LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de

valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si

decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada

vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos

escribimos .

Consideramos la función definida por para . Vamos a

determinar el comportamiento de la función cuando cuando y

cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

a. 

    

En este caso, cuando  , la función   tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como

, es decir   

 b. 

  

 

Ahora, cuando   toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función

tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,  

cuando  , o sea  . 

 c.

  

Ahora observe que es   la que tiende a tomar valores positivos cada vez

mayores, obteniendo como resultado que   tiende a valores cercanos a cero. 

Así  , o sea,   cuando  .

d.

   

En forma similar a la tabla anterior se tiene que   cuando  es

decir,   

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función   en la forma siguiente. 

Consideramos ahora la función   definida por   para , cuya representación gráfica es la siguiente: 

 

Podemos decir que: 

a.      y b.     y         

Ejercicio 

Determine:  ,  ,  ,  ,  ,  , utilizando para ello la función  . 

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

 crece sin límite cuando   tiende a  , que se denota

, si para todo número real  , (sin importar su magnitud),

 tal que   siempre que  .

Gráficamente se tiene: 

 

Esta definición nos dice que es posible hacer   tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo  ), tomando   suficientemente cerca de  . 

Ejemplo 

Consideremos la representación gráfica de la función   definida por:

 

 

Demostremos ahora que   

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un   existe   tal que

. 

Observe que:  . 

Luego, dado  , escogemos   de tal forma que se satisfaga que

. 

Si tomamos, por ejemplo,   cuando  , es decir,

cuando  .

 

  Definición 

 Se dice que   decrece sin límite cuando   tiende a  , que se denota por

, si para todo número real  , existe una   tal que

 

Gráficamente se tiene que:

 

La definición anterior afirma que es posible hacer   menor que cualquier número negativo  , tomando   suficientemente cerca de  . 

Ejemplo 

Consideremos la representación gráfica de la función   definida por

 

  

Demostremos ahora que   Para hacer la prueba debe establecerse que dado un  , existe

 siempre que   

Observe que  (el sentido de la desigualdad cambia pues  ). 

Además  . 

Note que   sí tiene sentido pues   

Luego,   si y solo si   por lo tanto tomamos  . 

Así, dada  , existe  ,   tal que   siempre que

 

Si por ejemplo, tomamos   entonces   o sea  , por lo

que   siempre que 

 

   tiende a   cuando   tiende a   por la derecha, y se

, si se cumple que a cada número positivogrande como se quiera), corresponde otro número positivo 

) tal que  .

 

Similarmente, se dice que   tiende a   cuando   tiende a   por la izquierda y

se escribe   si   siempre que  (Observe que   es mayor que cero pues   ya que  ). 

-El comportamiento de la función   definida por   cuando  , está regido por la definición anterior. 

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente. 

-Los símbolos   y   se definen análogamente,

escribiendo   en vez de  . (note que si   entonces  ) 

Gráficamente se tiene: 

 

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a   por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores,

(mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que  y cuando 

 

  Definición

 Se dice que   cuando   es decir,   si para cada número positivo   existe otro número positivo  , tal que

.

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función  como sigue: 

 

Observe que   y que   

Podemos anotar que   

Ejemplo: 

Demostraremos que   

Para probar este límite, se debe establecer que dado un  , debe existir

 siempre que   

Ahora, como   si y solo si  , entonces, para cualquier número  ,

podemos tomar   de tal forma que se cumpla que . 

Por ejemplo, si   entonces  . Esto significa que  es mayor a 1000 siempre que   sea mayor que 10. 

La función f definida por  , con  , tiene como representación gráfica la siguiente

 

 

Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse

,   y   

En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores:

a.    

 

b. 

 

c.    

 

Ejercicio: 

En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:

 

a)   b)   c)   d)   

 

a)   b)   c)   d)   

Consideraremos ahora la función f definida por   

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando  y cuando  :

a.

  

 b.

  

 

En ambas tablas puede observarse que cuando   toma valores positivos o valores negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función   tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que: 

 y   

A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función  : 

 

Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando   y cuando 

 

  Definición

 

Sea   una función con dominio   tal que para cualquier número   existen

elementos de   en el intervalo  .

El límite de   cuando   tiende a más infinito es  , que se representa

, si para cada   existe un número   tal que  

para toda   y  .

 

Ejemplo 

Probar que   

Hay que demostrar que para   existe   tal que   si

 

Se tiene que   

Si   entonces   por lo que: 

 

Luego, dada   se cumple que   si y solo si  , o sea, si

, por lo que podemos tomar   de tal forma que se verifique

que   siempre que  . 

Por ejemplo, si   entonces   por lo que: 

 

La representación gráfica de la función es la siguiente:

  

  Definición

 

Sea   una función con dominio   tal que para cualquier número  , existen

elementos de   en el intervalo  . 

El límite de   cuando   tiende a menos infinito es  , que se representa

, si para todo   existe un número   tal que 

para cada   y  .