lineas de transmision2009 [modo de compatibilidad]...de corriente permanecen estacionarias a lo...

Capítulo 3:

Herramientas para el análisis de líneas de

transmisión: Carta de Smith

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de

cualquier circuito de microondas.El fundamento de la carta de Smith es la transformación de

impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de una representación polar en el plano de los coeficientes de reflexión. De esta forma se obtiene una representación acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas

existentes.

TAF-3- 1

ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA

Dada una línea de transmisión:

i(z,t)


v(z,t)

∆z

z

Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…

TAF-3- 2

i(z,t)

v(z,t)

R∆z L∆z

G∆zC∆z v(z+ ∆z,t)

i(z + ∆z,t)



∆z

R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/m

L = inductancia en serie por unidad de longitud, H/m

G = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m

C = capacidad por unidad de longitud, F/m

TAF-3- 3

Ecuación del telegrafista

Por las leyes de Kirchhoff:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂

∂⋅∆⋅−⋅∆− tzzvt

tzizLtzizRtzv

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂

∆+∂∆−∆+⋅∆− tzzit

tzzvzCtzzVzGtzi


∂t∆z 0

( ) ( )t

tziLtziR

z

tzv

∂∂⋅−⋅−=

∂∂ ,

),(,

( ) ( )t

tzvCtzvG

z

tzi

∂∂⋅−⋅−=

∂∂ ,

),(,

Aplicación de la T. Fourier en t

TAF-3- 4

( ) ( ) ( )zIjwLRdz

zdV ⋅+−=

( ) ( ) ( )zVjwCGdz

zdI ⋅+−=Similitud con las ecuaciones de Maxwell



( ) ( ) 022

=− zVdz

zVd γ

( ) ( ) 022

=− zIdz

zId γ( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

CONSTANTE DE PROPAGACIÓN

TAF-3- 5

( ) zozo eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+( ) zozo eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+



jwCG

jwLRjwLRZo +

+=+=γ

−

−

+

+

−==o

oo

o

o

I

VZ

I

V

( ) [ ] [ ]zozozozoo

eVeVjwLR

eVeVZ

zI γγγγγ ⋅−⋅

+=⋅−⋅= −−+−−+1

( )o

zo

zo

Z

eVeVzI

γγ ⋅−⋅=−−+

TAF-3- 6

( ) ( )( ) zo

zo

ezwtV

ezwtVtzv

α

α

φβ

φβ

⋅++⋅

+⋅+−⋅=−−

−++

cos

cos,

ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA(dominio temporal)


βπλ 2= fwvp ⋅== λβ

TAF-3- 7

Línea sin pérdidas

LCjwj =+= βαγ LCw=β

0=α CL

Zo =


( ) zo

oz

o

o eZ

Ve

Z

VzI ββ ⋅−⋅=

−−

+

( ) zozo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+ LCwπ

βπλ 22 ==

LC

wvp

1==β

TAF-3- 8

Línea cargada

i(z,t)

v(z,t) z ZLZo,β

Origen de referenciaen la carga

La onda regresiva aparece cuando la línea tiene una condición de cierre


( ) zo

oz

o

o eZ

Ve

Z

VzI ββ ⋅−⋅=

−−

+

( ) zozo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+

z = 0z = -l

TAF-3- 9

Definición del coeficiente de reflexión

( )( ) ooo

ooL ZVV

VV

I

VZ −+

−+

−+==

0

0 +−+−= o

oL

oLo VZZ

ZZV

oL

oL

o

o

ZZ

ZZ

V

V

+−==Γ +

−


( ) [ ]ljljo eeVzV ββ −+ ⋅Γ+=

( ) [ ]ljljo

o eeZ

VzI ββ −

+

⋅Γ−=

TAF-3- 10

Onda estacionaria

( )22

12

1 Γ−=+

o

o

av Z

VP Pérdidas de retorno: ( )Γ⋅−= log20RL dB

( )( )lj

ljo

zjo

eV

eVeVzV

βθ

ββ

2

22

1

11

−+

−++

⋅Γ+⋅

=⋅Γ+⋅=⋅Γ+⋅=


( )ljo eV

βθ 21 −+ ⋅Γ+⋅

( )Γ+⋅= + 1max oVV

( )Γ−⋅= + 1min oVVΓ−Γ+

===1

1

min

max

V

VSWRROE

∞

Coeficiente de reflexión en cualquier punto de la línea

( ) ( ) ljlj

o

ljo

eeV

eVl ββ

β20 −+

−−

Γ=⋅⋅=Γ COEFICIENTE DE REFLEXIÓNEN EL RESTO DE LA LÍNEA


( )( )

