ECUACIONES NO LINEALES

LOCALIZACION DE RAICES

Para iniciar la solucin de ecuaciones no lineales por los mtodos que se describirn es

indispensable, conocer el intervalo de localizacin de las races ba, , o punto inicial a,

este es un requisito para poder dar solucin a la ecuacin, pero previamente hay que

verificar la existencia de la raz en este intervalo mediante la proposicin:

0)(*)( bfaf

Consideremos una funcin:

)(xfy

La cual es continua en un intervalo ba, dentro del cual si se encuentra por lo menos una

raz o cero para 0)( xfy

Para la localizacin se procede de la siguiente forma:

a) La funcin considerada 0)( xfy se descompone en otras dos, de modo que

puede expresarse )()( 21 xfxf

La eleccin de esta descomposicin de funciones depender de la convergencia del

usuario ya sea por su rapidez de clculo o por su similitud con las formas geomtricas

ms populares conocidas, recta, circulo, parbola, exponencial, logartmica, etc.

b) Haciendo una tabulacin y empleando una escala sencilla graficar cada una de las

funciones halladas.

c) Teniendo en cuenta la exactitud que tenga el grafico y las escalas utilizadas, sera

posible ubicar un cierto intervalo ba, en la proyeccin del eje X, dentro del cual se

interceptan las graficas de las funciones halladas.

d) Es evidente que el valor de x para el cual ambas curvas se interceptan ser una raz de

0)( xfy

Ejemplo: localizacin de las races de la ecuacin:

a) 02 xe x , entonces

xexf )( , xxg 2)(

b) 1arctan)( xxxf entonces xxf arctan)( , xxg 1)(

c) )ln()( xexf x , entonces xexf )( )ln()( xxg

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ECUACIONES NO LINEALES

Cuando se estudia una parte del mundo real a travs de un sistema fsico, es comn que se

obtenga una ecuacin no lineal cuya solucin analtica es difcil o imposible de obtener.

Tales ecuaciones se clasifican como algebraicas o trascendentes y su solucin o raz

buscada se puede estimar por medio de mtodos numricos.

En el diseo en ingeniera se utilizan un conjunto de principios fundamentales (balances o

conservacin del calor, masa, fuerza y energa, as como las leyes del movimiento y de

Kirchhoff) de cuya aplicacin a un sistema en particular se deducen ecuaciones

matemticas o modelos predictivos de ciertas variables dependientes, en funcin de

variables independientes y de parmetros o caractersticas constantes del sistema.

La solucin a tal problema est a travs de los mtodos numricos, dando a la ecuacin la

forma f(x)=0, de manera que el valor de x que hace que se cumpla es la raz buscada. Tales

races pueden ser reales o complejas.

Por ejemplo las vibraciones en sistemas mecnicos (el tono que puede hacer que un

determinado objeto de vidrio se rompa, las condiciones del viento que hacen que un avin

pueda volar o que hacen vibrar un puente suspendido en el aire), la variacin con respecto

al tiempo de la carga o la intensidad en sistemas elctricos, el movimiento de una partcula

de mas sobre la que actan una o varias fuerzas, etc. Pueden determinarse resolviendo la

ecuacin diferencial de orden n

0... 0|

1

||

2

1

1

ayayayayan

n

n

n

Se trata de hallar los valores de x que satisfacen la ecuacin. Esto es los valores se llaman

ceros de la funcin f o races de la ecuacin f(x)=0 y se denotan x*. Grficamente los

ceros de una funcin son los puntos de interseccin de la grafica y=f(x) con el eje X.

El clculo de las races de una ecuacin es uno de los problemas matemticos que ha

recibido un tratamiento ms preferente a lo largo de la historia- de hecho a motivado la

aparicin de diferentes tipos de nmeros.- pero su importancia escapa del puro inters

matemtico. Muchos problemas de la ingeniera de la tcnica y, en general, de la ciencia

pueden ser formuladas en forma de ecuacin. Problemas de optimizacin, de construccin

de cuadraturas o de lados mediante ecuaciones diferenciales llevan frecuentemente a la

necesidad de resolver ecuaciones. De hecho si resolver una ecuacin fuera fcil, muchos

otros problemas serian tambin fciles de resolver.

Nuestro inters se centra en las races reales. Desde luego no queremos decir que no es de

inters el clculo de races complejas, pero esto es comparativamente un problema raro.

Numerosos modelos matemticos provenientes del planteamiento de los fenmenos fsicos

y qumicos, resultan en una ecuacin algebraica no lineal, normalmente de grado 2 o de

mayor grado, y en muchos casos con exponentes fraccionarios.

La raz de una ecuacin es el valor de x que hace 0)( xfy

Existen muchas funciones donde las races no se pueden determinar tan fcilmente.

