lineas angulos y circulos

7/30/2019 Lineas Angulos y Circulos

http://slidepdf.com/reader/full/lineas-angulos-y-circulos 1/11

Lección 15: Líneas ,ángulos y circulos

En esta lección revisaremos algunos conceptos que usted muyprobablement e conoce bien.

Líneas y ángulosUna línea puede ser curva, com o la de la izquierda, o rect a,como la de la derecha. En el segundo caso decimos quetenemos una línea recta, o, simplement e, una recta.

Las l íneas se ext ienden p or am bos lados indef inid ament e.A veces se recuerda esto con flechas en ambos extremos,como se m uest ra enseguida con la rect a m:

Un segmento es una porción de l ínea recta que está l imitadapor dos puntos que son sus ext rem os. Por ej emp lo, losextremos del siguiente segmento son los puntos A y B:

157

LECCIÓN 15

m

A B



Como l as l íneas se ext ienden i ndef inidam ent e, no sepueden medir. Los segmentos sí se pueden medir. Cuandodos segment os t ienen l a m isma med ida se di ce que soncongruentes. Por ej em pl o, los segment os CD y EF soncongruentes:

Tambi én puede haber porciones de l ínea rect a que sóloest én l i mi t adas en un ext rem o. En est e caso se habla desemi- rectas. Por e j emplo, la siguient e semi-r ecta est ál im i t ada por e l punt o P y se ext i ende indef in idament e haciae l o t ro lado:

Dos rectas que están en el mismo plano y nunca se cruzan sonparalelas, como las siguientes:

158

GUÍA DE MATEMÁTICAS I

C

E

F

D

P



Dos rectas que no son paralelas se cruzan en un punto(también se dice que se cortan en ese punto), y entoncesform an cuat ro ángulos. Si O es el punt o en el que se cort anlas rectas, A y B son dos puntos en una de las rectas y C y Dson dos puntos en la otra, los ángulos se pueden denotar así:

AOC, COB, BOD y DOA.

Se puede entonces considerar a un ángulo como dossemi-rectas que parten del mismo punto; a ese punto se ledenomina vértice del ángulo. Los ángulos son m ás grandeso más pequeños, dependiendo de la apertura que guardanentre sí las dos semi-rectas. Por ejemplo, en el dibujo dearriba los ángulos AOD y BOC (marcados con dos pequeñosarcos) son más grandes que los ángulos COA y DOB (marcadoscon un solo arco).

Cuando los cuat ro ángulos que se f orm an ent re d os rect asson iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares,como en el siguient e ej emplo:

159

LECCIÓN 15

A

BC

DO



Al ángulo que f orm an ent re sí dos semi -rect as perp endicul aresse le l lama ángulo recto; se suele denotar con un cuadri to

j unt o al vér t i ce:

Consider emos ahora una rect a y un punt o P en el l a. El punt o

P se puede considerar como el vért ice de un ángulo entredos semi -rect as, y al ángulo que se f orm a se le l lam a ángulo

llano:

Un ángulo que es menor q ue un ángulo r ect o se denom inaángulo agudo , como el que t iene vért ice en el punto A dela siguient e f igura. Un ángulo que es mayor q ue un ángulorecto pero menor que un ángulo l lano se denomina ángulo

obtuso, como el que t iene vért ice en el punto B de lasiguient e f igura. Un ángulo que es mayor que un ángulol lano se denomina ángulo ent rante, como e l que t ienevért ice en el punt o C de la siguient e f igura.

160


P

AB

C



Indiq ue cóm o son l os siguient es ángulos:

Medición de ángulosLas categorías de ángulos agudos, rectos, obtusos y entrantesperm it en descri bir qué t an pequeños o grandes son los ángulos.Sin emb argo, con mucha f recuencia es necesario hacermed iciones más f inas. Para hacer est o, se acost umb ra di vidirel círculo en 360 ángulos iguales, que se denominan grados.Así, un ángulo rect o t iene 90 grados, lo que se acost umb raescrib ir así: 90º. Análogament e, un ángulo l lano m ide 180º.Para medir ángulos se uti l iza un t ransportador , que es un

inst rument o en form a de semicírculo con la graduación degrados de 0 a 180 y a veces también en sentido inverso.Algunos t ransport adores son cir culares y t ienen l a graduaciónde 0 a 360.

Observe que el t ransport ador t iene en su part e inf er ior (o enla parte media, si es circular) una l ínea recta cuyos extremos

161

LECCIÓN 15

a)b)

c)

d)

e) f )



van a dar a las graduacionesde 0º y 180º, a la m it ad de lacual hay una pequeña marca,generalment e en form a de cruz.Para usar el transportador se

hace coincid i r e l vér t ice delángulo que se desea medir conesa mar ca, y se hace coincidi runo de los lados del ángulo conla l ínea recta.

Por e j empl o, e l ángulo de la izquierda

mide 120º. Ust ed puede compr obar louti l izando su transportador como se haindicado. Cuando los lados del ángulo noestán marcados suficientemente largos,ust ed puede alargarlos ut i l izando su r egla:est o no modi f ica el t amaño del ángulo,puesto que no cambia su apertura.

