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Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

193

1100 Los griegos, la heurística, la regla y el compás

Liliana Eva Siñeriz

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Resumen

Este trabajo aborda los problemas de regla y compás desde dos

perspectivas diferentes. Una de ellas procede de los matemáticos de la

Grecia clásica, la cual se interpretará desde la obra euclídea. La segunda

proviene de la heurística, donde se utilizará a las construcciones geomé-

tricas como instrumento para enseñar métodos de resolución de proble-

mas.

Introducción

Las construcciones con regla y compás han ocupado tradicio-

nalmente un lugar importante en la enseñanza de la Geometría plana, ya

sea por su interés práctico como teórico. Si bien resultan adecuadas para

el estudio de las figuras geométricas, son también un rico instrumento

para la enseñanza de resolución de problemas, y a este doble propósito

responde el diseño del presente capítulo.

Mostraremos dos perspectivas distintas bajo las cuales se puede

abordar esta temática: la primera de ellas proviene de la “Geometría

Sintética”, la cual nos limitaremos a interpretar desde la obra euclídea, y

la segunda surge desde el campo de la resolución de problemas matemá-

ticos.

En particular vamos a analizar la concepción euclídea desde el

libro I de los Elementos, a modo de brindar una pincelada dirigida a

ilustrar el sentido que estos problemas han tenido para un matemático

Capítulo 10 194

que nos delega una presentación lógica de la Geometría en la forma de

una cadena de proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y

suposiciones iniciales.

Situados en el terreno heurístico, estas construcciones pueden

ser utilizadas para la apropiación de modos y medios para resolver pro-

blemas. En este sentido, vamos a examinar los métodos de resolución

implicados en estos problemas, a fin de aprovechar el potencial heurísti-

co implícito en ellos. La intención es presentar algunos elementos teóri-

cos del campo de la resolución de problemas para que puedan ser inte-

grados a la planificación de la tarea docente.

Desde la Geometría Sintética

Las construcciones geométricas nos remiten a la antigua Grecia,

en donde sedujeron a varios matemáticos, en la época en que la concep-

ción de la Geometría deja de ser absolutamente pragmática y tiende a

constituirse como ciencia basada en el razonamiento deductivo.

Se trataba de construcciones que debían hacerse mediante inter-

sección de rectas y circunferencias, usando sólo la regla no graduada y

el compás, según Platón los instrumentos divinos. Rectas y circunferen-

cias eran considerados por filósofos y matemáticos griegos como las

curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones

debían ser posibles.

Los geómetras griegos, de acuerdo a las fuentes que nos permi-

ten conocer su obra, habían llegado a distinguir tres tipos de problemas:

los planos, para cuya solución bastaban líneas rectas y circunferencias;

los sólidos, que suponían el uso de secciones cónicas; los lineales, que

requerían curvas más complicadas (espiral, cuadratriz, etc).

Según comentarios de L. Vega en la introducción de los “Ele-

mentos”, Pappus (s. III d.C.) considera que Euclides ha ofrecido un

criterio para identificar los problemas planos: “A es un problema plano

sólo si es efectivamente soluble por el procedimiento de regla y compás;

luego si A es un problema plano, A tiene una construcción efectiva so-

bre la base sentada en los Elementos”. (Euclides 1991, págs. 55-56)

Los Elementos coronan una tradición de tratados elementales

hoy desaparecidos. Parece ser que los primeros tratados elementales


195

consistían en principios instrumentales, asunciones que aglutinaban un

núcleo de resultados o proposiciones conocidas en torno a una cuestión

determinada. Todo esto hasta llegar a unos “elementos” fundados en

principios y asunciones que tejen un cuerpo de conocimientos como una

teoría deductiva. Esto es una conjetura, ya que no hay pruebas docu-

mentales por la desaparición de los tratados anteriores al de Euclides. Es

así, que la solución mediante regla y compás de dos problemas recogi-

dos en el libro I (I. 12- Construir la recta perpendicular a otra por un

punto exterior; I. 23- Transportar un ángulo sobre una semirrecta), se le

atribuye a un matemáticos del V a.C., por tanto la contribución plasma-

da en dicho tratado se reduciría a la explicitación de los supuestos de

este antiguo método.

Acorde a un punto de vista matemático, las construcciones de

regla y compás no tienen por objetivo la realización efectiva de la cons-

trucción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones

que algo es construible con regla y compás.

Las proposiciones de Euclides van a demostrar que algo es

construible con los instrumentos mencionados; las construcciones se

usan en el sentido de los teoremas de existencia, o sea para demostrar

que algunas entidades existen realmente. Por ejemplo se puede definir la

bisectriz de un ángulo dado como la semirrecta interior al mismo que lo

divide en dos ángulos congruentes, pero una definición no establece la

existencia de lo que se está definiendo; ésta requiere una prueba. Para

demostrar que un ángulo dado tiene una bisectriz, se muestra que esta

entidad puede construirse realmente. La construcción de una entidad es

la forma de demostrar su existencia

Las llamadas “construcciones de regla y compás”, habrían sido

para Euclides aquellas que se obtienen intersectando rectas y circunfe-

rencias, cuya existencia estaba garantizada por ciertas nociones comu-

nes y cinco postulados:

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta

un punto cualquiera.

