1

LIMITES El lmite de una funcin en un punto examina el comportamiento de la funcin )(xf cuando los valores x se aproximan al punto 0x . Para tener una idea de la complejidad del problema pongamos el siguiente ejemplo:

Sea 11)(

3

=

xxxf . Se quiere saber el comportamiento de la funcin cuando x se acerca a 1.

Observe que la funcin no est definida en 1. Sin embargo podemos tomar valores arbitrariamente cercanos a 1. La siguiente tabla nos hace intuir el resultado del proceso lmite.

x tendiendo a 1 por la izquierda x tendiendo a 1 por la derecha x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

)(xf 2.710 2.970 2.997 2.9997 No est definida 3.0003 3.003 3.03 3.31 )(xf tiende a 3

La siguiente es una definicin informal de lmite de )(xf .

Definicin: Si )(xf se acerca cada vez ms a un nmero L cuando x se aproxima cada vez ms a un nmero c en cualquier sentido, entonces se dice que )(xf tiene lmite en c y vale L.

La notacin usada es Lxflm

cx=

)( y se lee como:

el lmite de )(xf cuando x tiende a c vale L.

Comentario: Es importante que la funcin este definida cerca de c. No hace falta que est definida en c, pues el valor de la funcin en c no importa para decir cuanto vale el lmite. Lo importante son los valores de la funcin evaluados en puntos cercanos a c. PROPIEDADES DE LMITES

En esta seccin estableceremos las propiedades de los lmites. Ellas permitirn calcular y establecer lmites sin usar la definicin formal. Las dos primeras propiedades resultan evidentes.

Suponga k una constante, entonces

Vemos que los valores de la funcin se acercan a 3 conforme x se acerca a 1.

Esto se escribe como:

3)(1

=

xflmx

2

1.- kkax

=lim 2.- ax

ax=lim .

El siguiente Teorema agrega ms propiedades de lmites. Teorema 1.-Suponga )(xf y )(xg dos funciones tales que )(lim xf

ax y )(lim xgax existen. Entonces:

3.-Si k es una constante tenemos que )(lim xkfax = )(lim xfk ax .

4.- ))()((lim xgxfax

+ = )(lim xfax + )(lim xgax . 5.- ))()((lim xgxf

ax = )(lim xfax - )(lim xgax

6.- ))()((lim xgxfax

= )(lim xfax )(lim xgax .

7.- ))()((lim

xgxf

ax = )(lim

)(lim

xg

xf

ax

ax

, si 0)(lim xgax .

8.-Para n entero positivo tenemos nax

xf ))((lim = ( )nax xf )(lim 9.- n

axxf )(lim = n ax xf )(lim ,

Comentarios: 1.- Las conclusiones del Teorema tienen dos partes, una implcita: la funcin que se le toma lmite en el lado izquierdo de la igualdad tiene lmite en a y otra explcita: se dice que este lmite vale el lado derecho de la igualdad. Por ejemplo, si tenemos que )(lim xf

ax y )(lim xgax existen entonces podemos

asegurar que el lmite de ))(( xgf + cuando x va a a existe y vale el lado derecho de (4) 2.- Para aprenderse mejor estos resultados se suelen usar expresiones como: los factores constantes salen fuera del lmite (propiedad 3); el lmite de una suma es la suma de los lmites (sta es la propiedad de la suma: (propiedad 4); el lmite de un cociente es el cociente de los lmites si el lmite del denominador es distinto de cero; el lmite se introduce dentro de la raz, en el caso que el ndice de la raz sea par podemos garantizar la propiedad si el lmite del radicando es mayor que cero. 3.- En los siguientes ejemplos se dir de igualdad en igualdad que propiedades se estn usando Ejemplo 1.- Calcular los siguientes lmites, justificando que propiedades se est usando.

a) 423lim x

x; b) 15lim 23

3+ xxx ; c) 41 15

1lim + xx ; d) 20 )2(3lim

x

xx

Solucin.-

a) 423lim x

x( ) 48)2(3lim3lim3 44

2

4

2

tan

==== identidad

x

potencia

x

teconsfactor

xx .

b) La propiedad de la suma y diferencia puede ser aplicada reiterativamente cuando hay ms de dos trminos, utilizando apropiadamente la propiedad asociativa. Directamente podemos ver la primera igualdad

Propiedad del factor constante

Propiedad de la suma

Propiedad de la multiplicacin

Propiedad de la raz

Propiedad del cociente

Propiedad de la potencia

Propiedad de la diferencia

Propiedad de la funcin constante

Propiedad de la identidad

es vlido siempre en el caso de n impar y si n es par podemos garantizarlo si 0)(lim > xfax .

