limites y continuidad de funciones 2011-12
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TEMA 1 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Funcin real de variable real
Una funcin f de variable real es una relacin que asocia a cada nmero real x, de la
variable independiente, un nico nmero y=f(x), de la variable dependiente, que sedenomina imagen de x por f.
Al conjunto de los valores de x a los que se les asocia alguna imagen se le denomina
Dominio de f (Dom f). Al conjunto de los valores de y que son imagen de algn x se le
denomina Recorrido de f (Im g).
Ejemplo:Un ejemplo de funciones son las sucesiones de nmeros reales:
f: N R
n anPoner vosotros otros ejemplos
Lmites de funciones
Una de las caractersticas de las funciones que ms nos interesa estudiar es su tendencia.
En muchas ocasiones, nos interesa saber hacia donde tiende la funcin cuando la
variable x tiende al infinito o a un valor finito. Vamos a desarrollar estas ideas primero
de una forma intuitiva (grficamente), para despus pasar a hacerlo de una forma ms
rigurosa o formal (analticamente).
Intuitivamente:
-Observa la siguiente grfica de una funcin. Estudia el dominio y el recorrido de la
funcin, as como su continuidad. Escribe el valor de cada lmite que se indica y saca
conclusiones:
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-
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=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
1
1
4
4
2
2
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
+
+
+
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
)(lim
4
4
2
2
0
0
xf
xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
x
-Representa la grfica de una funcin teniendo en cuenta el valor de los lmites
siguientes. Estudia adems el dominio y la continuidad de dicha funcin.
0)0(
0)(lim
0)(lim
)(lim
)(lim
0
0
1
1
=
=
=
+=
=
+
+
f
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
4)(lim
2)(lim
)(lim
)(lim
3
3
1
1
=
=
+=
+=
+
+
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
noexistef
xf
xf
x
x
)4(
5)(lim
5)(lim
4
4
=
=
+
1)Limite de una funcin en el infinito.
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1)2(
0)(lim
0)(lim
1)(lim
0)(lim
)(lim
2
2
3
=
=
=
=
=
+=
+
+
f
xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
-
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-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a + ( ) es L, y se expresa:Lxf
x=
+)(lim ( Lxf
x=
)(lim ), cuando se verifica que a medida que x va tomando
valores ms grandes (pequeos), los valores correspondientes de la funcin se van
aproximando cada vez ms a L.
Formalmente:
Diremos que Lxfx
=
)(lim si se verifica que ,0> podemos encontrar un x0 tal
que si x>x0 (o xx0 (x
Ejemplos:
1)Las funciones potenciales tienden a cuando x tiende a .
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2)Hay funciones que no tienen lmite cuando x tiende a . Como por ejemplo:f(x) = senx ; f(x) = cosx ; f(x) = tgx
Ejercicio:
Halla los siguientes lmites:
a)32
3lim xxxx
++
b)3 2
2lim ++
xx
c) ( )xx
225lim
+d) ( )x
xlog2lim
+
e)xx
x
x + 22
2lim f)
x
x
+ 2
1lim g)
1
1lim
2 ++ xxh)
x
x
+
3
2lim
2)Limite de una funcin en un punto.
-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es + ( ),
y se expresa += )(lim xfcx ( = )(lim xfcx ), si se cumple que a medida que xtoma valores cada vez ms prximos a c y menores que c, los valores correspondientes
de f(x) van siendo cada vez mayores (menores).
-Diremos que el lmite de f(x) cuando
x tiende a c por la derecha es + ( ), y se expresa +=+
)(lim xfcx
(
=+
)(lim xfcx
), si se cumple que a
medida que x toma valores cada vez ms
prximos a c y mayores que c, los
valores correspondientes de
f(x) van siendo cada vez mayores (menores).
-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda
es L, y se expresa Lxfcx
=
)(lim ; si se cumple que a medida que
x toma valores cada vez ms prximos a c y menores que c, los
valores correspondientes de f(x) van aproximndose cada vez ms a L.
-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha es
L, y se expresa Lxfcx
=+
)(lim ; si se cumple que a medida que x
toma valores cada vez ms prximos a c y mayores que c, los valores correspondientes
de f(x) van aproximndose cada vez ms a L.
