARTE. La diferencia entre las matemticas y el resto de las artes, como la msica y la pintura, es que nuestra cultura no la reconoce como tal.

Todos entendemos que poetas, pintores y msicos crean obras de arte, y que se expresan mediante la palabra, la imagen y el sonido. De hecho, nuestra sociedad es harto generosa cuando se trata de la expresin creativa: arquitectos, cocineros e incluso directores de programas de televisin son considerados artistas. Por qu no los matemticos? Parte del problema es que nadie tiene la menor idea de qu es lo que hacen los matemticos. La visin comn afirma que los matemticos tienen algo que ver con la ciencia tal vez ayudan a los cientficos con sus frmulas, o introducen nmeros enormes en ordenadores por una razn u otra.

Sin embargo, el hecho es que no existe nada ms soador y potico, nada tan radical, subversivo y psicodlico como las matemticas. Es tan sorprendente como la cosmologa o la fsica (los matemticos imaginaron los agujeros negros mucho antes de que los astrnomos encontraran uno), y permite mayor libertad de expresin que la poesa, la pintura o la msica (atadas como estn a las propiedades del universo fsico).La Matemtica es la ms pura de las artes, as como la menos comprendida. De modo que permtanme explicar qu son las matemticas y qu hacen los matemticos. Difcilmente podr empezar mejor que con una cita de la excelente descripcin de G.H. Hardy:Un matemtico, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son ms permanentes que los de otros artistas, es porque estn hechos de ideas..No, amig@, no; no le des ms vueltas. Las matemticas nacieron porque son BELLAS, aunque hayan demostrado sobradamente con posterioridad que tambin son TILES; y, se diga lo que se diga, los miles de millones de personas que se pasan sin ellas toda su vida demuestran a diario que NO SON NECESARIAS para la mayora de la gente.

Las MATEMTICAS son un producto ms de nuestro increble potencial CREATIVO. Y cuando creamos algo nuevo desde la inocencia de nuestra Conciencia, miramos ms hacia lo BELLO que hacia lo NECESARIO.Puede que esto no guste a algunos, pero no es una cuestin de gustos, sino de orientaciones, y la nuestra, LA DEL SER HUMANO, es hacia lo bello, lo divertido y lo que nos hace gozar.La NECESIDAD, como el rigor, viene luego!, a la hora de cazar, de cocinar y de comer. Y tambin nos empeamos en que est presente a la hora de ENSEAR! Como si la enseanza no fuera el ms autntico y genuino proceso creativo, en el que mandan la BELLEZA, el PLACER, el GOZO y la LIBERTAD!S, esa que sentimos cuando creamos nuevos universos fsicos, mentales y emocionales!

La MATEMTICA es un universo mental que t Creas y en el que te ReCreas cada da. Un Universo que slo admite un criterio para la existencia: LA BELLEZA. No hay lugar en el Universo de las Matemticas para las cosas feas. Ni para las aburridas!

Pero el Utilitarismo ha ganado la partida, y ahora todo tiene que llevar la etiqueta de necesario. Pobres Matemticas, y pobres de los alumn@s a los que se les venden bajo esa consigna. Estn condenados a sufrirlas en la soledad de la incomprensin.

Para ver al mirar y reconocer al ver tienes que pensar, fuera de la caja, ms all de la realidad de consenso que impone creencias como verdades y sostiene mitos que no son ms que los barrotes donde aprisionamos nuestra libertad.LasMATEMTICASson un ARTE, y el da que como tal sean tratadas se acabar su INVISIBILIDAD.La base de nuestra existencia es la LIBERTAD! Por eso no llevamos nada bien que nos la cercenen con NECESIDADES y OBLIGACIONESSomos los Soadores de Sueos, los Creadores de Nmeros y los Hacedores de Msica, nada que sea NECESARIO.Aqu, Ahora y As, RECLAMO que lamatemticasea liberada de los adjetivos de NECESARIA y de OBLIGATORIA, porque entonces volver a florecer en nuestros corazones como lo que es: Msica,Poesa, Pintura, Arquitectura en estado puro. TODO UN ARTE con el que nos ReCreamos cuando nos apetece!

