documentlm

«SAN VICENTE» - Primaria

LÓGICO MATEMÁTICO 3 6TO GRADO

LÓGICO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO

Institución Educativa Privada

6TO GRADO 4

ARITMÉTICA

DECIMALES* Clasificación* Fracción Generatriz* Tablero Posicional* Lectura y escritura* Comparación* Relación de orden* Aproximaciones* Operaciones:

- Adición y sustracción- Multiplicación- División

* Operaciones Combinadas con deci-males hasta los centésimos.

CONTENIDO

ÁLGEBRA

* Ecuaciones de primer grado.- Ejercicios.

GEOMETRÍA

* Circunferencia- Líneas notables- Teoremas fundamentales- Ejercicios

TRIGONOMETRÍA

* Razones Trigonométricas de ángulos agu-dos de 37º y 53º



CANTOR, GEORGE ( 1845 - 1918)

Matemático alemán nacido en San Petersburgo ( ahora Leningrado, Rusia) y falleció en

Halle, ya en la escuela Cantor mostró talento en matemática, haciendo posteriormente de ella

su profesión, obteniendo el puesto de profesor en la Universidad de Halle en 1872. En 1874

empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito.

Cantor construyó una estructura lógica completa en la cual postulaba que una serie comple-

ta de números transfinitos representaba, diferenetes órdenes de infinitos. De esta manera todos los

números racionales podían establecer una igualdad a la serie de números enteros, pero, no así los

números racionales más los irracionales, que representan los números reales.



6TO GRADO 6

NÚMEROS DECIMALES

1. REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Expresión decimal de los NÚMEROS RACIONALES.

P

D

PE

15679 15 , 6791000

arteecimal

artentera

Es la forma de expresar una fracción mediante un decimal.

EJEMPLO :2 0,666...3 que resulta de dividir 2 3

4 0,8...5 que resulta de dividir 4 5

PRACTIQUEMOS

I . Convertir a número decimal las siguientes fracciones ( llegar a 3 cifras como máximo en laparte decimal)

1.15

= ______________________ 6.37

= ______________________

2.46

= ______________________ 7.57

= ______________________

3.38

= ______________________ 8.13

= ______________________

4.1318

= ______________________ 9.25

= ______________________

5.1423

= ______________________ 10.3

20= ______________________



CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

NÚMERODECIMAL

NÚMERO DECIMAL EXACTOEs aquel que tiene un númerofinito de cifras decimales.

NÚMERO DECIMAL INEXACTOEs aquel que tiene un númeroinfinito de cifras decimales.

D. PERIÓDICO PURO0, 333....

D. PERIÓDICO MIXTO0, 5333....

FRACCIÓN GENERATRIZ

GENERATRIZ DE UN DECIMAL EXACTOEscribimos como numerador el número decimal sin la coma decimal y como denominador launidad seguida de ceros como cifras decimales tenga el número decimal.Ejemplo:

252,5 10

52

fracción generatriz

GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PUROEscribimos como numerador, el número sin la coma decimal, menos la parte entera y comodenominador tantas nueve como cifras decimales tenga la parte periódica.Ejemplo:

127 1 1261, 2799 99

Fracción generatriz



6TO GRADO 8

GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

Escribimos como numerador, el número sin la coma decimal menos la parte no periódica y comodenominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica, seguida de tantos ceros comocifras tenga la parte no periódica.

Ejemplo:2136 213 1923 6412,13666...

900 900 300

Fracción generatriz

EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS

I . Marca con un aspa ( x) donde corresponda:

DECIMALEXACTO

PERIÓDICOPURO

PERIÓDICOMIXTO

DECIMAL INEXACTO

0,805

0,672672 . . . .

1,666 . . . .

2,333 . . . .

0,4177 . . . .

0,187

6,34545 . . .

2,68181 . . . .

21,516516 . . . .

14,75

8,921333 . . . .

4,0005

5,1111185

61,02



I I . Hallar la fracción generatriz de :1. 0,7 =

2. 0,222... =

3. 0,2333.... =

4. 0,32 =

5. 0,3131 =

6. 0,417777... =

7. 0,187 =

8. 1,666.... =

9. 0,31666... =

10. 1,3222... =

11. 2,68181... =

12. 1,031515... =

13. 0,36222... =



6TO GRADO 10

TABLERO DE VALOR POSICIONAL DE DECIMALES

5° 4° 3° 2° 1° 1° 2° 3° 4° 5°

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

ÓRDENES

I

UN

IDA

DD

EM

ILLA

R

CE

NTE

NA

S

DE

CE

NA

S

UN

IDA

DE

S

CO

MA

DE

CIM

AL

DÉ

CIM

OS

CE

NTÉ

SIM

OS

MIL

ÉS

IMO

S

DIE

ZM

ILÉ

SIM

OS

CIE

NM

ILÉ

SIM

OS

DEC

ENA

DE

MIL

LAR

Ubica los siguientes números:a) 4,1583 c) 158,32785

b) 36,3251 d) 32,00054

LECTURA Y ESCRITURA

¿Cómo leemos el siguiente número?

a) 42, 125 = Cuarenta y dos enteros, ciento veinticinco milésimos.

b) 23, 0439 = _____________________________________________.

c) 0, 135 = _____________________________________________.

d) 81, 3273 = _____________________________________________.

e) 142, 30005 = _____________________________________________.

f ) 8, 00031 = _____________________________________________.



PRACTIQUEMOS

I . Escribe en decimales1. Cinco milésimos = ___________________2. 11 centésimos = ___________________3. 2 décimos = ___________________4. 25 milésimos = ___________________5. 7 diez milésimos = ___________________6. 15 cien milésimos = ___________________7. 2 enteros, 7 décimos = ___________________8. 4 enteros, 81 centésimos = ___________________9. 14 enteros, 121 milésimos = ___________________10. 15 enteros, 14 diez milésimos = ___________________11. 102 cien milésimos = ___________________12. 17 diez milésimos = ___________________13. 7 enteros, 7 diez milésimos = ___________________14. 2 cien milésimos = ___________________15. 513 cien milésimos = ___________________16. 1 diez milésimo = ___________________17. 142 milésimos = ___________________

I I . Escribe cómo se leen los siguientes decimales:1. 0,5 = ____________________________________________________2. 13,52 = ____________________________________________________3. 4,102 = ____________________________________________________4. 15,6 = ____________________________________________________5. 0,0091 = ____________________________________________________6. 0,01564 = ____________________________________________________7. 1561,5 = ____________________________________________________8. 892,35 = ____________________________________________________9. 10042,61 = ____________________________________________________10. 7856,5679 = ____________________________________________________



6TO GRADO 12

TRABAJEMOS EN CASA

1. Escribe cómo se leen los siguientes decimales:

a) 7,675 = _______________________________________________

b) 10,605 = _______________________________________________

c) 71,656 = _______________________________________________

d) 0,423 = _______________________________________________

e) 1,5 = _______________________________________________

f ) 514,06 = _______________________________________________

g) 144,7892 = _______________________________________________

h) 6,785 = _______________________________________________

i ) 0,0002 = _______________________________________________

j ) 71,514 = _______________________________________________

2. Halla la fracción generatriz:a) 0,9

b) 5,9

c) 12,59

d) 0,14

e) 0,09

f ) 1,226



3. Escribe en decimales:

a) Cuatro milésimos _______________________

b) Cinco enteros, dos cien milésimos _______________________

c) Quince enteros, siete diez milésimos _______________________

d) Doscientos tres milésimos _______________________

e) Cuarenta y cinco enteros, ciento cuarenta y seis diez milésimas __________________

f ) Seiscientos trece milésimos _______________________

g) Ocho décimos _______________________

h) Cinco centésimos _______________________



6TO GRADO 14

COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

1º Comparamos la parte entera.2º Si la parte entera es igual, comparamos los décimos, centésimos, milésimos, diez milésimos,

etc, hasta encontrar el mayor número completando con ceros uno y otros, si fuera necesario.