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-En general diremos que Lxfcx
=
)(lim cuando existen los lmites laterales y
coinciden:
=
)(lim xfcx
Lxfcx
=+
)(lim .
Formalmente:
Diremos que Lxfcx
=
)(lim , si para cualquier 0> , podemos encontrar un 0> tal
que: si , +
-
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+
=++=
=
+=++
=+
+=++
.mindet
)()(
acinerIn
l
l
+==+ =
+=+
+=
=
+=+
.det0)(
)()(
)(
)()(
In
l
ll
l
-Divisin: -Potenciacin:
=
=
=
=
.det0
0
.det)(
)(
00
0
0
0
In
In
l
l
-
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[ ] [ ] 22lim)()(lim 33 =+=++
xxxhxfxx
4)Clculo de lmites
a)Lmites cuando x tiende a
-Indeterminacin
:
i)Cociente de polinomios:
==++
++ +
+
qpsi
qpsiba
qpsi
x
b
a
xbbx
xaax qpxqq
pp
x
0
/lim
.....'
.....'lim
1
1
*(multiplicando y dividiendo el numerador por xp, y el denominador por xq, todos los
trminos restantes tienden a 0).
Ejemplos:
==
+
++x
x
xx
xx 2
3lim
21
123lim
2
03
lim2
123lim
3
2
==++
++ xxx
xx
xx
4
3
4
123lim
2
2
=++
+ xx
xx
x
ii)Cociente de otras expresiones infinitas:
-Cuando en el numerador, el denominador o en ambos aparecen expresiones radicales,
se opera como en el apartado anterior pero teniendo en cuenta que:n pp xaax ...' 1 ++ se comporta como npn xa / cuando x
Ejemplos:
32
32lim
29
12lim2
==+
++ xx
xx
xxx
=
=
++ x
x
x
xx
xx 5
2lim
53
4lim
2/33
-Cuando en el cociente aparecen expresiones potenciales, exponenciales, y logartmicas,
hay que tener en cuenta el orden del infinito que representan, en general:
Orden infinito exponenciales>orden infinito potenciales>orden infinito logartmicas.
Ejemplos:
+=+ 305
2limx
x
x
0loglim 2 =+ x
xx
+=+ 7
5'1limx
x
x
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03
2lim =
+ x
x
x0
5
loglim
10
2 =
+ xx
xx
-Indeterminacin :
-Expresiones en las que el lmite se ve a simple vista:
+==
=
+
+++
2/32/3
4
53 lim
9
2lim
9
425lim xxx
x
xxx
xxx
=
+
x
x x
x4'1
2lim
2
23
-Diferencia de cocientes de polinomios:4
4lim
1
)1(3lim
1
3lim
22
=
=+
+=
+
+++ x
x
x
xxxxx
x
xx
xxx
-Diferencia de radicales:
( ) ( (( ) 4
1
4lim
24lim
24
2424lim24lim
22
222 =
=
+
=
+
+=
+++ x
x
xxx
x
xxx
xxxxxxxxx
xxxx
-Indeterminacin 1 :
-En general, cuando tenemos una potencia, debemos estudiar la tendencia de la base y el
exponente:
03
2
13
2lim =
=
+
x
x x
x +=
=
+
2
3
12
3lim
x
x x
x
-Cuando 1)(lim = xfx y = )(lim xgx , tendremos que
=1)(lim )(xg
xxf , que es
una indeterminacin que resolveremos:[ ] )(1)(lim*
)()(limxgxf
xg
x
xexf
= :
*(se obtiene transformando la expresin teniendo en cuenta que en n
n
+
11 )
( ) ( )10
3513
6lim351
13
53lim
35
13
53lim eee
x
x xxx
x
xx
x
xx ===
+
+
-Lmites cuando x
Hay que tener en cuenta que )(lim)(lim xfxfxx
=+ :
( ) ( ) ( ) =+=+=+ ++ 13lim1)()(3lim13lim232323 xxxxxx
xxx
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b)Lmites cuando x tiende a un nmero c :
-En general, haremos )()(lim cfxfcx = :
( ) 8131lim 422
==+ +
x
xx
+=+=
9
3
2lim 2
3x
xx
-Cuando = )(lim xfcx , hay que hallar los lmites laterales para obtener el signo del
=
+ ==
+
2lim
2
lim
2lim
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(asntota vertical x = 2 )
-Indeterminacin0
0:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 5
4
31
2lim
321
22lim
67
4lim
223
2
2=
++
=+
+=
+
xx
x
xxx
xx
xx
x
xxx
( )( )
( ) 092lim9
92lim
9
182lim
2/12
32/12
2
32
2
3==
=
x
x
x
x
x
xxx
-Indeterminacin :
4
1
2
1lim
4
42lim
4
4
2
1lim
22222=
+=
+
=
xx
x
xx xxx
1321lim
2
1
32
2lim
2
11
32
1lim2
1
2
222
32
1lim
====
eeee
x
x xxxx
xx
xx
x
xxx
Continuidad de funciones
-Continuidad en un punto:
Diremos que f(x) es continua en x = c si se cumplen las siguientes condiciones:
1) lxfcx
=
)(lim , siendo Rl
2) f est definida en c, es decir, f(c) existe.
