los metodos de demos trac ion en matem,atica

8/4/2019 Los Metodos de Demos Trac Ion en Matem,Atica

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Carlos Augusto Morales Santacruz

LOS MTODOS DE DEMOSTRACIN EN MATEMTICA

Asesor: Dr. Eduardo Jos Blandn Ruiz

Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de HumanidadesDepartamento de PostgradoMaestra en Investigacin

Guatemala, Febrero de 2008


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La presente investigacin fuepresentada por el autor, comorequisito previo a optar elGrado Acadmico de Maestraen Investigacin


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Esta tesis es dedicada a:mi linda esposa Luvia Estela,

mi hija Luvia Gabriela que es la nia demis ojos,

mi beb que nacer en noviembre odiciembre del 2008


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NDICE

INTRODUCCIN.....6

CAPITULO UNO

1 Historia de los fundamentos de la matemtica......10

1.1 Orgenes de la matemtica........10

1.2 Historia de los mtodos deductivos en matemtica..........11

1.3 Desarrollo de la matemtica como ciencia deductiva14

1.3.1 Escuelas filosficas......16

1.3.2 Geometras no Euclidianas.....18

CAPITULO DOS

2 La matemtica como ciencia deductiva.21

2.1 Principios fundamentales...21

2.2 Argumentos deductivos..22

2.3 Sistemas axiomticos formales.......23

2.4 Propiedades de los sistemas axiomticos formales...25

2.5 Axiomatizacin de la lgica...27

2.5.1Sistema axiomtico de Kleene.27

2.5.2 Deduccin natural de Gentzen.......31


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CAPITULO TRES

3 Mtodos de demostracin en matemtica363.1 Introduccin...36

3.2 Mtodo directo de demostracin..37

3.3 Mtodos de demostracin indirectos..42

3.3.1 Mtodo de demostracin por reduccin al absurdo....42

3.3.2 Mtodo de demostracin por contrapositiva.....48

3.4 Mtodo de demostracin por induccin matemtica.50

Conclusin........56

Bibliografa....61


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INTRODUCCIN

Este trabajo de investigacin est formado bsicamente por dos partes. La

primera parte es una investigacin de naturaleza bibliogrfica sobre los elementos

esenciales a considerar en los mtodos de demostracin usuales en matemticas,

empezando por una breve descripcin histrica del origen y desarrollo de la

matemtica como ciencia deductiva y posteriormente elementos metatericos

pertenecientes a la metamatemtica como son los sistemas axiomticos formalesestudiados exclusivamente en su dimensin sintctica, sin interpretacin, en otras

palabras, la exclusin de la dimensin semntica.

En la segunda parte se tiene una seleccin y construccin de demostraciones en

matemticas de un nivel adecuado para la mayora de lectores intentando mostrar

la belleza y poder de la matemtica deductiva. Algunas de las demostraciones enesta segunda parte son construidas por el autor, mientras que otras son

demostraciones clsicas que aparecen en la literatura usual.

Las demostraciones realizadas pertenecen a diferentes tpicos realmente

atractivos de la matemtica como: Clculo, Aritmtica, Teora de conjuntos, entre

otros. Pero no solamente es una exposicin formal de las demostraciones sino

que es una exposicin en un lenguaje asequible, mostrando cuando corresponda,

procesos heursticos que conducen a la formulacin de conjeturas matemticas

transformables en teoremas y su relacin con otros tpicos matemticos que

generalmente son de un nivel superior.


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Es la matemtica la ciencia deductiva por excelencia y no es aceptada una

conjetura como verdadera hasta que es construida formalmente su demostracin.

El matemtico profesional demuestra con naturalidad y facilidad, un proceso quefuera de la comunidad de matemticos se podra considerar innecesario o

excesivamente complicado y no plenamente comprensible debido a varios

factores, como por ejemplo: notacin matemtica, contenido y nivel matemtico,

condensacin de la secuencia de proposiciones y resultados, lenguaje y

metalenguaje matemtico empleado, desconocimiento o no especificacin del

mtodo de demostracin empleado, entre otros.

Para demostrar una proposicin se necesita bsicamente un conjunto de

hiptesis, definiciones, transformacin de frmulas que son reglas de inferencia o

deduccin de naturaleza sintctica, y otros resultados demostrados con

anterioridad o que son considerados axiomticamente verdaderos.

Los matemticos en la redaccin final de una demostracin, por razones

absolutamente vlidas generalmente no hacen referencia a todos los elementos

previos involucrados en la construccin de una conjetura demostrable, como por

ejemplo la heurstica o algunos procesos inductivos e intuitivos. El prncipe de los

matemticos Karl Gauss afirmaba respecto de sus demostraciones cuando se

construyeun edificio no se dejan los andamios, tenindose como consecuencia

que algunas demostraciones podran resultar hasta cierto grado artificiosas.

Esta obra no solamente es una recopilacin de los mtodos de demostracin, su

principal propsito es mostrar una descripcin adecuada de los fundamentos de

los mtodos de demostracin clsicos en matemticas proveyendo ejemplos de

los mismos en demostraciones de diferente nivel matemtico con explicaciones de

sus componentes tericas (matemtica) y metatericas (metamatemtica).


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Al estudiar la matemtica es indispensable conocer las partes esenciales de su

historia, por lo que en el capitulo uno se tiene una descripcin histrica de los

fundamentos de la matemtica, especficamente como se desarrollo el conceptode sistema axiomtico formal a lo largo de ms de 2000 aos, iniciando en la

antigua Grecia hasta la actualidad considerando exclusivamente, sin una masa de

detalles innecesarios, los puntos sobresalientes en beneficio de la naturaleza de

un trabajo de esta categora.

En el capitulo dos se estudian la matemtica como ciencia deductiva con nfasisen los sistemas axiomticos formales, se tiene su definicin formal y se dan

importantes ejemplos de teoras metamatemticas axiomatizadas en su carcter

sintctico como son la lgica proposicional y la lgica de primer orden que

constituyen el fundamento lgico de una inmensa parte de teoras matemticas

precisamente las llamadas teoras de primer orden.

Los mtodos de demostracin son tratados en el capitulo tres donde se

construyen ejemplos adecuados didcticamente para la comprensin de los

esquemas o mtodos de demostracin. Algunas demostraciones son clsicas y la

mayora son realizadas o redescubiertas por el autor.

Los mtodos de demostracin estudiados son: Mtodo directo, Mtodo de

demostracin por reduccin al absurdo, mtodo de demostracin porcontrapositiva y el mtodo de demostracin por el principio de induccin

matemtica. No es una seleccin exhaustiva de los mtodos de demostracin,

puesto que existen otros mtodos que no son estudiados aqu, como por ejemplo

el principio de induccin matemtico transfinito.


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Finalmente se tienen expectativas y conclusiones de la teora expuesta, as como

tambin algunos elementos en el mbito guatemalteco relacionados con este

trabajo. Son mencionadas aqu las lneas de investigacin, es decir, la extensin,relacin o aplicacin de esta investigacin en reas cientficas de diferente

naturaleza


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CAPITULO UNO

HISTORIA DE LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMTICA

1.1 ORGENES DE LAS MATEMTICAS

Antes del ao 600 a.C., existieron culturas ciertamente desarrolladas siendoprevias a la cultura Griega asentadas en el antiguo Egipto y Mesopotamia donde

exista indudablemente una matemtica significativamente desarrollada como se

observa en antiguos papiros egipcios y en cientos de tablillas de arcilla babilnicas

que contienen, entre otros temas: nocin de nmero entero, manejo de nmeros

fraccionarios, abundantes ideas de aritmtica, lgebra, proporciones, frmulas

geomtricas de rea y volumen.

Esta magnifica matemtica emprica en el sentido estricto de que no aparece

ninguna demostracin o deduccin matemtica general, fue aplicada ampliamente

por ambas culturas en diversidad de campos como: economa, agricultura,

astronoma, ingeniera, arquitectura as como en la construccin de templos y

pirmides.

A pesar del carcter puramente emprico de las matemticas egipcias y

babilnicas no son totalmente descartados sus encadenamientos lgicos mnimos

realizados de una forma no enteramente consciente1 y sus conocimientos de

alguna aplicacin general como sucedi con el famoso teorema de Pitgoras2.