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.

3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.

Capítulo 10 196

4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos in-

ternos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas pro-

longadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que es-

tán los ángulos menores que dos rectos”.

(Euclides 1991, pág. 197)

Dichos postulados se presentan a continuación de veintitrés de-

finiciones, con las que se inicia el libro I de “Los Elementos”, obra que

suele fecharse hacia el s. III a.C.

El primer postulado permite la construcción efectiva de la recta

una vez conocida su definición1, presupone que nuestra regla es tan

larga como deseamos, de modo que podemos trazar la recta determinada

por dos puntos dados cualesquiera. El segundo establece que un seg-

mento sólo puede prolongarse de una única manera por cada extremo,

por ende dos rectas no podrán tener un segmento común. El tercer pos-

tulado tiene ciertos rasgos del primero, en este caso permite la construc-

ción del círculo luego de contar con la noción correspondiente2.

Los tres primeros postulados enuncian las construcciones primi-

tivas de las cuales todas las demás de los Elementos deben componerse.

Constituyen las reglas de juego de la construcción euclideana. Como

restringen las construcciones sólo a aquellas que pueden hacerse en una

forma admisible con regla y compás, estos dos instrumentos, así limita-

dos, se conocen como herramientas euclideanas.

Euclides justifica la construcción de ciertos objetos y postula la

de otros, pero para ello sigue cierta racionalidad; las construcciones de

la recta y de la circunferencia -que son las construcciones que se corres-

ponden con los instrumentos regla y compás- se establecen por postula-

dos, y a partir de ello se justifican las demás construcciones.

1 Definición 4: “Una línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los

puntos que están en ella”. 2 Definición 15: “Un círculo es una figura plana comprendida por una línea tal

que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro

de la figura son iguales entre sí”.


197

El cuarto postulado es de naturaleza muy diferente a los tres an-

teriores, pues no se refiere a la posibilidad de hacer ciertas construccio-

nes, sino que establece una propiedad de los ángulos rectos, la de ser

una magnitud determinada que representa un patrón para medir los de-

más tipos de ángulos. Según L. Vega, Proclo (s. V d.C.) ha manifestado

que este postulado posteriormente fue considerado como una noción

común o axioma, e incluso ha sugerido considerarlo como tal, aunque

más tarde, ese filósofo y comentarista del tratado euclídeo, lo tomará

como proposición susceptible de demostración.

El postulado quinto, por un lado y en cuanto al aspecto operati-

vo, se parece a los tres primeros postulados, pues establece la existencia

de puntos de intersección entre rectas. Por otro lado completa la noción

de paralelismo esbozada en la definición de rectas paralelas3; probable-

mente debido a su asociación con una definición es que se lo ha consi-

derado en los siglos XVI y XVII como una noción común. L. Vega

también señala que, según Proclo, “debe ser borrado de la lista de postu-

lados porque se trata de un teorema lleno de dificultades, que Tolomeo

se propuso resolver en un libro y cuya demostración requiere varias

definiciones y teoremas” (Euclides 1991, pág 57). La historia donde se

pretende bajar de su pedestal a este postulado es muy conocida, por un

lado los intentos concluían en supuestos deductivamente equivalentes al

mismo en el marco de la Geometría euclídea, y por otro llevaron a vis-

lumbrar las geometrías no euclideanas.

Los postulados no se demuestran y además no son evidentes pa-

ra los sentidos -esta cualidad se reserva para las nociones comunes-, son

una petición de acuerdo, a la que no se asiente de inmediato sino con

ciertas reservas. Por eso Euclides los escribe en imperativo, con el fin de

señalar al lector cuáles son los poderes constructivos de los que ha de

dotarse quien haya de construir los objetos geométricos que van a estu-

diarse en los Elementos.

3 Definición 23: “Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y

siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a

otra en ninguno de ellos”.

Capítulo 10 198

Con respecto a las nociones comunes, llamadas axiomas por

otros geómetras, podemos decir que se distinguen por su calidad de

principios, no sólo verdaderos y evidentes, sino también indemostrables;

además, y según las pautas aristotélicas, estos deberían tener un alcance

más general que el limitado por el campo temático de una ciencia de-

terminada.

El conjunto de nociones comunes también llevó a generar algu-

nas diferencias entre los matemáticos helenísticos. Por un lado, parece

ser que hubo un intento de Apolonio de demostrar alguna de estas no-

ciones comunes. Por otro lado, hubo algunos comentadores y editores de

este tratado que añadieron nuevos axiomas acerca de las relaciones de

igualdad y desigualdad, a los cuales Proclo sugiere rechazar para no

aumentar el número de axiomas sin necesidad.

Las cinco nociones comunes admitidas en la obra euclídea son:

i) Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.

ii) Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.

iii) Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

iv) Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

v) Y el todo es mayor que la parte.