La medic ión de un ángulo ent rant eut i l izando un t ransport ador semici r cularse puede realizar de dos maneras. Una esmedir e l complemento del ángulo ( la partedel círculo que no está marcada) y restarel r esult ado a 360º. La otr a es prol ongaruno de los lados del ángulo más allá del

vért ice, medir e l ángulo que forman estaprolongación y el otro lado, y agregar 180ºal resul t ado. Por e j emplo, e l ángulo de laizquierda mide 228º. Ver i f íquelo ut i l izandosu transportador.

162




Mida en grados los ángulos del ejercicio 1.

¿Cuánto miden los ángulos de lasescuadras de un juegode geomet r ía?

Exprese cuánt os grados, o bien ent re cuánt os y cuánt os

grados, m iden:

a) Un ángulo agudo. d) Un ángulo l l ano.

b) Un ángulo rect o. e) Un ángulo ent rant e.

c) Un ángulo obt uso. f ) Todo el cír culo.

Trace ángulos que midan:

a) 45º b) 60º c) 30º d) 120º

163

LECCIÓN 15



En cada u no de los siguient es inci sos, m id a los ángulos enlos que se ha r epart ido el círculo. Después, consider ando a360 como el 100%, exprese la medición de los ángulos comoporcenta j e de l to t a l .

Trace un círculo como los del ejercicio anterior, en el quelos sect ores midan, respect ivamente, una tercera part e, unaoctava part e, t res octavas part es y una sext a parte del t ot a l .

Circunferencia y círculoUna circunferencia es una l ínea cerr ada en la que t odos lospuntos están a la misma distancia de otro punto, que nopert enece a el la.A ese punto se le

denomina centrode la c i rcunf erencia.El inter ior de lacircunfer encia recibeel nombre decírculo.

164


a) b)

c i rcunferencia

cent ro

círculo



En la v ida cot i d iana se ut i l iza f r ecuent ement e la palabracírculo para ref erir nos por igual al círculo y a la circunf erencia.

Algunos segmentos y algunas líneas rectas, relacionadascon un círculo, m erecen part icular atención. Un radio de

una circunferencia (o de un círculo) es un segmento que vadesde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es unsegment o que va de un punto de l a c i rcunferencia a otr o.Un diámetro es un segmento que va de un punto de laci rcunferencia a otr o, pasando por e l cent ro. Una tangente

a una circunf erencia es una rect a que toca a la circunfer enciaen un solo punto.

En la f igura ant er ior , e l punt o O es el cent ro del cí rculo, e lsegmento OA es un radio, el segmento BC es una cuerda,el segmento DE es un diámetro, y la recta m es una tangente

a la c i rcunf erencia.

Un diámet ro separa el círculo en dos porciones iguales,denominadas semicírculos. Una cuerda separa la circunf erenciaen dos porciones; a la menor de las dos se la denomina arcode circunferencia; así, podemos hablar del arco BC de laf igura anter i or.

165

LECCIÓN 15

m

A

E

C

O

D B

arco



La manera usual de trazar una circunferencia es ut i l izando uncompás. Cuando lo hacem os así, col ocamos la punt a de m et alen el centro, y giramos la punta de lápiz hasta volver aencont rar e l punt o in ic ia l . El hecho de mant ener const antela apertura del compás garantiza que todos los puntos que

pintamos están a la misma distancia del centro. Hay otrasmaneras de t razar c i r cunferencias; por e j emplo ut i l izando unobj et o c i rcular (como un vasoo una moneda) y d ibuj andosu ent orno. Para t razarcircunferencias más grandes,como la de la parte centralde una cancha de fut bol ,o e l contorno de la fuente

de una plaza, se clava enel centro un pivote al rededordel cual se amarra un cordón,y en el o t ro ex t remo de lcordón se coloca l o que va ap in tar , por e jem plo, un botecon cal ; la d ist ancia entr eel bot e y e l p i vote es igual ala longi t ud del radio.

a) Si e l rad io de una ci rcunferenc ia mide 4 cm. , ¿cuántomide e l d iámet ro?

b) En genera l , ¿cuál es la re lación ent re la longi t ud de l rad ioy la del diám et ro? Si r es la longit ud del radio y d es lalongi t ud del d i ámet ro, exprese est a re lación con unafórmula.

166




Trace con un compás una circunferencia y l lame r a la longi-t ud de su radio y da la longi tud de su diámet ro.

a) ¿Es posibl e t razar una cuerda que m ida m enos que r? Si,sí lo es, t rácela.

b) ¿Es posible t razar una cuerda que mi da lo mismo que r?Si, sí lo es, trácela.

c) ¿Es posible t razar una cuerda que mid a más que r ym enos que d? Si, sí lo es, t rácel a.

d) ¿Es posible t razar una cuerda que mida lo mi smo que d?Si, sí lo es, trácela.

e) ¿Es posibl e t razar una cuerda que mida m ás que d? Si,sí lo es, t rácela.

f ) ¿Cuánto m ide la cuerda más grande que se puede t r azar?

Ut i l i ce e l e j erc icio anter ior para encont rar un procedimient oque permit a ubicar e l cent ro de una moneda.

167

LECCIÓN 15

lineas angulos y circulos

Documents