PRACTIQUEMOS

I . Comparar los siguientes números decimales colocando >, < ó = según corresponda :

1. 0,6 0,7 2. 7,2 7,3

3. 1,2 1,20 4. 87,109 88

5. 3,578 4,578 6. 9,52 10

7. 51,56 51,65 8. 13,5 14,57

9. 305,456 305,456 10. 1,6789 1,6788

I I . Ordena en forma creciente :

1. 0,5 – 0,126 – 1,7654 – 0,999 – 0,137 – 4,5_____________________________________________________________________________

2. 4,56 – 3,999 – 14,1 – 4,65 – 4,778 – 2,007_____________________________________________________________________________

3. 17,523 – 18,9 – 13,542 – 11,7569 – 10 – 9,5 – 18,1_____________________________________________________________________________

4. 23,62 – 236,2 – 0,2362 – 32,62 – 23,67_____________________________________________________________________________

5. 17,07 – 1,707 – 0,707 – 7,07 – 70,7 – 70,8 – 10,707_______________________________________________________________________________



I I I . Ordena en forma decreciente :

1. 3,02 – 3,1 – 3,45 – 1,34 – 0,5 – 0,91 – 1,51_____________________________________________________________________________

2. 71,7 – 7,17 – 7,8 – 7,09 – 7,0856 – 7,5 – 7,678_____________________________________________________________________________

3. 2,46 – 202,2 – 20,1 – 24,6 – 2,06 – 2,781 – 0,247_____________________________________________________________________________

4. 4,5 – 4,56 – 4,65 – 5,46 – 5,64 – 5,45 – 10,45_____________________________________________________________________________

5. 7,871 – 78,71 – 0,78 – 0,77 – 0,7812 – 0,834 – 20_____________________________________________________________________________

APROXIMACIÓN A NÚMEROS DECIMALES

Cuando aproximamos un número a cualquier cifra nos fijamos en la que sigue, si esta es:1º 0, 2, 3, 4, el que me pide queda igual.2º 5, 6, 7, 8 ó 9 el que me pide aumenta en UNO de la cifra anterior.

Ejm:Sea el número: 12, 3872

Apróxima: al décimo al centésimo al milésimo

12, 3 8 7 6 12, 38 7 6 12, 387 2

12, 4Me fijo en la centésima.Aumento al décimo por

ser 8 mayor que 5

12, 39Me fijo en la milésima.

Aumento al céntesimo porser 7 mayor que 5

12, 387Me fijo en el diez milésimo.Y queda igual el milésimo

por ser 2 menor que 5



6TO GRADO 16

PRACTIQUEMOS EN CASA

Aproximar a :

NÚMERO DECIMAL ENTERO DÉCIMO CENTÉSIMO MILÉSIMO DIEZ MILÉSIMO

5,67824

0,97265

1,856

21,7236

25,824

106,791

7,876

41,5612

0,7543

0,8127

II. Comparar los siguientes números decimales colocando >, < ó = según corresponda:

1. 7,8 5,67 6. 10,758 1,0785

2. 0,5 0,7 7. 2,414 2,4241

3. 0,64 0,46 8. 0,01 0,1

4. 1,58 1,57 9. 0,9999 0,901

9. 0,09 0,9 10. 0,7 0,587642



OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES* ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para sumar o restar números decimales se opera como con los números naturales, unidadescon unidades, décimos con décimos, centésimos con centésimos y milésimos conmilésimos,etc., conservando la coma decimal.

Ejemplo:Sumar: 13,142 + 8,0458 + 12,4563 + 0,9154

1 3 , 1 4 2 + 8 , 0 4 5 81 2 , 4 5 6 3 0 , 9 1 5 43 4 , 5 5 9 5

Restar: 94,12 82,3589 4 , 1 2 08 2 , 3 5 81 1 , 7 6 2

PRACTIQUEMOS

Sumar : ( trabaja en tu cuaderno)

1. 0,789 + 51,6 + 3 192 + 314,56 + 0,9875422. 51,4 + 514,62 + 0,5147 + 5,872 + 55,78143. 0,142 + 0,456 + 110,5 + 4,567 + 8,678144. 5,67 + 0,1 + 11 + 106 + 9998 + 9,076545. 148 + 7,65241 + 0,567 + 4,5678 + 10,5 + 0,876546. 7,65 + 4,3 + 2,1098 + 7,654 + 321 + 0,9876 + 47. 71,432 + 7,432 + 0,732 + 0,43 + 4,3856 + 4,5671

Restar : ( trabaja en tu cuaderno)

1. 7,56 – 6,9876 5. 0,928 – 0,289243212. 4,5 – 3,97542 6. 17,7 – 15,6923543. 3,97 – 2,88996 7. 7,8 – 5,99974. 0,5 – 0,4975621 8. 0,514 – 0,2567



6TO GRADO 18

* MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para multiplicar dos números decimales, primero se realiza la operación como si fuesennúmeros naturales. Después, se separan de la derecha del producto tantas cifras decimalescomo tengan entre los factores.

Ejemplo:

13,594 x 2,5 67470

2718833, 9850

3 cifras decimales1 cifra decimal

4 cifras decimales

PRACTIQUEMOS

I. Multiplicar : ( trabajar en tu cuaderno)

1. 7,568 x 9,5 6. 87,54 x 9,6212. 3,8 x 6,578 7. 5,672 x 293. 2,09 x 3,005 8. 71,492 x 8,724. 1,61 x 2,289 9. 14,56 x 4,95. 3,579 x 2,46 10. 2,7821 x 7,1569

II. Resolver :

1. 7,6 x 1000 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6. 81,6 x 10000 = _____________

2. 0,5 x 100 = _____________ 7. 7,24 x 10000 = _____________

3. 3,71 x 10000 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8. 0,002 x 1000 = _____________

4. 5,64 x 100000 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9. 671,42 x 100 = _____________

5. 0,51 x 100 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10. 73,56 x 100000 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



* DIVISIÓN DE DECIMALES

Para dividir números decimales, se multiplica el dividendo y divisor por 10, 100 ó 1000,según convenga, después se hace la división.

Dividir:3 , 2 2 4 , 63 2 , 2 4 6

x10 x103 2 , 2 4 6 0 , 7

Si la división no es exacta y se desea aproximarla a décimos, centésimos o milésimos seañaden uno, dos o tres ceros al residuo, se coloca la coma después de las unidades delcociente y se continua la división.