1 Bourbaki, N., Elementos de historia de las matemticas. pgina 142 Crespo, C., R. El papel de las argumentaciones en matemticas en el discurso escolar. pgina 45


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Ni babilonios ni egipcios se interesaron especialmente por demostrar, fundamentar

o generalizar sistemticamente sus conocimientos matemticos que cultivaron

durante siglos, slo se interesaban por la resolucin de problemas prcticos,mientras que en la Grecia clsica en el periodo de 600 a.C. hasta 300 a.C.

aproximadamente, los griegos centran su intereses en la razn humana, en su

aplicacin y poder, con los griegos, la razn empieza a reemplazar a leyendas y

mitos como explicacin del universo y transciende como facultad distintiva del ser

humano, en palabras de Aristteles de Estagira: As para el hombre es la vida de

acuerdo con la razn, ya que sta es la que lo hace hombre.

Los griegos fundamentando sus conocimientos en la razn perfeccionaron ciertas

disciplinas y crearon otras completamente nuevas como por ejemplo: Filosofa,

ciencias puras, ciencias aplicadas, instituciones polticas, formas literarias y

escritos histricos. La meditacin filosfica y cientfica juntamente con la pasin

por la vida pblica eran parte esencial del alma de la cultura griega.

Especficamente en matemticas, los griegos conociendo plenamente la

matemtica egipcia y tambin babilnica no desarrollan el mismo empirismo sino

que desarrollan la abstraccin, generalizacin, sistematizacin y argumentacin,

constituyndose en los fundadores de las matemticas en sentido estricto.

Indudablemente la matemtica como ciencia es creada en la Grecia clsica.

1.2 HISTORIA DE LOS MTODOS DEDUCTIVOS EN MATEMTICAS

En general, es aceptado por la comunidad de matemticos, filsofos e

historiadores entre otros especialistas, que los griegos revolucionaron la

naturaleza de la matemtica al crear el mtodo deductivo o mtodo axiomtico.


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En el siglo IV a.C. surgiendo de la praxis de la academia platnica, se tiene la

monumental obra de Aristteles, discpulo de Platn, que consiste en la primera

construccin de los fundamentos de la Lgica como la ciencia formal delrazonamiento, el propio filosofo consciente de la magnitud de su obra, escribe en

sus Tpicos:

Mas de la presente doctrina no haba hasta ahora algo elaborado ya y otra parte

todava sin elaborar, sino que hasta el presente no exista en absoluto nada de

ella3.

Por otra parte y casi al mismo tiempo pero en forma completamente diferente

entre los siglos IV y III a.C., los filsofos Megricos y Estoicos entre los que

sobresale Crisipo de Solos, definen por primera vez los elementos de la lgica

proposicional como los conectivos lgicos y formas de razonamientos que tienen

la forma de argumentos como el Modus Ponens, asentados como los

indemostrables .

En efecto, antes de la lgica aristotlicano se conoce una teora elaborada de las

reglas y leyes lgicas aunque se tuviese y aplicase una estructura lgica implcita

en las deducciones y argumentaciones correctas de matemticos y filsofos

griegos antecesores de Aristteles. El mismo Aristteles menciona al matemtico

y filosofo griego Zenn de Elea discpulo de Parmnides como el fundador de la

Dialctica, obviamente Zenn no poda enunciar sus famosas paradojas sin

conocimiento de algunos principios lgicos. A Zenn se le atribuye la invencin delmtodo de demostracin indirecto llamado reduccin al absurdoen el siglo V a.C.

al contrastar una hiptesis con otra y demostrar indirectamente la verdad de una

de ellas por la obtencin de una contradiccin. En general, los matemticos

griegos razonaban de modo perfectamente correcto antes de Aristteles; de

hecho, su trabajo era el modelo tradicional de razonamiento correcto.

3 Bochnski, I.M., Historia de la lgica formal. pagina 41


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Entre las leyes o principios fundamentales formulados por Aristteles se tienen:

Principio de no contradiccin: una proposicin no puede ser a la vez

verdadera y falsa

Principio del tercero excluido: toda proposicin es verdadera o es falsa.

Ambos principios constituyen el fundamento lgico de los mtodos de

demostracin indirectos. La teora de la demostracin o razonamiento cientficoaparece en la obra aristotlica intitulada Segundos analticos donde se desarrolla

el mtodo axiomtico o mtodo deductivo, afirmando que es el mtodo sobre todo

adecuado para la matemtica. En los Primeros analticos Aristteles realiza el

anlisis formal del razonamiento o silogismo4.

Es precisamente el gemetra griego Euclides de Alejandra, que recopilando las

ideas y conocimiento matemtico de su poca, aplica magistralmente la lgica

aristotlica en su monumental obra intitulada Elementos donde muestra por

primera vez a la matemtica como la ciencia deductiva por excelencia en el siglo

III a.C.

El valor esencial de la obra de Euclides es su rigurosa deduccin sistematizada

mostrando componentes de una ciencia demostrativa como: definiciones deconceptos, principios generales o axiomas que son nociones comunes y

postuladosque son reglas tcnicas de construccin geomtrica entre las que se

encuentra el famoso Quinto postulado de Euclides.

4 Garrido, M., Lgica simblica. pgina 502


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Una de las demostraciones clsicas por reduccin al absurdo ms bellas5 de la

matemtica mencionada varias veces por Aristteles es: 2 es irracional,

apareciendo en algunas versiones de los Elementosde Euclides como proposicin

117 del libro X y es atribuida por algunos autores a la escuela pitagrica

constituyndose como un teorema de teora de nmeros.

Naturalmente que los Elementos de Euclides poseen limitaciones de diferente

naturaleza y han recibido serias objeciones clsicas al respecto pero

indudablemente forman el primer sistema axiomtico formal de matemticas y hanservido como un modelo para el trabajo de generaciones de matemticos,

dominando la enseanza de las matemticas por ms de 2000 aos.

1.3 DESARROLLO DE LA MATEMTICA COMO CIENCIA DEDUCTIVA

Cuando se estudia el desarrollo de los mtodos deductivos es estrictamente

necesario considerar la historia y desarrollo de la lgica como una parte esencial

de los fundamentos de la matemtica. Iniciando con la lgica clsica o tambin

llamada lgica tradicional formulada por Aristteles, sta se mantuvo en esencia,

casi sin modificaciones, durante siglos y los silogismos que son principios

lgicos bsicos aristotlicos fueron empleados y enseados desde la Edad Media

hasta principios del siglo XX como parte del trivium (gramtica, retrica y

dialctica). Como afirmaba Kant en 1787

desde Aristteles no ha tenido que dar un paso atrs ni tampoco hasta ahora ha

podido dar un paso adelante. As pues, segn toda apariencia hallase conclusa y

perfecta6

5 Bourbaki, N., Elementos de historia de las matemticas. pgina 146 Bochnski, I.M., Historia de la lgica formal. pagina 15


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Pero 50 aos despus fue desarrollada una teora matemtica revolucionaria

iniciada por George Boole y otros, al crear versiones algebraicas de la lgicadebido a las evidentes limitaciones de la lgica tradicional, posteriormente Gottlob

Frege en 1879 desarrolla la lgica cuantificada construyendo los cimientos de la

lgica moderna aunque el lgico matemtico y filsofo Bertrand Russell mostraba

que su sistema era inconsistente, es decir, dotado de contradiccin.

En 1901 cuando el logicista B. Russell trata de deducir la matemtica de la lgicadescubre la paradoja de Russell, que provoc una crisis en los fundamentos de la

matemtica quedando resuelta a inicios del siglo XX con la lgica de primer

orden que constituye en la actualidad uno de los principales fundamentosde

las matemticas modernas.

Las limitaciones de la lgica de primer orden debido a su gran poder, fueron

descubiertas alrededor de 1930 por Kurt Gdel, Alan Turing y Alonzo Church,

entre otros, siendo Kurt Gdel quien construyo un sistema deductivo completo y

correcto de la lgica de primer orden. Alfred Tarski dota a la lgica de primer

orden de una semntica formal y a partir de 1934 Gerhard Gentzen y otros

desarrollaron la teora de la prueba o de la demostracin como tambin la

deduccin natural, desde entonces la lgica de primer orden toma su forma actual.

Subordinando la lgica al lenguaje matemtico, es decir la matematizacion de la

lgica modernamente se nombra como lgica simblica o lgica matemtica

desde 1904. En la actualidad la lgica matemtica cumple una importante funcin

en diferentes reas, especialmente en ciencias de la computacin.


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Las lgicas no clsicas se obtienen excluyendo el principio aristotlico del tercero

excluido y se han construido a partir de 1920-1921 por obra de Jan Lukasiewicz y

Emil Post, entre otros.