(Euclides 1991, págs. 199-201)

En forma inmediata a establecer sus postulados y nociones comu-

nes, Euclides presenta una serie de problemas y teoremas, a los cuales

algunos traductores de este tratado les dan el nombre de proposiciones.

Según la tradición griega un problema se diferenciaba de un teo-

rema. Un problema representaba un objeto geométrico a hacer, por

ejemplo la construcción de una figura; en cambio un teorema era una

proposición a establecer acerca de una característica esencial – propie-

dad, relación – de los objetos matemáticos construidos o dados. La índo-

le de las proposiciones geométricas también dio lugar a varias contro-

versias dentro del círculo platónico, algunos defendían su calidad de

teoremas porque versaban sobre objetos eternos de una ciencia teórica, y

otros esgrimían su condición primera de ser problemas.


199

Pappus usa el término “problema” en el sentido de una indaga-

ción en la que se plantea hacer o construir algo, y el término “teorema”

como una indagación en la que se investigan las consecuencias y las

implicaciones necesarias de ciertas hipótesis.

Asimismo, Proclo al comentar el primero de los libros de Eucli-

des, expresa que los “problemas” abarcan la generación, división, subs-

tracción o adición de figuras, y en término generales, los cambios que se

realizan en ellas, y que los “teoremas” exhiben los atributos esenciales

de cada una. Además indica que las cosas que se plantean como pro-

blema hay que hacerlas o crearlas, ya que puede ser posible que sean

distintas a lo que dice el enunciado, y a diferencia de ello, las cosas que

se plantean como teoremas son de un modo y eso es lo que hay que

mostrar. Para ilustrar estas ideas Proclo comenta que “construir un

triángulo equilátero sobre una recta” es un problema, pues sobre una

recta también se pueden construir triángulos no equiláteros, en cambio

“inscribir un ángulo recto en un semicírculo” es un teorema puesto que

no hay que crear ya que siempre que se dibuje un ángulo inscripto en un

semicírculo será recto, y efectivamente eso es lo que ha de probarse.

La distinción entre problema y teorema puede percibirse en la

organización del conjunto de proposiciones de los Elementos de Eucli-

des; en él tanto los problemas como los teoremas se presentan como

proposiciones, pero basta con remitirse a la última línea de la demostra-

ción correspondiente para poder discriminarlos –en los problemas se

concluye con la frase “que era lo que había que hacer”, y en los teore-

mas con “que era lo que había que demostrar”–. No obstante los pro-

blemas también contienen demostraciones, en las que se muestra que la

construcción satisface las condiciones del problema.

Proclo considera que en las proposiciones euclideas hay un pa-

trón de prueba común que consta de los siguientes pasos, aunque luego

reconoce que no siempre están todos en las pruebas de los Elementos, y

dice que a su criterio hay tres de ellos que nunca han de faltar –el enun-

ciado, la demostración y la conclusión–:

Capítulo 10 200

1) Enunciado (prótasis): formulación en términos generales de lo que se

considera dado y de lo que se busca probar (proposición del objeto a

construir si es un problema, o del aserto a establecer si es un teorema).

2)Exposición (ékthesis): presentación de lo dado o introducción de un

caso determinado de aplicación del enunciado mediante la cláusula

“sea …” y uso de letras para designar los elementos del caso.

3) Determinación o delimitación (diorismós): especificación del objeto de

la prueba por referencia al caso expuesto; en los problemas esto se lleva a

cabo mediante la fórmula “lo que se requiere es …” y en los teoremas

mediante “digo que …”. Por diorismo también se entiende delimitación

de las condiciones de posibilidad de la prueba; cuando tiene este signifi-

cado se suele poner como apéndice del enunciado del problema.

4) Preparación (kataskeué): disposición de construcciones y relaciones,

a partir de lo dado y en orden a la obtención del resultado propuesto.

5) Demostración (apódeixis): proceso demostrativo que consiste en la

derivación de consecuencias sobre la base de los conocimientos pre-

vios, ya sean definiciones, postulados, axiomas, o proposiciones sen-

tadas en pruebas anteriores.

6) Conclusión (sympérasma): aserción de que se ha satisfecho el dioris-

mós en el caso de un problema o reiteración del enunciado en el caso de

un teorema como confirmación de que el objeto de la prueba ha sido es-

tablecido. Viene marcada con “por consiguiente”. La conclusión en los

problemas se remata con la cláusula “que era lo que había que hacer”, y

en los teoremas con “que era lo que había que demostrar”.


Nos centraremos en las tres primeras proposiciones del libro I

para ilustrar la metodología de trabajo seguida en el tratado y resaltar la

potencialidad de los instrumentos euclideos. Dichas proposiciones per-

tenecen a la calidad de problemas, cuyos enunciados son los siguientes:

- I.1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

- I.2. Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a una

recta dada.

- I.3. Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a

la menor.



201

La proposición 1 se deriva de la primera de las nociones comu-

nes y de los postulados 1 y 3. En ella se justifica la construcción del

triángulo equilátero, se demuestra que tal objeto es construible o, dicho

de otro modo, se garantiza mediante una prueba que existe tal objeto.

