Los Cuadernos del Pensamiento

LA NOCION DE

ESTRUCTURA EN LA

CIENCIA MATEMATICA

(Introducción al pensamiento matemático actual)

Pedro Fernaud

INTRODUCCION

M. ucho ha llovido en la tradición inte­

lectual de Occidente desde la mate­mática pitagórica hasta el momento actual. Desde hace más de dos mile­

nios una cierta familiaridad con las matemáticas (así, en plural) ha sido considerada como parte indispensable de la formación intelectual de to­da persona cultivada. Recordemos que en la Academia platónica no podía ingresarse sin co­nocimientos previos de Geometría. Durante la Modernidad europea las matemáticas estuvie­ron en el centro de la vida intelectual, desde Descartes a Kant. Las matemáticas, el modo de pensamiento matemático, era el paradigma del pensamiento verdaderamente científico. Galileo dirá taxativamente que el gran libro de la Natu­raleza está escrito en caracteres matemáticos.

La Matemática actual hunde sus raíces en el siglo pasado, en que se produce una des-subs­tancialización del pensamiento matemático de largas consecuencias. La transformación del pensamiento matemático es un proceso cons­ciente: ya desde mediados del siglo pasado se vienen empleando para la Matemática los califi­cativos de moderna o abstracta; simultáneamen­te con ello se ha prescindido de su nombre en plural. En este estudio queremos aproximarnos a las razones históricas y científicas que han pro­piciado y conducido a esta unificación de la Ciencia Matemática.

ESTRUCTURA Y RELACION

El gran matemático Richard Courant, en su li­bro What is Matematics ha sintetizado en estos términos su visión del proceso unificador de la Ciencia Matemática: «A través de los tiempos, los matemáticos consideraron sus objetos, tales como puntos, números, etc., como cosas sustan­ciales en sí. Pero en vista de que los entes desa­fiaban siempre los intentos para una descripción adecuada, los matemáticos del siglo pasado lle­garon paulatinamente a la convicción de que la cuestión de la significación de dichos objetos como cosas sustanciales no tenía, en modo algu­no, sentido dentro de las matemáticas. Las úni­cas proposiciones relativas respecto a ellos que

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pueden importar no se refieren a su realidad sustancial; representan únicamente las relacio­nes mutuas entre objetos indefinidos y las reglas que rigen las operaciones con ellos. Lo que real­mente son los puntos, las rectas y los números ni se puede, ni es necesario discutirlo en la ciencia matemática. Lo que interesa y lo que correspon­de a hechos comprobables es: estructura y rela­ción; que dos puntos determinan una recta, que los números se combinan según ciertas reglas para formar otros números, etc. La percepción clara de la necesidad de una des-substanciación de los conceptos elementales matemáticos ha sido uno de los resultados más importantes y fe­cundos del desarrollo axiomático moderno».

He transcrito largamente esta cita de Courant, porque me parece muy significativa e ilustrativa del modo de pensamiento matemático actual, aunque habrá que hacer, a lo largo de este traba­jo, algunas aclaraciones y precisiones.

ESPACIO Y NUMERO

Las matemáticas se ocupan desde la Antigüe­dad básicamente de la forma (espacio) y de la cantidad (número). Sobre la naturaleza de estos entes matemáticos ha habido muchas discusio­nes a lo largo de los siglos, aun tomando la ex­presión «entes matemáticos» en un sentido neu­tral, equivalente a «aquello de que se ocupa la matemática». La relación entre las nociones de espacio y número es tan estrecha que a lo largo de la historia de las matemáticas ha podido defi­nirse la una en función de la otra. Pero en el proceso histórico de las matemáticas unas veces ha tenido prioridad en la jerarquía ontológica un concepto y otras veces el otro. En la matemática griega el estudio de los números fue absorbido por la geometría. Esta concepción se conservó hasta el siglo XVII. Con la geometría analítica de Descartes, se invierte esta jerarquía y la geo­metría se convierte en un capítulo del álgebra, que es la formalización abstracta de la aritmética.

Como escribe el matemático francés Frarn;ois Lorrain en un trabajo reciente sobre «el pensa­miento matemático actual» (Revista de Occiden­te, número 4, año 1981), «espacio y número es­tán ligados entre sí de modo inextricable. Inclu­so hasta el punto de que pueda pensarse que estos dos objetos matemáticos no son sino las dos caras de un objeto único cuyo concepto, por el momento, no llegamos a captar». Y más ade­lante señala Lorrain en el trabajo citado: «Por el momento, y ante la ausencia de una auténtica unidad conceptual, las matemáticas alternan, o combinan en proporciones diversas, los puntos de vista algebraico y geométrico. lCorresponden el espacio y el número a modalidades irreducti­bles de nuestro intelecto? lEs posible -e inclu­so deseable- una síntesis conceptual superior? No lo sabemos. Sin embargo, los conceptos de número y espacio se han extendido extraordina­riamente durante el pasado siglo».

