LA SOLUCION AL ENCONTRAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE ARCO EN UNA

FUNCION

CALCULO INTEGRAL

HAY DOS CASOS EN LOS QUE SE PUEDE CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO.

HAY EN OCASIONES EN LOS QUE LA LONGITUD DE ARCO SE PUEDE DETERMINAR POR LA INTEGRAL DEFINIDA PERO EN OTROS CASOS NO SE PUEDE Y PARA ELLO SU SOLUCION ES UTILIZANDO INTEGRALES ELIPTICAS PERO ANTES DE UTILIZAR ESO HAY OTRA MANERA DE RESOLVERLO Y ESA ES LA FORMULA PARABOLICA

(FORMULA SIMPSON).

VEAMOS UNOS EJEMPLOS…!!!

FORMULA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO

𝐿 = 𝑎𝑏

1 + 𝑓′𝑥

2𝑑𝑥

DONDE

a: es el limite inferior

b: es el limite superior

f ’(x): es la derivada de la función

L: es la longitud de arco en donde no tiene unidades

CALCULAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE LA SIGUIENTE FUNCION 𝑦 = 𝑥2 + 10 CON UN INTERVALO DE [-1,4]

SOLUCION:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 10

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥

𝐿 = 𝑎𝑏

1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = −14

1 + 2𝑥 2𝑑𝑥 = −14

1 + 2𝑥 2𝑑𝑥

−14

1 + 2𝑥 2𝑑𝑥

𝑣2 = 4𝑥2 𝑎2 = 1

𝑣 = 2𝑥 𝑎 = 1

𝑑𝑣 = 2𝑑𝑥

−14

1 + (2𝑥)2𝑑𝑥 =1

2 −14

1 + (2𝑥)2 2𝑑𝑥

=1

2

2𝑥

21 + (2𝑥)2+

1 2

2ln 2𝑥 + 1 + (2𝑥)2 + 𝐶

=2𝑥

41 + (2𝑥)2+

1

4ln 2𝑥 + 1 + (2𝑥)2 + 𝐶

4

−1

=2(4)

41 + (2 4 )2+

1

4ln 2(4) + 1 + (2 4 )2 + 𝐶 −

2(−1)

41 + 2(−1) 2 +

1

4ln 2(−1) + 1 + 2(−1) 2 + 𝐶

=8

41 + 8 2 +

1

4ln 8 + 1 + 8 2 + 𝐶 −

−2

41 + −2 2 +

1

4ln −2 + 1 + −2 2 + 𝐶

= 2 1 + 64 +1

4ln 8 + 1 + 64 + 𝐶 − −0.5 1 + 4 +

1

4ln −2 + 1 + 4 + 𝐶

= 2 65 +1

4ln 8 + 65 + 𝐶 − −0.5 5 +

1

4ln −2 + 5 + 𝐶

= (2)(8.062) +1

4ln 8 + 8.062 + 𝐶 − −0.5 (2.236) +

1

4ln −2 + 2.236 + 𝐶

= 16.124 +1

4ln 16.062 + 𝐶 − −1.118 +

1

4ln 0.236 + 𝐶

= 16.124 + 0.694 + 𝐶 − −1.118 − 0.361 + 𝐶

= 16.818 + 𝐶 − −1.479 + 𝐶

= 16.818 + 𝐶 + 1.479 − 𝐶

𝐿 = 18.297

GRAFICA DE ESA FUNCION

CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION 𝑦 = 5𝑥2 + 9𝑥 − 1 CON UN INTERVALO DE [4,12]