1.3.1 ESCUELAS FILOSFICAS

Con el descubrimiento de la paradoja de Russellen 1901 se produce una crisis de

los fundamentos de las matemticas provocando diversas polmicas entrematemticos, lgicos, filsofos y lingistas teniendo como consecuencia la

creacin de las tres corrientes filosficas7 contemporneas de las matemticas:

Intuicionismo, Logicismo y Formalismo, descritas as:

Intuicionismo

El intuicionismo afirma que la matemtica se fundamenta en ciertas intuiciones

fundamentales y conceptualmente se origina con Kant. Hablar de intuicionismo es

hablar de constructivismo, puesto que en esta corriente filosfica la matemtica se

genera a travs de mtodos constructivos finitos. En el intuicionismo se excluye el

principio aristotlico del tercero excluido por lo que la negacin de una proposicin

sea falsa no significa que la proposicin sea verdadera por lo que las

demostraciones por reduccin al absurdo son rechazadas. El mximo exponente

del intuicionismo fue el matemtico holands Brouwer

Logicismo

Se origina al final del siglo XIX con Dedekind y Frege buscando bsicamente la

fundamentacion del anlisis en la aritmtica y por ende en la lgica. Los logicistas

fueron dirigidos por Russell y Whitehead considerando a la matemtica como una

7 Bochnski, I.M., Historia de la lgica formal. pginas 301 a 307


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rama de la lgica. Con los logicistas la matemtica pierde su autonoma puesto

que el programa de Russell pretenda reconstruir toda la matemtica clsica a

partir de una base puramente lgica, de modo que todas las definicionesmatemticas, reglas de inferencia y sustitucin puedan ser reducidas a sus

contrapartes lgicas. El programa de Russell es expuesto en su obra Principia

Matemtica (1910-1913)

Formalismo

El famoso matemtico D. Hilbert funda la corriente filosfica del formalismo ainicios del siglo XX al perfeccionar las ideas subyacentes en la axiomtica de los

Elementos de Euclides, para el formalismo, la matemtica es un conjunto de

sistemas formales constituido por su propia lgica, axiomas, teoremas,

definiciones y reglas de inferencia. Hilbert cre una disciplina llamada

metamatemtica y pretenda en su programa expuesto en 1900 demostrar que en

la matemtica no hay contradicciones, es decir, que es consistente y que la

matemtica es completa, es decir, cualquier proposicin vlida es generada.

En el formalismo la matemtica no es reductible ni posterior a la lgica. El

ambicioso programa de Hilbert finalizo de una forma inesperada con el

trascendental teorema de incompletitud de Kurt Gdel en 1930 que da una

respuesta negativa al programa de Hilbert.

Hilbert define una demostracin de la siguiente forma:

Una demostracin consiste en una sucesin de formulas que, o bien

son axiomas, o bien son teoremas, o se han obtenido de stas

mediante inferencias admisibles.


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En el formalismo las demostraciones son realizadas y fundamentadas en aspectos

puramente sintcticos excluyendo la intuicin y el empirismo completamente, de

tal manera que los objetos matemticos solamente son trminos de un lenguajeformal.

Debido a la exclusin de las componentes intuitiva y semntica en los sistemas

axiomticos en el formalismo fue posible realizar demostraciones a travs de

computadoras dando origen a la deduccin automtica. Por primera vez,

utilizando computadoras, en el ao 1976 los matemticos K. Appel y W. Hakendemostraron asistidos por computadoras el famoso teorema de los cuatro colores.

Despus de esta demostracin se ha desarrollado ampliamente la deduccin

automtica utilizando algunas versiones generalizadas de la Deduccin natural

de Gentzen.

Como un punto critico en el desarrollo de la matemtica como ciencia deductiva

se tiene la concepcin de las geometras no euclidianas descrita en la siguiente

seccin.

1.3.2 GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS

En la enormemente influyente y dominante geometra clsica de Euclides seconsideran postulados y axiomas, que son verdades absolutas intuitivamente

evidentes y se aceptan sin necesidad de demostracin. El postulado famossimo

en la geometra Euclidiana es el Quinto Postulado enunciado asi por Euclides:


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Si dos rectas M y Lse encuentran con otra recta n, de modo que la suma

de los ngulos y sea menor de 180o, entonces las rectas M y L se

encontrarn en el lado de la recta n donde estn los ngulos y .

Las concepciones establecidas en los Elementos de Euclides en matemticas,

permanecieron intactas durante siglos, si bien algunos de los ms brillantes

matemticos intentaron demostrar el Quinto Postulado de Euclides sin xito,

arribndose a un punto critico en el siglo XIX con la creacin de las geometras

no euclidianas donde el Quinto Postulado es sustituido por otros, modificndose

el concepto de sistema deductivo y consecuentemente las deducciones y

argumentaciones matemticas. Un postulado ya no tendra que ser

exclusivamente evidente en la construccin de teoras matemticas.

Con las geometras no euclidianas la verdad en matemticas dejo de ser

absoluta, una propiedad matemtica es verdadera en una teora matemtica y es

falsa en otra, por ejemplo, la suma de los ngulos internos de un triangulo es 180 oque es un resultado verdadero de la geometra euclidiana, y falso en las

geometras no euclidianas. La geometra euclidiana dejo de ser la nica geometra

verdaderaque poda explicar el universo.

L

Mn


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Los matemticos Nicolai Lobachevsky (1793-1856), Janos Bolyai (1802-1860) y

Georg Riemann (1826-1866) son considerados los creadores de las geometras no

euclidianas que posteriormente tuvieron importantes e interesantes aplicacionescomo por ejemplo en la teora de la relatividad de Einstein.


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CAPITULO DOS

LA MATEMTICA COMO CIENCIA DEDUCTIVA

2.1 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Una ciencia es un conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observacin yel razonamiento, sistemticamente estructurados y de los que se deducen

principios y leyes generales. Por definicin, siendo la matemtica la ciencia de

las abstracciones y la ciencia deductiva por excelencia es estrictamente necesario

estudiar los principios y mtodos utilizados sistemticamente en la construccin de

teoras matemticas para comprender su naturaleza, un objetivo imprescindible

en el contexto de la metamatemtica.

Se define a la metamatemtica como la teora lgica formal de las pruebas o

demostraciones matemticas, entre los elementos de la metamatemtica

considerados esenciales en esta obra se tiene los sistemas axiomticos formales

dando mayor importancia a las reglas de inferencia del sistema que son

esenciales en la demostracin de teoremas.

Se tiene un razonamiento o argumento deductivo en la construccin del

conocimiento en matemticas, que la diferencia notablemente de otras ciencias

en las cuales se realiza un razonamiento generalmente de tipo inductivo, a

continuacin una descripcin del concepto de argumento.


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2.2 ARGUMENTOS DEDUCTIVOS

Los argumentos inductivos constituyen de alguna forma el fundamento de teoras

o ciencias de naturaleza inductiva y son estudiados por la lgica inductiva mientras

que los argumentos deductivos constituyen el fundamento de las ciencias

deductivas como eminentemente es la matemtica.

El propsito fundamental de la lgica formal es precisamente el estudio de losargumentos deductivos que son llamados en esta obra simplemente

argumentos. Un argumento es un conjunto de proposiciones de tal manera que

uno de ellos que es llamado conclusin se deduce de los otros que son llamados

hiptesis o premisas, por lo que a cada inferencia o deduccin posible le

corresponde un argumento.

Existen dos clases de argumentos, los argumentos vlidos, correctos o bien

construidos y los argumentos invlidos, incorrectos o mal construidos. Un

argumento se dice que es vlido cuando no es posible que sus hiptesis sean

verdaderas y su conclusin falsa, es decir que en un argumento vlido la verdad

de las hiptesis es incompatible con la falsedad de la conclusin, todo lo que se

requiere para la validez es que si las hiptesis fuesen verdaderas entonces la

conclusin tendra que ser verdadera.

La validez de un argumento no garantiza la verdad de su conclusin puesto que se

tienen argumentos validos con hiptesis falsas y conclusin falsa pero la falsedad

de la conclusin de un argumento garantiza que el argumento es o bien invlido o

que alguna de sus hiptesis es falsa.


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La nica combinacin de valores de verdad que no puede darse en un argumento

vlido es que las hiptesis sean verdaderas y la conclusin falsa, mientras que enlos argumentos invlidos se tienen todas las combinaciones de valores de verdad

de donde la validez de un argumento no depende simplemente de los valores de

verdad de las hiptesis y la conclusin. La validez de un argumento no garantiza

que cualquiera de las premisas sea de hecho verdadera ni da informacin alguna

acerca del valor de verdad de la conclusin en el caso en que alguna hiptesis sea

falsa.

