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Lista de Ejercicios No. 4 Distribuciones discretas famosas

1._ Una estudiante realiza un examen de opcin mltiple con 16 preguntas. Cada pregunta tiene cinco alternativas. Si ella adivina en

12 de las 16 interrogantes, Cul es la probabilidad de que acierte en al menos 8 preguntas?

2._ Un fabricante de vlvulas admite que su control de calidad ha decado, de modo que actualmente la probabilidad de producir una

vlvula defectuosa es 0.5. Si se fabrican un milln de vlvulas al mes y eliges al azar entre estas vlvulas 10,000 muestras cada una

formada por 15 vlvulas. En cuntas muestras esperas encontrar

a) Exactamente 13 vlvulas buenas?

b) Menos de 13 vlvulas buenas?

3._ Imagina que 15% de la poblacin es zurda y que no hay ambidiestros. Si t detienes a las siguientes 5 personas que encuentres,

suponiendo independencia en la eleccin de estas personas, Cul es la probabilidad de que:

a) todas sean zurdas?

b) Todas sean diestras?

c) Dos sean zurdas?

d) Al menos una sea zurda?

4._ Un puente de cuota cobra $1.00 por cada autobs de pasajeros y $2.5 por otros vehculos. Supngase que durante las horas

diurnas, el 60% de todos los vehculos son autobuses de pasajeros. Si 25 vehculos cruzan el puente durante un periodo particular

diurno, cul es el ingreso resultante de cuotas esperado?

5._ La probabilidad de que una persona muera de cierta infeccin respiratoria es 0.002. Encuentra la probabilidad de que mueran

menos de cinco de los siguientes 2000 infectados de esta forma.

6._ Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es

0.004. De los siguiente 1875 estudiantes que se revisan en bsqueda de escoliosis; encuentra la probabilidad de que

a) menos de cinco presenten el problema

b) 8, 9 o 10 presenten el problema.

7._Una venta en particular involucra 4 artculos seleccionados al azar de un gran lote que contiene 10% de defectuosos. Sea Y el

numero de defectuosos entre los 4 artculos vendidos. El comprador de los artculos regresara los defectuosos para ser reparados, y el

costo de reparacin esta dado por C = 32Y +Y+2 encuentre el costo esperado de reparacin.

8._La limusina perteneciente a un aeropuerto tiene espacio para cuatro pasajeros en cualquier viaje. La compaa aceptar un mximo

de seis reservaciones por viaje y un pasajero debe tener una reservacin. Por registros anteriores, 20% de quienes hacen reservaciones

no se presentan para el viaje. Si se hacen seis reservaciones, Cul es la probabilidad de que, por lo menos, un individuo con

reservacin no tenga espacio para el viaje?

9._ En la ESCOM la probabilidad de que ocurra una tormenta en cualquier da durante la primavera es 0.05. Suponiendo

independencia cul es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 5 de abril? Suponiendo que la primavera comienza el

primero de marzo.

10._ En tiempo ocupado un conmutador telefnico est muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios tienen dificultad al hacer

sus llamadas. Puede ser de inters conocer el nmero de intentos necesarios a fin de conseguir un enlace telefnico. Supn que la

probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempo ocupado es 0.05. Nos interesa conocer la probabilidad de que se necesiten cinco

intentos para una llamada exitosa.

11._Un explorador de petrleo perfora una serie de pozos en cierta rea para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que

tenga xito en una prueba es 0.2.

a) Cul es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?

b) Cul es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo ms 10

pozos?

12._Supngase que el costo de efectuar un experimento es $1000. Si el experimento falla, se incurre en un costo adicional de $300

debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo experimento. Si la probabilidad de xitos en

cualquiera de los ensayos es 0.2, si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos continan hasta que se obtiene el

primer resultado exitoso, cul es el costo esperado del procedimiento completo?

2

13._ Un lote de 25 cinescopios se somete a un procedimiento de pruebas de aceptacin. El procedimiento consiste en extraer 5 tubos al

azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo el lote se rechaza. Si el lote

contiene 4 tubos defectuosos. Cul es la probabilidad de que el lote se acepte?

14._ Estudios de biologa y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos a fin de estimar el tamao y el grado de ciertas

caractersticas en la poblacin. Se capturan 10 animales de cierta poblacin que se piensa extinta o cerca de la extincin, se etiquetan y

se liberan en cierta regin. Despus de un perodo se selecciona en la regin una m.a de 15 animales del tipo. Cul es la probabilidad

de que cinco de estos seleccionados sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la regin?

