linea de influencia
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LINEA DE INFLUENCIA
Las cargas vivas debidas al tránsito de vehículos sobre puentes de carreteras y de
ferrocarril se representan por una serie de cargas concentradas en movimiento con
un espaciamiento entre las mismas. Las líneas de influencia proporcionan un medio
conveniente de análisis de las estructuras sujetas a ese tipo de cargas en
movimiento. En esta sección, se discute cómo se puede usar la línea de influencia
para una función con el fin de determinar 1) el valor de esa funciónde respuesta para
una posición dada de una serie de cargas concentradas y 2) El valor máximo de la
función de la respuesta debido a una serie de cargas concentradas en movimiento.
Considérese, por ejemplo, la viga de puente que se mostrara en la siguiente
figura, Supóngase que se desea determinar la cortante el punto B de la viga debida
a las cargas de las ruedas de un camión HS20-44, cuando el eje delantero de éste
se localiza a una distancia de 16ft del apoyo izquierdo A, como se muestra en la
figura. La línea de influencia para la cortante en B también se muestra en la figura.
Se conocen las distancias entre las tres cargas así como la localización de la carga
de 4 k, de modo que las localizaciones de las otras dos cargas se pueden establecer
con facilidad. Aun cuando se pueden obtener las ordenadas de las líneas de
influencia correspondientes a las cargas mediante la utilización de las propiedades
de los triángulos semejantes formados por la propia línea, suele ser conveniente
evaluar cualquiera de esas ordenadas al multiplicar la pendiente del segmento de la
misma en donde la carga está ubicada por la distancia de esta última al punto en el
cual el segmento de esa línea de influencia se interseca con el eje horizontal (es
decir, se hace cero). El signo (más o menos) de la ordenada se obtiene por
inspección. Por ejemplo, la ordenada de la línea de influencia correspondiente a la
carga de 4 k se puede calcular al multiplicar la pendiente (1:100) del segmento de
esa línea para la parte AB por la distancia (16ft) de la carga al punto A. De donde, la
ordenada de la línea de influencia para Sb correspondiente para la carga de 4 k es
igual a – (1/100)(16) = -0.16 k/k. En la siguiente figura se muestran las ordenadas
correspondientes a las tres cargas, obtenidas de este modo.
Puede recordarse que la cortante en B debida asola una carga concentrada se
expresa por el producto de la magnitud de esa carga y la ordenada de la línea de
influencia en la localización de aquélla. En virtud de que la superposición es válida,
se puede determinar la cortante total en B causada por las tres cargas concentradas
al sumar algebraicamente las cortantes en ese punto debidas a
Linea de influencia para Sb (k/)
cada una de las cargas por separado; es decir, sumando los productos de las
magnitudes de las cargas y las ordenadas respectivas de la línea de influencia. De
donde,
Sb = -4(0,16) – 16(0,3) + 16(0,4) = 0.96 k
Se puede emplear el procedimiento descrito para determinar el valor cualquier
función de respuesta de fuerza o de momento de una estructura para una posición
dada de una serie de cargas concentradas.
También se pueden usar las líneas de influencia para la determinación de los
valores máximos de las funciones de respuesta, en lugares particulares de las
estructuras, debidos a una serie de cargas concentradas. Considérese la viga
mostrada en la figura que se mostrará a continuación y supóngase que nuestro
objetivo es determinar la cortante positiva máxima en el punto B debida a la carga de
cuatro cargas concentradas que se muestran en la figura. Si se supone que la serie
de cargas se mueve de derecha a izquierda sobre la viga se puede observar a partir
de estas figuras que, conforme la serie se mueve desde el extremo C de la viga
hacia el punto B, la cortante en B crece en forma continua ya que crecen las
ordenadas de la línea de influencia bajo las cargas. La cortante en B alcanza un
máximo relativo cuando la primera carga de la serie, la de 8k, llega precisamente a
la derecha de B, en donde se localiza la ordenada positiva máxima de la línea de
influencia. Cuando la carga de 8 k cruza el punto B, la cortante en este punto
decrece de manera abrupta en una cantidad igual a -8(0.667+0.333) = - 8 k. Con la
serie de cargas moviéndose en forma continua hacia la izquierda, Sb crece una vez
más y alcanza otro máximo relativo cuando la segunda carga de la serie, la de 10 k,
llega precisamente a la derecha de B, y así sucesivamente.