En la construccin de una demostracin de algn enunciado o proposicin se

emplea un mtodo que bsicamente es un esquema lgico argumentativo vlido

perteneciente a los fundamentos de la matemtica que es una rea perteneciente

a la metamatemtica, es decir que en un argumento valido se deduce lgicamente

una proposicin verdadera llamada conclusin de un conjunto de proposiciones

verdaderas llamadas hiptesis y la validez lgica del mismo radica en que cuando

las hiptesis son verdaderas entonces la conclusin tambin lo ser.

2.3 SISTEMAS AXIOMTICOS FORMALES

Por las leyes que gobiernan la aritmtica elemental es verdadero que 23 + 2 = 25

en otro contexto o universo resulta tambin verdadero que 23 + 2 = 1 puesto queen ese contexto no existe un objeto llamado 25 y no es un contexto desconocido

para el lector, de hecho es cotidiano, puesto que cuando son las 23 horas y se

decide estudiar otras 2 horas se tiene que 23 ms 2 ser igual a la 1 de la noche.

Formalmente a esta teora se le conoce en matemticas con el nombre de los

enteros mdulo 24.


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La diferencia fundamental es bsicamente las definiciones, los smbolos con su

significado, y las leyes, que son componentes elementales de sistemasaxiomticos o sistemas deductivos, que gobiernan en esos universos, los

matemticos crean universos matemticos con sus leyes en un proceso que

generalmente es perfectible y gradual.

La teora de la prueba o teora de la demostracin es una parte de la

metamatemtica que estudia los fundamentos de la matemtica, de tal maneraque el estudio o investigacin metamatemtica de un tpico de la matemtica

generalmente se realiza sobre la base de un sistema axiomtico formal

correspondiente a ese tpico en particular.

Como se ha mencionado, los primeros sistemas axiomticos en la historia se

tienen en la Antigua Grecia con Aristteles en lgica y Euclides en geometra. El

concepto moderno de sistema axiomtico se debe a la concepcin y elaboracin

de los sistemas axiomticos perfeccionados en los escritos de pensadores de

primera categora como: Frege, Peano, Hilbert, Russell, Lukasiewicz, ente otros.

Un sistema axiomtico S es denotado por: S=(A, F, X, R), donde sus

componentes8 en su naturaleza puramente sintctica son:

Alfabeto o vocabulario: un conjunto de smbolos lingsticos a utilizar en S,

denotado por A.

Un conjunto de axiomas que constituyen las frmulas primitivas del sistema,

son frmulas vlidas por definicin y se denotan por X

8 Garrido, Manuel. Lgica simblica, pgina 287


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Un conjunto de reglas de formacin de frmulas, es decir, las reglas de

sintaxis del sistema que permiten construir frmulas bien formadas, son

denotadas por F

Un conjunto finito de reglas de inferencia o deduccin en S que determinan

las transformaciones de las frmulas en S, se denota por R

De acuerdo a la definicin de sistema axiomtico es esencial en esta obra una

definicin de demostracin:

Una demostracin o prueba en un sistema axiomtico es una secuencia

finita de frmulas bien formados donde cada uno de ellos es o bien un

axioma o una frmula obtenida como consecuencia de algunas de las reglas

de deduccin. El ltimo enunciado de una demostracin es llamado teorema

o tambin frmula derivada9.

Los axiomas sern teoremas por definicin, si p es un teorema se escribir de la

siguiente forma: p

2.4 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS AXIOMTICOS FORMALES

Una de las principales tareas de la metateora de la metamatemtica es considerar

las propiedades de un sistema axiomtico, especialmente se consideran las

siguientes:

9 Garrido, Manuel. Lgica simblica, pgina 287


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Se dice que el sistema axiomtico S es consistente o que tiene la propiedad de

consistencia si est exento de contradiccin. Es decir que no se obtiene ni seobtendr una conclusin contradictoria en S.

El sistema axiomtico S es llamado completosi para cualquier frmula E de S se

tiene que por lo menos una de las siguientes dos afirmaciones se cumple: E es un

teorema en S o no-E es un teorema en S. Es decir que el sistema axiomtico S es

lo suficientemente potente suministrando todas las conclusiones correspondienteso esperadas en S.

El sistema axiomtico S es decidible si existe un procedimiento estndar,

generalmente un algoritmo, que permite decidir si una frmula es deducible, es

decir, demostrable.

Finalizada la construccin sintctica del sistema axiomtico, corresponde la

interpretacin del mismo que es la parte semntica de los sistemas axiomticos.

En el siglo XX los formalistas exageraron la parte sintctica de los sistemas

axiomticos con un decaimiento de la parte semntica, puesto que los smbolos

eran carentes de alguna interpretacin.

Entre los magnficos ejemplos de sistemas axiomticos en matemticas

sobresalen los brillantes sistemas axiomticos modernos de la teora de conjuntos

entre los que se tienen: Teora de Zermelo-Fraenkel (ZF), Teora de Von

Neumann, Bernays, Gdel y Ackermann (NBG).


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Tambin como ejemplos sobresalientes se tienen los siguientes sistemas

axiomticos de la lgica de proposicional y cuantificacional de primer orden:

2.5 AXIOMATIZACIN DE LA LOGICA PROPOSICIONAL

Los fundamentos lgicos de los mtodos de demostracin en matemticas suelen

ser considerados como axiomas en el desarrollo de una teora matemtica al

considerar a la lgica como una rama de la matemtica, siendo su plenoreconocimiento y aplicacin fundamentales en el razonamiento, argumentacin y

demostracin matemticas. Para conocer la parte sintctica de la lgica de primer

orden, se expone un sistema axiomtico que el autor considera conveniente. El

sistema axiomtico expuesto se origino en 1934 con Hilbert y es perfeccionado

por Kleene en 1952 apareciendo en la obra clsica Introduccin a la

metamatemtica

Existen diferentes sistemas axiomticos de la lgica elemental o de primer orden

como los diseados por: Whitehead-Russell (1910) Hilbert-Bernays (1934)

Lukasiewicz (1929), Church (1956). Debido a su amplia aceptacin entre lgicos,

matemticos y filsofos se ha seleccionado como un magnifico ejemplo, el sistema

axiomtico de Kleene.

2.5.1 SISTEMA AXIOMTICO DE KLEENE

El sistema axiomtico de Stephen C. Kleene de la lgica proposicional denotado

por K=(A, F, X, R) se define as


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28

A: el alfabeto est formado por:

Los smbolos p, q, r, s ,, p1, p2, p3, de proposiciones

atmicas

los smbolos lgicos de conectivos , , ,

los smbolos de agrupacin: (,)

F: el conjunto de las frmulas bien construidas denotado por (fbc) se

define recursivamente as:

toda proposicin atmica es una fbc. Si P y Q son fbc entonces P, P Q, P Q,

P Q y Q P10 son fbc.

Toda fbc se obtiene de las frmulas anteriores

X: El conjunto de axiomas es:

K1: P(QP)

K2: (PQ) ((P(QR)) (PR))

K3: P(QPQ)

K4: PQP PQQ

K5: P PQ Q PQ

K6: (P R) ((QR) (PQR))

K7: (PQ) ((PQ) P)

K8: P P

10 La frmula bien construida ((P Q) (Q P)) ser escrita as: PQ


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29

R: la nica regla de deduccin o de inferencia es la regla clsica

llamada MODUS PONENS abreviada como (MP)

P

PQ__Q

El sistema de Kleene est construido es su dimensin sintctica y la interpretacin

del sistema de Kleene corresponde a la teora de la lgica proposicional, labor

que no se realiza en esta obra debido a su carcter elemental y a la importanciade las reglas de demostracin sobre la parte propiamente semntica del sistema

formal.

El sistema axiomtico de Kleene de la lgica proposicional con algunas

modificaciones se transforma en un sistema axiomtico de la lgica de primer

orden utilizada como fundamento en los mtodos de demostracin enmatemticas. La modificacin del alfabeto A es omitida y solamente se dir que se

agregan los cuantificadores universal y existencial como smbolos lgicos

denotados respectivamente como , .

