Linealizacion Enviado por loreluz20 25/8/2012 1632 PalabrasPGINA1DE7LinealizacinObjetivo General

Linealizar modelos.

Objetivos especficos

Linealizar modelos bsicos que se presentan en ciencias naturales.Hacer regresin lineal por medio del mtodo de mnimos cuadrados.

IntroduccinGeneralmente el modelo que representa un fenmeno natural no es una funcin lineal (es decir, sugrfica no es una lnea recta). Sin embargo como los modelos lineales son ms fciles de analizar, sepuede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. Aeste procedimiento se le denomina linealizacin. Mtodos que permiten linealizar algunos modelosson:

La logaritmacinCambio de variables

Por logaritmacinEntre los modelos que permiten linealizacin mediante la logaritmacin estn:

La funcin potencial.La funcin exponencial.

La funcin potencialLa funcin

y = bx a

se linealiza a travs de los logaritmos,log y = a log x + log b

Cambiando variables,log y y '

log x x '

se obtiene,y ' = ax '+b'

log b b '

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias, Escuela de Fsica, Sede Medelln

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LinealizacinEs decir, si en la funcin potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuacin de una lnearecta.La funcin exponencialLa funcin

y = be a x

se linealiza a travs de losLinealizacion Enviado por loreluz20 25/8/2012 1632 PalabrasPGINA2DE7logaritmos,Ln y = ax + Ln b

Cambiando variables,Ln b b'

Ln y y '

se obtiene,y ' = ax + b '

Es decir, si en la funcin potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuacin de una lnea recta.Por cambio de variablesEn los siguientes ejemplos se ilustrarn modelos que mediante el adecuado cambio de variablesquedan linealizados.Ejemplo 1Supngase que se tiene un sistema masa-resorte oscilando. El modelo terico afirma que, suponiendo que el alargamiento del resorte es proporcional a la carga aplicada (peso de la masa, m,acoplada al resorte), el perodo de oscilacin, P, de la masa oscilante es:P = 2

mk

siendo k, la constante elstica del resorte. Esta ecuacin se puede transformar en,P2 =

4 2mk

y al graficar P 2 vs m se obtiene una lnea recta con pendiente,a=

4 2k

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LinealizacinEjemplo 2Para pequeas oscilaciones, en el modelo terico se afirma que el periodo de un pndulo simple(masa puntual que pende de un hilo inextensible) es,P = 2

lg

en donde l corresponde a su longitud y g al valor de la aceleracin de la gravedad en el sitiodonde oscila. La ecuacin se puede transformar en,P2 =

4 2lg

y al graficar P 2 vs l se obtiene una lnea recta con pendiente,a=

4g

2

Regresin linealDados un conjunto de datos experimentales(x1,y1), (x2,y2),,Linealizacion Enviado por loreluz20 25/8/2012 1632 PalabrasPGINA3DE7(xN,yN), en donde se concluye(o al menos se sospecha) que la tendencia delcomportamiento de los mismos es lineal, es possible encontrar la ecuacin de la recta que mejorlos represente. Uno de los mtodos empleadopara encontrar diha recta se denomina mtodode los mnimos cuadrados.Definiendo el error i= yi y, que correspondea la diferencia entre el valor observado yi y elvalor ajustado y=axi+b (ver figura 1). El criteriode ajuste que toma el mtodo de los mnimoscuadrados es exigir que la desviacin cuadrticamedia sea mnima, es decir, debe de ser mnimala suma,

N

Figura 1N

s = ( i ) = [ yi (axi + b)]i =1

2

i=1

2

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LinealizacinEl extremo de s, mximo o mnimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b seannulas, lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas del que se despeja a y bobtenindose,N

