libro guía sobre métodos geodésicos
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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
APOYO DIDÁCTICO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN
LA ASIGNATURA DE MÉTODOS GEODÉSICOS TEXTO ALUMNO
TRABAJO DIRIGIDO, POR ADSCRIPCIÓN, PRESENTADO EN CUMPLIMIENTO
PARCIAL DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR AL DIPLOMA ACADEMICO DE
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL
POR: GILDA MARIA URZAGASTE HERBAS
RUTH CARMEN VELASQUEZ ROJAS
TUTOR: ING. PEREIRA MELGAR MARIO
MARZO DEL AÑO 2006
COCHABAMBA – BOLIVIA
UMSSUMSS
DEDICATORIA
Mi mas sincero agradecimiento a todas aquellas personas que me apoyaron
en la realización del presente trabajo y a los docentes que colaboraron con
sus conocimientos y experiencia a lo largo de toda la carrera. Y a las perso-
nas que confían en mí, muchas gracias.
Gilda María Urzagaste Herbas
A mis padres, que me dieron su apoyo, paciencia y comprensión todo el tiem-
po.
Ruth Carmen Velasquez Rojas.
AGRADECIMIENTOS
A mi papá, que pese a la lejanía siempre supo darme su amor, su apoyo incondicional, in-
culcándome sus valores y amor a la familia, demostrando que la distancia nos une aun
más, ¡lo logré pa¡.
A mi mamá, gracias por tu cariño, por la paciencia que me tuviste, gracias por siempre
confiar en mi.
A mis hermanos, que de alguna u otra manera siempre estuvieron ahí para apoyarme.
A mi Rodrigo (mi amor), por todo el cariño y apoyo que supo darme impulsándome siem-
pre a ser mejor cada día.
Ruth Carmen Velasquez Rojas.
Es justo dedicar este trabajo a Dios y a las personas más importantes en mi vida, que sin
ellos y su apoyo, no hubiera sido posible culminar una etapa importante en mi desarrollo
personal y profesional, a mis amados padres Ariel y Juana que con su ejemplo y cariño
han hecho de mí la persona que soy; a mis hermanos que siempre han estado conmigo
compartiendo buenos y malos momentos, porque somos una familia linda y unida, gracias
por todo Karen, Ariel (†), Ronald y Raisita; a mi sobrinito Arielito por su ternura. Y para
un ser maravilloso al que tuve la oportunidad de conocer, a ti mi amigo que ahora te en-
cuentras entre mil ángeles, Gabriel Solís Saravia (†), gracias.
Gilda María Urzagaste Herbas
ÍNDICE DE CAPÍTULOS
CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOGRAFÍA 1
1.2 LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO 2
1.2.1 TRABAJO DE CAMPO 2
1.2.2 TRABAJO DE GABINETE 2
1.2.3 TRABAJOS DE REPOLANTEO O SEÑALAMIENTO 2
1.3 UNIDADES DE MEDIDA EMPLEADAS EN TOPOGRAFÍA 2
1.4 SISTEMAS REFERENCIALES PARA EL POSICIONAMIENTO
DE PUNTOS 3
1.4.1 SISTEMA TOPOCENTRICO 3
1.4.2 SISTEMA LOCAL 3
1.4.3 SISTEMA GEOGRÁFICO 3
1.4.4 SISTEMA ASTRONÓMICO 4
1.4.5 SISTEMA REFERENCIAL ALTIMÉTRICO 4
1.5 LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS Y TOPOGRÁFICOS 4
1.5.1 DEFINICIÓN 4
1.5.2 CLASES DE LEVANTAMIENTOS 5
1.5.2.1 LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS 6
1.5.2.1.1 Levantamiento de terrenos en general 6
1.5.2.1.2 Levantamiento de planos para la construcción e ingeniería 6
1.5.2.1.3 Topografía de vías de comunicación 6
1.5.2.1.4 Levantamiento de minas 7
1.5.2.1.5 Levantamientos hidrográficos 7
1.5.2.1.6 Levantamientos catastrales 7
1.5.2.1.7 Levantamientos aéreos 8
1.5.2.2 LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS 8
1.5.2.2.1 Levantamientos cartográficos y cartografía 8
1.5.2.1.2 Levantamientos geodésicos marítimos 9
1.6 IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA 9
1.7 PROBLEMAS BÁSICOS DE LA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 9
1.7.1 PRECISIÓN 9
1.7.2 COMPROBACIONES 10
1.7.3 NOTAS DE CAMPO 10
1.7.4 DETERMINACIÓN DE COORDENADAS DE LOS PUNTOS 10
1.7.4.1 RADIACIÓN 10
1.7.4.2 POLIGONAL 10
1.7.4.3 INTERSECCIÓN 11
1.7.4.4 COMPENSACIÓN DE RED 11
1.7.4.5 FOTOGRAMETRÍA 11
1.7.5 CÁLCULO DE LA DISTANCIA Y EL ÁNGULO DE DIRECCIÓN 12
1.8 TEORÍA DE ERRORES 12
1.8.1 ORIGEN DE LOS ERRORES 12
1.8.2 CLASES DE ERRORES 12
1.8.2.1 ERRORES SISTEMÁTICOS 12
1.8.2.2 ERRERES ACCIDENTALES 13
1.9 MÉTODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS 13
1.9.1 ECUACIÓN DE CONDICIÓN 13
1.10 ESCALAS 16
1.10.1 GENERALIDADES 16
1.10.2 MÉTODOS DE DAR ESCALAS 16
1.10.2 PROBLEMAS QUE SE PRESENTAN EN EL USO DE ESCALAS 17
1.10.3 ESCALAS MÁS FRECUENTES 17
1.10.4 LÍMITE DE LA PERCEPCIÓN VISUAL Y SU RELACIÓN
CON LA ESCALA 17
1.11 EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 18
1.11.1 TRIGONOMETRÍA 18
1.11.1.1 TRIGONOMETRÍA PLANA 18
1.11.1.2 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 18
1.11.2 GEOMETRÍA PLANA 19
1.11.3 GEOMETRÍA ANALÍTICA 19
1.11.4 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA 19
1.11.5 GEOMETRÍA DEL ESPACIO 19
1.12 CUESTIONARIO 20
CAPITULO 2. MEDIDAS DIRECTAS
2.1 INTRODUCCIÓN 21
2.2 MEDIDA DIRECTA 22
2.3 MEDICIÓN CON CINTA 24
2.3.1 TERRENO HORIZONTAL 24
2.3.2 TERRENO INCLINADO (Pendiente Constante) 24
2.3.3 TERRENO IREGULAR 25
2.4 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA EXCLUSIVAMENTE 25
2.5 ERRORES EN LA MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA 27
2.5.1 ERRORES SISTEMÁTICOS 27
2.5.2 ERRORES ACCIDENTALES 28
2.6 TOLERANCIA EN MEDIDAS DE DISTANCIAS CON CINTA 28
2.7 CUESTIONARIO 30
2.8 EJEMPLOS 30
CAPÍTULO 3. ÁNGULOS Y DIRECCIONES.
3.1 GENERALIDADES SOBRE DIRECCIONES 39
3.2 MERIDIANOS 39
3.2.1 MERIDIANA ASTRONÓMICA O VERDADERA 39
3.2.2 MERIDIANA MAGNÉTICA 40
3.2.3 MERIDIANA ARBITRARIA 40
3.3 AZIMUT 40
3.4 RUMBO 41
3.5 CALCULO DE RUMBOS
A PARTIR DE LOS AZIMUTES Y VICEVERSA 42
3.6 DECLINACIÓN MAGNÉTICA 42
3.7 CUESTIONARIO 44
3.8 EJEMPLOS 44
CAPÍTULO 4. LEVANTAMIENTO CON BRÚJULA
4.1 GENERALIDADES 48
4.1.1 DESCRIPCIÓN 48
4.1.2 CONDICIONES QUE DEBE REUNIR UNA BRÚJULA 49
4.1.3 TIPOS DE BRÚJULAS 49
4.2 USOS DE LA BRÚJULA 50
4.2.1 LEVANTAMIENTO DE POLIGONALES 50
4.2.1.1 LEVANTAMIENTO DE POLIGONALES
CON BRUJULA Y CINTA 50
4.2.1.1 PRECISIÓN Y LIMITACIONES
DE LOS LEVANTAMIENTOS CON BRÚJULA 51
4.2.2 CÁLCULO DE RUMBOS 51
4.2.3 DIBUJO Y AJUSTES 52
4.2.3.1 PROCEDIMIENTO USUAL 52
4.2.3.2 DIBUJO 53
4.3 ERRORES 53
4.3.1 ERROR ANGULAR 53
4.3.2 TOLERANCIA ANGULAR 54
4.3.3 PRECISION O ERROR DE CIERRE 54
4.3.4 CORRECCIÓN ANGULAR 54
4.3.4.1 AJUSTE LINEAL 54
4.4 CUESTIONARIO 56
4.5 EJEMPLOS 56
CAPÍTULO 5. ALTIMETRÍA O NIVELACION
5.1 GENERALIDADES 63
5.2 DEFINICIÓN DE ALTIMETRÍA 63
5.2.1 SUPERFICIE DE NIVEL 64
5.2.2 BANCOS DE NIVEL 64
5.2.2.1 MOJONERA 65
5.3 MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE COTAS 65
5.3.1 MÉTODO DIRECTO O TOPOGRÁFICO 65
5.3.2 MÉTODO INDIRECTO 68
5.3.2.1 NIVELACIÓN BAROMÉTRICA 68
5.3.2.1.1 Barómetro de mercurio 68
5.3.2.1.1.1 Por capilaridad 69
5.3.2.1.1.2 Por temperatura 69
5.3.2.1.1.3 Por altura del lugar 70
5.3.2.1.1.4 Por latitud diferente de 45º 70
5.3.2.1.1.5 Medición de alturas 70
5.3.2.1.1.6 Formula barométrica para obtener desniveles 70
5.3.2.1.2 Termo-barómetro 70
5.3.2.1.3 Aneroide 71
5.3.2.2 NIVELACIÓN CON GPS 71
5.3.2.3 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 71
5.4 TIPOS DE NIVELACIÓN 73
5.4.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 73
5.4.1.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE 73
5.4.1.1.1 Método del punto medio 74
5.4.1.1.2 Método del punto extremo 75
5.4.1.1.2.1 Método de estaciones recíprocas 75
5.4.1.1.2.2 Método de estaciones equidistantes 75
5.4.1.2 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA COMPUESTA 76
5.4.1.2.1 Modo de operar 76
5.4.1.2.2 Comprobación del cálculo de las alturas 77
5.4.2 NIVELACIÓN DE PERFIL 77
5.5 MÉTODO DE CONTROL DE NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 78
5.5.1 NIVELACIÓN ABIERTA 78
5.5.2 NIVELACIÓN CERRADA O DE CIRCUITO 79
5.5.2.1 ERRORES MÁXIMOS ADMISIBLES 80
5.6 APLICACIONES DE LA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 80
5.6.1 CÁLCULO DE VOLÚMENES 80
5.6.1.1 POR SECCIONES TRANSVERSALES 80
5.6.1.2 POR MEDIO DE PRISMAS 81
5.6.2 CONTROL DE PENDIENTES 81
5.7 LEVANTAMIENTO DE PERFILES 81
5.7.1 CONSTRUCCIÓN DE UN PERFIL 82
5.7.1.1 PERFILES TRANSVERSALES 82
5.7.1.2 PERFILES LONGITUDINALES 83
5.8 APLICACIÓN DE PERFILES 83
5.8.1 CUBICACIÓN DE TERRAPLENES 83
5.9 ERRORES EN NIVELACIÓN 83
5.9.1 ERRORES Y COMPENSACIÓN 83
5.9.2 TOLERANCIAS 84
5.9.3 COMPENSACIÓN DE NIVELACIÓNES 84
5.9.3.1 COMPENSACIÓN PROPORCIONAL A LA DISTANCIA NIVELADA 84
5.9.3.2 COMPENSACIÓN SOBRE LOS PUNTOS DE CAMBIO 85
5.10 CUESTIONARIO 86
5.11 EJEMPLOS 86
CAPITULO 6. TEODOLITOS
6.1 INTRODUCCIÓN 97
6.2 CLASIFICACIÓN DE TEODOLITOS Y DESCRIPCIÓN 97
6.2.1 TEODOLITO DE VERNIER DE 20” 98
6.2.1.1 TORNILLOS DE PRESIÓN Y COINCIDENCIA 99
6.2.1.2 NIVELES TUBULARES DEL TEODOLITO 99
6.2.1.3 TORNILLOS NIVELADORES 101
6.2.1.4 PLOMADA 102
6.2.1.5 TRÍPODE 102
6.2.1.6 ANTEOJO O TELESCOPIO 103
6.2.1.7 RETÍCULO 105
6.2.1.8 BRUJULA 105
6.2.1.9 CÍRCULO HORIZONTAL O LIMBO HORIZONTAL 105
6.2.1.9.1 Lectura de los círculos (vernier) 105
6.2.1.10 CÍRCULO O LIMBO VERTICAL 107
6.2.2 TEODOLITOS MODERNOS 108
6.3 EMPLAZAMIENTO DEL TEODOLITO 110
6.3.1 INSTALACIÓN DEL INSTRUMENTO 110
6.3.1 NIVELACIÓN 112
6.4 CONDICIONES Y AJUSTES TEMPORALES DE UN TEODOLITO 112
6.5 CAUSAS DE ERRER EN LOS TEODOLITOS 114
6.5.1 CLASES DE ERRORES 114
6.5.1.1 ERRORES SISTEMÁTICOS 115
6.5.1.2 ERRORES ACCIDENTALES 115
6.6 CUESTIONARIO 117
CAPITULO 7. MEDIDAS DE ÁNGULOS CON TEODOLITO
7.1 SISTEMA DE LECTURA DE ÁNGULOS 118
7.1.1 ÁNGULOS HORIZONTALES 118
7.1.1.1 MEDIDAS DE ÁNGULOS HORIZONTALES 118
7.1.1.2 ÁNGULOS VERTICALES 124
7.2 ERRORES QUE AFECTAN LAS MEDIDAS ANGULARES 125
7.2.1 DESAJUSTES DEL INSTRUMENTO 125
7.2.2 ERRORES HUMANOS 126
7.3 CUESTIONARIO 127
7.4 EJEMPLOS 127
CAPÍTULO 8. MEDIDAS LINEALES Y PLANIMETRÍA
8.1 GENERALIDADES 128
8.2 MEDIDAS LINEALES 128
8.2.1 ALINEACIÓN 128
8.3 TIPOS DE POLIGONALES 129
8.3.1 POLIGONAL ABIERTA 129
8.3.2 POLIGONAL CERRADA 129
8.3.2.1 EJEMPLOS DE POLIGONALES CERRADAS 130
8.3.3 POLIGONAL BIFURCADA 130
8.4 LEVANTAMIENTOS POR POLIGONAL 131
8.5 POLIGONALES CON TEODOLITO Y CINTA 131
8.5.1 MEDIDA DE ÁNGULOS INTERIORES 132
8.5.2 ÁNGULO DE DEFLEXIÓN 133
8.5.2.1 CONDICIÓN ANGULAR 133
8.5.3 AZIMUT DE POLIGONALES 134
8.6 DIBUJO DE POLIGONALES CON TEODOLITO 134
8.7 ORIENTACIÓN DE POLIGONALES 135
8.8 CÁLCULO DE COORDENADAS 135
8.9 CÁLCULO DE ÁREAS 136
8.10 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS 136
8.10.1 AJUSTE ANGULAR Y CÁLCULO DE RUMBOS
(POLIGONALES CERRADAS) 136
8.10.1.1 ERRORES CON TRÁNSITO Y CINTA 137
8.10.1.1.1 Error angular (EA) 137
8.10.1.1.2 Tolerancia angular (TA) 137
8.10.1.1.3 Corrección angular (C) 137
8.11 CÁLCULO DE DIRECCIONES 138
8.11.1 DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES
EN LAS PROYECCIONES 139
8.12 AJUSTE LINEAL 140
8.12.1 ERROR LINEAL (EL) 140
8.12.1.1 TOLERANCIA LINEAL (TL) 141
8.12.1.2 PRECISIÓN (P) 141
8.12.1.3 COMPENSACIÓN LINEAL (kx y ky) 142
8.13 MÉTODO PROPORCIONAL 142
8.14 CUESTIONARIO 144
8.15 EJEMPLOS 144
CAPITULO 9. TAQUIMETRÍA
9.1 INTRODUCCIÓN 153
9.2 EQUIPO TAQUIMÉTRICO 153
9.3 TEORÍA TAQUIMÉTRICA 154
9.3.1 DISTANCIAS HORIZONTALES 154
9.3.2 MEDICIONES INCLINADAS 155
9.4 PROCEDIMIENTO DE CAMPO PARA LEVANTAMIENTOS
TAQUIMÉTRICOS 156
9.4.1 MÉTODO - Configuración con puntos aislados (radiaciones) 156
9.5 CUESTIONARIO 160
9.6 EJEMPLOS 160
CAPÍTULO 10. CURVAS DE NIVEL
10.1 INTRODUCCIÓN 164
10.1.1 MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL 165
10.1.2 CONSTRUCCIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL 167
10.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL 168
10.2.1 MÉTODOS PARA EL LEVANTAMIENTO DE CURVAS DE NIVEL 169
10.2.2 TRAZO DE LAS CURVAS DE NIVEL 170
10.2.2.1 INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA 170
10.2.2.2 INTERPOLACIÓN GRÁFICA 171
10.3 SISTEMAS DE CURVAS DE NIVEL 172
10.3.1 FORMA DE CURVAS DE NIVEL SU REPRESENTACIÓN 172
10.3.1.1 DIVISORIA DE AGUA 172
10.3.1.2 VAGUADA 173
10.3.1.3 CÚSPIDE O CUMBRE 174
10.3.1.4 HOYADA 174
10.4 UTILIZACIÓN DE PLANOS CON CURVAS DE NIVEL 175
10.5 DIBUJO DE PLANOS TOPOGRÁFICOS EN DIFERENTES ESCALAS 175
10.6 CUESTIONARIO 176
CAPITULO 11. REPLANTEO
11.1 INTRODUCCIÓN 177
11.2 REPLANTEO 177
11.2.1 REPLANTEO PLANIMÉTRICO 177
11.2.1.1 REPLANTEO DE PUNTOS 177
11.2.1.2 REPLANTEO DE ALINEACIONES 178
11.2.1.2.1 Replanteo de alineaciones rectas 178
11.2.1.2.2 Obstáculos que se interponen en el replanteo de una alineación recta 179
11.2.1.2.3 Replanteo de alineaciones curvas 180
11.2.1.2.3.1 Tangentes iguales y curvas de enlace circular 181
11.2.1.2.3.2 Tangentes desiguales 182
11.2.2 REPLANTEO ALTIMÉTRICO 182
11.2.2.1 REPLANTEO DE RASANTES 182
11.2.2.1.1 Altimetría o control vertical 182
11.2.2.1.2 Planimetría o control horizontal 182
11.2.2.1.3 Nivel de piso 183
11.2.2.1.4 Control de excavaciones 184
11.3 CUESTIONARIO 185
CAPITULO 12. NOCIONES DE GEODESIA
12.1 INTRODUCCIÓN 186
12.2 GEOIDE Y ELIPSOIDE DE REFERENCIA 186
12.2.1 GEOIDE 186
12.2.2 ELIPSOIDE DE REFERENCIA 187
12.3 COORDENADAS GEOGRÁFICAS 187
12.4 MÉTODOS GEODÉSICOS 187
12.4.1 ASTRONOMÍA GEODÉSICA DE POSICIÓN 187
12.4.2 GEODESIA MATEMÁTICA 188
12.5 PLANIMETRÍA 188
12.5.1 REDES GEODÉSICAS 188
12.5.1.1 RED GEODÉSICA DE PRIMER ORDEN 188
12.5.1.2 RED GEODÉSICA DE SEGUNDO ORDEN 188
12.5.1.1 RED GEODÉSICA DE TERCER ORDEN 188
12.5.2 LÍNEA GEODÉSICA 188
12.5.3 TRIÁNGULO GEODÉSICO 189
12.5.4 TRABAJO DE CAMPO 189
12.5.5 SEÑALES PERMANENTES 189
12.5.6 TRABAJOS DE GABINETE 189
12.6 SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA 189
12.7 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL 190
12.8 CARTOGRAFÍA 190
12.9 CUESTIONARIO 192
CAPITULO 13. TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN
13.1 TRIANGULACIÓN 193
13.1.1 ERRORES MÁXIMOS PERMITIDOS 193
13.1.2 TRABAJOS DE CAMPO PARA UNA TRIANGULACIÓN 194
13.1.3 AJUSTE DE CÁLCULO 195
13.1.3.1 AJUSTE DE UNA TRIANGULACIÓN
ENTRE DOS BASES MEDIDAS 196
13.1.3.2 MÉTODO PARA AJUSTAR ESTA CONDICIÓN 196
13.2 TRILATERACIÓN 196
13.3 CUESTIONARIO 198
13.4 EJEMPLOS 198
CAPITULO 14. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS MEDIANTE
ESTACIÓN TOTAL
14.1 CONCEPTOS BÁSICOS PARA LA REALIZACIÓN
DE UN LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO
MEDIANTE UNA ESTACIÓN TOTAL 202
14.2 LA ESTACIÓN TOTAL 202
14.2.1 GENERALIDADES 202
14.2.2 FUNCIONES BÁSICAS DE UNA ESTACION TOTAL 203
14.2.3 ESTACIONAMIENTO DEL APARATO 206
14.2.4 PRIMEROS PASOS CON LA ESTACIÓN TOTAL, TRABAJOS DE CAMPO 206
14.2.5 TRABAJO DE COORDENADAS RELATIVAS RECTANGULARES PLANAS 207
14.2.5.1 TRABAJO ENLAZADO CON LA RED GEODÉSICA NACIONAL 208
14.2.6 TRABAJOS DE GABINETE 211
14.2.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN 212
PLAN GLOBAL DE LA MATERIA
DE
MÉTODOS GEODESICO
I. IDENTIFICACIÓN
1) Asignatura : Métodos Geodésicos
2) Sigla : CIV – 214
3) Nivel : Cuarto Semestre
4) Prerrequisitos : Matemáticas, Trigonometría, Geometría Plana,
Geometría Descriptiva.
5) Área : Complementaria.
6) Sub área : Geodesia.
7) Horas teóricas/semana : 4 horas
8) Horas Prácticas/semana : 8 horas
II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA
Al finalizar el curso el alumno deberá ser capaz de:
1) Describir las partes principales y operar los equipos utilizados en topografía, como ser:
huinchas, brújulas, eclímetros, niveles y teodolitos.
2) Efectuar mediciones de distancias en terrenos planos e inclinados.
3) Efectuar levantamiento de poligonales con huincha y brújula.
4) Ejecutar nivelaciones en terrenos inclinados y abruptos y replanteos de control vertical
en construcciones menores.
5) Realizar levantamientos de poligonales con teodolito y efectuar cálculo de coordena-
das.
6) Practicar fraccionamientos en terrenos planos e inclinados.
7) Determinar volúmenes y calcular el movimiento de tierras.
8) Efectuar levantamientos taquimétricos y levantamientos de detalle.
9) Utilizando el teodolito establecer una red de triangulación topográfica.
10) Efectuar levantamientos topo – hidrográficos (batimetría) de un río, un embalse, etc.
III. CONTENIDO MÍNIMO
Capítulo
1. INTRODUCCIÓN
2. MEDIDAS DIRECTAS
3. ÁNGULOS Y DIRECCIONES
4. LEVANTAMIENTO CON BRÚJULA
5. ALTIMETRÍA O NIVELACIÓN
6. TEODOLITOS
7. MEDIDA DE ÁNGULOS CON TEODOLITO
8. MEDIDAS LINEALES Y PLANIMETRIA
9. TAQUIMETRÍA
10. CURVAS DE NIVEL
11. REPLANTEO
12. NOCIONES DE GEODÉSIA
13. TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN
14. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS MEDIANTE ESTACIÓN TOTAL
15. LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS
IV. CONTENIDO PROGRAMÁTICO (TEORÍA)
1. INTRODUCCIÓN
Definición de topografía; levantamientos geodésicos y topográficos; clases de levanta
mientos topográficos; importancia de la topografía; precisión; errores; escalas.
2. MEDIDAS DIRECTAS
Introducción; equipo requerido para mediciones con cinta; errores en el levantamiento
con cinta; tolerancias.
3. ÁNGULOS Y DIRECCIONES
Meridianos; rumbos magnéticos y azimutes verdaderos; declinación magnética; azimu
tes arbitrarios; azimutes al frente y hacia atrás; rumbos (azimutes reducidos); ángulos
de defleción.
4. LEVANTAMIENTO CON BRÚJULA
Descripción de la brújula; condiciones que debe reunir una brújula; levantamiento de
poligonales con brújula y cinta; precisión y limitaciones de los levantamientos con brú
jula; cálculo de rumbos; dibujo y ajustes.
5. ALTIMETRÍA O NIVELACIÓN
Introducción; instrumentos de nivelación; condiciones que debe reunir un nivel y ajus
tes que se le hacen; clases de nivelación: nivelación directa e indirecta; métodos de ni
velación; nivelación diferencial y de perfil; nivelación recíproca; errores en nivelación.