Hasta aqu he intentado argumentar sobre la invisibilidad de lasmatemticas, aunque no oculto que lo que estado defendiendo es la innecesariedad de las matemticas.Para terminar, y por eso de la simetra, un pequeo apunte sobreLa INVISIBILIDAD EN LAS MATEMTICAS

A veces les digo a mis alumnos que tienen que utilizar unas gafas Matemticas para usar en clase y que, les permitan ver ciertas cosas que sin ellas es imposible. Unas gafas de quitar y poner, ponrselas en clase y quitrselas cuando salgan, porque estar viendo Matemticas todo el da puede trastornar a cualquiera. Aunque en determinadas ocasiones pueden, tambin, usarse fuera de clase, como por ejemplo: para el concurso de fotografa o para que no te engaen en la cuenta del hiper,Durante estos das en clase me he dado cuenta de lo tiles que son estas gafas para localizar a los llamados nmeros invisibles.

Qu son los nmeros invisibles? Hay nmeros naturales, enteros, racionales, bueno, pues todos ellos tienen la propiedad de volverse invisibles cuando menos te lo esperas para darte un buen susto. Veamos algunos ejemplos para aquellos incrdulos que an no creen en la invisibilidad de los nmeros.En la ecuacin x 3 = 0, cul es el coeficiente de x? Pregunto a un alumno.Su respuesta suele ser . Nada.A lo que yo le respondo: Cuntas x tienes?.- Una. Responde el alumno..- Entonces el coeficiente de la x es ese 1. Le contesto..- Pero, yo no veo el uno. Afirma el alumno con cara de no creerse lo que le cuentas..- No lo ves porque no es necesario ponerlo, pero sabes que hay una x que es lo mismo que 1 x. Dices por ltimo.Y el alumno dicecrerselo. Pero lo ve de verdad? O se conforma concrerselo?Aqu tenemos el primer nmero invisible, est pero no lo ves. Salvo site pones las gafas Matemticas y terminas por verlo. Pero este no es el nico caso, como este nmero invisible hay un motn. Veamos otros ejemplos:

Creo que para el prximo curso voy a encargar un par de centenares de esas gafas, alguien sabe donde se venden?

El Universo Matemticodematematicasiesojaelmarzo 13, 2015

Lo primero que hay que decir es que el Universo Matemtico, como el universo fsico, est en continua expansin, y es que no para de crecer! Adems, ya no estamos seguros de que sea un universo y no un multiverso: un conjunto de universos paralelos que se comunican mal (para desgracia de sus habitantes)

La metfora, siempre la metfora!, pero es lo que hay; no se puede hacer otra cosa para facilitar la comprensin de las cosas. Pero dejemos los juicios yVAYAMOS A DESCRIBIR ELUNIVERSO o EL MULTIVERSO MATEMTICO______________________________De su NACIMIENTOComo del fsico, sabemos poco del nacimiento del Universo Matemtico. Solo que las matemticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseos prehistricos de cermica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geomtrico y del inters en figuras geomtricas. Los sistemas de clculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numricos en los que las bases son los nmeros 5 y 10.

Aunque estamos poco seguros de cmo se tomaron algunas decisiones, como la que da origen al Sistema Sexagesimal:los Babilnicos utilizaban 60 signos, de ellos heredamos la forma de contar el tiempo, en donde un grado son 60 minutos y un minuto 60 segundos.Otras culturas contaban por docenas, debido a que utilizaban las rayas de los dedos, excluyendo el pulgar. En alguna tribu africana se sigue utilizando. Nosotros contamos por docenas los huevos y otros elementos.LAS PRIMERAS estrellas

LA MATEMTICA se reconoci en la Grecia Clsica como un sistema solar binario con dos padres fundadores': una estrella erala Geometra (como ciencia de la Forma y del Tamao o Magnitud), que se asocia a Thales de Mileto; y la otra estrella erala Aritmtica (como ciencia de los Nmeros), que se se asocia a Pitgoras de Samos.