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Ahí tenemos, por ejemplo, el espacio euclídeo de n dimensiones, es decir el espacio que satis­face todos los axiomas de Euclides (luego volve­remos sobre el tema), a los que se añaden los dos siguientes (suponiendo que n sea un núme­ro positivo): a) hay n perpendiculares entre sí; b) es imposible que n + 1 rectas del espacio sean perpendiculares entre sí.

De modo análogo a la geometría, en que se han generalizado los espacios más allá del espa­cio físico intuitivo, también se han generalizado las nociones de número, hasta el punto de que hoy hablamos de «álgebra» ante cualquier situa­ción en la que se disponga de determinado con­junto de entes (que no han de ser estrictamente numéricos) y de reglas que permitan combinar dichos entes entre sí para dar lugar a otros entes del mismo conjunto.

La matemática moderna considera a los nú­meros como entes abstractos prescindiendo de su origen práctico. Por lo tanto los números na­turales son entes para los que se pueden definir dos operaciones -la adición y la multiplica­ción-, que cumplen las leyes asociativa, conmu­tativa y distributiva, mediante las cuales se com­binan dando lugar a otro número natural. Si es­tos entes no cumplen las leyes antedichas no son aptos para la operación de contar, pero, sin embargo, esa aritmética tiene validez lógica. Es lo que acontece con el álgebra de los colores, en el que los colores son los entes que se conside­ran, y que da lugar a ecuaciones como: rojo + amarillo = amarillo + rojo = naranja; naranja + verde = violeta + amarillo = marrón, y así sucesivamente.

Volviendo a la geometría, aparte de la genera­lización de los espacios euclídeos métricos, hay otro tipo de espacios en que no interviene la medida. Es el caso del espacio proyectivo, forma­do por puntos y rectas pero en los que no es po­sible comparar longitudes. Está también el espa­cio topológico, en el que ha desaparecido incluso la noción de recta y sólo permanece la noción de continuidad. (A mediados del siglo XIX comen­zó un desarrollo enteramente nuevo de la geo­metría -la Topología- que pronto se convirtió en una de las fuerzas directrices de la matemáti­ca moderna. La Topología estudia las propieda­des de las figuras geométricas que subsisten aún si estas figuras se someten a deformaciones tan radicales que les hagan perder todas sus propie­dades métricas y proyectivas).

EL CONCEPTO DE ORDEN

Durante mucho tiempo se consideró a la Ma­temática como la ciencia de la cantidad. Este punto de vista no puede mantenerse actualmen­te, pues hay disciplinas matemáticas como la to­pología que no se ocupan de la cantidad. Por es­te motivo se ha intentado encontrar un concep­to más general para definir el contenido de las matemáticas: es el concepto de orden.

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El orden, desde el punto de vista formal-ma­temático, se define como la disposición de un conjunto de entidades. Ejemplos de ordenación de conjuntos de entes son el orden de los núme­ros naturales, el orden de los puntos de una línea, etc. De un modo más preciso, el orden se define como relación entre miembros de una clase de modo que unos miembros precedan a otros y otros miembros sigan a otros.

Se debe a Georg Cantor la elaboración de la teoría de los conjuntos, que ha desempeñado un papel decisivo en la Ciencia Matemática y en la Lógica. La teoría de Cantor levantó grandes po­lémicas entre los matemáticos a causa de algu­nas insuficiencias, pero ha sido considerable­mente refinada mediante la aplicación del méto­do axiomático.

Es importante destacar la contribución de Peano para la construcción del sistema de los números naturales, es decir los enteros positi­vos. El Sistema de Peano contiene cinco postu­lados: a) el cero (O) es un número; b) el sucesor de cualquier número dado es un número; c) no hay dos números que tengan un mismo sucesor; d) cero (O) no es el sucesor de ningún número e)cualquier propiedad que pertenezca a cero (0), ytambién al sucesor de cualquier número que po­sea tal propiedad, pertenece a todos los núme­ros.

LA MATEMATICA MODERNA

La increíble proliferación de cálculos y de es­pacios de todo género en las matemáticas del úl­timo siglo está relacionada con el desarrollo del medio axiomático, del cual nos ocuparemos más adelante con detalle. La presentación de una teoría en forma rigurosa desde el punto de vista deductivo, fundado en un número limitado de axiomas sencillos, proporciona una idea clara de la compleja red de relaciones lógicas existentes entre las proposiciones de la teoría. Además el método axiomático permite una generalización, bien fundada lógicamente, de las estructuras matemáticas, que es una de las características centrales, como ya vimos, de la Ciencia Mate­mática actual.