6. TEODOLITOS
Introducción; clasificación; teodolito de vernier y teodolitos modernos; emplazamiento
del teodolito; condiciones que debe reunir un teodolito y ajustes temporales.
7. MEDIDA DE ÁNGULOS CON TEODOLITO
Medida de ángulo horizontal: simple, por repeticiones y reiteraciones; medida de un
ángulo vertical; errores que afectan a las medidas angulares.
8. MEDIDAS LINEALES Y PLANIMETRIA
Introducción; tipos de poligonales; abierta y cerrada; orientación de las poligonales; le
vantamiento de poligonales; levantamiento de poligonales con cinta y teodolito; medi
das de ángulos interiores; deflexiones y azimutes; dibujo de las poligonales con teodoli
to; cálculo de coordenadas, ajuste de una poligonal cerrada.
9. TAQUIMETRÍA
Introducción; equipo taquimétrico; teoría taquimétrica – distancias horizontales; teoría
taquimétrica – mediciones inclinadas; procedimiento de campo para levantamientos ta
quimétricos, dibujo de planos topográficos.
10. CURVAS DE NIVEL
Introducción (planimetría y altimetría; curvas de nivel; características de las curvas de
nivel; métodos para el levantamiento de las curvas de nivel; utilización de planos con
curvas de nivel.
11. REPLANTEO
Introducción; replanteo – control horizontal; control vertical en el replanteo; niveles de
piso; control de excavaciones.
12. NOCIONES DE GEODÉSIA
Introducción; geoide y elipsoide de referencia, métodos geodésicos; sistema de info
mación geográfica, sistemas de posicionamiento global; cartografía.
13. TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN
Introducción; clases de triangulación figuras formadas en la triangulación; elección de
la cadena; medición de ángulos; mediciones de bases; errores en las mediciones de ba
ses; compensación de una cadena de triángulos; compensación de uncuadrilátero.
14. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS MEDIANTE ESTACIÓN TOTAL
Conceptos básicos; generalidades, funciones básicas de una estación total; estaciona
miento del aparato; trabajo de campo; trabajo de gabinete.
15. LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS
Detalle de las orillas; nivel de referencia; puntos de sondeo; alineamiento con boyas;
utilización de la ecosonda; cálculo del volumen de embalse; volumen de embalse.
V. CONTENIDO PROGRAMÁTICO (PRÁCTICA DE
CAMPO Y GABINETE)
1. Determinación de la distancia entre dos puntos; medición con huincha (cinta); correc-
ción de errores; tolerancia lineal.
2. Levantamiento del plano de un edificio con huincha; método de lados y diagonales; di-
bujo de detalles; cortes; cálculo de la superficie.
3. Levantamiento de una poligonal cerrada con huincha: método del polígono triangulado
con diagonales; marcación de vértices; determinación de ángulos; cálculo de la superfi-
cie.
4. Levantamiento de una poligonal cerrada con brújula y huincha; compensación de cierre
lineal y angular; dibujo y ajustes; cálculo de la superficie.
5. Empleo del teodolito, emplazamiento del teodolito, medidas de ángulos horizontales:
simple compensada, por repetición, por reiteración; determinación de la distancia entre
dos puntos inaccesibles; dibujo de detalles; cálculo de la distancia.
6. Levantamiento de una poligonal cerrada con teodolito y huincha; error de cierre; cál-
culo de coordenadas, cálculo de la superficie.
7. Descripción del nivel fijo; emplazamiento del nivel; registro de nivelación; levanta-
miento de una sección transversal con eclímetro y huincha; dibujo y detalles;
nivelación diferencial entre dos puntos (ida y vuelta); cálculo de desniveles; nivelación
de perfil; nivelación recíproca.
8. Replanteo; replanteo de edificios; replanteo de curvas horizontales; diferentes métodos
de resolución.
9. Levantamiento taquimétrico de una superficie de terreno con pendiente y vegetación;
relevamiento de detalles; cálculo de los parámetros taquimétricos; trazado de curvas de
nivel; dibujo del plano utilizando la simbología convencional.
10. Utilización de planos con curvas de nivel; determinación de áreas y volúmenes por di-
ferentes métodos.
11. Objetivo de la triangulación; triangulación topográfica; proyecto de triangulación; esta-
ciones, señales y medidas de base, corrección y compensaciones; medidas de ángulos
horizontales; problemas de campo.
12. Métodos de levantamientos topo – hidrográficos (batimetría) de un espejo de agua; vo-
lúmenes de embalses.
V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PROPUESTAS
Exposiciones teóricas
Clases prácticas desarrolladas con participación de los alumnos
EVALUACIÓN DE LAS UNIDADES
Diagnostico
Trabajo correctivo y medición
Exámenes de rendimiento
1. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACION DEL TRABA-
JO
El Plan de desarrollo de la UMSS, establece la necesidad de modernizar los métodos de ense-
ñanza aprendizaje, implementando modelos centrados en el estudiante, que desarrollen
actitudes y hábitos de comportamiento que permitan un mejor desenvolvimiento en su carrera
profesional. Se busca alcanzar un equilibrio entre la educación orientada a la formación de va-
lores y actitudes acordes a los requerimientos sociales de la época, y él acumulo de
conocimientos y aptitudes que respondan a exigencias científico tecnológicas del contexto in-
ternacional.
La informática educativa ha generado un sinnúmero de recursos pedagógicos. La educación su-
perior, por tratarse esencialmente de una educación de adultos, exige un importante
componente autodidacta. Muchas cátedras se están plasmando en discos ópticos interactivos
que contienen el texto del curso, bibliografía, ejercicios teóricos y prácticos, simulaciones de
laboratorio, exámenes simulados y muchas otras opciones multimedia.
Las carrera de Licenciatura e Ingeniería Civil, empeñada en modernizar su sistemas de ense-
ñanza aprendizaje establecen como prioridad la aplicación de nuevas metodologías en la que el
estudiante sea el elemento central del proceso, de manera que se puedan mejorar sus actitudes
respecto a la resolución de problemas. En tal sentido establece como estrategia el Desarrollo de
Instrumentos Académicos (textos, programas, información de internet, redes de información,
etc.)
2. OBJETIVO GENERAL
Modernizar el plan global de la materia Métodos Geodésicos de la carrera de Licenciatura en
Ingeniería Civil dándole un nuevo enfoque al objetivo final de la materia basándose esencial-
mente en las necesidades de los estudiantes, a través de la implementación de nuevos términos
y nuevos métodos utilizados, de manera que el estudiante pueda mejorar sus actitudes respecto
a la resolución de problemas reales y actuales relacionados a su formación académica.
3. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Desarrollar un libro de trabajo, organizando directorios de Internet relacionados con los conte-
nidos de la asignatura Métodos Geodésicos. Permitiendo el acceso a redes académicas por
temática e institucionales con otras universidades, instituciones y centros de Investigación del
país y del exterior. Desarrollar un conjunto de procedimientos básicos para la elaboración de
proyectos de topografía.
4. PRODUCTOS INTERMEDIOS Y/O FINALES
Desarrollo de un CD ROM que contenga la siguiente información:
Un Texto de Estudio para el Alumno, desarrollado en un lenguaje adecuado al nivel
de formación del estudiante en la ubicación de la asignatura.
Un Texto de Uso del Docente, desarrollado en un lenguaje apropiado para la explica-
ción del conocimiento científico de la asignatura por parte del docente (desarrollado
en Power Point).
Un Plan Global de la asignatura actualizada según los puntos relevantes del modelo
propuesto, y la identificación de ubicación de la materia en la estructura curricular de
la carrera de Ingeniería Civil.
Organización de la información en un CD ROOM.
Implementación de una pagina WEB.
5. ACTIVIDADES GENERALES A DESARROLLAR
Investigación de información existente sobre textos y bibliografía relacionada con la asignatura
Organización del Texto del Estudiante, en un lenguaje apropiado a la ubicación de la asignatura
en el Plan de estudios
Investigación bibliográfica para la selección de ejemplos claves para orientar a los alumnos en
cada capítulo.
Organización y elaboración del Texto del Docente que contenga los conceptos más importantes
de cada capitulo de las asignaturas, en lenguaje de proyector de imágenes (Cuadros sinópticos,
resaltos, etc.)
Transcribir y organizar toda la información en un CD ROOM, de acuerdo a la estructura desea-
da
Creación de la página WEB.
11
CCAAPPÍÍTTUULLOO
INTRODUCCIÓN A LA TOPO-
GRAFÍA
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOGRAFÍA
Topografía, es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posi-
ciones de puntos sobre la superficie de la tierra, por medio de medidas según los 3 elementos
del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una
dirección y una elevación ver figura 1.1.
XA = r x sen
YA = r x cosZ = a AY = a' aX= o a'
r
Y
Z
a
a'
A
XX
A
a'
a
O
Y
Z
Figura 1.1 Posición de los puntos según los tres elementos del espacio
Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (en sistema métrico decimal), y
para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales).
El tener un método que permita determinar la posición de los puntos del plano mediante núme-
ros implica decir que en el plano se ha dado un sistema de coordenadas. Tiene por objeto la
medición y representación gráfica de pequeñas extensiones de la superficie terrestre, represen-
tación desde el punto de vista de sus formas y dimensiones con el objeto de planificar obras así
como el conocimiento y manejo de los instrumentos que se precisan para tal fin. Es una cien-
cia/técnica relacionada con las materias de geodesia, cartografía, fotogrametría, Sistema de In-
formación Geográfico (SIG).
Topografía es, por tanto, diseñar un modelo semejante al terreno, con unas deformaciones y pa-
rámetros de transformación perfectamente acotados.
1.2 LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
El levantamiento topográfico se realiza en tres partes:
1.2.1 TRABAJO DE CAMPO
Antes de realizarlo se debe analizar el objetivo del trabajo, y en función de distintas considera-
ciones tomar una decisión, seleccionando el método de levantamiento, instrumental mas
adecuado, etc.
La realización de las medidas y el registro de los datos en forma comprensible, rutinaria y es-
tandarizada constituyen el trabajo de campo (libreta de campo con apuntes manuales y croquis).
1.2.2 TRABAJO DE GABINETE
Comprende la elaboración de cálculos con base en los datos registrados en la libreta de campo,
estos datos son procesados en planillas de cálculo como Excel, para obtener coordenadas tota-
les de los puntos relevados.
También incluye la representación gráfica de los datos para obtener un plano o un gráfico o pa-
ra transcribir los datos de un formato digital y procesar la información en un CAD (Computer
Aided Desing, o diseño asistido por ordenador).
1.2.3 TRABAJOS DE REPLANTEO O SEÑA-
LAMIENTO
Constituyen los trazos sobre el terreno a partir de las condiciones del proyecto establecidas so-
bre un plano1.
1.3 UNIDADES DE MEDIDA EMPLEADAS EN TO-
POGRAFÍA
1 Ver capitulo 11; sección 11.2
Unidades de longitud; como puede imaginarse la unidad de longitud más empleada en topogra-
fía es el metro.
Unidades de superficie; en topografía se trabaja con Hectáreas (10.000m2). A veces también
se utiliza Km2.
Unidades angulares; se trabaja con graduación sexagesimal o centesimal.
a) Graduación sexagesimal, supone la circunferencia dividida en 360 partes denominadas gra
dos, distribuidos en cuatro cuadrantes de 90 grados, 60 minutos y 60 segundos, se designan de
la siguiente manera: A° B’ C”
b) Graduación centesimal, considera dividida la circunferencia en 400 grados, distribuidos en
cuatro cuadrantes de 100 grados, 100 minutos y 100 segundos, se designan: Ag B
m C
s
c) Transformación de graduaciones.
a
a
90
100 gg
Donde:
lsexagesima graduación a
centesimal graduación a
o
g
1.4 SISTEMAS REFERENCIALES PARA EL POSI-
CIONAMIENTO DE PUNTOS.
1.4.1 SISTEMA TOPOCENTRICO
Sistema de coordenadas cartesianas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de
puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede consi-
derar que dan la posición de un punto dentro del conjunto.
Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas más usadas. En dos dimensiones, es-
tán formadas por un par de rectas en una superficie plana, o plano, que se cortan en ángulo
recto. Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de intersección de los ejes se llama
origen.
En coordenadas cartesianas de tres dimensiones, se añade el eje z de manera que tenemos tres
ejes todos ellos perpendiculares entre sí.
1.4.2 SISTEMA LOCAL
Relacionado con los vecinos, manzano, ciudad, todo con respecto al sistema local para que todo
punto sea referenciado en él (ya no es cualquier punto, es definido).
1.4.3 SISTEMA GEOGRÁFICO
Con el fin de localizar un elemento en un mapa o describir la extensión de un área, es necesario
referirse a las coordenadas geográficas del mismo.
Estas coordenadas geográficas se basan en los meridianos de longitud y en los paralelos de lati-
tud. La localización de un punto en el mapa puede definirse con precisión por los grados,
minutos y segundos de latitud y longitud.
Los mapas están orientados de tal manera que, generalmente, el norte verdadero ocupa la parte
superior de la lámina, donde a menudo se representa una rosa de los vientos u otro elemento
que señala el polo magnético.
1.4.4 SISTEMA ASTRONÓMICO
Sistema de coordenadas astronómicas, cualquiera de los diferentes sistemas de cartografía uti-
lizados para localizar objetos en el espacio, de la misma forma que la latitud y longitud se
utilizan para localizar puntos de la superficie terrestre.
En astronomía, las posiciones se describen en términos de la esfera celeste, en donde se supone
que están situadas las estrellas y otros objetos celestes, sin tener en cuenta sus verdaderas dis-
tancias a la Tierra.
En cualquier sistema de coordenadas astronómicas se utiliza un plano como referencia básica
para determinar puntos posicionales.
Este plano atraviesa el centro de la Tierra en una u otra dirección y se extiende hasta la esfera
celeste.
1.4.5 SISTEMA REFERENCIAL ALTIMÉTRICO
Se considera que el referencial altimétrico es único e independiente del sistema geodésico
adoptado, es decir, que las alturas son siempre referidas al nivel medio del mar (plano de com-
paración).
1.5 LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS Y TOPO-
GRÁFICOS
1.5.1 DEFINICIÓN
El conjunto de operaciones necesarias para determinar las posiciones de puntos y posterior-
mente su representación en un plano es lo que comúnmente se conoce como levantamiento.
Aunque en general todo levantamiento debe hacerse con precisión, hay ocasiones en que por la
índole del trabajo, puede aligerarse éste aun cuando lleguen a cometerse errores sensibles en el
plano, e incluso a veces, basta un ligero bosquejo, con rápidas medidas constituyendo un cro-
quis.
La mayor parte de los levantamientos, tienen por objetivo el cálculo de superficies y volúme-
nes, y la representación de las medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos, por lo
cual estos trabajos también se consideran dentro de la topografía. La primera fase del levanta-
miento tiene por objeto determinar, ya por triangulación, ya por mediciones directas, la
posición en el plano de un número suficiente de puntos ligados a las coordenadas geodésicas.
Luego se procede al levantamiento de los detalles mediante operaciones de altimetría y de pla-
nimetría que permiten situarlos en una red anteriormente preparada.
1.5.2 CLASES DE LEVANTAMIENTOS
Los levantamientos se clasifican en regulares e irregulares; en los primeros se utilizan instru-
mentos, más o menos precisos, que con un fundamento científico permiten obtener una
representación del terreno de exactitud variable, pero de tal naturaleza que se compute siempre
como de igual precisión en cualquier punto de la zona levantada.
La exactitud de los levantamientos regulares depende, desde luego, de la habilidad del opera-
dor, pero es debida, principalmente, a la precisión de los instrumentos empleados.
En los levantamientos irregulares se usan instrumentos elementales, o no se utiliza ninguno en
alguna parte del trabajo, y los métodos que se siguen suelen ser intuitivos, como medir distan-
cias a pasos o simplemente por croquisación.
Los errores cometidos son grandes y no pueden considerarse repartidos con uniformidad, y, a
diferencia de los métodos regulares, influye de modo preponderante la habilidad del operador.
Los levantamientos regulares pueden ser a su vez de precisión y expeditos. En los primeros han
de utilizarse los instrumentos y los métodos en relación con la escala adoptada, en forma tal
que los inevitables errores que se cometan queden sin representación gráfica en el plano.
En los levantamientos expeditos no se tiene esta precaución, y los errores llegan a ser sensibles
en el plano, pero no en cuantía tal como para resultar irrealizables las obras que en ellos se tan-
teen. Los levantamientos expeditos podrán ser útiles para un primer estudio u orientación, para
decidir la conveniencia de modificar un primer trazado o, de una manera general, para todas
aquellas circunstancias en que sólo se precise poseer una representación aproximada del te-
rreno.
La topografía propiamente dicha se ocupa solamente de los levantamientos de precisión, y éstos
aligerados, más o menos, según las circunstancias, constituirán los expeditos. Los levantamien-
tos irregulares no pueden considerarse propiamente métodos topográficos.
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos o geodésicos.
1.5.2.1 LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
Levantamientos topográficos, son aquellos que por abarcar superficies reducidas pueden hacer-
se despreciando la curvatura de la tierra, sin error apreciable.
Los levantamientos topográficos son tridimensionales y utilizan técnicas de levantamiento geo-
désico plano y otras especiales para establecer un control tanto vertical como horizontal.
La configuración del terreno y de los elementos artificiales o naturales que hay en él se locali-
zan a través de medidas que se representan en una hoja plana para configurar un mapa
topográfico.
1.5.2.1.1 Levantamiento de terrenos en general
Tienen por objeto marcar linderos o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en
planos generales ligando con levantamientos anteriores, o proyectar obras y construcciones.
1.5.2.1.2 Levantamiento de planos para la cons-
trucción e ingeniería
Las mediciones de ingeniería establecen puntos de control mediante poligonales, líneas de base
u otros métodos con el fin de obtener la información necesaria para los diseños de obras de in-
geniería (levantamientos) y para posicionar los elementos constructivos, basándose en los
planos del proyecto que utilizan esos puntos de control (replanteos).
Los levantamientos topográficos y los mapas a los que dan lugar proporcionan información
sobre la localización horizontal y sobre las altitudes, necesarios para diseñar estructuras como
edificios, embalses, canales, carreteras, puentes, tendidos eléctricos o colectores.
Para levantar los planos de estas obras se parte de los mismos puntos de control utilizados en
los levantamientos topográficos originales.
Los levantamientos geodésicos de construcciones implican la orientación y supervisión de me-
diciones de ingeniería que se coordinan en el levantamiento de planos y en la construcción de
cualquier estructura.
1.5.2.1.3 Topografía de vías de comunicación
Sirve para estudiar y construir caminos, ferrocarriles, canales, tuberías, líneas de transmisión
eléctrica, ductos, etc. Estos levantamientos pueden además incluir la localización y estacado de
la obra y los cálculos del movimiento de tierras.
1.5.2.1.4 Levantamiento de planos de minas
Los levantamientos de minas se utilizan para establecer la ubicación superficial y los límites de
una concesión minera. Durante las operaciones en las minas, el levantamiento ayuda a estable-
cer la ubicación exacta de los trabajos bajo tierra en vertical y en horizontal, a plantear las
conexiones entre los túneles y a guiar la ejecución de estos últimos. Es un trazado tridimensio-
nal que, en esencia, apenas difiere del levantamiento topográfico superficial.
1.5.2.1.5 Levantamientos hidrográficos
Relacionados con lagos y ríos y otros cursos de agua. Con ellos se obtienen las formas de las
áreas debajo de las aguas, se estima el flujo de las corrientes y otras informaciones relativas a la
navegación, control de inundaciones y desarrollo de fuentes de agua. Estos levantamientos son
generalmente realizados en Bolivia, por el servicio de Hidrografía Naval, y algunas veces por el
Instituto Geográfico Militar y el Servicio Nacional de Aereofotogrametría.
1.5.2.1.6 Levantamientos catastrales
Los levantamientos catastrales del terreno se realizan para establecer los límites de su exten-
sión, colocando indicadores y postes en los vértices para determinar las coordenadas de dichos
puntos y obtener, así, la información necesaria del área y sus límites.
Estas medidas tienen que constar en los datos de escritura de un terreno, y también son necesa-
rias para trazar y reflejar en un gráfico las áreas de la propiedad.
Los levantamientos topográficos de propiedades se realizan con un elevado grado de precisión,
colocando en las esquinas hitos permanentes visibles y recuperables, estos indicadores son
convenientes para el registro público de la propiedad y para asegurar el título de propiedad co-
rrecto para el propietario legítimo del terreno.
Además de las técnicas de levantamiento topográfico, los topógrafos o agrimensores deben co-
nocer la legislación sobre la propiedad; la ley exige, generalmente, que estos profesionales
estén registrados.
En resumen, son los que se realizan en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijar linderos
o fijar las obras urbanas.
1.5.2.1.7 Levantamientos aéreos
Son los que se realizan por medio de la fotografía, generalmente desde aviones, figura 1.2, y se
usan como auxiliares muy valiosos de las otras clases de levantamientos.
H
L
Figura 1.2 Levantamiento aéreo
La fotogrametría se dedica especialmente al estudio de estos trabajos. Su uso está siendo más
popular cada año debido a la velocidad con que puede ser aplicada, la economía, las aplicacio-
nes a áreas de difícil acceso, los grandes detalles que suministra, etc.
1.5.2.2 LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS
Para áreas extensas, las mediciones topográficas tienen en cuenta la forma básica de la Tierra,
el geoide (casi esférica), por lo que se las denomina levantamientos geodésicos.
Se basan en un meridiano norte-sur verdadero definido por el eje de rotación de la Tierra y se
apoyan en la geometría esférica. Un ejemplo típico de esta clase de alzado es el trazado de un
camino o carretera de muchos kilómetros de recorrido, con lo cual necesita un ajuste geodésico
para evitar la acumulación de errores provocados por la convergencia de los meridianos.
Entre estos podemos mencionar:
1.5.2.2.1 Levantamientos cartográficos y cartografía
Se denominan levantamientos geodésicos cartográficos a aquéllos que localizan puntos de con-
trol y obtienen detalles para la confección de mapas o cartas.
Las cartas y los mapas a pequeña escala (que representan áreas extensas) son combinaciones de
mapas a escala más grande de los cuales se eliminan y simplifican muchos detalles; a este pro-
ceso se le llama generalización cartográfica.
Los mapas litorales representan la costa, pero de ésta muestran sólo los elementos que pueden
ser importantes para la navegación y que están situados a lo largo de la línea de costa e infor-
man de las profundidades del agua (líneas batimétricas).
Las cartas aeronáuticas sólo muestran los rasgos geográficos más relevantes, como pueden ser
las barreras, rutas aéreas, radiofaros y otros elementos de orientación como las vías de ferroca-
rril o carreteras.
1.5.2.2.2 Levantamientos geodésicos marítimos
Los levantamientos y confección de mapas marítimos, de los ríos, puertos o lagos, con el fin de
establecer las profundidades para facilitar una navegación más segura, se realizan mediante
sondeos manuales en observaciones llevadas a cabo desde los puntos de control de la costa.
Los sondeos con sonar, efectuados de forma simultánea a la localización por radar del buque
oceanográfico de sondeo, permiten también el trazado rápido y exacto de los mapas. Más lejos
de la costa la localización será siempre menos precisa; los aparatos Loran y los satélites de na-
vegación se utilizan para conseguir la localización más exacta posible de las embarcaciones en
alta mar cuando éstas cuentan con equipamientos modernos.
1.6 IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA
A través de los siglos los usos de la topografía se han expandido hasta hoy y es difícil imaginar
cualquier tipo de proyecto de construcción que no envuelva la topografía en alguna forma.
Todos los ingenieros, como arquitectos, forestales y geólogos están relacionados con la topo-
grafía como un medio de planear y delinear sus proyectos. La topografía se necesita para
subdivisiones, edificios, puentes, carreteras, vías ferroviarias, canales, puertos, proyectos hidro-
eléctricos (presas, túneles, casas de máquinas, etc.), proyectos de riego y drenaje y muchos.
A demás se usa para la planeación de equipos industriales, montaje de maquinaria, manteni-
miento de tolerancias en barcos y aviones, preparación de planos hidrográficos, topográficos,
geológicos, forestales, etc.
1.7 PROBLEMAS BÁSICOS DE LA TOPOGRAFÍA Y
GEODESIA
1.7.1 PRECISIÓN
Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los instru-
mentos y a las imperfecciones en el manejo de ellos; por lo tanto, ninguna medida en topografía
es exacta, y es por eso que la naturaleza y la magnitud de los errores deben ser comprendidas
para obtener buenos resultados.
Las equivocaciones, a diferencia de los errores, son producidas por falta de cuidado, distrac-
ciones u falta de conocimientos, y no pueden controlarse y estudiarse.
En la precisión hay muchos grados, según sea el objeto del trabajo, y las medidas deben hacerse
tan aproximada como sea necesario únicamente.
1.7.2 COMPROBACIONES
Siempre en todo trabajo de topografía se debe buscar la manera de comprobar las medidas y los
cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el
grado de precisión obtenida.
1.7.3 NOTAS DE CAMPO
Las notas de campo deben siempre tomarse en libretas especiales de registro, y con toda clari-
dad para evitar tener que pasarlas en limpio.
Deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar confusiones o
malas interpretaciones, ya que es muy común que los cálculos o dibujos los hagan personas di-
ferentes a las encargadas del trabajo de campo.
1.7.4 DETERMINACIÓN DE COORDENADAS DE LOS
PUNTOS
A continuación se mencionan los métodos de cálculo de coordenadas:
1.7.4.1 RADIACIÓN
El método de radiación dota de coordenadas polares a puntos desde un punto con coordenadas
conocidas y una referencia que fije la dirección de la meridiana o Norte.
1.7.4.2 POLIGONAL
Una Poligonal o Itinerario es un encadenamiento de radiaciones desde un punto inicial con
coordenadas conocidas y una referencia hasta otro punto con las mismas características.
Los puntos o vértices intermedios son a los que dotamos coordenadas.
Este método tiene comprobación, "cierre" en el argot, puesto que encadenando radiaciones des-
de el inicio debemos llegar a las coordenadas conocidas del final, salvo los errores accidentales
acumulados.
1.7.4.3 INTERSECCIÓN
Mediante los métodos de intersección podemos conocer las coordenadas de un punto con ob-
servaciones solamente angulares.
Si se trazan triángulos con un vértice común en el punto que queremos calcular y los otros vér-
tices tienen coordenadas conocidas, en virtud de condiciones geométricas es posible calcular
las coordenadas. Según se observen direcciones desde los puntos con coordenadas conocidas o
desde el punto a calcular se denomina Intersección Directa o Intersección Inversa.
Con los aparatos actualmente disponibles es posible observar la intersección también con dis-
tancias, lo que supone un gran avance.
1.7.4.4 COMPENSACIÓN DE RED
Una red topográfica es un conjunto de series de observaciones (angulares y/o de distancia e in-
cluso GPS) que entrelazan puntos con coordenadas conocidas y puntos a calcular.
Si se han realizado más observaciones que las estrictamente necesarias no sólo es posible calcu-
lar todas las coordenadas sino que mediante técnicas de compensación, usualmente los
Mínimos Cuadrados, se reparten los errores consiguiendo así una configuración más homogé-
nea.
1.7.4.5 FOTOGRAMETRÍA
La fotogrametría permite obtener un modelo semejante al terreno con imágenes registradas en
campo.
Necesita unos puntos (denominados "puntos de apoyo") para efectuar la transformación desde
las imágenes a la realidad. Una vez con este modelo es relativamente fácil obtener del mismo
las coordenadas de todos los puntos necesarios, con una precisión homogénea y con unos ren-
dimientos que superan con mucho los obtenibles en campo.
Las fotografías pueden cubrir áreas extensas, tomadas desde aviones o incluso satélites para
realizar cartografía; también existe la fotogrametría no cartográfica que permite obtener valio-
sos modelos de objetos medianos (fachadas, pórticos...), pequeños (esculturas, piezas
industriales) e incluso microscópicos.
Es una técnica que no para de evolucionar y que tiene multitud de salidas aún todavía inci-
pientes: fotogrametría con video, obtención de imágenes con radiaciones no visibles, arte,
industria, realidad virtual.
1.7.5 CÁLCULO DE LA DISTANCIA Y EL ÁNGU-
LO DE DIRECCIÓN
Otro problema básico de la Topografía es calcular la distancia y el ángulo de dirección conoci-
das las coordenadas de los puntos. Estos temas serán desarrollados a profundidad en los
capítulos siguientes.
1.8 TEORÍA DE ERRORES
Al realizar una medición siempre se comete un error que es la diferencia entre el valor de la
medida efectuada y el valor real de la magnitud medida. Toda medida tiene errores y nunca se
puede conocer el valor verdadero de una dimensión.
1.8.1 ORIGEN DE LOS ERRORES
En toda medición intervienen generalmente tres fuentes de errores: instrumentales, personales y
naturales.
Los errores instrumentales, se originan por las imperfecciones o ajuste defectuoso de los ins-
trumentos con que se toman las medidas.
Los errores personales, se producen por falta de habilidad del observador para manejar y leer
los instrumentos.
Los errores naturales, se deben a las variaciones de los fenómenos de la naturaleza como la
temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la refracción atmosférica y la declinación
magnética.
1.8.2 CLASES DE ERRORES
Los errores se dividen en dos clases: sistemáticos y accidentales.
1.8.2.1 ERRORES SISTEMÁTICOS
Son los que para condiciones fijas en el campo, son constantes y del mismo signo y por tanto
son acumulativos, por ejemplo: en medidas de ángulos; aparatos mal graduados o arrastre de
las graduaciones en teodolitos; en medidas de distancias y desniveles; cintas o miras mal gra-
duadas, catenaria, cinta inclinada, mala alineación, error por temperatura, etc.
1.8.2.2 ERRORES ACCIDENTALES
Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o en otro, y por tanto es igualmente
probable que tengan signo positivo o negativo. Ejemplo: en medidas de ángulos lecturas de
graduaciones, visuales descentradas de la señal; en medidas de distancias: colocación de mar-
cas en el terreno, variaciones en la tensión de la cinta, apreciación de fracciones, etc. Muchos
de estos errores se eliminan por que se compensan.
El valor más probable de una cantidad medida varias veces, es el promedio de las medidas to-
madas, o media aritmética. Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Las equivocaciones se evitan con la comprobación. Los errores accidentales solo se pueden re-
ducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el mayor número de
medidas.
Los errores sistemáticos se pueden corregir, aplicando correcciones a las medidas cuando se
conoce el error, o aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo para comprobarlos y
contrarrestarlos.
1.9 MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Desde este punto de vista, las diferentes observaciones que pueden realizarse las clasificaremos
en directas, indirectas y condicionales.
Designaremos con el nombre de observaciones directas o inmediatas las que efectúan sobre la
magnitud que tratamos medir; así como por ejemplo es una observación directa la evaluación
de una longitud utilizando una regla.
Las observaciones se llaman indirectas o mediatas cuando la magnitud o magnitudes que he-
mos de hallar son función de otras, obteniéndose la medida no por observaciones directa, sino
deduciéndola de los valores obtenidos en las observaciones.
Ejemplo de medida directa sería la determinación de un lado b de un triángulo del que se cono-
ce otro lado, a y envés de medir el primero directamente se miden los ángulos A y B, opuestos
ambos. El que buscamos se obtendría por la fórmula:
senA
senBab
1.9.1 ECUACIÓN DE CONDICIÓN
Son observaciones condicionales cuando entre ellas tienen que satisfacer estrictamente condi-
ciones determinadas; por ejemplo, medidos los tres ángulos de un triángulo, debe cumplirse
con total exactitud que la suma de las tres medidas que adoptemos sume 180°.
Es un caso en el que las medidas directas están relacionadas entre si por ecuaciones denomina-
das condicionales o de condición. Se deducen de la figura geométrica de que formen parte las
observaciones y tienen que ser cumplidas rigurosamente.
Tendremos que corregir ligeramente los errores, lo que se llama compensar la figura; en este
caso las incógnitas no serán medidas, sino las correcciones que hemos de introducir en ellas pa-
ra que la figura quede compensada. Cualquiera que sea la figura que haya que compensarse las
ecuaciones de condición son de dos clases, ecuaciones de ángulo y ecuaciones de lado.
Ecuaciones de ángulo
Se refieren unas, al cierre de los triángulos independientes, cuyos ángulos, después de compen-
sados, han de sumar exactamente 180° y otras que cumplan ciertas condiciones que imponga la
figura.
Se refieren unas, al cierre de los triángulos independientes, cuyos ángulos, después de compen-
sados, han de sumar exactamente 180° y otras que cumplan ciertas condiciones que imponga la
figura.
Por ejemplo:
Si designamos por 1, 2 y 3 las medidas de los ángulos del primer triángulo, 4, 5, 6 los del
segundo, etc., y por (1), (2)… las respectivas correcciones que tratamos de calcular, se debe ve-
rificar:
1 + (1) + 2+ (2) + 3 + (3) = 180°
4 + (4) + 5+ (5) + 6 + (6) = 180°
Llamando 1, 2…, los cierres de cada triángulo, se tiene:
1 + 2 + 3 = 180° 1
4 + 5 + 6 = 180° 2
Por tanto se tendrán las siguientes ecuaciones de condición:
(1) + (2) + (3) + 1 = 0
(4) + (5) + (6) + 2 = 0
Los ángulos han sido leídos en las mismas condiciones y en el mismo instrumento, por lo tanto
tienen el mismo error o decremento, entonces para que se cumpla estas condiciones los errores
tienen que ser ceros.
Ecuaciones de lado
Para formular las ecuaciones de lado, cualquiera que sea la figura que se quiere compensar (ver
figura 1.3), estableceremos la igualdad en la relación de los lados a los senos de los ángulos
opuestos de los triángulos que haya que calcularse partiendo de la base, para volver a la misma
base o a otra conocida, los ángulos habrán de corregirse, para que haya riguroso acuerdo entre
la longitud de partida y la de llegada.
56
D
4
A3
7B
8
2 1
C
Figura 1.3 Polígono a compensar
Establecemos las siguientes relaciones:
)]6(6)5(5[ sen
)]4(4[ sen
AB
BD
)]1(1[ sen
)]6(6[ sen
BD
BC
)]3(3[ sen
)]2(2)1(1[ sen
BC
AB
Aplicando logaritmos y multiplicando miembro a miembro, designamos por 1, 2, 3,….las
diferencias de cada lóg.sen y sen el error. De las operaciones con los ángulos medidos se ob-
tendrá la siguiente ecuación:
1+2 (1) + 1+2 (2) + 6 (6) + 4 (4) - 3 (3) - 1 (1) - 5+6 (5) - 5+6 (6) + = 0
Tener en cuenta que si algún ángulo es mayor de 90°, la diferencia será negativa.
1.10 ESCALAS
1.10.1 GENERALIDADES
Lo mas corriente es que el propósito de un levantamiento sea hacer algún tipo de plano o mapa.
El tipo de plano que resulte depende en gran parte de la escala a la cual se trace.
La escala de un mapa es la relación entre una distancia sobre el mapa y la misma distancia so-
bre el terreno y depende del objetivo para el cual se va a utilizar.
Todo mapa o plano, al tener que ser de dimensiones considerablemente menores a las de la su-
perficie que representa, habrá de dibujarse de modo que constituya una figura semejante.
Y así, cualquier magnitud medida en el plano y la homóloga del terreno estarán en una relación
de semejanza, variable de un plano a otro, pero constante, cualquiera que sea la dirección que
se tome, en un mismo plano. Esta razón de semejanza recibe el nombre de escala.
1.10.2 MÉTODOS DE DAR ESCALAS
La escala de un mapa o un plano se puede dar de tres maneras:
“1 centímetro representa 1 metro”, lo que de acuerdo con la definición de escala, simplemen-
te que un centímetro en el plano representa un metro en el terreno.
Por una escala dibujada, la escala ordinaria se representa por una recta, dividida en partes
iguales, anotando en cada una a partir del cero, la magnitud equivalente en el terreno.
La longitud de estos segmentos se elige de modo que quede expresada por un número sencillo;
así, por ejemplo, la escala gráfica de 1 :5.000 la representaremos dividiendo la recta en dobles
centímetros, anotando en estas divisiones, de izquierda a derecha , cero metros, 100 metros,
200 metros, etc.
A la izquierda del cero se lleva otra división más subdividida en diez partes iguales, cada una
de las cuales representará 10 metros.
100 0 100 200 300
Mediante una fracción representativa, en este método de dar la escala, se emplea una fracción
en la que el numerador representa el número de unidades sobre el mapa (siempre una) y el de-
nominador representa el número de iguales unidades sobre el terreno (deben ser números
sencillos terminados en cero como 1.000, 2.000, 25.000, etc.).
En una escala en la que un centímetro representa un metro, la fracción que representa la escala
será: 1/100, o bien 1:100. Por ejemplo, una escala de 1:5.000 nos indica que cada centímetro
del plano representa 5.000 de las mismas unidades en la superficie terrestre, o también, un cen-
tímetro representa 50 metros del terreno.
Una fracción representativa es la manera internacional para indicar la escala. Se la denomina
también escala numérica.
1.10.3 PROBLEMAS QUE SE PRESENTAN EN EL
USO DE ESCALAS
Dos son los problemas que se presentan con el uso de las escalas: 1º, dada una magnitud del
plano, deducir la que representa, y 2°, dada esta última, calcular la homóloga del plano.
Para lo primero bastará multiplicar la longitud medida en el plano por el denominador de la es-
cala; para lo segundo habrá que dividir la longitud dada por dicho denominador.
Para evitar estas multiplicaciones y divisiones se recurre a las escalas gráficas.
1.10.4 ESCALAS MÁS FRECUENTES
Para que un mapa pueda recibir el nombre de topográfico es preciso que su escala no sea menor
de 1:50.000, que es la utilizada en el Mapa Nacional, si bien los trabajos se efectúan a 1:25.000
para reducirla después y atenuar los errores.
Escalas inferiores a 1:50.000 se reservan para los mapas geográficos ajenos a la topografía.
En los planos muy rara vez se emplean escalas inferiores a 1:10.000, siendo frecuentes las de
1:5.000, 1:2.000, 1:1.000 y 1:500, y para los planos de detalle o de proyecto de obras las de
1:100 y aun superiores. En los proyectos de ingeniería nunca se emplean escalas interiores a
1:5.000.
En cada caso habrá de elegirse la escala pensando en los menores detalles que hayan de presen-
tarse, en relación con el fin que se persiga, de modo que en el dibujo, a la escala adoptada,
aparezcan de suficiente tamaño para que pueda apreciarse su magnitud.
En la mayoría de los mapas se indica la escala en el margen y, muchas veces, viene acompaña-
da de una escala gráfica lineal.
1.10.5 LÍMITE DE LA PERCEPCIÓN VISUAL Y SU
RELACIÓN CON LA ESCALA
Se admite que la vista humana normal puede alcanzar a percibir sobre un papel magnitudes
hasta 1/4 de milímetro, con un error en la percepción no superior a 1/5 de milímetro.
De este hecho derivamos una conclusión de importancia en la práctica, y es la necesidad de no
olvidar nunca en los trabajos de campo la escala a que se trabaja, ya que es un defecto en el que
con frecuencia se incurre. Si trabajásemos, por ejemplo, a una escala de 1:25.000, los 0,2 milí-
metros del plano, de inevitable error, vendrían representados en el terreno por 5 metros, que a
esta escala serían del todo despreciables.
Si en cambio fuese aquélla de 1:2.000, la misma magnitud del plano correspondería a 40 cen-
tímetros del terreno. El producto de 0.2 milímetros por el denominador de la escala nos da, en
todos los casos, la distancia en el terreno que resulta despreciable.
1.11 EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
La teoría de la topografía se basa esencialmente en la geometría plana, geometría del espacio,
trigonometría, matemáticas en general, etc. Además del conocimiento de estas materias, se ha-
cen necesarias algunas cualidades personales, como: iniciativa, habilidad para manejar los
aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en sí mismo y buen criterio.
1.11.1 TRIGONOMETRÍA
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos
de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inacce-
sible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre
la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la
física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódi-
cos, como el flujo de corriente alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la
trigonometría plana y la trigonometría esférica.
1.11.1.1 TRIGONOMETRÍA PLANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las ra-
zones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
1.11.1.2 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras
formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera.
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y
en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución
del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la
hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
1.11.2 GEOMETRÍA PLANA
Geometría plana, rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y
figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce co-
mo geometría euclídea.
1.11.3 GEOMETRÍA ANALÍTICA
El Discurso del Método, que publicó el filósofo y matemático francés René Descartes en 1637,
es un trabajo que fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar
los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la
que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor
parte de la geometría moderna. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que
hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos,
han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.
1.11.4 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
La geometría descriptiva, es la que permite reproducir las figuras del espacio mediante proyec-
ciones de las mismas en planos y resolver así, con la geometría plana, problemas sobre los
cuerpos de tres dimensiones.
1.11.5 GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Geometría del espacio, es una rama de la geometría que considera las propiedades y medidas de
figuras o cuerpos geométricos cuyos puntos no se hallan todos en un mismo plano y que, consi-
guientemente, tienen tres dimensiones. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se
encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del es-
pacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la
trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas
de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
1.12 CUESTIONARIO
Introducción a la topografía
1. ¿Cual es el objetivo de la Topografía?
2. ¿Qué es un levantamiento, y cual es su objetivo?
3. ¿Por qué es importante la Topografía para la Ingeniería Civil?
4. ¿Por qué es importante la comprobación en los trabajos topográficos?
5. ¿Por qué es útil la fotogrametría en la topografía?
6. ¿En topografía qué es un error y qué una equivocación?
7. ¿Cuáles son las causas más frecuentes de errores?
8. ¿Qué es una escala?
22
CCAAPPÍÍTTUULLOO
MEDIDAS DIRECTAS
2.1 INTRODUCCIÓN
En topografía se entiende por distancia entre dos puntos a la distancia horizontal.
Diferencia entre distancia natural, distancia geométrica y distancia horizontal (o reducida), en
la figura 2.1, podemos ver de manera esquemática el fundamento de cada una de estas magni-
tudes:
Figura 2.1 Distancia natural, geométrica y reducida
Donde:
B.y A puntos los entre horizontal plano el sobre distancia :Reducida Distancia Dr
puntos. dos los une que recta de segmento del longitud :Geométrica Distancia Dg
terreno.del relieve el siguiendo puntos dos entre distancia la es :Natural Distancia Dn
En realidad, las distancias que se determinan en campo, mediante aparatos como el taquímetro 1
o las más modernas estaciones totales, son las geométricas. Para calcular las distancias reduci-
das, con las que trabajaremos, es necesario también tomar el ángulo vertical (figura 2.2).
1 Ver capítulo 9; sección 9.2.
DnDg
Dr
B
A
A - B
A
B
Dr
Dg d
Figura 2.2 Relación entre las distintas distancias, el desnivel y el ángulo vertical
La distancia reducida será:
)cos(DgDr
Y el desnivel entre los dos puntos A y B:
)(senDgd BA
La pendiente de la recta A – B en tanto por ciento, será:
Dr
d(%)p BA
Hoy en día, con el empleo de estaciones totales, no es necesaria la aplicación de estas fórmulas,
pues estos aparatos las tienen ya almacenadas en una memoria interna y son capaces de aplicar-
las automática y presentarnos todos los resultados.
2.2 MEDIDA DIRECTA
La medida directa de una distancia consiste en la aplicación material de la unidad de medida a
lo largo de su extensión. El método más común de determinar distancias es con la medida di-
recta por medio de la cinta. La medida precisa de distancias con cinta requiere conocimiento,
cuidado y experiencia. En teoría es simple pero en la práctica no es tan fácil.
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el siguiente:
a) Cinta de Acero, de 20, 30 o 50 m de longitud, graduadas en centímetros.
b) Cinta de Lienzo (lona), en la que se han entretejido alambres delgados de latón o de
bronce para evitar que se alargue, figura 2.3.
c) Cinta de metal invar, aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios
de temperatura es de uso general para medidas muy precisas. La dilatación térmica de
la cinta de metal invar, es aproximadamente la décima parte de las cintas de acero.
Figura 2.3 Cinta a cruceta
d) Cinta de Fibra de Vidrio.
e) Cadena, para trabajos de poca aproximación o terreno abrupto.
La cadena de la figura 2.4, esta hecha con eslabones metálicos de 20 cm. y a cada metro tiene
una placa.
120 cm20 cm20 cm20 cm20 cm
Figura 2.4 Cadena para la medida directa de distancias
Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos siempre son horizontales.
e) Jalones o balizas, de metal, madera o fibra de vidrio; son de sección circular, tienen
una longitud de 2.4 m y están pintadas de rojo y blanco en tramos alternos de ½ m. Las
de madera y las de fibra de vidrio están protegidas en el pie por un casquillo con punta
de acero, se usan para indicas la dirección de las líneas.
f) Fichas de Acero, de 25 a 40 centímetros (ver figura 2.5). Se emplean para marcar los
extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distancia entre dos puntos
que tienen una separación mayor que la longitud de la cinta empleada. Un juego de
fichas consta de 11 piezas.
Figura 2.5 Ficha de alambrón
g) Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de una punta
cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un dispositivo para ponerles
un cordón que queda centrado, figura 2.6.
Figura 2.6 Plomada
2.3 MEDICIÓN CON CINTA
2.3.1 TERRENO HORIZONTAL
Se va colocando la cinta, paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos clavando estacas o
fichas ver figura 2.7, o pintando marcas en forma de cruz.
fichasficha
Figura 2.7 Medición en un terreno horizontal
Las cintas de acero en general están hechas para que con una tensión de aproximadamente 4 kg.
por cada 20 m. de longitud, den la medida marcada.
Esta tensión se mide con Dinamómetro, en medidas de precisión, y las cintas deben compararse
con la medida patrón. Para trabajos ordinarios con cintas de 20 ó 30 m., después de haber expe-
rimentado la fuerza que se necesita para tensarla con 4 a 5 kg. no es necesario el uso constante
del Dinamómetro.
2.3.2 TERRENO INCLINADO (Pendiente Cons-
tante)
Puede ponerse la cinta paralela al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o pen-
diente para después calcular la proyección horizontal (i).
También puede medirse por tramos, colocando la cinta horizontal al ojo (ii) ver figura 2.8.
Hilo con plomada
( i ) ( ii )
Figura 2.8 Medición en terreno inclinado
2.3.3 TERRENO IRREGULAR
Siempre se mide en tramos horizontales para evitar el exceso de datos de inclinaciones de la
cinta en cada tramo, figura 2.9.
2, 2.5 ó 3 m
Baliza
(Jalón)
Regatón
metálico
Figura 2.9 Medida en terreno irregular
2.4 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CON CIN-
TA EXCLUSIVAMENTE
Se distinguen cinco clases de levantamientos de una poligonal con cinta:
1) Polígono de base triangulado.
2) Polígono con lados de liga.
3) Poligonación de alineamientos.
4) Por coordenadas.
5) Polígono triangulado con vértice central.
El método más empleado es el de un polígono de base triangulado con diagonales.
Sea un polígono cualquiera irregular:
Se traza un polígono de apoyo o poligonal, por ejemplo: A, B, C, D, E, F, A (figura 2.10).
El polígono debe tener el menor número de lados posibles, y ser cerrado.
E
A
DF
B
C
Figura 2.10 Levantamiento de una poligonal
En todo trabajo de levantamiento, lo primero que debe hacerse es un reconocimiento de la zona
donde se trabajará, para definir los vértices del polígono, la visibilidad, aparatos necesarios,
personal, tiempo, etc.
Para transformar el polígono en una figura rígida se sigue el procedimiento de Triangulación.
Se miden longitudes Lados y
Diagonales
Los triángulos deben ser bien conformados, es decir, lo más cerca posible del equilátero. Deben
evitarse ángulos menores de 20º.
Deben efectuarse dos triangulaciones diferentes para comprobar.
En resumen el procedimiento general consiste en:
a) Reconocimiento
b) Trazo y medición del polígono de base (incluyendo diagonales)
c) Levantamiento de detalles con relación al polígono
d) Cálculo de los ángulos del polígono
e) Dibujo de lo levantado
Es indispensable también llenar durante el levantamiento, el registro de campo, datos del polí-
gono y dibujar un croquis detallado del polígono a levantar.
Por otra parte, toda poligonal debe estar debidamente referenciada (con croquis) a puntos fijos,
notables y de fácil identificación. Normalmente, de cada uno de los vértices deben tomarse co-
mo mínimo tres referencias, (figura 2.11).
Bodega a B
16.40 a F
a H
29.65
G pozo
14.71
33.00
pilar
poste de concreto
Figura 2.11 Croquis para el registro de campo
2.5 ERRORES EN LA MEDIDA DE DISTANCIAS
CON CINTA
Los errores se dividen en dos clases: sistemáticos y accidentales.
2.5.1 ERRORES SISTEMÁTICOS
Longitud incorrecta de la cinta, se determina, por longitud de cinta, comparándola con un pa-
trón. Si la longitud es mayor que la correcta, el error es negativo y, por tanto, la corrección será
positiva y viceversa.
Catenaria, se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre el terreno sino que se man-
tiene suspendida por sus extremos, formando entonces una curva llamada catenaria. Este error
es positivo y se elimina aplicando la corrección calculada.
Alineamiento incorrecto, se produce por error cuando la alineación se separa de la dirección
verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la corrección es negativa. Este error es de poca im-
portancia, pues una desviación de 2 cm. en 20 m., apenas produce un error de 1 mm.
Inclinación de la cinta, si se opera en terreno quebrado hay que colocar a ojo, en posición ho-
rizontal, toda la cinta o parte de ella. El error es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse
con signo contrario al error.
Variaciones de temperatura, los errores debidos a las variaciones de temperatura se reducen
mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta se dilata al aumentar la temperatura y se con-
trae cuando la temperatura disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el
segundo.
Variaciones en la tensión, las cintas, siendo elásticas, se alargan cuando se les aplica una ten-
sión. Si ésta es mayor o menor que la que se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o
corta con relación al patrón.
Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos muy precisos.