3

15limlimlim15lim3

2

3

3

3

23

3 +=+ xxxdiferencia

sumaxxxxx

( ) ( ) 3315927153)3(15limlim 2323

3

3.=+=+=+=

identidad

xx

potencia

constxx

c)

21

21

1511

15limlim1

)15(lim

1lim

151lim

151lim

4 4

44

.4

11

4

1

141

41

==+=+=+=+=+

identidad

constxx

cte

sumax

xcociente

x

raiz

x xxxx

d) diferencia

potenciax

xcociente

x x

x

xx =

=

2

0

020 )2(lim

)3(lim

)2(3lim

= ( ) 43

203

)2limlim(30

))2(lim(

3limlim2.2

00

,

2

0

00 ==

=

identidad

constxx

cteidentidad

diferenciax

xx

xx

x.

Comentarios:

1) Observe que en c) efectivamente se cumple la condicin 015

1lim1

>+ xx . Esta condicin nos permite aplicar la propiedad de la raz del lmite, cuando el ndice es par. Si no fuese as entonces pudiese ocurrir que este lmite no tuviese sentido por estar evaluando fuera del dominio de la funcin. 2) Como se podr apreciar en todos estos ejemplos, el lmite se hubiese podido obtener sustituyendo, sin embargo hay que ser muy cautos, no todos los lmites los podremos obtener de esta forma. Debemos siempre basarnos en alguna propiedad para ir obteniendo los lmites. El siguiente Teorema nos permitir en el caso de funciones polinomicas hacer la sustitucin. Teorema 2 . Sea )(xp una funcin polinmica. Entonces

)()(lim apxpax

= Demostracin: Sea 01

11)( cxcxcxcxp

nn

nn ++++= K . Entonces

ctefactor

teconsaxax

nnax

nnaxsuma

nn

nnax

cxcxcxccxcxcxctan01

1101

11 limlimlimlimlim =++++=++

KK

011011

11)lim()lim(limlimlim cacxcxccxcxcxc nn

axnaxn

potencia

identidadax

n

axnn

axn++++=++++=

KK

)(011

1 apcacacacn

nn

nidentidad=++++= K .

Corolario.- Sea r(x) una funcin racional definida en a. Entonces

)()(lim arxrax

= .

Ejemplo 2.- Calcular 3 253

2

2 3234

213lim +

++ xxxxx

x

Solucin:

325

32

2 3234

213lim +

++ xxxxx

x= 3

25

3

2

2

2 3234

21lim3lim +

++= xxxxx

xx

suma

4

325

3

2

2

3234lim

2123 +

++= xxxx

x

polinomio

ctefactor

325

3

2 3234lim

2112 +

++= xxxx

x

raiz La funcin racional est definida: el denominador no se anula

325

3.

32223242

2112 +

++=racionalf

6312

273

2112

33 +=+= .

Podramos establecer ms resultados que nos permitiera sustituir de una vez, pero vayamos con

calma.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente lmite justificando que propiedades se est usando

+++ 13

342)13(lim 23

3

1 xxxxx

x

Respuesta: -9

CALCULO DE LMITES USANDO MANIPULACIONES ALGEBRAICAS.

En esta seccin estudiaremos algunos lmites donde las propiedades dadas anteriormente no

podrn ser aplicadas directamente y habr que recurrir a reescribir f(x) de una manera equivalente.

El siguiente ejemplo nos aclarar muchas situaciones y conceptos

Ejemplo 1.- Calcular 22 )2(1lim

x

xx

Solucin: Observe que el denominador se hace 0 cuando x tiende a 2 , as no se puede aplicar la propiedad del cociente. Sin embargo observar que cuando x se acerca a 2, el numerador se acerca a 1 y el denominador va siendo cada vez ms pequeo y positivo, el cociente por consiguiente va a un nmero extremadamente grande cuando x se acerca a 2. Diremos entonces que el lmite no existe y abusando de nuestra propia terminologa diremos que vale + . Estos conceptos prximamente los aclararemos.