Las modificaciones correspondientes exclusivamente a las reglas de inferencia y

smbolos lgicos son:

Axiomas del clculo de predicados:

K9: x A(x) A (t)

K10: A (t) xA(x)


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30

Reglas de inferencia:

_A(x)C _ _CA(x)_xA(x)C CxA(x)

El sistema axiomtico de Kleene de la lgica proposicional tiene las propiedades

de completitud, consistencia y decidibilidad, mientras que el sistema axiomtico

de Kleene de la lgica de primer orden solamente posee las propiedades de

completitud y consistencia. Solamente para mostrar como se obtiene un teorema

en el sistema axiomtico de Kleene se tiene la siguiente demostracin paso por

paso:

Demuestre que la frmula A se deduce de la frmula A, es decir AA

1) El axioma K1 es: P(QP), sustituyendo P por A y Q por A se tiene:

A(AA)

2) El axioma K2 es: (PQ) ((P(QR)) (PR)) sustituyendo P por A,Q por (AA) y R por A se tiene:

(A(AA)) ((A((AA)A)) (AA))

3) Aplicando la regla modus ponens a las proposiciones de 1) y 2) se tiene:

(A((AA)A)) (AA)

4) Utilizando de nuevo A1 con Q dado por AA se tiene:A((AA)A)

5) Aplicando Modus Ponens a las proposiciones de los pasos 3) y 4) se tiene:

AA


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31

Cada teorema obtenido facilita la demostracin de otros teoremas construyndose

as el cuerpo deductivo de la lgica de primer orden. Dando precisamente mayor

importancia a las reglas de inferencia se tiene un sistema axiomtico equivalentellamado Deduccin natural de Gentzen

2.5.2 DEDUCCIN NATURAL DE GENTZEN

Despus de exhibir un primer ejemplo de sistema axiomtico en su dimensin

sintctica de la lgica de primer orden se observa que es sencillo, elegante y

poderoso, sirviendo de fundamento a una amplia gama de teoras matemticas

incluyendo, por ejemplo, a la teora de conjuntos. Ahora se dar mayor nfasis a

las reglas de deduccin construidas por G. Gentzen en 1934 en su tesis doctoral.

En el Sistema deductivo de Gentzen G=(A, F, X, R) los conjuntos A y F se definen

de forma similar como en el sistema de Kleene mientras que el conjunto deaxiomas X es vaco. Se presta atencin especial al conjunto R formado por las

reglas de deduccin:

REGLAS DE DEDUCCION NATURAL

Las siguientes reglas bsicas de deduccin natural y sus generalizaciones sonampliamente expuestas en obras clsicas de deduccin natural.11

Introduccin de la conjuncin ( I ): De la afirmacin de dos frmulas se deduce

su conjuncin, en forma simblica se escribe as:

11 J.M. Anderson y H. W. Johnstone, Natural deduction Wadsworth Publ., California, 1962M. Garrido Lgica simblica editorial tecnos, Espaa 2003


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32

BA

B

A

Eliminacin de la conjuncin ( E ): De la conjuncin de dos frmulas se deduce

las dos frmulas, simblicamente:

A

BA

B

BA

Introduccin de la disyuncin ( I ): La disyuncin de dos frmulas se deduce de

cada una de ellas, simblicamente:

BA

A

BA

B

Eliminacin de la disyuncin (E): consiste en que dada una disyuncin AB y si

de A se deduce C como tambin de B se deduce C entonces se deduce C. La

regla E es el fundamento de la famosa regla de inferencia llamada dilema. En

forma simblica:

C

C

B

C

A

BA


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33

Introduccin del negador ( I ): Una frmula es rechazada o inadmisible cuando

d lugar a una contradiccin. La estructura de la regla I es:

A

BB

A

La regla I es utilizada como un principio en la demostracin indirecta reduccin

al absurdo.

Eliminacin del negador ( E ): Negar doblemente una frmula es afirmarla,

simblicamente:

A

A

Eliminacin de la implicacin ( E ): De una implicacin y su antecedente se

deduce el consecuente. La regla E no es otra que el famoso Modus Ponensy

es conocida tambin con el nombre de regla de separacin. Su estructura es:

B

A

BA

Introduccin de la implicacin ( I ): Si de una frmula A se deduce una frmula

B entonces se deduce AB. La regla I tambin es llamada Teorema de

deduccin, su estructura es:


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34

BA

B

A

Introduccin del cuantificador universal ( I ):Al seleccionar un elemento arbitrario

en un conjunto D llamado dominio y obteniendo la frmula P() como una

afirmacin entonces P(x) es verdadera para todo x perteneciente a D,

simblicamente:

(x)Px

)P(

Eliminacin del cuantificador universal ( E ): De una generalizacin se deduce un

caso particular suprimiendo el cuantificador universal, la estructura es:

)(P

(x)Px

Introduccin del cuantificador existencial( I ): dada una frmula con un parmetro

se admite otra frmula que precede de la primera al cambiar el parmetro por

una variable individual antecediendo el cuantificador existencial. En forma

simblica:

)x(Px

)(P

Eliminacin del cuantificador existencial ( E ): De la existencia e identificacin de

un individuo se deduce una frmula. En forma simblica:


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35

A

A

)(P

)x(Px

Despus de la descripcin del sistema axiomtico G, se tiene un ejemplo de

demostracin: Demuestre que

P

Q

QP

Demostracin: Bsicamente es una demostracin por reduccin al absurdo al

aadir como hiptesis P y aplicar la regla I ,

1) PQ hiptesis

2) Q hiptesis

3) P hiptesis

4) Q pasos 1) y 3) y regla E

5) QQ pasos 2) y 4) y regla I

6) P pasos 3) a 5) y regla I

Recordando que se utilizan esquemas de argumentos vlidos en los mtodos de

demostracin usuales en matemticas definitivamente no es posible estudiar los

mtodos de demostracin en matemticas sino se posee por lo menos una idea

general de las reglas de deduccin expuestas aqu, puesto que tambin sern

empleadas en todas las demostraciones en el siguiente capitulo.


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CAPITULO TRES

MTODOS DE DEMOSTRACIN EN MATEMTICA

3.1 INTRODUCCIN

En matemticas no se acepta una proposicin como verdadera hasta que seconstruye su demostracin formal, aunque la proposicin sea vlida para un

nmero finito de casos no significa que sea vlida para todo el universo, por

ejemplo la conjetura de Goldbach se ha verificado utilizando computadoras para

millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.

Un mtodo de demostracin es un esquema argumentativo vlido con fundamentolgico no perteneciente en si a la matemtica sino como elemento propio de una

metateora. La validez de la argumentacin radica en la veracidad de las hiptesis

consideradas para deducir una conclusin.

Los mtodos de demostracin estudiados aqu son:

Mtodo directo de demostracin

Mtodos indirecto de demostracin

por reduccin al absurdo

por contrapositiva12

Mtodo de Induccin matemtica13

12 Tambin llamado demostracin por contrareciproca.


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3.2 MTODO DIRECTO DE DEMOSTRACIN

En el mtodo de demostracin directa se tiene como hiptesis verdaderas las

proposiciones H1 y H2 y y Hn procediendo a la deduccin de que la conclusin

Q es verdadera a travs de un proceso lgico deductivo, es decir como una

cadena de implicaciones lgicas. El esquema de demostracin en el mtodo

directo es de la forma:

Si H1 y H2 y y Hn entonces Q

en forma simblica:

H1 H2 Hn Q

El mtodo de demostracin directo tiene como fundamento lgico la regla de

inferencia clsica o esquema argumentativo vlido llamado: Modus Ponens

[ P (PQ) ] Q Modus Ponens

que significa: si la hiptesis P es verdadera y la hiptesis P implica la conclusin

Q entonces la conclusin Q es verdadera.

Para una mejor comprensin del esquema de demostracin directa se tiene

algunos ejemplos donde se identifica cada elemento en la demostracin.

13 Es el mtodo clsico de demostracin por induccin matemtica que se diferencia del mtodo deinduccin transfinito. El lector interesado puede consultar la obra de Paul R. Halmos Teoraintuitiva de los conjuntos pginas 71 y 100


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Proposicin 1.0

Demuestre que si las funciones f(x) y g(x) son derivables en x = b entonces la

funcin f(x)g(x) es derivable en x = bDemostracin:

Se identifican las hiptesis y la conclusin:

H1: f(x) es derivable en x = b

H2: g(x) es derivable en x = b

Q: f(x)g(x) es derivable en x = b

Despus de identificar las hiptesis y la conclusin, se tiene una pregunta

fundamental que aparece constantemente en diferentes niveles acadmicos

Cmo iniciar la secuencia de la demostracin? La respuesta se encuentra

precisamente en la conclusin f(x).g(x) es derivable en x= b por lo que un inicio

correcto es considerar la derivada del producto f(x).g(x) en x = b, por definicin:

bx

)b(g)b(f)x(g)x(f

))b(g)b(f(bx

lim

==== (1)

Cmo se puede reescribir el cociente expresado en (1) de tal manera que sean

aplicables las hiptesis H1 y H2?

La respuesta se encuentra en que )x(f y )x(g son de la forma:

bx

)b(g)x(g)b(g

bx

)b(f)x(f)b(f

bxbxlimlim

====

====

(2)

que sugieren estudiar una relacin entre los numeradores de (1) y (2).