PRACTIQUEMOS

I . Efectuar : ( trabaja en tu cuaderno)

1. 4,5 ÷ 0,879 6. 3,24 ÷ 0,032. 12,3 ÷ 28 7. 35,6 ÷ 4,83. 5,712 ÷ 0,6 8. 302,4 ÷ 544. 2,4 ÷ 4,76 9. 7,44 ÷ 0,0065. 12 ÷ 3,567 10. 12,027 ÷ 0,71

I I . Resolver :

1. 0,5 ÷ 10 = ________________ 6. 10,56 ÷ 10000 = ________________

2. 0,6 ÷ 100 = ________________ 7. 79,8 ÷ 100 = ________________

3. 0,98 ÷ 1000 = ________________ 8. 0,5 ÷ 10000 = ________________

4. 25 ÷ 10000 = ________________ 9. 0,84 ÷ 10 = ________________

5. 7,51 ÷ 100 = ________________ 10. 7,56 ÷ 1000 = ________________



6TO GRADO 20

OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES

1. Hacer primero las operaciones dentro de los signos de colección más internos.2. Se resuelven multiplicaciones y divisiones.3. Se resuelven sumas y restas en el orden en que aparecen.

Simplificar :9(0,5 0,66.... – 0,055..)

103,11.... – 2,066....

Solución : Hallamos la generatriz de :

5 10,510 26 20,66...9 35 – 0 5 10,055...90 90 18

06 – 0 6 1 312,066... 2 2 290 90 15 15

1 283,11... 39 9

Tendremos entonces :

1 2 1 9–2 3 18 10

28 31–9 15

Efectuamos operaciones con fracciones heterogéneas :

M.C.M. = 18 1 2 1 9 12 – 1 20 10–2 3 18 18 18 9

M.C.M. = 45 28 31 190 – 93 47–9 15 45 45

Entonces :

10 9 1459 10 1[

47 47 4745 45

Rpta :4547



PRACTIQUEMOS

1. Aparea ambas columnas ( ejercicio - respuesta) , realizando la solución de cada ejercicio en tucuaderno :

10,5 0,022

• 1150

10,16 4 – 0,66...5

• 611

0,25 1 0,56565...0,55 9

• 14710000

1 10,3636... 1 0,322 2

0,333...

• 131

99

1 10,04 0,034 5

• 52375

1 10,1515... – 0,0909...33 3

• 11911

3,2 – 2,11.... 3,066...2,2 –1,166... 2,033...

• 491

138

0,18 0,1515.... 1–0,6 0,1010.... 15

0,01818....

• 195

3



6TO GRADO 22

FOURIER, JOSEPH

Jean Baptiste Joseph Fourier, nacido el 21 de Marzo de 1768 y muerto el 16 de Mayo de1830, fue un mate mático francés conocido principalmente por su contribución al análisis mate-mático en el flujo del calor. Educado para el sacerdocio, Fourier no toma sus votos pero en cambiose convirtió en matemático. Más tarde enseñó matemática en el recientemente creado EcoleNormale, se unió al ( 1798) ejército de Napoleón en su invasión a Egipto como consejero científi-co, ayuda allí a establecer medios educativos y Ileva a cabo exploraciones arqueológicas. Despuésde su retorno a Francia en 1801 fue nombrado prefecto del departamento de Isere por Napoleón.

A lo largo de su vida Fourier siguió su interés en matemática y física matemática, llegó a serfamoso por su Theorie Analytique de la Chaleur ( 1822) , un tratado matemático de la teoría delcalor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor y la resolvíausando series infinitas de funciones trigonométricas, aunque estas series habían sido usadas an-tes, Fourier las investigó de una manera más detallada. Su investigación, inicialmente criticadapor su falta de rigor, fue más tarde demostrada para ratificar su valor. Proveyó el ímpetu paratrabajar más tarde en series trigonométricas y la teoría de funciones de variables reales.



ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una igualdad que consiste en encontrar el valor de la variable oincógnita; presenta la siguiente forma general:

ax b+ = 0 ; = 0a

Ejemplos:

1. 3x 5 = 7 x

Solución: 3x + x = 7 + 5 4x = 12

124

x

3x

3.

5 4 2

3x x

Solución:

5x 4 = 3 (x + 2)5x 4 = 3x + 65x 3 = 6 + 4 2x = 10

102

x

5x

2. 22x 14 + 18x = 30x + 6

Solución:22x + 18x 30x = 6 +14

10x = 20

2010

x

2x

4. 1 62x

Solución:

6 12x

72x

7 2x

14x



6TO GRADO 24

PRACTIQUEMOS

Hallar el valor de “x” en:

1. 4x + 1 = x + 4 2.

7 10

2x

3. 3x 2 = x + 6 4. 5x = 3x + 14

5.

1 8

2x

6. 12x + 12 = 16x + 8

7. 9x + 28 = 172 8. 10 9 = 20 + 9x

9.

12 5 10

3x x 10.

4 13x x



11.

6 9 3

9x

12.

3 1 11

2x

13. 6 107x

14.

4 2 3

2x x

15. 6 4 2 2 2x x x x 16. 3 8 3 2 1x x x x

17. 2 9

2 5x x

18. 5 2 1004 8x x

TRABAJEMOS EN CASA

I . Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 3 2 6x x 2. 2 7 19x 3. 5 20 50x

4.

2 3

3x

5. 10 14 4 100x 6. 5 45 3 5x x

7. 6 3 21x 8. 7 1 4 20x x 9. 2 11

3 9x x

10. 5 7 8 3 2x x x x 11. 3 285 3x x



6TO GRADO 26

KEPLER, JOHANNES

El astrónomo alemán Johannes Kepler, nacidoel 27 de Diciembre de 1571 y muerto el 15 de No-viembre de 1630, fue el primer partidario fuerte de lateoría heliocéntrica de Copernicus y el descubridorde las tres leyes del movimiento planetario. Asistió aseminarios a Adelberg y Maulbronn antes de estudiarteología, filosofía, y matemática en la Universidad deTubingen. En Tubingen la habilidad científica de Keplerfue notada por el astrónomo Michael Maestlin.Maestlin acabado, Kepler Ilegó a ser un partidario dela teoría de Copernicus, aunque su maestro continuóexponiendo oficialmente el viejo sistema de Ptolomeo.Kepler pensó entrar en vida religiosa, pero aceptó unpuesto en matemática y astronomía en Graz.

A Ia edad de 24 años, Kepler publicó MysteriumCosmographicum ( Misterio Cosmográfico, 1596) , enel que defendió la teoría de Copernicus y describiósus ideas en la estructura del sistema planetario. Influenciado por Pitágoras, Kepler vio el universocomo un ser gobernado por relaciones geométricas que conforman círculos inscritos y circuns-critos en polígonos regulares de cinco lados.

Aunque no fue un Copernico, Tycho Brahe, el matemático en la corte del Emperador RudolphII en Pragua, se impresionó con el trabajo de Kepler en 1600 invitándolo a venir a Pragua como suasistente. Confrontado con la persecución católica de la minoría protestante en Graz, Kepler ale-gremente aceptó. Cuando Brahe murió al año siguiente, Kepler fue su sucesor, heredando así ellegado científico de Brahe.



CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico, de todos los puntos de un plano queequidistan de otro punto fijo llamado centro.

* "P" es un punto cualquiera del lugar geométrico

O

P

rM

Q

* OP: radio .* OP= r ; r>0* "M" punto interior a la circunferencia.* "Q" punto exterior a la circunferencia.

