LOS AZTECAS:

La administración de Tenochtitlán y sus provincias extranjeras requerían gran papeleo. Los impuestos tenían que ser recolectados, los procesos entre las villas o individuos privados tenían que ser registrados y los mercaderes mantenían las cuentas de sus bienes y sus ganancias. Las instrucciones y reportes pasados de un lado a otro entre la capital y las ciudades distantes, y como la gente de hoy en día, los mexicanos estaban familiarizados con la burocracia y la correspondencia oficial. Los clanes mantenían registros de las tierras y cuando Cortés llegó a Tenochtitlán no tuvo problema en procurarse, del archivo real, un mapa mostrando todos los rios y bahías a lo largo de 400 millas en la costa norte. Además cada templo tenía una biblioteca de trabajos astrológicos y religiosos, mientras que un casa privada, como la de Moctezuma, empleaba a un mayordomo de tiempo completo para vigilar las cuentas, que eran tantas que llenaban una casa completa.

Ixtiuxochiti, un hermano del último gobernante de nativo de Texcoco, ha dejado esta cuenta en el prólogo de su Historia Chichimeca:

"Ellos tenían escribas para cada rama de conocimiento. Algunos trabajaban con los anales, escribiendo en orden las cosas, que pasaba cada año, dando el día, el mes y la hora. Otros estaban a cargo de las genealogías, registrando el linaje de los gobernantes, señores y nobles, registrando a los neonatos y borrando a aquellos que habían muerto. Algunos pintaban las fronteras, límites y marcas de linde de las ciudades, provincias y villas, y también la distribución de los campos, donde estaban y a quien pertenecían. Otros escribas mantenían los libros de la ley y aquellos que trataban de los ritos y ceremonias que practicaban cuando eran infieles. Los sacerdotes registraban todo lo que tenía que ver con los templos y las imágenes, con sus doctrinas de idolatración, los festivales de sus falsos dioses y sus calendarios. Finalmente, los filósofos y hombres estudiados que había entre ellos estaban encargados de todas las ciencias que habían descubierto y de enseñar de memoria todas las canciones en las cuales eran personificados su conocimiento científico y sus tradiciones históricas."

En las cortes, especialmente en aquellas que lidiaban con los derechos de la tierra y la propiedad, los involucrados apoyaban sus reclamaciones con genealogías y mapas, mostrando las tierras del rey en morado, las tierras de los señores en rojo y los campos de los clanes en amarillo.

De esta masa de papeleo difícilmente queda algo y aproximadamente todos los libros que sobrevivieron de la tierra de los Aztecas son de la post-conquista. Algunos son copias de trabajos anteriores, mientras que otros están escritos en manuscritos Aztecas con comentarios en español y Nahuati en letra europea. La mejor colección de libros de la pre-conquista viene de Oaxaca, la tierra de los Mixtecas, donde más de una docena de ejemplares han sido preservados. Cada libro o códice, consiste de una tira de hasta 12 metros de longitud y 15'18 cm. de alto, hecha de papel, ropa de maguey o piel de ciervo y doblada en zigzag o como concertina como un mapa moderno, para que donde sea que el usuario la abriera tuviera dos páginas a la vista. Los extremos de la tira eran engomados a delgadas placas de madera que servían como cubiertas y eran algunas veces decoradas con pinturas o con discos de tuquesa. Ambos lados de la tira estaban cubiertos con escritura y

dibujos, y las páginas individuales estaban divididas en secciones por líneas rojas o negras. Cada página era normalmente leída de arriba hacia abajo, sin embargo, en algunos códices el arreglo es de zigzag o aún alrededor de la página. La tira era escaneada de izquierda a derecha. Esta enorme producción de documentos dependía de un constante suplemento de material crudo, y cada año 24,000 resmas, el equivalente a 480,000 hojas, eran enviadas a Tenochtitlán. El papel Azteca estaba hecho de la corteza interna de varias especies de árboles de higo. La corteza era empapada en un río o en un baño de agua inglesa, y las fibras eran separadas de la pulpa y colocadas en una superficie suave, dobladas y golpeadas con una piedra que tenía una cresta. Un material para fijar (probablemente una goma de origen vegetal), era añadida y las fibras eran golpeadas hasta formar una delgada y homogénea hoja. Después de suavizarla y secarla, las fibras de corteza procesadas se habían convertido en papel, pero la superficie era aún porosa y rugosa, no conveniente para pintar hasta que le dieran un cubierta de barniz calcáreo o tamaño.

Con este antecedente los escribas dibujaban sus figuras, primero esbozando los contornos en negro, después añadiendo los colores con su pincel. Los colores principales eran rojo, azul y amarillo, y los pigmentos eran a veces mezclados con un aceite para añadir brillantez. Los escribas eran respetados artesanos y la profesión era probablemente hereditaria.

Los Aztecas escribían usando símbolos similares a los caracteres usados por los chinos y los japoneses. Todos los símbolos eran dibujos de una clase o de otra.

Los símbolos pueden ser vistos como ideogramas en los cuales los objetos expresan su propia naturaleza, pero también las ideas subyacentes y no conceptos asociados con ellos. Así las ideas de la muerte pueden ser representadas por un cadáver envuelto para el entierro, la noche por un cielo negro y un ojo cerrado, guerra por un escudo y un garrote, o discurso por una lista saliendo de la boca de la persona que está hablando. Conceptos que envolvían ideas de movimiento, caminar, migrar o una secuencia de eventos, eran usualmente representados por una secuencia de huellas dirigiéndose a la dirección adecuada.

Los nombres personales Aztecas eran del tipo descriptivo que se podía representar en glifos. El nombre del emperador Acamapichtli significa "Puñado de Cañas" y su glifo es un antebrazo con la mano asiendo un fajo de tallos. Chimalpopoca, el nombre del siguiente gobernante, significa "Escudo Humeante", y su sucesor fué Itzcoatl o "Serpiente de Obsidiana".

También había un elemento fonético en la escritura Azteca. Toda palabra en el lenguaje hablado tiene un sonido así como un significado, y los glifos eran algunas veces usados para indicar el valor fonético de la palabra en lugar de su sentido. De esta manera, para dar un ejemplo del español, un dibujo de un ojo es un pictograma (que significa un ojo como parte del cuerpo) o un ideograma (expresando la idea de visión); un fonograma exresaría el sonido aunque el dibujo no tuviera nada que ver con el significado. Los dibujos eran a veces usados por su sonido sin hacer referencia a su significado, el símbolo diente (tiantli en lengua Azteca) expresaba la silaba 'tlan' ; el glifo

para el árbol o bosque (quauill) significaba la silaba 'quauh', una piedra (tell) para 'te', una montaña (tepeti) por 'tepe' y asi. Las vocales eran algunas veces representadas fonéticamente; el sonido 'a' por el símbolo de agua (all) o '0' por un camino (olli).

Los nombres de los pueblos podían ser expresados como una combinación de fonogramas. El signo para la capital Azteca, Tenochtitlán, era una piedra (tell) de donde brotaba un espinoso cactus (nochili); Tochtepecan se indicaba con un conejo (tochtli) arriba de una montaña (tepeti); quauhtitlan por un árbol (quauitl) con un diente (tiantli), quauhnauac con un árbol con un lista emitida desde el (nahuall -discurso).

Estos símbolos no fueron puestos en secuencia, uno detrás de otro como las letras y las palabras en un libro, si no que formaban parte de una composición mayor que con frecuencia tomaba la forma de una escena en la cual muchas cosas podían estar pasando al mismo tiempo. Un manuscrito Azteca no se lee, en el estricto sentido de la palabra, si no que es descifrado como un rompecabezas en el que los glifos proveen etiquetas y pistas sobre lo que está pasando. La parte baja del dibujo generalmente representa la tierra, mientras que la parte superior es el cielo. Ya que los Aztecas no habían descubierto las reglas de la perspectiva, la distancia se representa poniendo las figuras más lejanas en la parte superior de la página y las más cercanas en la parte de abajo. La importancia relativa es indicada por el tamaño: un rey victorioso, por ejemplo, puede ser dibujado de mayor tamaño que su enemigo vencido. Todas la figuras son dibujadas de perfil, si vistas a tres cuartos o en escorzo.