Ejemplo 2.- Calcular 4

2lim 22

xx

x

Solucin: De nuevo el denominador es 0 en 2, pero en este caso el numerador tambin, quedando la

forma indefinida 00

. Cuando ocurre este tipo de situacin se debe manipular algebraicamente, en el

caso de polinomio sobre polinomio se deber factorizar y luego simplificar.

42lim 22

x

xx

=)2)(2(

2lim2 +

xx

xx

.

5

Al simplificar nos quedar la funcin 2

1+x , la cul es igual a la original salvo en x=2 donde

la primera no est definida, pero en la definicin de lmite no se consideran el valor 2, as que vale la sustitucin. Por lo tanto

)2)(2(2lim

2 +

xxx

x=

)2(1lim

2 + xx 41

)22(1 =+=

racional.

Veamos distintas situaciones triviales de lmites de la forma 00

:

a) x

xx

2

0lim 01

lim0

== x

x

rsimplifica

b) xkx

x 0lim k

kx

rsimplifica == 1lim0

c) 30lim xx

x +== 201limxx

rsimplifica

d) 20lim xx

x xxrsimplifica 1lim

0= . Este ltimo lmite no est definido, si x se acerca a 0 por la derecha va a ms infinito, si se acerca a 0 por la izquierda va a menos infinito.

El siguiente es otro ejemplo con forma indeterminada 00

, donde el numerador y el

denominador son polinomios. De nuevo la idea ser factorizar y simplificar.

Ejemplo 3.- Calcular 27

32lim 32

3

xxx

x

Solucin.-

274

99913

)93()1(lim

)93)(3()1)(3(lim

2732lim

.

2323

00

3

2

3=++

+=+++=++

+=

racionalf

evaluarxrsimplificaxfactorizarx xxx

xxxxx

xxx

En el prximo ejemplo tendremos otra vez la forma indeterminada 00

, pero esta vez no ser de

la forma polinomio sobre polinomio, as que no podremos factorizar y simplificar de una vez.

Cuando tenemos un lmite que al evaluarlo da la forma indeterminada 00

, hay que

realizar una manipulacin algebraica segn sea el caso, que nos lleve a una simplificacin. Hay que remarcar que un lmite de una forma indeterminada puede ser una constante, cero, infinito o no existir.

6

Ejemplo 4.- Calcular 1

23lim1

+ x

xx

Solucin: De nuevo, al evaluar tenemos la forma 00

, pero esta vez aparece una raz cuadrada en uno

de los trminos del numerador. El secreto de trabajar este tipo de lmite con al menos uno de los dos miembros de la fraccin con dos trminos uno de los cuales lleva una raz cuadrada en la variable es reescribir la expresin para 1x . La forma de manipular es introducir la conjugada. Entonces tenemos si 1x

2323

1231

123

123

++++

+=+=

+xx

xx

xx

xx

Se reescribe 1 como la conjugada sobre la conjugada

( ) =++ +=++ += )23)(1( 43)23)(1( 23

22

xxx

xxx

231

)23)(1(1

++=++=

xxxx

As

41

2)3(lim1

23lim1

231lim

123lim

1111

=++=++=++=+

xxxx

x

xxxx

De nuevo remarcamos que la primera igualdad se obtuvo porque las dos expresiones que se les

est tomando lmites toman los mismos valores salvo en 1, que no interesa pues no est en la definicin de lmite.

Veamos otro ejemplo que intenta ilustrar la forma de trabajar. Algunos detalles de aplicacin de propiedades son omitidos.

Ejemplo 5.- Calcular 23

122lim 22 +

xxxx

x

Solucin: En este lmite se debe racionalizar el numerador pues tenemos otra vez la indeterminacin 0/0.

123

122lim23

122lim 2200

22+

=+

xxxx

xxxx

xx Se racionaliza el numerador

=+++

= 122122

23122lim 22 xx

xxxx

xxx

( ) ( ))122)(23(

)1(42lim)122)(23(

122lim222

22

2 ++=++

= xxxxxx

xxxxxx

xx=

)122)(23(42lim

22 +++= xxxx

xx

Se factoriza numerador y denominador en los factores que al evaluar

Se realiza el producto (a+b)(a-b) que nos ayudar a eliminar la raz. El otro producto del otro miembro de la fraccin no se ejecuta.

Se simplifica.

