linguagem matemática

VIIColoquioInternacional

EnseanzadelasMatemticas11,12y13defebrerode2014

EducacinMatemticaencontexto

ACTAS2014Conferencias

ReportesdeInvestigacinSocializacindeExperienciasDidcticas

TalleresPsteres

PontificiaUniversidadCatlicadelPerDepartamentoAcadmicodeCienciasSeccinMatemticasIREMMaestraenEnseanzadelasMatemticas

Coordinadora:NormaRubioGoycochea

EducacinMatemticaencontextoActas2014

VIIColoquioInternacionalEnseanzadelasMatemticasEducacinMatemticaencontexto

Primeraedicin,junio2014Tiraje:100ejemplaresCoordinadora:NormaRubioGoycocheaDiseodecartula:Ind.GrficaDala'sE.I.R.L.ImpresoenInd.GrficaDala'sE.I.R.L.Jr.SantaFranciscaRomana399,Urb.Palomino.Cdo.Lima.Telfono:4025079Correoelectrnico:grafica_dalas@hotmail.comEditadoyproducidoporlaPontificiaUniversidadCatlicadelPerDepartamentodeCiencias,2014.AvenidaUniversitaria1801,Lima326262000anexo4151Email:[email protected]:http://www.pucp.edu.pe/irem/index.htmlDerechosreservados,prohibida lareproduccindeeste libroporcualquiermedio, total o parcialemente, sin permiso expreso de los editores. Elcontenido de los artculos publicados en este libro es responsabilidadexclusivadesusautores.ISBN:9786124664724HechoelDepsitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPer:201408477ProducidoenelPerProducedinPer

Presentacin

El Instituto de Investigacin para la Enseanza de lasMatemticas de la Pontificia Universidad Catlica del Per(IREMPUCP), en coordinacin con laMaestra en EnseanzadelasMatemticasdelaPUCP,havenidoorganizandodesdeel 2002, encuentros internacionales a los que denominaColoquios Internacionales sobre Enseanza de lasMatemticas.Esteaosellevacabolasptimaedicindeestosencuentrosacadmicos, con el ttulo EducacinMatemtica en contexto.Su principal objetivo fue que los participantes ampliaran susconocimientos acercade laDidctica de lasMatemticas y laevolucin que esta disciplina est teniendo en los ltimostiempos. Estuvo dirigido a profesores de universidades, deinstitutos superiores y de educacin bsica regular(secundaria y primaria). Se realiz los das 11, 12 y 13defebreroenel campusde laPUCPycontcon laparticipacinde reconocidos matemticos y educadores matemticos dediversospasesiberoamericanos.En esta oportunidad disertaron conferencias plenarias ydesarrollaron talleres, distinguidos investigadores invitadoscomoelDr.BrunoDAmoreyMarthaFandinoPinilladeItalia,VicenFontdeEspaa,CiledadeQueirozeSilvaCoutinhodeBrasil,reconocidosporsusgrandesaportesalaDidcticadelaMatemticas.Este volumen est dividido en 2conferencias plenarias, 3conferencias en paralelo, 50reportes de investigacin, 62socializaciones de experiencias didcticas, 17 talleres, y 21psteres. Cada autor es responsable de haber realizado loscambiossugeridospor los integrantesdelComitCientficoalosresmenespresentadossegnseaelcaso.ElComitOrganizadordelVIIColoquioInternacionalsobreEnseanzadelasMatemticasagradecealosautoresporsusvaliosos aportes y a las autoridades de la Pontificia

Universidad Catlica del Per por el gran apoyo brindado;acolegas matemticos y alumnos de Maestra porsudesprendidayeficientededicacinalasmltiplestareasenla organizacin; al especialista Ing. Jos Luis Barturn de laDireccin de Informtica Acadmica (DIA), por su valiosoapoyo con la administracin de la plataforma INDICO; a lasespecialistas de la Oficina de Eventos; a la Direccin deComunicacin Institucional (DCI) y a la Oficina Central deAdmisineInformacin(OCAI)delaPUCP.Ascomotambin,a la Editorial Santillana por su apoyo con la difusin; a laEmpresa MIRA por su apoyo con las pizarras digitales; y alpersonaladministrativodelDepartamentodeCienciasydelaSeccin Matemticas, en particular, a las secretarias DorisMorenoyElvaHuerta,porsuidentificacinydedicacinalastareasdedigitacinycoordinacinlogstica.Asimismo el Comit Organizador agradece la presencia deprofesores e investigadores de Argentina, Brasil, Colombia,Costa Rica, Ecuador, Espaa, Estados Unidos, Italia, Mxico,Venezuela y, en el casodePer, lapresenciadeprofesores einvestigadores de los departamentos de Ancash, Apurmac,Arequipa,Ayacucho,Cajamarca,Cusco,Huancavelica,Hunuco,Ica, Junn,LaLibertad,Lambayeque,Lima,Pasco,Piura,Puno,Tacna,TumbesydelaProvinciaConstitucionaldelCallao,sinlas cuales hubiese sido imposible haber llevado a cabo esteColoquio.

ElComitOrganizador

ConvocanInstitutodeInvestigacinparalaenseanzadelasMatemticas(IREM)PerMaestraenEnseanzadelasMatemticasEscueladePosgradodelaPUCP

Auspician:EditorialSantillanaEmpresaMIRAFacultaddeCienciaseIngenieradelaPUCP

ComitCientficoSaddoAgAlmouloud(PUCSP,Brasil)EdelmiraBadillo(UniversidadAutnomadeBarcelona)MariselBeteta(PUCP,Per)GilsonBispodeJesus(UFRB,Brasil)PatriciaCamarena(IPN,Mxico)JessFlores(PUCP,Per)CeciliaGaita(PUCP,Per)TniaGusmo(UESB,Brasil)MariaJosFerreiradaSilva(PUCSP,Brasil)VicenFont(UniversitatdeBarcelona)UldaricoMalaspina(PUCP,Per)AlejandroOrtiz(PUCP,Per)NormaRubio(PUCP,Per)CoordinadoraMaraTrigueros(InstitutoTecnolgicoAutnomodeMxico)FranciscoUgarte(PUCP,Per)MiguelWilhelmi(UniversidadPblicadeNavarra,Espaa)

ComitOrganizadorJuanAccostupaElizabethAdvnculaJessFloresEmilioGonzagaMiguelGonzagaRosaJaboMaritzaLunaUldaricoMalaspina(Presidente)NlidaMedinaAugustaOsorioNormaRubioNancySaraviaFranciscoUgarteEstelaVallejoEdwinVillogas

ContenidoConferenciasPlenarias..........................................1LaformacininicialdeprofesoresdesecundariadeMatemticas.Unenfoqueporcompetencias.................2VicenFont

EducaoEstatsticanoBrasil......................................10CiledadeQueirozeSilvaCoutinho

ConferenciasParalelas.........................................17Elaprendizajedefraccionesmedianteunaherramientatecnolgica(Etoys)..................................18CerapioQuintanilla

LahistoriadelaMatemticacomorecursodeenseanza......................................................................32AlejandroOrtz

Didticanocontextodetransiointernadoclculoeosregistrosderepresentaosemitica.....................56FranciscoRgisVieiraAlves

ReportesdeInvestigacin.....................................70Cuasiempirismoyconstructivismosocial:algunosaspectosepistemolgicosdelaEtnomatemtica........71ChristianCamiloFuentesLeal

AlgunasrelacionesentrelaEtnomatemticaylaEducacinMatemticaCrtica......................................78ChristianCamiloFuentesLeal

MediaciondelsoftwareGeoGebraenelaprendizajeprogramacinlinealenalumnosdelquintogradodeeducacinsecundaria....................................................86JudithBeatrizBelloDurand,MarianoGonzalez

Anlisepreliminareanliseapriori:situaesdidticasenvolvendoanoodeintegraismultiplas........................................................................92FranciscoRgisVieiraAlves

Propuestadeunasecuenciadidcticaparalaenseanzadeporcentajesaestudiantesdeadministracinysistemas..........................................100JudithChvezSalinas

Comprensinlectoraparalaresolucinenlaenseanzadelasmatemticas...................................108MarleneCuevasCorona,AlmaAdrianaLenRomero

Nivelesdecomprensinalcanzadosporlosalumnosde2aodesecundariaconrespectoaelementosasociadosalacircunferenciahaciendousodelGeoGebra......................................................................116EnriqueSantosNapn

Anlisisdelasjustificacionesdelosestudiantesdeltercergradodeprimariacuandoconstruyansupropiocriteriodedivisibilidadpor5.........................123CandyOrdoezMontaez

Utilizandoahistriadamatemticanoensinodalgebra:percepeseargumentosdestametodologianoensinoeaprendizagemdamatemtica................133JosenildoSilvadoNascimento,AnaCarolinaCostaPereira,IsabelleColhodaSilva

UmolharsobreaformaodoprofessordematemticaemcontextosamaznicosluzdatadedaEtnomatemtica...........................................................139LuclidadeFtimaMaiadaCosta,ItamarMirandadaSilva,ElisngelaAparecidaPereiradeMelo

AnegatividadeeosmenoresprincipaisdematrizesHermitianas.................................................................147JooLuzeiltondeOliveira,AntoniaMariaJosPinheiro,MariaFabolaBorgesdeArajo

Procedimentoserepresentaesalgbricas:umestudocomacadmicosdoensinosuperior.............153NeivaIgnsGrando,SandraMaraMarasini

Temadecasanaatividadedeestudo:oquepensamestudantesdoensinofundamental............................161JussaraVanz,NeivaIgnsGrando

Antropologia:eloentreEtnomatemticaeaTAD............................................................................169ItamarMirandadaSilva,LuclidadeFtimaMaiadaCosta,ElisngelaAparecidaPereiradeMelo

Modelizacinenelaula:contrastandolamatemticaconlacotidianidad......................................................177JesenniaMa.ChavarraVsquez,MarcelaGarcaBorbn

ASequnciaFedathinaformaodoprofessorparaousoqualitativodatecnologiadigital:umaexperinciacomoSoftwareWinplot..............................................185MartaAlvesdaSilva,HermnioBorgesNeto,FranciscaCludiaFernandesFontenelle

Contribuiesdateoriahistricoculturalparaaformaodoeducadormatemtico...........................192BetineDiehlSetti,NeivaIgnsGrando

ASequnciaFedathinaformaoinicialdopedagogo:ousodastecnologiasdainformaoecomunicao(tic)noscontedosmatemticos...............................200RomilsonGomesdosSantos,FranciscaCludiaFernandesFontenelle,MariaJosCostadosSantos

CABRI3Dymaterialconcreto:unestudiodelarepresentacindelcubo.............................................208MagnaFernndezContreras,JessFloresSalazar

Porqualosalumnosdesecundariaselesdificultarealizardespejesalgebraicos?....................................220VctorArmentaSnchez,AlmaAdrianaLenRomero

Analisandoateoriadosregistrosderepresentaosemiticaapartirdeumaatividadedemodelagemmatemtica..................................................................228NeiladeToledoeToledo,DboradeLimaVelhoJunges

Aprticadodeverdecasanoensinodematemtica..................................................................244DboradeLimaVelhoJunges,NeiladeToledoeToledo

Latecnologaacompaadadelasestrategiasdidcticascomoherramientaparalaenseanzadelasmatemticasensecundaria........................................254JuanManuelLpezGonzlez,MelissaLpezMartnez,AlmaAdrianaLenRomero

Preconceptosyerroresenelaprendizajedeloscuadrilteros................................................................262AlbertThomyMaguiaRojas,ElizabethAdvnculaClemente

Revistaspedaggicas,histriadamatemticaeoensinodematemtica:ocasodarevistadoensinodoRS.............................................................................269LuizHenriqueFerrazPereira

Basesepistemolgicassbjacentesaosobstculosdecomunicaodesurdosnainclusoescolarmatemtica..................................................................277IvaneteMariaBarrosoMoreira,GleisyKellyMoreiraLima,EdsonPinheiroWanzeler