( )( )ljZZ

ljZZZZ

e

e

lI

lVZ

Lo

oLoolj

lj

in ββ

β

β

tan

tan

1

12

2

++=

Γ−Γ+=

−−= −

−

Ejemplos de casos particulares…

TAF-3- 12

Línea cortocircuitada

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β


l

( ) [ ] ( )zsenVjeeVzV ozjzjo βββ ⋅⋅−=−= +−+ 2

( ) [ ] ( )zZ

Vee

Z

VzI ozjzjo βββ cos2

00

⋅=+=+

−+

( )ljZZ oin βtan=TAF-3- 13

Línea en circuito abierto

i(z,t)

v(z,t) z

0l

Zo,β


l

( ) [ ] ( )zVeeVzV ozjzjo βββ cos2 ⋅=+= +−+

( ) [ ] ( )zsenZ

Vjee

Z

VzI ozjzjo βββ ⋅⋅=−=

+−

+

00

2

( )lZjZ oin βcot⋅−=TAF-3- 14

Línea λ/2

i(z,t)

v(z,t) zZo,β ZL


z = 0z = -l

Lin ZZ =

TAF-3- 15

Línea λ/4

i(z,t)

v(z,t) zZo,β ZL


z = 0z = - l

L

o

in Z

ZZ

2

=

TAF-3- 16

Línea acoplada a otra línea

Zo Z1

Γ T

z0


o

o

ZZ

ZZ

+−=Γ

1

1( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+

( ) zjo eTVzV β−+ ⋅⋅= z>0

z

Propiedades del coeficiente de reflexión y de la onda estacionaria

• Como consecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de voltaje y de corriente permanecen estacionarias a lo largo de cada abscisa de la línea.

• Los máximos ocurren cuando . • Los mínimos ocurren cuando • Máximos de voltaje coinciden con mínimos de corriente y viceversa.• En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece

( ) πβθ nl 22 =−( ) ( )πβθ 122 −=− nl

• En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece constante. Este lugar geométrico es una circunferencia en el plano complejo de

• Existe una transformación bilineal entre impedancias y coeficientes:

• A cada coeficiente de reflexión le corresponde uno, y sólo uno, valor de impedancia.


( ) ( ) ljel β20 −Γ=Γ( )lΓ

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) 0

02

2

1

1

01

01

ZlZ

ZlZlZ

l

lZ

e

elZ oolj

lj

+−=Γ⇒⋅

Γ−Γ+=⋅

Γ−Γ+= −

−

β

β

TAF-3- 18

Carta de Smith

Im(Γ)2 familias de rectas perpendiculares 2 familias de circunferencias perpendiculares

x

1

1

+−=

+−=Γ

L

L

oL

oLL

Z

Z

ZZ

ZZ

L

LLZ Γ−

Γ+=11 Correspondencia

biunívoca

Plano complejo de impedancias.Representación cartesiana.

Plano semiinfinito.

Plano complejo de coeficientes ΓL.Representación polar.

Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.


Biyección

Re(Γ)r

x

TAF-3- 19

Carta de Smith

( ) ( )( ) oZll

lZΓ−Γ+=

11 ( ) ( ) jxr

Z

lZlZ

o

+==

ljLejvuw

β2−Γ=+=

1

1

+−=

+−=Γ LoLL

Z

Z

ZZ

ZZ )(1

)(1

jvu

jvujxr

+−++=+

Normalización


1++ LoL ZZZ

( )( ) 22

22

1

1

vu

vur

+−+−=

( ) 2212

vu

vx

+−=

( )22

2

1

1

1 rv

r

ru

+=+

+−

( )2

22 111

xxvu =

−+−

TAF-3- 20

( )22

2

1

1

1 rv

r

ru

+=+

+− Familia de circunferencias

con r como parámetro

rRadio

Centro

+

+

1

1

0,r1

r r=0v

r=1


u

(1,0)(0,0)

r=∞

TAF-3- 21

Familia de circunferencias con x como parámetro

xRadio

xCentro

1

1,1

v

(1,0)(0,0)

( )2

22 111

xxvu =

−+−

x=0

x=1

x=2x=0.5


u

(1,0)(0,0)x=0

x=-1

x=-2x=-0.5

TAF-3- 22

¿Significado del sentido

del movimiento en la carta?

Sentido horario:hacia generadorSentido antihorario:hacia la carga


TAF-3- 23

CALCULADOR EN LA CARTA DE SMITH

Para una ROE de 2, llevando una línea vertical podemos ver queel coeficiente de reflexión en voltaje es 0.33, el coeficiente de Reflexión en potencia es 0.11 que, en dB vale 9.54 dB.


TAF-3- 24

Doble carta de Smith ZY

El coeficiente Гv = - ГIPasar de impedancias a admitanciassupone girar 180º en la carta anterior.o hacer una doble lectura en la cartadoble ZY.