Bsicamente se suma y resta un trmino adecuado al numerador en (1) que

permita extraer factor comn para que aparezcan los numeradores de (2),

seleccionando el trmino: f(x)g(b), se tiene:


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39

bx

)b(g)b(f)b(g)x(f)b(g)x(f)x(g)x(f

))b(g)b(f( bxlim

++++

====

extrayendo factor comn:

bx

))b(f)x(f)(b(g))b(g)x(g)(x(f))b(g)b(f(

bxlim

++++====

dividiendo ambos sumandos en el numerador por el denominador:

++++

====

bx

))b(f)x(f)(b(g

bx

))b(g)x(g)(x(f))b(g)b(f(

bxlim

evaluando el lmite de una suma que es igual a la suma de los lmites

bx

))b(f)x(f)(b(g

bx

))b(g)x(g)(x(f))b(g)b(f(

bxbxlimlim

++++

====

evaluando

)b(f)b(g)b(g)b(f))b(g)b(f( ++++====

Queda formalmente demostrada la proposicin 1.0

Se construye la demostracin formal de la siguiente proposicin perteneciente al

anlisis de variable real y posteriormente se relaciona con elementos de algebra

lineal como es el concepto fundamental de producto interno.


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40

Proposicin 1.1: Para cualquier r y s reales, r2 + s2 = 0 si y slo si r=0 y s=0

La proposicin 1.1 escrita en un lenguaje matemtico formal es:

r,s R, ( r2 + s2 = 0 r=0 y s=0)

que contiene el cuantificador universal propio de la lgica de primer orden y

denotado por de tal manera que es necesario aplicar la regla de inferencia de

deduccin natural llamada introduccin del cuantificador universal que tiene la

forma:___HQ__

x,y HxyQxy

que significa que se tiene que seleccionar individuos cualesquiera o elementos

arbitrarios en R denotados por y reduciendo la inferencia a la lgica de

conectores en la proposicin HQ que demuestra la veracidad de la

conclusin en la lgica cuantificacional de primer orden.

En la demostraciones que contienen si y slo si se utiliza la equivalencia lgica

siguiente: [(PQ)(QP)] (PQ) que significa: Si P es hiptesis entonces se

obtiene la conclusin Q y si Q es hiptesis entonces se obtiene la conclusin P.

En una demostracin con bicondicional generalmente una de las implicaciones es

ms fcil de demostrar que la otra. Para mayor claridad en la demostracin de

cada implicacin sean las proposiciones:

P: r2 + s2 = 0

Q: r=0 y s=0


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Demostracin de la implicacin (PQ)

Sean , cualesquiera nmeros reales y supongamos que 2 + 2 = 0 entonces

cada una de las siguientes proposiciones es verdadera

Proposicin razn

1) 2 + 2 = 0 por hiptesis

2) 2 (1) 2 = 0 ley de signos

3) 2 i22 = 0 i2=1 donde i= 1

4) (i) (+i)= 0 diferencia de cuadrados

5) i= 0 +i= 0 Si xy=0 entonces x=0 y = 0

6) i= 0+i0 por paso 5) y escritura de

cero como nmero complejo

7) =0 = 0 igualdad de nmeros

complejos y paso 6)

8) +i= 0+i0 por paso 5) y escritura de

cero como nmero complejo

9) =0 = 0 por paso 8)

10) =0 = 0 por proposiciones 7) y 9)

Para mayor claridad, se hace notar que en la proposicin 5) se aplica una de las

reglas de inferencia llamadas dilemas, en la deduccin natural eliminacin de la

disyuncin (E)

H1H2

H1Q

_H2Q_

Q

Demostracin de la implicacin (QP):

Si = 0 = 0 entonces 2 + 2 = 02+02=0


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Queda demostrada formalmente la proposicin 1.1

La relacin que guarda la proposicin 1.1 en algebra lineal corresponde a la

definicin de producto interno en R2 as: xy= (x1,x2)(y1,y2) = x1y1+x2y2 siendo uno

de los axiomas que satisface: el producto interno de una pareja ordenada v=(r,s)

consigo misma es igual a cero si y slo si (r,s) = (0,0). Que en forma simblica se

escribe as:

vv = 0 v = (0,0)

que en trminos de componentes se expresa as:

r,s R, ( r2 + s2 = 0 r=0 y s=0)

justamente la proposicin 1.1

3.3 MTODOS DE DEMOSTRACIN INDIRECTOS

El mtodo de demostracin directa no siempre es aplicable debido a la naturaleza

de las proposiciones a demostrar, por lo que es necesario realizar una

demostracin indirecta las cuales son ampliamente usadas en matemticas, a

continuacin algunos de los mtodos usuales de demostracin indirecta.

3.3.1 METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO

Se atribuye al filsofo griego Zenn de Elea, alrededor del siglo V a.C., la

invencin del mtodo de reduccin al absurdo que utilizaba en sus argumentos y

en sus famosas paradojas, desde entonces es un mtodo ampliamente aplicado

en matemticas.


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El procedimiento general para demostrar indirectamente por reduccin al absurdo

una proposicin de la forma (H1 H2 Hn ) Q consiste en:

R1) Negar la conclusin Q utilizando las leyes de la lgica, la negacin de

Q es denota por Q que se lee no Q

R2) El conjunto de hiptesis ahora es de la forma H1 H2 HnQ,

es decir que Q se aade como una hiptesis

R3) Del conjunto de hiptesis enunciadas en R2) obtener una

contradiccin evidente, una contradiccin es una proposicin que

siempre es falsa y es denotada por C, en forma simblica:

H1 H2 Hn Q C, es decir que el conjunto de hiptesis

{H1, H2, ,Hn,Q} es inconsistente o contradictorio.

R4) entonces Q es verdadera por la obtencin de una contradiccin al

suponer verdadera la negacin de Q

Aristteles fundamento lgicamente la demostracin por reduccin al absurdo en

dos principios: principio de no contradiccin (pq) considerada ley suprema

de la lgica segn Kant y Aristteles, que significa que una proposicin no es

verdadera y falsa simultneamente y el principio del tercero excluido (pp) que

significa que una proposicin es verdadera o falsa. Si no son aceptados los

principios anteriores, el mtodo de reduccin al absurdo carece de fundamento

lgico.


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El fundamento lgico del mtodo de reduccin al absurdo es la equivalencia

lgica llamada precisamente reduccin al absurdo:

(PQ)[(P Q)C]

donde P es de la forma H1 H2 HnQ y C denota una contradiccin

Cuando solamente se afirma una proposicin Q sin ninguna hiptesis, como por

ejemplo: es transcendental, entonces la veracidad de Q se obtiene de la regla deinferencia:

(QC)Q

Las siguientes demostraciones ilustran el mtodo de reduccin al absurdo.

Proposicin 1.2

Demuestre que para todo entero n, si n2 es par entonces n es par

Demostracin:

De nuevo aparece el cuantificador universal que se elimina por la regla de

eliminacin del cuantificador universal reducindose la demostracin de la lgica

de primer orden a la lgica proposicional como se explico en la proposicin 1.1

Seleccionando un entero arbitrario n e identificando hiptesis y conclusin se

tiene:

Hiptesis H1: n2 es par Conclusin: Q: n es par

Negacin de la conclusin Q: n es impar

Ahora, el conjunto de hiptesis es H1 y Q: n2 es par y n es impar


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Cmo se inicia la secuencia de la demostracin? La respuesta no es nica como

veremos en esta demostracin pero una gua general es la generacin de unacontradiccin. Para tal fin, consideremos la suma de n2 y n en el siguiente

proceso lgico deductivo:

Proposicin Razn

1) n2 es par hiptesis

2) n es impar hiptesis3) n2+n es impar la suma de un par e impar es impar

4) n2+n=n(n+1) distributividad

5) n+1 es par por proposicin 2)

6) n(n+1) es par por proposicin 5)

7) n2+n es par por proposiciones 4) y 6)

8) n2+n es impar y n2+n es par por proposiciones 3) y 7)

Se ha obtenido una evidente contradiccin en la proposicin 8) por lo tanto la

negacin de Q no es verdadera: n es impar y se acepta la veracidad de Q: n es

par. Queda formalmente demostrada la proposicin 1.2.

En matemticas existen diferentes demostraciones para una proposicin, por lo

que se construye otra demostracin de la proposicin 1.2

Proposicin Razn

1) n2 es par hiptesis

2) n es impar hiptesis

3) n21 es impar por proposicin 1)


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4) n21=(n+1) (n1) diferencia de cuadrados

5) n+1 y n1 son pares por proposicin 2)

6) n21=(n+1) (n1) es par por proposicin 5)

7) n21 es impar y n21 es par por proposiciones 3) y 6)

Proposicin 1.3

Demuestre que 2 no es racional

La conclusin Q es: 2 no es racional siendo su negacin Q: 2 es racional

que es considerada como hiptesis.