Francesco de Mura (1696-1782) Alegora a las artes liberales en el museo de Louvre.Con la mano izquierda hace geometra, con la derecha aritmtica, la astronoma detrs y tambin presentes la msica y las artes plsticas.La contabilidadse la dejaban para los prestamistas, digo, calculistas profesionales.CONSTELACIONES matemticas

Con el paso del tiempo se aguz la vista y el firmamento matemtico sefue llenando de nuevas estrellas a las que se les puso nombres cada vez ms sofisticados. A la vez que se descubran estas nuevas estrellas, se comenz a delimitar su campo de influencia.

A saber:ARITMTICA:literalmente es el arte de contar. Se dedica al estudio de los nmeros y sus propiedades bajo las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin. Procede del griego (arithms) que significa nmero y techn que se refiere a un arte o habilidad.ALGEBRA:rama de las matemticas en la que se usan letras para representar relaciones aritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races.La aritmtica, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas, como el teorema de Pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados de lado los catetos.

La aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 3 + 4 = 5). El lgebra, por el contrario, puede dar una generalizacin que cumple las condiciones del teorema:a = b + cLA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA. Un nmero multiplicado por s mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superndice 2.El lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos.El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas. Los matemticos consideran al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. As, en su forma ms general, una buena definicin de lgebra es la que dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.

GEOMETRA CLSICA:El origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios.Este tipo de geometra emprica, que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas, o postulados.Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios.Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguiente afirmacin una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos.

Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas: la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma de dos ngulos rectos el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (conocido como teorema de Pitgoras).La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libroLos Elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das.GEOMETRA PROYECTIVA:Grard Desargues es el iniciador de la geometra proyectiva, pues fundament matemticamente los mtodos de la perspectiva que haban desarrollado los artistas delRenacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pas desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometra proyectiva y la geometra hiperblica, se establecieron dentro de las matemticas, pero lo que acab de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analtico. Dentro del contexto de la geometra euclidiana-cartesiana se puede construir la geometra proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.GEOMETRA ANALTICA.La geometra avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado El Discurso del Mtodo, publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometra moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigacin de las propiedades de las figuras geomtricas que no varan cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.La geometra sufri un cambio radical de direccin en el siglo XIX. Los matemticos Carl Friedrich Gauss, Nikoli Lobachevski, y Jnos Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometra no eucldea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado postulado paralelo de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraos y no intuitivos de espacio, aunque, eso s, coherentes.Casi al mismo tiempo, el matemtico britnico Arthur Cayley desarroll la geometra para espacios con ms de tres dimensiones. Imaginemos que una lnea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la lnea se sustituye por una lnea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una lnea perpendicular a l, se genera un espacio tridimensional. Yendo ms lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una lnea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional.Aunque ste es fsicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente slido. El uso de conceptos con ms de tres dimensiones tiene un importante nmero de aplicaciones en las ciencias fsicas, en particular en el desarrollo de teoras de la relatividad.Einstein demuestra con estas 4 coordenadas que a medida que la velocidad tiende a la de la luz, el tiempo tiende a cero.

Tenemos: lnea, plano, espacio tridimensional. En el espacio de cuatro dimensiones y cinco las propiedades algebraicas y las estructuras son las mismas.Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareci en el siglo XIX.Tambin se han utilizado mtodos analticos para estudiar las figuras geomtricas regulares en cuatro o ms dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.

Esta geometra se conoce como geometra estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometra es la definicin de la figura geomtrica ms sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o ms dimensiones.En la geometra analtica las lneas rectas, las curvas y las figuras geomtricas se representan mediante expresiones algebraicas y numricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de interseccin, tambin llamado origen.El segundo tipo de problema es: dada una expresin algebraica, describir en trminos geomtricos el lugar geomtrico de los puntos que cumplen dicha expresin. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geomtrico de los puntos que satisfacen:

Usando ecuaciones como stas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geomtricos de construccin, como: la biseccin de un ngulo o de una recta dados encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estn en lnea recta.La geometra analtica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemticas pues ha unificado los conceptos de anlisis (relaciones numricas) y geometra (relaciones espaciales).El estudio de la geometra no Eucldea y de las geometras de espacios con ms de tres dimensiones no habra sido posible sin un tratamiento analtico. Del mismo modo, las tcnicas de la geometra analtica, que hacen posible la representacin de nmeros y expresiones algebraicas en trminos geomtricos, han ayudado al clculo, la teora de funciones y otros problemas de las matemticas avanzadas.