Ahora bien, la axiomatización de la Matemáti­ca es un producto históricamente tardío. Y así sólo se logra una axiomatización válida y precisa de la Geometría en 1899 a cargo del gran mate­mático alemán Hilbert. Para comprender el esta­do actual de la Ciencia Matemática es conve­niente encontrar su razón histórica, para lo que es preciso hacer un recorrido por las etapas an­teriores de la Matemática, que forzosamente ha­brá de ser brevísimo, dados los condicionamien­tos de este trabajo.

LA MATEMATICA GRIEGA

La matemática contemporánea vive una fase de unificación de propósitos y métodos sólo comparable a la de los pitagóricos, en el comien-

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zo de la matemática occidental. Sin embargo, existe una importante diferencia cualitativa y «filosófica» entre la matemática pitagórica y la matemática actual. La matemática pitagórica es una matemática filosófica, mientras que la ma­temática contemporánea es una matemática científica.

Los pitagóricos consideraban que la Matemá­tica reflejaba la esencial realidad del Universo. Los pitagóricos pensaron que los principios de la Matemática -de los objetos matemáticos- eran principio de todas las cosas, principios de reali­dad. Para Pitágoras «los entes existen por imita­ción de los números». Como ha mostrado Julián Marías en su ensayo El descubrimiento de los ob­jetos matemáticos en la filosofía griega, los pita­góricos inician su especulación por los números,

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a los que otorgan prioridad sobre las figuras geo­métricas. Pero esta teoría numérica no está des­ligada de la geometría, pues se atribuye figura a los propios números, de los que se dice que son cuadrados, oblongos, planos, sólidos, cúbicos. Números, figuras y entes reales aparecen estre­chamente unidos en la especulación pitagórica, que pretende ser un conocimiento de objetos invariables, dotados de propiedades permanen­tes y sometidos a una ratio, a un lagos que esta­blece relaciones congruentes entre ellos.

Hay que subrayar que los pitagóricos se cen­traron en la consideración contemplativa de los objetos matemáticos en sí mismos, entendidos como la verdadera realidad inmutable del Uni­verso, y carecieron de un procedimiento opera­torio eficaz. Los griegos carecieron de un ade-

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cuado sistema de notación (nuestra actual nota­ción fue traída de la India por los árabes), lo que retrasó considerablemente el cálculo aritmético; sin embargo la geometría alcanzó un desarrollo muy alto.

Para entender la matemática griega hay que partir de que el trato con los objetos matemáti­cos va enderezado a su conocimiento filosófico. Se distancia así la matemática griega de las téc­nicas orientales que sólo pretenden un manejo de los números y las figuras con fines utilitarios. Es interesante también subrayar que la matemá­tica moderna también tiene una concepción pre­dominantemente operatoria; según la cual se piensa poseer el objeto matemático cuando exis­te un medio de referirse a él y hacerlo entrar en las operaciones. La matemática moderna occi­dental procede de la matemática griega, pero se diferencia sustancialmente de ella.

CIENCIA ARISTOTELICA

La matemática griega en sus desarrollos se rige por el esquema conceptual impuesto por Aristóteles, que diverge radicalmente de la no­ción actual de ciencia. Podemos esquematizarlo en estos términos:

a) Una primera adquisición de los objetosmatemáticos mediante definiciones. La defini­ción nos hace aprehender el objeto definido en su esencial realidad sustancial. A diferencia de lo que acontece en la matemática actual la defi­nición griega no tiene nada de convención ( en la matemática actual se conviene en llamar de cier­to modo a un comportamiento o una relación li­bremente escogidos, en el sentido de que se dice que tal condición se cumple por defini­ción). Aristóteles niega que las definiciones sean suposiciones; para el Estagirita la defini­ción supone la aprehensión mental de la esencia del objeto matemático que se considere. Literal­mente para Aristóteles, «la definición es el decir que significa la esencia».

b) Una vez en posesión de la esencia de losobjetos matemáticos, se estudian sus propieda­des, que habrán de ser demostradas deductiva­mente a partir de verdades indemostradas e in­demostrables que son los axiomas. Los axiomas sirven de principio para la cadena deductiva de demostraciones. Esos principios no son objeto de ciencia ni demostración, sino de una visión poética. El axioma muestra su verdad como algo patente y su conocimiento es necesario para la cadena demostrativa.

c) Junto a los axiomas hay otro tipo deenunciados indemostrados en que se apoya la ciencia aristotélica: los postulados, que ni son evidentes como los axiomas ni puede ser de­mostrado como los teoremas. Muchas son las discusiones que en torno al estatuto epistemoló­gico de los postulados se han mantenido en la época contemporánea. Ya veremos más adelan­te cómo la crítica epistemológica del postulado

