los conjuntos - material didáctico
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Material didáctico de apoyo, para desarrollar el tema de los conjuntos, originalmente lo diseñé para desarrollar la temática correspondiente al área de matemática en el primer grado de secundaria, pero también puede utilizarse en el nivel primario.TRANSCRIPT
UNIDAD I CONJUNTOS
EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Bienvenidos a nuestra Primera Unidad
Nuestro tema transversal es Identidad Institucional
y Nacional
DIVERSIFICACIÓN
CAPACIDADES Razonamiento y demostración
• Demuestra y verifica el uso operaciones con conjuntos.
Comunicación Matemática
• Describe y utiliza Noción de conjunto. Determinación de conjuntos.
• Describe y utiliza las Relaciones y operaciones entre conjuntos.
• Describe y utiliza los Diagramas de clasificación y organización de información cuantitativa (Venn.).
• Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc.
Resolución de problemas
• Resuelve problemas con las relaciones y operaciones entre conjuntos.
• Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos.
CONOCIMIENTOS
Funciones • Noción de dependencia, función,
variables dependientes e independientes. • Representación tabular y gráfica de
funciones. • Dominio y rango de funciones lineales.
Relaciones lógicas y conjuntos • Noción de conjunto. Determinación de
conjuntos. • Relaciones y operaciones entre
conjuntos. • Diagramas de clasificación y
organización de información cuantitativa (Venn, Carroll, cuadros numéricos, etc.)
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
ÍNDICE
• CONJUNTO
– Definición.
– Representación de conjuntos.
– Relación de pertenencia.
– Determinación de conjuntos.
– Clases de conjuntos.
– Relación entre conjuntos – Inclusión.
– Relación entre conjuntos – Igualdad.
– Conjuntos especiales – Conjunto Universal.
– Conjuntos especiales – Conjunto Potencia.
• Operaciones entre entre conjuntos. – Unión. – Intersección. – Diferencia. – Diferencia Simétrica. – Complemento. – Producto Cartesiano.
• Funciones. – Definición. – Dominio y Rango. – Variable Independiente y
Dependiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTO Un conjunto es una colección
de objetos que tienen características en común.
Cada objeto de un conjunto se llama elemento.
Escribir 5 ejemplos de conjuntos en
nuestra sociedad. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Ejemplo: Conjunto de vocales
Conjunto de tortas
NOTACIÓN DE CONJUNTO
Diagrama de Venn Euler
A={a, e, i, o, u}
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, D ……….
Se puede representar por medio de diagramas o entre llaves.
Cuando se representa entre llaves se separan con comas y en el caso de números se separan con punto y coma. Cuando se representa en diagramas es necesario que lleven un punto en el lado izquierdo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTO
Ejemplo: Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo} Escribir 5 ejemplos de
conjunto gráficamente y entre llaves.
Aquí algunos ejemplos de conjuntos.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
RELACION DE PERTENENCIA
Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo}
La relación de pertenencia se establece de elementos a
conjunto.
•1 Є A •3 Є A •5 Є A •7 Є A
•9 Є A •11 ∉ A •13 ∉ A •15 ∉ A
•gallo Є A •pollo Є A •pato Є A •zorro ∉ A
Se lee: El elemento 1 pertenece al conjunto A. El elemento 15 no pertenece al conjunto A.
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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN
• Un conjunto se representa por extensión cuando se enumera uno a uno cada uno de sus elementos.
POR COMPRENSIÓN • Un conjunto se determina
por comprensión cuando se recurre a una propiedad que caracteriza todos sus elementos.
A={a, e, i, o, u} A={las vocales} ó A={x/x es una vocal}
B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B={los números dígitos} ó B={x/x Є N <10}
¿Cuántas formas de determinar conjuntos hay?