2.5.2 ERRORES ACCIDENTALES
De índice o de puesta de ficha, consiste este error en la falta de coincidencia entre el punto
terminal de una medida y el inicial de la siguiente. Se evita colocando las fichas en posición
vertical.
Variaciones en la tensión, en los trabajos comunes la tensión que se da a la cinta es la natural
ejercida por los cadeneros, y puede ser mayor o menor que la usada en la comparación de la
cinta con el patrón.
Apreciación de las fracciones al leer las graduaciones, este error se comete al hacer la lectura
de las fracciones, por no coincidir las marcas colocadas en el terreno con las graduaciones de la
cinta.
2.6 TOLERANCIA EN MEDIDAS DE DISTANCIAS
CON CINTA
a) Cuando la distancia entre dos puntos no se conoce de principio, se procede midiéndola dos
veces (ida y regreso).
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la siguiente fórmula:
l
L22T
Donde:
T: tolerancia, en metros.
: Error cometido en una puesta de cinta, en metros (ver tabla 2.1).
L: longitud total medida, o promedio de medidas, en metros.
l : Longitud de la cinta empleada, en metros.
Error: si se efectúan dos o más medidas, el error de cada una de ellas es la diferencia con el
promedio aritmético de medidas, o valor más probable.
b) Cuando se conoce de antemano la distancia, y se hace necesaria una medida parcial o total,
se mide una sola vez. La tolerancia esta dada por la siguiente fórmula:
kL
l
L2T
Donde:
K : error sistemático por metro (puede o no ser conocido).
Error: longitud verdadera conocida – longitud medida.
Cuando no se conocen los valores de (ω) y (k), pueden tomarse de la tabla de valores experi-
mentales del libro de Toscano:
Tabla 2.1 Parámetros para las tolerancias de medidas con cinta
Condiciones de las medidas w (metros) k (metros)
Medidas precisan en terreno plano, cinta bien com-
parada y corrigiendo por temperatura, usando
plomada y vigilando el alineamiento con cuidado.
0.015
0.0001
Medidas en terreno plano, cinta bien comparada. 0.02 0.0003
Medidas de 2ª clase en terreno abrupto. 0.03 0.0005
Medidas en terreno muy quebrado. 0.05 0.0007
2.7 CUESTIONARIO
Medidas Directas
1. ¿Qué es la medida directa y cual el método mas utilizado?
2. ¿Cómo se realiza la medición con cinta en los distintos terrenos?
3. ¿Qué errores se presentan en la medición con cinta?
2.8 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Cálculo de errores
Medida de una distancia, en terreno quebrado, haciendo uso de una cinta de 50 m, cuyas lectu-
ras de distancias de ida y regreso son respectivamente 150.04 m y 150.08 m.
1) Cálculo del error cometido:
Valor más probable de la distancia medida m 06.150 2
08.15004.150
2
LLL 21
Error cometido:
m02.0 06.15008.150LLE
m02.0 06.15004.150LLE
2
1
m 2 E
Tolerancia:
m 0.03 e quebrado terreno para ;
50
12.30006.0
50
06.1502)03.0(2
l
L2e2T
0.15m T
ok T E
Ejemplo 2 Poligonal con cinta
Se ha realizado la medida de una poligonal en el campo y los datos son:
Distancias de ida y de vuelta apuntadas en el registro de campo.
Croquis:
A
B
C
D
E
F
G
H
Av. Heroinas
Calle Sucre
N.M.
Figura 1
Distancia promedio en [m]: COLUMNA 10
tomadas.distancias de númeronn
vuelta.distida.dist
m 75.532
7.538.53AB
m 75.572
5.570.58BC
m 51.552
52.555.55CD
m 25.652
5.650.65DE
m 0.502
0.500.50EF
m 66.572
65.5767.57FG
m 505.602
51.605.60GH
m 875.892
85.8990.89HA
m 405.802
41.804.80AC
m 71.602
72.607.60CH
m 605.462
61.466.46HD
m 405.612
41.614.61DG
m 655.522
66.5265.52GE
Ángulos interiores de la poligonal: COLUMNA 19
C
B
A53.75
57.7
5
80.4
05
I
Acoscb2cba 222
"53 '51 45A
8647.45A
Acos75.53405.80275.53405.8075.57 222
Bcosca2cab 222
VI
V
IV
III
II
I
89.8
75
80.4
05
60.71
46.605
60.5
05
61.405
52.655
57.6
6 50
65.2
555.5
157.7
5
53.75A
B
C
D
E
F
G
H
"23 '13 92B
2233.92B
Bcos75.5375.57275.5375.57405.80 222
Ccosab2abc 222
"42 '54 41C
911932.43C
Ccos405.8075.572405.8075.5775.53 222
H
C
A
60.71
80.4
05
89.8
75 II
Acosch2cha 222
"23 '18 41A
306569.41A
Acos875.89405.802875.89405.8071.60 222
Ccosha2hac 222
"23 '44 77C
739733.77C
Ccos405.8071.602405.8071.60875.89 222
Hcoscc2cah 222
"13 '57 60H
953698.60H
Hcos875.8971.602875.8971.60405.80 222
H
D
C
55.5
1
46.605
60.71
III
Ccoshd2hdc 222
"08 '01 47C
01914.47C
Ccos51.5571.60251.5571.60605.46 222
Dcosch2chd 222
"46 '21 72D
36289.72D
Dcos51.55605.462605.4651.5571.60 222
Hcosdc2dch 222
"04 '37 60H
6179.60H
Hcos71.60605.46271.60605.4651.55 222
H
G
D
61.405
60.5
05
46.605IV
Dcoshg2hgd 222
"20 '30 66D
505668.66D
Dcos405.61605.462405.61605.46505.60 222
Gcosdh2dhg 222
"37 '56 44G
94683.44G
Gcos505.60405.612505.60405.61605.46 222
Hcosdg2dgh 222
"02 '33 68H
550649.68H
Hcos505.60605.462505.60605.46405.61 222
G
E
D
65.2
5
52.655
61.405
V
Dcoseg2egd 222
"56 '00 49D
015580.49D
Dcos405.6125.652405.6125.65655.52 222
Ecosdg2dge 222
"56 '40 61E
682469.61E
Ecos655.5225.652655.5225.65405.61 222
Gcosde2deg 222
"07 '18 69G
3019.69G
Gcos405.61655.522655.52405.6125.65 222
G
F
E
50
57.6
6
52.655
VI
Ecosgf2gfe 222
"19 '17 68E
288618.68E
Ecos50655.52250655.5266.57 222
Fcosge2gef 222
"22 '02 58F
039688.58F
Fcos5066.5725066.57655.52 222
Gcosfe2feg 222
"18 '40 53G
671694.53G
Gcos655.5266.572655.5266.5750 222
"61 '10 87 "23 '18 41 "53 '51 45A
"23 '13 92B
"13 '40 166 08" 01' 47 "23 '44 77 "42 '54 41C
"02 '53 187 56" 00' 49 "20 '30 66 "46 '21 72D
"15 '58 129 "19 '17 68 "56 '40 61E
"22 '20 58F
"02 '55 167 18" 40' 53 "07 '18 69 "73 '56 44G
"19 '07 190 02" 33' 68 "04 '37 60 "13 '57 60H
33
CCAAPPÍÍTTUULLOO
ÁNGULOS Y DIRECCIONES
3.1 GENERALIDADES SOBRE DIRECCIONES
La orientación topográfica tiene por objeto dar a las líneas de un plano la misma dirección que
aguardan sus homólogas en el terreno. Esta dirección se determina por el ángulo horizontal que
forma con alguna referencia imaginaria o real que tiene una dirección fija. Se emplean como lí-
neas de referencia la meridiana astronómica, magnética o una meridiana elegida arbitrariamente
denominada meridiana supuesta.
3.2 MERIDIANOS
Línea imaginaria o verdadera que se elige para referenciar las mediciones que se harán en te-
rreno y los cálculos posteriores. Círculo máximo de la Tierra que pasa por los polos. Todos los
puntos que pertenezcan al mismo meridiano vienen caracterizados por tener la misma hora lo-
cal.
En topografía un alineamiento se define como la línea trazada y medida entre dos puntos sobre
la superficie terrestre, su dirección se da en función del ángulo horizontal que se forma entre el
alineamiento y una línea que se toma como referencia, línea fija denominada meridiano, mi-
diéndose siempre en planta o en un plano horizontal.
3.2.1 MERIDIANA ASTRONÓMICA O VERDA-
DERA
Si la línea de referencia respecto a la cual se toman las direcciones, es la línea que pasa por los
polos geográficos Norte-Sur de la tierra. Se determina por medio de observaciones astronómi-
cas y para cada punto de la superficie terrestre, tiene el mismo valor, (figura 3.1).
Polo Norte
Posición del observador
Polo Sur
Figura 3.1 Meridiano verdadero
3.2.2 MERIDIANA MAGNÉTICA
Si la línea pasa por los polos magnéticos. La orientación de esta línea no es constante debido a
que el polo norte magnético no tiene posición fija y se va desplazando lentamente a través del
tiempo. Se determina por medio de la brújula y no es paralelo al verdadero por que los polos
magnéticos están a alguna distancia de los geográficos.
3.2.3 MERIDIANA ARBITRARIA
Cualquier línea de referencia, puede ser la línea del punto inicial a una torre, un árbol o a cual-
quier otro detalle que se pueda materializar fácilmente en el campo, esta es tomada por
conveniencia.
3.3 AZIMUT
Ángulo horizontal entre el meridiano y una línea, medido siempre en el sentido horario, ya sea
desde el punto Sur o Norte del meridiano, estos pueden tener valores de entre 0° y 360°.
a) Directos, son los que se toman en el origen de la línea.
b) Inversos, los tomado en el extremo final de la línea.
Entre ambos azimuts existe una diferencia de 180° esto es:
Cuando el azimut directo es mayor que 180º, para obtener el azimut inverso, se le restan 180º; y
si el azimut directo es menor que 180º, entonces el inverso se obtiene sumando 180º.
180 directoAzimut inverso Azimut
Az. AB
A
N Az. BA
B
N
Figura 3.2 Azimut directo e inverso
Conversión (azimut magnéticos a azimut astronómicos)
B
A
Declinación magnética
Azimut magnético de la línea AB
Azimut astronómico de la línea AB
Figura 3.3 Azimut magnético y astronómico
nDeclinació magnéticoAzimut oastronómic Azimut
3.4 RUMBO
Angulo horizontal que una línea forma con la meridiana; su valor está comprendido entre 0° y
90°, se mide a partir del Norte o del Sur, hacia el Este o hacia el Oeste.
a) Directos, es el que se toma en la dirección general del levantamiento.
b) Inversos, el tomado en la dirección opuesta.
El rumbo directo e inverso tiene el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos, figura
3.4.
S
N
Rbo. directo
W
W
S
E
Rbo. inverso
E N
Figura 3.4 Rumbo
c) Magnéticos, rumbo astronómico o magnético según que el meridiano sea el astronómico o el
magnético. El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra y por el án-
gulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante.
Conversión ( rumbos magnéticos a rumbos astronómicos)
n.Declinació - magnético Rumbo oastronómic Rumbo cuadrante 4y 2
n.Declinació magnético Rumbo oastronómic Rumbo cuadrante er3y er1
3.5 CALCULO DE RUMBOS A PARTIR DE LOS
AZIMUTES Y VICEVERSA
Tabla 3.1 Conversión entre azimut y rumbo en cada uno de los cuatro cuadrantes.
I CUADRANTE II CUADRANTE
Rbo. = Az. Rbo. = 180° - Az.
Az. = Rbo. Az. = 180° - Rbo.
III CUADRANTE IV CUADRANTE
Rbo. = Az. - 180° Rbo. = 360° - Az.
Az. = 180° + Rbo. Az. = 360° - Rbo.
3.6 DECLINACIÓN MAGNÉTICA
Se llama declinación magnética al ángulo comprendido entre la meridiana astronómica y la
magnética.
Este ángulo puede ser por la izquierda o declinación Oeste (W), o por la derecha declinación
Este (E), (ver figura 3.5).
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y esta sujeta a variaciones seculares igual a
varios grados en un ciclo de aproximadamente 300 años, anuales es una oscilación periódica
diferente a la secular generalmente son menores que 1 minuto en el campo magnético de la tie-
rra, diarias o variación solar diurna y ocurre todos los días es pequeña y vale de 4 a 8 minutos e
irregulares debido a perturbaciones magnéticas probablemente se produzcan en las tormentas
magnéticas.
Declinación magnética
Meridiana magnéticaMeridiana astronómica
Figura 3.5 Declinación
Las líneas que unen distintos lugares de la tierra que tienen la misma declinación se llaman lí-
neas isogónicas y las líneas de declinación nula, se llaman líneas agónicas, es decir que allí los
meridianos verdaderos y magnéticos coinciden.
Si en una zona de la tierra se unen puntos que tienen igual inclinación magnética y corres-
ponden a los círculos de igual latitud se denominan planos de líneas isóclinas.
Puede obtenerse de tablas de posiciones geográficas que dan la declinación de diversos lugares
y poblaciones.
3.7 CUESTIONARIO
Ángulos y Direcciones
1. ¿Cual es la característica de los puntos que pertenecen a un mismo meridiano?
2. Describir en función de que medidas se da la dirección de un alineamiento.
3. Describir la diferencia entre meridiano Verdadero y el meridiano Magnético.
4. Representar gráficamente Rumbos y Azimuts en todos los cuadrantes.
5. Definir Declinación Magnética.
3.8 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Conversión de azimuts magnéticos a astronómicos
Determinar el azimut astronómico de la línea AB de la figura 1.
Az. Magnético AB = 93º28’
Declinación magnética: δ = + 9º43’
93° 28'
Azimut astronómico de la línea AB+ 9° 43'
A
B
Figura 1
Solución:
nDeclinació magnéticoAzimut oastronómic Azimut
Az. Astronómico AB = 93º28’ + 9º43’ = 103° 11’
Ejemplo 2 Conversión de rumbos magnéticos a astronómicos
El rumbo magnético de una línea es S 42º 40’ W, y la declinación magnética es 6º10’ E.
Determinar el rumbo astronómico de la línea AB en la figura 2.
Rbo. Magnético = S 42º40’ W
Declinación (δ) = 6º10’ E
S
W E
B
A
6° 10'
42° 40'
Figura 2
Solución: nDeclinació magnético Rumbo oastronómic Rumbo
Rbo. Astronómico. = S 42º40’ W + 6º10’ = S 48° 50’ W
Ejemplo 3 Conversión de azimuts a rumbos y viceversa
Determinar los rumbos dados los azimuts.
Solución:
Rbo. = S 55° 25' E
Az. = 124° 31'
N
Azimut 124° 35’; segundo cuadrante.
Rbo. = 180° - Az.
Rbo.= 179° 60’ – 124° 35’ = S 55° 25’ E
Azimut 283° 07’; cuarto cuadrante.
Rbo. = 360° - Az.
Rbo. = 359° 60’ – 283° 07’ = N 76° 53’ W
Azimut 72º 10’; primer cuadrante.
Rbo. = Az.
Rbo. = N 72º 10’ E
Azimut 198º 52’; tercer cuadrante.
Rbo. = Az. - 180°
Rbo. = 198º 52’ – 180° = S 18° 52’ W
N
Az. = 283° 07'
Rbo. = N 76° 53' E
N
Az.
= R
bo. =
N 7
2° 1
0' E
Rbo. = S 18° 53' W
N
Az. = 198° 52'
Determinar los azimuts dados los rumbos.
Solución:
Rumbo S 23º40’ W; tercer cuadrante.
Az. = 180° + Rbo.
Az.= 180° + 23° 40’ = 203° 40’
Rumbo N 56º21’ E; primer cuadrante.
Az. = Rbo.
Az. = N 56º21’ E
Rumbo S 9º 56’ E; segundo cuadrante.
Az. = 180° - Rbo.
Az. = 179° 60’ – 9° 56’ = 170° 04’
Rumbo N 81º 03’ W; cuarto cuadrante.
Az. = 360° - Rbo.
Az. = 359° 60’ – 81° 03’ = 278° 57’
Az. = 203° 40'
N
Rbo. = S 23° 40' W
Az.
= R
bo. =
56°
21'
N
Az. = 170° 04'
Rbo. = S 9 56' E
N
Rbo. = N 81° 03' W
Az. = 278° 57'
N
44
CCAAPPÍÍTTUULLOO
LEVANTAMIENTO CON BRÚJU-
LA
4.1 GENERALIDADES
El levantamiento de cualquier superficie de terreno puede efectuarse obteniendo las direcciones
(con relación a la meridiana magnética) de varias rectas bien escogidas, el método mas sencillo
para obtener estas direcciones es utilizar una brújula, de las que se consiguen varias clases
adaptadas a este propósito; las más usadas son: la prismática y la de agrimensor: brújula de
agrimensor (tipo Brunton, figura 4.1) de 70 mm de diámetro por 25 mm de altura, y que ge-
neralmente se trata de aparatos de mano; sin embargo pueden apoyarse en un trípode o en un
bastón.
pínula
magnético
bastón o vara
pínula
SS
EE WW
NN
meridiano
vis
ual
Figura 4.1 Brújula
4.1.1 DESCRIPCIÓN
Un círculo graduado de 0º a 360º o de 0º a 90º en el sentido del movimiento de las
agujas del reloj, en ambas direcciones del Norte y del Sur.
Nivel circular que se utiliza para mantener el círculo graduado en un plano horizontal,
cuando se van a tomar direcciones con la brújula.
Pínulas, ocular y objetivo, que son los elementos que sirven para dirigir la visual y es-
tán colocados en línea con los puntos cardinales Norte y Sur de la caja de la brújula.
Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote colocado en el centro
del círculo graduado. La punta sur lleva un contra peso para contrarrestar la atracción
magnética en el sentido vertical.
En su lugar hoy se utilizan brújulas ligeras de limbo fijo o de limbo móvil, lo que permite uti-
lizar este instrumento como escuadra, como pantómetra (goniómetro de escasa precisión y bajo
precio, son de dos tipos de pínulas o de anteojo) y como brújula, que se prestan perfectamente
para todo tipo de trabajos de agrimensura (parte de la topografía que se ocupa de la medida y
división de superficies de terrenos).
4.1.2 CONDICIONES QUE DEBE REUNIR UNA
BRÚJULA
La línea de los ceros Norte - Sur debe coincidir con el plano vertical de la visual defi-
nida por las pínulas, si no se cumple esto, las líneas cuyos rumbos se miden quedarán
desorientadas, aunque a veces se desorientan apropósito para eliminar la declinación.
La recta que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación, es de-
cir, la aguja debe ser una línea recta (ver figura 4.2), se revisa observando si la
diferencia de lecturas de las dos puntas es de 180º en alguna posición y en otras no. El
defecto es que el pivote de la aguja se encuentra desviado, se corrige enderezando el
pivote.
El eje de rotación debe de coincidir con el centro geométrico de la graduación.
3 Encarta 2005; que es medible.
visu
al
NE
S W
NE
S W
Figura 4.2 Aguja en línea recta
4.1.3 TIPOS DE BRÚJULAS
Se consideran dos tipos de brújulas: de limbo móvil y los de limbo fijo.
Brújulas de limbo móvil; en ellas como el elemento fijo se orienta por si solo, con indepen-
dencia de la posición del instrumento, no necesita movimiento general, simplificándose
notablemente su construcción.
Brújulas de limbo fijo; han de ser estos limbos muy poco pesados, para que con facilidad y ra-
pidez adquieran la posición de equilibrio, razón por la que casi todas las brújulas, de este tipo
son modelos de dimensiones muy reducidas, de escasa precisión, que pueden ser utilísimos en
reconocimientos y tanteos.
4.2 USOS DE LA BRÚJULA
4.2.1 LEVANTAMIENTO DE POLIGONALES
Se emplea en levantamientos secundarios, reconocimientos preliminares, para tomar radiacio-
nes en trabajos de configuraciones, para polígonos apoyados en otros levantamientos más
precisos.
4.2.1.1 LEVANTAMIENTO DE POLIGONA-
LES CON BRUJULA Y CINTA
La brújula se usa principalmente en el levantamiento de poligonales.
Un ejemplo de una poligonal cerrada (ver figura 4.3), las estaciones A, B, C,........, H, son vér-
tices de la poligonal, escogidos de manera que los extremos de cada lado sean claramente ínter-
visibles y que la longitud de cada lado sea fácilmente mensurable.
Sen
tido e
n q
ue
se r
ecorr
e el
polí
gono.
Sen
tido e
n q
ue
se r
ecorr
e el
polí
gono.
Sen
tido e
n q
ue
se r
ecorr
e el
polí
gono.
FFF
GGG
HHH
EEE
CCC DDD
AAA
BBB
Figura 4.3 Poligonal cerrada
4.2.1.2 PRECISIÓN Y LIMITACIONES DE
LOS LEVANTAMIENTOS CON BRÚJULA
Pueden usarse en levantamientos de lotes irregulares de poca extensión y para alineamientos de
poca longitud.
Los inconvenientes del trabajo con brújula son principalmente que aún en las condiciones más
desfavorables, los rumbos y azimuts magnéticos no pueden obtenerse sino con una aproxima-
ción de 5 o de 10 minutos; además las lecturas pueden estar afectadas por variaciones locales
producidas por influencias magnéticas desconocidas o que no se pueden evitar, provocando
errores fuertes.
Las variaciones magnéticas, son las principales fuentes de error. Se debe tener cuidado en
mantener alejados objetos de hierro o acero mientras se hacen las observaciones. También la
guja se perturba por cargas estáticas de electricidad.
Una fuente de error es la falta de habilidad del observador, para leer el punto que sobre el cír-
culo, señala la aguja. Es menor el error cuando la guja es más larga, o sea el círculo graduado
más grande.
También existen otros errores tales como: aguja lenta (perezosa) y una aguja doblada.
Precisión angular relativamente baja, se busca en ellas una precisión de 1: 500 (medidas de ida
y de vuelta).
Las ventajas principales de los levantamientos con brújula son la rapidez con que pueden ha-
cerse, sus limitadas exigencias en personal y quipo, y el hecho de que cada recta quede com
pletamente definida, ya que se conocen su dirección, longitud y posición relativa a las demás
rectas del levantamiento.
La brújula es un instrumento liviano y requiere poco tiempo para ponerlo en estación, el error
de dirección de una línea no afecta necesariamente a las demás líneas.
4.2.2 CÁLCULO DE RUMBOS
Se consideran positivos los rumbos en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
Sumar al rumbo anterior el ángulo medio. Si el resultado queda entre 0º y 90º se obtiene di-
rectamente el valor numérico del nuevo rumbo. Si es mayor, se debe restar según el caso 180º o
360º, hasta que quede entre 0º y 90º, si se resta 180º, su dirección permanente Norte o Sur igual
a la del rumbo anterior, si se resta 0º o 360º cambia su dirección Norte o Sur contraria a la del
rumbo anterior.
Se debe determinar el cuadrante, agregando Este u Oeste, de acuerdo al signo del valor numé-
rico del rumbo nuevo calculado.
Los datos observados en el levantamiento (rumbos o azimuts directo e inverso y longitud de los
lados) se anotan, en forma clara y ordenada, en el registro de campo, observando que los ángu-
los solo se leen con aproximación de ½º o de ¼º, estimado a ojo.
Para levantamientos muy rápidos, de poca precisión, pueden tomarse rumbos, saltando las es-
taciones pares, o las impares.
4.2.3 DIBUJO Y AJUSTES
El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los vértices, rumbos directos
e inversos de los lados que allí concurran, pues así, por diferencia de rumbos se calcula en cada
punto el valor del ángulo interior, correctamente, aunque haya alguna atracción local, es decir,
la aguja magnética de la brújula suele sufrir desviaciones o atracciones, debidas a objetos cer-
canos o también relativamente cercanos que ejercen una atracción magnética sobre ella. Esto se
debe a la existencia de alguna acumulación de metales en el terreno o por la existencia de rieles
de ferrocarril, torres de transmisión, de electricidad, algún carro tanque, la hebilla de un cintu-
rón, un llavero, etc.
4.2.3.1 PROCEDIMIENTO USUAL
Medir rumbos hacia atrás y hacia delante en cada vértice (rumbos observados), a partir de estos
se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos.
Se escoge un rumbo base, el del lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, a
partir de este, con los ángulos interiores calculados, se determinan los nuevos rumbos para to-
dos los lados, que serán los rumbos calculados.
El método general de levantamiento consiste en determinar una serie de puntos, estratégica-
mente colocados, que forma un sistema de línea de base o de apoyo y a las cuales se refiere, por
distancia y direcciones o por dos direcciones los puntos de detalle.
Estos levantamientos con brújula se han ido sustituyendo por levantamiento con teodolito, que
requiere un trabajo igual y dan mayor precisión; pero en algunos casos la brújula es un instru-
mento insustituible.
4.2.3.2 DIBUJO
Primero se escoge la escala apropiada, luego determinar donde trazar la línea Norte – Sur, (ge-
neralmente la parte superior del dibujo debe ser Norte) y el primer lado del polígono.
Una vez trazados el punto inicial y la dirección del meridiano, la dirección del primer lado del
polígono se traza por medio del transportador, colocando el centro de este en el punto inicial o
vértice 0 del polígono (ver figura 4.4).
