FACULTAD DE CONTABILIDAD MATEMATICA II

LIMITES DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

LIMITES DE UNA FUNCION

La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon - delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura  limx→x0

¿ con la flecha debajo es debida

a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

Límite

Definición 01.- Si la función f tiene límite L en x0 podemos decir de manera informal que la función f tiende hacía el límite L cerca de x0 si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x este suficientemente cerca de x0 siendo x distinto de x0.

Definición 02. El límite de una función f (x), cuando x tiende a x0 es L si y sólo si para

todo ε>0existe un δ>0 tal que para todo número real x en el domino de la función

0<|x−x0|<δentonces |f ( x )−L|<ε.

Notación formal

limx→x0

f (x )=L↔∀ ε>0∃ δ>0 /∀ xϵDomf (x) ,0<|x−x0|<δ→|f ( x )−L|<ε.

Límite de una constante

1. limx→x0

k=K

Limite de identidad

2. limx→x0

x=xSupongamos que f ( x ) y g (x) dos funciones tales que limx→x0

f (x ) y limx→x0

g(x )

existen. Entonces:

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1

Límite de un factor constante

3. limx→x0

kf ( x )=k limx→x0

f (x )

Límite de la suma

4. limx→x0

(f ( x )¿+ limx→x0

g(x ))=limx→x0

f ( x )+ limx→x0

g(x )¿

Límite de la diferencia

5. limx→x0

( f ( x )¿+ limx→x0

g (x))= limx→x0

f (x )+ limx→ x0

g (x)¿

Límite de un producto

6. limx→x0

( f ( x )¿ . g(x ))= limx→x0

f ( x ) . limx→x0

g (x)¿

Límite de un cociente

7. limx→x0

(f ( x )f ( x )

¿)=limx→x0

f ( x )

limx→x0

g (x), si lim

x→ x0

g (x)≠0¿

Límite de una potencia: Para n positiva tenemos:

8. limx→x0

(f ( x))n=( limx→x0 f (x))n

Límite de una raíz

9. limx→x0

n√ f (x)= n√ limx→x0 f (x), es válido siempre en el caso de n impar y si n es par

podemos garantizarlo si limx→x0

f (x)≥0.

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere ∞ como el

límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación

Sustracción ∞−∞

Multiplicación ∞ .0

División ∞∞,00

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2

Elevación a potencia 1∞ ,∞0 ,00

Ejercicios

01. Calcular el límite de las siguientes funciones:

a) limx→1

(3 x2−6 x+1)b) limx→a

x2−(a+1 )x+ax2−a2 c)

limx→−1

x2+x−2x2−2 x+1

d) limx→0

x2−6 x+9x2−9 e)

limx→0

√3+x−√3√x f)

limx→−3

( x−3 )3

( x+3)4

g) limx→−2

x4+4 x3+5 x2+4 x+4x4+4 x3+4 x2 h)

limx→1

x2+x−2x2−2 x+1

i) limx→5

x2−25x2−5 x j)

limx→5

(√x2+2−x )k) limx→1

x4−6 x2+8x−3x 4−2x3+2x−1

l) limx→0

x+2√x+3−1 ll)

limx→a

√x−√ax−a m)

limx→1

x3−6 x2+5 xx4−x3+ x−1

n) limx→2

x4−2x3+x−2x3+4 x2−11 x−2 ñ)

limx→2 ( x−2x2−4

− x2−4x−2 )

o) limx→−2

x+2√x+3−1

p) limx→1

x3−2 x2+2 x+5x2−6 x−7 q)

limx→4

x3−5 x+1x3+2 x2−3 x r)

limx→3

√ x+1−2√x+6−3

s) limx→2

1−√3−xx−2 t)

limx →2

x2−5 x+6x2−x−2 u)

limz →1

3√ z−1z−1

v) límx→1

x2+x+2x+1 w)

límx→7

4 x−37 x−2 x)

límx→3

3√2x2−10

y) límx→3

2x2−5x−3x−3 z)

límx→−3

x2−92 x2+5 x−3

02. Calcular los siguientes límites:

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2

1. limx→∞

x2+1

x2 2.