Cada elemento en una composición está ahí para dar información, ya sea directa o implícitamente, y el pintor asume que la persona que examina el documento conoce la insignia de rango, las costumbres apropiadas en las diferentes clases y la iconografía de los diferentes dioses. De esta manera, un sacerdote es siempre representado con su la cara pintada negra, el pelo largo y el lóbulo de la oreja manchado de rojo por la sangría. Así el podía ser reconocido como un sacerdote aún si estaba vestido como guerrero o de forma simple. De la misma forma, una persona vieja puede ser reconocida por las líneas que representan las arrugas en su cara.

También el color era importante. Los signos para el pasto, cañas y juncos se ven casi iguales en blanco y negro, pero en color no puede haber errores: en el Código Mendoza el pasto es amarillo, las cañas son azules y los juncos son verdes. Un gobernante puede ser reconocido inmediatamente por la forma y el color de su diadema, turquesa, que estaba reservado para uso real.

Un escriba que podía mantener el paso con los procedimientos de corte tenía todos los motivos para estar orgulloso de sus habilidades Aztecas. Ambas, escritura y lectura eran por lo tanto habilidades especializadas y no hay duda de que la población permanecía analfabeta. La escritura no era enseñada en las escuelas a las que asistían los niños plebeyos y seguramente los hombres ordinarios no tenían necesidad de ella. En una sociedad burocrática y centralizada, el hombre común recibía sus instrucciones de arriba, de los sacerdotes quienes cuidaban el lado religioso de su vida, o de los oficiales seculares quienes eran sacados de la nobleza y tenían el beneficio de una educación calmecac.

Números

Los Aztecas usaban un sistema vigesimal, contando de veinte en veinte. Los números del 1 al 19 eran expresados con puntos u ocasionalmente con dígitos; el 20 era representado por una bandera; el 400 (20 x 20) por un signo que parecía una pluma o un abeto; y el 8,000 (20 x 20 x 20) por una bolsa o un saquillo adornado con borlas que se imaginaba que contenía 8,000 judías de cocoa.

Consulta realizada en: Araujo, Mario. Libros, documentos y escritura Azteca. http://www.azteca.net/aztec/nahuatl/writingsp.html. Estados Unidos. 1996

CALENDARIO AZTECA.

LA PIEDRA DEL SOL 

El Museo Nacional de México guarda como una de sus más preciadas joyas la Piedra del Sol, el calendario azteca que estuvo religiosamente guardado en la base de la torre

occidental de la catedral de México. Estamos en el Nuevo Mundo, separado del viejo conglomerado continental y cultural por inmensos océanos, barrera infranqueable para un tráfico tal que permitiese una interacción cultural entre ambos mundos. Es, pues, lo más probable que si algún contacto hubo entre éstos antes del 12 de octubre de 1492, fuese totalmente esporádico (sostienen algunos historiadores que el mismo Colón había estado en el nuevo continente antes de esa fecha), de modo que era difícil que dejasen huella. Y sin embargo vemos cómo los grandes fenómenos culturales se repiten, entre ellos las prácticas religiosas, políticas y sociales; algunas técnicas incluso, y muchos conocimientos especulativos. Y son precisamente los calendarios y almanaques los que con mayor nitidez nos presentan esta silueta de un espíritu humano que sopla de igual manera en un mundo que en otro, y que nos ofrece en cualquier tiempo y en cualquier lugar un hombre esencialmente igual a sí mismo. Cuando llegó Colón a América, hacía tan sólo 38 años que los aztecas habían reformado su calendario, que era de 365 días, para intercalar el año bisiesto. La historia de los calendarios en el continente americano se parece notablemente a la de los calendarios y almanaques de los conglomerados  culturales mediterráneo y asiático. Según los mitos aztecas fue el dios Quetzalcoatl el que enseñó al hombre el calendario, al mismo tiempo que la agricultura, las técnicas y las ciencias. También en las culturas precolombinas de centroamérica, de las que nos quedan numerosas referencias y vestigios, el calendario es la más elaborada expresión de las creencias, conocimientos y costumbres. Leer sus calendarios es como leer en clave sus libros sagrados, sus credos y sus fiestas; es como un escaparate de sus cultos y culturas. Cuando llegaron los españoles al Nuevo Mundo, algunas de las culturas con las que entraron en contacto estaban en su máximo apogeo: Centroamérica parecía, al igual que Egipto y Mesopotamia, la encrucijada de las grandes culturas del continente, el crisol en que éstas se fundían, conservándose lo mejor de cada una de ellas. Los calendarios de la zona son un fiel reflejo de ese esplendor y de esa síntesis cultural. Los mayas del Yucatán, los nahoas y los aztecas son los pueblos cuya cultura se impuso. 

EL ALMANAQUE presenta hoy el calendario azteca, uno más de los calendarios que en este principio de año estamos ofreciendo a nuestros lectores para que puedan formarse una visión global de cómo los calendarios y almanaques han sido a lo largo de la historia y de las culturas, el soporte preferido de las celebraciones, y en torno a ellas, de los ritos, los mitos, los conocimientos, los dogmas y las costumbres que mejor las definen. Y junto a ellos ofrecemos también una amplia gama de almanaques temáticos con contenidos de actualidad. Pretendemos crear con ello una especie de reticulado (del que cada cuadro es un día), que nos permita ofrecer dosificados los contenidos de nuestra página en la forma que nos es propia, día a día, pero ampliando la oferta a tantas secciones como Almanaques vayamos creando. Con esta nueva modalidad, conseguimos tres resultados óptimos. Uno: a nuestros lectores escasos de tiempo, que prefieren una sola de las secciones del Almanaque general, se les dé la posibilidad de abonarse a un Almanaque dedicado a su tema preferido. Dos: con la segmentación del Almanaque general en Almanaques específicos, abrimos nuevas líneas de contenidos, que hemos reprimido hasta el presente por no sobredimensionar el Almanaque general. Tres: la creación de este reticulado nos depara la oportunidad de presentar dosificados y racionados en formato de Almanaque, los cuantiosos fondos que hemos ido acumulando en nuestra web a lo largo de los ya cerca de mil días que llevamos trabajando en ella todo un equipo de personas que hemos puesto el alma en esta página. Estamos convencidos de que con las nuevas estrategias que ponemos en marcha este año, aligeramos el peso del Almanaque general, que seguiremos confeccionando y ofertando como hasta ahora; y que al mismo tiempo facilitamos el acceso a sus contenidos a mucha más gente.

CALENDARIO AZTECA 

Cuando llegó Hernán Cortés a México, el calendario azteca acababa de ser reformado, y el año empezaba el día 1 de Atlacalmaco, que coincidía con nuestro 1 de marzo. No está claro si fue el mes o la “semana” la más antigua unidad de medida de los días. De todos modos, en todos los calendarios de la historia vemos cómo son los días de mercado los que marcan la cadencia de las semanas (en algunas lenguas se usa la misma palabra para denominar la feria o mercado y la semana). Entre las culturas centroamericanas se instituyó la celebración del mercado cada 5 días y por tanto la semana de 5 días (fue la sacralización del número 7 en nuestra cultura lo que determinó que nuestra semana sea de 7 días). La siguiente unidad era el mes de 20 días, con un total de 18 meses al año, que sumaban 360 días. Para completar los 365 días del año solar (366 los bisiestos, que también los tenían) añadían al final del año los 5

(o 6) días llamados nomentemis, que dedicaban íntegramente al placer y la diversión; en esta última semana del año no había  feria, para no interrumpir las celebraciones. Algo muy parecido a las saturnales romanas y las navidades cristianas con que se despide el año viejo y se recibe al nuevo. 