3) Adems )()(lim cflxfcx == (esta ltima condicin resume a las dems).
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-Si una funcin no es continua en un punto, diremos que presenta una discontinuidad
en ese punto. Hay distintos casos en los que se puede presentar una discontinuidad:
a)Discontinuidad inevitable de salto infinito:
Alguno de los lmites laterales es infinito.
Ej:
1
1)(
=
xxf tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 1 ya que
= 11
lim1 xx
+=+ 11
lim1 xx
x = 1 asntota vertical
b)Discontinuidad inevitable de salto finito:
Los limites laterales no coinciden por lo que no existe el )(lim xfax
Ej:
=
2
2/1)(
xsix
xsixxf
f(x) es continua en { }2,0R : En x=0 hay una discontinuidad de salto infinito,en x=2 hay una discontinuidad de salto finito. Representa la funcin.
Teorema de Bolzano
Si f(x) es continua en [a, b] y signo de f(a) signo de f(b), entonces existe al menosun ( )bac , tal que f(c) = 0.La demostracin de forma grfica es evidente .
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Observacin:Aunque la funcin no sea continua en [a, b] signo f(a) = signo f(b), puede ocurrir
que corte al eje X en el intervalo (a, b).
Aplicacin del teorema:
-Probar que la ecuacin x3 3x + 40 = 0 tiene alguna solucin real. Aproximar su
valor hasta las dcimas.
Sol: Tenemos que probar que la funcin f(x) = x3 3x + 40 tiene alguna raz real. En
primer lugar f(x) es continua en R ya que es una funcin polinmica. Adems por
tanteo vemos que f(-4) = -12 y f(-3) = 22, por lo que por el teorema de Bolzano
podemos afirmar que existe ( )3,4 c tal que f (c ) = 0. Por tanteo vemos que laraz es aproximadamente .7'3c
Consecuencias del teorema de Bolzano:
1)Teorema de los valores intermedios (Darboux):
Si f es continua en [a, b], entonces para cualquier nmero k , tal que f(a) < k < f(b),
existe un nmero s, tal que f (s) = k.
Ej:
Dada la funcin f(x) = senx + cosx, demuestra que existe un punto )4,0(c tal quef (c ) = -1.
2)Si f y g son continuas en [a, b] y se cumple que f(a)g(b), entonces existe
un nmero ( )bas , tal que f(s) = g(s).
Ej:
Probar que las grficas de las funciones f(x) = Lnx y g(x) = e-x se cortan en algn
punto del intervalo [1, 2].
Teorema de Weierstrass
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Si f es continua en [a, b], entonces tiene un mximo y un mnimo absolutos en ese
intervalo. Es decir, existen dos nmeros, c y d, del intervalo [a, b], para los que se
cumple: Si [ ] bax , )()()( cfxfdf
Ej:
-Dada la funcin:1
1)(
=
xxf . Tiene mximo y mnimo absolutos en el intervalo
[2, 5]? Y en el intervalo [0, 2]?.
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