a=

N

i =1

i =1

N

N

i =1

N xi y i xi y i

b=

N

i =1

N

i =1

N

i =1

i =1

xi2 y i xi xi y i

con,N

= Ni =1

Nx xi i =1

2

2i

Las respectivas incertidumbres en a y b son:N

ua = y

x

2i

N

ub = y

i =1

con,

y =

1N2 ( yi b axi )N 2 i =1

Regresin lineal empleando PhysicsSensorPhysicsSensor es unaLinealizacion Enviado por loreluz20 25/8/2012 1632 PalabrasPGINA4DE7plataforma software-hardware de libre uso, desarrollada por docentes de laEscuela de Fsica de la Universidad Nacional de Colombia sede Medelln, que permite incorporar el uso de las NTICs (Nuevas Tecnologas de la Informacin y las Comunicaciones) en los laboratorios de Ciencias Naturales con muy baja inversin econmica. Dentro del software de estavaliosa plataforma se encuentra un programa denominado Regresin Lineal que con solo suministrarle los datos para ajustar se obtiene los valores de los parmetros a (pendiente) y b(intercepto con las ordenadas) correspondientes a la mejor recta que los representa de acuerdo alas exigencies del mtodo de los mnimos cuadrados; el programa tambin despliega la grfica, lasrespectivas incertidumbres de estos parmetros y el coeficiente de correlacin (que s es cercano a1 -UNO- indica un buen ajuste), ver figura 2.De igual forma el EXCEL es una muy valiosa herramienta para realizar estos ajustes. Adicionalmente en la red Internet se encuentran muchas herramientas de uso libre que igualmente realizanestas tareas y que son muy confiables.

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Linealizacin

Figura 2Manejo de PhysicsSensorDocumento con los datosLos datos se deben estructurar en un documento .txt (es decir, texto plano) formando las siguientescinco columnas (y en ese orden),DATO

x

y

ux

uy

en donde ux, uy

Matemticasfinitastema en-lnea:regresin lineal y exponencial

Note:Las matemticas en esta pgina han sido mecanografiado porjsMath. Para verjsMatha su mejor expresin, debe instalar las fuentesjsMathTeX. Haga clic en el botn dejsMathen la parte inferior derecha de la pagina para ver ms detalles.Ya hemos visto como ajustar una recta a un conjunto de dos puntos de datos: Se calcula la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados. (Vea laresumen de funcionespara algunos ejemplos.) Sin embargo, por lo general se tiene ms que dos puntos de datos, y raras veces estn todos en una sola recta. El problema es que hallar la recta que ajusta los datostan estrechamenteque posible.1. Recta de mejor ajuste (Recta de regresin)Empezamos intentando construir unafuncin lineal de demanda. Suponga que su investigacin de mercado muestra las siguientes estadsticas de venta para casas de varios precios durante el ao pasado:Precio (Miles de dlares)160180200220240260280

Ventas de nueva casas este ao1261038275824020

Queremos utilizar estos datos para construir una funcin de demanda para el mercado de los bienes races. (Recuerde que una funcin de demanda especifica la demanda,y, medida aqu por ventas anual, como una funcin del precio,x.) Aqu est una traza deycontrax:

Los datos sugiera una recta, ms o menos, y entonces una relacin lineal entreyyx. Aqu son varias rectas que se acercan a los puntos:

PCul recta ajusta los puntos lo ms estrechamente que posible?RNos gustara que las ventas que pronosticara la recta (losvalores pronosticados) estuvieran tan cerca como fuera posible de las ventas reales (losvalores observados). Las diferencias entre los valores esperados y los valores pronosticados, que son loserrores residuales,son las distancias verticales que se marcan in la figura ms abajo.Error residual = Valor observado-Valor pronosticado

PEntonces como podemos hacerlo?RSumamos primero todos loscuadradosde los errores residuales para obtener un solo error que se llama elsuma de los errores al cuadrado(SSE-- siglas en ingls de "Sum of Squares Error") y escogemos la recta que se da el ms pequeo valor de SSE. Esta recta se llama larecta de mejor ajuste,recta de regresin,orecta de mnimos cuadradosasociada a los datos.Ejemplo 1: Calculando SSE para una recta dadaSupngase que nos gustara calcular SSE para una recta especifica, comoy=x+300como mostrada ms abajo:

Tenemos la siguiente tabla de valores:Principio del formularioxyObservadoyyPronosticadoy=x+300Error residualyy

160 126140-14

180103120-17

20082100-18

22075

24082

26040

28020

Final del formularioEntonces, para la rectay=x+300SSE=Suma de los valores de errores residuales