El hecho de que las culturas de centroamérica no hubiesen desarrollado la escritura, no representó ningún impedimento para el desarrollo de un calendario perfecto. Asignaron nombres con los respectivos pictogramas a los 20 días del mes (1 flecha, 2 tigre, 3 águila, 4 cuervo, 5 los cuatro movimientos del sol, 6 pedernal, 7 lluvia, 8 flor, 9 serpiente armada de harpones, 10 Ehecatl (el gran dios Ketzalcoatl en figura de viento), 11 casa, 12 lagartija, 13 culebra, 14 muerte, 15 venado, 16 conejo, 17 agua, 18 perro, 19 mona, y 20 hierba). De este modo era fácil representar el desarrollo del tiempo. Parece que antes de llegar a este nivel de denominación, sólo tuvieron cuatro nombres (como una semana de 4 días) que se iban repitiendo hasta completar el mes. Estos nombres eran ácatl, tepatl, calli y tochtli, que representaban a los cuatro astros (Sol, Luna, Venus, Tierra), a los cuatro vientos, a las cuatro estaciones, o a los cuatro elementos. Parece que desde muy antiguo dividían el año en cuatro estaciones; que se guiaban por los equinoccios y los solsticios; y que dividieron el día en 16 “horas”: 8 laborables, desde la salida a la puesta del sol, y las 8 restantes de descanso.   

Al igual que ocurrió en el viejo continente, los calendarios avanzaban con las respectivas culturas. Por más que en los mitos respectivos cada uno aparezca como iniciador del tiempo, el caso es que los calendarios maya, nahoa y azteca pertenecen a una misma fuente cultural. En el año 249 a. de J.C, cuando el calendario romano era un auténtico caos, y aún faltaban siglos para la reforma juliana que instituyó los años bisiestos, en ese año se reunieron los sacerdotes de las tribus nahuas para corregir las desviaciones de su calendario, introduciendo el año “bisiesto” (la repetición cada cuatro años del último de los días nomentemis). Esta reunión tuvo lugar en Huehuetlapallan, una de las siete ciudades mexicanas que formaron Chicomoztoc, la ciudad mexicana más importante de los nahuas. Instituyeron también el período de 52 años, formado por cuatro haces o

gavillas de años (13 x 4). Con esta ocasión en que ajustaban exactamente el calendario al sol, celebraban una extraordinaria fiesta religiosa en la que se extinguía el fuego viejo y se encendía un nuevo fuego sobre el cuerpo de la víctima humana que con esta ocasión se iba a sacrificar. Todos los fuegos del imperio se extinguían antes de tan gran ceremonia (en épocas, los días nomentemis que la precedían tuvieron carácter de duelo, penitencia y sangrientas disciplinas, simbolizando la preparación para el fin del mundo); y después de la gran oscuridad, llegaba la explosión de la luz: infinidad de antorchas encendidas en el fuego nuevo de la pira del sacrificio, partían en dirección a todas las ciudades y poblados. Es de notar el singular paralelo con la celebración judeocristiana de los jubileos cada 49 años (7 x 7), siendo el quincuagésimo, el año jubilar.

EL CALENDARIO DEL SOL

El pueblo azteca daba gran importancia al tiempo, que era registrado en dos calendarios: el de 365 dias, xihuitl, que era el solar y o agricola, compuesto por 18 meses de 20 dias, mas cinco dias "inutiles" o "aciagos"; y la cuenta de los destinos de 260 dias, llamada tonalpohualli, que tenía más bien caracter adivinatorio.

Este está divido en 13 meses de 20 dias cada uno. Cada dia tiene un nombre y se combina rotando con un nmero del 1 al 13, hasta completar los 260 dias (13 veces 20=260). Cada dia con su numeral tiene una carga energetica que lo conecta con la fuerza del cosmos, y esta bajo la proteccion de un dios, se relaciona a un rumbo del universo y a un color, y tiene un augurio asociado.

Los nombres de los dias en nahuatl son los siguientes: cipactli, ehécatl, calli, cuetzpallin, coatl, miquiztli, mazatl, tochtli, atl, itzcuintl, ozomatli, malinalli, acatl, ocelotl, cuauhtli, cozcauauhtli, ollin, tecpatl, quiauitl, xochitl. Los 18 meses del calendario solar de 365 dias, recibian los siguientes nombres: atlcahualo, tlacaxipehualiztli, tozoztontli, hueytozoztli, txcatl, etzalcualiztli, tecuilhuitontli, hueytecuilthuitli, tlaxochimaco, hueymiccailhuitl, ochpaniztli, pachtontli, hueypachtli, quecholli, panquetzaliztli, atemoztli, tititl, izcalli y nemontemi. Los méxicas creian que el calendario habia sido inventado por Oxomoco y Cipactonal.

Los aztecas dividian el calendario solar en 5 periodos de 73 dias, especie de estaciones a los que llamaban cocij: cocij cogaa, era el tiempo del agua y del viento simbolizado por el cocodrilo; cocij col lapa era el tiempo de las cosechas, representado por el maiz; cocij piye chij, era el tiempo santo o de fiesta, representado por el aguila o el guerrero; cocij piye cogaa, tiempo de secas e inicio del calendario; cocij yoocho, tiempo de las enfermedades y las miserias, representadas por el tigre. 

Consulta realizada en: Anónimo. El Calendario Azteca.

http://www.elalmanaque.com/Calendarios/azteca.htm

"Sistemas numéricos en el México prehispánico"

Artículo de Víctor Larios OsorioPublicado en:

Revista Eureka.No. 15, marzo 2000, páginas 26-39.

México: Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro.

Resumen

En este trabajo se presenta una parte del desarrollo histórico de las culturas que se asentaron en el actual territorio nacional antes de la conquista española. La parte considerada es la que se refiere a los conocimientos matemáticos, y las culturas que se han tomado en cuenta son principalmente la Maya y la Azteca por el gran impacto que tuvieron en esa época, tanto desde el punto de vista cultural como socio-político. Con ésto se pretende llamar la atención a los docentes de Matemáticas, pues estamos seguros de que estos temas son de sumo interés para todo aquel mexicano que desee conocer un poco más sobre los conocimientos matemáticos desarrollados por culturas que progresaron en lo que es actualmente el territorio nacional.

I. Introducción

El estudio y descubrimiento de nuestro patrimonio cultural es muy importante y emocionante, especialmente si se desea realizar con alumnos del nivel medio, básico o superior, en un afán tanto de conocer las raíces de las culturas que se han desarrollado en el actual territorio nacional como de establecer un vínculo entre el desarrollo cognoscitivo de los alumnos y el de las mismas culturas humanas.

Para desgracia de nuestros estudiantes, cuando se busca el tema de "Historia de las Matemáticas" se toma casi exclusivamente el desarrollo de ésta en Europa, también llamado "viejo continente", y se ignoran los adelantos científicos que se obtuvieron en el continente americano, denominado como "nuevo". En parte consideramos que esta omisión se debe a que se nos educa viendo la historia desde un punto de vista paneuropea, es decir, la ciencia y el desarrollo son primordialmente europeos, y por otra parte es que ignoramos las culturas que florecieron en los siglos previos a la dominación española. Nuestros alumnos, en su mayoría, no conocen la poca información que existe a este respecto. Por otro lado, casi la mayor parte de los docentes de Matemáticas en cualquiernivel conocen algo de este tema, pero de manera somera y superficial, faltando profundizar para descubrir hechos más interesantes de las culturas mesoamericanas. Desafortunadamente para los interesados gran cantidad de la información que existió enmaterial de tipo documental y monumental se ha perdido, en parte por causas naturales(escritura o escultura en materiales perecederos) o por causas artificiales, en las cuales se especializaron los soldados españoles y los sacerdotes católicos en aquellas fechas oscuras para las civilizaciones americanas.