La proposición 2 prueba que es posible la construcción de un

segmento congruente a otro segmento dado, habiendo determinado pre-

viamente uno de los extremos del segmento buscado.

Presentaremos la prueba de esta proposición, la cual discurre

por los pasos canónicos que Proclo identifica. Cabe señalar que la ex-

presividad original es diferente a la terminología técnica y simbología

que conocemos, la cual corresponderá a momentos posteriores del desa-

rrollo de la Matemática. Haremos una reproducción de dicha prueba,

manteniendo la estructura original de resolución pero utilizando la ter-

minología estándar que hoy nos resulta familiar, para facilitar la comu-

nicación de estas ideas.

I.2. Transportar un segmento a un punto dado (como extremo).

Sean a y bc respectivamente el punto y el segmento dado. Lo

que se requiere es situar en el punto a un segmento congruente al dado

(Figura Nº 01).

Construir el triángulo equilátero ∆

abq [I.1]

Prolongar en línea recta qa y qb [Post. 2]

Describir el círculo C(b, bc ) y a su vez describir el círculo C(q,

qe ) [Post.3]

Así pues bc ≡ be qf ≡ qe [Def. 15]; qa ≡ qb [Def. 20]4

Por tanto af ≡ be [Ax. 3] Luego af ≡ bc [Ax. 1]

4 Definición 20: “De entre las figuras triláteras, triángulo equilátero es la que

tiene los tres lados iguales, isósceles la que tiene sólo dos lados iguales y esca-

leno la que tiene tres lados desiguales”.

Capítulo 10 202

a

b

cq

e

f

Por consiguiente en el punto dado a se ha colocado un segmento

af congruente al segmento dado bc . Q.E.F. (Quod erat faciendum =

Que es lo que había que hacer)

Figura Nº 01: Construcción referida al problema I.2.

La proposición 3 significa, en versión moderna, transportar un

segmento sobre una semirrecta dada. Esto queda más claro en la versión

de Beppo Levi (1947) del tratado euclideo, que expresa esta proposición

en los siguientes términos “Dados dos segmentos, cortar del mayor un

segmento igual al otro”, y comenta que desde su punto de vista, Eucli-

des supone que son dados un segmento y una semirrecta, a la cual indica

como segmento mayor. Para transportar dicho segmento sobre la semi-

rrecta se requiere aplicar la proposición 2, lo que permite construir un

segmento congruente al dado con extremo en el origen de la semirrecta,

y luego trazar la circunferencia determinada por los extremos de dicho

segmento (tomando como centro al origen de la semirrecta).

Para entender el orden de proposiciones establecidas por Eucli-

des, es necesario hacer algunas precisiones acerca de la naturaleza ideal

de los instrumentos implicados. Los tres primeros postulados sientan las


203

bases operativas del procedimiento de construcción con regla y compás.

Los dos primeros nos indican lo que podemos hacer con una regla eucli-

deana; el tercero nos indica lo que podemos hacer con el compás eucli-

deano, se nos permite describir la circunferencia de centro dado y que

tenga a partir de él, un segmento rectilineo como radio, o sea describir la

circunferencia de centro dado y que pase por un punto dado. La regla es

ilimitada, sin marcas y tiene sólo un borde; el compás es un instrumento

que sólo traza circunferencias de centro dado pasando por un punto dado.

Ningún instrumento ha de usarse para transportar distancias. Es-

to significa que la regla no puede marcarse, y que el compás ha de tener

la característica que si una de sus patas se levanta del papel, el instru-

mento se cierra; podríamos imaginarlo como un compás que “se cierra o

se abre cuando nos salimos del plano”, es decir pierde su amplitud al

salirnos del plano, de ahí el nombre de compás colapsable que le dieron

los anglosajones. A diferencia de éste, el compás moderno conserva su

abertura y por tanto puede utilizarse para transportar distancias.

Puede parecer que el compás moderno es más potente que el

compás euclídeo pero no es así. En Eves H. (1969) se encuentra una

referencia al respecto, se indica que cualquier construccción que pueda

efectuarse con un compás moderno también puede llevarse a cabo (tal

vez por un camino más largo) por el compás euclídeo. En otras palabras,

el compás euclídeo y el moderno resultan equivalentes. Para probar esto,

es suficiente probar que podemos con el compás euclídeo construir una

circunferencia dados un centro y un radio. En efecto con la proposición

3 se demuestra la equivalencia de los mismos, ya que a partir de ella

podemos usar el compás como transportador de segmentos. Dicha pro-

posición permite en forma teórica transportar distancias; no sólo nos da

la posibilidad de transportar un segmento, sino que además nos habilita

a transportar una circunferencia (transportar una circunferencia es cons-

truir con centro en un punto dado una circunferencia congruente a una

Co,oc dada) y a construir una circunferencia dados un centro y un radio.

A partir de esta proposición el “compás euclídeo” puede materializarse

por nuestro compás físico.