Supongamos que 2 es racional, es decir, existen enteros 0 y primos

relativos tales que 2 =

, es decir, 2 =. Elevando al cuadrado ambos lados

de la ecuacin 2 = obtenemos que 22=2 de donde se tiene que 2 es par y

por proposicin 1.2 se tiene que es par, por lo que existe un entero k tal que

=2k, sustituyendo en la ecuacin 22=2 se tiene que 22= (2k)2 que al simplificar

queda 2=2k2 de tal manera que 2 es par y por proposicin 1.2 es par. La

contradiccin que se obtiene es que y son primos relativos, es decir que su

mximo comn divisor es 1 y por otra parte, y son divisibles por 2 porque

ambos son pares. Ante esta evidente contradiccin se tiene que la negacin de Q

es falsa por lo que Q es verdadera.

Utilizando el mtodo de reduccin al absurdo la demostracin de la proposicin

1.3 fue realizada por Euclides hace ms de 2000 aos!


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Para finalizar la exposicin del mtodo de reduccin al absurdo, consideremos la

paradoja de Russell descubierta por B. Russell a inicios del siglo XX que causo

una crisis en los fundamentos de las matemticas que fue resuelto posteriormentealrededor de 1920.

Proposicin 1.4

Sea A cualquier conjunto. Se define el conjunto B como: B = {xA : xx} es decir

que B es el conjunto de los elementos pertenecientes al conjunto A que no

pertenecen a s mismos. Por definicin de B es conveniente escribir:

Si B entonces A y (B1)

Si A y entonces B (B2)

la pregunta esencial es: B es un elemento de A?

Supongamos que la proposicin Q: BA es verdadera, entonces se tienen dos

casos:

H1: B pertenece a B o H2 :B no pertenece a B.

Para H1: Si BB por la proposicin B1 se tiene que BA y BB obteniendo la

contradiccin BB y BB.

Para H2: Si BB y BA por proposicin B2 se obtiene que BB, obteniendo la

contradiccin BB y BB.

En conclusin Q: BA es falsa, es decir, Q: BA es verdadera. En otras

palabras, para cualquier conjunto arbitrario A existe algo llamado B tal que BA,

es decir: No existe algo que contenga a todo!


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La demostracin de la proposicin 1.4 es un razonamiento realizado en teoras

antiguas de conjuntos previas a su axiomatizacin.

3.3.2 METODO DE DEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA

El mtodo de demostracin por contrapositiva es un mtodo indirecto que tiene

como fundamento la equivalencia lgica

(PQ)(QP)

Para realizar una demostracin por contrapositiva se toma como hiptesis la

negacin de la conclusin escrita como Q para obtener como conclusin la

negacin de la hiptesis escrita como P. El esquema argumentativo de la

deduccin por contrapositiva es de la forma:

Q

_QP_

P

Se ilustra claramente este procedimiento en las siguientes demostraciones.

La Proposicin 1.2 es: para todo entero n, si n2 es par entonces n es par.

Demuestre la proposicin 1.2 por contrapositiva.

Demostracin:

Se observa que la implicacin: si n2 es par entonces n es par, con hiptesis P:

n2 es par y conclusin Q: n es par, es equivalente a la implicacin: si n es impar

entonces n2 es impar con hiptesis Q: n es impar, y conclusin P: n2 es impar


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Recordando que el inicio de la demostracin por contrapositiva es la hiptesis Q:

n es impar, se tiene el siguiente proceso lgico deductivo formal:

Proposicin Razn

1) n es impar por hiptesis

2) n=2k+1 por proposicin 1)

3) n2=(2k+1)2 elevando al cuadrado ambos lados

de la proposicin 2)

4) n2

= 4k2

+4k+1 algebra elemental y proposicin 3)5) n2= 2(2k2+2k)+1 algebra elemental y proposicin 4)

6) n2 es impar por proposicin 5)

Hemos obtenido como conclusin P: n2 es impar. Queda demostrada

formalmente la proposicin 1.2 por contrapositiva

Una demostracin ms por contrapositiva: Demuestre una implicacin de la

Proposicin 1.1: Para cualquier r y s reales, si r2 + s2 = 0 entonces r=0 y s=0

Demostracin:

La conclusin de la proposicin 1.1 es Q: r=0 y s=0 y su negacin que es la

hiptesis en la demostracin por contrapositiva es Q: r0 o s0 sirve para

obtener la negacin de P: r2 + s2 = 0 que es P: r2+s20

Sin perdida de generalidad se supone que r0 puesto que la demostracin para

s0 es idntica.

Si r0 entonces r2>0 entonces r2+s2 r2>0 de donde r2+s20.

Para construir otra demostracin por contrapositiva se demuestra la inyectividad

de una funcin por definicin en la


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Proposicin 1.5

Demuestre que la funcin F(x) = 5x+16 definida en el conjunto de nmeros reales

sobre s mismo es una funcin inyectiva.

Demostracin

Una funcin es inyectiva o uno a uno si transforma elementos diferentes en el

dominio A de la funcin f en elementos diferentes en el codominio de f. En

notacin simblica:

f()f()

que tiene como contrapositiva a:

f()=f()=

Supongamos entonces que F ()=F (), por definicin de F(x) se tiene:

5+16=5+16

simplificando se obtiene. =.

3.4 METODO DE DEMOSTRACION POR EL PRINCIPIO

DE INDUCCION MATEMATICA

El principio de induccin matemtica es un principio universalmente vlido en

matemticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los nmeros naturales

construidos por el matemtico italiano G. Peano a finales del siglo XIX, insistimos

en que es un axioma que formalmente pertenece a la lgica de segunda clase al

cuantificar propiedades de nmeros naturales, sin embargo, por un tratamiento de


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letra predicativa como un parmetro se considera al principio de induccin

matemtica como un axioma en la lgica de primer orden.

Las demostraciones por el principio de induccin matemtica se consideran

indirectas. El principio de induccin matemtica es utilizado para demostrar la

veracidad de proposiciones p(n) donde n es un nmero natural mayor que un valor

inicial n0, el principio de induccin matemtica consiste en:

i) inicialmente se verifica que la proposicin p(n) es verdadera para n=n0,es decir p (n0) es verdadera.

ii) Se enuncia la hiptesis de induccin: p (k) es verdadera para el nmero

natural k.

iii) Usando la hiptesis de induccin enunciada en (ii) y otras proposiciones

verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es

verdadera.

iv) La conclusin consiste en que p(n) es verdadera para todo nn0

En forma simblica el principio de induccin matemtica se escribe as:

[p (n0) [k>n0[p(k)p(k+1)]]]k>n0 p(n)

A continuacin un ejemplo didctico de la aplicacin del principio de induccin

matemtica que contiene la construccin de la proposicin p(n) a travs deprocesos heursticos previos a su demostracin formal.

Supongamos que queremos calcular la siguiente suma:

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ... + n2


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52

se pueden usar diferentes mtodos para determinar la solucin por ejemplo:

reescritura o teora elemental de relaciones de recurrencia. Utilizaremos el

reconocimiento de patrones algebraicos y numricos como una forma de descubriro redescubrir una conjetura y despus ser demostrada formalmente por

induccin matemtica.

Reconocimiento de patrones algebraicos y numricos: consideremos los

siguientes cocientes para descubrir si aparece un patrn numrico:

3

3

1

1

1

12

========

3

5

21

21 22====

++++

++++

37

614

321321

222

========++++++++++++++++

3

9

10

30

4321

43212222

========++++++++++++

++++++++++++

3

11

15

55

54321

54321 22222========

++++++++++++++++

++++++++++++++++

observando que el denominador es 3 y que el numerador se obtiene al multiplicar

por 2 el ltimo sumando en el denominador ms 1, por ejemplo, en la ltima

ecuacin se tiene: (2)(5)+1=11 Este breve y elemental reconocimiento numrico

permite realizar la siguiente conjetura:


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53

3

1n2

n...54321

n...432122222 ++++====

++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++

despejando la suma

(((( ))))n...543213

1n2

n...54321

n...432122222

++++++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++

aplicando la frmula:2

)1n(nn...4321

++++====++++++++++++++++++++ demostrada de diferentes

formas14

(((( ))))n...543213

1n2n...4321

22222 ++++++++++++++++++++++++++++

====++++++++++++++++++++

simplificando6

)1n2)(1n(nn...4321

22222 ++++++++====++++++++++++++++++++

La frmula anterior tiene la categora de una conjetura y aunque sea verdadera

para un nmero finito de casos no significa que sea verdadera para todo el

universo, es decir, par todo nmero natural mayor que 1, es aqu donde la

matemtica como ciencia deductiva difiere de las llamadas ciencias inductivas.