II. Un nuevo mundo: Matemáticas antes de Colón.

En el actual territorio nacional se asentaron y desarrollaron diversas culturas desde milenios antes de Cristo. Según datos de Haberland el hombre, como tal, existió en estas regiones

desde alrededor del 11,000 a.C. (Haberland,1974), pero las culturas en un sentido más complejo se comenzaron a desarrollar alrededor del año 1,500 a.C., principalmente en la zona de Monte Albán y el sur de la costa del Golfo de México con la cultura Olmeca. En este punto podemos comparar este año de 1,500 a.C. contra el año 3,000 a.C. en el que se desarrollaron culturas en Occidente como los caldeos y los egipcios para llegar a la conclusión de que en América el comienzo de la cultura estaba atrasada con respecto a Occidente; sin embargo, este "atraso" fue compensado en algunos aspectos.En Mesoamérica la mayor aportación matemática al parecer está ligada estrechamente con cuestiones astronómicas, principalmente el calendario, y en menor grado con la Estadística, aparentemente todo esto por cuestiones prácticas de la vida diaria. Resulta interesante observar que, por ejemplo, mientras en la Europa de los siglos V al XV la visión del cosmos en general era resultado de las interpretaciones de un texto religioso, en Mesoamérica esta cosmovisión se basaba generalmente en relaciones astronómicas y matemáticas.A diferencia de lo que comúnmente se cree, los numerales escritos con puntos y rayas no fueron inventados por los mayas, pues existe evidencia de su uso en por lo menos dos monumentos de La Venta (en el estado de Tabasco), que se desarrolló entre el 800 a.C. y el 400 a.C. (Haberland,1974), antes que el período desarrollado de la cultura Maya. Sin embargo, estos numerales se presentan de una manera desarticulada y parcial. Al parecer su desarrollo se realiza en el seno de la cultura Olmeca y en la zona de Monte Albán, para culminar con la cultura Maya. Antes de esta época, es decir sobre su origen, no se sabe nada con certeza.Podemos mencionar que se han encontrado cuatro series de inscripciones de este sistema de numeración más desarrollado, a saber (Garcés,1982): 1. Un grupo antiguo de numerales de Monte Albán, (siglos V o IV a.C.)2. Un grupo de inscripciones de el Séptimo Baktún, (siglos del I a.C. al II d.C.)3. Inscripciones de Kaminaljuyú, (siglos I o II d.C.)4. Inscripciones de el Petén, (siglos III y IV d.C.)

III. El cero y el sistema posicional en Mesoamérica.

Si uno compara las fechas de los descubrimientos y desarrollos entre el "avanzado" Occidente y las culturas "atrasadas" de América, en lo que a Aritmética se refiere, podría llevarse una sorpresa. Para visualizar la notación posicional en la cultura Hindú primero recordaremos que en ésta no se presentó al inicio del desarrollo de sus numerales, sino que apareció posteriormente. Los numerales más antiguos que se han encontrado usando el valor de posición y el cero procede del año 876 d.C., aunque existen inscripciones árabes del año 873 d.C. y una inscripción indochina del año 604 d.C. (Garcés,1982). En ambos casos se tiene la certeza de que existe gran influencia hindú. Por otro lado, los monumentos de el Séptimo Baktún mencionados ya echan mano del uso de la posición en los numerales, siendo por tanto los más antiguos con esta característica de América. Entre estos monumentos existen la estela 2 de Chiapa de Corzo y la estela C de Tres Zapotes, que al ser fechadas en los años 35 a.C. y 31 a.C., respectivamente, anteceden 911 y 907 años, a las más antiguas inscripciones hindúes que usa numerales con valor posicional, y con 639 y 635 años, respectivamente, a las más antiguas de Indochina. Si, consecuentemente,

consideramos que en Europa este tipo de numerales son introducidos hasta el año 976 d.C. (Willerding, 1971), entonces tenemos una diferencia de un milenio con la inscripción posicional más antigua mesoamericana.Todos los conocedores de la Aritmética saben que sin el símbolo del cero un sistema de notación posicional no puede sobrevivir correctamente, para lo cual hay que anotar que los ceros más antiguos escritos de los que se tiene conocimiento son los ceros esculpidos en la estela 18 de Uaxactún (perteneciente al grupo de inscripciones de el Petén), fechada en 357 d.C., que anteceden por 519 y 247 años a los ceros más antiguos hindú e indochino, respectivamente.Otra diferencia existente, más conceptual, es que mientras el cero hindú es un punto de menor dimensión que los demás numerales, el cero maya reviste una importancia especial, lo que se determina viendo sus representaciones (figura 1). En los códices el cero se representa con una concha o un caracol, ambos símbolos asociados con la muerte, la ausencia de vida y el fin de un ciclo; otras variantes, como la llamada "forma humana", presentan características de la muerte y adornos referentes a los dioses del inframundo, mientras que la mano atravesada en la mandíbula significa complementamiento o la mano que ata los días y los años en haces completos; por otro lado, la variante monumental tiene la forma de una Flor Calendárica , que viene siendo el símbolo del calendario sagrado, el emblema de la eternidad, del tiempo y de la regularidad cósmica. En el otro lado, el cero hindú es denominado como Surya, que significa "nada" y el cero maya posiblemente como Xixim, que es el nombre de la concha que lo representa.

Figura 1. Algunas representaciones del cero maya. En lafila superior tal como se presenta en los códices y en

la inferior en los monumentos. (Garcés,1982,87)En cada uno de los lados del mundo se desarrolló un tipo de numeración, de este ladocon base vigesimal y en aquel lado con base decimal, cada uno con su respectiva simbología. Podríamos preguntarnos ¿cuál es más práctico? Quizá para nosotros sea más fácil escribir en el sistema decimal, por costumbre, pero esto no implica que el sistema vigesimal sea menos. De hecho ambos sistemas son equivalentes y son las costumbres de uso las que determinan cuál es más fácil y cuál es más difícil. Asimismo, se piensa que el desarrollo del sistema vigesimal se originó al tomarse como base los 20 dedos que posee el cuerpo humano, mientras que el decimal únicamente toma los 10 dedos de las manos.

IV. Un viaje por el Mayab: la matemática maya.

a cultura que tuvo el desarrollo más sustentable en el aspecto matemático astronómico y se asentó en el actual territorio de México fue la Maya, por lo cual le dedicaremos la mayor parte de este trabajo.Esta cultura estuvo asentada en los actuales territorios de los estados de Chiapas, Campeche, Yucatán y Quintana Roo, en México, y en los países centroamericanos de Belice, Guatemala, Honduras y El Salvador. El período de su desarrollo comprende desdeaproximadamente el 1,500 a.C. hasta 1697 d.C., dividiéndose en tres épocas: la Preclásica, la Clásica y la Postclásica.Como ya se mencionó, los numerales se desarrollaron y consolidaron con los mayas, en una notación vigesimal y posicional, por lo cual abordaremos aquí lo que se refiere a la numeración y su calendario, por estar íntimamente ligados el uno con el otro. Los numerales mayas tenían dos variantes (figura 2): los numerales geométricos o normales, y los numerales en forma humana, que por lo general se presentaban como una cara antropomorfa aunque existen casos especiales donde se presenta todo el cuerpo (Garcés, 1982).

La primera notación, la geométrica, está constituida por puntos, rayas y el símbolo de la concha. Esta es la que comúnmente se le conoce y difunde como la notación maya. Suutilización es simple: los puntos representan unidades y las rayas cinco unidades; se pueden formar agrupaciones de puntos con un número máximo de cuatro y las rayas tienen como máximo el de tres por cada agrupación, todo esto utilizando un principio de adición. Se manejan de este modo representaciones del cero al diecinueve, pues cada posición en el sistema es de veintenas. Sin embargo, en el Códice Madrid el numeral 20 se expresa también con el símbolo de la Luna, el cual se puede apreciar en la figura 3 (Sotelo,1997).