GEOMETRA FRACTAL. En la dcada de 1970 se desarrolla esta nueva geometra. Consiste fraccionar un segmentorepetidamentetal como muestra lafigura.

Este desarrollo aparece en el crecimiento de algunas plantas. Con ayuda de ordenadores se pueden conseguir estructuras muy variadas como se muestra en la figura.ANLISIS MATEMTICO:rama de las matemticas que se encarga del estudio de las funciones. Es la matemtica del INFINITO: lo infinitamente pequeo y lo infinitamente grande, los dos infinitos que implica la CONTINUIDAD.Las FUNCIONES son el modelo matemtico para los FENMENOS DETERMINISTAS. Y el concepto de funcin resulta ser de una herramienta fundamental en la ciencia y en la ingeniera, pero una herramienta que exige, en ocasiones, hilar muy fino.

ANLISIS DIFERENCIAL:rama de las matemticas que se encarga del estudio de las funciones, sus aplicaciones a las diversas ciencias econmicas, ingenieras, los lmites, las derivadas, las grficas y sus propiedades.ANLISIS INTEGRAL:estudia las integrales de las funciones y sus aplicaciones.Mostramos un ejemplo de rea con aristas curvas y un volumen que se calcula con ayuda de las integrales.

INTEGRAL:este concepto se debe a Jacques Bernoulli. En un principio Leibniz llam a las dos ramas del clculo que haba inventado calculus differentialis (las tangentes las obtena estudiando el comportamiento de pequeas diferencias de las variables) y calculus summatorius (las reas de superficies las obtena mediante sumas de pequeas reas). Despus Johann Bernoulli le sugiri que sera mejor llamar a este ltimo calculus integralis, cosa con la Leibniz se mostr de acuerdo. El primero en usarlo fue su hermano Jacques, aunque Johann deca que el trmino se deba a l mismo.El signo se debe a Leibniz, matemtico Aleman. Con las integrales definidas podemos hacer los clculos de reas encerradas por funciones o volmenes, entre otras mltiples aplicaciones.

TOPOLOGA:estudia las propiedades de los cuerpos geomtricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Estudia conceptos como, proximidad, nmero de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto.ESTADSTICA:trata la obtencin de informacin a partir de los datos. Se encarga de la recoleccin, representacin, anlisis, interpretacin y aplicaciones de datos numricos a travs de un conjunto de tcnicas con rigor cientfico. Cuando tales datos dependen del azar.Utiliza mtodos como laTEORA DE LA PROBABILIDAD. Es una de las partes ms modernas y de gran nfluenciaen la economa. No se lanza ningn producto sin hacer una encuesta. ESTADSTICA DESCRIPTVA:rama de la estadstica que se dedica a encontrar formas de representar informacin numrica de una forma comprensible y til en forma de tablas, grficas y diagramas para extraer de ellas informacin sobre los datos.

ESTADSTICA INFERENCIAL:rama de la estadstica que se dedica a estimar valores descriptivos de la poblacin a partir de la informacin que se tiene de una muestra de la misma usando algunos parmetros conocidos como estadsticos (media, desviacin estndar, etc.)En ResumenEn el pasado las matemticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometra), a los nmeros (como en la aritmtica), o a la generalizacin de ambos (como en el lgebra).

Hacia mediados del siglo XIX las matemticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias.Esta ltima nocin abarca laLGICA MATEMTICAosimblica, ciencia que consiste en utilizar smbolos para generar una teora exacta de deduccin e inferencialgica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas ms complejos.La existencia de GALAXIAS MATEMTICAS

Pero, an as, el Firmamento Matemtico demostr tener muchos miles de estrellas. LaSociedad Americana de Matemticasdistingue unas 5000 ramas distintas de las matemticas.Es hora, pues, de cambiar nuestra imagen del Universo Matemtico y ver las estrellas agrupadas en torno a cuatro centros atractores: son las Galaxias Matemticas. Y como las galaxias fsicas, las matemticasforman cmulos galcticos.El primer Cmulo es laMATEMTICA PURA:Se centra en el estudio de las matemticas como conocimiento: su teora, estructura, mtodos y procedimientos, con el fin de incrementar el conocimiento matemtico. En este caso, las aplicaciones de las matemticas no se tienen en cuenta, aunque generalmente lo que se descubre en las matemticas puras puede ser utilizado en otras ramas de la ciencia como la fsica.Con las matemticas estudiamos las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lgicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