Formaodeprofessores:prticaseperspectivasluzdaTAD....................................................................293ItamarMirandaDaSilva,AlineAndreiaNicolli

PIBIDmatemticanaUPF:avaliandoasaesdesenvolvidasnoperodo20102012.......................301ScheilaMontellidosSantos,SandraMaraMarasini

EstudiodelasemejanzadetringulosmediadaporelGeoGebra...........................................................309LuisAlbertoMasgoLara,JessFloresSalazar

Comunidadesvirtuaisdeprofessoresdematemtica:potencialidadeseprticas..........................................322JoserleneLimaPinheiro,MarciliaChagasBarreto

Mobilizaoe(re)significaosaberes:umolharsobreaprticadosprofessoresmatemtica.............331DboraCristinaSantos

OjogodelinguagementreouvinteesurdonoensinodeMatemtica..............................................................342IvaneteMariaBarrosoMoreira,MarisaRosniAbreudaSilveira

SignificadodelaasimetraEstadsticaenlosalumnosdeEconomadelaUniversidadNacionaldelCallao............................................................................357TeresaSofaOviedoMillones

UsodahistriadaMatemticaemsaladeaula:vdeosdaBBCcomopossvelrecursodeensino..................365PriscilaArajoSimes,AbigailFregniLins

Ousodacalculadoravirtualnoensinodasoperaescomfraes..................................................................373IvaneteMariaBarrosoMoreira,PedrofrancodeS

MapeandoaproduocientificasobrerobticaeducacionaleoensinodeMatemticanabasededadosdacapes.............................................................387EdvanilsonSantosdeOliveira,AbigailFregniLins

AlinguagemdesinaisnoensinodeMatemtica......396IvaneteMariaBarrosoMoreira,EdsonPinheiroWanzeler

Construesalgortmicasedemonstraesaxiomticas..................................................................408LuizaMariaMoraisLima,HermnioBorgesNeto,AnaCludiaMendonaPinheiro

Afunodaavaliaonoprocessodeenisinoaprendizagem:umolharsobreaprtica...................419DboraCristinaSantos

LogrosdeaprendizajedelosestudiantesdeeducacinbsicaentemasdeEstadsticayProbabilidad.........431AugustaOsorio,ElizabethAdvnculaClemente

TratamientodidcticodeladerivadalaaplicacindelprogramaDERIVE.................................................439DianaJudithQuintanaSnchez

Prticascolaborativas:superandooisolamentoprofissional..................................................................445AbigailFregniLins,PatriciaSandaloPereira,MercedesCarvalho

OportunidadesydificultadeseneldesarrollodeambientesinclusivosparaelaprendizajedelasMatemticas.................................................................453GabrielManceraOrtiz,FranciscoJavierCameloBustos,JennyferZambranoArias

SignificadopersonaldeladerivadaenestudiantesdeIngenieradelaUniversidadNacionalMicaelaBastidasdeApurmac.................................................................465AlejandroManuelEcosEspino

Gnesisinstrumental:latransparenciayelarrastreenlainstrumentalizacindelafuncindefinidaportramos..........................................................................472LuisDanielChumpitazMalpartida,JessFloresSalazar

Estudiodelasimetraaxial:mediadoporelsoftwareGeoGebra......................................................................480DaysiGarcaCullar,JessFloresSalazar

Altashabilidades/superdotaoemmatemtica:reflexesparaaformaaodeprofessores.............489AnaCristinaSchirlo,SanideCarvalhoRutzdaSilva

Msallderespuestascorrectasoerradasentornoalconceptodelmitedeunafuncinrealdevariablerealenunprimercursodeclculodelniveluniversitario................................................................497CristinaSofaLaPlataDelaCruz

Deldibujoafiguraylasteorasdelassituacionesdidcticasydelainstrumenacin..............................505LuizMarcioSantosFarias,MariaAuxiliadoraLisboaMorenoPires,TniaCristinaRochaSilvaGusmo,AfonsoHenriques,ClaudineideCarmargoSantana

UnaexperienciaenEtnomatemticasustentadaeneldiseoyconstruccindelinstrumentomusicalcuatro.............................................................537OswaldoJessMartnezPadrn,AnglicaMartnezdeLpez,AndrsA.GonzlezRondell,MaraLuisaOliverasContreras

SocializacindeExperienciasDidcticas..........547Repensandoaformaodeprofessoresdematemticaapartirdeatividaesdeensinoeaprendizagemdeconceitosdetrigonometria.........................................548MariaDeusaFerreiradaSilva

TratamientometodolgicoydesarrollodelaunidadCuadrilterosbajoenfoqueproblmico,enel4gradodesecundariadelaI.E.N80915MiguelGrauSeminariodeElPallarHuamachuco,2013...........556LuisMiguelMaravZavaleta

AcercandolaenseanzadelClculoalperfildelingeniero:resolucindeproblemasabiertos...........564SilvinaSanMiguel,SilvinaBeatrizChezzi,PatriciaCarinaGmez,MaraFabianaAgout

TICsymatemtica:unaexperienciaconGeoGebra..569SilvinaSanMiguel,SilvinaBeatrizChezzi,PatriciaCarinaGmez,MaraFabianaAgout

UnaalternativaparaaprenderMatemticaenelcolegio:lainiciacincientifica....................................574JaimeEdmundoApazaRodriguez,InocncioFernandesBalieiroFilho,NairRodriguesdeSouza

Buscandoelhotelmscercano..................................580CeciliaGmezMendoza

Lafuncinlinealenlastarifasdeserviciodeaguapotableyalcantarillado..............................................589EdwinVillogasHinostroza

AbrindocadeadoscomousodaMatemtica............596JooLuzeiltondeOliveira

Desafosmatemticoscomomotivacinalaprendizaje..................................................................601CarlosTorresNinahuanca

Eldesarrollodelosprocesosdealfabetizacinmatemticas.................................................................609NairRodriguesdeSouza,LucianaParoScarinFreitas

Autilizaodaregradafalsaposioparaoensinodeequaesdo1Grauapartirdeumaabordagemhistrica........................................................................614IsabelleColhodaSilva,AnaCarolinaCostaPereira,JosenildoSilvadoNascimento

FormaoinicialdeprofessoresindgenasnosEstadosdoTocantinseAmazonas:contribuiesdaeducaoMatemtica...................................................................621ElisngelaAparecidaPereiradeMelo,LuclidadeFtimaMaiadaCosta

EstudiodefuncionesdevariablerealenelentornodinmicoqueofreceGeoGebra..................................629MabelAliciaGay,MaraJosefinaTito,SilvinaSanMiguel

Formaocontinuadaeresoluodeproblemas:umapropostametodolgicatendocomobasequestesdaOBMEP..........................................................................637NeuzaTerezinhaOro,MarianeKneippGiareta,RosaMariaTagliariRico,TacianaDro,VanessaPansera

NcleoeimagendeunatransformacinlinealusandoMathematica................................................................644NancySaravia

Lasasntotasysusmitos............................................654IrisFlores,NancySaravia

AnlisisdetareasmatemticasconGeoGebraparaelaprendizajedefuncionescuadrticasdesdelateoradesituacionesdidcticas............................................663MabelAliciaGay,GracielaElenaGay,SilvinaBeatrizChezzi

Oficinasdematemticanasescolas:umadasaesextensionistasdoprojetointegraodaUniversidadecomaEducaoBsica................................................670SandraMaraMarasini,BetineDiehlSetti,EliamarCeresoliRizzon,MariadeFtimaBaptistaBetencourt,RosaMariaTagliariRico,RosanaMariaLuvezuteKripka

RepensandoaeducaoMatemtica:umaleituradaprticaapartirdaanalisedaanalisedaexperinciadocente.........................................................................676NeiladeToledoeToledo

AvaliaoeanlisedodesempenhodealunosematividadesprticasdeMatemtica.............................682RamoneTramontini,NeivaIgnsGrando,SimoneAlineHenn

AprticacomocomponentecurricularesuasimplicaesnaconstituiodoserprofessordeMatemtica...................................................................689RobertoPreussler

Optimizacindefuncionesencontextosgeomtricos.................................................................698NestorSnchezLen

ContribuiesdaDidticadaMatemticaemcursosdeformaodeprofessoresdeMatemtica...................704ElisngelaAparecidaPereiradeMelo,PauloClberTeixeiraMendona,AlexandreOliveiradaSilva

EnseanzadeloscuadrilterossegnelmodeloVanHieleymediadaporelsoftwareGeoGebra...............712AlbertThomyMaguiaRojas,ElizabethAdvnculaClemente

UmapropostadeensinodeprclculoparaalunosqueingressamnoscursosdareadasCinciasExatas:umaexperinciacomalunosdeFsicadaUESB.......718AdrizaMacedoDamacenoLima,MariaDeusaFerreiradaSilva

UtilizandorecursosdaProgramaoNeurolingustica(PNL)paraoensinodaMatemtica...........................725LuizHenriqueFerrazPereira

MatemticaVdicanoensinodasquatrooperaes.....................................................................733FreudRomo

AimportnciadaSequnciaFedathinaconstruodoconceitodegeradoresemlgebraLinear.................749FranciscaCludiaFernandesFontenelle,HermnioBorgesNeto,FranciscoEdisomEugeniodeSousa

Umasequnciadidticaparaoensinodeequaodo2Grau:umapropostametodolgicabaseadanaSequnciaFedathi.......................................................757AnaCludiaMendonaPinheiro,HermnioBorgesNeto

ElMoodlecomoherramientadeenseanzayaprendizajedelasMatemticas.................................770SumayaJaimesRetegui

LinguagemMatemtica:traduoepolissemia........775MarisaRosniAbreudaSilveira,RobsonAndrBaratadeMedeiros,JaneisideLimaMeira,CarlosEvaldodosSantosSilva

ExploraodeconceitosdeGeometriaAnalticacomosoftwareGeoGebra......................................................785NilceFtimaScheffer,DanielaJssicaVeroneze,MerielenFtimaCaramori

Umolharsobreadificuldadedaresoluodeproblemasnoensinodamatemtica.........................793DboraCristinaSantos

Etnomatemticaeaprendizagemsignificativa:articulaespossveisemprocessosdeformaodeprofessoresqueensinammatemticaemescolasribeirinhas....................................................................801LuclidadeFtimaMaiadaCosta,IsabelCristinaRodriguesdeLucena

OusodoGeoGebranoensinoeaprendizagemdematemticanoscursosdeEngenharia......................810EloizaGomes,JulianaMartinsPhilot,RobertaAlbanez

Usandocompetnciasehabilidadesparadiferenciarasaesdecontagememedida......................................818DavidRibeiroMouro,FranciscoEdisomEugeniodeSousa,RomilsonGomesdosSantos

UmestudodoensinodaintegralimprpriacomousodaSequnciaFedathiumapropostametodolgicaparaaslicenciaturas....................................................825AlessandroMendonaNasserala,AnaCludiaMendonaPinheiro

Unapropuestadeenseanzacontecnologadigitalenlarepresentacindelugaresgeomtricos.................833MaritzaLuna

ExplorandoamatemticadabandeiradoBrasil:tcnicasgeomtricascomargolas..............................840LeandroCarlosdeSouzaGomes,AbigailFregniLins

ColetneaLABGGparaescolaseuniversidades:NEF.801Estudodospolgonoseseuselementos...846EimardGomesAntunesdoNascimento,MariaTeresaBixiroNeto

Ferramentasdaweb2.0paraeducaomatemtica:estudodaarte..............................................................855EimardGomesAntunesdoNascimento,DennysLeiteMaia,JoserleneLimaPinheiro,RodrigoLacerdaCarvalho

Aartedetrabalharalgunsconceitosdageometriaplanaeespacialaoconstruirumacaixadepresentes......................................................................863NeyrMunizBarreto

ExplorandoGeometriaatravesdoprocessogeralderinaldini:ousodosoftwareeducacionalGeoGebra......................................................................868DboraCristinaSantos