La suficiencia de los postulados para transportar segmentos y

circunferencias nos permite visualizar la elegancia del método euclídeo.

Capítulo 10 204

Desde la heurística

Lo propio de la heurística es el estudio de los modos de compor-

tamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan en el proce-

so de resolverlos, que son independientes del contenido y que no supo-

nen garantía de que se obtenga la solución.

Según Polya (1962), las construcciones con regla y compás son

apropiadas tanto para familiarizar al estudiante con las figuras geométri-

cas como para instruirlo en resolución de problemas; y por esta última

razón aborda la discusión de estos problemas. En su libro queda al des-

cubierto la intención de presentar un “método general”, que si bien es

anunciado en el primer tomo, años más tarde tampoco se concreta su

presentación en el segundo tomo. Dicho libro está dedicado al estudio

de algunos métodos generales para la elaboración de planes, o modelos

generales de procedimientos que son propios de problemas particulares.

Acorde a una perspectiva heurística, los problemas de regla y

compás pertenecen a una clase de problemas en la que están implicados

ciertos métodos de resolución, por lo cual pueden ser utilizados para la

enseñanza de la resolución de problemas en el aula. En este sentido,

“regla y compás” es un componente para el que va a trabajar resolución

de problemas, y puede ser utilizado para la adquisición de ciertas com-

petencias heurísticas.

Vamos a examinar los tres métodos que pueden utilizarse para

resolver estos problemas; los cuales plantean una serie de pasos a seguir,

que se traducen en la construcción de ciertos objetos geométricos, para

lo cual no se establecen pautas para su solución; es decir que estos mé-

todos no garantizan la solución del problema inicial, sino que lo trans-

forman en construcciones o problemas más abordables, de ahí es que los

consideramos heurísticos.

Polya (1962) presenta a dichos métodos en líneas generales al

abordar las construcciones geométricas; en Siñeriz (2000) puede encon-

trarse su presentación en detalle y su utilización en el análisis de los

problemas y de la actuación docente.


205

A

BC A

BC

b c

a

Método de los Dos Lugares

Iniciaremos el tratamiento de las construcciones y métodos sub-

yacentes mediante el siguiente problema

“Construir un triángulo dados los tres lados”

Si bien en el sistema euclideano hay suficientes razones para

restringir el problema al triángulo equilátero, nosotros abordaremos un

problema más general, cuya solución es análoga. Pero antes de focalizar

el método de resolución, analicemos el problema teniendo en cuenta sus

partes principales: datos, incógnita y condición.

Los datos son tres segmentos. La incógnita es una figura geomé-

trica, un triángulo. La condición especifica que los tres segmentos dados

deben ser los lados del triángulo buscado.

La condición especifica cómo la incógnita está ligada a los da-

tos, de ahí la importancia de la misma. Si comparamos nuestro problema

con el siguiente: “Construir un triángulo dadas sus tres alturas”, obser-

vamos que los datos de éste son también tres segmentos, la incógnita es

la misma figura geométrica, un triángulo; pero la conexión entre la in-

cógnita y los datos es diferente, lo que hace que los problemas sean

realmente diferentes.

Retomemos el análisis del problema inicial. Sean A, B y C, los

tres segmentos dados (Figura Nº 02).

Figura Nº 02: Construcción de un triángulo dados sus lados

Capítulo 10 206

Enunciemos los pasos de esta construcción, ampliamente cono-

cidos. Transportamos el segmento A y llamamos a sus extremos b y c.

Dibujamos dos circunferencias, una con centro en c y radio B, la otra

con centro en b y radio C. El punto a será uno de los dos puntos de in-

tersección de ambas circunferencias. El triángulo ∆

abc es una solución

del problema; observemos que dicho problema podría no haber tenido

solución.

Tratemos de descubrir el modelo implícito en el procedimiento

anterior. Al trazar el segmento A localizamos dos vértices del triángulo

buscado (vértices b y c) entonces sólo resta hallar el tercer vértice. Es

decir que transformamos el problema propuesto en uno equivalente pero

diferente al inicial.

En este nuevo problema:

- la incógnita es un punto, el tercer vértice del triángulo a

construir.

- los datos son dos puntos (b y c) y dos segmentos (B y C).

- la condición requiere que el punto buscado esté a la distan-

cia B del punto c y a la distancia C del punto b (considera-

mos distancia entre dos puntos al segmento que une dichos

puntos).

La condición consiste de dos partes, una que concierne al seg-

mento B y al punto c, y la otra al segmento C y al punto b. Tomemos

una parte de dicha condición. Un punto del plano que está a una distan-

cia B del punto c está restringido a un lugar, es decir debe pertenecer a

la circunferencia de centro c y radio B. Análogamente la segunda parte

de la condición indica que el punto debe pertenecer a la circunferencia

de centro b y radio C.

De este modo, el punto incógnita debe pertenecer a dos lugares

geométricos y está en la intersección de los mismos. La intersección de

los dos lugares es el conjunto de soluciones del problema. Este conjunto

contiene dos puntos, hay dos soluciones, dos triángulos simétricos res-

pecto de la recta que contiene a A.


