Coordinación de Matemática I

Instituto Universitario de Tecnología “Alonso Gamero” I Semestre del 2006

Cátedra: Matemática I

LIC. LILA V. LUGO G.

Límites Trigonométricos

De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad

trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar

algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o

aplicar las propiedades de los límites.

A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.

Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES

1) 10

=→ x

senxLimx

2) 10

=→ senx

xLimx

3) 00

=→

senxLimx

4) 10

=→ Kx

senKxLimx

5) 1cos0

=→

xLimx

6) 0cos1

0=

−

→ x

xLimx

7) 2

1cos120

=−

→ x

xLimx

8) 1tan

0=

→ x

xLimx

9) 1tan0

=→ x

xLimx

10) 1tan

0=

→ Kx

KxLimx

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son:

� Identidades Básicas

ecxsenx

cos

1=

xx

sec

1cos =

anxx

cot

1tan =

x

senxx

costan =

senx

xanx

coscot =

� Identidades Fundamentales de la Trigonometría

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

� Identidades de la suma de ángulos

sen(x±y)=senx cosy±cosx seny senxseny cosxcosyy)cos(x m=±

2

2cos12 xxsen

−=

2

2cos1cos

2 xx

+=

� Identidades de ángulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

� Identidades de ángulos medio

2

cos1)2/(

xxsen

−±=

2

cos1)2/cos(

xx

+±=

Ejemplos:

1.

2.

3. si decimos que x-1 = y entonces tendremos: 1lim0

=→ y

seny

y

4. de igual manera

5.

6. 0

0

)0(3

0

3

2lim

0==

→

sen

x

xsen

x

3

2

2

2lim2

3

12lim

3

1

3

2lim

000===

→→→ x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxx

7. 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

==→ π

π

π

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

====→→→

π

πππsensenx

x

xsenx

senx

x

x

xxx

8.

recordando que sen2x + cos2x=1 ⇒ sen2x= 1-cos2x

9.

recordando que x

senxx

costan =

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos

límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el

conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de

que es

10. al evaluar resulta:

3cos21

)33

(

π

ππ

−

−sen=

0

0

11

0

2

121

)0(=

−=

−

sen

Desarrollemos : recordando la identidad: sen(x±y)= senx cosy ± cosx seny

Luego:

11. 0

0

)11(2

11

)4

tan1(2

4tan1

)tan1(2

tan1lim

224

=−

−=

−

−=

−

−

→ π

π

π x

x

x

( ) ( )∞====

−

−=

−

−=

−

−=

−

−

→→→→→ 0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

xx

xsenxsenx

xx

senxx

senx

x

senxx

x

xxxxx

12. 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0=

−=

−=

−→ x

x

x

( ) ( )

( )( )

( ) xx

xx

xx

x

xx

xsen

x

x

senx

x

x

xxxxx 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

−

+−=

−

−=

−=

−

=− →→→→→

( ) ( )

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220=

+=

+=

+

→ x

x

x

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) 2

1

2lim

0=

→ xsen

x

x

2) 2

3

2

3lim

0=

→ xsen

xsen

x

3) 2cos

2lim

20

=→ x

xsen

x π

4) ∞=→ senx

x

x

tanlim

2π

5) = 9

6) 0cos1

tanlim

0=

−

−

→ x

xsenx

x

7) 2

2

tan1

coslim

4

−=

−

−

→ x

xsenx

x π

8) 0cos1

tanlim

0=

−

−

→ x

senxx

x

9) 0tan

lim0

=−

→ x

xsenx

x

10) = -2

11) 2tan1

tan1lim

2

4

=−

−

→ x

x

x π

12) 4

1cos1lim

20=

−

→ x

x

x

13) 2

1cos1lim

20=

−

→ xsen

x

x

14) = 2

15) = 3/5

16) = 3/5

17) 111

lim0

=−−+

→ x

senxsenx

x

18) 3

1

23

2cos1lim

4

=−

→ xxsen

x

x π