CÍRCULO : Es la porción de plano limitado por la circunferencia, es decir comprende lacircunferencia y todos sus puntos interiores.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

O

Q

r

M

T

N

BA

L1

L2

L3

P1

P2

P3

1. PUNTOS

"O" : Centro de la circunferencia"T" : Punto de tangencia o de contacto."P1" : Exterior"P2" : Interior"P3" : Exterior



6TO GRADO 28

2. SEGMENTOSRadio : OQ ; OA ; OBCuerda : MNDiámetro : AB

3. RECTASL1 : Recta exteriorL2 : Recta secanteL3 : Recta tangente

4. ARCOSMQN : Arco menor

5. LONGITUDESQ= R : Longitud del radio de la circunferencia.

AB = 2R : Longitud del diámetro de la circunferencia.

OBSERVACIONES

* La medida de una circunferencia expresada en grados es 360º.* Todo diámetro divide a la circunferencia en dos arcos iguales llamados semicircunferencias,

cuyas medidas son de 180º.* Toda recta secante determina en la circunferencia, una cuerda.* Todo diámetro contiene dos radios.

TEOREMA DE TANGENTES

O

A

B

P PA= PBLAS PAREJASDE TANGENTESTRAZADAS DESDE

UN MISMO PUNTO EXTERIORA UNA CIRCUNFERENCIASON CONGRUENTES



TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS ÁNGULOS

1. ÁNGULO CENTRAL 2. ÁNGULO INSCRITO

P

A

B

AB

P

A

B

mAB2

3. ÁNGULO SEMI-INSCRITO 4. ÁNGULO EX-INSCRITO

B

At

A B2

B

A

P mABP2

5. ÁNGULO INTERIOR 6. ÁNGULOS EXTERIORES

A

BC

D

px

m m2

AB CDx

A

B

C

D

p

m m2

AB CD

A

B

C

p

A

B

pO

m m2

AB BC

m m2

AOB AB



6TO GRADO 30

EJEMPLOS:1. En la figura mostrada, hallar el valor de “”. Si O es centro.

280º

A

B

O

SOLUCIÓN:360º 280º = 80º

80º

2. En la figura mostrada, hallar el valor de “”

SOLUCIÓN:360º 120º 130º = 110º

110º2

55º

PRACTIQUEMOS

1. En la figura mostrada. Hallar el valor de:AMB

80º

A

B

O

M

3. En la figura calcular “”

A

B

C

80º

2. En la figura mostrada, hallar el valor de:

A

C

B

4. De la figura, calcular :

A

B

C



5. En la figura mostrada, hallar el valor de:AMB

A

B

M4º


P

A

B


P

C

A

B


A

B

C

D

p

8. En la figura mostrada, hallar el valor de:AB

150ºD

C

B

A

98º


A

P

BC



6TO GRADO 32


B

CD

A

13. Calcular “x”

A

P

Q

(3x 26)

(x+ 18)

12. E n l a f i g u r a m o s t r a d a , h a l l a r e l v a l o r d e :

A

BC

D

14. Calcular “x”

B

A D

C(5 8)x

(2 + 8)x

TRABAJEMOS EN CASA

1. Hallar el ángulo

A

B

P130°

3. En la figura mostrada. Calcular

A

BC

2. Calcular el valor de

A

B

C

50º

4. De la figura, calcular

A

B C



5. De la figura mostrada. Calcular

A

B

7. En la figura mostrada, hallar el valor de Si: O es centro

A

B

o

9. En la figura mostrada, hallar el valor de

B

A C

11. En la figura, calcular “”:

A

B

CD

96º

48º

6. Hallar el valor de , si: “O” es centro

A

B

o

8. En la figura mostrada, calcular el valor de

B

A

10. En la figura mostrada, hallar el valor de

C

BA

12. En la figura calcular “ AC ”

A

BC

140º38º



6TO GRADO 34

CLAUDIO TOLOMEO

Claudio Siglo II antes de C. Astrónomo, matemático, físi-co y geógrafo egipcio nacido en Ptolemais Hermii, ciudad grie-ga de la Tebaida ( Egipto) ; vivió en Alejandría. Su sintaxis mate-mática ( más conocida con el nombre árabe de Almagesto) sin-tetiza y ordenan los conocimientos astronómicos de los griegosy, sobre todo, los de Hiparco. Tolomeo sabe que le Tierra esredonda y que la gravedad apunta hacia el centro de la Tierra;da dos métodos para determinar la oblicuidad de la eclíptica;calcula la altura del polo del mundo y la duración del día endiversos lugares del globo; da tablas de los ángulos y arcos queforman la intersección de la eclíptica con el meridiano y el hori-zonte. Explica las irregularidades del movimiento aparente delsol, mediante la hipótesis del movimiento a lo largo de una circunferencia excéntrica. Completa lateoría de la luna, de Hiparco, y descubre la variación anual de la excentricidad de su órbita; paraexplicar el movimiento aparente de la Luna, usa la hipótesis del epiciclo. Tolomeo describe elastrolabio; expone el método del paralaje para hallar la distancia a la Luna; describe el método deHiparco para calcular eclipses y completa el catálogo de su precursor, dando un total de 1,022estrellas.

Su contribución más original es la teoría del movimiento planetario. Advierte que los plane-tas ( o vagabundos celestes) están situados entre la Luna y las estrellas fijas; trata de explicar sucomplicado movimiento aparente en forma parecida a como lo había hecho en el caso de la Luna;pero, en lugar de atribuir al Centro del epiciclo un movimiento uniforme sobre el deferente excén-trico, introduce el llamado ecuante, círculo aún menor desde el cual el movimiento del planetaparece uniforme. Con el Almagesto culmina y termina la astronomía antigua, que, salvo detalles,fue conservada tal cual hasta fines del renacimiento.



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS DE37º Y 53º

PRINCIPIOS TEÓRICOS

Para determinar las razones trigonométricas de 37º y 53º utilizaremos el triángulo rectángulocuyos lados son proporcionales a 3, 4 y 5.

53º

37º

5k

4k

3k

Entonces:

c.o 337ºh

ksen 5 k

337º5

Sen

c.a 4cos 37ºh

k

5 k4cos 37º5

c.o 3tg 37ºc.a

k

4 k3tg 37º4

c.a 4ctg 37ºc.o

k

3 k4ctg 37º3

h 5sec 37ºc.a

k

4 k5sec 37º4

h 5csc 37ºc.o

k

3 k5csc 37º3



6TO GRADO 36

Así también:

4sen 53º k

5 k4sen 53º5

3ctg 53º k

4 k

3ctg 53º4

3cos 53º k

5 k3cos 53º5

5sec 53º k

3 k

5sec 53º3

4tg 53º k

3 k4tg 53º3

5csc 53º k

4 k

5csc 53º4

Ejemplos:

1. Calcular la tg 37º, ctg 37º 2. Calcular la sec 37º, csc 37º

37º

5k

4k

3k c.o H

37º

5k

4k

3kc.a

H

Resolución ResoluciónSabemos que: Sabemos que:

*C.Otg 37ºC.A

*Hsec 37º

C.A

3tg 37º k

4 k5sec 37º k

4 k

3tg 37º4

5sec 37º4

*C.Actg 37ºC.O

*Hcsc 37º

C.O

4ctg 37º k

3 k5csc 37º3kk

4ctg 37º3

5csc 37º3



COMPLETA:

37º

53º

Sen Cos Tg Ctg Sec Csc

PRACTIQUEMOS

1. Calcular: 4. Calcular el valor de “M”K= 3tg53º + 5cos37º 2 2M cos 37º cos 53º

2. Calcular las variables: 5. Calcular el valor de “P”x . tg37º = 6 P = sen37º . csc37ºy . sen37º = 9

3. Calcular el valor de 6. Calcular el valor de “T”P = 3sec53º + 3ctg37º tg37ºT

3



6TO GRADO 38

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular el valor de M 6. Calcular el valor de PM = ctg53º + sec37º P = 5cos37º 5cos53º

2. Calcular el valor de P 7. Calcular RP = 4tg37º + 5cos53º 2R 53º 1ctg

3. Calcular el valor de R 8. Calcular “x”R = 10cos37º x + tg53º = sec53º

4. Calcular el valor de “y” 9. Calcularytg37º = 3 15cos53º 8tg37º

5. Calcular el valor de M 10. Calcular el valor de Msen53ºMsec37º

M tg37º .ctg53º



ARITMÉTICA

* Comparación de cantidad- Magnitudes proporcionales- Regla de tres simples directa e

inversa- Porcentaje

* Estadística- Interpretación de gráfico

ÁLGEBRA

* Inecuaciones de primer grado- Ejercicios.