Luego haciendo coincidir el cero de la graduación del transportador con la línea Norte – Sur
trazada, se marca en el papel el rumbo o azimut del lado 0 - 1 y con una escuadra se traza una
línea uniendo el origen o punto inicial con el punto 1’ marcado, prolongando la distancia nece-
saria 0 y 1 según la escala usada.
S
90°
N
90°
0°
0°
0
4'
3'
1'
2'
1
2
34
0'0'90°
090°
0°
0°2'
S
90°
N
90°
0°
0°
0
4'
3'
1'
2'
1
2
34
0'0'90°
090°
0°
0°2'
Figura 4.4 Dibujo de la poligonal
Volvemos a colocar el transportador en el punto 0 y marcamos el rumbo de la línea 1 – 2, ha-
cemos coincidir con uno de los lados de la escuadra los puntos 0 – 2 y con una segunda es-
cuadra contra otro de los lados de la primera hacemos coincidir con el vértice 1 y trazamos la
línea de longitud determinada por la escala y por la distancia entre los vértices 1 – 2.
Se sigue la misma operación hasta llegar al punto inicial 0.
4.3 ERRORES.
4.3.1 ERROR ANGULAR (EA)
Se determina comparando la suma de los ángulos interiores obtenidos en función de los rum-
bos (o azimuts) observados con la suma que da la condición geométrica siguiente.
2n180terioresinángulos
Donde:
n Número de lados del polígono.
El error angular (EA) no deberá exceder la tolerancia angular (TA).
4.3.2 TOLERANCIA ANGULAR (TA)
Que para este caso es:
na TA
Donde:
AT Tolerancia angular (minutos).
a Aproximación de la brújula, en minutos = 03 .
n Número de vértices de la poligonal.
Si: EA TA, debe repetirse el trabajo.
El error angular debe determinarse en el campo, por que en caso de resultar mayor que la tole-
rancia se puede repetir el levantamiento inmediatamente, evitando de esta forma regresar al
campo y perder tiempo.
4.3.3 PRECISIÓN O ERROR DE CIERRE (P)
La precisión o error de cierre en los levantamientos, se calcula dividiendo el error de cierre por
el perímetro del polígono.
L
EP L
4.3.4 CORRECCIÓN ANGULAR (C)
La corrección angular, se aplica a cada uno de los ángulos interiores, con signo contrario al
error, se obtiene dividiendo el error angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos
del polígono.
4.3.4.1 AJUSTE LINEAL
Corrección de la distancia 0 y 0’ o “error de cierre E”.
Considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados, se calculan las
correcciones.
Error por metro.
Lperímetro
(E) cierre de errore
Correcciones.
)L(ec
)LLLLL(ec
)LLLL(ec
)LLL(ec
)LL(ec
Lec
'0
54321'0
43214
3213
212
11
Figura 4.5 Compensación gráfica
Entonces se concluye que Ec '0 , por lo cual las correcciones se aplican en el punto 0’, con el
mismo valor absoluto que el error de cierre.
Trazando paralelas al error de cierre por los vértices en sentido contrario, sobre la paralela tra-
zada por el vértice 1 se toma una longitud igual c1, a partir del vértice 1 obteniéndose así el
punto 1’, se sigue así sucesivamente en todos los puntos. Uniendo los puntos 0, 1’, 2’, 3’, 4’ y 0
se encuentra la poligonal compensada (ver figura 4.5).Se compensa de manera análoga una po-
ligonal abierta, cuyos extremos son conocidos.
También se puede calcular la tolerancia lineal (TL), aplicando las fórmulas siguientes:
Tabla 4.1 Tolerancia lineal.
Terreno Tolerancia lineal
Plano
Accidentado
Donde:
LT Tolerancia lineal (metros).
L Perímetro de la poligonal, (metros).
poligonalcompensada
compensar
L4
poligonal sin
L3
L2L1
L5
4'
4
3
3'
2' 20'0
1' 1
1000
LTL
500
LTL
4.4 CUESTIONARIO
Levantamiento con brújula
1. ¿Para que tipo de levantamientos y respecto a que dirección es utilizada la brújula?
2. Describir una brújula de agrimensor.
3. Diferencia entre brújulas de limbo fijo y brújulas de limbo móvil.
4. Ventajas y desventajas en el uso de una brújula.
5. Condiciones que debe reunir una brújula.
4.5 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Poligonal con brújula y cinta
La siguiente poligonal se refiere a una poligonal cerrada levantada con brújula, ver registro
de campo.
Croquis:
Rbo. EA
Rbo. ED
Rbo. DE
Rbo. CBRbo. CD
Rbo. BC
Rbo. BA
Rbo. AE
Rbo. AB
A
E
Rbo. DC
D
B
C
Figura 2
i) Determinar los ángulos interiores, el error de cierre y los ángulos corregidos.
ii) Los rumbos nuevos.
Ángulos internos calculados:
Ángulo A:
A
Rbo. AB
Rbo. AE
00" 30' 120 00" 30' 75 00" 00' 45 AE Rbo. AB Rbo. A
Ángulo B:
B
Rbo. BA
Rbo. BC
00" 30' 97
)00" 30' 45 00" 00' 37 00" 00' (180 00'00"360
BA) Rbo.BC Rbo. (180 -360 B
Ángulo C:
C
Rbo. CD Rbo. CB
00" 30' 107 00" 30' 70 00" 00' 37 CD Rbo. CB Rbo. C
Ángulo D:
DRbo. DC
Rbo. DE
00" 00' 108
)00" 00' 2 00" 00' 70 "00'00180( 00" 00' 360
DE) Rbo. DC Rbo. 00" 00' (180 00" 00' 360 D
Ángulo E:
E
Rbo. ED
Rbo. EA
00" 00' 107
00" 00' 2 )00" 00' 75 00" 00' (180- 00" 00' 360
ED Rbo. EA) Rbo. 00" 00' (180 - 00" 00' 360 E
Ángulos internos corregidos:
1) Cálculo del error angular:
A = 120° 30’ 00”
B = 97° 30’ 00”
C = 107° 30’ 00”
D = 108° 00’ 00”
E = 107° 00’ 00”
"00 '30 540EDCBA
"00 '00 540 2) - (5 180 2) -(n 180 interiores Ángulos
Error angular:
30' E
00" 30' 00 00" 00' 540 - "00 '30 540E angular Error
a
a
Tolerancia Angular:
1 67' 5 30' T
na T
a
a
ok T E
aa
Corrección angular:
ángulos. de número el esn '65
'30
n
E C angular Corrección a
a
'6Ca
2) Compensación de ángulos:
La corrección angular se aplica con signo contrario al error.
A = 120° 30’ 00” – 6’ = 120° 24’ 00”
B = 97° 30’ 00” – 6’ = 97° 24’ 00”
C = 107° 30’ 00” – 6’ = 107° 24’ 00”
D = 108° 00’ 00” – 6’ = 107° 54’ 00”
E = 107° 00’ 00” – 6’ = 106° 54’ 00”
"00 '00 540EDCBA
3) Cálculo de rumbos corregidos:
Con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base RBC = N 37° 00’ 00” W.
Rumbo BC (RBC) = N 37° 00’ 00” W
Rumbo CD (RCD) = 107° 24’ 00” - 37° 00’ 00”= S 70° 24’ 00” W
Rumbo DE (RDE) =180° 00’ 00” – (70° 24’ 00” + 107° 54’ 00”) = S 1° 42’ 00” E
Rumbo EA (REA) =(180° 00’ 002 + 1° 42’ 00”) – 106° 54’ 00” = S 74° 48’ 00” E
Rumbo AB (RAB) = 120° 24’ 00” = N 45° 36’ 00” E
4) Cálculo de tolerancia lineal:
plano terrenopara 1000
LTL
m 45.186longitudL
m 0.18645 1000
45.18TL
55
CCAAPPÍÍTTUULLOO
ALTIMETRÍA O NIVELACIÓN
5.1 GENERALIDADES
Es la parte del levantamiento que consiste en determinar la cota de los puntos necesarios o las
curvas de nivel, estudiando métodos que sirven para definir la posición relativa o absoluta de
los puntos sobre la superficie terrestre, proyectados sobre el plano vertical.
5.2 DEFINICIÓN DE ALTIMETRÍA
Tiene por objeto determinar la altura de puntos característicos sobre una superficie de nivel to-
mando una superficie de comparación, que puede ser cualquiera, elegida arbitrariamente, cuya
única condición es que debe estar mas baja que el punto de menor altura de todos los que hayan
de levantarse, el más común de estos es el nivel del mar.
Existen también las alturas que toman como superficie de comparación al geoide y elipsoide.
Se define la superficie de la tierra como la superficie del geoide o superficie de nivel, que coin-
cide con la superficie del agua en reposo de los océanos, idealmente extendido bajo los
continentes, de modo que la dirección de las líneas verticales crucen perpendicularmente esta
superficie en todos sus puntos.
En realidad la superficie del geoide es indeterminada, ya que depende de la gravedad y esta a su
vez de la distribución de las masas, de la uniformidad de las mismas y de la deformación de la
superficie terrestre. Se ha demostrado que la tierra no solo se achata en los polos, sino también
en el Ecuador aunque en mucha menor cantidad. Debido a la complejidad del problema, se ha
reemplazado la superficie del geoide por la superficie de un elipsoide que se ajusta lo suficiente
a la forma real de la tierra. Con esta aproximación podemos asumir que una superficie de nivel
es perpendicular en cualquier punto a la vertical del lugar o dirección de la plomada, tal y como
se muestra en la figura 5.1.
Q P
Z
N
GEOIDE
ELIPSOIDE
Q
P
EP' Q'NQ'
E
NP' P'
EQ'
Figura 5.1 Altura respecto al elipsoide y geoide
Es de conveniencia utilizar una misma superficie de referencia a la que se le asigna la cota cero
para poder relacionar entre si trabajos diferentes.
Las alturas de los puntos sobre los planos de comparación se denominan también elevaciones o
altura, cotas a veces niveles.
5.2.1 SUPERFICIE DE NIVEL
Es en la que si se mueve un cuerpo sobre ella, en todos sus puntos es normal a la dirección de
la gravedad, por lo cual el desnivel entre dos puntos será la diferencia de alturas entre sus su-
perficies de nivel, figura 5.2.
B
A
desnivel
Figura 5.2 Superficies de nivel de A y B
5.2.2 BANCOS DE NIVEL
Para obtener las cotas de los terrenos se escogen puntos de referencia y de control, estos son fi-
jos e invariables estos puntos son los que se llaman Bancos de Nivel, cuya cota se determina
con respecto a otros puntos conocidos, o se les asigna una.
Los bancos de nivel pueden ser naturales, basta con que sea fijo y que tenga un saliente sobre el
cual apoyar el estadal, generalmente se construyen de concreto, como pequeñas mojoneras.
5.2.2.1 MOJONERA
Son hoyos en el terreno de forma cilíndrica en el cual se coloca concreto y una varilla ahogada
en el centro, en la parte superior tiene una saliente de un centímetro y en la parte inferior un pe-
queño gancho para que se fije (ver figura 5.3), la saliente constituye un punto único definido,
esto es muy importante en trabajos de nivelación directa donde la aproximación se lleva hasta
milímetros.
Varilla o tubo
BM - 26
Figura 5.3 Mojonera corte transversal
5.3 MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN
DE COTAS DE PUNTOS DEL TERRENO
La altimetría utiliza para el cálculo de desniveles métodos como ser; por visuales horizontales,
que constituyen la nivelación geométrica o por alturas, con visuales inclinadas denominada ni-
velación trigonométrica o por pendientes y por nivelación barométrica, basado en las oscila-
ciones de un barómetro siendo un método muy impreciso.
5.3.1 MÉTODO DIRECTO O TOPOGRÁFICO
Es el más exacto más simple y el más utilizado, se ejecuta con los aparatos llamados niveles
cuya función es conseguir que el aparato esté en un plano horizontal, tales como: niveles de al-
bañil, niveles fijos o topográficos y niveles de mano.
Niveles de albañil
El de regla, sus aristas principales son paralelas a la directriz del frasco de nivel.
El de plomada, es una pesa metálica terminada en punta y suspendida de una cuerda
muy fina, la curda sigue la dirección de la gravedad terrestre y sirve para determinar la vertical
que pasa por uno de sus puntos.
El de manguera, que se llena de agua y por vasos comunicantes lleva una marca fija a
otro lugar, a la misma altura.
Niveles fijos o topográficos
Tipo Americano (o tipo Y).
Tipo Ingles (o tipo “Dumpy”).
El nivel topográfico es un instrumento que no lee ángulos horizontales, no obstante su función
es generar un plano horizontal. Consta de las mismas partes que un teodolito.
a) Nivelación topográfica de línea
Antes de leer la mira el nivel debe estar en línea para definir el horizonte.
a b Figura 5.4 a) Nivel con burbuja sin calar b) burbuja calada
Con los tornillos se sube o se baja la burbuja de nivel (ver figura 5.4), esta no se ve, una ves ni-
velada la burbuja entonces recién leemos la mira.
b) Nivelación topográfica de plano
Llamados automáticos, este adelanto se logró cuando se introdujo el compensador automático,
su funcionamiento esta basado en un péndulo que por gravedad, en estado estable éste siempre
estará en forma vertical, y con la ayuda de un prisma nos dará la referencia horizontal que es-
tamos buscando.
Este nivel tiene una burbuja circular que puede no estar completamente centrada, pero el com-
pensador automático hace justamente eso, compensar.
c) Nivelación topográfica de niveles láser
En si es un tubo que genera láser con el que se puede trabajar de día o de noche, figura 5.5.
laser
sección receptora
emisora
Prisma
sección
Figura 5.5 Nivel de láser
Niveles de mano
Tipo Locke, (ver figura 5.6) para nivelación de poca precisión. Consta de un tubo de longitud
de 13 a 15 cm. que sirve de anteojo para vista y sobre el cual va montado un nivel de burbuja
para hacer la visual horizontal y por tanto es cuando se debe hacer la lectura sobre la mira.
Figura 5.6 Nivel Locke
Tipo Abney, (ver figura 5.7), consta de las mismas partes de un Locke, pero posee además parte
de un círculo vertical graduado, con este nivel pueden efectuarse las siguientes operaciones:
1) Lanzar visuales horizontales.
2) Averiguar la pendiente o ángulo vertical de una línea.
3) Lanzar visuales inclinadas con una pendiente o ángulo vertical dados.
90
80
70
60
50
40
30
2010
010
20
30
40
50
60
70
80
90
Figura 5.7 Nivel Abney
Este es un método de gran precisión (extensiones pequeñas).
5.3.2 MÉTODO INDIRECTO
Son las que se valen de la medición de otros elementos auxiliares para obtener los desniveles.
5.3.2.1 NIVELACIÓN BAROMÉTRICA
Se realiza utilizando aparatos llamados barómetros que indican la diferencia de presión atmos-
férica (cambia según las alturas de los lugares), con lo que se puede calcular la diferencia de
altura. Al nivel del mar la presión vale 76.2 cm. de columna de mercurio, a 0ºC y 45º de latitud,
por cada 100 m de altura la presión varia aproximadamente de 0.7 a 1 cm. de columna de mer-
curio. Se emplea en los reconocimientos y trabajos de exploración cuando las diferencias de
elevación son grandes, como en las zonas montañosas. La nivelación barométrica se aplica para
reconocimientos generales donde no se requiere mucha aproximación.
Est. fija
Est. móvil
Puntos
11
12
13
10
1
2
3
45
9
86
7
X
Figura 5.8 Estaciones fijas y móviles
En zonas de condiciones atmosféricas uniformes, se emplea el “método de 2 estaciones” (ver
figura 5.8), una estación fija y una móvil que recorre los puntos que se desea obtener.
Se emplean en la estación fija los siguientes instrumentos:
5.3.2.1.1 Barómetro de mercurio
Tienen una bolsa de gamuza para el mercurio figura 5.9, su aproximación varía de 1 a 2 m, en
desniveles hasta de 500 m y de 2 a 4 m, en desniveles entre 500 m y 1000 m.
760
750
740
710
720
730
Figura 5.9 Barómetro de Mercurio
Las lecturas del barómetro deben ser corregidas por: capilaridad, temperatura, altura de la esta-
ción y por latitud diferente de 45°.
5.3.2.1.1.1 Por capilaridad
Mediante tablas, en función del diámetro interior del tubo.
Tabla 5.1 Valores de corrección por capilaridad, según el diámetro interior del tubo.
Diámetro Corrección Diámetro Corrección Diámetro Corrección
2,0 mm 4,43 mm 7 mm 0,91 mm 14 mm 0,16 mm
2,5 3,57 8 0,71 15 0,12
3 2,92 9 0,56 16 0,1
3,5 2,44 10 0,44 17 0,08
4 2,07 11 0,35 18 0,06
5 1,53 12 0,26 19 0,04
6 1,17 13 0,2 20 0,03
5.3.2.1.1.2 Por temperatura
Como el mercurio se dilata cuando aumenta la temperatura, debe reducirse a 0° las indicaciones
barométricas hechas a otras temperaturas.
)t 0001818.01('LL
Donde:
0 a redudida la sea o corregida, LecturaL
C ta Lectura'L
5.3.2.1.1.3 Por altura del lugar
La lectura de columna de mercurio al nivel del mar se halla por.
)H 0000002.01('LL
Donde:
estación. laen mercurio de columna la de Lectura'L
estación. la de aAlturH
5.3.2.1.1.4 Por latitud diferente de 45º
)2cos0026.01('LL
Donde:
.corregida LecturaL
.latitud de a Lectura'L
5.3.2.1.1.5 Medición de alturas
A medida que se asciende va disminuyendo la altura de la masa de aire que gravita sobre la
capa atmosférica en que se halla el observador, es decir que a diez metros de elevación corres-
ponde aproximadamente una disminución de un milímetro en la columna barométrica.
5.3.2.1.1.6 Formula barométrica para obte-
ner desniveles
) t0.004(1 b) log- a (log 18400 [m] By A entre alturas de Diferencia m
Donde:
Cen ,
2
ttt
Hg. de mm.en B,y A en asbarométric Lecturas b,a
bam
5.3.2.1.2 Termobarómetro
Está basado en que la temperatura de ebullición del agua depende de la presión atmosférica, es-
te debe permitir leer hasta 1/10 de grado, la lectura debe tomarse después del punto de
ebullición, cuando deja de oscilar el mercurio del termómetro.
Se emplean en la estación móvil los siguientes instrumentos:
5.3.2.1.3 Aneroide
Llamado altímetro, tienen errores pequeños por ser de metales diferentes que compensan varia-
ciones de temperatura, para mayor seguridad en una lectura debe esperarse unos 30 minutos
para que el aparato se adapte a las condiciones locales.
caja metálica con vacío interior
tapa de lamina delgada y ondulada
aro graduado
Figura 5.10 Aneroide de Vidie
Es un instrumento que mide la presión atmosférica no por el peso de una columna de mercurio
sino por la elasticidad de una caja metálica en cuyo interior había practicado el vació (ver figu-
ra 5.10), la aproximación en los desniveles obtenidos varia de 1.5 m a 3 m.
5.3.2.2 NIVELACIÓN CON GPS
Son receptores que nos dan la altura elipsoidal, la diferencia entre la altura y altura elipsoidal es
la separación geoidal (gran precisión al centímetro).
5.3.2.3 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Son nivelaciones con visuales inclinadas, denominadas también nivelación por pendientes.;
pueden ser de ejes cortos, en la que no se toma en cuenta el error de esfericidad y refracción1.
Método de nivelación que utiliza ángulos verticales y distancias para la determinación del des-
nivel entre dos puntos. El ángulo vertical se puede medir con teodolito o con clisímetro
dependiendo de la precisión deseada. Se consideran dos casos:
1) Distancias cortas (menores 1.500 m), se obtiene directamente el desnivel conocidos el ángu-
lo vertical y la distancia, si no se conoce la distancia o es difícil medirla, pueden medirse dos
ángulos verticales, en dos puntos que queden al mismo nivel, también debe medirse la distancia
entre ellos, de esta forma obtenemos el desnivel (ver figura 5.11).
desnivel
B
distancia horizontal
dist.
A C
Figura 5.11 Nivelación trigonométrica, distancias cortas
2) Distancias largas (mayores de 1.500 m), los ángulos verticales se miden con una aproxi-
mación de 1’, en 2.000 m la curvatura produce una variación de aproximadamente ½’, figura
5.12. Para esto se considera dos puntos A y B (a una separación exagerada en el gráfico), se
mide los ángulos verticales en los dos puntos, puesto que son diferentes por la curvatura de la
1 Ver ejemplos resueltos.
tierra, una será de elevación y el otro de depresión, este procedimiento se llama “observaciones
simultáneas”, que se emplea principalmente en triangulaciones.
hA
C
A1
H
H
hB
B1C
B
A
Plano horizontal de B
Superficie de nivel de A
Sup. de nivel de B
Plano horizontal de A
Visual
Figura 5.12 Nivelación trigonométrica, por observaciones simultáneas
Estación en (A):
)1 .....(..........ctanABH
tanABh
refraccióny curvaturapor corrección c ; chH
1
1B
B
Estación en (B):
)2 .....(..........ctanABH
tanABh
BAAB
tanBAh
chH
1
1A
11
1a
A
Sumando (1) + (2):
)tan(tanABH2 1
)2
tantan( By A puntos los entre istanciadH
5.4 TIPOS DE NIVELACIÓN
5.4.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFEREN-
CIAL
Método que obtiene el desnivel por medio de visuales horizontales lanzadas desde el nivel a
miras colocadas en dichos puntos, recibe también el nombre de nivelación por alturas.
Es el método más preciso para determinar alturas, en terreno plano es rápido y en terreno acci-
dentado lento y es el que se emplea con más frecuencia.
Cuando los puntos cuya cota se desea averiguar, no son visibles, o están a gran distancia, se re-
curre a realizar sucesivos cambios de la posición del instrumental mediante puntos llamados de
cambio, sobre los que se hace una lectura de adelante (previa al cambio) y una lectura de atrás
(luego del cambio) ya que su cota es conocida. Así se van ligando las mediciones para que
compatibilicen con un mismo sistema de referencia.
5.4.1.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE
Desde una misma estación se determinan los desniveles y las cotas de uno o varios puntos ya
sea alineado o disperso, cuyo objetivo es determinar la diferencia de elevación entre dos o más
puntos del terreno sin tomar en cuenta distancias.
Este caso se presenta cuando los puntos no están separados por una distancia mayor a los 200
m y el desnivel no es mayor que la longitud del estadal.
Se denomina nivelación simple porque los puntos cuyo desnivel de pretende hallar están pró-
ximos y se determina aquél directamente. Puede hacerse por medio de los siguientes métodos:
5.4.1.1.1 Método del punto medio
Consiste en estacionar un nivel a la mitad de la distancia que separa los dos puntos (no necesa-
riamente dentro de la misma alineación), cuyo desnivel pretendemos hallar (ver figura 5.13).
La diferencia de las lecturas de mira nos dará siempre el desnivel y se cometerán los mismos
errores pues el ángulo en las dos direcciones, por equidistancia de una y otra mira será el
mismo. La equidistancia del nivel a la mira se puede medir incluso a pasos. Siendo esta más
precisa a distancias cortas no superiores a los 80 m.
dd B
A
Figura 5.13 Nivelación geométrica simple, método del punto medio
El desnivel se obtiene por la diferencia de las lecturas del estadal, figura 5.14.
adelante lecturaatrás lecturah
Donde:
.oinstrument del Alturahi
B.y A entre Desnivel h
.B punto el en LecturaL
.A punto el en LecturaL
b
a
cota A
plano de comparación
200m aprox.
B
A
h
LbLa
Figura 5.14 Diferencia de lecturas del estadal
a) Altura del instrumento.
Elevación de la línea de colimación respecto al plano de comparación.
b) Lectura atrás.
Estadal colocado sobre un punto de cota conocida, se indica con signo positivo (+).
c) Lectura adelante.
Lectura que se hace sobre un punto de cambio antes de efectuar el cambio de posición instru-
mental, estadal sobre un punto de cota desconocida, se indica con signo negativo (-), si la
diferencia resulta positiva indica que el punto de adelante está más alto que el punto de atrás y
viceversa.
Si se conoce la elevación o cota del punto A y se desea conocer la correspondiente al punto B:
By A entre desnivel A cota B acot
5.4.1.1.2 Método del punto extremo
En este tipo de nivelación es necesario medir la altura del instrumento en el punto de estación
A y tomar lectura a la mira colocada en el punto B, figura 5.15.
t
BA
Figura 5.15 Nivelación geométrica simple, método del punto extremo
Este exige niveles corregidos, no puede operarse a distancias superiores de 100 m.
Si de un punto se hallan los desnivele de una serie de puntos situados alrededor de este, recibe
el nombre de nivelación radial.
5.4.1.1.2.1 Método de estaciones recíprocas
Exige hacer dos estaciones, primero en A para hallar el desnivel de A a B por el método de
punto extremo y después en B, para hallarlo en sentido opuesto.
5.4.1.1.2.2 Método de estaciones equidis-
tantes
Se estaciona en dos puntos E y E’ (ver figura 5.16); tal que las distancias de E a A y B sean
iguales a las de E’ a B y A.