TAF-3- 25

Adaptación de impedancias• Supone pasar de un punto de coeficiente

de reflexión (impedancia) original a otro final.

• Normalmente, aunque no siempre, el punto final es el origen: coeficiente de reflexión 0 ó impedancia normalizada 1.

• Para realizar ese movimiento sólo nos podemos mover por circunferencias de podemos mover por circunferencias de un parámetro constante:

– Movimiento a lo largo de la línea sin pérdidas: circunferencia de módulo de coeficiente de reflexión constante.

– Inclusión de una celda de adaptación sin pérdidas: movimiento por una circunferencia de r ó g constante.

– Inclusión de una celda de adaptación sólo con pérdidas: movimiento por una circunferencia de reactancia constante (no es lo habitual).


TAF-3- 26

Adaptación de impedancias

Ejercicios de la carta de Smith


Adaptadores simples Stub simple Doble stub

TAF-3- 27

Adaptadores simples

jX

ZL = 50 +j10Zo = 70


d

Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguiradaptación en la línea…

TAF-3- 28

ZL


142.0714.0 jZ

ZZ

o

LL +==

TAF-3- 29

142.0714.0 jZ

ZZ

o

LL +==

Solución A:

Azimut = 0.141 λ


Impedancia vista = 1 + j0.38

d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ

Solución B:

Azimut = 0.359 λ

Impedancia vista = 1 - j0.38

d = (0.359-0.043)λ = 0.316 λ

TAF-3- 30

Stub simple

YL = 0.4 + j1.35ZojB


d

l

Encontrar l y d para conseguir adaptación en la línea…

TAF-3- 31


TAF-3- 32

Solución A: Azimut = 0.193 λ

d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ

Admitancia vista = 1 + j2.3

Azimut de -j2.3 = 0.315 λ

l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ


Solución B: Azimut = 0.307 λ

d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ

Admitancia vista = 1 - j2.3

Azimut de j2.3 = 0.185 λ

l = (0.25 + 0.185) λ = 0.435 λ

TAF-3- 33

Doble stub

ZrZojB1

jB2

λ/4


l1l2

ZoZo

Zo = 200 Ω

SWR = 6.5

Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ

Zr ??

l1 y l2 para adaptación de la línea ??

TAF-3- 34


TAF-3- 35

Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:

Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω

Solución A:

Yr = 0.21 + j 0.41

Solución B:

Yr = 0.21 - j 0.41

Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14

Yr = 0.21 + j0.55

Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96


Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14

l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ

Azimut de –j0.14 = 0.478 λ

Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96

l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ

Azimut de –j0.96 = 0.379 λ

Yin = 1 – j1.95 Yin = 1 + j1.95

Azimut de j1.95 = 0.174 λ

l = (0.25 + 0.174) λ = 0.424 λ

Azimut de -j1.95 = 0.326 λ

l = (0.326 – 0.25) λ = 0.076 λTAF-3- 36

Criterio de Bode-Fano

La demostración del criterio es muy compleja:

H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.

R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitraryimpedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950,


impedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950, and pp. 139-154 February 1950.

¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?

Si no se puede, ¿cuál es la relación entre el máximo coeficiente de reflexiónque nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?

¿Se puede evaluar la complejidad de la red de adaptación?

TAF-3- 37

( ) RCdwwπ≤

Γ∫∞

0

1ln

Módulo Γ

RCw

m

π≤Γ

∆ 1ln


∆w

wΓm

TAF-3- 38

Para una carga dada, se puede conseguir un ancho de banda elevado a expensas

de aumentar el coeficiente de reflexión….

El coeficiente de reflexión sólo puede ser cero

Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano


El coeficiente de reflexión sólo puede ser ceroa frecuencias discretas….

Circuitos con Q mayor son más difíciles deadaptar que los de Q menor:

(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)

TAF-3- 39

Teoría de reflexiones múltiples

Zo Z1

Γ T

z0

RL


0

Γ1 T1 Γ3Γ2

o

o

ZZ

ZZ

+−=Γ

1

11

110

102 Γ−=+

−=ΓZZ

ZZ1

13 ZR

ZR

L

L

+−=Γ

oZZ

ZT

+=Γ+=

1

111

21

o

o

ZZ

ZT

+=

12

2

TAF-3- 40

( )n

n

TT

TTTTTT

∑∞

=

ΓΓ−Γ−Γ=

=+ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=Γ

0323211

33

22

2132

2213211 ...