7

dan 0. Posteriormente se simplifica

= )122)(2)(1(

)2(2lim2 +

xxxx

xx

21

)222(12

)122)(1(2lim

2=+

=+= xxxx .

Ejercicio de desarrollo.- Calcular los siguientes lmites

a) 1

132lim 22

1 ++

xxx

x

b) x

xxx

+ 1

21lim1

La forma 00

no es la nica forma indeterminada. Tenemos tambin la forma 1 . Esta ltima la

tiene el siguiente lmite: x

xx

1

0)1(lim + .

En ocasiones se asume la existencia de este lmite para calcular a travs de l otros lmites con

formas semejantes, por medio de manipulaciones y sustituciones apropiadas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.- Asuma que x

xx

1

0)1(lim + =e. Calcular

a) xx

x /20

)1(lim + b) x

xx /1

0)31(lim

Solucin:

a) ( ) ( ) ( ) 222/10

.2/1

0

/2

0)1(lim)1(lim)1(lim

==+=+=+ eexxx

x

x

potenciapx

x

x

x

x x

xx1

)1( + )(xf -10-1 (0.9)-10 =2.8679 -10-2 (0.99)-100 =2.7279 -10-3 (0.999)-1000 =2.7196 -10-4 (0.9999)-10000 =2.7184 0 e? 10-4 (1.0001)10000 =2.7181 10-3 (1.001)1000 =2.7169 10-2 (1.01)100 =2.7048

Un clculo ms avanzado permite demostrar que este lmite es el nmero e, recordemos que es un nmero irracional cuyos primeros dgitos son 2,71828 y es la base de los logaritmos naturales. Veamos a travs de una tabla que este lmite parece acercarse cada vez ms al nmero e cuando x se acerca a 0.

0

8

b) )3(23

021

0

/1

0))3(1(lim)31(lim)31(lim x

xx

x

x

xxxx

+== =

231

0

23

0)1(lim)1(lim

+=+=y

y

y

yyy

=

+=

2/31

0

.)1(lim y

y

potenciapy ( )

3

2/3 1e

e =

Ejercicio de desarrollo: Asuma que xx

x1

0)1(lim + =e. Calcular

xx

x 23

0)51(4lim

El siguiente es un lmite que se plantea en el clculo diferencial:

Ejemplo 7.- Encontrar h

xfhxfh

)()(lim0

+

, donde 2)( 2 += xxf .

Solucin.- h

xhxh

xfhxfhh

)2(2)(lim)()(lim22

00

+++=+

=h

xhxhxh

222lim222

0

+++

xh

hxhh

hxhhh

2)2(lim2lim0

00

2

0=/

+/=+= Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente lmite para 21)( += xxf

hxfhxf

h

)()(lim0

+

Se hace la sustitucin xy 3= , esto es, sustituimos la expresin (-3x) por y, tomando adems en consideracin que si 0x , entonces 03 x y por consiguiente 0y .

El lmite tiene que estar completamente en trminos de la nueva variable y.

Observacin: en este lmite la variable sobre la que se est tomando lmite es h, x se comporta como constante.

9

EJERCICIOS 1) Hallar los siguientes lmites, justifique de igualdad en igualdad las propiedades que est usando.

1.1) 3

41

)21(lim xx

; 1.2) 13lim 20

+ xxx ; 1.3) 15214lim 25

3

0 ++

xxxxx

x; 1.4)

3lim

2

1 + xxx

x

2) Encuentre los siguientes lmites.

2.1)4

65lim 22

2 +

xxx

x; 2.2) 23

2

2 2252lim

xxxx

x +

; 2.3) 43214lim 2

3

0 ++

xxxx

x

2.4) xx

xxx

+ 2

3

1

34lim ; 2.5) 2

22lim2

x

xx

; 2.6) xx

xx 23

1lim2

1 +

2.7) 12

11lim 20 ++

xxxx

x; 2.8)

xxxx

x 211lim 20 +

; 2.9) x

xx /2

0)31(2lim +

2.10) xx x

xx /12

0)(lim ; 2.11) x

x

xx

43

0)31(2lim

+

+ ; 2.12) 2/12

0)21(lim x

xx+

2.13) xx

xxxx

+ 2

23

1

22lim ; 2.14) x

xxx

)2(4lim2

0

++ ; 2.15)

x

xx /1

0)21(4lim

2.16) 42

16lim2

4

tt

t; 2.17)