15._ Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fbricas violan los reglamentos contra la contaminacin ambiental con

respecto a la descarga de cierto tipo de producto, 20 empresas estn bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Supn que

tres de las empresas violan los reglamentos. Cul es la probabilidad de que

a) en la inspeccin de 5 empresas no se encuentre ninguna violacin?

b) el plan anterior encuentre 2 que violan el reglamento?

16._Supn que X tiene una distribucin de Poisson. Si P(X = 2) =(2/3)P(X = 1). Calcula P(X = 0) y P(X = 3).

17._ Una fuente radiactiva se observa durante 7 intervalos cada uno de 10 segundos de duracin y se cuenta el nmero de partculas

emitidas durante cada periodo. Supn que el nmero de partculas emitidas, digamos X, durante cada periodo observado tiene una

distribucin de Poisson con parmetro 5. Cul es la probabilidad de que:

a) en cada uno de los 7 intervalos de tiempo, se emitan 4 o ms partculas?

b) Al menos en uno de los 7 intervalos de tiempo se emitan 4 o ms partculas?

18.- Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una

media de tres por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una media de 4 por hora. Cul es la

probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada?

19._ El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, cinco vegetales. Encuentra la probabilidad de

que la ensalada contenga ms de 5 vegetales

a) en un da dado

b) en tres de los siguientes 4 das

c) por primera vez en abril el da 5.

20._ Supn que aviones pequeos llegan a cierto aeropuerto segn un proceso de Poisson, con tasa de 8 aviones por hora, de modo

que el nmero de llegadas durante un periodo de t horas es una v.a de Poisson con parmetro =8t. a) Cul es la probabilidad de que exactamente 5 aviones pequeos lleguen durante un perodo de una hora? Por lo menos 5? Por lo

menos 10?

b) Cul es el valor esperado y la desviacin estndar del nmero de aviones pequeos que lleguen durante un periodo de 90 minutos?

c) Cul es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequeos lleguen durante un periodo de 2 hrs.? De que a lo sumo

lleguen 10 durante este periodo?

21._ El dueo de una tienda tiene existencias de cierto artculo y decide utilizar la siguiente promocin para disminuir la existencia. El

artculo tiene un precio de $100. El dueo reducir el precio a la mitad por cada cliente que compre el artculo durante un da en

particular. As el primer cliente pagar $50 por el artculo, el segundo pagar $25, y as sucesivamente. Supn que el nmero de

clientes que compra el artculo durante el da tiene una distribucin de Poisson con media 2. Encuentra el costo esperado del artculo

al final de da.

22._ Determina el nmero esperado de nios de una familia con 8 hijos, suponiendo que el sexo del nio es igualmente probable.

Cul es la probabilidad de que el nmero esperado de nios suceda?

23._ Los individuos que tienen dos genes de anemia desarrollan esta enfermedad, mientras que los individuos que no tienen ningn

gen de la anemia o tienen solamente uno no la padecen. Si dos personas, ambas teniendo un solo gen, tienen descendencia, el hijo

recibir dos genes de la anemia con probabilidad de 0.25. Supn que todos los miembros de tres parejas tienen solo un gen de la

anemia y que cada una de las parejas citadas tiene un descendiente. Calcula la probabilidad de que:

a) Ninguno de los descendientes desarrolle la enfermedad.

b) Al menos dos de los descendientes desarrollen la enfermedad.

24._ El nmero esperado de caras obtenidas en 10 lanzamientos de una moneda es 6. Cul es la probabilidad de que resulten 8 caras

en los diez lanzamientos?

3

25._ En promedio, una persona gana 1 de cada 1000 juegos de lotera, si una persona paga el mismo billete de lotera en 500 sorteos

distintos, calcular la probabilidad de que:

a) Nunca gane

b) Gane al menos dos premios

26.- Mara hornea galletas de chispas de chocolate en grupos de 90 galletas, si ella agrega 360 chispa de chocolate a la masa, Cul es

la probabilidad de que una galleta:

a) no tenga chispas de chocolate?

b) tenga cinco o ms chispas de chocolate?

27._ De los 50 edificios de un parque industrial, 12 no cumplen con el cdigo elctrico. Si se seleccionan aleatoriamente 10 de estos

edificios para inspeccionarlos, Cul es la probabilidad de que 3 de ellos no cumplan con el cdigo elctrico?