LA MATEMTICA PURAcontiene cuatro galaxias:

LA CANTIDAD.Sus sistemas ms estelares son los conjuntos numricos:

Los Nmeros Naturales: 1, 2, 3, 4, 5 Los Nmeros Enteros: , -2, -1, 0, 1, 2 Los Nmeros Racionales: , 2/3 Los Nmero Reales: -e, pi, phi Los Nmeros Complejos: -i

LA ESTRUCTURA.Tiene como sistemas estelares a:

La Combinatoria La Teora de Nmeros. La Teora de Grupos. La Teora de Grafos. La Teora del Orden. El lgebra.EL ESPACIO.Es muy rico en Sistemas estelares, a saber:

Geometra. Trigonometra. Geometra Diferencial. Topologa. Geometra Fractal. Teora de la Medida.

EL CLCULO.Presume, con razn, de estos sistemas superestelares:

Clculo. Clculo Vectorial. Ecuaciones Diferenciales. Sistemas Dinmicos. Teora del Caos. Anlisis Complejo.

El segundoCmulo sonLOS FUNDAMENTOS(de lamatemtica),y aqu distinguimos dos galaxias: LA LGICA y LA TEORA DE CONJUNTOS

Adems, tenemos el Cmulo Galctico de las

MATEMTICAS APLICADASEl estudio de las tcnicas y mtodos de las matemticas para la resolucin de problemas que se presentan en los sistemas creados por la sociedad y en el estudio de la naturaleza (econmicos, industriales, ecolgicos, etc.)el Cmulo Galctico de laEstadstica y Ciencias de la DecisinLa optimizacin es una disciplina fundamental en campos de la ciencia tales como la Ciencias de la Computacin, la Inteligencia Artificial o la Investigacin Operativa. Desde un punto de vista cientfico, el concepto de optimizacin se concibe como el proceso de intentar encontrar la mejor solucin posible a un problema de optimizacin, generalmente en un tiempo limitado.yel Cmulo Galctico de laMatemtica Computacional, que contienen sistemas como stos:

Fsica Matemtica. Dinmica de Fluidos. Anlisis Numrico. Optimizacin. Teora de la Probabilidad. Estadstica. Criptografa. Matemticas Financieras. Teora de Juegos. Teora de Control._____________________________________ Es hora de terminar. La cantidad siempre nos termina deslumbrando con su maravillosa abundancia, y eso nos deja ciegos. Ciegos para ver, para discernir y para sintetizar. Lamatemticanaci como una ILUSIN DE RACIONALIDAD, qu ms da que se haya mostrado tan prolfica! Esa ILUSIN la podemos ReDescubrir cada da en la simetra pentmera de una flor. Y con eso nos basta!_____________________________________Cientficos debaten si la matemtica existe en el universo o en el cerebro