Sb = 8 (20 )( 130 )+10 (16 )( 130 )+15 (13 )( 130 )+5(8)¿) = 18.5 k
Enseguida, la serie completa de cargas se mueve hacia la izquierda en 4 ft, para
colocar la segunda carga de la serie, la de 10 k, en la ubicación de la ordenada
positiva máxima de la línea de influencia como se muestraen la siguiente figura. La
cortante en B para esta posición de las cargas se expresa por
Sb = -8 (6 )( 130 )+10 (20 )( 130 )+15 (17 )( 130 )+5 (12)¿) = 15.567 k
Línea de influencia de Rb
Posición 1 de las cargas
Posición 2 de las cargas
Posición 3 de las cargas
Posición 4 de las cargas
Entonces, la serie de cargas se mueve todavía más hacia la izquierda, 3 ft, para
colocar la tercera carga de la serie, la de 15 k, precisamente a la derecha de B. La
cortante en b queda dada ahora por
Sb = -8 (3 )( 130 )−10 (7 )( 130 )+15 (20 )( 130 )+5(15)¿) = 9.367 k
Por último, la serie se coloca en posición de modo que su última carga,
la de 5 k, esté precisamente a la derecha de B. Note que ahora la carga
de 8 k se ha movido afuera del espacio cubierto por la viga; por lo tanto,
no contribuye con la cortante en B, la cual se da por
Sb = −10 (2 )( 130 )−15 (5 )( 130 )+5 (20 )( 130 )=0.167k
Al comparar los valores de Sb determinados para las cuatro posiciones de las
cargas, se concluye que se tiene la cortante positiva máxima en B para la primera
posición de esas cargas, es decir, cuando la carga de 8 k se coloca precisamente a
la derecha de B
Positiva máxima Sb = 18.5 k
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
El procedimiento para la determinación del valor máximo de una función de
respuesta de fuerza o de momento en un lugar particular de una estructura, debido a
una serie de cargas concentradas en movimiento, se puede resumir como sigue:
1. Construya una línea de influencia para la función de respuesta cuyo valor
máximo se desea y localice su ordenada positiva o negativa máximas,
dependiendo de cuál de los dos se quiere determinar. (En lo que sigue, esta
ordenada se menciona sencillamente como la ordenada máxima.)
2. Seleccione la dirección (de derecha a izquierda o viceversa) en la cual se
moverá la serie de cargas sobre la estructura. Si la serie se va a mover de
derecha a izquierda, entonces la carga que está en el extremo izquierdo de la
misma se considera como la primera, en tanto que si se va a mover de
izquierda a derecha, entonces la carga en el extremo derecho se considera
como la primera. Empezando con la primera, numere en secuencia (como 1,
2, 3,…) todas las cargas de la serie. La posición de la serie completa de
cargas se menciona como el número de aquélla que se coloca en la ubicación
de la ordenada máxima de la línea de influencia; por ejemplo, cuando la
tercera carga de la serie se coloca en la ubicación de esa ordenada máxima,
entonces la posición de la serie se menciona como la posición 3 de las
cargas, y así sucesivamente.
3. Coloque en posición la serie dada de cargas concentradas sobre la
estructura, con la primera de la serie en la ubicación de la ordenada máxima
de la línea de influencia. Establezca las ubicaciones del resto de las cargas
de la serie.