E'E BA
Figura 5.16 Nivelación geométrica simple, método de estaciones equidistantes
Cuando se pueden determinar las cotas de dos o más puntos del terreno, referidos a una misma
superficie de comparación por medio de una sola estación instrumental y si los puntos nivela-
dos están en una alineación, la nivelación simple se llama longitudinal, en caso contrario
radial.
5.4.1.2 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA COM-
PUESTA
Nivelación compuesta o en línea es aquella en la que se requiere, como condición para efectuar
el trabajo, la “parcelación” de la distancia, ya sea por que esta es muy grande y escapa a los lí-
mites permisibles o bien existen obstáculos que impiden nivelar dos o más puntos con una sola
estación instrumental.
En otras palabras son una serie de nivelaciones simples o enlazadas y/o relacionados entre si,
tomando puntos auxiliares que reciben el nombre de puntos de liga considerados como bancos
de nivel (ver figura 5.17).
Consiste en repetir la operación de la nivelación simple (el método más usado es el del punto
medio) tantas veces como sea necesario, estableciendo puntos intermedios (puntos liga) donde
se hacen dos lecturas una de ida y otra de vuelta.
La suma de los desniveles parciales deberá ser igual a cero, rara vez ocurrirá esto y la diferen-
cia, denominada error de cierre, debe ser inferior a la tolerancia que se establezca.
La nivelación compuesta requiere una serie de cambios de estación del instrumento en la ruta
general, y para cada cambio una lectura atrás en el estadal de punto de cota conocida y una lec-
tura adelante en el punto de elevación desconocida.
5.4.1.2.1 Modo de operar
El estadal se coloca sobre el BM1, instalamos el instrumento sobre un punto A que esta en la
ruta pero no necesariamente en la línea directa que una con el BM2. El nivelador hace la lectura
atrás en el estadal que esta sobre el BM1, luego se dirige hacia delante y marca un punto de liga
(PL1) sobre el cual se coloca el estadal para que el nivelador haga la lectura adelante, luego se
instala el instrumento en otro punto B, y se toma la lectura atrás en el estadal colocado sobre
PL1.
Después el estaladero establece un segundo punto de liga (PL2) y el nivelador hace la lectura
adelante en el estadal colocado sobre PL2 y así se va repitiendo el procedimiento, hasta llegar al
BM2, (ver figura 5.17).
Si se suman la lectura atrás y la elevación del punto en que se tomó se obtiene la altura del ins-
trumento, si se resta a la altura del instrumento la lectura adelante se tiene la elevación del
punto sobre el cual se tomó la lectura.
Entonces la diferencia entre las lecturas atrás en un punto conocido y la lectura adelante es
igual al desnivel entre los dos puntos.
La suma de todas las lecturas atrás y la suma de todas las lecturas adelante, da el desnivel entre
los bancos de nivel requeridos.
5.4.1.2.2 Comprobación del cálculo de las alturas
h)( Lecturas)( Lecturas
h(salida) BM Elev.(llegada) BM Elev. 12
-+
-+
-+nivel
estadal
C
B
A
BM2
PL2
PL1
BM1
plano de comparación
Figura 5.17 Nivelación geométrica compuesta
5.4.2 NIVELACIÓN DE PERFIL
Estas nivelaciones reciben el nombre de nivelación de perfiles longitudinales y se toman a lo
largo del eje del proyecto, los puntos de cambio y las estaciones deben ubicarse de manera de
abarcar la mayor cantidad posible de puntos intermedios.
El procedimiento es semejante al de la nivelación geométrica.
5.5 MÉTODO DE CONTROL DE NIVELACIÓN
Para determinar el error de cierre de una nivelación es necesario realizar una nivelación cerrada
(de ida y vuelta) o una nivelación de enlace con puntos de control (BM) al inicio y al final de la
nivelación.
5.5.1 NIVELACIÓN ABIERTA
El desnivel entre A y B (ver figura 5.18), es:
BA LADLATh
Donde:
B.y A entre Desnivel h
.adelante LecturaLAD
.atrás LecturaLAT
B
A
B
DESNIVEL
Mira
LADBLATA
A
Figura 5.18 Nivelación abierta
Una forma de controlar nivelaciones abiertas, es cambiando el horizonte del instrumento (en
otras palabras mover el nivel un poco a cualquiera de los lados, de manera que los desniveles
anterior y nuevo sean iguales), figura 5.19.
Tenemos A'A LATLAT y B
'B LADLAD entonces tiene que satisfacer lo más próximo.
'hh
LADLAT'h
LADLATh
BA
BA
LATB
LADB'LATA'
LATAhi1
hi2
Mira
B
A
Mira
Figura 5.19 Control de Nivelación abierta, moviendo el nivel a uno de los lados
5.5.2 NIVELACIÓN CERRADA O DE CIRCUITO
Consiste en ir midiendo la diferencia de altura entre los puntos del recorrido y calculando las
cotas de éstos, para finalmente cerrar la nivelación realizando una lectura sobre el mismo punto
en que se comenzó ésta o bien sobre otro punto del cual ya se conozca la cota (ver figura 5.20).
Es decir la cota del punto inicial debe ser igual a la cota del punto final, por lo tanto la suma
de los desniveles debe ser igual a cero.
BM1BM2
Figura 5.20 Nivelación cerrada o de circuito
Estas nivelaciones se subdividen en:
a) Nivelación cerrada
Se cierra en el mismo banco de nivel BM, figura 5.21.
BM
Figura 5.21 Nivelación cerrada en un mismo banco de nivel
conocido. nivel de Banco BM
ii
AB
iiAB
LADLAT0
hh
LADLAThh
b) Nivelación bifurcada
Donde tenemos dos bancos de nivel distintos, o sea no cierra, (ver figura 5.22).
BM A
BM B
Figura 5.22 Nivelación bifurcada
Donde:
BA BMBM , la condición teórica es:
iiAB LADLAThh
Tenemos que tener en cuenta que habrá errores de llegada al BBM igual que en una poligonal
bifurcada habrá que corregir.
5.5.2.1 ERRORES MÁXI-
MOS ADMISIBLES. En [km.]
5.6 APLICACIONES DE LA NIVELACIÓN GEO-
MÉTRICA
La aplicación de nivelación geométrica, son los llamados perfiles o líneas determinadas por la
intersección del terreno con planos verticales, control de pendientes y volúmenes.
5.6.1 CÁLCULO DE VOLÚMENES
mm30
mm10
mm5
5.6.1.1 POR SECCIONES TRANSVERSA-
LES
Nivelación siguiendo una línea fija, marcada con equidistancias, en cada punto pasamos planos
perpendiculares de tal forma que se secciona y se determina las elevaciones laterales, formando
una serie de prismas cuya altura se conoce y el área de la base es posible conocer en cada corte
(ver figura 5.23) y con esto calcular el volumen de cada sección.
Corte transversal 2
terreno
planta
Corte transversal 1
perfil transversal
perfil longitudinal
Figura 5.23 Sección transversal
5.6.1.2 POR MEDIO DE PRISMAS
En una figura rectangular en la que se tiene cuatro vértices, es decir que corresponda a un pris-
ma truncado en el que h1, h2, h3, h4, son la elevación o profundidad que se requiere y la base es
el área horizontal (ver anexos).
5.6.2 CONTROL DE PENDIENTES
En topografía, se usa el término pendiente para indicar la proporción en que sube o baja una lí-
nea. Generalmente se expresa en tanto por ciento; por ejemplo, la pendiente de 4% es la que
sube o baja 4 m en una distancia horizontal de 100 m.
5.7 LEVANTAMIENTO DE PERFILES
El conocimiento del terreno y de su forma es la base y el principal dato para iniciar un trabajo,
uno puede lograr conocer la forma del terreno, sus depresiones y elevaciones, por medio de la
elaboración de los perfiles del terreno.
Así pues los objetivos son, el de obtener todos los puntos del lugar, para luego conseguir grá-
ficos longitudinales como transversales.
Las abscisas se dibujan a la misma escala del plano y las ordenadas a escala diez veces mayor,
los perfiles son proyecciones de puntos sobre la superficie terrestre, sobre planos verticales, y
se representan en un sistema de ejes coordenados (ver figura 5.24).
0+
200
0+
180
0+
160
0+
140
0+
120
0+
100
0+
080
0+
060
A
A C D
8
BM2
7
PL3
65
PL2
43
B
PL1
21
BM1
BM2
8D7
PL3
6C5
B
PL2
43PL1
2
1
BM1
Figura 5.24 Perfil en planta y en elevación
5.7.1 CONSTRUCCIÓN DE UN PERFIL
Una vez calculadas las cotas de todos los puntos y conocidas sus distancias horizontales de
punto a punto se dibuja el perfil.
En el perfil representamos dos clases de distancias, horizontales de punto a punto y las verti-
cales contadas desde el plano de comparación de las cotas dadas.
5.7.1.1 PERFILES TRANSVERSALES
Son líneas niveladas o perfiles cortos perpendiculares a la línea central del proyecto, suminis-
tran la información para estimar los movimientos de tierra utilizándose para cubicación de
terraplenes y desmontes en la redacción del presupuesto en ellos se toma la pendiente del te-
rreno a derecha e izquierda y puntos de variación de esta, señalando en este el punto
correspondiente a la rasante o subrasante según la cota señalada para el en el perfil longitudi-
nal, son perpendiculares a los longitudinales. A partir de dicho punto se dibuja la sección
transversal, hasta hallar su intersección con el terreno. En cada uno de los perfiles transversales
debe calcularse la superficie de los terraplenes o desmontes para ser cubicados.
Para determinar los perfiles transversales se secciona la línea o eje del terreno en estaciones los
puntos a distancias iguales, se eligen dos puntos perpendiculares, uno a cada lado.
5.7.1.2 PERFILES LONGITUDINALES
Es todo el largo del eje de un proyecto. Suministran la información del comportamiento del te-
rreno a todo lo largo de una obra. Consignan todos los datos para definir la rasante.
5.8 APLICACIÓN DE PERFILES
5.8.1 CUBICACIÓN DE TERRAPLENES
Presupuesto de ejecución de las obras de tierra, obtenidas multiplicando el número de metros
cúbicos de terraplén o desmonte (obteniéndose estos por medio de la curva de masas expuesta
en los anexos) por el respectivo precio unitario.
5.9 ERRORES EN NIVELACIÓN
5.9.1 ERRORES Y COMPENSACIÓN
Para poder compensar algún error es necesario realizar una nivelación cerrada.
La comprobación global de la nivelación cerrada se obtiene verificando si la suma de todas las
lecturas de atrás es igual a la suma de las lecturas de adelante, esta diferencia nos da el error de
cierre (e).
atrás) (lectura e -adelante) (lectura e E
Las principales fuentes de error en una nivelación, son las incorrecciones en los instrumentos,
la verticalidad de la mira, dilataciones diferenciales en el nivel y mira por factores naturales,
vibraciones producidas por el viento en los niveles y miras, equivocaciones humanas.
Estos errores pueden ser comprobados por procedimientos tales como:
Repitiendo la nivelación en sentido contrario, se sigue la misma ruta u otra distinta, tiene la
ventaja de eliminar errores de acumulación.
Por doble punto de liga, por medio de dos nivelaciones en el mismo sentido con dos series de
puntos de liga que tengan la misma altura de instrumento pero diferentes lecturas de estadal.
Por doble altura de aparato, nivelaciones en igual dirección con los mismos puntos de liga pe-
ro diferentes alturas de instrumento.
Con la comprobación se obtienen dos valores para el desnivel total el valor probable es el pro-
medio de los dos resultados o media aritmética.
5.9.2 TOLERANCIAS
La tolerancia de cierre se expresa mediante la siguiente ecuación:
pe T
Tabla 5.2 Tolerancias en nivelación.
Nivelaciones Tolerancias, en metros
De ida y regreso
Por doble punto de liga
Por doble altura de
aparato
Entre dos puntos de co-
tas conocidas, para
nivelar bancos inter-
medios
La tolerancia depende de la importancia del trabajo de la precisión de los instrumentos a utili-
zar y de las normativas existentes.
Las nivelaciones se pueden clasificar en nivelaciones de primer, segundo y tercer orden siendo
los de tercer orden los de uso común en trabajos de ingeniería.
5.9.3 COMPENSACIÓN DE NIVELACIONES
Si al comparar el error de cierre con la tolerancia resulta que este es mayor que la tolerancia, se
hace necesario repetir la nivelación. En caso de verificarse que el error es menor que la toleran-
cia se procede a la compensación de la misma siguiendo uno de los métodos de compensación
descritos a continuación.
5.9.3.1 COMPENSACIÓN PROPORCIONAL
A LA DISTANCIA NIVELADA
p01.0 T
[km] dirección, otra
y unaen recorridas distancias las de Suma P
p02.0 T
p02.0 T
[km] recorrida, distancia la de Doble P
[km] otro, al bancoun de recorrida Distancia P
p015.0 T
[km] recorrida, distancia la de Doble P
Vemos que la tolerancia está en función de la distancia nivelada, razón por la cual este método
de ajuste de nivelaciones distribuye el error en forma proporcional a las distancias.
5.9.3.2 COMPENSACIÓN SOBRE LOS
PUNTOS DE CAMBIO
Este método supone que el error se comete sobre los puntos de cambio y que es independiente
de la distancia nivelada, por lo que la corrección será:
N
E - C
Donde:
cambio de puntos de númeroN
5.10 CUESTIONARIO
Altimetría
1. ¿Cual es la condición que debe cumplir una superficie de comparación?
2. Describir una superficie de nivel.
3. Nombrar los métodos que utiliza la altimetría en el cálculo de desniveles.
4. ¿Qué método se vale de otros auxiliares para la determinación de desniveles y descri-
birlos?
5. Definir nivelación Geométrica Simple y representar gráficamente los métodos utiliza-
dos en ella.
6. Definir nivelación geométrica compuesta.
7. Desarrollar los pasos a seguir en campo de una nivelación compuesta.
8. Describir brevemente los métodos para determinar el error de cierre de una nivelación.
9. Mencionar las aplicaciones de una nivelación geométrica.
10. Desarrollar perfiles transversales y perfiles longitudinales.
5.11 EJERCICIOS
Ejemplo 1 Levantamiento con cinta y eclímetro
Se ha levantado con huincha y eclímetro la sección transversal A B C D ver el registro de
campo.
i) Calcular la distancia horizontal.
ii) Desniveles.
iii) Pendientes.
Distancia inclinada promedio en [m]:
A B = 23.42 m
B A = 23.40 m
46.82 m
AB = 46.82 / 2 = 23.41 m
B C = 26.50 m
C B = 26.55 m
53.05 m
BC = 53.05 / 2 = 26.53 m
C D = 30.50 m
D C = 30.52 m
61.02 m
AB = 61.02 / 2 = 30.51 m
Distancia horizontal en [m]:
vertical)cos(ángulo [m] inclinada tanciaDisDHAB
m 23.38 )06" 00' cos(-3 23.41DHAB
Desnivel en [m]:
vertical)sen(ángulo [m] inclinada tanciaDisDVAB
m 1.23- )06" 00' sen(-3 23.41DVAB
Pendiente en [%]:
100DH
DVg
AB
AB
%27.5 10038.23
23.1g
Distancia horizontal en [m]:
vertical)cos(ángulo [m] inclinada tanciaDisDHBC
m 26.53 )01" 00' cos(0 26.53DHBC
Desnivel en [m]:
vertical)sen(ángulo [m] inclinada tanciaDisDVBC
m 0.01 )01" 00' sen(0 26.53DVBC
Pendiente en [%]:
100DH
DVg
BC
BC
% 04.010053.26
01.0g
Distancia horizontal en [m]:
vertical)cos(ángulo [m] inclinada tanciaDisDHCD
m 30.47 )05" 00' cos(3 51.03DHCD
Desnivel en [m]:
vertical)sen(ángulo [m] inclinada tanciaDisDVCD
m 1.6 )05" 00' sen(3 51.03DVCD
Pendiente en [%]:
100DH
DVg
CD
CD
% 26.510047.30
6.1g
Ejemplo 2 Nivelación diferencial
Se tiene una elevación del BN1= 100.000 m.s.n.m. Con los datos del registro de campo calcu-
lar la nivelación para encontrar la elevación del BN2.
Diferencia de lecturas:
Diferencia (-) adelante Lectura - )( atrás Lectura
1.193 – 1.147 = + 0.046
1.901 – 2.535 = - 0.634
Cálculo de cotas en [m]:
m 100.046 0.046 100.000 cota
)Diferencia (000.100cota1PL
m 000.100cota1BN
m 99.412 0.634 100.046 cota
)Diferencia (046.100cota2PL
m 046.100cota1PL
m 99.833 0.421 99.412 cota
)Diferencia (412.99cota3PL
m 412.99cota2PL
m 99.626 0.207 99.833 cota
)Diferencia (833.99cota2BN
m 833.99cota3PL
Altura del instrumento en [m]:
cota )( atrás Lectura instruento del Altura
m 101.947 100.046 1.901
m 101.193 100.000 1.193 oinstrument del Altura
Comprobación en [m]:
BN2) ely BN1 bancos los entre (desnivelh )( Lecturas)( Lecturas
m 0.374 - 7.103 - 6.729 Lect(-) - )(Lect
BN2)y BN1 bancos los entre (desnivelh BN1 Cota - BN2 Cota
m 0.374 - 100.000 - 99.626 BN1 Cota - BN2 Cota
Ejemplo 3 Nivelación de perfil
En la siguiente nivelación de perfil:
Determinar las cotas de los puntos 1 al 12.
Ejemplo 4 Nivelación trigonométrica
En el punto B se instaló el teodolito, se niveló y se tomó la lectura en el estadal colocado en el
punto A, de cota conocida. Se tomó, con auxilio del estadal, la altura del instrumento en B, mi-
diéndose la distancia BC’, por medio de la cinta de acero, y el ángulo vertical α. (Figura 1)
Datos:
Cota A = 128.19 m
Lectura de estadal en A: LA = 2.87 m
Altura del instrumento en B: AI = 1.52 m
Distancia horizontal: BC’ = 52.60 m
Angulo vertical: α = + 19º30’
hi
90°hBC
C'
C
B
hi
LA
A
visual paralela al terreno
estadal
estadal
Figura 1
Determinar:
a) Cota B =?
b) Desnivel entre B y C = hBC =?
c) Cota C =?
Solución:
a) cota B = ( cota A + LA ) – AI = ( 128.19 + 2.87 ) – 1.52 = 129.54 m
b) En el triángulo rectángulo BC’C, se tiene: CC’ = hBC
hBC = BC’ tan α = 52.60 tan 19º30’ = 52.60 (0.3541) = + 18.63 m
c) cota C = cota B + hBC = 129.54 + 18.63 = 148.17 m
66
CCAAPPÍÍTTUULLOO
TEODOLITOS
6.1 INTRODUCCIÓN
El teodolito es un instrumento para medir ángulos horizontales y direcciones, ángulos vertica-
les, y diferencias en elevación y para determinación de distancias.
El teodolito es el instrumento apropiado para los trabajos de máxima precisión, como son las
triangulaciones geodésicas y topográficas, y aunque el distinto orden de estas obliga al empleo
de teodolitos de muy diferentes precisiones, obedecen, sin embargo, todos ellos a característi-
cas generales en cuanto a su construcción y manejo, que son las que pretendemos recoger
huyendo, en lo posible, de los detalles propios de cada fabricante.
Los primeros teodolitos tuvieron telescopios largos y no podían invertirse, pero al pasar el
tiempo se han fabricado algunos con telescopios más cortos, que pueden invertirse de extremo
a extremo (vuelta de campana) o “transitados” y se llamaron tránsitos.
6.2 CLASIFICACIÓN DE TEODOLITOS Y DES-
CRIPCIÓN
Figura 6.1 Partes de un teodolito de vernier
1.- Visera o sombra. 13.- Niveles del círculo horizontal.
2.- Tornillo de enfoque. 14.- Vernier del círculo horizontal.
3.- Tornillo de presión del movimiento vertical. 15.- Tomillo de presión del movimiento particular
4.- Tornillo tangencial del movimiento vertical. 16.- Tornillo tangencial del movimiento particular.
5.- Objetivo. 17.- Brújula.
6.- Ocular. 18.-Tornillo para fijar el agua de la brújula.
7.- Tornillos de la retícula. 19.- Tornillo de presión del movimiento general.
8.- Eje de alturas. 20.- Tornillo tangencial del movimiento general.
9.- Nivel del anteojo. 21.- Tornillos niveladores.
10.- Círculo vertical. 22.- Plataforma o base en la que descansan
11.- Vernier del círculo vertical. los tornillos niveladores.
12.- Círculo horizontal. 23.- Trípode o Tripié.
24.- Cadena con gancho para colgar la plomada.
Es tan grande el número de modelos que se fabrican, que no es posible hacer de ellos una clasi-
ficación general, limitándonos a indicar distintas características. Una primera clasificación se
da generalmente de acuerdo con la manera de leer los círculos; estas maneras son: con un ver-
nier que pudiéramos llamar de tipo clásico y con una escala óptica o un micrómetro óptico.
Por regla general el eje de colimación del anteojo corta el eje vertical del aparato, pero también
hay instrumentos, hoy poco usados, en que el anteojo no va montado en el centro; a los prime-
ros se les denomina teodolitos céntricos y teodolitos excéntricos a los segundos.
6.2.1 TEODOLITO DE VERNIER DE 20”
A estos teodolitos de Vernier, se los llama también tránsitos. Como su nombre lo indica este
aparato se lee por vernier (un tipo de escala auxiliar) capaz de leer hasta 20 segundos de arco.
Consiste en un disco superior o disco de vernier, al cual esta unido un armazón con dos patas
en forma de “A” que soportan el anteojo; y de un disco inferior al cual esta fijo un círculo gra-
duado o limbo horizontal. Los discos superior e inferior están sujetos a ejes interior y exterior
(este último es hueco) respectivamente, concéntricos, y los dos coincidiendo con el centro
geométrico del círculo graduado. En la parte inferior se halla una plataforma nivelante (en este
modelo de cuatro tornillos); el carrete o eje exterior solidario del limbo acimutal, se encuentra
asentado en un hueco cónico de la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo
una articulación de rodilla que fija el aparato al plano de base, pero permitiendo la rotación,
quedando la misma articulación como centro.
De este modo, una vez encajado en la plataforma, cuando se gira el disco inferior, su carrete ex-
terior, gira dentro de su propio soporte en la cabeza de nivelación, lo que se facilita por medio
de tornillos de presión y coincidencia visibles en la figura. Este giro recibe el nombre de movi-
miento general del instrumento. Este carrete exterior del disco inferior puede fijarse en
cualquier posición apretando el tornillo de sujeción inferior o tornillo del movimiento general.
De un modo similar, el eje interior que queda dentro del carrete exterior, puede fijarse a este
por medio del tornillo sujetador superior. A su vez, en el eje exterior hueco, penetra el eje inte-
rior solidario en la placa de los nonios o vernier (parte superior del grabado), e igualmente se
consigue el movimiento relativo de esta placa, con respecto al limbo, por medio de otro juego
de tornillos de presión y coincidencia. Este movimiento relativo constituye el movimiento par-
ticular de la alidada acimutal, y el tornillo superior mencionado es el tornillo del movimiento
particular. A cada disco puede dársele movimientos pequeños y lentos, accionando los torni-
llos de movimiento tangencial o de aproximación, pero estos tornillos solo trabajan cuando esta
apretado el tornillo que fija el movimiento. El eje geométrico alrededor del cual giran ambos
ejes se denomina eje vertical del aparato o eje acimutal.
6.2.1.1 TORNILLOS DE PRESIÓN Y COIN-
CIDENCIA
Hemos visto que los teodolitos constan siempre de elementos móviles, giratorios alrededor de
un eje, y de fijos. Los tornillos de presión tienen por objeto inmovilizar los primero con respec-
to a los segundos.
Suelto el tomillo de presión, el elemento móvil correspondiente puede girar libremente y, una
vez apretado, aún es preciso imprimirle movimientos suaves y lentos hasta hacerle ocupar la
posición deseada, esto se consigue con los tornillos de coincidencia, llamados también, por esta
razón, de movimiento lento.
6.2.1.2 NIVELES TUBULARES DEL TEO-
DOLITO
Además de los órganos descritos, llevan los teodolitos niveles, para ponerle en estación, con
auxilio de la plataforma nivelante.
Tanto los niveles del plato horizontal como el nivel del telescopio son niveles tubulares. Los
niveles de aire (figura 6.2) del plato o del limbo horizontal son una de las partes más importan-
tes de los teodolitos. Está constituido por un tubo de vidrio de forma tórica de muy escasa
curvatura (es decir, un cuerpo generado por un círculo que gira alrededor de una recta situada
en el mismo plano y fuera del círculo), cerrado a la lámpara por sus extremos.
El tubo va casi lleno de un líquido de escasa viscosidad (bencina, alcohol o éter) los cuales ade-
más tienen la característica de no congelarse a bajas temperaturas, dejando una burbuja de aire
mezclada con los vapores del líquido, que ocupará siempre la parte más alta del tubo.
A
O
Figura 6.2 Nivel con burbuja calada
Además estos líquidos se conservan sin sufrir alteraciones con el paso del tiempo no agreden al
recipiente de vidrio que los contienen.