CONTENIDO

GEOMETRÍA

* Perímetros* Áreas de figuras planas* Áreas sombreadas* Ejercicios

TRIGONOMETRÍA

* Razones trigonométricas de ángulos agu-dos de 45º



6TO GRADO 40

CARL FRIEDRICH GAUSS( 1777 - 1856)

Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a leer y ahacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos realizadospor su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaña de Alemania e hijo de padresmuy pobres, sus contribuciones a la matemática, la física y otras ramas de la ciencia, como laastronomía, fueron de una importancia extraordinaria.

A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota. A los diez años su maestrole propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad. Apenas el maestro habíaterminado de dictar el problema. Gauss puso en la mesa del maestro su pizarra con el resultado dela suma.

Observa el problema que el maestro propuso.Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 100

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + .......................... + 100



COMPARACIÓN DE CANTIDADES

RAZÓN: Es el cociente entre dos números.Los términos de la razón son:

AntecedenteConsecuente

ab

PROPORCIÓN: Es la igualdad de 2 razones3 64 8 se lee: “ 3 es a 4 como 6 es a 8 ”

Los términos de una proporción son:

Extremo

34

Medio

Medio

68

Extremo

PROPIEDAD: “En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios”

Ejemplo:20 15

200 150

20 150 15 200 3000 = 3000 Es una proporción

3 1,55 4

3 4 1,5 5 12 = 7,5 No es una proporción



6TO GRADO 42

PRACTIQUEMOS

1. Calcula el valor de “a” en cada una de las siguientes proporciones:

a)1 22 a

b)1 23 a

c)1 24 a

2. Averigua en cada caso si las dos razones forman una proporción.

a)4

10 y

25

b)1,56

y0,52

c)832

y24

d)3528

y54

e)0,51,1 y

511

f )1,53

y2,55

3. Resuelve:

a. Sia mb n ; si a+m=45 y b+n=40 y m=5; Hallar n



b.x my n , si x m=10, y+n=30, y n=20. Hallar x+m

c.6 5a b , si: b+5=15. Hallar a.

4.4 5m n , si: m+n=18. Hallar n

d.65

ab , si a b=12. Hallar a+b

e.2 3 4a m n , si: a+m+n=36. Hallar a, m y n.



6TO GRADO 44

REGLA DE TRES SIMPLE

A. DIRECTA:Si al tener dos cantidades, la primera aumenta o disminuye también aumenta o disminuye laotra cantidad correspondiente.Ejemplo:Si 8kg. de carne cuestan S/. 96, ¿Cuánto costarán 15kg de carne?

Solución: 8 kg S/. 9615 kg x

8 9615 x

216x .158

1

12.15 180

Respuesta: 15 kg de carne costarán S/. 180

B. INDIRECTA:Cuando al multiplicar o dividir una cantidad por un número, su cantidad correspondientequeda dividida o multiplicada por dicho número.Ejemplo:Si 8 hombres hacen una obra en 24 días. ¿En cuántos días podría hacer la misma obra 6obreros?

Solución: 8 hombres 24 días6 hombres x8 246 x

8.246

x

x=32Respuesta: 6 hombres harán la obra en 32 días.

PRACTIQUEMOS

1. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podría hacer la obra 8 hombres?



2. Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿Encuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?

3. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuán-tos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la mismaobra?

4. Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diariascada hombre. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cadahombre tiene 2 raciones diarias?

5. Una torre de 25,05 m de una sombra de 33,40m. ¿Cuál será la misma hora, la sombra deuna persona cuya estatura es 1,80m?

6. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Hallar la capacidad del estanque.



6TO GRADO 46

TRABAJEMOS EN CASA

1. A la velocidad de 30km/h un automóvil emplea184

horas en ir de una ciudad a otra.

¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple?

2. Una guarnición de 1300 hombres tienen víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveresduren 10 días más; ¿cuántos hombres había de quitar a la guarnición?

3. Un obrero tarda 3125

en hacer 712

de una obra. ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar laobra?

4. Una guarnición de 500 hombres tienen víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias.¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más?

5. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el mayor es 655, ¿cuál es el menor?

6. Dos hombres han cavado en 20 días una zanja de 50m de largo, 4m de ancho y 2m deprofundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres más?

7. Si 4 libros cuestan S/. 20. ¿Cuánto costarán 3 docenas de libros?



PORCENTAJE

En el colegio “San Juan” hay 600 alumnos y el 27% tienen un animal doméstico en casa. ¿Cuán-tos alumnos tienen un animal doméstico?

27 27 60 0100 600

x x

10 0x = 162

Tienen un animal doméstico 162 alumnos.

Porcentaje o tanto por ciento es una o varias partes iguales de las cienen que se ha dividido la unidad.

88%100

ó se lee “8 por ciento”

Ejemplo:

1. Hallar el 15% de 32

100% ------------- 32 15% ------------- x

100 3215 x

15x

3328

100

520

4,8x



6TO GRADO 48

2. ¿De qué número es 46 el 23%? 4. ¿De qué número es 265 el 6% más?

23% 46100% x

106% 265100% x

100 4623

x

100 265106

x

200x 250x

3. ¿Qué % de 8 400 es 2 940? 5. ¿De qué número es 168 el 4% menos?

8 400 100%2 940 x

96% 168100% x

2 9 4 0 1 0x 0

8 4 0 0

294084

x 100 16896

x

35%x 175x

PRACTIQUEMOS

1. Halla el 18% de 72 2. Halla el 35% de 180

3. Halla el 42% de 1250 4. Halla el 56% de 3000



5. ¿De qué número es 35 el 5%? 6. ¿De qué número es 60 el 80%?

7. ¿De qué número es 112 el 80%? 8. ¿De qué número es 432 el 36%?

9. ¿Qué porcentaje de 860 es 129? 10. ¿Qué % de 1250 es 75?

11. ¿De qué número es 84 el 4% menos? 12. ¿De qué número es 208 el 4% más?

13. ¿De qué número es 91 el 35% menos? 14. ¿De qué número es 258 el 20% más?



6TO GRADO 50

TRABAJEMOS EN CASA

1. Halla el:

a) 90% de 1315

b)1 %2 de 18

c) 0,2% de 84d) 60% de 40e) 75% de 16

2. ¿De qué número es?

a) 850 el 72%b) 16 el 1/4 %c) 50 el 2/5 %d) 24 el 1/6 %e) 95 el 3/5 %

3. ¿Qué % de:

a) 86 es 172?b) 130 es 3,3?