Discuten si la ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como nmeros, figuras geomtricas o smbolos, y sus relaciones, es una propiedad del universo o un reflejo de cmo los humanos interpretan la realidad.El Instituto Kavli del Cerebro y la Mente, con sede en Oxnard (California), public las opiniones de neurocientficos que debaten si la matemtica, que describe y pronostica lo que nos rodea, desde la estructura helicoidal del ADN a las espirales de las galaxias, existe en el universo o es la forma en que la mente humana comprende el universo.Los nmeros no son propiedades del universo sino que, ms bien, reflejan el sustento biolgico sobre el cual las personas comprenden el mundo, segn el chileno Rafael Nez, profesor de ciencia cognitiva en la Universidad de California (San Diego).El artculo lo difundi el Instituto Kavli del Cerebro y la Mente, con sede en Oxnard, California, y del cual es miembro Nez, quien obtuvo su maestra en ciencias del Departamento de Psicologa de la Universidad Catlica de Chile en 1983.El profesor de neuropsicologa cognitiva de la Universidad College de Londres, Brian Butterworth, quien colabora con Nez en esta exploracin, sostuvo que los nmeros no son, necesariamente, una propiedad del universo sino, ms bien, una forma muy poderosa de describir algunos aspectos del universo.Por el contrario, el profesor asociado en la Universidad de Tokio, SimeonHellerman, opin: muchos fsicos, incluido yo, estn de acuerdo en que debe haber alguna descripcin completa del universo y las leyes de la naturaleza.Implcita en esa premisa est el que el universo sea, intrnsecamente, matemtico, aadi.Max Tegmark, profesor de fsica en el Instituto Tecnolgico de Massachusetts (MIT), sostuvo que la naturaleza, claramente, nos da indicios de que el universo es matemtico.Muchos matemticos, aadi, sienten que ellos no inventan las estructuras matemticas sino que las descubren, y que estas estructuras matemticas existen independientemente de los humanos.Si la matemtica es inherente al universo, entonces las matemticas pueden darnos pistas para resolver los problemas futuros en la fsica, seal Tegmark.Si creemos realmente que la naturaleza es, fundamentalmente, matemtica, deberamos buscar los patrones y regularidades matemticos cuando encontramos un fenmeno que no comprendemos, explic el cientfico.Este enfoque para la resolucin de problemas ha sido el eje del xito de la fsica en los ltimos quinientos aos, concluy Tegmark_____________________________

Las Piezas del ConocimientoMatemticodematematicasiesojaelmarzo 13, 2015

Aqu nos planteamos unCOMPORTAMIENTO ESTRATGICOfrente al aprendizaje de las matemticas: el APRENDIZAJE POR PIEZAS. Y las PIEZAS DEL APRENDIZAJE de cualquier disciplina cientfica se pueden visualizar en el siguiente esquema:

Por lo mismo, dentro del conocimiento matemtico hay diferentes tipos de conocimientos, que llamar lasPiezas del Conocimiento Matemtico. Por ejemplo:

Una demostracin Una propiedad Una proposicin Un concepto Una tcnica Una estrategia Un procedimiento Una representacinLo que hace pertinentes las siguientes cuestiones: Todos los conocimientos matemticos son iguales ante la comprensin?; Es correcta o pertinente la clsica divisin de loscontenidos matemticos para estudiar la comprensin?; no habra que considerar otros aspectos (representacin, razonamiento, tipos de tareas, etc.) para analizar la evolucin de la comprensin?, es decir, puede que las conexiones sean de otro tipo y no slo formales entre los distintos aspectos del conocimiento matemtico?; en definitiva, parece que es conveniente utilizar algn criterio transversal a la propia estructura formal del conocimiento matemtico para analizar la comprensin y su evolucin (el pensamiento geomtrico, involucra tambin algo de mtrica, de numeracin, de lgebra, etc.).

La tesis que manejamos aqu es que cada una de estas PIEZAS DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO precisa de un tratamiento didctico (o de una metodologa didctica) DIFERENCIADO, tanto en su ENSEANZA, como en su APRENDIZAJE. Y que una buena prctica es DETERMINAR a qu tipo de aprendizaje (de pieza matemtica) nos estamos enfrentando en cada uno de los casos y CUL ES LA MEJOR MANERA DE ASIMILARLO.Por EJEMPLO, si eres un aprendiz experto no te enfrentas de igual manera a una DEFINICIN que a un ALGORITMO o a una DEMOSTRACIN. Y no afrontas de igual manera el aprendizaje de una TCNICA que el de una ESTRUCTURA CONCEPTUAL. Un CONVENIO es un convenio, y un HECHO es un hecho: el primero es un consenso que se puede modificar, el segundo, no. Dime t, la unidad de medida del SI (el metro), es un convenio, o un hecho? Y la suma de la medida de los ngulos de un tringulo?

Empecemos DEFINIENDO las piezas delconocimientomatemtico

LOS CONCEPTOSson aquello con lo que pensamos y, segn su mayor o menor concrecin, podemos distinguir tres niveles de conocimientos en el campo conceptual: LOS HECHOS, que son unidades de informacin y sirven como registros de acontecimientos; LOS CONCEPTOSpropiamente tales, que describen una regularidad o relacin de un grupo de hechos, suelen admitir un modelo o representacin y se designan con signos o smbolos; LAS ESTRUCTURAS CONCEPTUALES, que sirven para unir conceptos o para sugerir formas de relacin entre conceptos constituyendo, a veces, conceptos de orden superior, ya que pueden establecer algn orden o relacin entre conceptos no inclusivos.