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se inscribe en el proceso de cristalización de la axiomática moderna.

d) Finalmente, la realización plena de laciencia matemática griega consiste en el estable­cimiento de las proposiciones acerca de los obje­tos matemáticos y su demostración. Es funda­mental en la matemática griega el género subya­cente a cada disciplina. Esto lo ha visto muy bien Julian Marías en el ensayo antes citado so­bre la matemática griega:

«Cada disciplina -por ejemplo, la aritmética, la geometría- tiene un género propio, dentro

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del cual se realiza la demostración, y no es lícito aplicar una demostración geométrica a un pro­blema aritmético, o viceversa. Esto explica la di­versificación de varias disciplinas matemáticas rigurosamente distintas -cada una tiene un gé­nero propio, de demostración, fundada en la índole peculiar de sus objetos- y el uso general del plural -las matemáticas- para designar esta ciencia. Por esta razón, a pesar de tener los axio­mas cierto carácter universal y común a todas las demás ciencias, se distinguen los axiomas priva­tivos de cada disciplina, que definen el recinto

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genérico dentro del cual ha de moverse y consti­tuyen, junto con las definiciones de sus objetos, los efectivos principios de esa ciencia».

LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Los famosos Elementos de Euclides son una recopilación de los conocimientos geométricos de los griegos, sometidos al esquema lógico­conceptual aristotélico que hemos descrito an­tes. Vamos a hacer una brevísima descripción de los contenidos de los Elementos, porque la críti­ca de este libro fundamental de la historia de las Matemáticas dio lugar en el siglo XIX a una de las líneas más claras de avance dentro de la Ciencia Matemática actual.

Euclides comenzó el libro I de sus Elementos con 23 definiciones que corresponden a los prin­cipales objetos de la geometría: punto, línea, recta, superficie, plano, ángulo, figura, círculo, diámetro, figuras rectilíneas, paralelas, etc. Estas definiciones euclídeas son más bien descripcio­nes intuitivas, que no parecen tener importancia para la construcción deductiva de la geometría.

Después de las definiciones, Euclides intro­duce cinco postulados, el último de los cuales es el famoso de las paralelas, al que habremos de referirnos con alguna extensión más adelante. Estos postulados tienen un contenido estricta­mente geométrico, a diferencia de los axiomas que siguen. Estos postulados pueden conside­rarse como definiciones implícitas por las que se establecen propiedades realmente esenciales del objeto en cuestión. El sentido de los postulados sería el de los requisitos o condiciones de un ob­jeto cuya definición estricta se rehuiría. La exi­gencia fundamental de los postulados sería, en todo caso, la ausencia de contradicción.

En tercer lugar introduce Euclides un cierto número (que varía de cinco a nueve, según los textos) de axiomas o nociones comunes; a lo largo de los Elementos se van agregando otros axiomas a medida que resultan necesarios. Los axiomas iniciales se refieren a magnitudes gene­rales y tienen un sentido más general que los postulados.

Una vez en posesión de este triple repertorio de principios, Euclides puede encadenar la serie de sus proposiciones, que utilizan a la vez el método de la construcción geométrica con regla y compás y el de la demostración silogística.

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

Vamos a estudiar las dos creaciones matemá­ticas preleibnizinas, el álgebra y la geometría analítica, que mejor ilustran el tránsito de las matemáticas griegas basadas en el principio de incomunicación de los géneros a la matemática unificada europea.

La invención del álgebra por Vieta, a fines del siglo XVI, estuvo orientada originariamente a un procedimiento más cómodo de notación para hacer más sencillo el desarrollo de cuestiones

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relacionadas con el estudio de los números. Pe­ro, de hecho, la creación del Algebra hizo posi­ble la forma regular del análisis, es decir de la deducción. Gracias al Algebra, la Aritmética, que había quedado muy retrasada ya en Grecia respecto de la Geometría, la adelanta y supedita de un golpe. El programa de que era portador el Algebra tiene todavía vigencia en la Matemática actual. Como escribe Ortega en su libro La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva, de Vieta se llega, sin salto, a Hilbert: «Para Vieta, (el Algebra) era la matemática de los números -Logistica numera/is- que se ex­presaba con figuras (species: signos), transfor­mándose en Logistica speciosa. Para Hilbert, la matemática es formalmente ciencia de signos, y no primordialmente de números o magnitudes. La Historia ha cogido por su palabra a Vieta, y de modo que le hubiera espantado, la ha cum­plido literalmente».