AOBMEPcomoexperinciadeensinodamatemtica..................................................................877DboraCristinaSantos,JonatasMarques,AirtonDaniloOliveira

Ousodequebracabeaparaodesenvolvendodopensamentogeomtrico.............................................886MariaJosCostadosSantos,IvoneidePinheirodeLima,DavidRibeiroMouro

Integraodaeducaomatemticaeambiental:umaabordageminterdisciplinarnocontextodareciclagemdelixo........................................................892JosaphatSoaresNeto,JlioWilsonRibeiro

Fazendo,ensinandoeaprendendomatemticaatravsdejogos...........................................................903DboraSernajotto,CristianTssioQueiroz,LisandraBarretodaSilvia,LuizHenriqueFerrazPereira,MarieleSitta,NilomarZanottoJnior,RosideFtimaOliveiraPortela

PIBIDemaooprocessoformativodosfuturosprofessoresdematemtica.........................................910IvoneidePinheirodeLima,MariaJosCostadosSantos

PropuestadelarestauracinarquitectnicadeunacasonadelCentrodeLima.........................................915LydiaChungaLudea,KianniZuritaMartinez,AnaAyamamaniJaimes

AutilizaodoFacebookcomoferramentametodolgicanoEnsinodeMatemtica(SE)............923MiriamCorreiaDaSilva

ImpactodelaaplicacindePodcastenlaclasedegeometra.....................................................................930MyrianLuzRicaldiEchevarria

UmestudodasderivadasimplcitascomousodosoftwareGeoGebraparavisualizaocartesiana:ocasodofliodeDescartesedaCardioide..............938AlessandroMendonaNasserala,FranciscoRgisVieiraAlves

Mudanadeformasderegistro:umaatividadedeusodalinguagemmatemticaemcontextocotidiano.......................................................................946AirtonCarrioMachado,PaulaResendeAdelino,KellyForneroMelillo,NoraCabreraZiga

Puestaenmarchadelmtododeenseanzaaprendizajeaprendizajeorientadoaproyectos....958MarieCosetteGirnSuazo,VernicaNeiraFernndez,YulianaVillarealMontenegro,LuisFernandoVelardeVela,LeninRolandoCabracanchaMontesino

:unarealidadtangible..............................................974FredyRivadeneira,OscarIntriago

SlidosderevolucinconWinplot............................981ElizabethAdvnculaClemente

Elaprendizajedelamatemticaenalumnoscondficitdeatencin:unaaplicacindelaprendizajemediado........................................................................988GeovanaElizabethLinaresPurisaca

Conjeturaydemostracin.SucesindeFibonacci....994NlidaMedina

Unapraxeologiaparalosjuegosquelosprofesorespuedenutilizarensusclases....................................1001LuizMarcioSantosFarias,JoabyOliveiraSilva,EdmoFernandesCarvalho,AndersonSouzaNeves,JanySouzaGoulart

AlternativasenlaenseanzadelaEstadsticaapersonascondiscapacidadvisual............................1019AnglicaMartnezdeLpez

MulticulturalidadyEtnomatemtica:sehacecaminoalandar.........................................................1027OswaldoJessMartnezPadrn,FredyEnriqueGonzlez,MaraLuisaOliverasContreras

Unaaplicacindelprincipiodemultiplicacinenlasprobabilidades................................................1044JosFloresDelgado

Talleres..............................................................1049Visualizaonoensinodeintegraisgeneralizadas:situaesdidticascomousodosoftwareGeoGebra....................................................................1050FranciscoRgisVieiraAlves

Geometrizandooensinodefrao...........................1058MariaDeusaFerreiradaSilva,FerdinandMartinsdaSilva

IntroduccinalageometraconEtoys....................1062CerapioQuintanilla,AdrianaGewerc,FernandoFraga

EscoladeHackers:umapropostametodolgicaparaoensinodeconceitosmatemticos............................1075ArianeMileidiPazinato,NeuzaTerezinhaOro,EliamarCeresoliRizzon,MariaEleneMalmann,JosianeMuller,AdrianoCanabarroTeixeira,JaquelineZilli

DinamizandooClculodereasregulareseirregulares:daeducaobsicaaoensinosuperior......................................................................1081DanieldeJesusSilva,MariaDeusaFerreiradaSilva

Aimportanciadautilizaodematerialconcretonoensinodematemticanonvelmdio:umaexperincianoensinodefunes............................1089DanielaMacdoDamacenoPinheiro,MariaDeusaFerreiradaSilva

Estudodegeometriaespacial:origamicomoferramentapedaggica.............................................1095LeandroCarlosdeSouzaGomes,AbigailFregniLins,PriscilaArajoSimes

UsandoLABGG:posibilidadesparaestudiarlafuncindelprimerysegundogrado......................................1100EimardGomesAntunesdoNascimento,MariaTeresaBixiroNeto

OusodoGeoplanonoensinodegeometria............1103NeyrMunizBarreto

Estrategiasdidcticasparalaenseanzadelasprobabilidadeseneducacinprimaria....................1110CsarFernandoSolsLavado

Construyeaplicacionesmvilesconbloquescomputacionales(Appinventor)..............................1118JosLuisMornValdivia

ElmundodelaMatemgica......................................1126OswaldoJessMartnezPadrn

Grficosestatsticoseateoriadosregistrosderepresentaosemitica...........................................1142CiledadeQueirozeSilvaCoutinho

Problemasdeolimpiadasmatemticasysuaportealpensamientomatemticoenlaeducacinbsica..........................................................................1146EmilioGonzagaRamrez,JorgeTipeVillanueva,JohnCuyaBarrios

Tareasyactividadestelemticasparaelaprendizajedelasmatemticas.Usodepizarrasdigitales.........1152MariselRocoBetetaSalas

ElanlisisdidcticoenelmarcodelEnfoqueOntosemitico............................................................1161VicenFont,NormaRubio,UldaricoMalaspina

Actividadescolaborativasparaelusodelaspropiedadesdelmodelonormalparaelclculodeprobabilidadessincontarconintroduccintericadeltema......................................................................1165AugustaOsorio

Psteres..............................................................1172ContenidodelamediaaritmticaenloslibrosdetextoysuinfluenciaenlacomprensinporestudiantesdelprimerciclodelaUniversidadNacionalMicaelaBastidasdeApurmac..................1173BelenCabreraNavarrete

Transdisciplinandooensinodematemtica:arendadebilronasaladeaula...................................1176MariaJosCostadosSantos,IranAbreuMendes

Disciplinadedidticadamatemtica:atividadesenvolvendoumasessodidticaatravsdaSequnciaFedathi.....................................................1183HellenCristinaVieiraCosta,MariaJosCostadosSantos,JessicaAparecidaSousa,JaneteBatista

Explorandoconceitosgeomtricoscomousodoscratch........................................................................1189NeuzaTerezinhaOro,ArianeMileidiPazinato,EliamarCeresoliRizzon

Educaoambientalintegradaaoensinodecontedosmatemticos...............................................................1192EliamarCeresoliRizzon,ArianeMileidiPazinato,MarieleSitta,NeuzaTerezinhaOro,TanielaPena

Resolucindeproblemasconelusodematerialesdidcticos...................................................................1196MarcoJoycePonceVera,ElenaAraceliFuentesZamarripa,AlmaAdrianaLenRomero

ManejodelaempresachicharronesdelInkaylasmatemticas...............................................................1198MagnaJuliaGuerreroCelis,JohanaAndreaCerdanBurga,ErnestoJuancarlosDurandBerrospi,SergioBrunoRuestaVelasquez

ManejodelaempresaTextilAlpasurylasmatemticas...............................................................1201MagnaJuliaGuerreroCelis,AnaLucaAlvaFigueroa,FiorellaCelesteCanavalTemoche,CarlosLeandroVeneroTupayachi,RicardoAlejandroCamposMedina,KevinDerekFarasFranco

Utilidadesygananciasenlaempresametropolitano............................................................1204CarlosReynagaAlarcn,MarielaAlejandraCastaedaPerales,AlwinRammelReyna,WilliamsAndersonContrerasGreffa,JeanCarlosLuisVilchezFrancisco

EstimacindecostosenlarestauracinarquitectnicadeunacasonadelCentrodeLima............................1207LydiaChungaLudea,KianniZuritaMartinez,AnaAyamamaniJaimes

Resoluodeproblemasmatemticosnaagropecuria:umamotivaoparaoensinodamatemtica................................................................1209AdeniseVieiradeSouza,MariaDeusaFerreiradaSilva

Aimagencomoreferenciaparaoensinodamatemtica................................................................1217LuizHenriqueFerrazPereira

Explorandoacalculadoracomorecursodidticoemumambientecolaborativo..................................1219AdriellySorayaGoalvesRodrigues,AbigailFregniLins

AimportnciadaSequenciaFedathinaformaodenovosprofessores:umolhartransdisciplinarnagraduaoempedagogia..........................................1222JssicaLira,HellenCristinaVieiraCostaeMariaJosCostadosSantos,JosEdinaldoFariasLira,IzabelSousaFariasLira,CliaMariaVieiraCosta,AntnioJosdosSantoseMariaNediCostadosSantos

Ositeescolagameseoscontributosnoprocessodeensinoeaprendizagemdematemticanaeducaoespecial.......................................................................1228EdvanilsonSantosdeOliveira

PesquisasobrealfabetismofuncionalemmatemticabsicacompescadoresartesanaisdecabedelonoestadodaParaba......................................................1233NeyrMunizBarreto,AbigailFregniLins

Sobredefasagemedeficincianoensinodamatemticaescolar...................................................1235LuanCostadeLuna,ThayrineFariasCavalcante,ValbeneBarbosaGuedes,AnielyRgisdoNascimento

MatemticagregaeAndreaPalladioretrospectivahistricasemcursosdeformaodeprofessoresemNatalRN/BR........................................................1247FranciscaVandilmaCosta

Umtrabalhocolaborativosobumaperspecitvainclusivadealunosdeficientesvisuaiscomamanipulaodemateriais.........................................1249AndradeAndradeMoura,AbigailFregniLins

Aatuaodofuturoprofessordematemtica,nosestgiossupervisionadosnaeducaoindgena....1252SheylaSilvaThFreitas,AnaCarolinaCostaPereira,ValmirodeSantiagoLima

ElusodelaRobticaWeDoenlaenseanzadelamatemticaenlaeducacinprimariadelasInstitucionesPblicasPeruanas..............................1260MaradelCarmenBonilla

ConferenciasPlenarias

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LAFORMACININICIALDEPROFESORESDESECUNDARIADEMATEMTICAS.UN

ENFOQUEPORCOMPETENCIASVicenFont

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Resumen

Primero se explican brevemente las caractersticas de laformacin inicial de los profesores de matemticas desecundaria en Espaa y se distingue entre el periodo 19712010ylostresltimosaos,enlosqueseaplicauncurrculoporcompetencias.Acontinuacin,elcasodeEspaaseutilizacomo contexto para la reflexin sobre un enfoque porcompetenciasenlaformacindeprofesoresdesecundariadematemticas, en particular se hacen algunas consideracionessobrecuestionesde investigacinrelacionadasconelmodelodeeducacinporcompetenciasenlaformacininicialdeesteprofesorado. Por ltimo, se presenta una propuesta decompetencias del profesor de matemticas y se ponenejemplosdetareasparasudesarrolloyevaluacin. Palabras clave:Formacin inicial deprofesores,matemticas,secundaria,competenciasprofesionales.1. La formacin de los futuros profesores de

matemticas

La investigacin enEspaa sobre la formacinde los futurosprofesores de matemticas de secundaria ha servido paraconocertantolas limitacionesdelaformacininicial,comoeltipo de competencias que los profesores que la recibieronfueron desarrollando a partir de su prctica profesional.Durante el periodo 19702010 se fue generando un amplioconsenso sobre los siguientes aspectos: 1) que la formacindidctica que se les exiga era insuficiente y 2) que lascompetenciasprofesionalesquelosprofesoresdesarrollabana


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partirdesuprcticasedeberancomenzaradesarrollarenlaformacininicialdelosfuturosprofesores.Estosdosaspectos,entre otros, se han incorporado en Espaa en la actualpropuesta de formacin del profesorado de secundaria dematemticas,vigentedesdeel2010.Actualmente en Espaa los currculos de secundaria estnorganizados por competencias. Se trata de currculosambiciosos que exigen una formacin muy calificada. ParaconseguirestetipodeformacinsehamodificadolaformacininicialdelosprofesoresdesecundariamediantelacreacindelMster de Formacin de Profesor de Secundaria dematemticas (MFPSM). Ahora bien, esta mejora en laformacin inicial debera estar orientada por investigacionessobrelaimplementacindeestosestudios.2. Cuestionesproblemticasdeinvestigacin

Dado que el currculo de la enseanza secundaria estorganizadoporcompetenciasyelcurrculodelMFPSMloestpor competencias profesionales, aparecen las siguientescuestiones que merecen ser investigadas: Cules son lascompetencias profesionales que permiten a los profesoresdesarrollaryevaluarlascompetencias,generalesyespecficasde matemticas, prescritas en el currculo de secundaria?Cmo desarrollarlas y evaluarlas? La respuesta a estaspreguntas,asuvez,estrelacionadaconlarespuestaqueseda la siguiente pregunta ms general: Cules son lascompetencias profesionales que necesita el profesorado paraensearmatemticas?Nuestro grupo de investigacin se ha interesado sobreaspectos relacionados con estas preguntas en el marco dediferentes proyectos de investigacin. En particular, nosinteresamosporinvestigarlascuestionessiguientes:1) Caracterizar globalmente competencias profesionales en

laformacininicialdelMFPSM,susgradosydescriptores.