SOLUCION:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 + 9𝑥 − 1

𝑓′ 𝑥 = 10𝑥 + 9

𝐿 = 𝑎𝑏

1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = 412

1 + 10𝑥 + 9 2𝑑𝑥

412

1 + 10𝑥 + 9 2𝑑𝑥

𝑣2 = 10𝑥 + 9 2 𝑎2 = 1

𝑣 = 10𝑥 + 9 𝑎 = 1

𝑑𝑣 = 10𝑑𝑥

1

10 412

1 + 10𝑥 + 9 2 10𝑑𝑥

=1

10

10𝑥+9

21 + 10𝑥 + 9 2 +

1 2

2ln 10𝑥 + 9 + 1 + 10𝑥 + 9 2 + 𝐶

=10𝑥+9

201 + 10𝑥 + 9 2 +

1

20ln 10𝑥 + 9 + 1 + 10𝑥 + 9 2 + 𝐶

12

4

=10(12)+9

201 + 10 12 + 9 2 +

1

20ln 10(12) + 9 + 1 + 10 12 + 9 2 + 𝐶

−10 4 +9

201 + 10 4 + 9 2 +

1

20ln 10 4 + 9 + 1 + 10 4 + 9 2 + 𝐶

=120+9

201 + 120 + 9 2 +

1

20ln 120 + 9 + 1 + 120 + 9 2 + 𝐶

−40+9

201 + 40 + 9 2 +

1

20ln 40 + 9 + 1 + 40 + 9 2 + 𝐶

=129

201 + 129 2 +

1

20ln 129 + 1 + 129 2 + 𝐶 −

49

201 + 49 2 +

1

20ln 49 + 1 + 49 2 + 𝐶

=129

201 + 16641 +

1

20ln 129 + 1 + 16641 + 𝐶 −

49

201 + 2401 +

1

20ln 49 + 1 + 2401 + 𝐶

=129

2016642 +

1

20ln 129 + 16642 + 𝐶 −

49

202402 +

1

20ln 49 + 2402 + 𝐶

=129

2016642 +

1

20ln 129 + 16642 + 𝐶 −

49

202402 +

1

20ln 49 + 2402 + 𝐶

= 6.45 129.004 +1

20ln 129 + 129.004 + 𝐶 − 2.45 49.01 +

1

20ln 49 + 49.01 + 𝐶

= 832.0758 +1

20ln 258.004 + 𝐶 − 120.0745 +

1

20ln 98.01 + 𝐶

= 832.08 + 0.28 + 𝐶 − 120.07 + 0.23 + 𝐶

= 832.36 + 𝐶 − 120.30 + 𝐶 = 832.36 + 𝐶 − 120.30 − 𝐶

𝐿 = 712.06

GRAFICA DE ESA FUNCION

CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION 𝑦 = 𝑥3 A PARTIR DE X=0 HASTA X=4

SOLUCION:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥3

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2

𝐿 = 𝑎𝑏

1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = 04

1 + 3𝑥2 2𝑑𝑥

04

1 + 3𝑥2 2𝑑𝑥

𝑣2 = 3𝑥2 2 𝑎2 = 1

𝑣 = 3𝑥2 𝑎 = 1

𝑑𝑣 = 6𝑥 𝑑𝑥

PARA ESTE TIPO DE CASOS NO SE PUEDE RESOLVER ESTA INTEGRAL CON FORMULAS DIRECTAS. ASI QUE NUESTRA UNICA SOLUCION ES UTILIZAR LA

FORMULA SIMPSON YA QUE ES LA MAS APROXIMADA O EN OCASIONES EXACTA AL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

PARA ELLO, DETERMINAREMOS EL INCREMENTO. PARA ESTE NUMERO DE RECTANGULOS DEBE DE SER LO MENOR POSIBLE (ES DECIR TENER MENORES VALORES PARA “X”) YA QUE

SE OBTIENE UN RESULTADO EXACTO O MUY APROXIMADO.

∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛=

4−0

2=

4

2= 2

LUEGO, ENCONTRAR LOS VALORES DE “Y” UTILIZANDO LA NUEVA FUNCION (DONDE FUE OBTENIDA EN LA SUSTITUCION DE VALORES EN LA FORMULA DE LA LONGITUD DE ARCO)

A LA QUE SE LE ASIGNARA “k” A LA FUNCION 𝑘 = 1 + 3𝑥2 2

𝑘 = 1 + 3𝑥2 2

X k

0 1

2 12.042

4 48.010

𝐿 =∆𝑥

3𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛

𝐿 =2

31 + 4 12.042 + 48.010

=2

31 + 48.168 + 48.010

=2

397.178

𝐿 ≈ 64.7

GRAFICA DE ESA FUNCION

BIBLIOGRAFIAS

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097