limx→∞

x2−x−1

x2+x−28

3. limx→∞

x4+1

x3 4.

limx→∞

2x43 x3−25 x2−45 x+125

x4−222 x2+1245x

5. limx→∞

x2

x3−x2−x+1 6.

limx→∞

(x¿¿2+x4+x )(x3−x+1)(2 x¿¿2+x2−x+1)(x¿¿3+x2+x−1)¿¿

¿

7. Limx→2

x2−1x−1

8. Limx→1

x−1x+1

9. Limx→1

1x−1

10. Limx→4

x2−6 x+8x−4

11. Limx→1

x4−1x−1

12. Limx→1

x3+3x2+3x+1x2+2 x+1

13. Limx→1

x3−1x2−1

14. Limx→1

2 x3−14 x2+12xx3−10 x2+27 x−18

15. Limx→2

x2−x−2x2−4 x+4

16. Limx→1

x4−x3+x2−2 x+1x3−x2+x−1

17. Limx→2

( 6x−2

−4

x2−8 x+12 ) 18. Limx→1

x5−1x4+2 x3−x−2

19. Limx→0

x1−√1−x

20. Limx→3

√1+x−2x−3

21. Limx→1

√ x−1x−1

22. Limx→1

√ x−1−√x+1√1+x−√ x−1

23. Limx→0

√x+9−3√16+x−4

24. Limx→a

√ x−√ax−a

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2

25. Limx→3

3√ x3−273√ x2+6 x−27 26

Limx→0

√1−x−1x

27. Limx→0

√1−x−√x+1x

28. Limx→0

1−√1−x2x

29. Limx→∞

(√1+x−x )30. Limx→∞

(√ x2+x−x )

31. Limx→∞

(√1+x−√ x )32. Limx→∞

(√( x+2)( x−3 )−x )

33. Limx→∞

(√( x+2)( x+1)−x )34. Limx→∞

(√ x3−x−√x3+2x2 )

35. Limx→∞

(√ x2+4 x+1−√x2+8 x+1 )36. Limx→∞

(√2x2+3x−2−√2x2+2)

37. Limx→∞

(√ x2+1−x )38. Limx→∞

(√4 x2−1−(2x−1 ))

39. Limx→∞

√x (√1+x−√ x )40. Limx→0

√ x2+1x+1

41. Limx→∞

(√2+x−√ x−2)42. Limx→∞

(√1+x−√ x−1)

43. Limx→∞

(√ x+√x−√x−√x ) 44 . limx→4

√ x−2x−4

45 . limx→8

2−√x−4x2−64

46 . limx→0

√ x2+x+4−2x

47 . limx→7

2−√ x−3x2−49

48 . limx→2

√x−√2x−2

03. Calcule, si existen, los siguientes límites de funciones:

a) b) c)

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2

d) e) f)

g)

h)

i)

j) k) l)

m)

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2

n) o) p)

q) r) s)

t) u) v)

w) x) y)

04. Ejercicios de aplicación:01. Se sabe que el precio P de un artículo atreves del tiempo t (en meses) está dado

por la función p (t )=at+8t+b

. Si se sabe que el precio de este artículo el próximo será de

s/. 6,50; y el siguiente mes será de s/. 6,00. Se desea saber:a) El precio del artículo para este mes.b) En qué mes el precio será de s/. 5,50.c) ¿Qué ocurre con el precio de largo plaza?

02. a) La cuenta de resultados (en millones de soles) de una empresa viene dada por la siguiente función, donde x representa los años de existencia de la misma,

f ( x )=5 x2+20 x−25x2+7 ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?

b) La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función

f ( x )=12 t2−3t+1

t 2+9t+10, donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.

(i) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años?(ii) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?

c) Cuando existían 3 000 000 de ejemplares de una especie vegetal, esta comenzó a

ser atacada por una plaga. Con el paso del tiempo, su población en millones, f (t) ,

disminuyó según la función: f ( t )= 3

t 2+1 En la que t es el número de años

transcurridos. Cuando hayan transcurrido muchos años, ¿a qué valor tenderá el número de ejemplares?

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