28._ Un pedido consta de 52 llantas, el comprador seleccionar de forma aleatoria 5 llantas para probarlas. Si dos o ms llantas estn

defectuosas regresar el pedido. Cul es la probabilidad de que el pedido sea aceptado si sabemos que el pedido trae 7 llantas

defectuosas?

29_ La probabilidad de que cierta computadora que corre cierto sistema operativo se descomponga en determinado da es de 0.1.

Determina la probabilidad de que la mquina se descomponga por primera vez en el duodcimo da despus de la instalacin del

sistema operativo.

Respuestas a los ejercicios de la lista No. 4

1. 41081.5

2. a) 32 b) 9963

3. a) 5105.7 b) 0.4437

c) 0.1382 d) 0.5563

4. 40

5. 0.6282

6. a) 0.1321 b) 0.3376

7. 3.96

8. 0.6553

9. 3103.8

10. 0.041

11. a) 0.128 b) 0.1073

12. 6200

13. 0.98

14. 0.2315

15. a) 0.3991 b) 0.1315

16. 0.264, 0.104

17. a) 0.1158 b) 0.999

18. 0.0521

19. a) 0.385 b) 0.140 c) 0.055

20. a) 0.091, 0.9, 0.283 b) 3.464, 0.011

21. 1100 e

22. 0.2734

23. a) 0.4218 b) 0.1421

24. 0.1209

25. a) 0.6065 b) 0.090

26. a) 0.0183 b) 0.3711

27. 0.2703

28. 0.8713

29. 0.0314

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Lista de ejercicios No. 5 Distribuciones continuas famosas.

1._ El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan concreto hacia una obra de construccin en una carretera, est

distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. Cul es la probabilidad de que la duracin del viaje sea mayor a 65

minutos si se sabe que la duracin del viaje es mayor a 55 minutos?

Sol. 1/3

2._ Segn Y. Zimmels, los tamaos de partculas que se utilizan en experimentos de sedimentacin tienen a menudo una distribucin

uniforme. En sedimentaciones con mezclas de partculas de diferente tamao, las partculas mayores obstruyen los movimientos de las

ms pequeas. As que es importante estudiar la media y la varianza de los tamaos de partculas. Supn que partculas esfricas

tienen dimetros con una distribucin uniforme entre 0.01 y 0.05 cm. Determina la media y la varianza de los volmenes de estas

partculas. [Recuerda que el volumen de una esfera est dado por 334 r)/( ]

Sol. )x.( 61056 y 11 2(3.525 10 )x

3._ Un corredor de bienes races carga comisin fija de $50 ms el 6% a las ganancias de los propietarios. Si la ganancia se distribuye

de modo uniforme entre $0 y $2000, obtn la distribucin de probabilidad de las remuneraciones totales del corredor.

Sol. R~U(50,170)

4._ Supngase que cinco estudiantes van a realizar un examen independientemente unos de otros y que el nmero de minutos que

cualquier estudiante necesita para terminar el examen tienen una distribucin exponencial con media 80. Supngase que el examen

empieza a las nueve de la maana, determina la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes termine el examen antes de las

diez menos veinte de la maana.

Sol. 0.9179

5._ El tiempo requerido para que un individuo sea atendido en una cafetera es una v. a. que tiene una distribucin exponencial con

una media de cuatro minutos. Cul es la probabilidad de que una persona sea atendida

a) en menos de 3 minutos?

b) en menos de 3 minutos al menos cuatro de los siguientes 6 das?

Sol. a) 0.527 b) 0.395

6._ Un fabricante de un monitor de televisin comercial garantiza el cinescopio o tubo de imagen por un ao (8679 hrs.). Los

monitores se utilizan en terminales de aeropuerto para programas de vuelo, y estn encendidos en uso continuo. La vida media de los

tubos es de 20,000 hrs., y siguen una densidad de tiempo exponencial. El costo de fabricacin, venta y entrega para el fabricante es de

$300 y el monitor se vende en el mercado en $400. Cuesta $150 reemplazar el tubo fallado, incluyendo materiales y mano de obra. El

fabricante no tiene obligacin de sustituir el tubo si ya ha habido una primera sustitucin. Cul es la utilidad esperada del fabricante?