4. ¿Qué número es:

a) 1512 el 35% más?b) 920 el 50% menos?

c)928

el112 %2 más?

d) 826 el 13 %4

menos?



ESTADÍSTICA

Es la ciencia que nos ayuda a recopilar, organizar e interpretar la información recogida.

Veamos un gráfico estadístico:

CUADRO DE COSTO

cocina radio equipo tostadora tostasdora ollaarrocera

T.V. licuadora

ARTEFACTOS

140129

390

3923 27 26.0

238

MEDIA ARITMÉTICA

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado por el número total de losmismos.Se representa por x

Ejm: La nota de un alumno en el área de lenguaje es:14, 15, 8, 17, 12La media aritmética de las notas del niño es:

14 15 8 17 12 66 16,65 5

x

MEDIANA

Si ordenamos los datos de menor a mayor y escogemos el central habremos hallado lamediana.

Ejm: La talla de un grupo de amigos en centímetros es:170, 120, 110, 120, 130 ordenado:110, 120, 120, 130, 170



6TO GRADO 52

Como el número de datos es impar, la mediana es 120.

Número de datos par2N

= mediana

Número de datos impar1

2N

= mediana

MODA

Es el valor que corresponde a la mayor frecuencia en una serie de datos.

Ejemplo:Hallar la moda del siguiente cuadro

1Número de piezas

Nº de juegos

2 3 4 5 6 7

20 19 35 8 15 22 31

La moda es “3”

Del siguiente diagrama hallar la moda

123456789

101112131415

0 1 2 3 4 5

La moda es 2 ya quetiene mayor amplitud



PRACTIQUEMOS

1. Determinar la mediana del siguiente conjunto de datos:10, 10, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 9, 8

2. Calcular la media aritmética:11, 5, 7, 8, 10, 5, 8, 6, 7, 9, 10, 5, 6, 6, 7, 10, 9, 10, 10

3. Determina la moda:3, 2, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 2

4. Dada la siguiente serie de datos:4, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 5, 6, 3, 4, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4Determinar:a) Modab) Mediana

5. Un niño obtiene las siguientes notas:15, 18, 19, 14, 13, 12, 08, 15Halla la media aritmética.



6TO GRADO 54

6. En la sesión de educación física el profesor midió la masa de cada uno de los 25 alumnos del1º grado de secundaria:4 alumnos cuyas masas son de 40 kilogramos5 alumnos cuyas masas son de 41 kilogramos3 alumnos cuyas masas son de 42 kilogramos4 alumnos cuyas masas son de 43 kilogramos6 alumnos cuyas masas son de 44 kilogramos2 alumnos cuyas masas son de 45 kilogramos1 alumno cuya masa es de 46 kilogramos

Hallar:a) El valor de la media aritméticab) El valor de la moda

7. Una empresa importadora ha revisado un lote de 50 juegos de loza que fueron defectuosa-mente trasladadas lo cual provovó la rotura de algunas piezas.El gráfico adjunto representa el informe entregado por el almacenero.

Hallar la moda del gráfico

123456789

1011

1 2 3 4 5 6 7 8 9Número de piezas rotas

Número dejuegos



8. En el gráfico siguiente determina la moda o intervalo modal según corresponda.

123456789

101112131415

40 41 42 43 44



6TO GRADO 56

HILBERT, DAVID

David Hilbert, nacido el 23 de enero de 1862, muerto en febrero 14 de 1943, fue un mate-mático alemán cuyo trabajo en geometría tuvo gran influencia en el campo desde Euclides.Después de hacer un estudio sistemático de los axiomas de la geometría euclideana, Hilbert pro-puso un conjunto de 21 axiomas y analizó su significancia.

Hilbert recibió su Ph.D. de la Universidad de Konigsberg y trabajó en su facultad de 1886 a1895. Llegó a ser ( 1895) profesor de matemática en la Universidad de Gottingen, donde perma-neció hasta su muerte. Entre 1900 y 1914, muchos matemáticos de los Estados Unidos quienesmás tarde jugaron un papel importante en el desarrollo de la matemática fueron a Gottingen aestudiar bajo su tutela.

Hilbert contribuyó con varias ramas de la matemática, incluyendo la teoría algebraica de losnúmeros, análisis funcional físicas matemática, y el cálculo de variaciones. También enumeró 23problemas irresolubles de matemáticas que consideró digno de una investigación más amplia.Desde el tiempo de Hilbert, casi se han resuelto todos estos problemas.



INECUACIONES DE PRIMER GRADO

También conocida con el nombre de desigualdad.El procedimiento para resolver las inecuaciones es el mismo que se realiza en las ecuaciones,

sólo que ahora se obtendrá el conjunto solución ( C.S)

Presenta la siguiente forma general:

0 0

0 0

ax b ó ax b

ax b ó ax b

0a x

Ejemplos:

1) 5x 7 < 3x x 15x 3x + x < 7 1

3x < 663

x

x < 2

2) 4 3 17x 4 17 3x

4 20x

2 04

x

5x

3) 12 5 4 3x x

12 4 3 5x x 8 8x

88

x

1x



6TO GRADO 58

PRACTIQUEMOS

Halla el conjunto de las siguientes inecuaciones

1.4 4 30

6x

2. 7 3 2 42x x

3. 30 197x 4. 72 83x

5. 8x+4>68 6. 4x 9 < 19

7. 11 9 40 38x x 8. 52 4x

9. 2 5 18x x 10. 2 5 17x



PRACTIQUEMOS EN CASA

1. x + 35 > 47 2. 28 10x 3. 5 20 50x

4. 26 30 97x 5. 3 8 14x x 6. 4 6 18x

7. 2 18x 8. 6 6010x 9. 2 8 20

4x

10. 70 93x



6TO GRADO 60

(460 - 370 a.c)

Demócrito nació en Abdera en el año 460 antes de Cristo. Se le atribuyen numerosos viajes,a Egipto y la India, entre otros, habiendo adquirido en el curso de esos conocimientos de teología,astrología, geometría, etcétera. También se le sitúa en Atenas escuchando las lecciones de Sócrateso de Anaxágoras, según recoge Diógenes Laercio: “parece, dice Demetrio, que también pasó aSócrates, Sócrates no le conoció él. Fui - dice - a Atenas, y nadie me conoció”. Se dice también fuediscípulo de Leucipo, a quien se atribuye la creación del atomismo, doctrina defendida porDemócrito. ( Sobre la existencia misma de Leucipo hay quienes han llegado a ponerla en dudaapoyándose en el desconocimiento prácticamente total que tenemos de él y en afirmacionescomo las de Epicuro, quien negaba su existencia.)

Respecto a su pensamiento parece que fue un hombre dedicado enteramente al estudio yque tuvo una producción abundante. Al igual que Empédocles y Anaxágoras la filosofía deDemócrito estará inspirada por la necesidad de conjugar la permanencia del ser con la explicacióndel cambio, adoptando una solución estructuralmente idéntica: lo que llamamos generación ycorrupción no es más que mezcla y separación de los elementos originarios, que poseen las carac-terísticas de inmutabilidad y eternidad del ser parmenídeo. Estos elementos originarios serán con-cebidos como entidades materiales, infinitamente pequeñas y, por lo tanto, imperceptibles paralos sentidos, y de carácter estrictamente cuantitativo, a los que Demócrito llamará átomos( "indivisibles" en griego) por su cualidad de ser partículas indivisibles.



PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

NOTACIÓN: El perímetrose representa por 2PSea ABCD un trapecio

A D

B C

Su perímetro será :AB BC CD AD

2p = AB + BC + CD + AD

Ejm. 1 : Hallar el perímetro de un cuadrado de 8cm. de lado ( L = 8cm) .

2P = ( 8 + 8 + 8 + 8) cm. ó

A

B C

D

8 2P = ( 8 4) cm. 2P 32cm.

Ejm. 2 : Hallar el perímetro de un rectángulo de 4cm. de ancho y 6cm. de largo.

a = 4cm. 2P = ( 4 + 4 + 6 + 6) cm. ó

a

b

A

B C

D

L = 6cm. 2P = ( 4 x 2 + 6 x 2) cm.2P = ( 8 + 12) cm. 2P 20cm.

Ejm. 3 : Hallar el perímetro de un icoságono regular de 5cm. de lado.

n = 20 lados entonces2P = ( 5 x 20) cm. 2P 100cm.



6TO GRADO 62

PRACTIQUEMOS

Halla el perímetro de cada uno de los siguientes gráficos:

1)53º

74º 53º

25 30

25

2)17

17

17 17

3) 20

20

10 10

4) 42

42

18 18

110º 70º

110º70º

5)40º

40º

140º 140º

F

16 16

16 16

6) 13

23

12 10127º 106º

74º53º

7)74º

37º 37º10 10

1616

8)4 3

5



TRABAJEMOS EN CASA

1. Hallar el perímetro de un cuadrado cuyo lado es 7cm.

2. Hallar el perímetro de un rectángulo de 8cm. de ancho y 10cm. de largo.

3. Hallar el perímetro de un hexágono regular de 12cm. de lado.

4. El perímetro de un cuadrado es 20cm. Calcula uno de sus lados.

5. El perímetro de un decágono regular es 140cm. Calcula uno de sus lados.



6TO GRADO 64

ÁREAS SOMBREADAS

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1.- Área del cuadradoA = L2

L

Donde :L : lado

2.- Área del paralelogramo

A = b.h

b

h Donde :b : baseh : altura

3.- Área del triángulo

A = b.h2

b

h Donde :b : baseh : altura

4.- Área del rectángulo

A = bxh

b

hDonde :b : baseh : altura

5.- Área del círculo

A = r 2

r Donde :r : radio

6.- Área del trapecio

A = (B+b) h2

B

h

b

Donde :B : base mayorb : base menorh : altura

7.- Área del rombo

A = D x d2

dD

Donde :D : diagonal mayord : diagonal menor

.



PRACTIQUEMOS

3. Calcular el área de la región sombreada.Si ABCD es un cuadrado.

A D

B C

2cm

4. Hallar el área de la región sombreada.Si ABCD es un cuadrado.

A D

B C

2cm

1. En la figura mostrada, ABCD es un rec-tángulo y AMND es un trapecio; hallar elárea de la región sombreada.

A24cm

D

C

12cm

B

M N


A D

B C4cm



6TO GRADO 66


A D

B C

2cm

6. ABCD es un cuadrado. Hallar el área dela región sombreada.

A D

B C

2cm

7. Hallar el área de la región sombreada, si:ABCD es un rectángulo.

A D

B C

4cm

8. Si ABCD es un cuadrado. Hallar el áreade la región sombreada.

A D

B C

4cm

9. Hallar el área de la región sombreada. SiABCD es un cuadrado.

3cm

B C

DA

10. Si el área del rectángulo ABCD es 21cm2.¿Cuál es el área de la parte sombreada?

A

B P C

D



PRACTIQUEMOS EN CASA1. ¿Qué tanto por ciento del área del cua-

drado es el área de la parte sombreada?

2. El área de la parte sombreada mide :

4cm

2cm

2cm

3. Hallar la parte sombreada :

16cm

16cm

4. Hallar el área de la región sombreada,si ABCD es un cuadrado

8cm

A

D

B

C

5. Hallar el área de la región sombreada.

20cm

20cm

6. Si el área del cuadrado mide 64cm2, el áreade la parte sombreada mide :

7. Hallar el área de la región sombreada; siABCD es un cuadrado

10cm

10cm

A

B C

D

8. Hallar el área de la región sombreada :

6cm

6cm



6TO GRADO 68

HIPATIA370 - 415

Fue la última directora de la Biblioteca de Alejandría. Su padre, Teón, la inició en el mundode la matemática. Recordada por sus comentarios sobre la obra de Arquímedes, sustituyó a supadre en la cátedra.

Los habitantes de Alejandría estaban poco acostumbrados a que una mujer tuviera tantainfluencia en los medios científicos y políticos, y la veían más bien como una hechicera.

Más tarde fue acusada por los ciudadanos de influir sobre el gobernador de la ciudad, paraque éste estuviera en contra de la cristiandad, así pues en el año 415 fue martirizada y asesinadapor una muchedumbre excitada por unos monjes fanáticos hostigados por Cirilo, el obispo cató-lico de la ciudad. Con Hipatia terminó las matemáticas en Alejandría.



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS AGUDOS DE 45º

PRINCIPIOS TEÓRICOS

Para definir la razones trigonométricas de 45º utilizaremos el triángulo rectángulo cuyoslados es proporcional a:

45º

1k

1k k 2

Entonces:

*c.o kSen 45º Sen 45ºh

k

1 222 2

*c.a kCos 45º Cos 45ºh

k

1 222 2

*c.o kTg 45º Tg 45ºc.a

k

1

*c.a kCtg 45º Ctg 45ºc.o

k

1

*h kSec 45º Sec 45º

c.a

2k

2

*h kCsc 45º Csc 45º

c.o

2k

2



6TO GRADO 70

Ejemplos:

1. Calcular la tg 45º, ctg 45º

ResoluciónSabemos que: Además la:

45º1k

1k k 2

c.oTg 45º=c.akTg 45º=k

Tg 45º= 1

c.aCtg 45º=c.o

kTg 45º=k

Ctg 45º= 1

PRACTIQUEMOS

1. Calcular "P" 2. Calcular "M"

P= 2 .cos45º M= 2.csc 45º

3. Calcular "x" si: 4. Calcular "k"2x.ctg45º= sec 45º+ 2tg45º 2 2k sec 45º .csc 45º

5. Calcular "A" 6. Calcular "M"2tg45º+ sec 45º 2M 4 cos 45º



PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular N si 2. Calcular el valor de “M”2N 8 csc 45º 2M= 2csc 45º

3. Calcular “x” si: 4. Calcular “x” si

x sen45º= 2 x tg45º= ctg45º

5. Calcular “T” si: 6. Calcular “P” si2 2T= sec 45º + csc 45º P= tg45º+ ctg45º

7. Calcular “x” si: 8. Calcular el valor de P2x ctg45º= csc 45º 2P= sec 45º + 4



6TO GRADO 72

La t

elar

aña

Obj

etiv

os*

Ince

ntiva

r el c

álcu

lo m

enta

l al re

-so

lver la

s cua

tro o

pera

cione

s.*

Mot

ivar

la c

ompe

tenc

ia y

el r

es-

peto

por

sus c

ompa

ñero

s.*

Reso

lver c

orre

ctam

ente

las o

pe-

racio

nes.

Mat

eria

les

Tabl

ero

"La

tela

raña

", un

dad

o, fic

has

de di

fere

ntes

colo

res p

ara

los p

ar-

ticip

ante

s.

