límites infinitos. 1- se dice que lím f (x) = si: x x a) una vecindad perforada v de 0 v ...
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Límites infinitos.
1- Se dice que lím f (x) = si:
x x
a) una vecindad perforada
V de 0 V Dom. f | f (x)| 0
b) lím 1 = 0
x x f (x)
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Ejemplo:
Lím 1 = x 2 (x - 2)³
a) x V Dom f 1 0
(x - 2)³
b) lím 1 lím (x - 2)³ 0 x 2 1 x 2
(x - 2)³
el límite es infinito.
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2- Se dice que lím f (x) = + si:
x x0
a) una vecindad perforada
V de o V Dom. f f (x) 0
b) lím 1 = 0
x x0 f (x)
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Ejemplo:
Lím 1 = + x 0 x²
a) x V Dom f 1 0 x²
b) lím 1 lím x ² 0 x 0 1 x 0
x²
el límite es infinito positivo.
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3- Se dice que lím f (x) = - si:
x x0
a) una vecindad perforada
V de o V Dom. f f (x) < 0
b) lím 1 = 0
x x0 f (x)
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Ejemplo:
Lím 1 = - x 2 x - 2x < 2
a) x V Dom f 1 < 0 x - 2
b) lím 1 lím x - 2 0 x 2 1 x 2
x < 2 x - 2 x < 2
el límite es infinito negativo.
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Límites a izquierda y a derecha.
lím f (x) lím f (x)x x0 x x0 +
x x0
Llamaremos límite en Xo por la derecha.
Definición:
lím f (x) L
x x0 +
(0)(0)(x)(xo x x0 + f (x) - L )
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lím f (x) lím f (x)x x0 x x0 ¯
x < x0
Llamaremos límite en Xo por la izquierda.
Definición:
lím f (x) L
x x0 ¯
(0)(0)(x)(xo - x x0 f (x) - L )
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Teorema de unicidad de límites.
lím f (x) = Existe lím f (x) = lím f (x) x
x0 x x0 + x x0 ¯
* El resultado siempre debe ser el mismo.Ejemplo:
1) lím x - 1 2) lím x - 1
x1 ¯ x - 1 x1+ x - 1
lím x - 1 = -1 lím x - 1 = 1
x1 ¯ - ( x - 1) x1+ ( x - 1)
lím x - 1 porque los límites son diferentes -1 1 x1 x - 1
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Límites importantes.
1)1) lím sen x = 1 5)5) lím ex = x o x x
2)2) lím n! = 6)6) lím ln x = n x
3)3) lím 2n = 0+ 7)7) lím ( 1 + 1 ) x = e n n! x x
4)4) lím sen x = 0 8)8) lím ( 1 + ) 1/ =e x x
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9)9) lím f (x) 0 12)12) lím f (|x|) = lím f (x)
x x0 xo xo+
entonces:
lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) 13)13) lím e x = 0+
x x0 x x0 x -
10)10) lím sen 1 = 0 14)14) lím e x - 1 = 1
x x xo x
11)11) lím f (x) = lím f (-x) xo+ xo-
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Teoremas de límites.
1. 1. f 1 (x) f 2(x) f 3 (x)
x de una vecindad reducida de xo y que:
lím f 1(x) = lím f 3(x) = L lím f 2(x) = L x x0 x x0 x x0
2.
f 2(x)
lím ( f 1(x)) x x0
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Caso I:
lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) = L2 con L1 L2 R x x0 x x0
f 2(x) L2
lím ( f 1(x)) = L1
x x0
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Caso II:
lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) = x x0 L1 1 x x0
f 2(x)
lím ( f 1(x)) x x0
• El límite se resuelve directamente.
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Caso III:
lím f 1(x) = 1 lím f 2(x) = x x0 x x0
f 2(x) lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0
x x0 = e
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Ejercicios: calcular los límites.
1. 1. 2x + 1
lím 5x + 2 3
x 3 x + 3
lím 5x + 2 = 17 lím 2x + 1 = 7
x 3 x + 3 6 x 3 3 3
2x + 1 7
lím 5x + 2 3 = 17 3
x 3 x + 3 6
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2. 2. 1
lím 4x + 1 x -2 = x 2 x - 1
lím 4x + 1 = 9 lím 1 = x 2 x - 1 x 2 x - 2
a) 1 0
x - 2
b) lím 1 = lím (x - 2) = 0 x 2 1 x 2
(x - 2)
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3. 3. 1
lím 3x - 11 x -4
x 4 x - 3
lím 3x - 11 = 1 lím 1 = x 4 x - 3 x 4 x - 4
lím 3x - 11 - 1 1
x 4 x - 3 x - 4
= e lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4)
x 4 x - 3 x - 4 x 4 (x - 3)( x - 4)
= e = e = e²
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4. 4. lím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h 0 h 1
lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h
h 0 h h 0 x 1
ln lím x + h h como se cumplen las condiciones
h 0 x del caso 3...
lím x + h - 1 1 lím x + h - x 1
h 0 x h h 0 x h 1
= ln e = ln e = ln e x = 1 X
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Integrantes :Integrantes :
• Karen Arancibia• Claudia Carmona• Alejandra Gonzalez
Grupo 4.Grupo 4.