168lim 4

3

2 +

xx

x

3) Encontrar h

xfhxfh

)()(lim0

+ ,

3.1) xxxf 2)( 2 = ; 3.2) 2)( 2 = xxf ; 3.3) xxf 53)( = ; 3.4)

xxf += 1

1)( ; 3.5) 1)( += xxf ; 3.6) xxf 2)( = 4) Calcular

4.1) x

xx

11lim3

0

+ ; 4.2) x

xx

11lim3

0

+ ; 4.3) 11

11lim4

3

0 ++

xx

x

Respuestas: 1.1) 42

; 1.2) 1 ; 1.3) 1; 1.4) 1

2.1) ;41 2.2) 3/4-1; 2.3) ;

41

2.4)-1; 2.5) ;21

2.6) ;78 2.7) 0; 2.8) ;

21 2.9)2e6; 2.10) e-1;

2.11)2e12; 2.12) e2; 2.13) 6; 2.14) -1; 2.15) 2e; 2.16) -16; 2.17) 83

3.1) 2x-2 3.2)2x 3.3)-5; 3.4) ( )211x+ 3.5) 12

1+x

; 3.6) x

1

10

+==

=nosi

nxsi

nxsi

xf

012

1121,1

)(

>+=

11

Solucin:

Cuando la grfica de la funcin da un salto, el lmite puede no existir. Especficamente no existe el lmite de f(x) en la situacin que la funcin tiende a un nmero L1 cuando x se acerca a

0x por la izquierda distinto a cuando x se acerca 0x por la derecha.

Ejemplo 3.- Determine 201limxx

.

Solucin: En la seccin pasada vimos que el valor de la funcin tiende a + . Ahora bien + no es un nmero es una expresin para decir que los valores de la funcin aumentan sin lmite, cuando x se acerca a 0x . Esta es otra situacin en que un lmite puede no existir. LIMITES LATERALES

Definicin (intuitiva).- Si f(x) se acerca a un nmero especfico L, cuando x se aproxima a a por la derecha decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es L y escribimos:

Lxfax

=+ )(lim . De manera anloga podemos definir )(lim xf

ax .

Observe que para valores de x muy cercanos a 1, pero menores que 1, los valores de la funcin f son muy cercanos a 0. Por el otro lado, si los valores de x estn cerca de 1, pero mayores que 1, entonces los valores de la funcin all son cercanos a 2. Como usted podr ver no hay un solo nmero que la funcin se acerque cuando x se aproxima a 1. De aqu concluimos que )(lim

1xf

x no existe.

En el ejemplo 2 de la seccin pasada donde

>+=

12

Observacin.- Las propiedades de los lmites bilaterales se siguen cumpliendo en el caso de los lmites laterales. Esto es, el lmite de una suma es la suma de los lmites, el lmite de un producto, el lmite de una raz, etc. siguen las mismas reglas.

Podemos demostrar la existencia de determinados lmites a travs del siguiente Teorema. Teorema.- Sea f una funcin real, a y L dos nmeros reales. )(lim xf

ax + =L y )(lim xfax =L si y slo

si )(lim xfax

=L.

Este Teorema se usa as: 1.- Si los dos lmites laterales son distintos, entonces )(lim xf

ax no existe.

2.- En el caso que los dos lmites laterales existan y sean iguales entonces )(lim xfax

existe y vale L.

Ejemplo 1.- Calcular a) )(lim

1xf

xy b) )(lim

2xf

x , donde

>=

13

b) Para calcular )(lim2

xfx

tomamos en cuenta que a medida que estamos ms cerca de 2, los x son

mayores que 1, por tanto 13)( = xxf . As

513lim)(lim22

== xxf xx .

Ejemplo 2.- Calcular xx

x 0lim .

Solucin: Sabemos que al evaluar el valor absoluto tenemos que tomar en cuenta el signo de la variable x. Si x esta cerca de 0, entonces tomaremos lmites laterales Por consiguiente:

1)1(limlimlim000

=== xxx xx

xx

As obtenemos:

1)1(limlimlim000

=== +++ xxx xx

xx

.

Como los lmites laterales son distintos concluimos que

xx

x 0lim no existe.

