lineas de transmision unidad iii

8/3/2019 lineas de transmision Unidad III

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TEORIA ELECTROMAGNÉTICA

UNIDAD III

LINEAS DE TRANSMISIÓN

Ing. Jorge A. Gallegos de la Cruz Diciembre

2011



DEFINICIÓN Las líneas de transmisión son

interconexiones que se utilizan paratransmitir energía eléctrica y señales de unpunto a otro; específicamente desde una

fuente a una carga. Por ejemplo: laconexión entre un transmisor y una antena,las conexiones entre computadoras en unared, la conexión entre un proveedor de

servicios de cable y un televisor, etc. Otrosejemplos menos comunes son lasconexiones entre dispositivos en una

tablilla de circuito impreso, diseñada para



En los ejemplos anteriores los dispositivospor conectar están separados entre sí por

distancias del orden de una longitud deonda o más. Cuando las distancias sonbastante grandes entre la fuente y el

receptor, los efectos de retardo de tiemposon considerables, lo que resulta en laexistencia de diferencias de fase inducidaspor dicho retardo. Esto se conoce como el“fenómeno ondulatorio” de las líneas detransmisión, del mismo modo que lapropagación de energía punto a punto en el

espacio libre o en dieléctricos perfectos.



ACTIVIDAD 1 (Preguntas)1. ¿Qué diferencia hay entre un cable de

potencia y una línea de transmisión?2. ¿Qué es el número de longitudes de onda

WLs y como se obtiene?

3. Compare el WLs para: a)240m de cable depotencia de 60Hz, b)240m de una línea detransmisión de para UHF de 500MHz.Suponga en ambos casos una velocidad de

3x108m/s4. Explique cada una de las siguientes pérdidas

que ocurren en una línea de transmisión:a)en el cobre, b)en el dieléctrico, c)porradiación.



PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DETRANSMISIÓN

Desde el punto de vista de circuitos la líneade transmisión tiene dos terminales en lasque la energía se alimenta y dos terminales

donde se recibe la energía. Enconsecuencia la línea de transmisión sepuede considerar como una red de cuatroterminales.



R.- Resistencia en Serie de la línea porunidad de longitud, incluyendo ambos

conductores. Ohms/metro. L.- Inductancia en Serie de la línea porunidad de longitud, incluyendo lainductancia debida al flujo magnéticointerno y externo a los conductores de lalínea. Henrios/metro.

G.- Conductancia en paralelo de la líneapor unidad de longitud. Representapérdidas que son proporcionales al

cuadrado del voltaje entre los conductoreso al cuadrado del campo eléctrico en elmedio. Generalmente G representa unapérdida interna molecular de los materiales

aislantes dieléctricos. Siemens/metro.



C.- Capacidad en paralelo de la línea porunidad de longitud. Farads/metro.

Los parámetros R, L, G y C no sondiscretos ni globales, sino distribuidos a lolargo de toda la línea.

Los conductores de la línea se caracterizanpor c, c y c=o, en tanto el dieléctricohomogéneo que los separa se caracterizapor , y .

En cada línea se cumple que:

LC

C

G



Para una línea sin pérdidas R=G=0 y elcambio en el voltaje dV (o el cambio en la

corriente dI) en una distancia dx está dadopor:

(1) (2)

Derivando la primera respecto a x y lasegunda respecto a t, se obtiene:

Ecuación de onda de unalínea de transmisiónSe observa que

)( 1 Vmdt

dI L

dx

dV )( 1 Am

dt

dV C

dx

dI

2

2

2

2 1

dx

V d

LC dt

V d

)(1 1 msvvelocidad LC



Dada la siguiente figura:Para una

variaciónsenoidal de V e I y

con

R y G 0, se tieneel

caso más general

deuna impedancia en serie:

y una entrada en derivación:

)( 1 m jX R L j R Z L

)( 1 Sm jBGC jGY C



De esta manera la ecuaciones 1 y 2 seconvierten en:

(3) (4)Diferenciando estas ecuaciones respecto a x

para una línea uniforme con Z e Y

constantes se obtiene:

La raíz cuadrada de ZY es la constante depropagación que es un número complejo:

IZ dxdV VY

dxdI

0

0

2

2

2

2

ZYI dx

I d

ZYV dx

V d



Es decir:=constante de atenuación y =constante de

fase y están dadas por:

donde = longitud de onda (m)Así una solución general para el voltaje de

línea es:

)( 1 radm j

)(Re1 Npm ZY

)(Im2 1

radm ZY

)()(

2

)(

1V eeV eeV V

xt j x xt j x



Y para la corriente de línea es:

Los primeros términos de las dos ecuacionesanteriores representan la propagación en la

dirección x negativa y los segundostérminos, la energía de propagación en ladirección x positiva.

Para la energía de propagación en unadirección:

)(2)(1 xt j x xt j xee

Y Z

V ee

Y Z

V I

)(

C jG

L j R

Y

Z

I

V Z linea



Esta es la impedancia característica de lalínea.

Para una línea sin pérdidas R=G=0 tenemos:Resistencia característica dela línea.

La velocidad de la energía, o velocidad conque la energía se propaga es:

Donde:Si R=G=0 tenemos:

C

L Z linea

)(Im

1 ms

ZY v

))(( C jG L j R ZY

LC j ZY



Y la velocidad de onda en línea:

EJEMPLO:

Una línea de transmisión uniforme tiene comoconstantes R=12m /m, G=1.4S/m,L=1.5H/m, y C=1.4nF/m. A f=7KHz.

Encuentre:a) Impedancia característicab) Atenuación en dB/km

)(

1 1

ms LC LC v



SOLUCIÓN:

)104.1)(7000)(2()104.1(

)105.1)(7000)(2()1012()

96

63

x j x

x j x

C jG

L j R Z a

7.881062

801067

101575.6104.1

06597.0012.06

3

56 x

x

j x x

j Z

48633.32864.10803967.1501283.1070 j Z

)3.278.32( j Z

))((Re)C jG L j Rb

))104.1)(70002(104.1(())105.1)(70002()1012((Re9663 x j x x x j x

)101575.6104.1)(06597.0012.0(Re 56 j x x j



Entonces:

De la relación:

1Np=20log(e)=8.686dB

3881.168101298.4Re)103125.8100453.4(Re 676 x j x x

)100215.2100555.2Re()194.8410032.2Re( 343 j x x x

Km

dB

Km

m x

Np

dB x

m

Np x 78.1

1

1000

1

686.8100555.2 4



ACTIVIDAD 2 (Problema)

1. Calcular las constantes de propagación yde atenuación, la velocidad de onda y laimpedancia característica a f=10 MHz de

una línea con los siguientes parámetros:a) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, b) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m,

c) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m,G = 1x10-6 S/m.



PRINCIPALES TIPOS1. Línea de 2 conductores: Tipo de línea

donde la distancia entre dos conductoresparalelos es mantenida constante graciasa un material dieléctrico, el cual también

sirve de vaina.

Su impedancia característica depende deldieléctrico, del diámetro de los conductores yde la distancia entre ellos. La impedancia esmayor cuanto más aumenta la distancia entre

conductores. Valor típico es de 300



2. Cable coaxial: Consiste de un conductorcentral rodeado por un conductor exterior

concéntrico (distancia uniforme delcentro). A frecuencias de operaciónrelativamente altas, el conductor coaxialexterno proporciona una excelenteprotección contra la interferencia externa.Sin embargo, a frecuencias de operaciónmás bajas, el uso de la protección no es

costeable.Impedancia característica

75



3. Líneas de cinta: Se utilizan mucho enaplicaciones electrónicas, por ejemplo, en

circuitos integrados y para crearcomponentes de circuitos como filtros,acopladores, resonadores, antenas y otros.