=-14-17-18-5 + 22 + 0 + 0

=-32

PMuy bien. Ahora sabemos como se calcula el valor de SSE para una rectaya dada. Como hallamos la rectade mejor ajuste;es decir, la recta para que SSE es lo menor?RPresentaremos aqu la formula que la determina. Justificarla necesita clculo; puede consultar el capitulo de funciones de varias variables enClculo Aplicadopara una explicacin detallada.Recta de regresin (o mejor ajuste)La recta que se ajusta mejor a losnpuntos(x1y1)(x2y2)(xnyn)tiene la formay=mx+bdondePendiente=m=n(x2)x2nxyxy

Interseccin=b=nymxAqu,significa "la suma de." As,xy=suma del productos=x1y1+x2y2++xnynx=suma del valores dex=x1+x2++xny=suma del valores dey=y1+y2++ynx2=suma del valores dex2=x21+x22++x2n

El uso de las formulas as bastante fcil, como se muestra el siguiente ejemplo.Ejemplo 2: Calculando la recta de regresin a manoDetermine la recta de regresin asociada a los siguientes datos:xx1234

yy1.51.62.13.0

SolucinPara aplicar las formulas, es mejor organizar los datos en forma de tabla como sigue: (Cuando ha rellenado los valores dexyyx2correctamente, pulse "Sumas" para obtener la suma de cada columna.)Principio del formularioxxyyxyxyx2x2

11.5

21.6

32.1

43.0

x=10y=8.2xy= x2=

Final del formularioSustituyendo los valores correctos de la tabla ms arriba en las formulas, obtenemosPendiente=m=n(x2)x2nxyxy=4(30)1024(23)(10)(82)=05Interseccin=b=nymx=482(05)(10)=08Por lo tanto, la recta de regresin esy=05x+08Antes de seguir...Aqu esta una traza de los pontos de dados y la recta de regresin.

Observe que ni siquiera pasa la recta por uno de los puntos, pero es la recta que se ajusta mejor a los puntos.

Regresamos a los datos sobre la demanda para el mercado de los bienes races con la que empezamos este tema.Ejemplo 3: Funcin de demandaObtenga la ecuacin de demanda que se ajusta mejor a los siguientes datos, y sela para pronosticar ventas anuales de casas preciadas a $140,000.Precio (Miles de dlares)160180200220240260280

Ventas de nueva casas este ao1261038275824020

SolucinAqu esta una tabla como la que usamos ms arriba para organizar las calculaciones:xxyyxyxyx2x2

16012620,16025,600

18010318,54032,400

2008216,40040,000

2207516,50048,400

2408219,68057,600

2604010,40067,600

280205,60078,400

x=1540y=528xy=107280x2=350000

Sustituyendo estos valores en la formula (conn=7), obtenemosPendiente=m=n(x2)x2nxyxy=7(350000)154027(107280)(1540)(528)07929Interseccin=b=nymx7528(07928571429)(1540)2499Observe que usamos el valor ms exacto que pudimos obtener en la calculadora,m07928571429, en lugar del valor redondeado(07929)en la calculacin deb. Eso ilustra la sigiuente regla general:Al calcular, no redondee los resultados intermedios; en vez de eso, utilice los resultados ms exactos que puede obtener, usando los valores guardados en su computadora o calculadora si es posible.Por lo tanto, la recta de regresin esy=07929x+2499Ahora podemos utilizar esta ecuacin pronosticar las ventas anuales de casa cuyo precio es $140,000:Principio del formularioVentas anuales de casas preciadas a $140,000 redondee al nmero entero ms cercano

Final del formularioAntes de seguir...Ms abajo est una traza de la recta de regresin.

PSi mis puntos estn en una recta, est la recta de mejor ajuste?RS. Si los puntos estn en una recta, el valor mnimo posible de SSE es cero, y eso sucede si se usa la recta que pasa por todos los puntos. Una consecuencia de este hecho es que se puede usar la herramienta regresin en su graficadora ola herramienta regresin en este sitiopara calcular la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos especificados.PSi no todos los untos estn en una recta, cmo puedo saber cunto se acercan a una recta?RHay un nmero que mide la "bondad de ajuste" de la recta de regresin llamadocoeficiente de correlacin.Este nmero, que se representa porr, est entre1y1. Cuanto ms se acercara1o1, el ajuste es mejor. Si el ajuste es malo, se acercara0. Si el ajusto es exacto,r=1para una recta con pendiente negativa, or=1para una recta de pendiente positiva. La figura ms abajo muestra varios conjuntos de puntos con sus rectas de regresin, y los valores correspondientes der.