En el Algebra cada número se nos hace pre­sente por su propia definición, que consiste ex­clusivamente en relaciones -igual, mayor, me­nor-. Ahora bien estas relaciones tienen un sentido diferente cuando se las aplica a los nú­meros (Aritmética) o a las magnitudes extensas (Geometría). Dos magnitudes son iguales cuan­do, superpuestas la una a la otra, coinciden ple­namente; es mayor la que excede, es menor la que es excedida por la otra. Dos cantidades, en cambio, son iguales cuando tienen las mismas unidades, y es mayor o menor una que otra cuando esto no ocurre.

Tenemos, en consecuencia, que relaciones

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cuyo nombre es el mismo -igual, mayor, me­nor- tienen significados distintos e irreductibles en Aritmética y Geometría. Por esta razón, am­bos mundos -el numeral y el extensivo- y am­bas ciencias -la Aritmética y la Geometría- se separaron en tiempos de Aristóteles, pues no ca­bía, salvo los principios formales de la Lógica, descubrir ningún principio común a ambas ma­terias. Este hecho -según Ortega en su libro an­tes citado- corroboró a Aristóteles en las razo­nes que ya tenía para formular la ley de la «inco­municabilidad de los géneros», que dejaba el «globo intelectual» dividido en una pluralidad de ciencias irreductibles las unas a las otras. Cada ciencia quedaba así encajonada en la intui­ción básica de que partía.

La gran hazaña de Descartes consistió en ad­vertir que, si bien la intuición del número y del espacio son irreductibles, las relaciones geomé­tricas pueden representarse mediante relaciones numéricas y viceversa; y que, por tanto, es indi­ferente en principio lo que diferencia a la intui­ción numérica de la espacial. Técnicamente ca­be, pues, establecer una identidad de correspon­dencia entre número y extensión. Mediante el hallazgo de Descartes queda invalidado el prin­cipio de la incomunicabilidad de los géneros y de la pluralidad de las ciencias.

LA REVOLUCION MATEMATICA DEL XVIII

La revolución científica y matemática del si­glo XVII tuvo un doble efecto paradójico res­pecto a la matemática griega. Por un lado unifi-

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có la Ciencia Matemática al invalidar el princi­pio de incomunicabilidad de los géneros y de la pluralidad de las ciencias. Por otro lado, debilitó el ideal axiomático griego. Sólo en el siglo XIX se conjugan la comunicabilidad de los géneros matemáticos y vuelve a imponerse el ideal axio­mático, pero naturalmente desde supuestos filo­sóficos y epistemológicos diferentes. De esta síntesis del siglo pasado nace la Matemática ac­tual. Courante, en su ya citada obra What is Mathematics ?, hace un recorrido sintético y efi­caz de este largo período de interregno, cier­tamente de extraordinaria productividad mate­mática:

«Es muy posible que el descubrimiento de las dificultades relacionadas con las cantidades in­conmensurables desviara a los griegos del desa­rrollo del cálculo numérico, alcanzado con ante­rioridad en Oriente. En su lugar se abrieron ca­mino a través de la geometría axiomática pura. Y así comenzó un extraño rodeo en la historia de la ciencia, y quizá se perdió una gran oportu­nidad. Durante casi dos mil años el peso de la tradición geométrica griega retrasó la inevitable evolución del concepto de número y el desarro­llo del cálculo algebraico, que más tarde habían de ser la base de la ciencia moderna».

«Después de un período de preparación lenta -prosigue Courant- la revolución en la mate­mática y en la ciencia comenzó su fase vigorosaen el siglo XVIII, con la geometría analítica y elcálculo diferencial e integral. Mientras la geo­metría griega conserva aún un lugar destaca­do, el ideal griego de cristalización axiomáticay deducción sistemática desaparece durantelos siglos XVII y XVIII. Razonamientos lógi­cos rigurosos a partir de definiciones claras yno contradictorias, axiomas evidentes, fueroncuestiones sin importancia para los nuevos ex­ploradores de la ciencia matemática. En una ver­dadera orgía de conjeturas intuitivas, de razona­mientos convincentes entrelazados con un mis­ticismo sin sentido, con una confianza ciega enel poder sobrehumano de los procesos formales,conquistaron un mundo matemático de inmen­sas riquezas. Luego, gradualmente la exaltacióndel progreso dejó paso a un espíritu de autocríti­ca. En el siglo XIX la necesidad inmanente deconsolidar, y el deseo de una mayor seg\lridaden la extensión de la enseñanza superior, quehabía impulsado la Revolución Francesa, con­dujo inevitablemente a una revisión de losfundamentos de la nueva matemática, en par­ticular del cálculo diferencial e integral, así co­mo del concepto fundamental de límite. Así elsiglo XIX constituyó no sólo un período denuevos avances, sino que además puede carac­terizarse por un afortunado retorno al idealclásico de precisión y demostraciones riguro­sas. Y en este sentido llegó a superar al mode­lo de la ciencia griega. Una vez más el péndulose inclinó del lado de la pureza lógica y de laabstracción.