Hay diversas variantes de las líneas decinta, de las que las más usadas son lalínea de cinta propiamente dicha (stripline) yla línea de microcinta (microstrip).



a) Stripline: Están formadas por dos cintasconductoras paralelas de tierra, y una

cinta conductora interna de señal entreellas. El ancho w de la cinta de señal espequeño frente al ancho de las cintas de

tierra, de manera que éstas puedenconsiderarse planos infinitos. El espesorde la cinta de señal es t y la separaciónentre las cintas de tierra, llena con un

dieléctrico de permitividad ε, es b.



b) Microstrip: Está constituida por una cintaconductora muy ancha que funciona como

plano de tierra y sobre ella se coloca unsustrato dieléctrico de permitividad ε y espesor

b. Sobre el sustrato hay una cinta de señal deespesor t y ancho w. Se usan para

interconectar circuitos lógicos de altavelocidad en computadoras digitales.



4. Líneas de par trenzado: Consiste encables formados por hilos de cobrerecubiertos de plata y rodeados por unaislador. Los cables se trenzan por parespara disminuir la interferencia, y cada parforma un circuito que puede transmitirdatos. La línea consiste en un grupo de uno

o más pares. Existe una línea que seconoce como UTP (unshielded twistedpair) y es usada en redes decomputadoras. Para mayor rechazo a

interferencia se rodean los pares con unaislador. Esta línea se conoce como STP(shielded twisted pair). Tanto UTPs comoSTPs se usan en instrumentaciónelectrónica, aviones y otras aplicacionescríticas de transmisión de datos.



ACTIVIDAD 3 (Investigación)

1. Para cada tipo de línea de transmisióndel apartado anterior, investigue unaaplicación y la frecuencia que semaneja en cada caso.

2. Investigue ¿porqué los cables coaxialesmás comunes tienen impedancias entre

50 y 75?



Fórmulas de impedancias de laslíneas de transmisión

La impedancia Z de la línea de transmisiónestá dada por:

Para una línea coaxial:

Donde:

Como ya sabemos:Integrando se obtiene:

lC l

L

C

L Z linea

V V

lQ

l

C l

b

a

r dr E V

r

E lr

2

a

bV l ln

2



En consecuencia:

Del mismo modo:

Donde:

Entonces:

Por consiguiente:

a

bV l

C l

ln

2

I

dr Bl

L

b

a

r

r

I B

r

2

a

b

l

Lln

2

ab

lC

l L

Z r

r ln21

0

0



Para r=1, se tiene que:Línea coaxial

En forma similar:Línea de dos

conductoresConductor

sobre plano terreno

Fórmula aproximadapara microcinta

a

b Z

r

log138

0

a

D Z

r

log276

0

a

h Z

r

2log

1380

]2) / [(

377

bw Zo

r



EJEMPLO:Dada una línea de transmisión de dos

conductores con un espaciamiento de 2 cmy una Zo=300. ¿Cuál es el diámetro delalambre? Suponga r=2.1 (teflón)

SOLUCIÓNDada la fórmula:

Exponenciando:

a

D Zo

a

D Zo

r

r

log276

log276

aa

D 02.0log5751.1log

276

1.2300

mmaa

532.06.37

02.002.010 5751.1

mmadiámetro 064.12



EJEMPLO:Una línea de un solo conductor de 10cm de

radio sobre el plano terreno, tiene unaimpedancia de 75. Encuentre la altura h,si r=3.