Sol. 47.19

7._ El tiempo Y que tarda en realizarse cierta tarea clave en la construccin de una casa es una v.a que tiene una distribucin

exponencial con una media de 10 hrs. El costo C para completar esa tarea est relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en

completarse mediante la frmula 2340100 YYC Encuentra el valor esperado C.

Sol. 1100

8._ Se encontr que los intervalos de tiempo transcurridos entre dos accidentes de aviacin, en el caso de todos los accidentes con

vctimas ocurridos en vuelos de pasajeros en el interior de Estados Unidos entre 1949 y 1961, tienen aproximadamente una

distribucin exponencial con media de 44 das.

a) Si uno de los accidentes ocurri el 1 de julio, Cul es la probabilidad de que otro accidente ocurra en el mismo mes?

b) Cul es la varianza de los intervalos de tiempo entre dos accidentes para los aos mencionados?

Sol. a) 0.4943 b) 1936

9._ Supn que el tiempo empleado por un estudiante seleccionado al azar que utiliza una terminal conectada a un centro local de

cmputo de tiempo compartido, tienen una distribucin gamma con media de 20 minutos y varianza de 80 minutos2.

a) Cules son los valores de y ?

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante utilice la terminal por lo menos 24 minutos?

5

Sol. a) 41y 5 / b) 0.2851

10._ Los tiempos de respuesta en una terminal en lnea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribucin gamma,

con media de 4 segundos y varianza de 8 s2. Obtn la funcin de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta.

11._ Los ingresos anuales de los jefes de familia en cierta seccin de una ciudad tienen aproximadamente una distribucin gamma con

1/2y 0001 ,

a) Determina la media y la varianza de estos ingresos.

b) Esperaras encontrar muchos ingresos superiores a 40, 000 dlares en esta rea de la ciudad?

Sol. a) 2,000 y 4,000

Lista de ejercicios No. 6 Distribucin Normal

1._ Supngase que la resistencia a la ruptura de una cuerda, en libras, se distribuye normalmente con media de 100 y varianza 16.

Cada 100 pies de alambre para cuerda produce una utilidad de $25 si la resistencia a la ruptura es mayor de 95. Si la resistencia es

menor o igual a 95, la cuerda puede utilizarse con un propsito diferente y se obtienen una utilidad de $10 por alambre. Encuentra la

utilidad esperada por alambre.

Sol. $23.4116

2. _ La presin de activacin de una vlvula producida por cierta compaa es una variable aleatoria normal con valor esperado de

26libras por pulgada cuadrada y desviacin estndar de 4 libras por pulgada cuadrada. Qu porcentaje de las vlvulas producidas por

la compaa tienen una presin de activacin comprendida entre 20 y 32 libras por pulgada cuadrada?

Sol. 0.8664

3._ Se especifica que el dimetro exterior de un rbol de transmisin (flecha), llammoslo D, debe ser de 4 pulgadas. Supngase que D

es una variable aleatoria distribuida normalmente con media de 4 pulgadas y varianza 0.01 pulgadas cuadradas. Si el dimetro real se

diferencia del valor especificado por mas de 0.05 pulgadas, pero en menos de 0.08 pulgadas, la perdida del fabricante es de $0.5, si el

dimetro real se diferencia del dimetro especificado en ms de 0.08 pulgadas, la perdida es de $1.00. La perdida L, es una variable

aleatoria, encuentra la distribucin de probabilidad de L y calcula el valor esperado de la perdida.

Sol. P(L=0.5)=0.1432, P(L=1)=0.4238, E(L)=$0.5204

4._ Supngase que X tiene una distribucin normal con media y varianza 2 . Determina c, como coeficiente y como funcin de

la media y la varianza, tal que )cX(P)cX(P 2 .

Sol. c= 430.

5._ El dimetro de un cable elctrico esta distribuido normalmente con media 0.8 y varianza 0.0004. El cable se considera defectuosos

si el dimetro se diferencia de su promedio en ms de 0.025 Cul es la probabilidad de obtener un cable defectuoso?

Sol. 0.2112

6._ El dispositivo automtico de apertura de un paracadas militar de carga se ha diseado para abrir el paracadas cuando ste se

encuentre a 200m de altura sobre el suelo. Supongamos que la altitud de apertura en realidad tienen una distribucin normal con valor

medio de 200m y desviacin estndar de 30m. Habr dao al equipo si el paracadas se abre a una altitud de menos de 100m Cul es

la probabilidad de que haya dao a la carga en al menos uno de cinco paracadas lanzado independientemente?