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GEOMETRIAS AXIOMATICAS

Un hecho significativo es que los primeros li­bros matemáticos en que figura la denomina­ción de «moderna» son dos libros de Geome­tría, el de Pfaff en 1867, y el de Pasch, en 1882. Si analizamos el contenido de estos libros, nos encontramos con sendos tratados de Geometría en los que no figuran resultados que no fueran conocidos muchos siglos antes, lo que indica que el calificativo de «moderno» no se refiere a nuevos resultados o teorías. Consiguientemente si tal calificativo tiene algún sentido deberá refe­rirse al método empleado. En cuanto a éste, se observa que es axiomático es decir que todas las proposiciones se deducen lógicamente de otras proposiciones primitivas o axiomas. Pero si bien es cierto que en la época inmediatamente ante­rior a la publicación de las Geometrías de Pfaff y Pasch se había prescindido de tal método de ex­posición, no lo es menos que tampoco era nue­vo, pues ya había sido empleado en los «Ele­mentos» de Euclides. Todo esto indica que las diferencias deberán ser más profundas. Efectiva­mente, un análisis comparativo más minucioso de los libros de Pasch y Pfaff con el de Euclides nos revela las siguientes diferencias esenciales:

1) Las primeras definiciones del Libro deEuclides no se emplean en el resto de la obra, mientras que en la de Pasch toda definición es posteriormente utilizada.

2) Euclides distingue entre axiomas o pro­posiciones absolutas, cuya validez es general, y postulados o proposiciones cuya validez dentro de la Geometría resulta evidente. En la geome­tría moderna, por el contrario, no se emplean el primer tipo de proposiciones fundamentales, usándose indistintamente las denominaciones de axiomas o postulados para las del segundo.

De estas diferencias, triviales en apariencia, nacerá la matemática moderna. Veámoslo. La cuestión básica que hay que plantearse es: lPor qué daba Euclides definiciones que luego no empleaba? lPor qué hasta fines del siglo pasado no se reconocía la superfluidad de las mismas? Esa es la cuestión.

Estudiemos el sentido de las definiciones euclídeas. En realidad son simples descripcio­nes, que sólo pueden tener sentido en uno de estos casos: a) El objeto descrito tiene existencia independiente del sujeto pensante; b) el objeto es un ente racional unívocamente determinado por la descripción.

Hasta el siglo pasado se aceptaba que el espa­cio geométrico definido por Euclides era el mis­mo espacio del universo o una transcripción ra­cional del mismo unívocamente determinada por él. En ambos casos las descripciones de Eu­clides (punto es aquello que no tiene parte, etc.) estarían plenamente justificadas, ya que me­diante ellas se provoca la formación en la mente del lector de la imagen del ente correspondien­te. De hecho, hasta el advenimiento de la Mate-

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mática moderna la Geometría se ha considerado como una ciencia experimental y sus teoremas como propiedades del espacio del Universo. Kant formuló explícitamente esta actitud tradi­cional al afirmar que los axiomas euclídeos son inherentes a la mente humana y que, por tanto, tienen una validez objetiva para el espacio «real».

GEOMETRIAS NO EUCLIDEAS

La crítica del axiomatismo euclídeo pasó por el replanteamiento del postulado quinto de los Elementos, que reza que por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una y sólo una paralela a la misma. El rasgo característico de es­te postulado consiste en que hace una aserción acerca de toda la extensión de una recta, imagi­nada como indefinida en ambas direcciones; ya que decir que dos rectas son paralelas equivale a afirmar que no se cortan nunca, por mucho que se las prolongue. El caso es que muchas rectas pasan por un punto y no cortan a otra recta dada dentro de una distancia finita dada, por grande que sea. Dado que la máxima longitud posible de una regla real es finita, y puesto que dentro de cualquier círculo finito hay infinitas rectas que pasan por un punto dado y que no cortan a otra recta dada interior al círculo, se deduce que este postulado quinto no podrá verificarse por experimentación. Todos los otros axiomas de la geometría euclídea tienen carácter finito, en el sentido de que tratan con porciones finitas de rectas y con figuras planas de extensión finita.