SOLUCIÓNa

h Z

a

h Z

r

r

2log

138

2log138 0

0

a

h

a

h 2

log9413.0

2

log138

375

hh

2

8735.0

1.0

2109413.0

.436.436.0 mmmh



ACTIVIDAD 4 (Problemas)1. Determine la separación requerida para

líneas de transmisión de dos conductores,si el diámetro del alambre es 0.01cm y laimpedancia característica es: a)600,

b)150. Suponga εr=12. Dado un cable coaxial con diámetrointerior 0.03cm y un diámetro exterior 1cmcon r=2. Calcule la impedancia

característica3. Hallar la impedancia característica de una

línea microstrip de parámetros: b=1mm,

w = 2mm, εr = 2.5



LINEA CARGADAHasta el momento se ha analizado el modelo

de líneas de transmisión y la propagaciónde ondas en líneas de longitud infinita. Enla práctica la línea termina en una

impedancia de carga y tiene generador/esconectados. Por tanto analizaremos lainfluencia de la carga sobre la distribuciónde tensión y corriente a lo largo de una

línea de impedancia característica Zo cuando se conecta a una carga ZL. En lafigura, la carga está en x=0 y la distancia

positiva se mide a lo largo de la línea a la



El voltaje y corriente total se expresan comola resultante de dos ondas viajeras

moviéndose en direcciones opuestas comoen una línea de transmisión infinita.

Vo e Io: voltaje y corriente debido a la ondaincidente; V1 e I1: voltaje y corriente debidoa la onda reflejada de la carga. V=Vo+V1 eI=Io+I1



Se cumple que:=corrimiento de fase

en la cargaEn la carga x=0 se tiene Vo=Vo y V1=V1e j

de tal forma que en la carga la razón del

voltaje reflejado e incidente está dado por:

Donde v es el coeficiente de reflexión para elvoltaje. Se concluye que:

j x

x

eV V

eVoVo

11

vVo

V

Vo

V

11

x

v

x eeVoV



Para las corrientes:

=diferencia de fase I yV

La razón entre la corriente reflejada eincidente esta dada por:

i es el coeficiente de reflexión para lacorriente. De donde resulta:

)(11

j x

j x

e I I

e Io Io

i Io

I

Io

I 11

x

i

x jeee Io I



Además v y i se pueden expresar entérminos de la impedancia característica Zo

y de la impedancia de carga ZL. Así, encualquier punto de la línea:

En la carga (x=0)

Y así de la expresiones anteriores se tiene:

1

1

1

1

I

V

I

V

Io

Vo

Io

Vo Zo

I

V Z L

Zo

V Vo

Zo

V

Zo

Vo

Z

V

L

11



Considerando que V=Vo+V1 se tiene que:

Despejando V1 /Vo:Coeficiente de reflexiónpara el voltaje

Para impedancias de carga reales ZL variando de 0 a , v varía de -1 a 1.

Se observa que si ZL=Zo, v=0

Similarmente se puede demostrar que:Coeficiente de reflexiónpara la corriente

Zo

V Vo

Z

V Vo

L

11

v

L

L

Zo Z

Zo Z

Vo

V

1

v

L

Li

Zo Z

Zo Z



La razón V/I en cualquier punto x en la líneada la impedancia Zx en el punto viendo en

dirección a la carga:

Considerando la expresión de v y aplicandoidentidad al exponencial, esta última

expresión se puede escribir como:Impedancia a unadistancia

x de la carga

)(

)( x

i

x j

xv

x

eee Io

eeVo

I

V Zx

x

v

x

x

v

x

ee

ee

Io

Vo Zx

x Z Zo

x Zo Z Zo Zx

L

L

tanh

tanh



Si la línea está en circuito abierto ZL= y laecuación se reduce a:

Si la línea está en corto circuito ZL=0 se tiene:

Como =+j. Se tiene que:

Reduciendo términos:

x Zo x

Zo Zx

cothtanh

x Zo Zx tanh

x xsen jsenh x x

x xsen j x xsenh x

coscosh

coshcostanh

x x j

x j x x

tantanh1

tantanhtanh



El producto de la impedancia de la líneacuando es cortocircuito y circuito abierto es

igual al cuadrado de la impedanciacaracterística Zo:

Donde Zca=Zx para una línea en circuitoabierto y Zcc=Zx para una línea encortocircuito.