Sol. 0.00214162

7._ Un tipo particular de tanque de gasolina para un automvil compacto est diseado para contener 15 galones. Supn que la

capacidad real X de un tanque escogido al azar de este tipo est normalmente distribuido con media de 15 galones y desviacin

estndar de 0.2 galones.

a) Cul es la probabilidad de que un tanque seleccionado al azar contenga entre 14.7 y 15.1 galones?

b) Si el automvil en el que se instala un tanque seleccionado al azar recorre exactamente 25 millas por galn, Cul es la probabilidad

de que el automvil pueda recorrer 370 millas sin reabastecerse?

Sol. a) 0.62465 b) 0.8414

6

8._ La distribucin de peso de paquetes enviados de cierto modo es normal con valor medio de 10 libras y desviacin estndar de 2

libras. El servicio de paquetera desea establecer un valor de peso c, mas all del cual habr cargo extra. Cul es el valor de c tal que

99% de todos los paquetes pesen por lo menos 1 libra abajo del peso con cargo extra?

Sol. c=15.66

9._ Se sabe que es normal la distribucin de resistencia para resistores de cierto tipo, 10% de todos los resistores tiene una resistencia

que excede 10.256 y 5% tienen una resistencia menor de 9.671. Cules son el valor de la media y de la desviacin estndar de la distribucin de la resistencia?

Sol. 10 y 0.2

10._ El tiempo que dura encendida una lmpara fluorescente es una variable aleatoria normal con media de 400 horas y desviacin

estndar de 40 horas. Si un individuo compra dos lmparas, una de las cuales sirve de repuesto para reemplazar a la otra en cuanto se

funda, Cul es la probabilidad de que con ambas lmparas se disponga de ms de 750 horas de luz?

Sol. 0.8106

11._ Represente por X el nmero de pginas de texto, de una tesis de doctorado en matemticas seleccionada al azar. An cuando X

puede tomar solo valores enteros positivos, suponga que est distribuida normalmente en forma aproximada con valor esperado de 90

y desviacin estndar de 15. Cul es la probabilidad de que una tesis seleccionada al azar contenga

a) a lo sumo 100 pginas (empleando la correccin de continuidad)?

b) Entre 80 y 110 pginas (empleando la correccin de continuidad)?

Sol. a) 0.76832 b) 0.68756

12._ Los datos del Departamento de Agricultura muestran que el consumo de manzanas de una mujer elegida al azar se distribuye de

forma normal con media de 19.9 libras y una desviacin estndar de 3.2 libras, mientras que el consumo de manzanas de un hombre

elegido al azar se distribuye de forma normal con media de 20.7 libras y varianza de 11.56 libras2. Si se eligen aleatoriamente un

hombre y una mujer, Cul es la probabilidad de que el consumo de manzanas de la mujer sea mayor que el del hombre?

Sol. 0.4325

13._ Un ensamble consta de 3 componentes colocados uno a lado de otro. La longitud de cada componente se distribuye normalmente

con media de 2 pulgadas y desviacin estndar 0.2 pulgadas. Las especificaciones requieren que todos los ensambles estn entre 5.7 y

6.3 pulgadas de longitud. Cuntos ensambles cumplirn con estos requerimientos?

Sol. 61.02%

14._ Los pesos de los libros de texto de Qumica son una variable aleatoria normal con media de 3.5 libras y desviacin estndar de

2.2 libras, mientras que los libros de texto de introduccin a la Economa siguen una distribucin normal con media de 4.6 libras y

desviacin estndar de 1.3 libras. Si Alicia pretende inscribirse en un curso de introduccin a la Qumica y en uno de introduccin a la

Economa, calcula la probabilidad de que:

a) el peso de ambos libros de texto sobrepase las 9 libras.

b) el libro de Economa pese ms que el libro de Qumica.

Sol. a) 0.3632 b) 0.6664

15._ La sala de conferencias de cierta universidad cuenta con 160 lugares. Por su experiencia, la universidad sabe que el 40% de los

invitados a dicha conferencia no se presentan. Basndose en esto la universidad reparte 300 invitaciones. Aplicando la aproximacin

normal, calcula la probabilidad de que:

a) se presenten menos de 150 invitados

b) al menos una persona se quede sin asiento

Sol. a) 0.8508, b) 0.0125