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2) Disear ciclos formativos multimodales (presencial yonline), para el desarrollo de competenciasprofesionales en el MFPSM (en especial, la competenciaenanlisisdidcticodeprocesosdeinstruccin).

3) Disear y aplicar instrumentos de evaluacin de lascompetencias profesionales de los futuros profesoresdesecundariadematemticas.

Nos interesa analizar las prcticas profesionales que losfuturos profesores realizan para resolver las taresprofesionales propuestas, y el conocimiento matemticodidctico activado en ellas, para encontrar indicadores quejustifiquen la asignacin de grados de desarrollo de lacompetenciaprofesionalquesepretendeevaluar.3. MarcoTericoCaracterizar el conocimiento del profesor necesario para laenseanza esun temade investigacin relevante, entre otrasrazonesporquehayconocimientolimitadosobrel.Enelreade la EducacinMatemtica se han realizado investigacionespara conocer la forma en que el conocimiento del contenidomatemticodelosprofesoressehaceevidenteensusclasesenformadebuenasprcticas.Setratadeinvestigacionesque,enmayoromenormedida, serelacionancon lacompetenciaenanlisisdidctico.Entreellashayquedestacar:1) Conocimiento matemtico para una enseanza de las

matemticas de calidad. A partir de la nocin deconocimiento matemtico para la enseanza, el grupo deBall y col. (Hill, Ball y Schilling, 2008) se ha planteadocules son las caractersticas que ha de tener esteconocimientoparaconseguirunaenseanzadecalidad.

2) TheKnowledgeQuartet.Rowlandycol.(Rowland,Huckstepy Thwaites, 2005) se interesan por conocer cmo elconocimiento del contenido matemtico del profesor sehace evidente en sus clases, para ello analizan clases,grabadas en video, con el objetivo de caracterizar elconocimientodelprofesoractivadodurantelainstruccin.


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3) Competencia mirar con sentido: Algunas investigacionessobre el desarrollo profesional del profesor subrayan laimportancia de la competencia denominada mirar consentido (Mason, 2002). Dicha competencia permite alprofesordematemticasver las situacionesdeenseanzaaprendizajedelasmatemticasdeunamaneraprofesionalquelodiferenciadelamanerademirardealguienquenoesprofesordematemticas.

4) La competencia en anlisis didctico en el marco delEnfoqueOntosemiticodelaInstruccinMatemtica(EOS).En este enfoque se proponen los siguientes niveles deanlisisdidctico(Font,PlanasyGodino,2010):

a) anlisisdeproblemasysistemasdeprcticas. b) anlisis de las configuraciones de objetos y procesos

matemticos. c) anlisisdetrayectoriaseinteraccionesdidcticas. d) identificacindelsistemadenormasymetanormas. e) valoracin de la idoneidad didctica del proceso de

instruccin para identificar y potenciar buenasprcticas.

Consideramos importantecaracterizar competencialmenteuncurrculo factible y de calidad en el MFPSM y somos de laopininquelacompetenciaenanlisisdidcticodebetenerunpapel relevante en dicho currculo (Font, 2011). Para sudesarrollo tomamos como principal referente terico elmodelodeanlisisdidcticopropuestoporelEOS.4. Hiptesisyobjetivos

Nuestrogrupodeinvestigacinasumelassiguienteshiptesis:H1) Es posible desarrollar un programa por competencias

enelMFPSM.H2) La competencia que permite evaluar y desarrollar la

competencia matemtica se puede considerarcompuestapordosmacrocompetenciasque,asuvez,sepueden descomponer en otras: a) la competencia


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matemticayb)lacompetenciaenanlisisdidcticodeprocesosdeinstruccin.

H3) Hay un ncleo de la competencia en anlisis didcticoque entendemos como: Disear, aplicar y valorarsecuencias de aprendizaje propias y de otros,mediantetcnicasdeanlisisdidcticoycriteriosdecalidad,paraestablecer ciclos de planificacin, implementacin,valoracinyplantearpropuestasdemejora.Ypodemosencontrar criterios e indicios del desarrollo de estacompetencia.

Ynosplanteamos,entreotros,lossiguientesobjetivos:1) Elaborar la lista de competencias clave que se han de

desarrollarenelMFPSM.Determinargradosdedesarrollopara cada competencia y perfil profesional de entrada almsterdeFPSM,apartirdeexperienciasyadesarrolladas.Proponerindicadoresyevidenciasasociadasquepermitanevaluarelgradodedesarrollodecadacompetencia.

2) Con relacin a la competencia especfica en anlisisdidctico de procesos de instruccin, disear eimplementar ciclos formativospara el desarrollo dedichacompetenciaytambininvestigarcmosedesarrollaenlaimplementacindeciclosformativos.

5. EnfoquemetodolgicogeneralNuestra investigacin tiene un componente de investigacinms desarrollo porque pretende proporcionar: (1)conocimientotericosobrelaformacindefuturosprofesoresdesecundariadematemticas,(2)caracterizacindel estadoactual de la formacin de estos futuros profesores eidentificacindelosfactorescondicionantesdelamismay,(3)elaboracinderecursosdidcticosespecficosparamejorarsuformacin. La investigacin es primordialmente cualitativa,puestoquesebuscadescribireldesarrollodecompetenciasenestosfuturosprofesores.Losgruposdefuturosprofesoresqueparticipanenlainvestigacinsonmuestrasintencionales.


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En cuanto al componente instruccional experimentamos laaplicacin de ciclos formativos para el desarrollo decompetencias. En todos ellos, el anlisis didctico tiene unpapel relevante y se realiza siguiendo unmodelo de anlisis(Font, Planas y Godino, 2010) que permite disear, aplicar yvalorar secuencias de aprendizaje, para establecer ciclos deplanificacin, implementacin, valoracin y plantearpropuestasdemejora.6. Ejemplodecicloformativo

A continuacin explicamos brevemente parte de un cicloformativo en el que, por una parte, se trata de desarrollar lacompetenciaenanlisisdidcticoy,porotra, investigarcmoseproduceestedesarrollo.EnelMFPSMdelaUniversitatdeBarcelonaeldesarrollodelacompetencia en anlisis didctico corresponde a todas lasasignaturas.Aqucomentaremosbrevementelasecuenciaquesesigueentresasignaturasparacontribuirasudesarrollo.Enla asignatura de innovacin e investigacin sobre su propiaprcticasesiguelasiguientesecuencia(ae):a)Anlisisde casos (sin teora). Se propone a los alumnos la

lectura y anlisis del episodio descrito en Font, Planas yGodino (2010), dicho anlisis se debe realizar a partir desus conocimientos previos sobre anlisis didctico. Elproceso seguidoes: 1)Lectura individualdel contextodelproblemaydelatranscripcin.2)Formacindegruposde34personas.3)Anlisisdidcticodelepisodiodeclaseengrupo. 4) Elaboracin de conclusiones. 5) Presentacin alosotrosgruposdelasconclusiones.

b) Emergencia de los niveles de anlisis didctico propuestospor elEnfoqueOntosemiticode laCognicin e InstruccinMatemtica (EOS). La puesta en comn de los anlisisrealizada por los diferentes grupos, completada con latcnicade otrasvoces, si esnecesario,permiteobservarcomoelgrangrupocontemplaloscinconivelesdeanlisisquesiguen,aunquecadagruposlohacontempladoalguno


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de ellos: 1) Anlisis de las prcticas matemticas. 2)Anlisis de objetos y procesos matemticos activados yemergentesdelasprcticasmatemticas.3)Anlisisdelastrayectorias e interacciones didcticas y de conflictossemiticos. 4) Identificacin del sistema de normas quecondicionan y hacen posible el proceso de estudio(dimensin normativa). 5) Valoracin de la idoneidaddidcticadelprocesodeestudio.

c) Teora (criterios de idoneidad). De los cinco nivelesanterioresse focaliza laatencinenelquinto,paraellosedan elementos tericos a los alumnos, en concreto se lesexplican los criterios de idoneidad propuestos en el EOS.Esteenfoqueproponelossiguientescriteriosdeidoneidad:1) Idoneidad epistmica, se refiere a que las matemticasenseadas sean unas buenas matemticas. Para ello,ademsdetomarcomoreferenciaelcurrculoprescrito,setrata de tomar como referencia a las matemticasinstitucionales que se han transpuesto en el currculo. 2)Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que losaprendizajespretendidos/implementadosestnenlazonade desarrollo potencial de los alumnos, as como laproximidad de los aprendizajes logrados a lospretendidos/implementados. 3) Idoneidad interaccional,gradoenquelosmodosdeinteraccinpermitenidentificary resolver conflictos de significado y favorecen laautonoma en el aprendizaje. 4) Idoneidad mediacional,grado de disponibilidad y adecuacin de los recursosmateriales y temporales necesarios para el desarrollo delproceso de enseanzaaprendizaje. 5) Idoneidad afectiva,gradodeimplicacin(inters,motivacin)delalumnadoenel proceso de estudio. 6) Idoneidad ecolgica, grado deadaptacindelprocesodeestudioalproyectoeducativodelcentro,lasdirectricescurriculares,alentornosocial,etc.

d) Anlisisde episodiosde clase videograbados utilizando loscriteriosdeidoneidad.

e) Lecturaycomentariodepartesdealgunostrabajosfinaldemster en los que los futuros profesores de cursos


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anterioresutilizaronloscriteriosdeidoneidadparavalorarla unidad didctica que implementaron en su periodo deprcticas.

EnlasasignaturasPrcticumIIyTrabajoFinaldeMsterlosalumnoshandeutilizarloscriteriosdeidoneidadpara:

f) Disearyvalorarsupropiaprctica,enconcreto launidadquehandiseadoeimplementadoenelPrcticumII.

EnlaasignaturaTrabajoFinaldeMsterlosalumnos:g)Han de redisear la unidad didctica implementada en el

Prcticum II demanera que semejoren algunos aspectosque la valoracin realizada indica que se deben y puedenmejorar.

Nuestro objetivo es investigar durante la enseanza de esteciclo formativo, sobre todo, cmo aparecen y se conectan enlos futurosprofesores, porejemplo, criterios sobre la calidadmatemtica(idoneidadepistmica).Agradecimientos

TrabajorealizadoenelmarcodelproyectoEDU201232644.Referencias

Font, V. (2011). Competencias profesionales en la formacininicial de profesores de matemticas de secundaria.Unin,26,925.

