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Lmites Trigonomtricos

De manera General los lmites trigonomtricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad

trigonomtrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizaralgunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada oaplicar las propiedades de los lmites.

A continuacin algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.

Ejemplos:

1.

Los siguientes lmites son considerados comoCASOS NOTABLES

1) 10

x

senxLimx

2) 10

senx

xLimx

3) 00

senxLimx

4) 10

Kx

senKxLimx

5) 1cos0

xLimx

6) 0cos1

0

x

xLimx

7)2

1cos120

x

xLimx

8) 1tan

0

x

xLimx

9) 1tan0

x

xLimx

10) 1tan

0

Kx

KxLimx

AlgunasIDENTIDADES TRIGONOMTRICAS ms usadas son:

Identidades Bsicas

ecxsenx

cos

1

xx

sec

1cos

anxx

cot

1tan

x

senxx

costan

senx

xanx

coscot

Identidades Fundamentales de la Trigonometra

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de ngulos

sen(xy)=senx cosycosx seny senxsenycosxcosyy)cos(x

2

2cos12 xxsen

2

2cos1cos

2 xx

Identidades de ngulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de ngulos medio

2

cos1)2/(

xxsen

2

cos1)2/cos(

xx

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2.

3. si decimos quex-1 = y entonces tendremos: 1lim0

y

seny

y

4. de igual manera

5.

6.0

0

)0(3

0

3

2lim

0

sen

x

xsen

x 3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7.0

0

2

cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenxx

xsenx

senx

x

x

xxx

8.

recordando que sen2

x + cos2

x=1 sen2

x= 1-cos2

x

9.

recordando quex

senxx

costan

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento comn en algunoslmites trigonomtricos y que consiste en multiplicar por elconjugado de una expresin. Multiplicamos por el conjugado de

que es

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10. al evaluar resulta:

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos : recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny

Luego:

11.0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

x

x

x

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12.0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

xxxx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x