4. Evalúe las ordenadas de la línea de influencia correspondiente a las cargas
de la serie y determine el valor de la función de respuesta sumando
algebraicamente los productos de las magnitudes de esas cargas y las
ordenadas respectivas de la línea. Si el valor de la función de respuesta
determinado en este momento es el correspondiente a la última posición de
las cargas (con la última carga de la serie colocada en la ubicación de la
ordenada máxima de la línea de influencia), entonces continúe con el paso 6.
De lo contrario, siga con el paso 5.
5. Mueva la serie de cargas en la dirección seleccionada en el paso 2 hasta que
la carga siguiente llegue a la ubicación de la ordenada máxima de la línea de
influencia. Establezca las posiciones del resto de las cargas de la serie y
regrese al paso 4.
6. Comparando las magnitudes de la función de respuesta determinadas para
todas las posiciones de las cargas que se consideren, obtenga el valor
máximo de la función de respuesta.
Si la disposición de las cargas es en tal forma que todas o la mayor parte de las
más pesadas se localizan cerda de uno de los extremos de la serie, entonces el
análisis se puede facilitar si selleciona una dirección del movimiento de la serie,
de modo que las cargas más pesadas lleguen a la ordenada máxima de la línea
de influencia antes que las más ligeras. Por ejemplo, una serie de cargas en la
que las más pesadas se encuentran a la izquierda debe moverse sobre la
estructura de derecha a izquierda yviceversa. En ese caso, es posible que no sea
necesario examinar todas las posiciones de las carga obtenidas al colocar en
forma sucesiva cada carga de la serie en la ubicación de la ordenada máxima de
la línea de influencia. En lugar de ello, el análisis se puede finalizar cuando el
valor de la función de respuesta empiece a decrecer, es decir, si se encuentra
que el valor de la función de respuesta para una posición de las cargas es menor
que el correspondiente a la posición anterior, entonces se considera que el valor
de la función para esa posición anterior es el máximo. Aun cuando este criterio
también puede funcionar para series con las cargas más pesadas ceca del punto
medio del grupo, no es válido para cualquier serie general de cargas. En general,
dependiendo de las magnitudes y del espaciamiento de las cargas, así como de
la forma de la línea de influencia, el valor de la función de respuesta, después de
declinar para algunas posiciones de las cargas, puede emplear a crecer de
nuevo para las posiciones subsiguientes y puede alcanzar un máximo mayor.
Por ejemplo: determine la fuerza axial máxima en el miembro BC de la
armadura Warren debida a la serie de cuatro cargas concentradas en movimiento
que se muestran en la siguiente figura.
SOLUCIÓN: fuerza máxima en el miembro BC para determinar el valor máximo
de F BC, se mueve la serie de cargas de derecha a izquierda, colocando
sucesivamente cada carga de ella en el punto B.
Línea de influencia para Fbc
Posición 1 de las cargas
Posición 2 de las cargas
Posición 3 de las cargas
Posición 4 de las cargas
En donde está ubicada la ordenada máxima de la línea de influencia para F(BC)
Entonces se calcula el valor de F(BC) para cada posición de las cargas como se
indica enseguida:
- Para la posición 10 de las cargas:
F(BC) = [16 (60 )+32 (50 )+8 (35 )+32 (15 ) ]( 180 )=41.5k (T )
- Para la posición 2 de las cargas:
F(BC) = 16 (10 )( 380 )+ [32 (60 )+8 (45 )+32 (25 ) ]( 180 )=44.5k (T )
- Para la posición 3 de las cargas:
F(BC) = 32 (5 )( 380 )+[8 (60 )+32 (40 ) ]( 180 )=28.0K (T )
- Para la posición 4 de las cargas:
F(BC) = 32 (60 )( 180 )=24.0K (T )
Por comparación de los valores de F(BC) para las cuatro posiciones de las cargas,
se concluye que la magnitud de la fuerza axial máxima que se desarrolla en el
miembro BC es F(BC) = 44.5 k de tensión. Ocurre esta fuerza máxima cuando la
segunda carga de la serie se coloca en el nodo B de la armadura.
Máxima F(BC) = 44.5 k (T)