Font, V., Planas, N. y Godino, J. D. (2010). Modelo para elanlisis didctico en educacin matemtica. Infancia yAprendizaje,33(1),89105.

Hill, H. C., Ball, D. L. y Schilling, S. G. (2008). Unpackingpedagogical content knowledge: Conceptualizing andmeasuringteachers'topicspecificknowledgeofstudents.Journal forResearch inMathematicsEducation,39,372400.

Mason, J. (2002). Researching your own practice. Thedisciplineofnoticing.London:RoutledgeFalmer.


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Rowland, T., Huckstep, P. y Thwaites, A. (2005). Elementaryteachers'mathematicssubjectknowledge:theknowledgequartet and the case of Naomi. Journal of MathematicsTeacherEducation,8(3),255281.

EDUCAOESTATSTICANOBRASILCiledadeQueirozeSilvaCoutinho

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Resumo

A pesquisa aqui retratada teve a finalidade de aprofundar areflexo sobre aspectos relacionados construo deorganizaesmatemticas,estatsticasedidticas,tendocomoobjeto a Estatstica Descritiva e a Probabilidade, comprofessores da escola bsica. Mais especificamente, osobjetivos perseguidos foram dois. O primeiro foi estudar osfatores que interferem no processo de ensino e deaprendizagem de conceitos estatsticos e probabilsticos debase(conceitosbsicosdaestatsticadescritiva,ideiadoacaso,experimentoaleatrioeprobabilidade).Osegundoobjetivodoprojeto foi promover uma reflexo entre pesquisadores eprofessoresparticipantesdoprojeto sobre comodesenvolveraes de formao de professores (inicial e continuada) deforma a que estes possam construir ferramentas tericas edidticas para organizao e gesto de situaes deaprendizagem. Os dois objetivos esto interligados, pois osresultados do primeiro nortearam, de alguma forma, asreflexesquetecidassobreosaspectosmetodolgicos,acoletaeanlisededadosrelativosaosegundoobjetivo.Citamosdoisresultadosbastanteimportantes:atesededoutoradodeDivaValrio Novaes, que diagnosticou concepes docentes, e umtutorial construdo pelos professores participantes, parautilizaodoGeogebranaconstruodegrficosestatsticos.


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Palavraschave: educao estatstica; formao deprofesores;GeogebraIntroduocomeandoaconversa

Os contedos relacionados ao bloco Tratamento daInformao,queconstituemsaberesindicadosnosParmetrosCurricularesNacionais para o Ensino Fundamental II (Brasil,1998) para abordagem ao longo de todo o EnsinoFundamental, constituem o cenrio dessa conferencia. Nocenriobrasileiroenocenriointernacional,emrelaoaessetema, temos um campo em franca expanso: as pesquisascomeamaapareceretomarcorpo,constituindosegruposdepesquisadores especficos desta rea de conhecimento.Podemos observar a existencia de grupos nos mais diversospases, comoFrana,Espanha,Portugal,Mxico,entreoutros.NoBrasil, percebese um incio de trabalho demobilizao esensibilizao dos pesquisadores em Educao MatemticacomostrabalhosdoGTdeProbabilidadeeEstatstica,mantidopela Sociedade Brasileira de Educao Matemtica ecoordenado por mim no perodo 20092012, e atualmentepelasprofessorasIreneM.CazorlaeVernicaY.Kataoka.Essegrupo, alm de encontros presenciais durante os SeminriosInternacionaisdePesquisaemEducaoMatemtica(SIPEM),tambmviabilizadebatesvirtuais,cominscrieslivresnositedogrupo:http://br.groups.yahoo.com/group/GT12_EnsinoProbEstat/.Damesmaforma,nointeriordosProgramasdePsGraduaoem Educao, em Educao Matemtica e em Ensino deCincias eMatemtica esto se organizandonovos gruposdepesquisa em Educao Estatstica, como na PUCSP, o grupopesquisaPEAMAT,cadastradonoCNPq.Oprojetoquerelatamostevecomoobjetivosprincipais:1) estudarosfatoresqueinterferemnoprocessodeensinoe

deaprendizagemdeconceitosestatsticos,probabilsticosecombinatriosdebase(conceitosbsicosdaestatsticadescritiva, idia do acaso, experimento aleatrio e


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probabilidade, idia de contagem e tipos deagrupamentos);

2) promover uma reflexo entre pesquisadores eprofessores participantes do projeto sobre comodesenvolver aes de formao de professores (inicial econtinuada) de forma a que estes possam construirferramentas tericas e didticas para organizao egestodesituaesdeaprendizagem.

Osdoisobjetivosforambuscadossempredeformainterligada,poisosresultadosdoprimeironortearam,dealgumaforma,asreflexesquetecidassobreosaspectosmetodolgicos,acoletae anlise de dados relativos aos segundo objetivo. Paraalcanaroprimeiroobjetivo,fizemosumtrabalhoqueintegrouresultadosdepesquisasemEducaoMatemticaeEducaoEstatsticainclusiveasevidnciasempricasacumuladaspelareadePsicologiaEducacional , eutilizouprocedimentosdeinvestigao envolvendo questionrios, entrevistas,observaesepesquisasbibliogrficasedocumentais.As aes desenvolvidas no projeto integraram as propostasdos professores pesquisadores (pesquisadores,mestrandos edoutorandos)comasdosprofessoresdaredepblica,sujeitosda pesquisa. Nos momentos de encontro, os professores,sujeitosdapesquisa,puderamdescreversuasprticas,discutilas e escolher as que caminhassem para uma proposta deintegrao mais formal e passvel de um acompanhamentosistemtico.Fundamentostericosemetodolgicos

Nossa pesquisa realizouse em estreita associao com umaao ou com a resoluo de problema coletivo no qual ospesquisadores e os participantes so envolvidos de modocooperativoouparticipativo(Thiollent,1998).A construo, a anlise e a experimentao das situaes deformao,tantodosprofessoresdoEnsinoFundamentalcomode seus respectivos alunos, seguiram os princpios daEngenharia Didtica e a Teoria das Situaes Didticas


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(Brousseau, 1996). A Engenharia Didtica vista comometodologia de pesquisa (Artigue, 1980) caracterizase, emprimeiro lugar, por um esquema experimental baseado nasrealizaesdidticasemsaladeaula,isto,naconcepo,narealizao, na observao e na anlise de sesses de ensino.Nesta viso, contemplamos as fases indicadas nessametodologia:aanliseepistemolgicadoscontedosvisados;a anlise do ensino tradicional e seus efeitos; a anlise dasconcepes dos estudantes e professores, das dificuldades eobstculosquedeterminamsuaevoluo;aanlisedocamponoqualsituarsearealizaoefetivadeumcenriodidtico.Todas estas etapas foram desenvolvidas, logicamente,pautadaspelosobjetivosespecficosdenossainvestigao,queeraodesenvolvimentodopensamento,letramentoeraciocinioestatstico dos professores e, consequentemente, de seusrespectivosalunos,nostermosassumidosporGal(2002)eporBenZvieGarfield(2004).Organizaodotrabalhorealizadocomosprofessores

O projeto de pesquisa foi desenvolvido segundo as seguintesetapas, que no eram estanques: diagnstico de concepesiniciaisdosprofessoresparticipantes;combasenosresultadose nos estudos didticoepistemolgicos, elaborao de umconjunto de situaes que foram desenvolvidas com osprofesores;orientaodosprofessoresnaelaborao,anliseeaplicaodeumconjuntodeatividadesparaserdesenvolvidocom seus alunos. A partir dessas aes, desenvolveramseprocedimentos de diagnstico de possveis mudanas deconcepesedaprticapedaggicadosprofessores,pormeiode mapa conceitual, entrevistas e de acompanhamentos emsaladeaula.Para isto, o grupo de pesquisa manteve dois momentosdistintosdetrabalho: Os encontros de segundafeira: onde o grupo de

pesquisadores e alunos da psgraduao, discutiam afundamentao e os aspectos tericos da pesquisa e daformaodosprofessores.


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Os encontros de formao propriamente dita, queaconteciam com um grupo de professores voluntarios,semanalmente,comduraode3h.

Participavam dessas reunies no apenas os pesquisadores,mas tambm alunos de mestrado e doutorado, assim comooutrosprofessoresquejconcluramseumestradonaPUCSPe que atuavam como colaboradores no projeto, seja comoobservadoresnasoficinas,sejanapesquisadenovos textosepublicaes que poderiam fazer evoluir a pesquisa. Citase oexemplo dos alunos que desenvolveram seus mestrados emensino e aprendizagem da Probabilidade e da Combinatria,temasquenoforamabordadosnoprojetoatomomentoporproblema de tempo didtico para construo dosconhecimentos especficos e didticos relativos ao temaEstatsticaDescritiva.Decidiuse adotar, enquanto procedimento de formao, aelaborao de material de apoio pelo qual os professorespudessemrefletirassituaesapresentadaseproporpossveissoluesemdiscussescoletivas.Algunsdosresultadosobservados

As questes que guiaram o projeto continuam ainda a serrespondidas. Retomando o objetivo de instrumentalizar oprofessordaescolabsicaparao trabalho comcontedosdeEstatstica, Probabilidade e Combinatria, podemos assumircomo parcialmente atingido, uma vez que o tempo foisuficienteapenasparaotrabalhocomcontedosestatsticos.Pudemos constatar que os professores participantes, a pesardedesconfortveisparaabordaremoscontedosestatsticoscom seus alunos, apresentavam atitudes francamentefavorveis reflexo sobre as propostas feitas, conformerelatamCoutinhoeMiguel(2007).Pudemos avanar nas reflexes tericas, articulandoreferenciaisdaDidticadaMatemticacomosdaDidticadaEstatstica,comoapresentadoemCoutinho,SilvaeAlmouloud(2011), tratando especficamente da leitura da Teoria dos


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Registros de Representao Semitica no que se refere aosgrficos estatsticos, articuladamente com as ideias sobre odesenvolvimentodopensamentoestatstico,particularmenteadetransnumerao.Avanamos tambmnoque se referedesenvolvimentododecontedos estatsticos na escola bsica e na formaocontinuadade professores, a partir de reflexes guiadas pelaTeoria Antropolgica do Didtico e pela Teoria dasConcepes, campo nos quais ainda temos pesquisas emdesenvolvimento.ResultadosigualmenteimportantesforamapesquisadedoutoradodesenvolvidaporDivaValrioNovaes,que estudou as concepes estatsticas e didticas dosprofessoresparticipantes, luzdaTeoriadasConcepes,eaconstruo de um tutorial, pelos professores participantes,para a construo de grficos estatsticos com uso doGeogebra.Referncias

Artigue, M. (1980),Ingnierie Didactique. Recherches enDidactiquesdesmathmatiques,9/3,p.281298.

BenZvi, D. E Garfield, J (eds.) (2004), The challenge ofdeveloping statistical literacy, reasoning and thinking.Dordrecht,KluwerAcademicPublishers.423p.

Brousseau, 1996. Fundamentos e Mtodos da Didctica daMatemtica.In:Brun,J.(dir.).DidcticadasMatemticas,pp.35113.Lisboa:InstitutoPiaget.

Coutinho,C.Q.S.,Miguel,M.I.R.(2007)Anlisededados:umestudodiagnsticosobreconcepesdeprofessores. In:Anais do 30 Encontro Anual da ANPEd. Disponvel emhttp://www.anped.org.br, acesso em 22 de outubro de2013.

Coutinho, C. Q. S.; Silva, M. J. F.; Almouloud, S. Ag. (2011)Desenvolvimento do Pensamento Estatstico e suaArticulao com a Mobilizao de Registros de


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Representao Semitica. In Bolema. Boletim deEducaoMatemticaUNESP.RioClaro.v.24,p.495514.

Gal, I. (2002) Adults' Statistical literacy: Meanings,Components, Responsibilities. International StatisticalReview.70(1),p.125.

