Hacia 1787, el alemán Chladni, considerado uno de los pioneros de la física acústica,

estudia por primera vez estas líneas nodales.

Ernst Chladni (1756 - 1827)

Con estudios de Derecho, músico aficionado y un entusiasta de la ciencia, Chladni

encuentra la ley que lleva su nombre, una relación sencilla entre los modos propios de

vibración de una placa. Para ello, se valió de placas sujetas por el centro sobre las que

espolvoreaba arena fina. Al hacerlas vibrar con un arco de violín, los patrones de las

líneas nodales se hacen visibles, pues sobre esas líneas se acumula la arena rebotada

de las otras zonas vibrantes.

De esta forma, cada frecuencia natural de vibración de la placa corresponde con un

patrón determinado. Chladni trasladó cuidadosamente al papel cada uno de los

patrones que iba encontrando, lo que permitió popularizarlos, mientras se dedicaba a

realizar demostraciones ante el fascinado público europeo.

La ley de Chladni relaciona la frecuencia aproximada de la vibración de un platillo

circular, de centro fijo, con el número de líneas nodales radiales (m) y no radiales

(n):Cuando Chladni repitió este experimento en la Academia de Ciencias de París, en

1808, se oyó una exclamación de asombro: “¡el sonido puede verse!”. Era la voz de

Napoleón Bonaparte.

f = C (m + 2n)2

donde el valor de la constante C sólo depende, en principio, de las propiedades del

platillo. Sin embargo, el exponente puede sufrir variaciones en distintos rangos de

frecuencias incluso para el mismo platillo, aunque siempre ronda el valor 2. Una

expresión más general, del tipo:

f = C (m + bn)c

amplía la relación anterior, para distintos valores de b y c, a platillos circulares no

planos como los címbalos, las campanas y las campanillas.

En el caso de placas y membranas circulares sujetas por su borde (tambores y

timbales, por ejemplo), los patrones obtenidos se componen de diámetros y

circunferencias concéntricas. En la siguiente imagen vemos algunos. Debajo de cada

dibujo aparece la frecuencia relativa con respecto a la frecuencia fundamental.

Observemos que, al contrario de lo que pasaba con la cuerda vibrante, las sucesivas

frecuencias naturales (los sucesivos parciales) no son múltiplos enteros de la

fundamental (no son armónicos).

Curiosamente, patrones similares aparecen al representar gráficamente la función de

probabilidad de los distintos orbitales de los electrones:

La protagonista

Pero la ley de Chladni, además de ser una aproximación, sólo recoge la observación del

fenómeno, clasificando las figuras obtenidas, pero no las explica. Napoleón había

quedado tan profundamente impresionado por las figuras que mostraban las placas

que ofreció una fuerte recompensa por una explicación.

Naturalmente, para encontrar esta explicación será necesario modelizar

matemáticamente el fenómeno físico. En 1809, la matemática francesa Sophie

Germain comienza a trabajar en el problema, pero no es hasta 1816 cuando, en su

tercer intento, consigue ganar el premio otorgado por la Academia Francesa de las

Ciencias.

El éxito de Germain se considera mucho más que un premio. Ella había luchado toda su

vida por poner su talento por encima de los prejuicios contra su sexo. También es

sabido que mantuvo correspondencia y amistad con el príncipe de las matemáticas,

Gauss, a quien le protegió, gracias a su influencia con Napoleón, al invadir las fuerzas

napoleónicas la ciudad natal de Gauss, Brunswick (cerca de Hannover), por temor a

que le ocurriese algo similar a lo que le sucedió a Arquímedes.

La aceptación de la Academia de los argumentos de Germain, pese a “su condición de

mujer”, es un hito más en la lucha de la mujer a lo largo de la historia por ser aceptada

como igual en los diferentes sectores intelectuales “reservados para hombres”.

La ecuación anterior pertenece al trabajo de Germain sobre platillos. En la siguiente

imagen, siguiendo el estilo pop, hemos coloreado a nuestro antojo la ilustración que

aparece en la página dedicada a ella en “El rostro humano de las matemáticas”.

Resonancia

La placa se puede hacer vibrar por excitación directa, frotándola con un arco o

agitándola con algún tipo de sistema mecánico o electromecánico. Pero también

podemos conseguir que vibre por resonancia, mediante un emisor de sonidos con

suficiente intensidad. Esto suele hacerse colocando un altavoz justo encima o debajo

de la placa, como sucede en la siguiente película, en donde la arena ha sido

reemplazada por sal.

Si, en vez de provocar la vibración de una superficie sólida, usamos una fina película

líquida colocada sobre una membrana tirante y la exponemos a una intensa

iluminación lateral, el resultado puede ser realmente espectacular, como muestran las

siguientes fotografías de Alexander Lauterwasser (cuyo apellido resulta ser de lo más

apropiado).Vibraciones líquidas

Los patrones que hemos visto resultan de gran utilidad para mejorar la calidad en la

construcción de violines y otros instrumentos de cuerda al poder comprobar el luthier

si se reproducen o no las figuras de Chladni sobre la tapa y la base, corrigiendo

cualquier asimetría que pudiera presentarse.Los instrumentos de cuerda

En esta fotografía podemos ver el resultado de un experimento sobre el fondo de la

caja de un violín.

Los siguiente dibujos corresponden a distintos modos naturales de vibración de una

guitarra.

Laboratorio virtual

Con ayuda de los siguientes applets de Paul Fasltad podemos recrearnos en la

visualización (en dos o en tres dimensiones) de los distintos modos de vibración de

membranas rectangulares y circulares. Aunque las etiquetas y las instrucciones se

encuentran en inglés, basta jugar un poco con el ratón y los deslizadores (lo que

recomendamos vivamente) para apreciar el funcionamiento. ¡Incluso podemos oír el

sonido correspondiente, activando la casilla Sound!

Resulta particularmente atractiva la opción “Mouse = Poke membrane” (Display 3D),

pues con ella basta hacer un clic en la ventana de la membrana para visualizar tanto la

onda transversal inicial como sus sucesivos reflejos.

Laboratorio de membranas rectangulares:

Figuras de Lissajous

Estas curvas fueron descubiertas y estudiadas por el matemático francés J.A. Lissajous

al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En el

experimento original, Lissajous tomó dos diapasones de distintas frecuencias de

vibración y colocó un espejo pequeño sobre cada diapasón. Después colocó el conjunto

de forma que un rayo de luz se reflejase, sucesivamente, en ambos espejos antes de

proyectarse sobre una pantalla. La imagen que aparece en la pantalla (con apariencia

de continuidad, dada la su persistencia en la retina del espectador) es la figura. Estas

figuras también se pueden trazar con un armonógrafo simple.