Si la línea es sin pérdidas (=0), lasrelaciones anteriores se reducen a losiguiente:

ZcaZcc Zo

ZcaZcc Zo

2

x jZ Zo

x jZo Z Zo Zx

L

L

tan

tan

x jZo

x j

Zo Zx

cot

tan



CortocircuitoSe observa que la impedancia para una línea

sin pérdidas de circuito abierto o decortocircuito es una reactancia pura.

EJEMPLOS:1. ¿Cuál es la impedancia de la línea Zo para

acoplar una carga ZL a un valor deseado Zx

utilizando una sección de acoplamientox= /4?

x jZo Zx tan



SOLUCIÓN:

2. ¿Cuál es la impedancia Zo de la línea detransmisión que se requiere para acoplar

una carga ZL=100 a una línea de 50?SOLUCIÓN:

x jZ Zo

x jZo Z Zo Zx

L

L

tan

tan

4

2tan

4

2

tan

4

2tan

4

2

tan

jZL

jZo Zo

jZL Zo

jZo ZL Zo Zx

ZxZL Zo ZL

Zo Zo Zx 2

L ZxZ Zo

)50)(100( Zo 71.70 Zo



3. Un tipo común de línea de transmisión paramicroondas, la RG59U, tiene una impedancia

de circuito abierto 15025 y una impedanciade corto circuito de 37.5-35. ¿Cuál es laimpedancia característica?

SOLUCIÓN:

)355.37)(25150( ZcaZcc Zo

575105625 Zo



4. Encuentre la impedancia de una línea detransmisión en una distancia de /8 de una

carga de 400.SOLUCIÓN:

82tan40050

8

2tan50400

50

tan

tan

j

j

x jZL Zo

x jZo ZL Zo Zx

875.821128.403

125.71128.40350

40050

5040050

j

j Zo

75.7550 Zo



RAZON DE VOLTAJE DE ONDAESTACIONARIA (VSWR)

En una línea sin pérdidas, esta razón estádada por:

Se infiere que:

Y de esta forma:

Imin

Imax

Vmin

VmaxVSWR

VoV Vo

V

V VoV VoVSWR

11

1

111

v

Vo

V

1

1

1

1

1

VSWR

VSWRVSWR v

v

v



VECTOR DE POYNTIG YPOTENCIA

La potencia transmitida por una línea detransmisión, en notación de circuitos es:

P=VI (W)

En forma más general si V e I varían enforma senoidal con respecto al tiempo y noestán en la misma fase, la potenciapromedio es:

P=½V0I0 cos En notación de campo, la densidad de

potencia S está dada por el vector de

Poynting. Es decir



S = E X H (W m-2)El resultado de esta expresión es el vector de

Poynting instantáneo. El vector de Poyntingpromedio se obtiene integrando el vector dePoynting instantáneo sobre un período ydividiendo entre un período. En notacióncompleja se obtiene mediante:

Donde:

Sprom = Sax = promedio del vector dePoynting

= Angulo de fase entre Ey y Hz en rad o

grados

)(cos2

1)Re(

2

1 2*

Wm Hz Ey x prom axHES



Puesto que la impedancia intrínseca delmedio es:

La magnitud del vector de Poynting promediose puede escribir como:

O:

Además:

Cuando =90, Sprom = 0

00 Z H

E

H

E Z

)Re(2

1)Re(

2

10

2

0

* Z H Z H H S z z z prom

)1

Re(2

1)Re(

2

1

0

2

0

*

Z E

Z

E E S y

y y

prom

cos

2

1cos

2

1

0

2

0

2

Z

E Z H S

z

z prom



Similarmente para V e I, la potenciapromedio está dada por:

Otras expresiones para Pprom de acuerdo a

lo expuesto anteriormente son:

cos21cos

21

0

2

000

Z V Z I P prom

coscos0

)(2

0)(2

Z

E Z H S

rms yrms z prom

coscos0

)(2

0)(2

Z

V Z I S

rmsrms prom



EJEMPLOS:1. Encuentre la potencia promedio de una

linea de transmisión para la cualV=180sen(260t) Volts, e I=600sen(260t +24) mAmpers.