Thiollent, 1998. Metodologia da Pesquisaao. So Paulo:Cortez.

ConferenciasParalelas

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ELAPRENDIZAJEDEFRACCIONESMEDIANTEUNAHERRAMIENTA

TECNOLGICA(ETOYS)CerapioQuintanilla

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Resumen

La presencia de herramientas tecnolgicas en el quehacereducativo es cada vez mayor, dejando incierta la escuelatradicional.Lastecnologashacenlavidamsdificultosaalosprofesores; esto implica el requerimiento de profesores connuevas habilidades en su formacin profesional (Collins &Halverson, 2009). En este contexto; en la nueva cultura deaprendizaje, lossalonesdeclases,comomodelo,estnsiendoreemplazados por ambientes de aprendizaje mediados contecnologasdigitales(Thomas&Brown,2011).La conferencia tiene el propsitodemostrar que estudiantesdeeducacinprimariasoncapacesdeconstruirelconceptodefraccin, utilizando un entorno tecnolgico constructivistadenominado Etoys, que es un lenguaje de programacinorientadoaobjetosdelibredistribucin,unsistemainspiradoenLOGO,SmalltalkyStarLogo(Kay,2007).Eltrabajodescribey explica el papel que juegan las tecnologas comoherramientas educativas (Fraga & Gewerc, 2004) en elaprendizaje de lasmatemticas. Para tal efecto, el trabajo seenmarca dentro de dos teoras: el construccionismo deSeymour Papert, que orienta el marco teleolgico de lainvestigacin como una filosofa de la educacin y la vida(Papert,1999),quefundamentaelusodetecnologasdigitalesen la educacin (Badilla & Chacn, 2004) y la teora APOS(accin,proceso,objetoyesquema)deEdDubinskyqueayudaa comprender y explicar los niveles de constructosmentalesque los alumnos logran alcanzar durante el proceso deaprendizaje (Asiala etal., 1996). En base a los procesos


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desarrollados por los estudiantes, los resultados de lainvestigacinsonalentadores.Palabrasclave:Etoys,construccionismo,teoraAPOS,conceptodefraccin,herramientatecnolgica.Introduccin

La actividad matemtica ocasiona en la mayora de losalumnos dificultades de aprendizaje que en otras actividadesdel conocimiento. Esta situacin particular que tiene elprocesodeaprendizajedelasmatemticas,esabordadadesdediversas vertientes tericas, como las teoras psicolgicas,teoras cognitivas y las disciplinas de las didcticas de lasmatemticas; porque es muy complejo el proceso deenseanzaaprendizaje.Unode losconceptosmscomplejosenelniveldeeducacinprimaria, inclusive en la educacin secundaria es el conceptode fraccin; porque est asociado a las dificultades pordiversos factores (simbolismo, conceptual, uso demateriales,uso de TIC, entre otros), errores que comenten durante laconstruccin del concepto y obstculos que impiden elaprendizajedelasfracciones.Por otra parte, la presencia de las tecnologas tales comotablets, Smart phones y tecnologas similares, pueden serusadosparatransformarlasenseanzatradicionalcentradoenel profesor (Cuban, 2012). En tal sentido, el reporte deinvestigacin introduce el uso del recurso tecnolgico en elaprendizajedelasfracciones;bajoelcontextodelateoradelconstruccionismo y la teora APOS (accin, proceso, objeto yesquema).El trabajo se centra en el estudio de cmo los nios del 5togradodeprimariaconstruyenelconceptodefraccinhaciendousodelrecursotecnolgicoEtoys(lenguajedeprogramacin).Losresultadosdelosconstructosmentalesalcanzadosporlosnios/a en la construccin del concepto de fraccin sonanalizadosatravsdelestudiodecasos.


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Elementostericosypresupuestosbsicos

Las dimensiones iniciales del trabajo de investigacin seobservaenlaFigura1.1.Graciasalaflexibilidaddelparadigmacualitativo,estasafloranyseamplanalolargodelprocesodeinvestigacin y van profundizndose (Vera C & Vollaln C,2005).

Figura1.1Dimensionesbsicasdelainvestigacin

Por qu el concepto de fracciones? Al respecto, muchasinvestigaciones muestran que operar con fracciones ydesarrollar problemasmatemticos con fracciones es una delas principales dificultades en el nivel primario (Fraser,Murray,Hayward,& Erwin, 2004), a pesar de que amenudoutilizan el concepto en su vida cotidiana y estas son muycomplicadas (DuzenliGokalp y Sharma (2010). Del mismomodo,laenseanzadelasfraccionesesunadelastareasmsdifcilesparalosmaestrosdeeducacinprimaria,porello,unalto porcentaje de estudiantes fracasan en aprender esteconcepto(DeLen&Fuenlabrada,1996;Sankaran,Sampath,&Sivaswamy,2009).Por su versatilidad se seleccion a Etoys, porque es unlenguaje de programacin que hereda la mayora de lascaractersticas de Smalltalk80 y se basa en una arquitecturasimple denominado marco mrfica. En el periodo 2006 2007,AlanKayysuequipoconstruyeronEtoyssobre labasedeSqueakyfueusadoporelproyectoeducacionalOLPCXO1,yen2009laFundacinSqueaklandfuecreadaporViewpointsResearch,Inc(Freudenberg,Ohshima,&Wallace,2009).Etoyses una herramienta educacional que permite a los niosrealizarsimulacionesdesituacionesdelavidarealatravsde

Dificultades en el aprendizaje de

Construccin del concepto

de fraccin con Etoys

Concepto fraccin

Teoras de aprendizaje

Squeak Etoys


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la programacin; siendo sta un lenguaje de programacinmuy verstil, proporcionando al nio de un ambiente muyamigable.La base terica del trabajo se fundamenta en elconstruccionismodePapert, el que se sustenta en las teoraspsicolgicas de Piaget, Vygotsky y Bruner. Piaget hizo unestudiosobreeldesarrolloylaformacindelosconocimientostomandoencuentaelprocesocentraldeequilibracin(Piaget,1990, p. 9); tal sistema ocurre cuando el sujeto construyecognitivamenteunacomprensindeunainformacinatravsde un proceso llamado abstraccin reflexiva (Dubinsky &Lewin,1986).Vygotsky destaca la funcin del lenguaje como medio decomunicacinsocial,deexpresinycomprensin(Ackermann,2004; Baquero, 2001; Vygotsky, 1989); y el aprendizajemediantelazonadedesarrolloprximo(ZDP).Esteban(2009,p. 238) considera que una fase cognitiva del pensamientopedaggicodeBrunereselaprendizajepordescubrimiento.ElpapelcentraldelbuenmaestroconsisteendescubrirlaZDPdecadaestudiante,parafacilitarle lamediacinyelapoyoenelaprendizaje. Esa actividad del profesor constituye elandamiaje, que permite a un nio/a o novato, resolver unproblema o una tarea para alcanzar un objetivo (Wood,Bruner,&Ross,1976).Paradeterminarlaconstruccindelconceptodefraccin,porpartede losniosy lasnias, se incorpora la teoraAPOSdeDubinsky dentro del construccionismo, luego se disea ladescomposicin gentica del concepto de fraccin paraidentificar los niveles de constructos mentales que losnios/as alcanzan al momento de construir el concepto defraccin.Preaccin. Se considera cuando el estudiante no puedeidentificarlanocindefraccinencualquieradelascategorasy no tiene preciso el concepto de fraccin en las situacionesmatemticas.


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Accin. Es unamanipulacinmental o fsica repetible de losobjetos (Breidenbach,Dubinsky,Hawks,&Nichols,1992).Eneste nivel de constructo el estudiante logra identificar oreconocerelconceptodefraccinen lasdiferentescategoras(una parte y el todo, objetos discretos, juegos, objetoscontinuos,expresinverbalyescritura):A.1.Observaunagrficaeidentificalafraccin.A.2.Reparteunconjuntodeobjetosenporciones.A.3.Reconoce los elementos (lneas, ngulos, nmeros,

polgonos) de un objetomatemtico que determina unafraccin.

A.4. Considera a la fraccin como la divisin de unacircunferenciarelacionandoaunatarta.

A.5. ConsideraladivisindelplanodeLaCasadelasCienciascomounadivisinclsica realizando trazos (sinanalizarlasposibilidades).

Laconcepcindeprocesodeunafraccinocurrecuandounaaccin es repetida y el estudiante reflexiona sobre ella;entonces,puedeinteriorizartalaccinenproceso.Esasquelaconstruccininternapermiterealizarlamismaaccin,masnopuedeserdirigidaporestmulosexternos;porejemplo:P.1. Diferencia las fracciones en dos figuras e identifica sus

elementos.P.2. Analiza los elementos u objetos matemticos que

componen La Casa de las Ciencias para realizar ladivisin;porejemplo:unarecta,uncuadrado(compuestode rectas y ngulos de 90) y un tringulo (tres lados ytresngulos).

P.3. Construye un segmento y ngulos considerando giroshacia la derecha o hacia la izquierda, nguloscomplementarios y suplementarios, haciendo uso deEtoys.


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P.4. Ensaya construyendo objetos, como cuadrados ytringulos que son elementos bsicos que componen unobjetomatemtico, comoes la fraccin,haciendousodeEtoys.

LaconcepcindeObjeto, se refierea la reflexinquehaceelindividuosobrelasaccionesaplicadasaunprocesoespecfico.En esta etapa se espera que los estudiantes construyan yreconstruyanlasfracciones.Siesaselcaso,sedicequeseharealizado una reconstruccin o se ha encapsulado como unobjetocognitivo;entonces,elindividuo:O.1. Explica los elementosde un cuadrado y su construccin

conEtoys.O.2. Explica los elementos de un tringulo, as como su

construccinconEtoys.O.3. Compone los diferentes mosaicos en un guion para la

construccindeuncuadrado.O.4.Compone los diferentes mosaicos en un guion para la

construccindeltringulo.Esquema. Segn Asiala et al. (1996) un esquema se realizacuandolosobjetosyprocesosluegodeserconstruidospuedenser interconectados en varias formas. Los esquemasdesignados por Dubinsky et al. (1994) corresponden a lostematizados por Piaget, los cuales indican la coleccinfusionada en un objeto en el cual pueden tener lugar lasacciones. Las fracciones construidas con Etoys mediante lautilizacin de diversos elementos matemticos, como porejemplo los elementos construidos con Etoys: segmentos,ngulos, tringulos, cuadrados, rectngulos forman unesquema, y cada uno de los elementos tienen un conceptodefinido. Entonces cuanto el estudiante alcanza este nivel deconstructomental:S.1. Concibe el conceptodeuna fraccin como ladivisinde

un objeto en varias partes iguales mediante el uso deEtoys.


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S.2. Construye fracciones con el elemento tringulo (ladistribucindelaCasadelasCiencias),yotrasfraccioneshaciendousodeEtoys.

S.3. Concibe el concepto de una fraccin como la unin devarias partes iguales para formar un todo, haciendo usodeEtoys

S.4. Diseayexplica lasdiversas situacionesdel contextodelavidaqueinvolucraelconceptodefracciones.

Estas situaciones permiten identificar los niveles deconstructos mentales que los nios/as alcanzan durante laconstruccindel conceptode fraccina travsde losdiseosdeproyectosconEtoys.El paradigma del construccionismo provoca una ruptura delesquema tradicional del trabajo en el laboratorio; porqueproponellevarel laboratorioalaula.Estoquieredecir,queelpropioprofesor dematemticas introduzca los conceptosdelamatemticaapoyndoseenelusodelasmicrocomputadoras(Papert, Watt, diSessa, & Weir, 1979). Porque elConstruccionismocomounafilosofadelaeducacin,sostienequelosniosaprendenhaciendo,explorandoydescubriendo,en lugar de recibir una informacin preenvasada (Papert,1986).Metodologadeinvestigacin

La investigacinescualitativa,unestudiodecasos,dedicadaalestudiodelusodetecnologasenelaulaporlosestudiantes(Savenye&Robinson,2004,p.1046).Centrasurespuestaalapregunta cmo losniosconstruyenel conceptode fraccinenlasmatemticashaciendousodeEtoys?Paradarrespuestaa esta pregunta, no es necesario recurrir a valorarcalificaciones de su rendimiento, o medir la adquisicin deconocimientosdelosnios/as;sinoquerequierecomprenderpara explicar el proceso de la construccin del concepto,haciendo un seguimiento etapa por etapa, mientras nios yniastrabajanconEtoysconelobjetodeubicarencadaetapalosnivelesdeconstructosmentalesalcanzados.