EL CONOCIMIENTO PROCEDIMENTALconsiste en los modos de ejecucin ordenada de una tarea, lo constituyen lasreglas, algoritmos o procedimientos empleados para resolver una tarea. Hay instrucciones paso por paso que prescriben cmo concluir una tarea. Un rasgo clave de los procedimientos es que se ejecutan en una secuencia lineal predeterminada. Es la naturaleza claramente secuencial de los procedimientos la que probablemente los diferencia de otras formas de conocimiento. (Hiebert y Lefevre).Dicho de otro modo,LOS PROCEDIMIENTOSson aquellas formas de actuacin o ejecucin de tareas matemticas; igualmente podemos distinguir tres niveles diferentes en el campo de los procedimientos:

LAS DESTREZAS consisten en la transformacin de una expresinsimblica en otra expresin; para ello hay que ejecutar una secuencia de reglas sobre manipulacin de smbolos; por lo general, las destrezas se ejecutan procesando hechos;

- LOS RAZONAMIENTOSse presentan al procesar relaciones entre conceptos, y permiten establecer relaciones de inferencia entre los mismos LAS ESTRATEGIAS,que se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones; las estrategias operan dentro de una estructura conceptual y suponen cualquier tipo de procedimiento que pueda ejecutarse, teniendo en cuenta las relaciones y conceptos implicados.

Esquemticamente expresamos as nuestra consideracin del conocimiento matemtico:

En el cuadro se indican las relaciones de inclusin entre los diferentes niveles de cada uno de los campos y las conexiones entre ellos. En este cuadro no est incluido el conocimiento actitudinal, ni tampoco las capacidades metacognitivas.En cada uno de los niveles anteriores se pueden distinguir varios tipos, que pasamos a presentar brevemente.HECHOS; se distinguen cuatro tipos de hechos: trminos, notaciones, convenios y resultados. Trminos: son las denominaciones o vocablos con los que designamos los conceptos o las relaciones entre conceptos. En matemticas hay trminos especficos y otros que proceden del lenguaje comn.

Notaciones: son los signos y smbolos empleados en matemticas para expresar una idea de modo breve y preciso. Convenios: son acuerdos tcitos o consensuados para comunicar informacin sin ambigedad, evitando largas explicaciones.

Resultados: son unidades de informacin producto directo e inmediato de relaciones entre trminos, suceptibles de memorizar, cuyo dominio y control conviene disponer para trabajar en matemticas sin tener que partir siempre de cero.TCNICAS Y DESTREZAS. Las tcnicas y destrezas suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. Distinguimos entre destrezas segn el campo de las matemticas escolares en el que operan, y las clasificamos en: aritmticas, mtricas, geomtricas, grficas y de representacin. Destrezas Aritmticas:son aquellas necesarias para un correcto dominio del sistema decimal de numeracin y de las cuatro operaciones bsicas. Entre las ms destacadas podemos sealar la lectura y escritura de nmeros, el clculo mental con dgitos y algunos nmeros de dos cifras, el clculo con papel y lpiz, y el empleo de la calculadora. Todas estas destrezas se convierten en ALGORITMOS:UN PIEZA MUY COMN: el Algoritmo

Un Algoritmo es una solucin paso a paso de un problema. Es como una receta de cocina en matemticas. Ejemplo: un algoritmo para sumar nmeros de dos dgitos es suma las unidades, suma las decenas y combina las respuestas. La divisin larga es otro ejemplo de un algoritmo: si sigues los pasos obtienes la respuesta. La palabra Algoritmo viene del nombre del matemtico persa del noveno siglo Al-Guarizmi.

Destrezas Mtricas: son las destrezas necesarias para emplear correctamente los aparatos de medida ms comunes de las magnitudes longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie; tambien se incluye aqu el dominio del sistema mtrico decimal.