Serie geométrica


Serie geométrica

( )( )( )11

12

32

3213211 2

1 ZRZZ

RZZTT

Lo

Lo

++−=

ΓΓ+Γ−ΓΓΓ+Γ=Γ

Recordar adaptador de λ/4…

TAF-3- 41

Desadaptación de la carga y del generador

i(z,t)

v(z,t) z

0

Zo,β ZLVg

ZG

-l

ΓlΓG


Zin ( ) [ ]gin

ing

ljl

ljo ZZ

ZVeeVlV

+=⋅Γ+=− −+ ββ

ljgl

lj

gin

ogo e

e

ZZ

ZVV ⋅−

⋅−+

Γ⋅Γ−+= β

β

21 og

ogg ZZ

ZZ

+−

=Γ

TAF-3- 42

{ }

( ) ( )222

2*

21

1Re

21

Re21

gingin

ing

inginin

XXRR

RV

ZVIVP

+++

=

==Potencia entregada

a la carga


Carga adaptada a la línea

( ) ( )222

21

ggo

og

XRZ

ZVP

++=

Generador adaptado a la línea cargada

( )22

421

gg

gg

XR

RVP

+=

Adaptación compleja

gg R

VP4

121 2=

*gin ZZ =

TAF-3- 43

Línea de transmisión con pérdidas

( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

wLR

( ) [ ]zzo eeVzV γγ ⋅Γ+= −+ ( ) [ ]zzo

o eeZ

VzI γγ ⋅Γ−= −

+

( )( )

( )( )lZZ

lZZZ

lI

lVZ

Lo

oLoin γ

γtanh

tanh

++=

−−= Con PL potencia en

la carga


( )[ ] lo

o

in elZ

VP α2

2

2

12

Γ−=+ [ ]2

2

12

Γ−=+

o

o

L Z

VP

( ) ( )[ ]llo

o

Linloss eeZ

VPPP αα 2

22

2

112

−Γ+−=−=+

la carga

TAF-3- 45

CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓN

• Potencia disponible de un generador

• Potencia de entrada a la red sin pérdidas

g

g

dg R

VP

2

8

1 ⋅=

ingg MPRRV

P ⋅=

⋅⋅

=2

41 Zin

ZgZg

VgΓS Γin

ZLRed sin pérdidas

Mg

• Adaptación conjugada para máxima transferencia de potencia• Coeficiente de reflexión conjugado:

• Relación entre coeficiente de reflexión conjugado y coeficiente de desadaptación:


gdg

inggin MP

ZZRP ⋅=

+= 28

*gin ZZ =

gin

ginin ZZ

ZZ

+−

=*

ρ

21 ingM ρ−=

ZinMg

TAF-3- 46

CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓN (II)

ZgZg

VgΓS Γin

ZLRed sin pérdidas

• Teorema: el coeficiente de desadaptación a través de una red de adaptación sin pérdidas permanece constante a lo largo de toda la estructura.


ZinMg M2

M1

21 MMMg ==

TAF-3- 47

Conclusiones (I)

• Se ha presentado la línea de transmisión finalizada que origina una onda estacionaria.

• Dicha onda estacionaria viene caracterizada por el coeficiente de reflexión en cada punto de la línea. – En una línea sin pérdidas es constante el módulo. Esto supone – En una línea sin pérdidas es constante el módulo. Esto supone

una circunferencia.– En una línea con pérdidas hay un decrecimiento del módulo con

la variación de fase. Esto supone una espiral.– Al haber una aplicación biyectiva entre cada coeficiente de

reflexión y cada impedancia, a cada coeficiente de reflexión le corresponde una y sólo una impedancia.


TAF-3- 48

Conclusiones (II)

• La carta de Smith constituye la herramienta básica para el análisis de cualquier circuito de microondas.

• Consiste en una representación en el PLANO POLAR de los coeficientes de reflexión.

• Por la aplicación biyectiva entre coeficientes de reflexión e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el plano polar le corresponde un valor de impedancia o admitancia.


TAF-3- 49

Conclusiones (III)

• Funcionalidades de la carta de Smith:– Lectura directa del coeficiente de reflexión en módulo y fase

(mediante la superposición de curvas de resistencia –conductancia- y reactancia –susceptancia-, también se lee el valor de la impedancia).

– Obtención del valor del coeficiente de reflexión en cualquier punto de una línea sin más que hacer una rotación a través de punto de una línea sin más que hacer una rotación a través de una circunferencia de coeficiente de reflexión constante (centro el origen y radio R).

– Representación de admitancias/impedancias sin más que hacer un giro de 180º (en la carta de Smith convencional).

– Adaptación de impedancias mediante movimientos en, principalmente, dos familias de circunferencias: coeficientes de reflexión constantes y resistencias (conductancias) constantes.


TAF-3- 50

Referencias

1. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 5)

2. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 5)

3. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", 3. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", Wiley Interscience, 1988, segunda edición. (capítulo 4).


TAF-3- 51

lineas de transmision2009 [modo de compatibilidad]...de corriente permanecen estacionarias a lo...

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