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Paralarecoleccindedatosseutilizlasecuenciaquemuestrala figura 1.2. Se busc una situacin real para formular laconstruccindelconceptodefraccin;detantasposibilidadesseeligiLaCasade lasCienciasde laCoruaporsupeculiarfigurageomtrica.Conestemodelo losniosconstruyeronelconceptodefraccin.

Figura1.2Modelocclicodedesarrollodeproyectosenel

construccionismo.Unavezpropuesto elobjetomatemtico, sehace la siguientepreguntaa losnios qu formageomtrica tieneLaCasadelasCienciasdelaCorua?Cadaestudianteformulasuhiptesisde estudio en sus carpetas de trabajo sobre la formageomtrica de la Casa de las Ciencias. Para contrastar lashiptesisbajoelparadigmadelconstruccionismoesnecesarioverificar in situ el lugar. Los nios inician explorando porinternet desde el espacio para ver la forma geomtrica quetiene al Casa de las Ciencias. Una vez visto, cada estudianteverificasuhiptesis,escribeydibujaensulibretadenotaslaverdadera forma geomtrica. Adems, para ayudar, se leprovee de una fotografa del plano con las medicionesrespectivas,luegoparatenerunvalorexacto,semultiplicapor20acadaladodeltringulo.

Solucin Experiencias Formulacin de

hiptesis

Problema real

A modo de conclusin


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Figura1.3ElmuseovistodelespacioconGoogleEart,yla

segundamuestraelplano.La ejecucin de las experiencias se desarroll durante dossemanas, con 4 horas cada una en el laboratorio deinformtica, donde los nios iniciaron diseando con lpiz ypapel la redistribucin del plano de La Casa de las Ciencias.Luegodiscutieronsobre lasdiferentes formasdedistribucinquepudieran realizar, finalmente consensuaronenundiseocomo semuestra en la figura 1.3.a., donde cada parte es untringuloissceles.

(a) (b)Figura1.4Intentodedivisindelplano.

Como los estudiantes ya haban tenido contacto enexperiencias anteriores con Etoys, se adaptaron fcilmente adisear y ejecutar unproyecto conEtoys; primerodisearonun tringulo como semuestra en la figura1.3.b.; segundo, sepropusieron varias hiptesis sobre cmo utilizar el tringulodiseado, luego de discusiones llegan a concluir que esnecesario hacer pegados de tringulos utilizando el mosaicogira,lograndoasdisearladistribucindelplanodeLaCasadelasCiencias.


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Unavezconcluidoelproyectose realizunaencuestaa cadaestudiante sobre los conceptos aprendidos. Cada estudianteexpusolosconceptosaprendidos,divididosendosconceptos:matemticos y fsicos; ademsendos competencias:digital yaprestamiento de motora fina, durante el desarrollo de laexperienciaconEtoys.AmododeconclusinLosresultadossonanalizadosenformaglobaldeacuerdoaladescomposicin gentica del concepto de fraccin propuesto.Seevaluelprocesodesarrolladoencadaunodelosproyectosquefuerongrabadosenlosordenadores;contrastandoconlasfilmacionesrealizadasdurantelaejecucindelasexperiencias.Losconceptosmatemticosderectaosegmentoseoriginaneneldiseodelproyectoconelguionavanza; luegoelconceptodenguloseoriginaconelguingira;ambosguionesorientanla conceptualizacin de los nmeros enteros. Adems, alejecutar los dos guiones aparece el concepto de ngulosuplementario.Finalmente,losguionesavanzaygirageneranlacircunferenciaylospolgonos.Elconceptodefraccinsurgedelaconstrucciniteradadeuntringulo,aldisearelplanodelaCasadelasCiencias.Enesteproceso, los nios pasan por proyectos diversos, desde laconstruccin de un segmento, ngulo, tringulo hasta laconstruccindeunoctgonodivididoenochopartes.Encadaproyecto diseado los nios/as alcanzan un nivel deconstructomental;ademscadaproyectoesunsubesquema;


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porqueanivelinterserelacionanentreellasparagenerarotroesquema mucho ms grande denominado nivel trans, quevieneaserlaconstruccindeloctgono,osealaredistribucindelplanode laCasade lasCiencias. ParaPiaget, este tipoderesultadosedenominacoordinacinporqueestcaracterizadopor inferencias, implcitas o explcitas, realizados por elalumno/a(Piaget,1990),ademsellospuedenrealizarambasoperaciones (dividir o agrupar)para expresar el conceptodefraccin(Meel,2003).Respecto a la descomposicin gentica del concepto defraccin, los nios/as, utilizando la herramienta Etoys,alcanzaronelniveldeesquema;porqueconcibenel conceptodeunafraccincomoladivisindeunobjetoenvariaspartesiguales; construyen fracciones con el elemento tringulo (ladistribucinde laCasade lasCiencias).Finalmente, concibenel concepto de una fraccin como la unin de varias partesiguales para formar un todo. A este proceso de inversininteriorizado,Piagetdenominreversibilidad(Meel,2003).Etoys,comoherramientaeducacional,permitia losnios/asaprender el concepto de fraccin en interrelacin con otrosconceptos matemticos de manera transversal; asimismo,Etoyscontribuyeen laconstruccindeconceptospasandodeunniveldeaccinaniveldeesquema:unnivelmselevado.Referencias

Ackermann, E. (2004). Constructing Knowledge andTransformingtheWorld.EnL.Steels&M.Tokoro(Eds.),A Learning zone of ones own: sharing representationsandflowcollaborativelearningenvironments(pp.1537).Amsterdam, Berlin, Oxford, Tokyo,Washington, DC: IOSPress.Recuperadoapartirde

http://web.media.mit.edu/~edith/publications/2004Constructing_Knowledge.pdf

Asiala,M.,Brown,A.,Devries,D.J.,Dubinsky,E.,Mathews,D.,&Thomas, K. (1996).A Framework for Research andCurriculumDevelopment inUndergraduateMathematics


29

Education.CBMS. Issues in Mathematics Education:ResearchinCollegiateMathematicsEducation,6,132.

Badilla,E.,&Chacn,A.(2004).Construccionismo:Objetosconelcualpensar,entidadespblicasymicromundos.RevistaActualidadesInvestigativasenEducacin,4(1),112.

Baquero,R. (2001).Vigotskyyelaprendizajeescolar.BuenosAires:AiqueEditorS.A.

Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J., & Nichols, D.(1992).Development of the process conception offunction.EducationalStudies inMathematics,23(3),247285.doi:10.1007/BF02309532

Collins,A.,&Halverson,R.(2009).Rethinkingeducationintheageoftechnology:thedigitalrevolutionandschoolinginAmerica.NewYork:TeachersCollegePress.

Cuban, L. (2012, abril).Integrating technology into amathlesson.Larry Cuban on School Reform andClassroom Practice. Recuperado 20 de julio de 2012, apartir dehttp://larrycuban.wordpress.com/2012/04/04/integratingtechnologyintoamathlesson/

De Len, H., & Fuenlabrada, I. (1996). Procedimiento desolucin de nios de primaria en problemas de reparto.Revista Mexicana de Investigacin Educativa, 1(2), 268282.

Dubinsky,E.,Dautermann,J.,Leron,U.,&Zazkis,R.(1994).OnLearning Fundamental Concepts of GroupTheory.EducationalStudiesinMathematics,27,267305.

Dubinsky, E., &Lewin, P. (1986). Reflective Abstraction andMathematics Education: The Genetic Decomposition ofInductionandCompactness.TheJournalofMathematicalBehavior,(5),5592.

DuzenliGokalp, N., & Devi Sharma,M. D. (2010). A study onadditionandsubtractionoffractions:TheuseofPirieandKieren model and handson activities. Procedia Social


30

and Behavioral Sciences, 2(2), 51685171.doi:10.1016/j.sbspro.2010.03.840

Esteban, M. (2009).Las ideas de Bruner: de la revolucincognitiva a la revolucin cultural. EDUCERE . Ideas ypersonajes,13(44),235241.

Fraga,F.,&Gewerc,A.(2004).Unaexperienciainterdisciplinaren Ed. Primaria mediante el uso de Squeak. Innovacineducativa, Universidad de Santiago de Compostela, (15),120.

Fraser, C., Murray, H., Hayward, B., & Erwin, P. (2004).Thedevelopment of the common fraction concept in gradethreelearners.Pythagoras,59,2633.

Freudenberg, B., Ohshima, Y., &Wallace, S. (2009). Etoys forOne Laptop Per Child. En Seventh Annual InternationalConference on Creating, Computing, connecting andcollaborating through Computing (pp. 57 64). KyotoUniversity: IEEE Computer Society.doi:10.1109/C5.2009.9

Kay,A. (2007). ChildrenLearningbyDoing: SqueakEtoys onthe OLPC XO. Viewpoints Research Institute. VPRIResearch Note RN2007006a.Recuperado a partir dehttp://www.vpri.org/pdf/rn2007006a_olpc.pdf

Meel, D. E. (2003).Modelos y teoras de la comprensinmatemtica: Comparacin de los modelos de Pirie yKieren sobre el crecimiento de la comprensinmatemticaylaTeoraAPOE.RevistaLatinoamericanadeInvestigacinenMatemticaEducativa,6(003),221278.

Papert, S. (1986).Constructionism: A new opportunity forelementary science education. Massachusetts:MassachusettsInstituteofTechnology,MediaLaboratory,EpistemologyandLearningGroup.

Papert, S. (1999). Logo Philosophy and Implementation.Cambridge: Logo Computer System Inc. Recuperado apartirde


31

http://www.microworlds.com/company/philosophy.pdfPapert,S.,Watt,D.,diSessa,A.,&Weir,S.(1979).FinalReport

of theBrooklineLOGOProject. Part II: Project SummaryandData.MassachusettsInstituteTechnology,1223.

Piaget,J.(1990).Laequilibracindelasestructurascognitivas:Problema central del desarrollo. Madrid: Siglo XXI,EditoresS.A.

Sankaran, S., Sampath, H., &Sivaswamy, J. (2009). Learningfractions by making patterns An Ethnomathematicsbasedapproach.EnS.C.Kong,H.C.Ogata,C.K.Chang,T.Hirashima, J. H. M. Klett, C. C. Liu, S. J. . Yang (Eds.),Proceedings of the 17 th International Conference onComputers in Education (pp. 341345). Hong Kong:Asia_Pacific Society for Computer in Education.Recuperadoapartirdehttp://www.apsce.net/ICCE2009/pdf/C2/proceedings341345.pdf

Savenye,W.C.,&Robinson,R.S. (2004).Qualitative researchissues and methods: an introduction for educationaltechnology. En D. H. Jonassen (Ed.), Handbook ofResearch for Educational Communications andTechnology (2.a ed., pp. 10451071). New Jersey:Lawrence Erlbaum Associates. Recuperado a partir dehttp://www.aect.org/edtech/39.pdf

Thomas,D.,&Brown, J. S. (2011).ANewCultureofLearning:Cultivating the Imagination for a World of ConstantChange.USA:CreateSpace.

Vera C, A., &Vollaln C, M. (2005). La triangulacin entremtodos cuantitativos y cualitativos en el proceso deinvestigacin.Ciencia&Trabajo,7(16),8587.