Ejercicio de desarrollo- Calcular )(lim

3xf

x, )(lim

2xf

x , )(lim

2xf

x + y )(lim

2xf

xdonde

=

14

Ejemplo 3.- Consiga el valor de k para el cual )(lim3

xfx

existe, donde

>

=

15

Veamos lmites de la funcin x

xf 1)( = , cuya grfica es conocida.

Veamos ejemplos

Ejemplo 1.- Determinar 22 2lim

xxx

x . Solucin: El denominador tiende a 0 cuando x se acerca a 2, pero el signo es distinto dependiendo por que lado vaya x a 2. As tomamos lmites laterales

==

++

01

222 21lim

2lim

xxxx

xx.

+==+

01

222 21lim

2lim

xxxx

xx

De aqu concluimos que 22 2lim

xxx

x no existe. Hay que remarcar que siempre que se pueda, se simplifica la expresin, en este caso result ms fcil el anlisis una vez simplificada la expresin. Pero no siempre se puede. Las expresiones factorizadas tambin ayudan en el anlisis del signo del lmite.

Ejemplo 2.- Determinar 34

1lim 21 ++

xxx

x.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente lmite

2

3

2 44lim

tt

t

+

Observe de la grfica que si x se acerca a 0 por la derecha, la funcin toma valores arbitrariamente grandes, esto es

+=+ xx1lim

0.

Por el otro lado, si x se aproxima a 0 por la izquierda entonces la funcin (la y) toma valores negativos, pero arbitrariamente grandes en magnitud, esto lo expresamos diciendo que la funcin va a - . En nuestra notacin, esto es: = xx

1lim0

.

Si + 2x , entonces los xs son mayores que 2, por lo tanto 02 x .

Si 1x , entonces 21+x , 2301 xyx .

Observe que el denominador es el producto de dos nmeros negativos, por tanto el denominador es positivo y se acerca a 0.

Solucin: Conviene factorizar, para realizar mejor un estudio de signos

+=+=+

+

)2(02

121 )3)(1(1lim

341lim

xxx

xxx

xx

16

APLICACIONES Ejemplo 1.- El costo de eliminar el p por ciento de contaminacin en un lago est dado por

pppC = 100

1500)( . a) Cul es el costo de eliminar el 50% de la contaminacin del lago?

b) Encuentre )(lim100

pCp

c) Se puede eliminar el 100% de la contaminacin

Solucin : a) Se tiene que evaluar )( pC en 50=p . Esto da

150050100501500)50( ==C UM

b) Observe que en pp

p 1001500lim

100 el denominador se acerca a 0 con signo positivo y el numerador a

150000, as pues = pp

p 1001500lim

100.

c) El costo aumenta ilimitadamente cuando el porcentaje de contaminacin que se quiere eliminar se acerca al 100%, as es imposible eliminar toda la contaminacin. EJERCICIOS 1) Calcule los siguientes lmites. Si alguno no existe, justifique

1.1) 3

2lim3 xx ; 1.2) x

xx

+ 2

1lim2

; 1.3)44

lim 22 ++ xxx

x;

1.4)23

2lim 22 ++

xxx

x; 1.5) 3lim

1+x; 1.6)

xx

x 2lim2 ;

1.7) 11

)1(lim

++ xx ; 1.8) 11lim

1 xx ; 1.9) xx

x

225lim

2

5;

1.10) yy

yy 1)1(

2lim1

; 1.11)34

1lim 21 ++

xxx

x; 1.12) xx

x++ 1lim1

1.13) 21

1lim xx

+ ; 1.14) 121lim 21 xx ; 1.15) 2

1lim 21 +

xxx

x

1.16) 4342

0 522lim

yyyy

y ++

; 1.17) xx

x++ 1lim1 ; 1.18) 1

12lim 23

1

xx

x

1.19)

+ 34

12lim 21 xxx; 1.20)

11lim 2

3

1

xx

x

2) Para las siguientes funciones encontrar los lmites indicados. Si alguno no existen, justifique.

2.1)

>=

17

2.2)

>

=

21

2,1)(

2

2

xsix

xsixxg

a) )(lim0

xgx

; b) )(lim2

xgx +

; c) )(lim2

xgx

; d) )(lim2

xgx

2.3)

>++

=

01)1ln(

02)(

xsix

xsixf

x

a) )(lim1

xfx

; b) )(lim0

xfx +

; c) )(lim0

xfx

; d) )(lim0

xfx

2.4)

>=+

=2

62

282

2

)(2

2

23

xx

xxxxx

xh

a) )(lim2

xhx +

; b) )(lim2

xhx

.