La segunda notación, la variante de cara, es una colección de 20 glifos que representan caras mostradas en perfil. Con está notación los numerales mayas alcanzaban la madurez de los numerales hindúes, ya que no se utilizaba el principio de adición sino que cada número estaba representado por un guarismo, aunque con el pequeño problema de su complejidad. Las variantes de caras se utilizaban casi exclusivamente en los fechamientos y numerales monumentales, en los cuales iban acompañados, por lo general, por los mismos numerales pero en la notación geométrica. Según Morley los numerales en su notación de cabeza tiene como base los guarismos del 0 al 12, que correspondían a las trece deidades del oxlahuntikú o mundo superior , mientras que la mandíbula descarnada del guarismo del 10 se convierte en el elemento base para formar los numerales del 13 al 19 al añadir dicha parte a los guarismos correspondientes del 3 al 9 (Morley,1983). Los guarismos iniciales tienen siempre las mismas características en los diferentes monumentos, de esta suerte tenemos que el numeral 1 es identificable por el mechón de cabello, vinculado con la diosa de la Luna; el numeral 2 muestra una mano abierta arriba de la cabeza y simboliza la muerte y elsacrificio; el 3, con un tocado a modo de turbante, simboliza el viento y la lluvia; el 4 tieneun signo del Sol a la derecha; el 5 es el rostro de un anciano; el 6 se reconoce fácilmentepor el símbolo de hacha que se presenta en su ojo, significando lluvias y tormenta; el 7simboliza al Sol nocturno; el 8 simboliza al dios del maíz con una planta de este tipo visible en su tocado; el 9 lleva puntos en la mandíbula y representa a una serpiente; el 10, como ya dijimos, presenta la mandíbula descarnada, símbolo de muerte; el 11 muestra el símbolo de montaña-tierra y el 12, que simboliza a Venus, lleva un "signo de cielo" sobre su cabeza (Aveni,1993).Para denotar una cantidad en este sistema las posiciones se colocan de manera vertical, aumentando de abajo hacia arriba, de tal forma que los guarismos que representan a las unidades se localizan en la parte inferior y van aumentando progresivamente en potencias de 20 al ascender. De esta manera llegaron a expresar la cantidad de 12'489,781, que es el número mayor que se sabe escribieron y el cual se encuentra en la página 61 del Códice Dresden (Gortari,1991).El sistema vigesimal maya tiene como digno representante la llamada "Cuenta Larga", que no es otra cosa que el cálculo calendárico maya de la época Clásica, el cual determina fechas basado en el conteo de los días a partir de la fecha inicial maya que corresponde al 12 de agosto del 3113 a.C. (0.0.0.0.0 4 Ahua 8 Cumhú como se le representa actualmente), que coincidió con el paso del Sol por el cenit en Copán (Aveni,1993).Este sistema tiene como la unidad el día, o kin, y las posiciones van aumentando en potencias de 20 en 20, a excepción de la segunda posición, el uinal, que tiene 18, ya que

360 (18x20) se acerca más a la duración del año real. Hay que hacer la importante observación de que según Morley (1983) esta distorsión se presenta únicamente en los cálculos calendáricos. Después de la segunda posición se sigue nuevamente multiplicando por 20 hasta formar los nueve períodos de tiempo:

El uinal pudo haber sido un mes lunar reformado, dado que contiene la palabra "luna", mientras que el tun significa "piedra", quizá porque cada tun era marcado en piedra. Porotro lado, el baktún fue originalmente llamado "ciclo" por los investigadores modernos, pero tal parece que su nombre original es aquél.La representación que se utiliza actualmente de la Cuenta Larga consiste en un conjunto de cinco números, del cero al 19, separados entre sí por puntos. Los datos escritos entre cada punto quieren decir la cantidad en cada una de las posiciones delsistema vigesimal calendárico, con el período de mayor tiempo a la izquierda y los días (unidades) a la derecha. Por ejemplo, consideremos la fecha expresada como 9.6.10.0.0, que corresponde al 29 de enero del 564 de nuestra Era, quiere decir que se tienen 0 kines, 0 uinales, 10 tunes, 6 katunes y 9 baktunes, lo que da como total 1'342,800 días a partir de la fecha inicial. Con este sistema llegaron a hacer cálculos calendáricos que abarcan más de 90 y 400 millones de años hacia el pasado en dos estelas de Quirigüá, así como 4,000 años hacia el futuro (Gortari,1991).Los mayas introdujeron un año civil, llamado Haab, organizado en 19 meses, 18 de ellos contaban con 20 días y el decimonoveno mes contaba con 5 días, los días aciagos, sin nombre, que se denominaban Uayeb, "fin o muerte" (Garcés,1982), con lo que se completaban los 365 días del año. Por otro lado, y paralelamente al anterior, se llevaba lacuenta del calendario ritual de 260 días, llamado Tzolkín, que se formaba combinando losnúmeros del 1 al 13 con veinte jeroglíficos de los días mayas. Juntando ambos calendarios la misma fecha se vuelve a repetir cada 18,980 días, equivalentes a 73 Tzolkines o a 52 años civiles, período de tiempo que los investigadores modernos llaman "Rueda Calendárica". Esto lo podemos ilustrar suponiendo que nuestro actual calendario tuviera una gigantesca semana de 260 días, en lugar de siete, que comenzara con el lunes; supongamos que un año inicia el 1o. de enero y cae en lunes, entonces, e ignorando los años bisiestos, pasarían 52 años civiles, de 365 días, para que volviera a coincidir otro 1o. de enero con un lunes. Se ha pensado que este calendario ritual fue creado en Copán ya que el paso del Sol por el cenit en esta ciudad (ubicada en la lat. 14°57'N) divide al año en dos partes de 260 y 105 días.

Sin embargo, existen inscripciones zapotecas que muestran su utilización en épocas anteriores a Copán (que datan de alrededor del 600 a.C.). Existe la posibilidad de que primero se creó el calendario ritual y después se buscó la localización para la construcción de la ciudad (Aveni,1993).Además este intervalo de 260 días quizá tenga relación con otros sucesos astronómicos, ya que el periodo de apariciones de Venus es de 263 días en promedio y el periodo sinódico de Marte es tres veces 260 días, por citar dos ejemplos.

Sin embargo, al considerar los mayas un año de 365 días su calendario iría perdiendo progresivamente su exactitud, pues el año solar no dura 365 días exactos, por lo que losfechamientos de la Cuenta Larga contienen una serie inicial, que contiene los cálculos deldía a partir de la fecha cero, y una serie complementaria, que contiene información sobrela Luna en la fecha dada. Todas estas cifras hacen que se lleguen a utilizar 10 jeroglíficospara datar cualquier fecha, lo cual hacía que la precisión fuera tan grande que una fechano se volvería a repetir sino hasta pasados 374,440 años. Posteriormente, a fines de la época Clásica, las inscripciones se redujeron a tres jeroglíficos y con ello la precisión se redujo a 19,000 años. Sin embargo, en la época Postclásica se hizo otra reducción creándose la "Cuenta Corta", cuya precisión era de sólo 256 años. John Teeple hace un planteamiento a este respecto en el que cree que los mayas se sintieron lo suficientemente hábiles con sus cálculos astronómicos y calendáricos como para llevar a cabo dichas abreviaciones en las inscripciones (Aveni,1993).Con su sistema numérico los mayas podían ejecutar las cuatro operaciones fundamentales, como nosotros con el sistema decimal, ayudándose para ello con la construcción de tablas de multiplicar y con la utilización de un especie de ábaco constituido por una cuadrícula o tablero matemático, el cual estaba hecho con varas, o pintado en el piso, y se utilizaban semillas o pequeños trozos de varas para representar los números. Al tipo de cuadrícula que utilizó esta cultura se le puede llamar esquema matricial y con éste se pueden llevar a cabo todas las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y algunas otras, como la obtención de raíces. De esta manera las bases del álgebra matricial, comenzada a desarrollar en occidente a finales del siglo pasado, fueron utilizadas por los mayas hace ya muchos siglos (Garcés,1982).Utilizando básicamente estos elementos los mayas estudiaron el cielo, al parecer principalmente en Copán y en Palenque, logrando determinar con gran exactitud algunosperiodos astronómicos como son el mes sinódico lunar, el año trópico y algunos ciclos deeclipses. No utilizaron fracciones como tales pero, como los cálculos astronómicos implicaban su uso, echaron mano de ecuaciones para su representación, lo cual resultaengorroso pero eficaz y, en ocasiones, más exacto que algunos cálculos europeos de esetiempo. De este modo, por ejemplo, en Palenque representaron una lunación utilizando lafórmula 81 lunas=2,392 días, lo que equivale a 29.53086 días, mientras que actualmentese considera que el valor es de 29.53059 días. Siguiendo este método, calcularon y expresaron el año trópico en 365.24038462 días, según Elí de Gortari (1991), o en 365.2420 días, según Guillermo Garcés (1982), con lo que se tiene un error por defectode sólo 0.00181417 días y 0.00019879 días, respectivamente, comparado con el valor actualmente reconocido de 365.24219879 días. Cabe mencionar que dicho valor era más exacto que el cálculo europeo de ese tiempo plasmado en el calendario Juliano, el cual tenía un error por exceso de 0.00780121 días; mientras que el dato proporcionado por Guillermo Garcés resulta aún más exacto que nuestro actual calendario Gregoriano, que tiene un error

por exceso de 0.00030121 días, y que fue implantado un milenio después de los cálculos mayas.