Para comprobar la posición de la burbuja va dividido el nivel por trazos transversales situados a
la equidistancia de 2 milímetros.
Cuando el centro de la burbuja coincide con el centro del tubo de vidrio se dice que el nivel es-
tá calado y se llama calar la burbuja, llevarla por movimiento de aquél a la posición central, lo
que comprobaremos por la disposición equidistante de sus extremos con relación a las divisio-
nes.
Existen tres diferentes tipos de graduaciones:
a) Con el origen al centro del trozo o sector del tubo y divisiones a ambos lados
0
b) Con el origen en uno de los extremos y divisiones uniformes a partir de 0
0
c) Con divisiones interrumpidas al centro
Es preferible que los niveles posean líneas ininterrumpidas, a fin de interpretar mejor las distan-
cias que pudiese tener la incorrección del nivel cuando tratamos de llevar la burbuja al centro
mediante los tornillos niveladores.
Si el nivel presenta incorrecciones, al poner la burbuja al centro notaremos que al cambiar de
posición el nivel, ésta se desplaza hacia alguno de los extremos debido a la diferencia de densi-
dades, entre la burbuja de aire y gases, con el líquido que la contiene.
La burbuja permanecerá en la parte más alta del tubo, de modo que si el nivel está correcto en
cualquier posición del tubo, una vez que llevamos la burbuja al centro permanecerá ahí; pero si
existe alguna inclinación en uno de los extremos del tubo, la burbuja se desplazará en sentido
contrario.
La tangente al ecuador del nivel, trazada en el punto central, se denomina eje del nivel.
El tubo de vidrio va montado (figura 6.3) en un cilindro de latón, abierto por la parte superior.
tornillo de corrección
Figura 6.3 Montura del nivel de aire
Los niveles van montados en cuatro posiciones diferentes:
1ª. Sobre la alidada acimutal moviéndose con esta.
2ª. Unidos al eclímetro.
3ª. Sobre el anteojo.
4ª. Apoyados en los muñones del eje horizontal, designándose a este ultimo con el
nombre de nivel caballero.
Los niveles del limbo horizontal se encuentran montados formando ángulos rectos entre ellos,
quedando a veces uno sobre el disco y otro en uno de los soportes del telescopio. Tienen por
objeto nivelar el aparato, de tal modo que el plano en el que se encuentra el círculo horizontal
quede realmente horizontal cuando se hagan lecturas.
Es raro que un mismo teodolito lleve cuatro niveles; frecuentemente no tienen si no dos y a ve-
ces uno solo.
6.2.1.3 TORNILLOS NIVELADORES nivel
b direcciones
paralelas
a a
b
Figura 6.4 a,a,b,b → Tornillos niveladores
La base niveladora está provista de cuatro tornillos llamados tornillos niveladores opuestos 2 a
2 en forma perpendicular, ver figura 6.4. También los hay provistos de 3 tornillos niveladores
colocados 2 a 1 en forma perpendicular. Con estos tornillos, que tienen cuerda estándar, al girar
los opuestos en forma simultánea en el mismo sentido (es decir, ambos hacia adentro o ambos
hacia afuera), uno se acorta mientras el otro se alarga. Esto hace que la base realice un movi-
miento basculante para que, con el auxilio de los niveles tubulares del limbo o plato horizontal,
podarnos poner el aparato en posición horizontal una vez que la burbuja de aire atrapada en el
nivel se localice en la parte superior, entre las marcas que para tal efecto existen. Los tornillos
niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el plato de base.
Cuando se giran estos tornillos el instrumento se mueve sobre la articulación de rodilla. Cuando
todos los tornillos de nivelación se encuentran flojos no habrá presión contra el plato de base y
el teodolito puede moverse lateralmente con respecto al plato.
El objeto, tanto de los niveles como de los tornillos nivelantes, no es otro que el de colocar ver-
tical el eje del aparato con la mayor precisión posible; cuando esto se consigue se dice que el
instrumento está en estación.
6.2.1.4 PLOMADA
Anteriormente descrita, la cual pende de una cadena con un gancho, situada en el centro de los
aparatos topográficos entre las patas del trípode y deberá situarse de modo que la vertical del
hilo de la plomada pase por el punto señalado en el suelo.
6.2.1.5 TRÍPODE
El teodolito posee una base de sustentación apoyada y atornillada sobre una cabeza metálica
con tres patas extensibles que pueden ser de madera o de metales ligeros (aluminio), conocido
como trípode o tripié. Para manejar cómodamente un instrumento, ha de situarse de modo que
la altura del anteojo sobre el suelo sea, poco más o menos, de 1.40 metros, según la estatura del
operador y para ello se utilizan los trípodes. La cabeza del trípode puede ser de madera o metá-
lica, en forma de plataforma o meseta circular o triangular, sobre la que se coloca el
instrumento.
En algunos tipos pueden darse a la meseta ligeros desplazamientos laterales para facilitar, que,
una vez colocado el aparato, coincida su eje con la vertical que pasa por el punto señalado en el
suelo; en otros, por tener la meseta un gran orificio en el centro por el que pasa el elemento de
unión, es este último el que se desplaza, permitiendo ocupar al instrumento, sobre la meseta, di
versas posiciones. También existen trípodes de meseta basculante; en éstos en vez de ir la me-
seta rígidamente sujeta a la cabeza del trípode, queda unida mediante una rótula que le permite
bascular hasta centrar la burbuja de dos minúsculos niveles colocados sobre ella.
Actualmente se ha modificado los trípodes de meseta basculante y se construyó los que deno-
minamos trípodes centradores, que permiten estacionar el aparato con gran rapidez y bien
centrado, sobre la vertical que pasa por el punto señalado en el suelo.
6.2.1.6 ANTEOJO O TELESCOPIO
El anteojo se encuentra en un eje horizontal transversal que descansa sobre los soportes en for-
ma de “A”. Puede girarse alrededor de este eje horizontal, arrastrando en su giro al limbo
cenital, permaneciendo fijos los verniers; para facilitar este movimiento llevan los teodolitos un
tercer juego de tornillos de presión y coincidencia; y podrá fijarse en cualquier posición en un
plano vertical ajustando el tornillo de fijación. Pueden efectuarse pequeños movimientos del
anteojo alrededor del eje horizontal accionando su tornillo tangencial. Este giro constituye el
movimiento del eclímetro o alidada cenital. Unido al eje horizontal se encuentra el círculo ver-
tical, y
en uno de los soportes está colocado el vernier vertical. El anteojo tiene generalmente un nivel
en su parte inferior.
El teodolito tiene, por tanto, tres movimientos independientes, dotados cada uno de ellos de su
correspondientes tornillos de maniobra, dos alrededor del eje vertical, que son el movimiento
general y el particular de la alidada acimutal, y uno alrededor de un eje horizontal o movimien-
to del eclímetro.
Si suponiendo estacionado el instrumento apretamos el tornillo de presión del movimiento ge-
neral, se inmoviliza el limbo, mientras puede girar libremente la placa de los vernieres y con
ella el anteojo, siempre que permanezca flojo el tornillo de presión de la alidada. Para cada po-
sición obtendremos una lectura, medida del rectilíneo del diedro formado por los planos
verticales que, pasando por el eje del instrumento contengan respectivamente a la visual y a la
posición que este ocuparía para la lectura cero en la graduación.
Con frecuencia interesa que esta lectura cero no ocupe una posición arbitraria, sino que convie-
ne obtenerla en una dirección determinada, por ejemplo, al dirigir la visual en la dirección N –
S, con objeto de que las lecturas del instrumento nos den directamente acimut. Esta es la causa
por la que todos los teodolitos van provistos de movimiento general, y el colocar el cero en po-
sición correcta es lo que se designa con el nombre de orientar el instrumento.
Sobre el plato que cubre al circulo horizontal se apoyan los soportes del telescopio que al girar
sobre dos cojinetes en 180º describen lo que se denomina vuelta de campana alrededor del eje
de alturas, que es perpendicular al eje acimutal, cumpliendo así con la condición geométrica co-
rrespondiente. Es una condición indispensable, en los teodolitos. Tiene el objeto de poder hacer
punterías con el limbo cenital a la izquierda, que suele ser la posición llamada normal, o con el
limbo a la derecha, que constituye generalmente la posición invertida; a los instrumentos sus-
ceptibles de dar a su anteojo la revolución completa se les llama de transito, todos los
teodolitos deben ser de transito.
Las partes principales del telescopio son el objetivo, la retícula y el ocular.
La línea de la visual o línea de colimación es la recta imaginaria que coincide con el eje óptico
de las lentes y que cruza la intersección de los hilos o marcas de la retícula, cuando se dirige
una visual hacia cualquier punto.
Es necesario realizar el enfoque tanto del ocular como del objetivo para ver perfectamente defi-
nidos la retícula y el punto deseado, respectivamente, en coincidencia.
Existe 2 tipos de anteojos; el del enfoque externo, y el de enfoque interno. En el primero el en-
foque se hace moviendo al objetivo; en el segundo el objetivo permanece fijo y el enfoque se
logrará mediante un lente interior llamado lente de enfoque (figura 6.5).
Retícula
Línea de colimación Ocular
Lentes del objetivo Lentes de enfoque interno Lentes del ocular
Retícula
Línea de colimación Ocular
Lentes del objetivo Lentes del ocular
Figura 6.5 Anteojos de enfoque interno y externo
En la actualidad, prácticamente todos los telescopios poseen enfoque interno e imagen directa
gracias a sus sistemas de lentes que definen un sistema convergente.
6.2.1.7 RETÍCULO
La retícula, o cruz filar, se presenta generalmente grabada sobre cristal, o con hilos delgados de
platino y la definen dos líneas perpendiculares, una horizontal y una vertical.
Sobre el plano de los hilos de retículo debe caer la imagen formada sobre el plano de retículo.
Figura 6.6 Retículas
6.2.1.8 BRUJULA
La mayoría de estos aparatos llevan una brújula sobre el disco superior. Con la brújula pueden
determinarse ciertas orientaciones magnéticas.
6.2.1.9 CÍRCULO HORIZONTAL O LIMBO
HORIZONTAL
En el caso de los teodolitos de vernier, se trata de un círculo graduado sobre un disco que puede
ser de bronce, latón, acero u otros metales con un borde plateado o de cinta plateada, donde van
grabadas las divisiones que pueden corresponder a espacios de 30 o de 20 minutos.
Por comodidad las graduaciones se presentan a izquierda y derecha numeradas de 0 a 360° con
una pequeña inclinación en los números (algunos tránsitos no) en el sentido en que aumenta la
numeración para evitar confusiones.
Como el limbo gira sobre el eje acimutal, puede girar libremente o sujeto al índice de un círculo
concéntrico al que se le da el nombre de alidada.
6.2.1.9.1 Lectura de los círculos (vernier)
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados, se los realiza con
vernier para aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para medir los ángulos
horizontales, los instrumentos en su mayoría tienen dos verniers, situados a 180º uno de otro, y
que se muevan junto con el anteojo.
Cuando el índice cae sobre una marca correspondiente a un valor angular exacto, no tenemos
problema en hacer la lectura, pero si cae entre dos marcas será difícil estimar una lectura preci-
sa. Es ahí donde interviene el vernier, pues la menor división del limbo tiene que ser
subdividida para llegar a una lectura más aproximada al valor real del arco descrito.
Lectura de un ángulo con ayuda del vernier
Buscamos una línea del vernier que coincide precisamente sobre otra línea del limbo, inmedia-
tamente después de lo que marca el índice 0.
Lectura en el limbo = 252º 30’
Lectura en el vernier = 11’
Lectura Total = 252º 41’
Puesto que los ángulos pueden ser leídos tanto a la izquierda como a la derecha, los limbos tie-
nen una doble graduación que aumenta en ambos sentidos, por eso, también el vernier contiene
una doble escala a la izquierda y derecha del índice, a fin de leer las aproximaciones en cual-
quiera de los dos sentidos.
Definición de vernier
El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del limbo horizontal y en contac-
to con el y que tiene por objeto apreciar fracciones del menor espacio en que esta dividido el
limbo. Al vernier suele llamársele también “nonio”.
Clases y principios del vernier
Existen dos clases de vernier: directo y retrogrado.
Si el vernier es directo, (se lee en el mismo sentido de la graduación) el número de divisiones
de este ocupara (n-1) divisiones de la graduación.
Si el vernier es retrogrado, (se lee al contrario de la graduación), ocupara (n+1) divisiones de
la graduación.
La aproximación del vernier es el cociente de dividir el “Valor de la menor división de la gra-
duación”, entre el “Número de divisiones del vernier”.
'0130
'30ónAproximaci
6.2.1.10 CÍRCULO O LIMBO VERTICAL
Este circulo, graduado en igual forma que el círculo horizontal de 0 a 360° en dos sentidos, a la
izquierda y a la derecha, se encuentra fijo al eje de rotación del telescopio cuyo centro coincide
con un eje imaginario perpendicular al eje acimutal denominado eje de alturas. En este caso, el
vernier no está alojado en un círculo concéntrico interior al limbo vertical como en el caso del
limbo horizontal y tampoco tiene movilidad alguna, pues está fijo a uno de los soportes del te-
lescopio y el índice central del vernier coincide con el eje acimutal del aparato en una línea
paralela. A partir del índice a izquierda y derecha, se encuentran las divisiones que nos permiti-
rán hacer las lecturas de ángulos verticales con mayor aproximación.
Revisión de las condiciones geométricas que deben reunir los teodolitos de lectura de vernier y
sus correspondientes ajustes (figura. 6.7).
vernier
circulo vertical
circulo horizontal
plomada
vernier
angulo horizontal linea de colimacion
angulo vertival
horizontal
eje azimutal eje de alturas
Figura 6.7 Condición geométrica de los teodolito
6.2.2 TEODOLITOS MODERNOS
Los verniers, fueron sustituidos por micrómetros, los que con ayuda de los microscopios permi-
tían hacer lecturas directas con una aproximación de 10 segundos y estimación de un segundo.
Los teodolitos de lectura óptica pueden ser con o sin micrómetro de coincidencia y también de
observación de un solo sector del limbo o de dos opuestos, y en este último caso de círculo sen-
cillo o de doble círculo.
No existen grandes diferencias entre los teodolitos de vernier y los modernos. Sus fundamentos
son prácticamente los mismos: círculos de cristal, cubiertos por una caja metálica; un solo mi-
croscopio paralelo al telescopio, mediante el cual pueden realizarse tanto las lecturas de
ángulos horizontales como verticales; telescopios más cortos y más potentes, niveles de gran
sensibilidad, plomada óptica, tornillos micrométricos para una mayor aproximación, etc. todo
eso hace que se reduzca y facilite notablemente la operación y lecturas, al mismo tiempo que se
incrementa la precisión, la seguridad y la rapidez. Los métodos para instalar el instrumento son
idénticos.
Las principales diferencias son:
Tamaño del aparato
Se han perfeccionado círculos mas pequeños y las técnicas modernas permiten grabar sobre
ellos divisiones muy finas. El instrumento completo es menos voluminoso y más liviano.
Formas de lectura de los círculos
La desventaja principal de los teodolitos de vernier es que, es difícil leer las graduaciones sobre
todo si el instrumento es viejo.
En los teodolitos modernos los limbos están grabados en vidrio y los ejes y soportes del anteojo
son huecos, lo que permite que la luz pase a través del instrumento por medio de un sistema de
prismas. La lectura de los círculos horizontales y verticales se observa por el ocular del círculo
montado en el exterior del soporte vertical.
El ocular contiene tres orificios en las que se ven las graduaciones de los limbos vertical y hori-
zontal marcadas con V y H, respectivamente; como en el teodolito de vernier están divididos
cada 20 minutos; el limbo horizontal se lee con la flecha índice. En este caso el sistema de lec-
tura es de micrómetro.
Con frecuencia es necesario, en levantamientos para obras de ingeniería, medir ángulos con
mayor exactitud de la posible con un teodolito de 20”. En tales casos deberá emplearse un teo-
dolito (con micrómetro de doble lectura) capaz de leer directamente hasta el segundo de arco.
Los modelos de teodolitos provistos de escala óptica son similares en diseño y operación a los
provistos de micrómetro óptico existiendo diferencia únicamente en la forma de hacer las lectu-
ras por medio de las retículas de la escala óptica o por el micrómetro normal.
Algunos teodolitos modernos sustituyen la plomada tradicional que pende de un hilo por un
dispositivo óptico que, gracias a un prisma reflector, permite ver a través de un pequeño ante-
ojo, colocado horizontalmente abajó del círculo graduado, una línea perpendicular a la línea del
eje óptico de esa lente, hacia cualquier punto sobre el que se desee centrar el aparato.
En varios países, estos tipos de instrumentos han desplazado casi totalmente a los teodolitos de
vernier; no obstante, varios países aún los utilizan tanto en la docencia como en los trabajos de
ingeniería. Presentan algunas ventajas como su durabilidad, la facilidad para realizar algunas
reparaciones por uno mismo, etc. y algunas desventajas como: menor precisión, mayor lentitud
de operación, mayor peso, etc.
La diferencia entre los teodolitos de vernier y los teodolitos modernos, es más bien desde el
punto de vista tecnológico y de recursos económicos ya que los principios geométricos son los
mismos y en todo caso el uso de uno o de otro dependerá de los objetivos que se persigan. Al
respecto cabe decir que los aparatos de micrómetro óptico se van generalizando y su uso es
muy frecuente, pero como ya se indicó se usan aún los de lectura de vernier.
Dentro de los teodolitos modernos, también podemos mencionar a los teodolitos electrónicos.
Este tipo de teodolitos operan de igual forma que los teodolitos de micrómetro óptico. Su dife-
rencia fundamental es el dispositivo electrónico que permite leer a elección ángulos
horizontales o verticales en una pantalla (display) en forma digital, habiendo puesto previamen-
te en ceros la visual de origen por medio del botón correspondiente.
Por un impulso eléctrico éste coloca en coincidencia el índice con la marca de 0º.
Teodolito óptico; es la evolución del tránsito mecánico, en este caso, los círculos son de vidrio,
y traen una serie de prismas para observar en un ocular adicional. La lectura del ángulo vertical
y horizontal la precisión va desde 1 minuto hasta una décima de segundo.
Teodolito electrónico; es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para
hacer las lecturas del circulo vertical y horizontal, desplegando los ángulos en una pantalla eli-
minando errores de apreciación, es mas simple en su uso, y por requerir menos piezas es mas
simple su fabricación y en algunos casos su calibración.
TEODOLITO OPTICO TEODOLITO ELECTRÓNICO
Las principales características que se deben observar para comparar estos equipos hay que tener
en cuenta: la precisión, el numero de aumentos en la lente del objetivo y si tiene o no compen-
sador electrónico.
6.3 EMPLAZAMIENTO DEL TEODOLITO
6.3.1 INSTALACIÓN DEL INSTRUMENTO
Para centrar un aparato que posee plomada colgante, se procederá de la siguiente manera:
Plomada
Figura 6.8 Emplazamiento del instrumento
Para ello comenzaremos por colocarle en estación, dejando bien abiertas y bien clavadas en el
terreno las patas del trípode, utilizando a este efecto los estribos de que va provisto, para apretar
con el pie. Es importante esta precaución y la de abrir bien las patas para evitar se desnivele el
instrumento con facilidad y prevenir que, por tener poca base de sustentación, pueda caerse al
menor tropiezo o incluso con el viento, pero tampoco deben estar tan separadas que patinen.
Para centrar el teodolito en un punto en particular, se instala el trípode, de tal forma que la ver-
tical señalada por la plomada cuelgue aproximadamente sobre el punto (señal del terreno). Al
hacer esta operación se debe tratar de mantener nivelada la cabeza de nivelación, por tanto, en
esta operación debernos cuidar que el limbo quede en una posición horizontal o con una desvia-
ción mínima. Luego se nivela aproximadamente el instrumento para observar donde caerá la
plomada. Si es mucha la diferencia, se levanta el trípode sin mover la posición relativa de las
patas y se mueve el instrumento a la dirección deseada. Se repite el proceso de nivelación, des-
pués del cual quizás se tiene que mover el instrumento una vez más.
Cuando se obtiene la plomada casi cerca del centro, puede acercarse más y más, presionando
una a dos patas del trípode más firmemente en el suelo.
Finalmente, cuando la plomada está de 1 a 2 centímetros de la posición adecuada, se aflojan
dos tornillos nivelantes adyacentes. Esta operación afloja todos los tornillos nivelantes y la ca-
beza del instrumento se puede desplazar horizontalmente a la distancia requerida. Al estar
centrada la plomada, se ajustan los tornillos, se nivela el instrumento y se revisa la plomada pa-
ra observar si esta centrada.
Si se trata de un aparato que tenga plomada óptica, la operación de centrado es más sencilla.
Procederemos de manera similar a la descrita anteriormente, salvo que en lugar de dirigir la mi
rada a una plomada pendiente de un hilo, miraremos a través de un anteojo que con una cruz fi-
lar y lente de enfoque nos permite localizar el punto de estación sobre el cual queremos centrar
el aparato (figura 6.9).
Figura 6.9 Centrado de teodolito provisto de plomada óptica
Primer paso.- Se coloca el trípode sobre el punto de estación con la mayor aproxima-
ción posible, se monta el teodolito sobre el trípode y se clava una de las patas del trípode
fuertemente en el terreno.
Segundo paso.- Girando sobre la pata fija con las otras dos y visando que la cruz filar
de la plomada óptica quede lo más cercano al punto, se fijan al terreno las otras dos patas, cui-
dando que la base nivelante del aparato esté en una posición cercana a la horizontal.
Tercer paso.- Aflojando el tornillo de sujeción del teodolito, desplazamos sobre la ca-
beza del trípode el aparato hasta que quede perfectamente centrado y apretamos de nuevo el
tornillo de sujeción.
Cuarto paso.- Utilizando las correderas de las patas en el sentido que sea necesario, lle-
vamos al centro la burbuja del nivel circular de la base del aparato. Revisamos en estos
momentos si no se descentró el aparato.
6.3.2 NIVELACIÓN
Conseguida la exacta correspondencia de la plomada y de la señal, se nivelara el teodolito por
medio de los niveles. Para nivelar al instrumento, los niveles del limbo graduado horizontal se
colocan aproximadamente según la dirección de los tornillos niveladores diagonalmente opues-
tos.
Al nivelar el instrumento la burbuja se mueve según la dirección del pulgar izquierdo al girar
los tornillos niveladores.
Los tornillos deben moverse en sentido opuesto al mismo tiempo, primero dos y luego los otros
dos de la diagonal normal, para nivelar el otro nivel.
Los aparatos de 3 tornillos (teodolitos modernos) se nivelan operando primero dos de ellos y
luego con el otro solamente. Es decir, colocaremos el nivel que haya de utilizarse en la direc-
ción de dos tornillos de la plataforma nivelante y, moviendo estos simultáneamente en
dirección opuesta, se calara la burbuja. A continuación haremos girar 90º el instrumento, hasta
que el nivel quede en la dirección del tercer tornillo nivelante, y moviendo ahora este, sin tocar
los otros dos, se volverá a calar la burbuja. Si la nivelación se ha hecho bien y el nivel esta co-
rregido, deberá permanecer calado en cualquier posición que lo hagamos ocupar.
6.4 CONDICIONES Y AJUSTES TEMPORALES DE
UN TEODOLITO
Todo instrumento (goniómetro) consta de tres ejes: el de colimación, el de rotación del anteojo
llamado también eje secundario, y el vertical de giro del aparato.
En los teodolitos, el llamado eje vertical se compone de dos ejes, el general del instrumento y el
de la alidada acimutal, alrededor de los cuales gira con independencia.
Las condiciones que ha de cumplir cualquier teodolito son:
a) Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser perpendiculares al eje
vertical o azimutal.
Se revisa y corrige cada nivel por el procedimiento de doble posición:
Se nivela, se gira 180º, y si la burbuja se desplaza, lo que se separa del centro es el doble del
error. Se corrige moviendo la burbuja; la mitad con los tornillos de corrección del nivel y la
otra mitad con los tornillos niveladores. La operación se repite hasta lograr el ajuste, es decir,
que no se salga la burbuja del centro, al girarlo 180º.
Figura 6.10 Corrección de niveles
b) Los hilos de la Retícula deben ser perpendiculares a los ejes respectivos. Por cons-
trucción los hilos deben ser perpendiculares entre si, pero conviene rectificarlo cuando la
retícula es de hilos.
Se revisa enfocando un punto fijo, coincidiendo en el extremo de uno de los hilos de la retícula:
se ajustan los movimientos y se gira lentamente el instrumento con uno de los tornillos de mo-
vimiento tangencial. El punto debe observarse coincidiendo con el hilo hasta el otro extremo
ver figura 6.11.
Figura 6.11 Retícula
Si el punto se separa del hilo, deberá enderezarse la retícula aflojando los tornillos que la suje-
tan al tubo, moviéndola, y ajustándolos nuevamente. Puede efectuarse esto con uno o con los
dos hilos, vertical y horizontal.
c) La línea de colimación debe ser perpendicular al eje horizontal o de alturas.