I. METODO DE LA BISECCION O METODO DE BOLZANO, DE CORTE

BINARIO O DE PARTICION EN DOS INTERVALOS IGUALES.

Es un mtodo de convergencia lento, pero aplicable en muchos problemas.

Una desventaja de este mtodo es el requerimiento de dos puntos iniciales para iniciar

el proceso iterativo.

Es un mtodo que usa un intervalo para buscar la raz, donde la funcin cambia de

signo.

En este mtodo solo se requiere evaluar la funcin en diversos puntos.

Suponga una funcin, 0)( xf se debe conocer un intervalo 21, xx tal que )( 1xf y

)( 2xf deben tener signos contrarios.

Si la funcin es continua en ese intervalo entonces existe una raz )(xf entre 1x y 2x

Una vez determinado el intervalo 21, xx y asegurada la continuidad de la funcin en

dicho intervalo, se evala esta en el punto medio mx del intervalo como la figura

221 xxxm

Si )( mxf y )( 1xf tienen signos contrarios, se reducir el intervalo de 1x a mx ,

luego se hace 2xxm

Se procede del mismo modo hasta satisfacer los criterios de convergencia que se

establecen previamente.

El requisito bsico para que sea aplicable el mtodo es que la funcin sea continua

entre los lmites inferior y superior, y que nicamente tenga una sola raz.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Primeramente se establece una tolerancia ya sea para la variable x o para la funcin

)(xf , dependiendo de los valores de las propiedades fsicas motivo de estudio, esto

es Tol (1) y Tol (2)

CRITERIO 1:

ERROR 1= )1()( 1 TolXXAbs kk

CRITERIO 2:

ERROR 2= )2())(( TolxfAbs

Si se cumple alguno de estos criterios se habr encontrado la solucin, de lo

contrario, se continuara iterando.

El problema de la bsqueda de races, consiste en obtener una raz o solucin de una

ecuacin de la forma 0)( xf para una funcin dada f

El mtodo de biseccin o bsqueda binaria se basa en el teorema del valor

intermedio.

El mtodo termina cuando se alcanza la precisin )1()( 1 TolXXAbs kk

La tolerancia comn es 0.0001

Otra manera de concluir la iteraciones es cuando la funcin f(x) es ya muy cercana a

cero.

1. Determinar la raz de Lnxexfx )( , con 6 cifras significativas, hasta un

%1a en 5.1,1

2. Determinar la raz de 1tan)( xxArcxf , con 8 decimales, hasta un

%50,1a en 1,0

3. Determinar la raz de 104)(23 xxxf , con 8 decimales, hasta un %1a

en 2,1

4. Encuentre la raz real positiva de 2)( xLnxxf , con 8 decimales, hasta un

%1a en 4,2

II. METODO DEL PUNTO FIJO, MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS,

ITERACIN SIMPLE E ITERACIN DE PUNTO FIJO.

Es un mtodo de fcil implementacin y tiene la ventaja adicional de requerir un solo

punto inicial para el proceso iterativo

A la funcin 0)( xf se le adiciona x

)(

)(

)(

xgx

xxg

xxxf

Se encuentra una solucin aproximada, es decir se asume un valor tal Xo que permite

calcular

)( 01 xgx

Esta ecuacin puede generalizarse como:

....2,1,0);(1 kxgx kk

INTERPRETACION GEOMETRICA Y CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Supongamos que los valores obtenidos pueden disponerse del siguiente modo:

Un modo prctico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la

distancia entre ellos.

iii xxd 1 Si la sucesin ni dddd ....,, 32 tiende a cero, la solucin va convergiendo a la raz x*,

debe continuarse hasta que id

COMPORTAMIENTO GEOMETRICO DEL METODO

Cuando 1)( 0| xg el mtodo converge a la raz.

Cuando 1)( 0| xg el mtodo diverge.

Xo X1 X2 X*

CONVERGENCIA MONOTONA

DIVERGENCIA MONOTOMA

1)(0 | xg

0)(1 | xg

1)(| xg

1. Se parte de la inicial 0x , de donde se levanta una lnea perpendicular al eje X hasta

tocar la curva )(xgy de aqu se traza una paralela al eje X hasta interceptar la

recta xy , una vez en este punto se traza otra perpendicular al eje X, hasta tocar

a este, en cuyo punto ubicamos nuestra nueva aproximacin 1x , y as sucesivamente

hasta llegar a la solucin de la ecuacin que ser aquel punto donde se interceptan la

recta xy y la curva )(xgy .

2. El sistema converge ms rpidamente si los valores de )(| xg estn ms alejados de

la unidad, pues un valor menos prximo a esta dara una convergencia lenta.