207

Aquí podemos percibir un modelo, el cual será de gran utilidad

en la resolución de problemas geométricos de construcción.

“Método de los Dos Lugares”

1) Reducir el problema a la construcción de un punto.

2) Dividir la condición en dos partes de modo que ca-

da parte suministre un lugar geométrico para el

punto incógnita; cada lugar debe ser circular o rec-

tilíneo.

En el segundo paso del método se incluye una característica

esencial de los lugares geométricos a considerar: éstos deben ser circula-

res o rectilíneos. Esta restricción resulta previsible ya que estamos en el

mundo de la regla y el compás.

El término “lugar” significa esencialmente lo mismo que el tér-

mino “conjunto”; definimos el conjunto (o lugar) enunciando una con-

dición que sus elementos (puntos) deben satisfacer, o una propiedad que

estos elementos deben poseer. Cuando no disponemos de información

respecto a qué propiedad caracteriza a los elementos de un cierto con-

junto (S), diremos que “los elementos del conjunto S tienen la propiedad

de pertenecer a S, y satisfacen la condición de que pertenecen a S”.

La reinterpretación de un procedimiento automático de cons-

trucción nos llevó a precisar los pasos del método. Contamos con un

método pero además vamos a tener en cuenta otro aspecto que concierne

a su uso: la aplicación del método en un determinado problema debe

realizarse a través de un examen de los antecedentes que hacen falta

para determinar la incógnita.

En este sentido es útil hacer un dibujo a mano alzada de dicha

incógnita y remarcar lo dado. A esta figura, que es una representación

del resultado en la cual se refleja todo aquello que se conoce, la llama-

remos “figura de análisis” porque nos permite “hacer análisis”. Es decir,

nos permite hacer un examen previo de lo que se busca, y particular-

Capítulo 10 208

M

L

N

o

mente nos llevará a descubrir los lugares geométricos implicados en

estos problemas.

Vamos a ilustrar esta modalidad de uso del método con un nue-

vo ejemplo. Sea el siguiente problema:

“Dadas tres rectas que se cortan dos a dos, construir una cir-

cunferencia tangente a dos de ellas y con centro en la tercera recta”

Realizamos la figura de análisis para visualizar los datos e inda-

gar las relaciones entre datos e incógnita (Figura Nº 03). Damos el pro-

blema por resuelto, dibujamos una circunferencia tangente a M y N con

centro en L, y marcamos lo conocido.

Figura Nº 03: Figura de análisis correspondiente a la construcción

de circunferencia tangente a dos rectas con centro en una tercera

Incógnita: o (centro de la circunferencia).

Datos: L, M y N secantes dos a dos y entre las tres no tienen

ningún punto en común.

Condición:

- o equidista de M y N

- o pertenece a L


209

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de M y N es la

unión de las bisectrices D y D' de los ángulos determinados por dichas rectas.

Luego o pertenece a la intersección de la recta L con el conjunto D ∪ D'.

Ahora sólo resta hacer la construcción recorriendo el camino in-

verso. En este caso encontramos dos puntos que cumplen la condición, y

para hallar los radios de sendas circunferencias se requiere el trazado de

la perpendicular por cada uno de estos puntos.

Hay una extensa gama de problemas de construcción que se co-

rresponden con este modelo. Vamos a delimitar su campo de acción a

aquellos casos en que el análisis del problema culmina en una recta que

forma un cierto ángulo con otra, en una determinada circunferencia o en

alguna de las siguientes construcciones, que llamaremos elementales:

mediatriz, bisectriz, paralela, perpendicular y arco capaz.

Por otra parte, cabe señalar que existen diversas variables que

afectan a la complejidad de estos problemas, que derivan en ciertas im-

plicaciones didácticas.

Una cuestión a considerar es la diversidad de lugares geométri-

cos que se conjugan. A veces son sencillos porque corresponden a cir-

cunferencias o a rectas de fácil construcción (tal como las cuatro prime-

ras construcciones elementales). Otras veces alguno de los lugares invo-

lucrados merece un tratamiento especial, por ejemplo el problema puede

requerir encontrar el lugar de los vértices de un ángulo de cierta amplitud

que subtiende un segmento dado; que lleva a realizar la construcción del

“arco capaz”, que si bien conforma nuestra lista de construcciones ele-

mentales, es mucho más complicada que las anteriores.

Otra variable a considerar es la dependencia o independencia de

los lugares. Hay problemas, tal como los vistos anteriormente, en los

que los dos lugares pueden encontrarse en forma independiente, en

cualquier orden. En otros problemas se necesita hallar un primer lugar el

cual es necesario para encontrar el segundo; por ejemplo “Dadas dos

rectas paralelas y un punto entre ellas, trazar una circunferencia tangente

a ambas rectas y que pase por el punto dado”, donde primero debemos

trazar la paralela equidistante de ambas rectas para determinar el radio

implicado en el segundo lugar geométrico.