V. De los pensadores a los guerreros: la cultura Azteca.Otra cultura muy importante desarrollada al final del período precolombino en el norte de Mesoamérica es la Azteca. Los aztecas recibieron como un legado parte de la cultura desarrollada en las costas del Golfo de México y Centroamérica, por medio de intercambios comerciales y expediciones guerreras.

El pueblo azteca tiene su origen como tribu chichimeca (de los "bárbaros" del norte) con costumbres nómadas y guerreras, cuya primera señal certera en el Valle de México fue en el año 1256 d.C., en la zona del actual Bosque de Chapultepec, y posteriormente emigraron dentro del valle para finalmente fundar la ciudad de Tenochtitlan en un islote del Lago de Texcoco en el año de 1370 d.C. Pasados 60 años su dominio fue sobre el valle y posteriormente lo extendieron de océano a océano durante los siguientes 90 años (Haberland,1974).En esta zona, a partir de alrededor del siglo X, la numeración tomó tres vertientes: los numerales de puntos y rayas, los numerales con valores astronómicos y los numerales deuso común. Estas tres vertientes estuvieron presentes en la cultura azteca en mayor o menor medida. La vertiente de puntos y rayas no alcanzó mucha difusión, aunque sí se utilizó y prueba de ello son los Códices Vaticano A 3738, el Telleriano Remensis (París) y el Aubin (París) (Garcés,1982). Las dos vertientes restantes quedaron bajo una influencia ideográfica proveniente de la escritura azteca, la cual aún no se desarrollaba, era inicial y "en forma de adivinanza", como dice Haberland (1974).Los numerales con valores astronómicos (figura 4) se desarrollaron en varios centros ceremoniales del Altiplano Central y los aztecas los utilizaron para trasmitir sus conocimientos astronómicos. No cualquiera los podía manejar o entender, eran numerales que sólo las personas con conocimientos al respecto podían descifrar. Cada uno de los símbolos utilizados tiene su interpretación astronómica, por ejemplo, el símbolo que se forma con un cuadro con cinco puntos representa el 8, porque cinco años sinódicos de Venus equivalen a ocho años de 365 días terrestres. Asimismo, existen en ocasiones varios símbolos para un mismo número y también ya aparecen símbolos para representar mitades. Esta vertiente no tiene base numérica alguna, sino que está basada en las observaciones astronómicas y tampoco tiene la característica de ser posicional, aunque los numerales tenían que colocarse en un orden determinado para expresar una serie numérica en particular.

Figura 4. Numerales astronómicos con su valor.(Garcés,1982,174)

La tercer vertiente de los numerales es la que se utilizó en las cuestiones mercantiles, comerciales, estadísticas o de la vida diaria. La lectura de estos numerales estaba al alcance de todos, por su simplicidad, y tenía una base vigesimal, como la mayoría de los sistemas mesoamericanos, pero no tenía la característica de ser posicional. El símbolo utilizado para la unidad era un punto, utilizado por lo general en cuestiones relacionadas con fechamientos y nombres, o un dedo, utilizado principalmente en cuestiones estadísticas; para las veintenas se utilizaba una bandera, llamada cempoalli; para los 400 (20x20) se utilizaba un símbolo que algunos lo interpretan como una rama de pino y otros como un abeto, utilizándose éste por ser "numeroso como el cabello" y se le llamaba tzontli; para los 8,000 (20x20x20) se utilizaba una bolsa de incienso o costal denominado xiquipilli (Vaillant,1960), cantidad usada para el manejo de la moneda en los mercados, algo similar a los millones o miles de pesos actuales (figura 5).

Figura 5. Numerales utilizados por los aztecas.(Vaillant,1960,193-194).

Los números se representaban uniendo estos símbolos de tal manera que no se podían poner más de una veintena de un mismo tipo juntos. No existe valor posicional sino que se utiliza el principio de adición y, al parecer, no existe un orden específico en el que se deben poner.Existen varios manuscritos posteriores a la conquista en los que se presentan otros símbolos y diversos artificios para expresar numerales y fracciones. Uno de estos lo menciona Vaillant (1960) en su obra e incluye expresiones de fracciones por medio del oscurecimiento de mitades o cuartas partes de un punto; denotación del 5, el 10 y el 15poniendo partes de un cempoalli; y la presentación de centenas menores al 400 mediantela presentación incompleta del tzontli. Sin embargo, no es considerado nativo, sino queposee adaptaciones europeas. Otros documentos de este tipo son los que presenta PabloNoriega (1994), como los Códices de Santa María Asunción y Vergara, ambos de la zonade Texcoco, en el cual aparece una simbología diferente, así como la presentación de

fracciones, escrito sobre papel europeo con finalidades básicamente demográficas y catastrales.Existe un punto digno de mención: los aztecas no presentan, o no se ha encontrado, un símbolo que represente el cero. El sistema, por no ser posicional, no tenía necesidad de éste y viceversa. Una de las razones por las que se desarrolló el sistema de numeración azteca era para cuestiones de tipo estadístico, como por ejemplo el registro de la cantidad de tributos que los pueblos sojuzgados entregaban a las metrópolis de la "Triple Alianza". Existen varios de estos documentos y en ellos se registran gran cantidad de datos en los que se presenta el tipo de tributo enlazado con la cantidad por medio de una línea. La importancia de estos documentos para la organización y administración de los tributosque arribaban a la metrópoli era muy grande, ya que las cantidades de algunos materiales era enorme. Por ejemplo, se menciona que llegaban a la ciudad de Tenochtitlan 14,000 cargas de maíz (605.5 toneladas), 105,000 cargas de frijol (4,541.25 toneladas), 36,000 cargas de cañas para flechas (1,557 toneladas) y 187,560 cargas de cobertores de algodón (8,111.97 toneladas), entre otras muchas cosas; sin registros de algún tipo la organización, la administración y la distribución de estos materiales entre una población de alrededor de 300,000 habitantes se hubieran vuelto caóticas.Sin embargo, hay evidencia de que utilizaron un computador manual semejante al ábaco llamado nepohualtzintzin, el cual estaba constituido por un mecanismo móvil de siete hileras con 13 elementos cada una, divididas por una regleta central, de madera, con 39 elementos en la parte superior y 52 en la inferior, los que estaban hechos de jade, oro o madera (Esparza,1978).El calendario azteca tenía la misma estructura que el maya con los únicos cambios en los nombres de los meses y de los días. Por un lado estaba el calendario ritual, llamado tomalpohualli, de 260 días (20 signos relacionados con 13 números) y que era utilizadoprincipalmente para determinar el nombre y la suerte de las personas nacidas en esos días; y por otro lado el calendario civil, de 365 días repartidos en 18 meses de 20 días y un mes (nemontemi o de mala suerte) de cinco días. Estos dos calendarios se repetían tras un ciclo de 52 años, igual que los mayas, llamado xiuhmolpilli.Aunque las dos civilizaciones utilizaron el calendario como medio para determinar los tiempos de los ciclos agrícolas, existen dos diferencias principales que podemos marcarentre ellos, una que se refiere al uso y otra que es de notación. La primera es que los mayas utilizaron el calendario para determinar hechos históricos mientras que los aztecas lo utilizaron para cuestiones de índole adivinatoria y mágica; la segunda diferencia, de notación, es que los mayas utilizaron un sistema en contar los días a partir de un día inicial (el sistema de la Cuenta Larga), mientras que los aztecas enumeraban los años relacionando números con diversos elementos que aparecen dentro de los 20 días del mes.El punto álgido de la astronomía mexica quedó representado en dos monumentos escultóricos: el "Disco de Tizoc" y la "Piedra del Sol" (comúnmente llamada "CalendarioAzteca"). Ambos monumentos presentan diversas mediciones astronómicas y matemáticas que si se hubieran llevado a cabo por medio de únicamente la práctica les hubiera costado casi un milenio de observaciones. Asimismo, las relaciones simétricas y geométricas de ambos monumentos son muy impresionantes, así como su composición artística.El disco de Tizoc tiene como principal dato el tiempo entre uno y otro tránsito del planeta Venus por el disco solar, así como el ciclo de este planeta, lo cual era considerado muy importante en los ciclos calendáricos. Por otro lado, la Piedra del Sol tuvo tal importancia en la astronomía y cosmovisión azteca que Guillermo Garcés (1982) lo identifica como "la