El coefficiente de correlacin se puede calcular con la siguiente formula. Para obtener la se requieren buenos conocimientos de estadstica.Coeficiente de correlacinCoeficiente de correlacin=r=nxyxynx2x2ny2y2

2. Curva exponencial de mejor ajuste (Curva exponencial regresin)PAhora sabemos como ajustar una recta a un conjunto de datos. Que hay una curva exponencial de la formay=Arx?RLa idea es convertir una curva exponencial a una recta por medio de logaritmos, como sigue:Empiece con la funcin exponencialy=Arxy tome el logaritmo de ambos lados:logy=log(Arx)Las propiedades de logaritmos nos dan entonceslogylogy=logA+logrxo=logA+xlogrEsto expresalogycomo una funcin lineal dex, conPendiente=m=logrInterseccin=b=logAPor lo tanto, si calculamos la recta de mejor ajuste usandologycomo una funcin dex, entonces la pendiente y la interseccin enyseran dados como ms arriba, y despus podemos obtener los coeficientesryAporrA=10m=10bPara resumir,Regresin exponencialPara obtener la curva exponencial de mejor ajuste de la formay=Arx1. Obtenga la recta de regresin usando los datos(xlogy).2. Los coeficientes deseadosAyrson entoncesrA=10m=10bdondemybson la pendiente y interseccin de la recta de regresin.

Ejemplo 4: Ventas de CompaqIngresos de ventas de computadores Compaq (una marca ahora extinguida) son mostrados en la siguiente tabla, dondetrepresenta aos desde 1990.* Obtenga el modelo exponencial de regresin para los datos.tt= Ao (1990 = 0)0247

RR= Ingreso ($ billn)341125

* Datos son redondeados. Fuente: Informes de compaa/The New York Times,Enero 27, 1998, p. D1.SolucinPues necesitamos modelarlogRcomo una funcin lineal det, primero construimos una tabla conx=tyy=logR, y entonces calculamos la recta de regresin,y=mx+b.x(=t)x(=t)0247

y(=logR)y(=logR)0.4771210.6020601.041391.39794

En lugar de hacer la calculacin a mano como hicimos ms arriba, podemos utilizarla herramienta regresin en este sitiopara hacerlo automticamente. Simplemente ingrese los valores dexyyy pulse el botn "y=mx+b". (S, la herramienta puede hacer regresin exponencial directamente, pero preferimos que sabe usted como funciona!)La recta de regresin que obtenemos esy=013907x+042765Por lo tanto, el modelo exponencial deseado esR=Art,donder=10m=1001390713774, yA=1004276526770.Nuestra modelo de ingresos es, por lo tanto,R=26770(13774)t.Antes de seguir...Vaya a laherramienta regresin, ingrese los datos originales (sin tomar logaritmos) y pulse el botn "y=a(bx)". Qu encuentra?Note:Pues hemos tomado logaritmos antes de hacer la regresin lineal, se puede decir que la curva de regresin exponencial no es la curva que minimiza SSE para los datosoriginales, esta curva minimiza SSE para los datostranformados--- es decir, para los datos(xlogy). Por lo tanto, la curva de regresin exponencial no es la curva exponencial de mejor ajuste en el sentido "estricto." Vea los libros de texto "Applied Calculus" para un mtodo obtener esta curva.

3. Otras formas de regresinA la herramienta de regresin se puede encontrar tambin curvas de regresin de las siguientes formas:y=ax2+bx+cy=ax3+bx2+cx+dy=axb(Regresin cuadrtica)( Regresin cbica)(Regresin potencia)En la calculadora TI-83/84, se puede encontrar todos estos y tambin los siguientes:y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=asin(bx+c)(Regresin curtica)(Regresin seno)

Ultima actualizacin: Enero 2008http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/regression.html