Si el postulado quinto fuera una consecuencia lógica necesaria de los otros axiomas sería posi­ble eliminarlo como axioma y dar una demostra­ción del mismo mediante los otros axiomas de Euclides. Durante varios siglos los matemáticos trataron de hallar esa demostración, porque existía el sentimiento general de que el postula­do de las paralelas era de carácter esencialmente diferente de los demás, al faltarle ese carácter de evidente plausibilidad que debería poseer todo axioma de la geometría. La demostración de la independencia del postulado de las paralelas fue asunto que atormentó a generaciones de mate­máticas durante siglos, a partir de Proclo, un co­mentador de Euclides. En el siglo XVIII el je­suita Sacheri y más tarde el matemático francés Lambert trataron de probar el postulado de las paralelas por el método indirecto de admitir lo contrario y deducir consecuencias absurdas (método de reducción al absurdo). Lejos de ser absurdas, sus conclusiones realmente equivalían a teoremas de las geometrías no euclídeas desa­rrolladas después. Si hubieran considerado tales conclusiones no como absurdas, sino como enunciados compatible en sí mismos, habrían sido los descubridores de las geometrías no euclídeas. No fueron ellos, sino el húngaro Bo­lyai y el ruso Lobachevski, quienes en el siglo XIX cogieron el toro por los cuernos y cons-

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truyeron con detalle una geometría en la que no se verificaba el postulado de las paratelas. Se ha­bía consumado una gran hazaña matemática, que cambió el rumbo de esta ciencia y abrió el paso a la Matemática moderna. Demostrada la independencia del postulado quinto de Eucli­des, era posible construir sistemas compatibles de proposiciones «geométricas» referentes a puntos, rectas, etc., deduciéndolas de .un con­junto de axiomas en el que el postulado de las paralelas se reemplazaba por un postulado con­trario.

Desde posiciones no euclídeas se han cons­truido diversos modelos de geometrías no euclí­deas. Así tenemos el modelo de Klein de la lla­mada geometría hiperbólica: el «plano» consiste sólo en los puntos interiores a un círculo; los puntos exteriores no se consideran. Es fácil pro­bar que el nuevo sistema satisface todos los pos­tulados de la geometría euclídea, con la sola ex­cepción del de las paralelas. Que el postulado de las paralelas no se verifica en el nuevo sistema se ve por el hecho de que a todo «punto» exte­rior a una «recta» pueden trazarse infinitas rec­tas que no tengan ningún «punto» común con la «recta» dada.

Otro modelo no euclídeo muy conocido es el de Riemann de la geometría elíptica. El espacio que consideramos en este modelo es la superfi­cie de la esfera. Las «rectas» son los círculos má­ximos de la esfera. Dos «rectas» cualesquiera se encuentran en dos puntos: es imposible que dos «rectas» no se encuentren. El modelo de Rie­mann abandona el presupuesto de la geometría de Euclides y de la hiperbólica de Bolyai y Loba­chevski de que la recta es infinita. En el modelo de Riemann las rectas son finitas y cerradas.

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GEOMETRIA Y REALIDAD

Las geometrías no euclídeas, consideradas co­mo un sistema formal deductivo, resultan tan satisfactorias como la geometría euclídea clásica. Pero, lcuál de ellas es preferible como descrip­ción de la geometría del mundo físico? El desa­rrollo de los procedimientos de medición y el desarrollo de la Física Teórica han mostrado que cada sistema geométrico tiene un campo propio de validez. Para las tareas geométricas tradicionales la geometría euclídea, que es la que se enseña en el Bachillerato, tiene plena va­lidez. Pero cuando consideramos al universo co­mo un todo la Geometría euclídea muestra su insuficiencia frente al modelo de Klein. Por otra parte, desarrollos modernos de la Física como la teoría de la relatividad y la teoría general de la propagación de las ondas encuentran un marco geométrico más adecuado en el modelo de Riemann.

La importancia revolucionaria del descubri­miento de las geometrías no euclídeas radica en que destruyeron la noción tradicional que se te­nía de los axiomas de Euclides, como esquema matemático inmutable al que debía ser adaptado nuestro conocimiento experimental de la cien­cia física.

EL METODO AXIOMATICO

La hazaña de la Matemática moderna consiste en volver al rigor demostrativo de la matemática griega, pero desde unos supuestos rigurosamen­te nuevos a la hora de concebir y definir los en­tes matemáticos. Como señalamos antes, en la matemática griega la definición nos hacía apre-

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hender el objeto definido en su esencial realidad sustancial. Por el contrario, en la Matemática moderna se reconoce la imposibilidad de tales definiciones y se deja a los conceptos primitivos sin describir, limitándose a postular las relacio­nes fundamentales entre ellos. Los axiomas es­tablecen las relaciones fundamentales entre los conceptos primitivos. El conjunto de los axio­mas habrán de ser simples y poco numerosos. Además los axiomas habrán de ser compatibles, en el sentido de que no puedan deducirse de ellos dos teoremas contradictorios entre sí; y su­ficientes, de modo que todo teorema del sistema sea deducible de ellos. Por razones de economía también es deseable que los axiomas sean inde­pendientes, es decir que ninguno de ellos sea consecuencia lógica de los restantes.