culminación de la Astronomía del México Precolombino", mientras que George Vaillant (1960) menciona que "da forma a un resumen finito del infinito universo azteca". Este monumento fue descubierto en 1790 y desde entonces ha sido estudiado, llegándose a la conclusión de que es un reloj cósmico que registra movimientos planetarios, eclipses, lunaciones y movimientos astronómicos. Su estructura es de diez anillos concéntricos, llamados "círculos", más otro que se localiza en su canto. Cada uno de los círculos tiene una interpretación tanto matemática-astronómica como religiosa y algunos círculos se pueden combinar parcialmente entre sí para aportar más datos matemáticos y astronómicos.Sin embargo, todos estos conocimientos, y otros muchos más, se vieron truncados el día ce coatl del año yei calli (13 de agosto de 1521 en cristiano), pues la ciudad de Tenochtitlan cayó ante el invasor español, marcándose con ésto el fin irremediable de los reinos del norte de Mesoamérica, así como la pérdida de una gran cúmulo de conocimientos y el inicio de la dominación española en México.

VI. Bibliografía consultadaAveni, Anthony F. (1993). Observadores del cielo en el México antiguo. México: Fondo de Cultura Económica.Esparza Hidalgo, David (1978). Nepohaultzintzin. México: Editorial Diana.Garcés Contreras, Guillermo (1982). Pensamiento matemático y astronómico en el México precolombino. México: Instituto Politécnico Nacional.Gortari, Elí de (1991). La ciencia en la historia de México. México: Editorial Grijalbo. (Colección "Tratados y Manuales Grijalbo". 4a. edición).Haberland, Wolfgang (1974). Culturas de la América Indigena. Mesoamérica y América Central. México: Fondo de Cultura Económica.Morley, Sylvanus G. (1983). La civilización maya. México: Fondo de Cultura Económica.Noriega B., Pablo (1994). "El Códice de Santa María Asunción". Arqueología Mexicana, v.II, n.8 (junio-julio), pp: 74-79.Sotelo Santos, Laura Elena (1997). "Los códices mayas". Arqueología Mexicana, v.IV, n.23 (enero-febrero), pp: 34-43.Soustelle, Jacques (1982). El universo de los aztecas. México: Fondo de Cultura Económica.Thompson, John Eric Sidney (1994). Grandeza y decadencia de los mayas. México: Fondo de Cultura Económica.Vaillant, George C. (1960). La civilización azteca. México: Fondo de Cultura Económica.Willerding, Margaret F. (1971). "Los numerales indoarábigos", en Lara Aparicio, Miguel. Antología de Matemáticas. México: Universidad Nacional Autónoma de México. Pp: 53-57. (Colección "Lecturas Universitarias" No. 7).

La primera señal certera de los Aztecas en el Valle de México fue en el año 1256 d.C. Los aztecas llegaron a Mesoamérica y adaptaron algo de la cultura que existieron, especialmente de los habitantes toltecas ya establecidos en el Valle de México. En consecuencia, hay parecidos con las culturas anteriores en algunos símbolos de los Aztecas.

Los Números Aztecas.

Los Aztecas escribían usando la escritura pictórica, que contuvo unos símbolos similares a los caracteres usados por los egipcios antiguos y los chinos antiguos. Todos los símbolos eran dibujos como ideogramas. Cada objeto expresó su propia naturaleza, y también las ideas relacionadas y subyacentes.

Su sistema numérico contó de veinte en veinte. Unos números básicos tienen unos ideogramas o glifos Aztecas. Éstos eran los números para el uso diario y común:

Números Representación1 Un punto u ocasionalmente un dedo o el objeto mismo.2-19 Dos o más puntos o dedos o los objetos mismos.20 Una bandera (pantli o cenpantli).400 (20 x 20) Un pelo o una pluma del ave o un abeto.8,000 (20 x 20 x 20) Un costal (o xiquipilli o cenxiquipilli) o una bolsa adornada

con borlas. Se imaginaba que contenía 8,000 judías de cacao.

Por ejemplo, unos 400 mantas del algodón fueron representadas por el símbolo jeroglífico para una manta del algodón debajo de un símbolo para 400.

Estos números comunes aparecieran en unos Códices, para mostrar los tributos que los Aztecas (como la mafia) exigieren.

Sin embargo, Osorio informa que no había solamente una numeración, sino tres "vertientes":

Los numerales de uso común, lo que ya describí. Los numerales de puntos y rayas. Una raya es equivalente a cinco

puntos. Los numerales con valores astronómicos.

Los numerales con valores astronómicos se desarrollaron en unos centros ceremoniales. Los Aztecas los utilizaron para transmitir sus conocimientos astronómicos. El sistema está basado en las observaciones astronómicas. Sólo las personas con conocimientos podían descifrar estos numerales. Cada uno de los símbolos tiene su interpretación astronómica.

Por ejemplo, Osorio (7) reporta un símbolo que se formó con un cuadro con cinco puntos; dijo que esta forma "representa el 8, porque cinco años sinódicos de Venus equivalen a ocho años de 365 días terrestres".

2. Los Días Aztecas.

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Los Aztecas asignaron nombres con los respectivos pictogramas a los 20 días diferentes. A veces, referencias diferentes sugieren nombres un poco diferente pero esencialmente el mismo, o sugieren pictogramas diferentes. Por ejemplo, aquí esta una imagen por Cóatl (serpiente), el símbolo para el quinto día: (8)

Los 20 nombres y pictogramas por los 20 días son (de (5) que es una copia de una ilustración en el libro de Valliant (9)):

Los aztecas tenían dos calendarios, el calendario solar y el calendario lunar. En este ensayo, sigo Valliant, y utilizo "mes" para el grupo de 20 días en el calendario solar y la "semana" para el grupo de 13 días en el calendario lunar.

1. El calendario solar, mundano y civil de 365 (o 366) días. Este año recibía el nombre de xiuhmilpilli. El año solar había 20 días en cada de 18 meses al año, que sumaban 360 días. Para completar los 365 días del año solar añadían al final del año los 5 (o 6) días (llamados nomentemis) que dedicaban al placer y la diversión.

2. El calendario lunar, ceremonial y religioso de 260 días. Este año recibía el nombre de tonalpohualli en náhuatl (la "cuenta de los días"). Este año sagrado contuvo 13 días en cada de las 20 semanas. Un ciclo de 20 semanas fue 260 días (13 multiplicado por 20) y así creada una unidad básica.