Ahora se realiza la demostracin formal por el principio de induccin matemtica.

Se demuestra que6

)1n2)(1n(nn...4321

22222 ++++++++====++++++++++++++++++++ para n 1

14 Artculo del Autor publicado en la Revista del departamento de matemtica de la Facultad deIngeniera de la Universidad de San Carlos de Guatemala, Octubre 2004 pginas 11 a 16


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primer paso: Se verifica que la proposicin es vlida para el valor inicial n 0=1, en

efecto: 1

2

= 6

)1)1(2)(11(1 ++++++++

es verdadera.

segundo paso: Se enuncia la hiptesis de induccin en trminos del nmero

natural k, es decir:

6

)1k2)(1k(kk...4321

22222 ++++++++====++++++++++++++++++++

tercer paso: utilizando la hiptesis de induccin y otros resultados demostrados

anteriormente se demuestra que la proposicin es verdadera para el sucesor de k

que es k+1, sugiriendo considerar la suma: 222222 )1k(k...4321 ++++++++++++++++++++++++++++

que se manipula algebraicamente justificando cada paso:

por asociatividad: a+b+c= (a+b)+c se tiene

22222

)1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =(22222

)1k()k...321 ++++++++++++++++++++++++ por hiptesis de induccin

22222 )1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ = 2)1k(6

)1k2)(1k(k++++++++

++++++++

por distributividad: ab+ac=a(b+c)

22222 )1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =

++++++++

++++++++ )1k(

6

)1k2(k)1k(

por definicin de suma de fracciones

22222)1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =

++++++++++++++++

6

)1k(6)1k2(k)1k(

por distributividad y reduccin de trminos semejantes:


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55

22222 )1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =6

6k7k2)1k(

2 ++++++++++++

por factorizacin de trinomios

22222 )1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =6

)3k2)(2k()1k(

++++++++++++

reescribiendo en trminos de k+1

22222 )1k(k...321 ++++++++++++++++++++++++ =6

)1)1k(2)(1)1k)((1k( ++++++++++++++++++++

de donde se tiene que la proposicin es vlida para k+1.

cuarto paso: La conclusin es: p(n):

6

)1n2)(1n(nn...4321

22222 ++++++++====++++++++++++++++++++ para n 1

La proposicin p(n) demostrada por el principio de induccin matemtica en el

ejemplo anterior es utilizada en el clculo integral como una frmula elemental

para la evaluacin de integrales definidas por limites de sumas de Riemann.

Despus de una exposicin adecuadas de los mtodos comnmente utilizados en

matemticas se tiene el siguiente capitulo referente a conclusiones y posibles

lneas de investigacin en el futuro como tambin una breve descripcin de la

relacin de esta obra con el contexto nacional.


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CONCLUSIN

En esta obra se tiene una exposicin sintctica de elementos metamatemticos

enmarcados en la contempornea Teora de la demostracin o tambin llamada

Teora de la prueba establecida en el siglo XX como la magnifica culminacin de

un proceso mostrado en la parte histrica de la obra.

Para apreciar y descubrir la naturaleza y poder de la matemtica se ha mostrado

en esta obra una seleccin adecuada de demostraciones utilizando los

esquemas o mtodos de demostracin donde la mayora fueron realizadas por el

autor pero tambin se tiene bellsimas demostraciones matemticas clsicas.

No solamente se construyeron las demostraciones con el rigor matemtico

necesario por excelencia, sino tambin se da una relacin explicita de la

conclusin obtenida con otros tpicos matemticos que generalmente son de un

nivel superior.

Es valiossimo desde diferentes puntos de vista, la exposicin en esta obra de la

componente heurstica en algunas demostraciones intentando mostrar cuando

corresponda, todo el proceso relacionado con el descubrimiento, construccin y

demostracin de una conjetura.


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As es como se construye el conocimiento matemtico, los resultados nuevos

dependern de los resultados anteriores, es decir que para demostrar unaproposicin se necesitan considerar proposiciones verdaderas como axiomas o

teoremas que son verdades matemticas demostrables. Pero al modificar los

axiomas pertenecientes a un sistema axiomtico formal se tendr como

consecuencia la construccin de otras teoras con otras leyes donde el concepto

de verdad no es absoluto, teniendo como ejemplo sobresaliente la modificacin

del Quinto postulado de Euclides para dar origen a las geometras no Euclidianas

como se muestra en la parte axiomtica de esta obra.

Solamente una advertencia al respecto, la matemtica no solamente consiste en la

deduccin formal sino que es una ciencia donde tambin se tienen procesos

creativos en el descubrimiento o redescubrimiento de conjeturas.

Los sistemas axiomticos perfeccionados en el siglo XX inciden actualmente en la

expansin de la matemtica siendo el mtodo usado por excelencia. Pero los

sistemas axiomticos no son exclusivos de la matemtica sino que se pueden

aplicar en reas tan diversas como por ejemplo en economa y en la gentica,

tenindose como consecuencia un anlisis lgico posiblemente inductivo y

metodolgico de las hiptesis y teora correspondientes.

Constituye un desafo actual la axiomatizacin de teoras cientficas alcanzando

avances significativos en reas insospechadas ajenas o subordinadas a las

matemticas.


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El curriculum nacional base editado por el Ministerio de Educacin de Guatemala

dicta directrices oficiales en educacin, especficamente en el rea de

matemticas de la escuela secundaria, que es una componente del nivel mediodel sistema educativo nacional, se tiene que la demostracin en matemticas

constituye un propsito fundamental segn los lineamientos generales del

Ministerio de Educacin de Guatemala:

orientar el desarrollo del pensamiento analtico y reflexivo, mediante la

integracin de la bsqueda de patrones y relaciones; la interpretacin y el uso deun lenguaje particular, simblico, abstracto; el estudio y representacin de figuras;

la argumentacin lgica y la demostracin; son propsitos del rea de

matemticas. (curriculum nacional base, ao 2007, pgina 166)

En ese mismo nivel educativo se estudian fundamentos de lgica formal en su

dimensin puramente semntica como son: valor de verdad, proposiciones

simples, conectivos lgicos, proposiciones compuestas, tablas de verdad,

tautolgica, contradiccin, contingencia, tablas de verdad, cuantificadores,

proposiciones abiertas y demostraciones.

Se tiene definido como contenido procedimental el estudio de la geometra

euclidiana como una formulacin axiomtica que bsicamente es un ejemplo

sobresaliente de sistema axiomtico formal.

En los apuntes metodolgicos del curriculum nacional base se afirma:


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Se considera importante propiciar el razonamiento aplicado en demostraciones

en conjuntos de objetos ideales bien definidos que se rigen por axiomas,

conduciendo a los y las estudiantes a desarrollar altos niveles de comprensin y

abstraccin. (Curriculum nacional base, ao 2007, pgina 184)

De aqu la importancia del desarrollo del razonamiento correcto es decir, la

argumentacin vlida y sus relaciones con otras reas que se tendran que

desarrollar sistemticamente a lo largo de todo el nivel medio nacional previo a la

educacin superior donde puede ser formalizado completamente de acuerdo aperfiles profesionales actualizados.

En la investigacin documental el autor ha descubierto que las publicaciones a

nivel nacional relacionadas con el tema Mtodos de demostracin en matemtica

son realmente escasas, proveyendo esta obra una complementacin de ese vaco.

El tema de los mtodos de demostracin es amplsimo y puede ser investigado y

estudiado desde diferentes perspectivas como las siguientes:

Complementar esta investigacin con investigaciones sobre otros mtodos

de demostracin en matemticas que no son utilizados o conocidos

ampliamente como por ejemplo el mtodo de induccin matemtica

transfinito

Realizar investigaciones acerca de la generalizacin de los sistemas

axiomticos formales en su dimensin sintctica y posteriormente

semntica.


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Realizar investigaciones sobre la aplicacin de los sistemas axiomticos

generalizados en reas propias y ajenas de las matemticas como por

ejemplo la deduccin natural empleada en la deduccin automtica.


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BIBLIOGRAFA

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maestra en ciencias en matemtica educativa. Mxico: Cinvestav

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Cultura Econmica.

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departamento de matemticas de la Facultad de Ingeniera de la USAC.

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[15]Tarski, A. (1951) Introduccin a la lgica y a la metodologa de la ciencias

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los metodos de demos trac ion en matem,atica

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