LOS NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

REPRESENTACIÓN

OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS

PROPIEDADES

SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN

MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES

POTENCIACIÓN EJERCICIOS

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EJERCICIOS

LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN

¿QUÉ ES UN NÚMERO ENTERO?

LA DIVISIÓN

INTRODUCCIÓN

En algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo de algunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 5.000 euros o hasta millones o tan pocos como 5, o medir la temperaturas bajo cero, fue por eso que nacieron los números enteros, los cuales son una generalización del conjunto de los números naturales, que incluye números negativos. A continuación se presentará una breve explicación de la necesidad de otro conjunto numérico, los números enteros, el por qué aparecieron. Se definirá el conjunto de los números enteros y también se presentarán una serie de situaciones de la vida diaria donde están presentes los números enteros. Luego conoceremos como representarlos en una línea recta, como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor. También conoceremos el valor absoluto de un número entero y además las cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.

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¿POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS?

Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C. Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.

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Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X + 1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturas bajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números. Ej: 5 – 8 = ?Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y que se simboliza por la letra Z

STIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue un matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas antes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contiene importantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por la yuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término “exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos)

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Y … ¿Qué es un número entero?Ahora, ya conoces bien el sistema de los números naturales, que denotamos con la letra N y en el cual se definen dos operaciones llamadas suma y producto cuyas propiedades ya son bien conocidas para todos ustedes. Por lo tanto, podemos preguntarnos: ¿Qué es un número entero? El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z y está compuesto por:

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}

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Ejemplos : + 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos.

Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números { ........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}

LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z

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… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … Nz

PROPIEDADES

1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números naturales está contenido en el de los enteros.

2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo número entero tiene anterior.

3.Todo número entero tiene siguiente.

4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir el conjunto de los números enteros está ordenado.

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5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si este es positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo)

Ejemplo:

|+4|= |-4|= 4|-5| = |+5| = 5

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Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha.

Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la recta numérica

-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 70

-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 70

Crecen en este sentido

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SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:

1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.

EJEMPLOS:

a) Sumar 52+34Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.

b) Sumar ─138 + (─25)

Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus valores absolutos es 138 + 25 = 163.

Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163 es la solución.

10Sigue

2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.

EJEMPLOS: Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3

En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumar dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores

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PROPIEDADES DE LA SUMA: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

1.CLAUSURATIVA: Si a y b Z, entonces: a + b Z

La suma de dos números enteros es otro número entero

EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2 Z, 3 Z entonces la suma que es igual a 5 a Z

2. CONMUTATIVA: Sí a y b Z, entonces: a + b = b + a

Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se altera.

EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7

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3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c) El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la forma como se asocian.

EJEMPLO: 5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa: 5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11

4. MODULATIVA: Sí a Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.El “0” es el elemento neutro de la suma.

EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4

EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a Z, entonces: a + (-a) = 0 Todo numero entero sumado con su opuesto da como resultado cero.

EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0; 23 + (-23) = 0

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SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación más utilizados son:

Las llaves: { }

Los corchetes: [ ]

Los paréntesis: ( )

• Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas reglas para poder resolver la operación indicada:

1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe ser como sigue:

• Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el

paréntesis lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto.

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Sigue

2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete lleva delante un signo – se escribe el resultadoopuesto.Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir +5 y 5 es lo mismo.

EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)] 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]

-1

5 – [2 + 6 – 1]

7

5 - 7

-2

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EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS)

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.

Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los números enteros:

Calcula:

a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)

b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6]

c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2

d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)]

e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6)

f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6)

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos:

1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será positivo.

2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será negativo.

Regla de los signos: + POR + = + , - POR - = + + POR - = - , - POR + = -

EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8

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1. Regla del producto

a. El producto de dos números positivos es otro número positivo.

b. El producto de dos números negativos es otro positivo.

c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo.

2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto.

3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque al

multiplicar por cualquier número da dicho número.

4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto

5. Elemento absorbente: el “0” es el elemento absorbente de la multiplicación, porque

cualquier número multiplicado por “0” es siempre “0”. Ej. 8 x 0 = 0

6. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número

por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho

número por cada sumando. Ej. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14

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POTENCIACIÓN

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente, se representa como:

a x a x a x a = a4

• Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo siguiente:

a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo

b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la respuesta es positiva.

c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la respuesta es negativa.

EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64

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EJERCICIOS:

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.

1. Realiza las siguientes operaciones:

1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) = 2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 =3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) =4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) =5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 =6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 =8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) =10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) =

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Volver FIN

División de números enteros Z

Área: MatemáticaLic. Sally Romero Gutiérrez

+ -

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INDICE

CONCEPTO

LEY DE SIGNOS

AUTOEVALUACION

EJEMPLOS

PROPIEDADES

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• Es la división inversa de la multiplicación que consiste: “Dados dos números enteros llamados Dividendo y divisor (diferente de cero) Hallar un tercer numero llamado cociente, que multiplicado por el divisor de el dividendo”

CONCEPTO

D ÷ d = c

Observación:

1. La división de a por b se puede indicar de las siguientes formas:

INDICE

2. La división de un numero por cero no esta definido, por tanto:

a ÷ b , a : b a a / b b

Numero = no definido 0

Al dividir números enteros del mismo signo, el cociente obtenido es de signo positivo

LEY DE SIGNOS

Al dividir números enteros de distinto signo, el cociente obtenido es de signo negativo

INDICE

• Para demostrar la ley

EJEMPLOS

INDICE

PROPIEDADES

P. Distributiva

P. del Elemento neutro

P. del Elemento Absorbente

P. de Monotonía

INDICE

Propiedad Distributiva

• El cociente de dividir una suma indicada de varios números Z entre un divisor diferente de cero es igual a la suma de los cocientes de cada sumando entre el mismo divisor

propiedades

(a+b+c+d)÷(e) =(a÷e)+(b÷e)+(c÷e)+(d÷e) a) [( - 24 ) + ( + 18 )] 6 = ( - 24 ) 6 + ( + 18 ) 6

( - 6 ) 6 = ( - 4 ) + ( + 3 ) - 1 = - 1

b) [( + 32 ) + ( + 24 )] 8 = ( + 32 ) 8 + ( + 24 ) 8 ( + 56 ) 8 = ( + 4 ) + ( + 3 )

+ 7 = + 7

• Es el uno como divisor. El cociente de dividir cualquier número entero entre uno es el mismo numero

Propiedad Elemento Neutro

a) ( - 4 ) ( 1 ) = - 4b) ( + 12 ) ( 1 ) = + 12

a 1 = a

propiedades

• El cero es absorbente por la izquierda, ya que dividido por cualquier número diferente de cero, siempre da cero. No por la derecha, ya que la división por cero, es imposible.

Propiedad Elemento absorbente

0 a = 0

a) 0 ( + 38 ) = 0

b) 0 ( - 95 ) = 0

propiedades

Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o dividen por un mismo numero diferente de cero el cociente no varia

Propiedad de Monotonía

a c = b c

a) Si 40 8 = 5 ===> 40 x 3 8 x 3 = 120 24 = 5

b) Si 40 8 = 5 ===> (40 4) (8 4) = 10 2 = 5

Si el dividendo lo multiplicamos o lo dividimos por cualquier numero entero sin alterar el divisor; el cociente quedará multiplicado o dividido por dicho numero entero.

a) Si 54 6 = 9 ===> ( 2 x 54 ) 6 = 108 6 = 18

a) Si 54 6 = 9 ===> (54 3 ) 6 = 18 6 = 3

Si el divisor lo multiplicamos o dividimos por un numero diferente de cero, sin alterar el dividendo; el cociente quedará dividido en el primer caso o multiplicado en el segundo caso por el mismo numero entero.

a) Si 64 16 = 4 ===> 64 16 x 2 = 64 32 = 2

Queda dividido por 2 Queda dividido por 4

a) Si 64 16 = 4 ===> 64 16 4 = 64 4 = 16

propiedades

1. (- 80) : (-10) =2. (+20) : (+2) =3. (- 49) : (+7) =4. (+64) : (- 8) =5. (- 70) : (- 7) =6. (+81) : (- 9) =

7. (+36): (- 2)=

8. (- 42): (- 3)=

9. (+50): (- 5)=

10. (- 96): (- 6)=

11. (+80): (- 5)=

12. (- 72): (- 3)=

AUTOEVALUACION

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