2.6)

18

4.1)

>=

19

Solucin: Los candidatos a para que x=a sea una asntota vertical son los x donde se anula el denominador de la funcin; planteamos entonces la ecuacin

0)3)(1( =+ xx cuyas soluciones son 1 y 3.

A fin de llevar a cabo la graficacin requerida, planteamos todos los lmites laterales

+=+

+

+

502

1 )3)(1(2lim

xxx =+

502

1 )3)(1(2lim

xxx

De aqu concluimos que x=1 es una asntota vertical.

=++

+

042

3 )3)(1(2lim

xxx +=+

042

3 )3)(1(2lim

xxx

Tenemos entonces que x=-3 tambin es una asntota vertical. Esta informacin de los lmites

laterales es exhibida en la siguiente figura donde la grfica est incompleta slo se ha bosquejado en las zonas cercanas a las asntotas.

Comentario: Una funcin puede no tener o tener un nmero finito o infinito de asntotas verticales.

Ejemplo 2.- Encontrar las asntotas verticales de la grfica de la funcin )1(

12)(2

+=

xxxxf .

Solucin: Observe que el denominador se hace 0 en x=1. As planteamos

0)1(lim1)1(lim

)1(12lim

1

2

1

00

2

1==

=+

+++ x

xx

xxx

x

rsimplifica

xfactorizarx.

Igual valor nos da el lmite cuando x tiende a 1 por la izquierda. Concluimos que esta funcin no tiene asntotas verticales. Ejercicio de desarrollo.- Encontrar las asntotas verticales de la grfica de la funcin

)(23)( 3

2

xxxxxf +=

20

Funciones que tienen logaritmo en su definicin pudieran tener asntotas verticales, pues conocemos que el logaritmo toma valores tendiendo a cuando se evala en valores tendiendo a cero. Ejemplo 4.- Encontrar las asntotas verticales de la grfica de las siguientes funciones a) xxxf += )2ln()( ; b) 2)1ln()1()( = xxxg (requiere LHopital); Solucin: a) El dominio de esta funcin es el conjunto ),2( Observe que el candidato a asntota vertical es cuando 0)2( =x , esto es 2=x . Para verificar slo planteamos y resolvemos el lmite por la derecha pues no tiene sentido plantear el lmite por la izquierda.

=++ xxx )2ln(lim2 As 2=x es una asntota vertical de la funcin. b) El dominio de esta funcin es R-{1}, pues 0)1( 2 >x , salvo en 1 que es cero. 1=x es el candidato a asntota vertical. En este caso se plantean los dos lmites:

=+

02

1)1ln()1(lim xx

x

=

+

/

11 )1()1ln(2lim

HLx xx se reescribi para poder usar LHopital

== + 21 )1(1

112

limxx

x0)1(2lim

1== + xx

Similarmente podemos chequear que 0)1ln()1(lim 21

=+ xxx . En conclusin la funcin g no tiene asntotas verticales. APLICACIN Ejemplo 1.- El costo de eliminar el p por ciento de contaminacin en un lago est dado por

pppC = 100

1500)( . a) Determine la asntota vertical de la grfica de )( pC b) Dibuje el

comportamiento de la funcin costo cerca de la asntota Solucin

a)Como = pp

p 1001500lim

100, entonces 100=p es una

asntota vertical de la grafica de )( pC b) Al lado se muestra la grafica de )( pC en una vecindad de p=100 EJERCICIOS 1) Determinar todas las asntotas verticales de las funciones dadas. Dibuje la grfica cerca de las asintotas

1.1)1

2)( 2 += xxf ; 1.2) 1)( 2 = xxxf ; 1.3)

22)( 23 += xxx

xxf

1.4) 2)2()( = xxf ; 1.5)82)( 3

3

+=

xxxf ; 1.6)

xxxxf

4)( 3

4

=

21

1.7) 22

444)(

xxxxf += ;

Respuestas: 1.1) No hay; 1.2) 1;1 == xx ; 1.3) 2;1;1 === xxx ; 1.4) 2=x ; 1.5)

2=x ; 1.6) 2;2 == xx

22

CONTINUIDAD

Intuitivamente una funcin f es continua en un punto x0 si la grfica de f no tiene saltos, dicho de otro modo: podemos hacer su grfica sin levantar el lpiz al pasar por ( )(, 00 xfx ). En el caso que la funcin no sea continua en x0 decimos que es discontinua en el punto. Antes de dar la definicin formal de continuidad, veamos estos tres ejemplos de funciones discontinuas en x0.