FORMALISMO E INTUICIONISMO

La axiomatización de la Matemática moderna está vinculada, en su proyecto originario a la for­malización. Para los formalistas los axiomas no son generalizaciones inductivas, sino simple­mente un conjunto de postulados formales cuyos términos no lógicos no están interpreta­dos no asociados con nociones experimentales. Los axiomas son, entonces, parte de un cálculo abstracto, que debe ser operado de acuerdo con reglas que sólo tomen en cuenta las característi­cas sintácticas del sistema dado de signos. Los axiomas interpretados no son afirmaciones acer­ca de relaciones experimentalmente discernibles entre cuerpos físicos. Los axiomas son sólo un esquema al cual pueden ajustarse los conceptos experimentales. En la tesis formalista los axio­mas son convenciones.

La tesis formalista, que puede ser considerada como la gran fuerza directriz de la Matemática moderna, encontró un serio correctivo con el teorema de Godel, que sacudió los cimientos de la Matemática. Godel demostró que, cualquiera que sea el sistema de axiomas que tomemos pa­ra fundamentar la aritmética, siempre es posible construir un enunciado que es verdadero, pero que no puede demostrarse a partir de los axio­mas de partida; tampoco es posible demostrar la negación de dicho enunciado a partir de los mis­mos axiomas. Godel echó por tierra el programa de completa axiomatización de la matemática que habían propugnado Hilbert y otros matemá­ticos, que suponían que podía hallarse un siste­ma logístico en el cual se alojara la matemática y que podía probarse que tal sistema era completo y consistente. Godel mostró que dado un siste­ma logístico razonablemente rico ( el sistema de los Principia Mathematica de Russell-White­head o el sistema axiomático de los conjuntos elaborado por Zermelo), tal sistema es esencial­mente incompleto, por aparecer cuando menos un enunciado o teorema que no es decidible.

Frente al formalismo, la tesis intuicionista -defendida, entre otros, por Brouwer y Hey-

Los Cuadernos del Pensamiento

ting- mantiene que sólo puede hablarse de en­tes matemáticos si podemos construirlos men­talmente. La existencia de un ente matemático viene determinada por su posibilidad de cons­

trucción mental. Ahora bien hay que subrayar que los modernos matemáticos intuicionistas no confían en la intuición pura en el vasto sentido kantiano. Sin embargo, para los intuicionistas modernos: 1) la Matemática no sólo posee signi­ficación o caracterización formal sino también intrínseca; 2) los conceptos matemáticos son in­tuidos directamente por el espíritu pensante; por ello, el conocimiento matemático es inde­pendiente de toda experiencia. La crítica que se hace a los intuicionistas es que sus principios excluyen partes importantes de la Matemática y el resto lo hace a veces exasperadamente com­plicado.

Según la ponderada opinión de Ferrater Mora en su Diccionario de Filosofía, «cada una de es­tas posiciones ha alcanzado grandes triunfos y ha impulsado grandemente el progreso en Mate­mática. No puede predecirse qué teoría triunfa definitivamente; lo más probable es que haya que mantener las partes más fecundas de cada una de ellas. Debe observarse que en todas estas teorías, incluyendo la intuicionista, se tiende a la formalización máxima de las operaciones ma­temáticas; es un error, por lo tanto, interpretar ciertos resultados de la Matemática contemporá­nea como un apartamiento de esta vía (formali­zadora)».

EL DISCURSO MATEMATICO ACTUAL

La Matemática contemporánea continúa la te-

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sis de la comunicabilidad de los géneros implan­tada por Descartes en ruptura con la tradición matemática helénica. En la Matemática actual no se estudia nada aisladamente, con lo que se consigue un máximo de generalización lógica. Dentro de la Matemática contemporánea hay una gran variedad de modelos y teorías, pero en­tre ellos existe una densa relación entre ellas, de modo que podemos considerarlas como lugares distintos de una misma región. Como señala el ya citado matemático francés Fran9ois Lorrain, el conjunto de todas las transformaciones entre estructuras matemáticas diversas constituye en sí mismo una estructura con valor óntico-mate­mático propio, que es posible relacionar con ni­veles estructurales más simples y más complejos en un proceso dialéctico unitario. El objetivo del discurso matemático actual no es casi nunca una estructura única, sino, en la mayoría de los ca­sos, un conjunto de estructura semejantes, o al menos comparables, que sólo adquieren todo su sentido en el contexto global en que están ubi­cadas.

El método axiomático añade rigor y consis­tencia a esta tendencia unificadora de la Ciencia Matemática actual. Desde este enfoque episte­mológico y metodológico se ha llegado a decir que la Matemática no sería más, ni menos, que la ciencia de la pura necesidad lógica en todas sus manifestaciones o formas posibles. Y así el espacio y el número no serían más que � dos formas particulares, entre otras mu- .. � chas, de la necesidad lógica. �