Existen 2: Por Extensión y Por Comprensión
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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN • A={x/x Є N, x es impar y x≤11}
• B={x/x Є N, x es impar y 2<x≤9}
• C={x/x es una vocal fuerte}
• D={x/x es un mes con cinco letras}
• E={x/x Є N, múltiplo de 5 y 10≤x ≤30 }
POR COMPRENSIÓN • A={1; 3; 5; 7; 9; 11}
• B={3; 5; 7; 9}
• C={a, e, o}
• D={enero, marzo, abril, junio, julio}
• E={10; 15; 20; 25; 30}
Por Comprensión: F={1; 2; 3; 4; 5; 6} G={gato, tigre, león, leopardo} H={7; 14; 21; 28; 35} I={Pinta, Niña, Santa María} J={55, 66, 77, 88, 99}
Por Extensión: K={x/x Є N, x es un número par 5<x<11} L={x/x es un ave domestico} M={x/x es un planeta del sistema solar} N={x/x Є N , x es un numero primo <13} O={x/x es una consonante}
Aquí tienen algunos ejemplos de determinación de conjuntos.
Determinar los siguientes conjuntos:
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CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ¿Cuántos clases de conjuntos existen?
Existen 4 y son los que se muestran en la tabla
Conjuntos Por extensión Por comprensión Características
Finito A={a, e, i, o, u} A={x/x es vocal} Se puede enumerar todos sus elementos.
Infinito B={0;1;2;3;4;…} B={x/x ∈ ℕ} No se puede terminar de enumerar todos los elementos.
Vacio C={ } = Ø C={x/x ∈ ℕ ∧ 1<x<2} No tiene elementos.
Unitario D={3} D={x/x ∈ ℕ ∧ 2<x<4} Tiene un único elemento.
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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={1; 2; 3; 4; 5}
• C={1; 3; 5}
• D={2; 4; 6}
• E={6; 7; 8; 9}
INCLUSIÓN
1. C ⊂ B 2. D ⊄ B 3. B ⊂ B
4. C ⊂ C
5. B ⊄ E
¿A qué se llama relación de Inclusión?
Se dice que un conjunto esta incluido en otro si todo elemento del primero es
también elemento del segundo.
.2
.4
.1 .3 .5
C B
1) .1 .2
.3 .4 .5
B 3)
.2 .4 .6 .1 .3 .5
B
D
2)
.1 .3 .5
C 4) .1 .2
.3 .4 .5
B .6 .7 .8 .9
E 5)
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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Se escribe Se lee
A ⊂ B A esta incluido en B A es subconjunto de B
A ⊄ C A no esta incluido en C A no es subconjunto de C
C ⊄ B C no esta incluido en B C no es subconjunto de B
Propiedades de la inclusión
Reflexiva: Todo conjunto esta incluido en si mismo A ⊂ A
Transitiva: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Cuando un conjunto esta incluido en otro se dice también que es subconjunto del otro.
.d .e B
.a .b .c
A .i .o .u
C
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Simbólicamente: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={b; 2; 3; d; 5}
• C={d; 3; 5; b; 2}
IGUALDAD DE CONJUNTOS
¿A qué se llama Igualdad de conjuntos?
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente
los mismos elementos.
• D={χ; ψ; ω; σ}
• E={ω; χ; ψ; σ}
.b .2 .3
.d .5
B C
E D
.ω .χ
.ψ .σ
B=C D=C
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CONJUNTOS ESPECIALES
¿Cuántas clases de conjuntos especiales existen?
Son dos y son los siguientes:
• U={plantas}
• F={flores}
• V={verduras}
• R={rosas}
CONJUNTO UNIVERSAL (U) O referencial es aquel que se fija de antemano e incluye a
todos los elementos que están en discusión.
U
flores F
rosas R verduras
V
F⊂U, V⊂U, R⊂F, R⊂U
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CONJUNTOS ESPECIALES ¿Y que es un conjunto
potencia?
• Sea el conjunto:
• A={pan, queso}
• Donald cuenta con alimentos del conjunto A entonces podemos formar 4 subconjuntos que muestran la manera de comer sus alimentos.
• P(A)={{pan},{queso},{pan, queso}, ninguna de las dos}
CONJUNTO POTENCIA P(A) Es aquel que está constituido
por todos los subconjuntos que es posible formar con los
elementos del conjunto A.
Cantidad de elementos de P(A)=cantidad de subconjuntos de A=n[P(A)]=2n(A)
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La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A o a B o a ambos
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Unión (U) de conjuntos
¿Cuáles son las operaciones entre conjuntos?