Capítulo 10 210

HB

A

C

a

c

b

p

Hay problemas en los que se da uno de los lugares y sólo es ne-

cesario buscar el lugar restante, como es el caso del problema que

hemos utilizado para ilustrar la aplicación del método.

En algunos problemas los dos lugares son construcciones muy

diferentes; en cambio en otros problemas son análogas, como en el pri-

mer problema planteado, que involucraba circunferencias.

Hay problemas en los que la incógnita es un punto y se halla de

forma inmediata como intersección de los dos lugares implicados; en

cambio en otros problemas, tal como el último ejemplo tratado, será

necesario hacer algún otro trazado utilizando dicho punto para construir

la figura final.

Todos estos son aspectos a considerar a la hora de diseñar acti-

vidades que faciliten el aprendizaje del tema.

Método de la Figura Auxiliar

En algunos problemas es impracticable la construcción de la fi-

gura requerida mediante la aplicación directa del método anterior, pero

es posible construir otra figura y utilizarla en la solución del problema

original.

“Construir un triángulo dados dos lados y la altura respecto al

lado restante (A, C, HB)”

Podemos dar el problema por resuelto y realizar un esquema de

la incógnita, y así descubrir los triángulos rectángulos que llevan a la

solución de este problema (Figura Nº 04).

Figura Nº 04: Figura de análisis correspondiente a la

construcción de un triángulo dados dos lados y la altura


211

La construcción de uno de dichos triángulos, por ejemplo ∆

bpc

implica el Método de los Dos Lugares, a partir de esta construcción el

problema original se traduce en determinar un vértice (a) de la figura

incógnita, que se obtiene mediante la intersección de dos lugares inme-

diatos ( pc y C(b,C)).

La resolución de estos problemas consiste básicamente en hacer

un bosquejo de la incógnita que se requiere, lo cual permite visualizar la

información y descubrir alguna figura que puede construirse en forma

inmediata y que además resulta útil en la solución del problema original,

y luego a partir de ella se procede a resolver el problema. Polya se refie-

re al método de la siguiente manera “Trata de descubrir alguna parte de

la figura o alguna figura relacionada, la cual puedas construir, y la pue-

das usar como un paso para la construcción de la figura original”.

A fin de pautar en forma precisa los pasos que lo componen lo

vamos a enunciar de esta manera:

“Método de la Figura Auxiliar”

1) Construir una figura auxiliar, que esté relacionada

con los datos del problema.

2) A partir de esta figura auxiliar construir la figura

requerida.

La construcción de la figura auxiliar no resuelve el problema si-

no que es el primer paso para la solución, a partir del cual se apoyará la

construcción de la incógnita. La construcción de dicha figura auxiliar es

entonces un nuevo problema, el cual debe resolverse con regla y com-

pás, y para ello recurrimos al Método de los Dos Lugares.

Método de la Figura Semejante

Otros problemas se caracterizan porque se debe realizar alguna

semejanza u homotecia al resolverlos. En ellos no se puede construir

directamente la figura incógnita, sin embargo es posible construir una

Capítulo 10 212

b c

p'

a

p

figura semejante a la misma. La solución siempre implica construccio-

nes acordes a las invariantes geométricas de la homotecia, como son el

trazado de líneas paralelas o la copia de ángulos.

Polya (1962) presenta este método con un ejemplo que culmina

con un comentario general “Si no puedes construir la figura requerida,

piensa en la posibilidad de construir una figura semejante a la misma”.

Por otra parte, Scandura (1977) hace un análisis del método, para lo cual

trata problemas en los que los objetos geométricos que se requiere cons-

truir son diferentes, aunque el espíritu del método queda en evidencia.

Vamos a intentar descubrir los pasos de dicho método mediante

el siguiente problema:

“Inscribir un cuadrado en un triángulo dado”

La condición del problema requiere que un lado del cuadrado

esté contenido sobre un lado del triángulo y los otros dos vértices del

cuadrado estén sobre los otros dos lados del triángulo.

La figura de análisis nos puede llevar a considerar la construc-

ción de un cuadrado arbitrario que cumpla parte de la condición, es de-

cir que uno de sus lados esté apoyado en un lado del triángulo y uno de

sus vértices en otro lado del triángulo. De esta manera construimos una

figura semejante, o más precisamente, una figura homotética a la incóg-

nita. La observación de la figura puede llevarnos a visualizar que 'bp es

el homotético del segmento bp y mediante el trazado de paralelas obte-

nemos el cuadrado buscado.

Figura Nº 05: Figura de análisis correspondiente a la inscripción

de un cuadrado en un triángulo


213

Enunciaremos los pasos del método subyacente de la siguiente

forma:

“Método de la Figura Semejante”

1) Construir una figura semejante a la figura incógnita.

2) Tener en cuenta otra parte de la condición y construir

un segmento X que se corresponda por una homotecia

a un segmento auxiliar X’ de la figura semejante cons-

truida, el cual permita la construcción de la figura

buscada mediante el trazado de paralelas.

3) Construir la figura incógnita teniendo construida la

figura semejante y el segmento X.