SOLUCIÓN:

2. Considere una línea de transmisión de dos

conductores con un espaciamiento centro acentro de 1m y opera con una diferencia depotencial de 4160V(rms). La razón delespaciamiento centro a centro al diámetro

del conductor es de 3 a 1.

W xP prom 3.49)24cos(6.01802

1



Encuentre la potencia transmitida.Considere r=1

SOLUCIÓN:Diámetro de conductor = 2a = (1/3)mRadio del conductor = a = (1/6)m

Con esto la impedancia característica es:

Entonces la potencia transmitida es:

2156log1

276log

2760

a

D Z

r

KW Zo

V P

rms

prom 5.80215

)4160( 22

Actividad 5 (Preguntas y



Actividad 5 (Preguntas yProblemas)

1. ¿Cuándo se dice que una línea detransmisión es plana y cuando se dice quees resonante?

2. ¿Cuál es el resultado de terminar unalínea de transmisión en una reactanciapura?

3. ¿Cuál es el resultado de terminar unalínea de transmisión en una resistenciapura cuyo valor sea igual a la Zo de la

línea?



1. Una línea de transmisión sin pérdidas de100 tiene una impedancia terminal de

50+j75. Encuentre: a)v; b)VSWR2. Una línea de transmisión sin pérdidas de

50 está terminada en 35+j65.

Encuentre: a)v; b)VSWR; c)Zx a 0.35 de la carga; d)longitud de onda más cortadonde Zx es resistiva; e)¿cuál es el valorde esta resistencia?

3. Para las líneas de transmisión de losproblemas 2 y 3 de la actividad 3,encuentre la potencia transmitida por la

línea si operan con una diferencia de

CARTA DE SMITH



CARTA DE SMITHConsiste en una representación gráfica, en el

plano del coeficiente de reflexión, de laresistencia y la reactancia normalizadas.

Esta herramienta gráfica permite la obtenciónde diversos parámetros de las líneas detransmisión y la resolución de problemas deadaptación de impedancias, evitando lasoperaciones con números complejos quesuelen implicar estos cálculos.

Hacia el Generador



Resistenciasonductancias)constantes

Hacia la Carga

Circuitoabierto (Z=)

CortoCircuito (Z=0 )

Círculounitario

(r=1/g=1)

Reactancias(suceptancias)

constantes

Círculo r=0



El problema inicial es localizar cualquiercarga especificada sobre la carta. La

impedancia de carga o admitancia de cargaespecífica no se lee directamente de lacarta, ya que lo que está ubicado sobre ellaes una impedancia de carga normalizada

que es la razón entre la impedancia decarga ZL y la impedancia característica Zo:

Siempre que ZL y Zo sean iguales el puntoaparecerá sobre el círculo unitario, el cualtambién incluye el centro de la carta.

Zo

Z Zn

L



Los círculos a la derecha del centro sonmayores que la unidad y los que están a la

izquierda son menores que la unidad. Elcírculo más exterior o perímetro representael valor 0 (carga en cortocircuito). Elextremo derecho de la línea central

representa el círculo de valor , el cual sereduce a un simple punto.

La carta de Smith también acomoda

admitancias de carga, donde la parteresistiva se grafica como conductancia (G)



El otro parámetro de la impedancia decarga es el elemento reactivo

representado por una serie de arcos queemanan del lado derecho del círculo.La línea central representa el valor de

reactancia o susceptancia 0, que es elcaso de carga resistiva pura.Cualquier impedancia o admitancia de

carga normalizada puede localizarse enla intersección de circulo y de arcos

lineas de transmision unidad iii

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