Vygotsky,L.S.(1989).Thoughtandlanguage.USA:MITPress.Wood,D.,Bruner, J.S.,&Ross,G.(1976).TheRoleofTutoring

in Problem Solving.Journal of ChildPsychology and


32

Psychiatry, 17(2), 89100. doi:10.1111/j.14697610.1976.tb00381.x

LAHISTORIADELAMATEMTICACOMORECURSODEENSEANZA

AlejandroOrtzPontificiaUniversidadCatlicadelPer

[email protected]

Resumen

Enlaconferenciaseexpusoreflexionessobrelahistoriadelamatemtica comodisciplinade investigaciny losaportesdestaa laenseanzade lamatemtica.Se tuvocomopuntodepartida la experiencia personal del autor, iniciado en ladocencia en la educacin secundaria y luego dedicado a ladocenciauniversitariay la investigacinpormsde45aos,sin dejar de lado las preocupaciones por la enseanza y elaprendizajepermanentedelasmatemticas,vinculndolasconla investigacin y su historia, como una manera de buscarcaminosqueoptimicenelavancedeestaciencia.En la conferencia se trat, de manera especial los grandesaportesdeArqumedesenelcampodelamatemticapura,ascomoresaltaralgunasde las ingeniosasaplicacionesquehizoen situaciones concretas. El legadodeArqumedes aboga enfavordelahistoriadelamatemticacomounabuenafuentedemotivacionesenlaenseanzadelamatemtica.Palabrasclaves:Historia,enseanza,aprendizaje,Arqumedes Laenseanzadelamatemticaesunartedecomunicacin.1. UnaExperienciaPersonal

1.1 MisPrimerosLibrossobreHistoriadelaMatemtica

Cuando estuve en secundaria (195155) un profesor dematemticaeraautordeunasnotasde loscincosdeestudios


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dematemtica, y en lasprimerashojasde cada cursohabanunasreferenciashistricasconalgunasilustraciones;recuerdoque gustabade leer y releer peridicamente esas referenciashistricaspuesmellevabanatiempospasadoscuyashistoriaslasaprendamosenloscursosdehistoriauniversalyestomecausaba una gran satisfaccin ntima y deseaba saber mssobreeltemapues,creo,lamentedeunjovenesinquietaporconocer tantas cosas hermosas que hubieron en el pasado,sobretodoenlaantiguaGrecia.Esaspocaspginas fueronmiprimer contactocon lahistoriade la matemtica. En Trujillo, mi ciudad, en esa poca loscolegiosnotenanbuenasbibliotecasylauniversidaderaalgoque solo vea de lejos; de estamanera no pude tenermayorcontacto con la historia de lamatemtica, as hasta el 06 dediciembre de 1954 (estaba terminando el cuarto ao desecundaria) cuando tuve la oportunidad de comprar unpequeo libro que se titulaba: Breve Historia de laMatemtica,suautoreraFranciscoVera.Elttulodeestelibroatrajomicuriosidadpuespensqueahpodraleermscosasque en las hojas de las publicaciones citadas antes; en elverano siguiente trat de leerlo pues no contena smbolosmatemticos que podra no entender; me caus ciertacuriosidad los ttulo de algunos captulos, como: geometraanaltica,clculoinfinitesimal,anlisismatemtico,geometrasnoeuclidianas, grupos, conjuntos entre otros, nombres queeran totalmentedesconocidosparaun jovendeentoncesquehaba terminado el cuarto de secundaria, ao que habamosestudiado la geometra plana y as los nombres de Tales,PitgorasyEuclidesnoseranfamiliar,almenosdenombre.Decualquiermodo,tratdeleerellibrodandograndesaltosycomprenderemosqueloscaptulosdedicadosalamatemticaoriental y a la geometra griega hayan sido los que ms megustaronymeimpresionaranentalescircunstancias.


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El segundo libro fue LosGrandesMatemticosdeE.T.Bell,una hermosa obra que contiene atractivas biografas dematemticos,desdeZennhastaCantor;elautoralpresentarasus personajes ofrece tambin el entorno histrico y de estemodo el lector aprende a la vez aspectos de la historia de lamatemtica.Ellibrofueescritoconunestilosimple,atractivoymotivador; confieso que hasta ahora, de vez en cuando leoalgunasbiografasalazaryobtengolasmismasemocionesdeentonces.Entr en contacto con este libro en mis primeros aos deuniversidad (19567). El tercer libro lo encontr en Brasilia(1963); fue: Historia de la Matemtica de J. Rey PastorJ.Babini,obraenqueporprimeravezapreciquelahistoriadela matemtica tambin, y sobre todo, trata con slidosargumentosmatemticos del mejor nivel en funcin al tematratado.Enefecto,enestelibrotomconcienciaqueunaformade aprender matemtica (una buena forma!) es estudiarladesde un punto de vista histrico omejor,motivar las ideasconacontecimientoshistricos.


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Estostreslibros,deVera,BellyReyPastorBabini,fueronmisprimerasvivenciasconlahistoriadelamatemtica;agradezcoal destino el haberme dada esta oportunidad pues, dadas lascircunstanciasnomuypositivasdemi formacinbsica, esoslibros me ayudaron mucho a motivarme para aprender estabella ciencia, que deberamos aprenderla y ensearla con talrecurso didctico, la historia de la matemtica, pues de estaforma comprenderemos mejor las ideas, los mtodos ytambin (es bueno saberlo) algunos fracasos habidos en lagnesisdelasteoras.1.2 Mi Vivencia Profesional con la Historia de la

Matemtica.

La historia de lamatemtica siempre ha constituido paramuna fuentedemotivacin, tantopersonal comoenmi trabajocomo profesor universitario; recuerdo que cuando me inicicomoprofesorenlaUniversidadNacionaldeTrujillo(UNT)enel ao 1960 gustaba narrar la vida y obra de algunosmatemticos que lea en el libro de Bell y que los alumnosponan mucha atencin a las narraciones; algunas vecesilustraba tales narraciones con algunas fotografas dematemticosobtenidas del citado libro.Apartir de entonces,siempre que la ocasin lo permita gustaba, y a los alumnostambin, hablar algo sobre historia de lamatemtica enmislecciones tcnicas, an para alumnos de la Maestra enMatemtica. Esta costumbre an la conservo pues estoyconvencido que esta forma de ensear la matemtica esptima paramotivar a los alumnos y as obtener una mejorenseanza.En mi poca de estudiante y primeros aos como profesorhaban muy pocos libros sobre historia de la matemtica otemas relacionados; con el tiempo este panorama fuecambiando, sobre todoen losltimosaos con la llegadadelinternet nospodemos informarde la gran cantidad de librossobreestarea,muchosdeellossonexcelenteslibrosescritosporreconocidosmatemticosehistoriadoresdelaciencia.


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Fue en la Universidad de Trujillo (UNT) en que tuve miprimeraexperienciadeensearuncursosobrehistoriade lamatemtica teniendo como gua a los tres libros citadosanteriormente; a decir verdad, el curso era electivo y pocointershabaporpartedelosprofesoresenensearlopueslesera desconocido el contenido del curso; adems, en labibliotecadelaFacultadnohabancasilibrosdeestarea.Enmi caso, vi la oportunidad de ampliar mi informacin y micultura matemtica; era la ocasin para transmitir a misalumnosloquehaba ledoperodeunaformaorganizada;enestatareameayudaronlostrescitadoslibros,sobretodoeldeRey PastorBabini, libro que, confieso, no me fue de fcillectura.Pasaronvariosaossinquetengaotrocontactoconlahistoria de la matemtica; siendo profesor de la PontificiaUniversidad Catlica del Per tuve otras oportunidades deensear el curso, as como de sugerir la compra de muchoslibrossobrehistoriadelamatemtica,ydeestamanera,juntoalosbuenoslibrosqueyaexistanenlabibliotecadeCiencias,launiversidaddisponedeunaexcelentecoleccindelibrosenestarea;sonobrasdedistintosniveles,enfoquesypocas;loshaydesdelaantigedadhastalibroscontemasdelsigloXX.Deesta manera, nuestros colegas y alumnos disponen de unamplia bibliografa quemotivan la formulacin de diferentesproyectos de investigacin, aunque a decir verdad, son muypocos los colegas que se interesan por la historia de lamatemtica; esto es lamentable por los argumentos queexpondremosdespus.ConlacreacindelaMaestraenEnseanzadelaMatemticaenmiuniversidad(PUCP)se introdujoelcursodehistoriadelamatemticaenelplandeestudios,inicialmentecomocursoobligatorio, luego como electivo; con tal motivo, tuve laoportunidaddedictarelcursodeunmodomscontinuo,concontenidos que mantenan un esquema central pero conposiblesvariacionesenalgunoscaptulos.Elltimocursoquelodictamosfueenelsemestre20122ycuyocontenidofue:Lectura1LaMatemticaenlaAntigedad:BabiloniayEgipto.Lectura2LaMatemticaenlaAntigedad:Grecia


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Lectura3TransicinalaMatemticaModerna.Lectura4LaGeometraAnaltica.Lectura5ElClculoInfinitesimal.Lectura6ApogeodelClculo.Lectura7AnlisisdeFourier.Lectura8EvolucindelAnlisisMatemtico.Lectura9Evolucindellgebra.Lectura10EvolucindelaGeometra;laTopologa.Lectura11BreveVisindelaMatemticaenelPer.Lectura12HistoriadelaMatemticacomoRecursoDidctico.Comoapreciamos,porelcontenidodelaslecturas(dadasconlaayudadelpowerpoint),elobjetivofuedarunpanorama,unavisingeneralde la evolucinde lamatemticadesde laantigedad hasta los tiempos modernos (siglo XX) perodebemos remarcar que en cada lectura dimos argumentosmatemticos, mtodos y comentarios analticos de algunosfundamentales resultados, es decir, tratamos de explicar lamatemtica con argumentos histricos; creemos que es laforma ms correcta de ensear la historia de la matemticapues as haremos comprender a nuestros alumnos lasmotivacionesque tuvieronaquellos seresquehicieron tantascontribucionesenelpasado.


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As mismo, algo que siempre hemos observado en nuestrosalumnos,quienesyaeranprofesionalesendiversasreas, fuela atencinyel intersqueponanennuestras lecturas; estofue una constante en los diferentes cursos que hemosenseado.Porotrolado,yconelobjetivodequeelcursofueradinmico,paraleloaldesarrollodelaslecturas,aliniciodabaamisalumnosunconjuntode temasparaque losestudiaranylos investigaran, ypara serexpuestosal finaldel curso comoconferenciasdadasporlosalumnosaunauditorioabierto;lasdos ilustraciones anteriores corresponden a la ConferenciaArqumedes (diciembre 06, 2010) en donde apreciamos losttulosdelasexposicionesdadas.Deboconfesarqueestetipode actividades enriquecen mucho a la enseanza y alaprendizaje pues los estudiantes participan en forma directaen su aprendizaje de muchas cosas hermosas que hay en lamatemtica; adems, los alumnos sonmotivados a investigarconsuspropiosrecursos,yestoesimportante.Las lecturas 1 a 10 aspiran a dar una cultura bsica a losestudiantes, algunos de los cuales eran profesores dematemticas,tantoensecundariacomodeuniversidad.As en la Lectura 1 se dio una visin de la evolucin delpensamiento matemtico en la antigedad; algo difcil deexplicar fue la matemtica en la prehistoria; las culturasbabilnicas y la egipcia fueron enfocadas con algunosargumentos matemticos; se resalt al despus llamadoteoremadePitgoras.


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La Lectura 2 estuvo dedicada a lamatemtica en Grecia; fueunalecturallenadegrandesacontecimientoslosquefueroneliniciodefundamentalesteorassiglosdespus;lainformacindadagustymotivalauditorio,recomendandoquelausaranpara optimizar sus propias enseanzas. Posiblemente de laevolucindelamatemtica,lohechoenlaEdadMediaeiniciosdelRenacimientonoseabienconocido;estofuepresentadoenlaLectura3 endonde se enfatiz la gran contribucinde losrabes en el campo del lgebra en donde se dio especialatencin a la teora de ecuaciones, en particular a lasecuaciones cbicas y curticas. Esta etapa fue la d

linguagem matemática

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