Cabe señalar que según Polya, el Método de la Figura Semejan-

te puede considerarse como un caso particular del Método de la Figura

Auxiliar, es decir, la figura semejante del Método de la Figura Semejan-

te puede verse como una figura auxiliar especial. Así también hace ex-

tensiva esta consideración al punto, al cual queda reducido el problema

mediante el Método de los Dos lugares. Nosotros haremos caso omiso a

estas “inclusiones de clase” ya que no brindan aportes que lleven a un

mayor conocimiento acerca de los métodos. Desde nuestro punto de

vista, cada método actúa sobre el proceso de resolución de una manera

muy particular, característica del método en sí, y al reducir unos méto-

dos a otros se borran las diferencias que son precisamente lo que consti-

tuye la materia de enseñanza de los métodos.

La aplicación de un método genera una serie de problemas que

lo caracteriza, lo cual ha sido objeto de estudio en un proyecto marco

(Siñeriz, 2000), donde se han elaborado los respectivos esquemas de

generación de problemas de cada uno de los métodos involucrados, y se

los ha utilizado como herramienta metodológica para el análisis, lo cual

permitió apreciar la forma en que los métodos delinean el proceso de

resolución. Además, a partir de combinar los respectivos conjuntos de

problemas asociados a cada método, el contenido matemático, las heu-

Capítulo 10 214

rísticas y las tareas de gestión implicadas en la resolución de esta clase

de problemas, fue posible precisar las competencias que se ponen en

juego al abordarlos. Nos limitamos sólo a hacer mención de estos aspec-

tos, ya que están fuera de los propósitos de este trabajo.

Comentarios finales

Se ha intentado mostrar las dos caras de una temática que forma

parte de los contenidos curriculares.

Desde la cara correspondiente a una Matemática formal o for-

malizada, los problemas de regla y compás van a demostrar que un obje-

to geométrico es construible con dichos instrumentos. Hemos visto que

las construcciones geométricas juegan un rol indudable en el sistema

euclídeo; así también, constituyen un dominio propicio para el trabajo

con demostraciones.

Desde una perspectiva heurística, complementaria a la anterior,

podemos valemos de los problemas de regla y compás para enseñar

métodos de resolución. Hemos presentado los métodos implicados en

esta clase de problemas y hemos delimitado su dominio de aplicación.

La noción de “figura de análisis”, nos ha llevado a establecer el

punto de partida sobre el cual se apoya el uso de los distintos métodos.

El Método de los Dos Lugares es el más simple, intentaremos

aplicarlo a condición de llegar a una de las construcciones elementales,

y si este no es el caso, recurriremos a otro método.

El Método de la Figura Auxiliar, consiste en hacer una figura de

análisis, descubrir cierta figura que permitirá la construcción de la origi-

nal y resolver el problema con lo que se deriva de haber construido di-

cha figura auxiliar.

En algunos problemas la construcción de la figura auxiliar no se

reduce al Método de los Dos Lugares, en tal caso habría que hallar una

nueva figura auxiliar relacionada con la anterior, es decir se haría uso

doblemente del Método de la Figura Auxiliar.

El Método de la Figura Semejante, también está basado en el aná-

lisis previo de la figura, que nos muestra la posibilidad de construir una

figura semejante y de determinar un segmento de la figura incógnita que


215

sea homotético al de la figura semejante ya construida, lo cual nos va a

permitir construir la figura que buscamos a partir de la figura semejante.

Lo fundamental del método no es hacer un figura semejante, sino que es

hacer una figura semejante pero sabiendo cómo se utilizará para construir

la figura requerida; es decir, construir una figura semejante que ya esté

enlazada con la que se quiere construir gracias a un análisis previo.

En este capítulo se ha pretendido poner en evidencia la existen-

cia de los método heurísticos implícitos en las construcciones geométri-

cas y dar algunas pautas para organizar el uso de los mismos, a fin de

facilitar su inclusión en la enseñanza.

Se aspira haber ofrecido elementos teóricos que llevan a otorgar

un lugar privilegiado a las construcciones geométricas en la tarea esco-

lar, por ser el instrumento que puede ser utilizado para promover habili-

dades de resolución de problemas.

Referencias bibliográficas

Levi, B. (1947): Leyendo a Euclides. Ed. Rosario S. A.

Euclides (1991): Elementos. (Editorial Gredos: Madrid).

Eves H. (1969): Estudio de las Geometrías. Tomo I. México: Unión

Tipográfica Editorial Hispanoamericana.

Polya, G. (1962-1965): Mathematical Discovery. 2 vols. New York:

John Wiley and Sons.

Scandura, J. M. (1977): Problem Solving. A structural/process approach

with instructional implications. Nueva Cork: Academic Press.

Siñeriz, L. (2000): La enseñanza de la resolución de problemas de regla

y compás. Del mundo de la pura resolución de problemas a la es-

cuela media argentina. Tesis Doctoral. Universidad de Valencia.

Capítulo 10 216

los griegos, la heurística, la regla y el compásunvm.galeon.com/cap10.pdf · además, y según...

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