El primer signo de un día es "Lagarto". Por eso el primer día del tonalpohualli (el calendario lunar) se llama "1 Lagarto", la combinación del primer número con el primero

de los veinte signos. Así, se cuenta consecutivamente (recomenzamos en 1 después de que se haya alcanzado 13):

Semana 1

1 Lagarto, 2 Viento, 3 Casa, 4 Lagartija, 5 Serpiente, 6 Muerte, 7 Venado, 8 Conejo, 9 Agua, 10 Perro,

11 Mono, 12 Hierba torcida, 13 Caña

Semana 2

1 Jaguar, 2 Águila, 3 Zopilote, 4 Movimiento, 5 Pedernal, 6 Lluvia, 7 Flor, 8 Lagarto, etcétera.

Entonces, el primer mes del tonalpoalli comenzó con día numero uno, 1 Lagarto. El segundo mes comenzó con el día que se llamaba 1 Jaguar. El último de los veinte días (flor) era el séptimo día del segundo mes. Entonces la serie continuó otra vez con Lagarto como "8 Lagarto ".

Los nombres de los 20 semanas lunares significaron para cada uno el siguiente: (1)

1 flecha 2 tigre 3 águila 4 cuervo 5 los cuatro movimientos del sol

6 pedernal

7 lluvia 8 flor 9 serpiente armada de arpones

10 Ehecatl (el gran dios Ketzalcoatl en figura de viento)

11 casa 12 lagartija

13 culebra

14 muerte 15 venado

16 conejo 17 agua 18 perro 19 mona 20 hierba

Los dos calendarios aparecen en muchas civilizaciones, como los británicos antiguos cerca de Stonehenge. Para los aztecas, como para los británicos antiguos, la combinación de los dos calendarios produjo un ciclo de 52 años. Gonzáles (6) demuestra cómo el calendario solar se enclavija con el calendario lunar, para crear el ciclo de 52 años.

Como todos los calendarios calculaba en base de la rotación de la tierra alrededor del sol, los calendarios aztecas son inexactos. A veces se hicieron correcciones y ajustes.

3. Los Dioses Aztecas.¡Compre Libros Españolos en Amazon!

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Fernández (3) enumera a casi 200 dioses y diosas. Y el texto de Fernández no es completo.

El dios primigenio se llama Moyocoyani , "el que se creó a sí mismo". El se inventó para constituir el principio. Se reúnen en él los opuestos, como espíritu y materia, fuego y agua, masculino y femenino, de lo positivo y de lo negativo. Por eso, el dios se llama Ometeotl, "Dios de la dualidad", el creado y el destructor. Este principio supremo aparece en una serie de manifestaciones, como dioses independientes, pero son solamente las fases y las formas del solo principio.

En detalle "se manifiesta simultáneamente como Ometecuhtli, "Señor de la dualidad" y Omecihuatl, Señora de la dualidad". Son la Pareja Creadora, dioses de la creación y de la vida. También se manifiesta simultáneamente como Michtlantecuhtli, "Señor de la muerte" y Michtecacihuatl, "Señora de la muerte".

La pareja creadora procrea cuatro hijos llamaban:

Tlatlauhqui (Xipe Totec o Camaxtle) Omiteotl-Inaquizcoatl (Huitzilpochtli) Iztauhqui (Quetzalcoatl - La Serpiente Emplumada), el blanco,

del oeste. Yayauhqui (Tezcatlipoca Yaotl), el negro, del norte.

Hay muchos más dioses. Un dios se asoció con

Cada uno de los 20 días Cada uno de las 20 semanas en el calendario lunar Cada uno de los 18 meses en calendario solar Cada hora del día Cada hora de la noche.

Por ejemplo los dioses que se asignan a los días primeros son éstos: (9)

DíaNombre del día

Número Significado posible

1 Lagarto (cocodrilo) Tonacatecuhtli Señor de Nuestra Subsistencia, Dios creador.

2 Viento Quetzalcóatl Serpiente, Emplumada, Dios del Cielos, Dios del Saber

3 Casa Tepey óllohtli Corazón de los montes, un Dios de la Tierra

4 Lagartija Huehuecóyotl Coyote viejo, Chismoso

5 Serpiente Chalchihuitlicue Señora del manto enjoyado, Diosa del Agua

6 Muerte Tecciztécatl El de caracol marino, Dios de la Luna.

Referencias1. Anónimo. El Calendario Azteca.

http://www.elalmanaque.com/Calendarios/azteca.htm España. 2003. 2. Araujo, Mario. Libros, documentos y escritura Azteca.

http://www.azteca.net/aztec/nahuatl/writingsp.html. Estados Unidos. 1996

3. Fernández, Adela. Dioses Prehispánicos de México, 1992. 4. Ferras, Víctor M. Castillo, y otros. La Matrícula de Tributos en Arqueología

Edición Especial Numero 14. México. 2003. 5. Fondo de cultura económica, México. Códice borbónico. (Algunas notas

están aquí. http://hemi.ps.tsoa.nyu.edu:8000/course-nyu/conquest/materials/images/html/borcalendar.html ). México. 1991.

6. Gonzáles, Federico. El Simbolismo Precolombino. Argentina.2003. 7. Osorio , Víctor Larios. Sistemas numéricos en el México prehispánico,

Revista Eureka, No. 15, páginas 26-39. (También http://www.uaq.mx/matematicas/vlarios/xart08.html). México. Marzo 2000.

8. Saad, Miguel Navarro. Entre los calendarios gregoriano y azteca. www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/calendarios/calazt.html. México. 2000.

9. Valliant, George C. La Civilización Azteca. Estados Unidos. 1941. Traducido más adelante a español y publicado en México. )

Relación entre los calendarios gregoriano y azteca

RESUMEN.

Aunque la cuenta de los días y de los meses que formaban un año solar tenía entre los nahuas menor importancia que el calendario de los vaticinios (Tonalpohualli), presentamos el año solar azteca por la facilidad de adaptarlo al calendario gregoriano (que rige a la cultura occidental en su mayor parte). El interés principal que tiene este trabajo es divulgar el arte prehispánico en México, y no establecer o apoyar algún criterio científico o técnico sobre cómo medían el tiempo los antiguos mexicanos.

El calendario solar azteca es un ciclo de 52 años que se divide en cuatro trecenas de años, cada uno diferenciado de los otros mediante la asignación cíclica de uno de los jeroglíficos Técpatl (pedernal), Calli (casa), Tochtli (conejo) o Ácatl (carrizo) y uno de los dígitos del 1 al 13 (representados con puntos).

Cada año azteca o Xíhuitl consta de 18 meses, de 20 días cada uno, y un mes con sólo cinco días y seis horas (Nemontemi) llamados Cempohuallis. Un posible

significado para cada uno de los nombres de los meses es el siguiente (véanse [Del Paso y Troncoso, pp. 106 y ss.] y [Sahagún]):

Los días aztecas se agrupan en trecenas que se relacionan uno a uno con 20 jeroglíficos en forma cíclica, excepto los cinco días y seis horas del mes Nemontemi, que carecen tanto de numeral como de numen.

Los trece numerales se representan mediante un número correspondiente de puntos, y los nombres que se les asignan son:

Los nombres de los númenes son:

Supuesto que cada año azteca tiene 365 días y 6 horas, éstos se suceden comenzando a diferente hora del día en un periodo de cuatro años. Así, los años Tochtli comienzan al amanecer o Iquiza Tonatiuh, los años Ácatl al mediodía o Nepantla Tonatiuh, los años Técpatl al anochecer u Onaqui Tonatiuh y, finalmente, los años Calli a la media noche o Yohualnepantla.

El criterio de conciliación de fechas entre los calendarios azteca y gregoriano parte de la fecha Ce Cóatl, Tlaxochimaco, Yei Calli (día uno serpiente, del mes en que se celebra la fiesta de las flores, del año tres casa), o 13 de agosto de 1521 (del calendario juliano), en que los españoles tomaron la ciudad de Tenochtitlan.

Los dibujos y los colores de los númenes se hicieron tomando como base los jeroglíficos que aparecen en el Códice Borgia, comentado por Seler y editado por el FCE [Seler], sin deseo de copiar o igualar la calidad de aquéllos. Deseamos enfatizar que en este trabajo no se pretende establecer o apoyar criterio alguno sobre cómo medían el tiempo los aztecas.

Consulta realizada en: Saad, Miguel Navarro. Entre los calendarios gregoriano y azteca.

http://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/calendarios/calazt.html México. 2000.