Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 4

LÍMITES POR CAMBIO DE VARIABLE

Las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos a una forma racional

introduciendo una nueva variable.

Para ver cómo aplicar esta técnicas calculemos el siguiente límite:

1

1lim

1x

x

x→

−−

El propósito de un cambio de variable es el tratar de evitar los radicales así que

buscaremos una variable con un exponente que sea divisible entre el índice de la raíz para

eliminarla. De esta manera proponemos hacer el cambio de X = W². Entonces, como X → 1,

haremos el siguiente razonamiento:

Sustituyendo a X por W² (recordemos que si W² = 1 entonces al despejar a W con

ayuda de una raíz cuadrada tenemos que W = 1, es decir W → 1)

Para hacer el cambio de variable reemplazamos todas las X de la función por W² y en

lugar de X → 1, escribimos W → 1. Lo cual sería:

2

21

1lim

1w

w

w→

−−

Y finalmente seguimos los procedimientos aprendidos en las sesiones del aula:

( )2

1

2

2 2 21

1 1l

1 1 1 1lim ( )

1 1 1 (

1

( 1) 1)

im(

( 1

)

)

1 2

w

w

w w wf x

w w w w

w

w

w

w→

→

− − −⇒ = = =

=+

−+−

=− − − +

⇒

Lo cual es más práctico e inmediato que resolverlo por otras técnicas. Esta estrategia

será usada en operaciones de cálculo diferencial e integral (temas que serán estudiados en

unas cuantas semanas), para continuar con la práctica de la misma y lograr su dominio absoluto

resolveremos ejercicios relativos a límites trigonométricos en los cuales requeriremos de esta

estrategia … ahora veamos qué es eso de límites trigonométricos

Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 4

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite

notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones.

Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y

dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada (utilizando el producto notable

de la suma por la diferencia de un binomio) o aplicar las ya conocidas propiedades de los

límites.

Consideraremos a los siguientes límites “límites notables”. Los mismos nos ayudarán en

la resolución de varios ejercicios:

(i) 0

lim 1n

nx

sen x

x→= (ii)

0lim 1

n

nx

x

sen x→= (iii)

0lim 0x

senx→

=

(iv) 20

1 cos 1lim

2x

x

x→

− = (v) 0

limcos 1x

x→

= (vi) 0

1 coslim 0x

x

x→

− =

Además tomaremos en cuenta las fórmulas de adición y sustracción trigonométricas:

(i) ( ) ·cos cos ·sen x y senx y x seny+ = + (ii) ( ) ·cos cos ·sen x y senx y x seny− = −

(iii) cos( ) cos ·cos ·x y x y senx seny+ = − (iv) cos( ) cos ·cos ·x y x y senx seny− = +

(v) ( )1 ·

tgx tgytg x y

tgx tgy

++ =−

(vi) ( )1 ·

tgx tgytg x y

tgx tgy

+− =+

Para ver cómo usar estas y otras estrategias veamos un ejemplo (omitiré los

comentarios)

3 3 3 30

2

3

2

3 3

3 3

3

cos0 coscoslim ( )0 cos

·( ) ·

cos cos (1 cos ) cos (1 c

cos

(1 c

os )

( )

(1 cos

cos (

os ) 1 cos

1

1 co

c s

s )

)

o

x

senx senx xsenxtgx senx senx senx xxg x

x x x x x

senx senx senx sen xg x

x x x x x x x x

sen x seng x

x x

senx

x

x

x

x

x

x

→

−−− −= ⇒ = = = ⇒

= = = ⇒+ +

= =+

+−− +

3

303

1lim( · )

cos (1 co

1·cos (1 s ) )co sx

sex n x

x x xx x x → +⇒

+

Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 4

Y finalmente aplicaremos la definición de límites de un producto y la identidad de

0lim 1

n

nx

sen x

x→= aprendidos en las sesiones del aula, esto sería:

3 3

3 30 0 0

1 1 1lim( · ) lim .lim 1·

cos (1 cos ) cos (1 cos ) 1·(

1

1) 21x x x

sen x sen x

x x x x x x→ → →= = =

+ + +

Ahora es tu turno, aplica cada una de las herramientas mencionadas para la

resolución de los siguientes límites

(a) Aplica el cambio de variable para los siguientes límites

(i) 364

8lim

4x

x

x→

−−

(ii) 3

41

1lim

1x

x

x→

−−

(iii) 3 2 3

21

2 1lim

( 4)x

x x

x→

− +−

(iv) 2

22

5 3lim

2x

x

x x→

+ −−

(b) Resuelva los siguientes límites trigonométricos

(i) 1

( 1)lim

( 1)x

sen x

x→

−−

(ii) 2

( 2)lim

(3 6)x

sen x

x→

−−

(iii) 0

( )2lim

x

xsen

x→ (iv) 30

limx

tgx senx

x→

−

(v) 2

coslimx

x

ctgxπ→ (vi)

6

( )6lim3

cos2

x

sen x

xπ

π

→

−

−

(vii) 2

2

3

2cos 5cos 2lim

2cos 3cos 2x

x x

x xπ→

− ++ −

(viii) 2

lim( )·2x

x tgxπ

π→

−