Existen 6 y son las siguientes:
.1 .2 .3
.4 .5
A
B
A ∪ B A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5} C ∪ D={2; 3; 4; 5; 6}
.3
.5
C D .2 .4 .6
C∪ D
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∪ C
B ∪ C={1; 3; 5; 2; 4; 6}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a A y a B y a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Intersección (∩) de conjuntos
¿Cuál es la segunda Operación entre conjuntos?
La segunda es la Intersección
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A ∩ B A ∩ B={1; 2; 3} C ∩ D={4}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∩ C
B ∩ C={ }
.6
.2
.3
.5 .4
C D
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C ∩ D
La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a A y no a B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia (-) de conjuntos
¿Cuál es la tercera Operación entre conjuntos?
La tercera es la Diferencia
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A - B A - B={4; 5} C - D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B - C
B - C={1; 3; 5}
.6
.2
.3
.5 .4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C - D
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A y B. Pero no a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos
¿Cuál es la cuarta Operación entre conjuntos?
La cuarta operación es la Diferencia simétrica
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A ∆ B A ∆ B={4; 5} C∆D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∆ C
B∆C={1; 3; 5; 2; 4; 6 }
.6
.2
.3
.5 .4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C ∆ D
El complemento de un conjunto A’ , es el conjunto formado por todos
los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A .
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• U={1; 2; 3; 4; 5,6}
• A={1; 3; 5}
• B={2; 4; 6}
• C={3; 4; 5}
Complemento (’) de conjuntos
¿Cuál es la quinta Operación entre conjuntos?
La quinta operación es el Complemento
.2 .4 .6
U
.1 .5 .3
A
A’ A’={2; 4; 6} C’={1; 2; 6}
B’={2; 4; 6 }
.1 .2 .6 C .3 .4
.5
U
C’
.2
.4
.6
.1
.3
.5
B
B’
U
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
El producto cartesiano de los conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados (x, y) tal que x ∈
A ∧ y ∈ B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• B={2; 4; 6}
• C={3; 5; 7}
Producto Cartesiano (x) de conjuntos
¿Cuál es la sexta Operación entre conjuntos?
La sexta operación es el Producto Cartesiano.
.2
.4
.6
B .3 .5 .7
C
B x C B x C={(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),(6;5),(6;7)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
FUNCIONES: Definición.
• Sean los conjuntos: A={2; 4; 6} B={3; 5; 7}
¿Qué es una función?
La función es una correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(2;3),(4;5),(6;7)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango
•Un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio •Un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango.
•Una regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
ƒ2={(2;3),(4;5),(6;7)}
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango No es una función
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango No es una función
FUNCIONES: Dominio y Rango.
• Sean los conjuntos:
• A={a; b; c}
• B={β; γ; δ}
¿Qué es el Dominio y Rango de una función?
La función es una correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(a;β),(b;γ),(c;δ)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.a
.b
.c
A .β .γ .δ
B
Dominio Rango
.a
.b
.c
A .β .γ .δ
B
Dominio Rango
•Dado una función ƒ de A en B: •El dominio de ƒ esta formado por todos los elementos de A.
•El Rango de ƒ esta formado por subconjunto de B.
ƒ2 ={(a; γ),(b;γ),(c; γ)}
FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.
¿Cuántas clases de variable existe en una función?
Existen 2: •Variable dependiente. •Variable independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•Una función ƒ : A => B •La variable x representa cualquier valor del dominio y se llama
variable independiente. •Los valores que tome la variable “y” dependen de los valores que
tome x, por lo que se denomina variable dependiente.
.x
A
y= ƒ(x)
B
V. Ind. V. Depen.
ƒ (x,y) o (x, ƒ(x))
V. Ind. V. Depen. V. Ind. V. Depen.
FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.
¿Cómo se determina el valor de la variable dependiente?
El valor de la V. dep. esta en función de la variable
independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•La función es ƒ={(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)}
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4}
• B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Se define la función
ƒ : AB por el criterio y = x+1
Solución Sabemos que ƒ(x) = y = x+1 Esto es ƒ(x)= x+1; reemplazamos en x los elementos de A ƒ(1)=1+1=2 ƒ(2)=2+1=3 ƒ(3)=3+1=4 ƒ(4)=4+1=5