3. Si 1)(| xg , el sistema no converge ni diverge, ser el caso en que la curva

)(xgy se hace paralela a la recta xy .

PROCEDIMIENTO DEL METODO

1. Se despeja de la ecuacin no lineal a la incgnita, en caso de que sea difcil por el

tipo de funcin de que se trate puede hacerse simplemente agregando la incgnita a

cada lado de la ecuacin si se tiene ya la funcin igualada a cero.

)()( xgxxxf

Que da la x despejada.

2. Se define la aproximacin inicial 1x

3. Se sustituye la aproximacin inicial en la ecuacin original para obtener la )(xg

la cual se convierte en la nueva aproximacin.

)(1 ii xgx

4. Se efecta la prueba de convergencia, definida por la ecuacin.

1

1

i

ii

x

xx

Si se satisface la convergencia, se ha resuelto el problema, siendo la solucin del

mismo.

1. Determinar la raz real positiva de 2)( xexfx

, con 8 decimales, hasta un

4

1 101

xxxAbs ii en 2,1

2. Determinar la raz real positiva de 2)( xLnxxf , aplicando el mtodo del

punto fijo, con una tolerancia 41 101

xxxAbs ii con 8 decimales en 3,2

III. METODO DE NEWTON RAPHSON O MTODO DE LAS TANGENTES

Se puede deducir grficamente a travs de la serie de Taylor.

Principio de funcionamiento: desde un punto inicial 1x cercano a la raz se traza la

pendiente a la funcin y por el punto donde dicha tangente corta al eje X. se obtienen

una mejor aproximacin a la raz, el proceso de repite hasta obtener la aproximacin

deseada.

Este mtodo es efectivo, no trabaja en un intervalo sino que basa su frmula en un

proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximacin que ix a la raz rx de )(xf

Trazamos la recta tangente a la curva en ))(,( 11 xfx , esta cruza al eje X en 1ix que

ser nuestra siguiente aproximacin a la raz rx para calcular 1ix , calcularemos

primero la ecuacin de la recta tangente.

)(| ixfm

))(()(: | iiiT xxxfxfyL

Haciendo y=0

))(()( ! iii xxxfxf

Despejando x

Lt

Xi Xi+1

))(()()( || iiii xxfxxfxf

xxfxfxxf iiii )()()(||

)(

)()(|

|

i

iii

xf

xfxxfx

)(

)(|

i

ii

xf

xfxx Frmula iterativa de Newton Raphson

Para calcular la siguiente iteracin:

0)(;)(

)( !!1

kk

kkk xf

xf

xfxx

En el caso que 0)(| kxf , el mtodo no se puede aplicar esto significa que la recta

tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje X en ningn punto, al menos

que coincida con este, en cuyo caso 1x mismo es una raz de )(xf .

CRITERIO DE CONVERGENCIA

El mtodo converger si

1

)(

)()()(

2

0

|

0

||

00

| xf

xfxfxg

0x : Aproximacin inicial.

1. Aplicar el mtodo de N-R para aproximar la raz de Lnxexfx )( ,

comenzando con 10 x , hasta %1a (9 decimales)

2. Aplicando el mtodo de N-R determinar la raz de 53)(3 xxxf , con un

error de aproximacin de 7101 x (7 decimales)

3. Aplicar el mtodo de N-R para aproximar la raz de xexxf )( , con un error de

aproximacin de 7101 x (7 decimales)

IV. METODO DE REGULA FALSI, FALSA POSICION - METODO DE INTERPOLACION LINEAL INVERSA

Un inconveniente del mtodo de biseccin es que al dividir el intervalo de ix a ux en

mitades iguales, no se toman en consideracin las magnitudes de )( ixf y )( uxf

Un mtodo iterativo que aprovecha esta visualizacin consiste en unir )( ixf y

)( uxf con una lnea recta.

La interseccin de esta lnea con el eje de las X representa una mejor aproximacin

de la raz. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta da una falsa

posicin de la raz.

Este mtodo es una combinacin de los mtodos de la biseccin y la Secante, pues

consiste en definir dos aproximaciones iniciales ix a ux cuyas funciones )( ixf y

)( uxf resultan de signos contrarios. Del punto ))(,( ii xfx se traza una recta al punto

))(,( uu xfx en el sitio donde esta recta interseca la eje X, ah se coloca la nueva

aproximacin 3x y as sucesivamente hasta lograr la convergencia.