Des

arro

llo d

el j

uego

1.Nú

mer

o de

par

ticip

ante

s: cu

atro

.2.

Cada

par

ticip

ante

elig

e un

a fic

haco

n la

que

juga

rá to

do e

l tie

mpo

.Em

piez

a el

juga

dor q

ue a

l tira

r el

dado

obt

enga

el n

úmer

o m

ayor

.En

cas

o de

em

pate

se

vuel

ve a

lanz

ar e

l dad

o.3.

Se in

icia

el ju

ego

por e

l núm

ero

1. T

odos

los j

ugad

ores

ubica

n su

sfic

has e

n el

pun

to d

e pa

rtida

.4.

El ju

gado

r que

em

piez

a la

nzar

áel

dad

o y

reco

rrerá

en

el ta

bler

ota

ntos

casi

llero

s com

o in

diqu

e el

valo

r obt

enid

o en

el d

ado.

5.Si

el ju

gado

r cae

en

un ca

sille

roqu

e co

ntie

ne a

lgun

a op

erac

ión

opr

egun

ta, d

ebe

resp

onde

r cor

rec-

tam

ente

. Si n

o sa

be la

resp

uest

aco

rrect

a, re

troce

derá

tres

luga

res.

6.Lo

s dem

ás ju

gado

res s

egui

rán

elm

ism

o pr

oced

imie

nto.

7.Lo

s cas

illero

s que

no

tiene

n op

e-ra

cione

s o pr

egun

tas s

on co

mod

i-ne

s. S

i un

juga

dor c

ae e

n al

guno

de e

stos

casi

llero

s, n

o tie

ne n

ada

que

resp

onde

r y ce

de su

turn

o al

sigui

ente

juga

dor.

8.G

ana

el ju

ego

quie

n lle

gue

pri-

mer

o al ú

ltimo c

asille

ro (

56)

. Que

-da

rá e

n se

gund

o lu

gar e

l que

lle-

gue l

uego

, y a

sí su

cesiv

amen

te.

partida

20+ 9

avanza 5casilleros

vuelve a jugar

8x6

100

25resp

onde

lata

bla

del 1

0

resp

onde

la

tabl

ade

l7

9x7

(93)

(3+

5)

avanza7

casillero

s9x8 9x9 9x10

resppondela

tabla

del3

retroced

e1casill

ero

retrocede1casille

ro

408

(9+2)x3

avanza 5

casilleros

avanza 1 casillero

5+ 10

5x9

retro

cede

2ca

sille

ros

avan

za5

casil

lero

s

100

- 90

90-2

080

- 70(5

x3)+

(10

2)2

12x2

0

resp

onde

ala

tabl

ade

l4

avan

za4

casil

leros

2+10¡u

f,lo

logr

é!

1

10

1 9

2 8

3 7465 5

54

45

36

27

18

9

8

17

26

35

44

53

7

16

25

34

43

5251423324159

50

41

32

23

14

549

40

31

22

13

4

48

47

39

30

21

12

3

38

29

20

11

2

avan

za2

casil

leros

avan

za1

casil

lero



ENTRE LOS INVITADOS UN ASESINO

En una casa donde había tres invitados, Alfredo, Bernardo y Camilo, asesinaron al dueño. Se sabe que:1 ) E l a s e s i n o , u n o d e l o s t r e s , l l e g ó m á s t a r d e q u e u n o d e l o s o t r o s

d o s .

2 ) U n o d e l o s i n v i t a d o s , u n d e t e c t i v e , l l e g ó a l a c a s a a n t e s q u e u n o

d e l o s o t r o s d o s .

3 ) E l d e t e c t i v e l l e g ó a l a m e d i a n o c h e .

4 ) A l f r e d o y B e r n a r d o n o l l e g a r o n d e s p u é s d e l a m e d i a n o c h e .

5 ) E n t r e B e r n a r d o y C a m i l o , e l p r i m e r o q u e l l e g ó n o e s e l d e t e c -

t i v e .

6 ) E n t r e A l f r e d o y C a m i l o , e l ú l t i m o q u e l l e g ó n o e s e l a s e s i n o . ¿ Q u i é n

e s e l a s e s i n o ?

UNA FIESTA INOLVIDABLE

En esta fiesta se encuentran 14 adultos, 17 niños, 12jóvenes y 19 muchachas. Cuando llego yo, el númerode pares distintos entre hombres y mujeres se convierteen igual número de pares distintos entre niños y niñas.Por ejemplo, si hubiera seis hombres y ocho mujeres enla fiesta, el número de pares posibles de hombres ymujeres sería 6 8=48. ¿Quién soy yo, un hombre, unamujer, un niño o una niña?

MI CASA TIENE UN NÚMERO

Mi casa tiene un número.1) Si este número es el triple de 3 ( 03, 13, 23, etc) quiere decir que es un número entre 50 y

59.2) Si el número no es múltiplo de 4, entonces está entre el 60 y el 69;3) Si no es el múltiplo de 6, está entre el 70 y 79 ¿Cuál es el número de mi casa?

7 8 4

2 6

5 1

6

3



6TO GRADO 74

NUMELETRA

Objetivos

* Introducir el tema de coordinación de dife-rentes asignaturas.

* Relacionar un número con una letra.

Materiales

Una cartulina cuadriculada con los números.

Desarrollo del juego

1. El profesor muestra a los alumnos el tablero

o pancarta con el mensaje escondido y les

pide que sustituyan cada número con la letra

que ocupa ese lugar en el alfabeto

2. El texto escondido puede ser un pensamien-

to, una frase célebre, una pregunta, un tema,

el nombre de una canción, de una obra, de

una película...

3. Una vez descifrado el mensaje, se promueve

una reflexión sobre el mismo.

12

17 1

1

14

12 1

16

10

20

13

1

16 20

17

12

9

4 5

5

1

16

20 5 9 119

18

13

1

820

20

22

16

1

5

5

14

19 21

20

20

9

1

Para este juego no hemos tomado en cuenta la “ch” ni la “ll” en la secuancia de letras.



LA CAJA CHINA

Objetivos* Consolidar conocimientos matemáticos* Asociar palabras.

MaterialesSiete cajas numeradas con un carácter similar alos ideogramas chinos en una de sus caras. Den-tro de ellas deben guardarse siete tarjetas conpreguntas sobre operaciones matemáticas en elanverso y siete palabras de un refrán, un conse-jo o una frase al reverso.

Desarrollo del juego1. El educador creará un clima agradable plan-

teando que la caja apareció en la tumba deun sabio chino. Cada caja tiene una opera-ción matemática para resolver y una palabraescondida.

2. Los alumnos deben resolver las siete opera-ciones propuestas en el tiempo determinadopor el profesor ( dos minutos, por ejemplo) .Podrán hacerlo en el orden que deseen.

3. Una vez que logren resolver la operación,podrán buscar en el reverso de las tarjetas laspalabras correspondientes, y formar con ellasun refrán, un consejo o una frase. Un alum-no designado por el grupo explicará lo quesignifica la frase encontrada.

4. Los alumnos volverán a guardar las tarjetasen las cajas correspondientes.

Variante

El profesor esconde las siete cajas bajo sieteasientos y los alumnos deben buscarlas debajode sus asientos. Luego de resolver las operacio-nes y de descifrar el orden de las palabras, vol-verán a guardar las tarjetas en la cajacaorrespondiente.

documentlm

Documents