La siguiente muestra la grfica de una funcin discontinua en x0 donde el )(lim0

xfxx existe, la

funcin esta definida en x0, sin embargo la discontinua se debe a que )(lim0

xfxx no coincide con

)( 0xf .

Estos tres ejemplos motivan la siguiente definicin

El trazo de la grfica de est funcin se ve interrumpido en x0 porque la funcin no est definida all

La grfica de est funcin se ve interrumpido en x0 porque el )(lim

0

xfxx no existe

23

Definicin.- Decimos que una funcin f es continua en un punto x0 si cumplen las siguientes condiciones: 1.- )( 0xf est definida. 2.- El )(lim

0

xfxx existe y

3.- )(lim0

xfxx = )( 0xf .

Una funcin f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo.

Comentario: Observe que en las grficas de las funciones dadas arriba al menos una de estas condiciones no se cumple.

Los siguientes ejemplos muestran como concluir si una funcin es continua o no en un punto

usando la definicin. Ejemplo 1.- Determinar si la siguiente funcin es continua en 0.

>

=

01

0,1)(

xsix

xsixf

Solucin: Para determinar la continuidad iremos chequeando una por una las tres condiciones de la definicin, en cuanto una condicin no se cumpla podremos concluir de una vez que la funcin no es continua en el punto en cuestin. 1.- f est definida en 0: efectivamente f(0)=1. 2.- )(lim

0xf

x no existe, pues 1)(lim0 =+ xfx y 1)(lim0 = xfx . De aqu concluimos que la funcin es discontinua en 0. Remarcamos que para ver que una funcin es continua en un punto hay que chequear que se cumple las tres condiciones. Ejemplo 2.- Determinar si la siguiente funcin es continua en 1.

+

=

25

Veamos que el numerador es una funcin continua: h1(x)=2x es una funcin continua por ser un polinomio. x2 es una funcin continua por ser una composicin de funciones continua:

xxh =)(2 con la funcin h1(x)=2x. x2 +1 es una funcin continua por ser suma de funciones continuas.

Por otro lado el denominador es una continua por ser un polinomio.

Finalmente la funcin xx

xxf2

12)( 2 += es continua en ),2()2,0( por ser cociente de

funciones continuas en puntos donde el denominador no se anula. b) Para analizar continuidad de funciones definidas por partes, conviene considerar cada parte por separado y los puntos de empates. Parte i) Continuidad en (- ,0) ? La funcin h es continua en (- ,0) por ser cociente de funciones continuas que no se anulan el denominador. Parte ii) Continuidad en (0, )? En (0, ) es continua por ser suma de funciones continuas. Falta verificar continuidad en 0. Parte iii) Continuidad en el empate (x=0)?

Recuerde: En los puntos de empate nos valemos de la definicin para ver continuidad. Condicin 1: h(0) est definida y vale 2.

Condicin 2: 21lim)(lim00

=+= ++ x

xxexh , sin embargo +== x

xxhxx

1lim)(lim2

00. Por tanto

)(lim0

xhx no existe y de una vez podemos decir que la funcin es discontinua e 0.

Concluimos que la funcin es continua en (- ,0) ,0( ). Ejercicio de desarrollo.- Determinar el conjunto de puntos donde las siguientes funciones son continuas

a)482

1)( ++=

xxxf

b)

+

26

1.7)x

xxg = 1)( ; 1.8)

>

=

121

1,)12()(

2

xsix

xsixxf ;

1.9)

=

=12

1,11

)(

2

xsi

xsix

x

xf ; 1.10)

+=1

11

1,1

1

)(

xsix

xsix

xf ;

2) Determinar el conjunto de puntos donde las siguientes funciones son continuas. Justifique.

2.1) 1)( 2 += xxxh ; 2.2 )32

1)( 2 =

xxxxf ; 2.3)

42)( 2 +

=xxxf ;

2.4)4

1)( = xxf ; 2.5 ) 1

1)( 3 = ttf ; 2.6) wwh = 2)( ;

2.7)

+

+