Por tringulos semejantes

ur

u

ir

i

xx

xf

xx

xf

)()(

))(())(( iruuri xxxfxxxf

))(())(( iruuri xxxfxxxf

iuruuirixxfxxfxxfxxf )()()()(

iuuirurixxfxxfxxfxxf )()()()(

iuuiuirxxfxxfxfxfx )()()]()([

)()(

)()()()(

ui

iuuuuiiur

xfxf

xfxxxfxfxxfxx

)()(

])[(

)()(

)]()([

ui

uiu

ui

uiur

xfxf

xxxf

xfxf

xfxfxx

)()(

])[(

ui

uiuur

xfxf

xxxfxx

El valor de rx reemplazara despus a cualquier de los dos valores iniciales ix o ux y

da un valor de la funcin con el signo de )( rxf . De esta manera los valores de ix y

ux siempre encierran la verdadera raz. El proceso se repite hasta que la aproximacin

a la raz sea adecuada.

1. Determinar el coeficiente de arrastre C, necesario para que un paracaidista de masa

kgm 1,68 , tenga una velocidad de sm /40 ; despus de una cada libre de segt 10 ,

( 2/8.9 smg )

veC

gmcf

tm

C

)1()()(

La concentracin de bacterias contaminantes C, en un lago decrece de acuerdo con la relacin

tt eeC 075.05.1 2570 Determinar el tiempo requerido para que la concentracin de bacterias se reduzca a 9,

aplicando el mtodo de N-R con un %1.0a

RAICES DE POLINIOMIOS

Mtodos para encontrar las races de ecuaciones de la forma:

n

nn xaxaxaaxf ...)(2

210 :n grado del polinomio.

naaaa ...,, 210 coeficientes del polinomio, pueden ser nmeros reales o complejos.

Las races de los polinomios cumplen:

a) En una ecuacin de grado n hay n races reales o complejas, se debe notar que estas races no necesariamente son diferentes.

b) Si n es impar, hay al menos una raz real.

c) Si existen races complejas estos se encuentran por pares conjugados bia

I. METODO DE LOS FACTORES CUADRATICOS

Facilita la determinacin de las races reales y complejas de una ecuacin algebraica.

Sea 0)( xP

nnnn axaxaxaxP

1

1

10 ....)( Se obtiene un factor cuadrtico de la forma qpxx 2

SxRxQqpxxxP )()()()(2

233

1

2

0)( nn

nn bxbxbxbxQ

Donde:

00 ba 011pbab

21 kkkk qbpbab , )2...(3,2,1 nk

021 bb

321 nnn qbpbaR 2 nn qbaS

Para que qpxx 2 sea un factor del polinomio )(xP se requiere que R y S sean

iguales a cero por lo cual.

2

1*

n

iib

Rpp

21*

n

iib

Sqq

ppp * qqq *

El mtodo converge cuando qpSR ,,, tiende a cero, fijada una tolerancia

adecuada.

Determinar las races de 0436 234 xxxx con una tolerancia de 1%, usando como valor inicial 0,0 qp

Determinar las races reales o complejas de

25.1875.3125.275.25.3)( 2345 xxxxxxf , usando como valores iniciales

1 qp

II. METODO DE BAIRSTOW

PROCEDIMIENTO

1. Dada la ecuacin

nn

nnn

n axaxaxaxaxf

1

2

2

1

10 ...)(

D un valor inicial para la raz tx

2. Divida el polinomio )(xfn entre el factor tx para dar un segundo polinomio de grado menor.

122

1

1

01 ...)(

nnnn

n bxbxbxbxf

3. Determine si hay residuo diferente de cero:

- Si no hay, el valor inicial es perfecto y la raz es igual a t: tx - Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma sistemtica y se repite el

procedimiento hasta que el residuo desaparezca y se localice la raz.

- Se repite el procedimiento con el cociente para localizar otra raz.

4. Si el residuo 0bR , los coeficientes se calculan por la relacin de recurrencia.

nn ab

tbab iii .1 para 1 ni a 0

5. Para races complejas se divide el polinomio entre un factor cuadrtico srxx 2 representa un nuevo polinomio.

2

0

3

1322 ...)(

nn

nnn xbxbxbbxf

Con residuo

01)( brxbR

Y relacin de recurrencia

nnab

nnnrbab 11

21 iiii sbrbab , para 1 ni a 0

Para que el residuo sea cero para 10 ,bb deben ser cero.

Por lo que para hallar r y s se igualan a cero las ecuaciones.

0),( 1111 s

ds

dbr

dr

dbbssrrb

0),( 0000 s

ds

dbr

dr

dbbssrrb

Es decir se resuelve el sistema.

Con: 132 bscrc

021bscrc

Donde

nnbc

nnnrcbc 11

21 iiii sccbc ,

En cada paso se estima un error aproximado en r y s en base a una tolerancia dada.

Los valores se calculan con: 2

42 srrx

Determinar las races de 5.225.54)( 23 xxxxf con una tolerancia de 1%

usando como valores iniciales 5.0r y 5.0s