1º 2º
3º 4º
50 metros Figura 6.12 Perpendicularidad del eje de colimación al eje horizonta
Se revisa enfocando un punto (A), como a 50 m. en posición directa, después, con los movi-
mientos horizontales fijos, se da vuelta de campana y se marca otro punto (B) más o menos a
la misma distancia en posición inversa; se da vuelta de campana para ver (B) nuevamente, pero
en posición directa. Si no se observa el mismo punto (B) se marca otro (B) y la distancia BB es
cuatro veces al error. Debe corregirse por tanto la 4ª parte a partir de (B) moviendo horizontal-
mente la retícula, con dos punzones al mismo tiempo en los tornillos opuestos, girándolos en el
mismo sentido.
d) El eje de alturas o eje horizontal debe ser perpendicular al eje azimutal o vertical.
Se revisa colocando el aparato lo más cerca posible de un muro, un poste, etc. donde se pueda
localizar un punto fijo con el cruce de los hilos, a la mayor altura posible, en posición directa
(A). Con los movimientos horizontales fijos se marca otro punto sobre el muro a nivel del apa
rato bajando el anteojo (B). Se repite la operación en posición inversa y si los dos puntos abajo
marcados coinciden, el instrumento esta correcto.
A
Vertical verdadera
B D C
Figura 6.13 Comprobación y corrección para hacer el eje horizontal perpendicular al vertical
De no ser así, se marca un segundo punto abajo (C) que indica la línea de colimación, junto a
(B). Medimos la distancia entre (B) y (C), y a la mitad de su separación se marca otro punto
(D), por donde pasará la vertical verdadera que baja del punto superior (A). Esta vertical es la
que debe seguir el aparato, para lo cual se ajusta moviendo el apoyo del eje horizontal opuesto
al círculo vertical, con el tornillo de ajuste que tiene para el objeto.
6.5 CAUSAS DE ERROR EN LOS TEODOLITOS
6.5.1 CLASES DE ERRORES
Con los teodolitos, como con todos los instrumentos de medida, se cometen, dos clases de erro-
res: sistemáticos, que proceden del propio instrumento y actúan siempre en el mismo sentido y
con la misma magnitud; y accidentales, que dependen exclusivamente de nuestros sentidos, y
por ello varían en magnitud y en signo.
Nos interesa más el estudio de los errores accidentales, porque los primeros, si no obligan a
desechar el instrumento, aun utilizando uno defectuoso, siempre hay algún método operatorio
que permite eliminarlos, mientras los accidentales son siempre inevitables.
6.5.1.1 ERRORES SISTEMÁTICOS
Pueden ser estos de construcción y de ajuste; proceden estos de la imperfecta fabricación del
aparato, y son consecuencia, los segundos, de los residuos inevitables de la corrección que ha-
gamos.
Errores de construcción
Los más importantes de estos son los referentes a los limbos y vernieres: 1º. Imperfecta gradua-
ción de limbos y vernieres; 2º. Desviación de los vernieres; 3º. Excentricidad de la alidada
como consecuencia de la no coincidencia del eje de rotación con el centro de graduación; y 4º.
Excentricidad fluctuante.
Errores de ajuste
La corrección de un instrumento nunca puede ser exacta, como consecuencia de la imperfec-
ción de nuestros sentidos, quedando por tanto, errores residuales aún después de haber
efectuado la corrección. Consideraremos la corrección prácticamente exacta, si la suma de resi-
duos de corrección sea inferior a la apreciación del instrumento.
REGLA DE BESSEL
Uno de los medios de eliminar los errores sistemáticos es la doble lectura, que corrige el error
de excentricidad y el de desviación de índices, y otro método de evitar no solo estos errores,
sino otros muchos, es la regla de Bessel, que consiste en visar dos veces cada punto, primero
con el anteojo normal y después con el anteojo invertido, previa vuelta de campana del anteojo
y giro de 180º del anteojo.
6.5.1.2 ERRORES ACCIDENTALES
Sus clases
Al estacionar el instrumento no quedará el eje perfectamente vertical aún cuando todo
el giro veamos bien calada la burbuja del nivel; dependerá este error de la mayor o me
nor sensibilidad y del límite de la percepción visual, o tolerancia que se tenga, en la
desviación de la burbuja. Se denomina esta causa de error de verticalidad de eje y, tie
ne trascendencia en las observaciones cenitales y en las acimutales.
La plomada del instrumento no coincidirá exactamente con el centro de la señal del te-
rreno, y a su vez el jalón, mirra o banderola que se coloque en el punto visado, tampoco
estará en exacta correspondencia con éste, y, en consecuencia, el acimut observado di-
ferirá del verdadero, dando origen a un error de la mayor importancia, que
denominaremos de dirección.
Al colimar la banderola, mira o jalón habrá de bisecarse con el hilo vertical del retículo
para las observaciones acimutales, o hacer que pase el hilo horizontal de aquél por un
punto determinado. Como esta bisección o coincidencia nunca será perfecta, se comete
rá un nuevo error denominado de puntería, diferente para las observaciones cenitales o
acimutales.
En la apreciación de los vernieres o micrómetros se cometerá, un error de lectura.
Estas cuatro causas de error actuarán independientemente unas de otras y el resultado será to-
mar para la dirección observada un resultado erróneo, que diferirá del verdadero en la suma de
los errores individuales que se hubieran cometido en esta estación.
6.6 CUESTIONARIO
Teodolitos
1. ¿Para qué sirve un teodolito?
2. ¿Qué características tienen los teodolitos de vernier?
3. ¿Para que sirven los tornillos de precisión y coincidencia?
4. ¿Qué características tienen los niveles?
5. ¿Cómo se lee el vernier?
6. ¿Qué características tienen los teodolitos modernos?
7. ¿Cómo se instala adecuadamente un teodolito?
8. ¿Cómo se cala la burbuja?
9. ¿Cuáles son las causas más frecuentes de error en los teodolitos?
77
CCAAPPÍÍTTUULLOO
MEDIDAS DE ÁNGULOS CON
TEODOLITO
7.1 SISTEMA DE LECTURA DE ÁNGULOS
En este capítulo describimos los sistemas de lectura para ángulos horizontales y verticales con
la ayuda del teodolito.
7.1.1 ÁNGULOS HORIZONTALES O ACIMUTA-
LES
Son los ángulos leídos en el limbo horizontal a partir del cero de la graduación.
Si este ocupa una posición arbitraria, las lecturas constituyen simplemente direcciones, que va-
riarán de 0 a 360º en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj (ángulos de derecha)
considerados de signo positivo por tener el mismo sentido del azimut o en sentido inverso (án-
gulos de izquierda) que se consideran de signo negativo por ir en sentido contrario al azimut;
en el primer caso se dice que la graduación del limbo es normal, y en el segundo anormal.
Un ángulo horizontal es el formado por dos líneas rectas situadas en un plano horizontal. El va-
lor del ángulo horizontal se utiliza para definir la dirección de un alineamiento a partir de una
línea que se toma como referencia.
Ángulos de deflexión o de giro
Son los ángulos medidos entre la prolongación del alineamiento anterior y el alineamiento si-
guiente y puede ser de sentido izquierdo (-) ó derecho (+), los ángulos de deflexión o de giro
están entre 0° y 180°. Si un ángulo de deflexión medido hacia la derecha diera mayor de 180°,
por ejemplo 200° derecha, se debe considerar como 160° o de izquierda.
7.1.1.1 MEDIDAS DE ÁNGULOS HORIZONTA-
LES
Cualquiera que sea la posición del cero (figura 7.1), si se desea medir el ángulo acimutal ACB,
formado por dos visuales, dirigiremos el anteojo al primer punto A que se halle en el
sentido en que crezca la graduación y después al segundo B, anotando las lecturas respectivas;
la diferencia de éstas nos dará en general el ángulo buscado.
Puede ocurrir, sin embargo, que el cero de la graduación quede entre las dos posiciones del ín-
dice; en este caso la lectura correspondiente a la segunda visual será menor que la primera y
hallaremos el ángulo sumando 360° a la del punto más alejado en el sentido en que crece la
graduación.
A
0
C
B
Figura 7.1 Posición del cero
La medida de ángulos puede ser efectuada por los siguientes métodos: simple, por repetición ó
por reiteración.
1) Método simple
Cuando el instrumento esta centrado sobre el punto y adecuadamente nivelado, puede utilizarse
en una de las dos siguientes direcciones:
De cara a la izquierda ó círculo a la izquierda (CI).
De cara a la derecha ó círculo a la derecha (CD).
Se dice que el aparato está con el círculo a la izquierda cuando el limbo vertical queda a la iz-
quierda del observador (posición normal) cuando este mira por el anteojo; para observar el
mismo objeto con el círculo a la derecha, se deberá hacer girar horizontalmente el instrumento
en 180º hasta que el ocular apunte aproximadamente en esa dirección, y luego girar el anteojo
alrededor del eje horizontal o eje del teodolito (vuelta de campana), logrando así que el objeti-
vo del anteojo apunte al objeto; el círculo vertical quedará entonces a la derecha del
observador. Esta operación se conoce como transitar el anteojo.
Para medir el ángulo CAB (figura 7.2), el instrumento se coloca con el círculo a la izquierda
(CI) y se sigue el siguiente procedimiento:
C B
A
Figura 7.2 Angulo entre rectas
Colocar en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del vernier y fijar el
movimiento particular.
Valiéndose del movimiento general, visar el punto A, haciendo coincidir el centro de la
retícula con el punto A, y fijar el movimiento general.
Soltar el tornillo de presión del movimiento particular y apuntar el anteojo al punto B,
haciendo coincidir dicho punto con el centro de la retícula.
Efectuar la lectura del ángulo ACB en el vernier.
Debido a defectos o pequeños desajustes instrumentales o a deficiencias de la vista y el
tacto humanos, este ángulo debe comprobarse con el círculo a la derecha (CD),
2) Método por repetición
Tiene por objeto obtener el valor de un ángulo lo más aproximado posible en su verdadero va-
lor, que no puede dar directamente el instrumento debido a su escasa aproximación.
Este método consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando las lecturas, de esta ma-
nera las pequeñas fracciones que no se pueden leer con una lectura simple por ser menores que
la aproximación del vernier, al acumularse pueden ya dar una fracción que si se puede leer con
el vernier.
Para medir un ángulo como ACB por el método de repetición, se hará en primer lugar la coin-
cidencia de ceros del limbo y del índice y, manteniendo apretado el tornillo de presión del
movimiento particular, se dirigirá la puntería, por medio del movimiento general, al primer
punto “A” del ángulo en el sentido de la graduación.
Manteniendo apretado el movimiento general y soltando el tornillo de presión del movimiento
particular, quedará dirigido el cero al primer punto “A”; haremos la puntería del anteojo al se-
gundo punto “B”, y dejando inmovilizado el movimiento particular, por medio de un tornillo de
presión, y sin necesidad de hacer lectura ninguna, aflojaremos el movimiento general, haciendo
retroceder el instrumento hasta enfilar nuevamente el primer punto “A”, con lo que el cero re-
trocederá un ángulo igual al medido.
Mantendremos nuevamente apretado el tornillo del movimiento general y soltaremos el del
movimiento particular, dirigiendo otra vez la puntería del anteojo al segundo punto “B”.
De hacerse la lectura en esta posición, se obtendría un ángulo doble del propuesto, pudiendo
continuar el proceso de las repeticiones cuantas veces se precise, sin necesidad de hacer más
lecturas que la de la última puntería, hasta que el ángulo se ha multiplicado el número de veces
requerido.
El valor del ángulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre las lecturas inicial y fi-
nal por n, llamando n al número de veces que se repitió el ángulo. Si la lectura inicial es 00º00,
el valor del ángulo repetido se obtiene dividiendo la última lectura entre el número de repeti-
ciones n. Esta lectura, nos dará el valor del ángulo con una precisión mayor que si se hubiese
medido una solo vez.
Supongamos por ejemplo que el ángulo ABC (figura 7.3) tenga un valor de 30º21’16” y que se
tiene que medir con un teodolito de aproximación = 0,1. Los 16” no se podrán apreciar con una
medida simple, pero cada vez que se gira el teodolito, quedan incluidos y se van acumulando
hasta sumar un minuto, o excederlo, y ese minuto si lo acusa el vernier:
1° Medida: 30° 21' (16")2° Medida: 60° 42' (32")3° Medida: 91° 03' (48")4° Medida: 121° 24' (64")
3
2
CB
A
A'A''
Figura 7.3 Medida de ángulos por repetición
Se leerá 121º25’; luego su valor obtenido será: 4
'25º121= 30º21’15”, que se aproxima más al va-
lor verdadero, y se obtuvieron segundos con el mismo instrumento.
Con este procedimiento la aproximación del instrumento se divide entre el número de repeti-
ciones, es decir, aumenta la aproximación.
Se recomienda que el número máximo de repeticiones sea de 5 ó 7. Pero, dos o tres repeticio-
nes bastan en la generalidad de los casos, y de no ser suficiente, puede ser señal de que para el
trabajo que se realice se necesita un teodolito de mayor precisión.
El método de repetición exige utilizar teodolitos provistos de tornillo de coincidencia en el mo-
vimiento general, con objeto de poder llevar la puntería al primer punto con la lectura del
segundo. Esta es la causa por la que se designa con el nombre de teodolitos repetidores a los
provistos de este tornillo de coincidencia.
3) Método de reiteración
Una de las finalidades del método es atenuar los errores de graduación del limbo, por no ser
matemáticamente iguales sus divisiones, haciendo varias medidas del ángulo en sectores dife-
rentes.
Este método de medida consiste en hallar el promedio de varias observaciones efectuadas pa-
ra el mismo ángulo y empleando distintas regiones del limbo.
Con este procedimiento los valores de los ángulos se determinan por diferencias de direcciones.
El origen de las direcciones puede ser una línea cualquiera o la dirección Norte.
Se emplea este método principalmente cuando el teodolito es del tipo que no tiene los dos mo-
vimientos, general y particular, que permita medir por repeticiones, o cuando hay que medir
varios ángulos alrededor de un punto, pero también se aplica con instrumentos repetidores. Con
el método de reiteración no es preciso enfilar al primer punto con una lectura fija, y por eso es
indiferente que el teodolito vaya provisto o no del movimiento lento general. A los no aptos pa-
ra la repetición, por carecer de este movimiento, se les llama teodolitos reiteradores.
Cuando se mide un solo ángulo, se va cambiando la lectura de origen alrededor de toda la gra-
duación del limbo, tantas veces como reiteraciones se van a efectuar; por ejemplo, en el caso de
5 reiteraciones, los orígenes para medir serán: 0º, 72º, 144º, 216º, 288º.
Con este sistema se utiliza toda la graduación del limbo horizontal, para prevenir cualquier
error de ella, y en general, para prevenirse de fallas (del instrumento, de excentricidad, de lectu-
ra de vernier) y conviene medir el ángulo en posición directa o círculo a la izquierda (CI) y en
inversa o círculo a la derecha (CD) y leer además en los dos vernieres A y B.
H
D
C (3° - origen)
B (2° - origen)
A (1° - origen)
Figura 7.4 Medida de ángulos por reiteración
Registro
Para Repeticiones o Reiteraciones
Pto. Atrás Estación Pto. Adelante Pos. Ángulos
Observaciones Vernier A Vernier B
A H B D
C D
D D
A D
B I
C I
D I
A I
B H C D
D D
Para operar suponiendo que sólo tratemos de medir un ángulo y no varios como es lo frecuente,
dirigimos la visual al primer punto en el sentido en el que crece la graduación, como en el caso
de la repetición, pero sin que sea preciso la exacta lectura cero; apretando el tornillo del movi-
miento general, apuntaremos al segundo punto, anotando la lectura; daremos a continuación
vuelta de campana al anteojo y giro de 180º permaneciendo bien apretado el movimiento gene-
ral, y anotaremos la nueva lectura del segundo punto y después la del primero, obteniendo una
nueva medida.
Restituiremos el anteojo a la posición normal, y girando aproximadamente 72º al limbo en el
ejemplo que consideramos, procederemos a la segunda serie, que se hará en igual forma que la
primera, tomando después como medida definitiva del ángulo el promedio de las halladas.
Con el método de reiteración también se atenúan los errores de puntería y lectura, mientras
permanecen sin variación los de dirección y verticalidad del eje.
Suele usarse la reiteración no solo para medirse un solo ángulo, sino los formados por todas las
combinaciones posibles de tomar dos a dos los puntos situados alrededor del vértice. La opera-
ción se efectúa por el método de las series o vueltas de horizonte, tomando uno de los puntos
como origen y dirigiendo la puntería escalonadamente a todos en el sentido en que crece la gra-
duación hasta llegar otra vez al primero, dando la vuelta de campana al anteojo y giro de 180º
al instrumento, reiterando la vuelta de horizonte en sentido inverso.
Para la segunda reiteración se procederá del mismo modo, después de restituir el anteojo a la
posición normal y hacer girar el limbo utilizando el movimiento general, el sector que corres-
ponda como resultado de dividir 180 por el número de dobles reiteraciones.
El promedio aritmético de las cinco (5) reiteraciones nos da el ángulo más aproximado que la
primera. El número de reiteraciones recomendables es de 6 como máximo.
4) Método de reiteración por combinación binaria
El método de combinaciones binarias, es más bien propio de observaciones geodésicas, que
puede tener ventaja sobre el método de vueltas de horizonte, cuando el número de reiteraciones
haya de ser muy grande, por permitir reducir el número de observaciones sin perjuicio del re-
sultado.
Consiste en tomar como referencia del método de los pares, cada uno de los vértices y medir di-
rectamente los ángulos que forman todas las combinaciones binarias de las visuales1.
7.1.2 ÁNGULOS VERTICALES
Por construcción del teodolito el limbo vertical se mueve solidariamente con el anteojo y el
vernier permanece fijo al soporte en “A”. El ángulo vertical se mide haciendo girar el círculo
vertical alrededor del eje horizontal del instrumento. El ángulo puede ser positivo o negativo
según se apunte al anteojo hacia arriba o hacia abajo con respecto al plano horizontal determi-
nado por el nivel de burbuja. Cuando el objetivo quede sobre la horizontal, el ángulo formado
por este punto y la visual se llama ángulo de elevación y en caso contrario se denomina ángulo
de depresión.
Dependiendo del tipo de instrumento se pueden distinguir los siguientes sistemas de medida de
ángulos verticales:
Ángulos de Elevación
NadiralSistemaSistema
CenitalConvencionalSistema
90° Nivel
103° 10'
131° 13' 30"
90 Nivel
76° 50'
58° 46' 30"
0° Nivel
+ 13° 10'
+ 41° 13' 30"
Ángulos de Depresión
1 Topografía General y Aplicada – Francisco Domínguez García-Tejero; pagina 366.
SistemaConvencional Cenital
Sistema SistemaNadiral
58° 46'
76° 50'
90° Nivel
131° 13'
103° 10'
90 Nivel
-41° 13'
- 13° 10'
0° Nivel
Los ángulos verticales también están contenidos en un plano vertical, pero se miden con res-
pecto a una línea vertical o con respecto a una línea paralela a una superficie de nivel.
El ángulo vertical sirve para definir el grado de inclinación de un alineamiento sobre el terreno.
HORIZONTE
Si se toma como referencia la línea horizontal, el ángulo vertical se llama ángulo de pendiente,
el cual puede ser positivo o de elevación o negativo o de depresión, y este es el ángulo que se
conoce como pendiente de una línea, el cual puede ser expresado tanto en ángulo como en por-
centaje.
CENIT
Si se escoge como referencia el extremo superior de la línea vertical, el ángulo se llama cenital.
El cenit es un punto perpendicular a la superficie de la tierra, ver figura 7.5.
pto. terrestre
nadir
cenit
vertical
Figura 7.5 Puntos de corte de la esfera celeste, cenit y nadir
NADIR
Si se escoge el extremo inferior el ángulo se llama nadiral. El nadir es el punto opuesto al cenit.
7.2 ERRORES QUE AFECTAN LAS MEDIDAS
ANGULARES
Estos pueden ser de dos clases: desajustes del instrumento y errores humanos.
7.2.1 DESAJUSTES DEL INSTRUMENTO
Se pueden distinguir dos tipos de desajustes: los que afectan a los ángulos horizontales y los
que afectan a los ángulos verticales.
1) En el caso de desajustes del instrumento que afectan los ángulos horizontales, si el instru-
mento esta perfectamente corregido, la relación entre sus diferentes ejes deberá ser la que se
muestra en la figura 7.6.
Estas relaciones se alteran con el uso y abuso del instrumento y deberán comprobarse antes de
iniciar cualquier trabajo importante, y luego a intervalos frecuentes para asegurarse del ajuste
correcto del instrumento.
2) En el caso, de desajustes del instrumento que afectan los ángulos verticales, cuando el an-
teojo este horizontal los índices de los vernieres deben leer cero y, como están solidarios con el
nivel del anteojo, la burbuja de este último deberá estar centrada.
Eje de Teodolito
2
Línea de Colimación 3
1
Nivel del Plato
Eje Vertical
Figura 7.6 Relación entre ejes
7.2.2 ERRORES HUMANOS
Los errores humanos se consideran de dos tipos: graves y casuales.
Errores graves
Son equivocaciones de parte del observador debidos a descuido o fatiga, incluyendo observa-
ciones de puntos equivocados, medida de ángulos en sentido errado, lecturas erróneas de los
círculos, anotaciones incorrectas en la libreta de campo, etc.
Estos errores sólo pueden evitarse con un trabajo muy cuidadoso y con la observación de cada
ángulo por lo menos dos veces, en vista de que de este modo se podrán detectar los errores.
Errores casuales
Pueden ser debidos a errores del tacto o de la vista, que hacen imposible poder bisectar exacta-
mente los ángulos. Estos errores, sin embargo, son pequeños y de escasa importancia, y es
posible minimizarlos efectuando varias observaciones y adoptando su promedio.
7.3 CUESTIONARIO
Medidas de ángulos con teodolíto
1. ¿Cómo se leen los ángulos horizontales?
2. ¿Qué métodos se usan para la medición de ángulos horizontales?
3. ¿En qué consiste cada método?
4. ¿Cómo se leen los ángulos verticales?
5. ¿Qué errores afectan las medidas angulares?
7.4 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Método de Reiteración
Se requiere hacer cuatro reiteraciones, los orígenes para medir serán: 360°/4 = 0°, 90°, 180° y
270°.
Orígenes Lectura Final Ángulo correspondiente
0° 00' 26° 02' 26° 02'
90° 00' 116° 03' 26° 03'
180° 00' 206° 03' 26° 04'
270° 00' 296° 04' 26° 04'
Promedio 26° 3'
Ejemplo 2 Método de Repetición
Se requiere hacer tres repeticiones.
Repetición Valor
Acumulado
1 377° 20'
2 74° 42'
3 112° 03'
Promedio 37° 21'
88
CCAAPPÍÍTTUULLOO
PLANIMETRIA
8.1 GENERALIDADES
Se entiende por planimetría a los procedimientos para fijar las posiciones de puntos, proyecta-
dos en un plano horizontal, sin importar sus elevaciones.
Es decir, es el conjunto de operaciones necesarias, para la determinación de puntos sobre el te-
rreno que serán proyectados sobre un plano horizontal X – Y.
8.2 MEDIDAS LINEALES
Se trata de la medición de distancias, entendiéndose por distancia entre dos puntos, la distancia
horizontal.
8.2.1 ALINEACIÓN
Alineación, es el conjunto de operaciones de campo que sirven para orientar o guiar las medi-
ciones de las distancias, de tal manera que los puntos intermedios utilizados siempre queden
sobre el alineamiento.
Un alineamiento se define como la línea trazada y medida entre dos puntos sobre la superficie
terrestre. La dirección de un alineamiento siempre se da en función del ángulo horizontal que se
forma entre el alineamiento y una línea que se toma como referencia. La dirección se mide
siempre en planta o en un plano horizontal.
Existen varias formas de dar la dirección de una línea:
El ángulo que forma la línea con el alineamiento adyacente, indicando el sentido del
ángulo medido, ya sea en forma horaria, en el sentido de la manecilla del reloj (+) o en
sentido anti-horario, contrario a las manecillas del reloj (-).
El ángulo que forma cada uno de los alineamientos con respecto a una sola línea de re-
ferencia, denominado "meridiano de referencia". Este es el método corrientemente
utilizado.
8.3 TIPOS DE POLIGONALES
8.3.1 POLIGONAL ABIERTA
Poligonal cuyos extremos no coinciden, este tipo de poligonal no es auto controlado y pueden
producirse errores lineales o angulares que no sean detectados.
La única comprobación posible sería repetir toda la poligonal, volverla a levantar en sentido
contrario (ver figura 8.1), es decir de F hacia A.
Figura 8.1 Poligonal abierta
8.3.2 POLIGONAL CERRADA
Se llama poligonal cerrada a la que habiendo partido de un punto dado, termina en el mismo
punto, después de recorrer todos los puntos requeridos.
Para establecer una poligonal cerrada basta calcular el azimut de un lado del polígono y los án-
gulos interiores formados por los ángulos de este.
En este tipo de poligonal los lados se cierran para formar un polígono, se debe medir todos los
lados y los ángulos.
Los ángulos positivos señalados con arcos continuos (ver figura 8.2), son ángulos exteriores del
polígono y los que se miden cuando el levantamiento se efectúa en el sentido positivo (sentido
del movimiento de las agujas del reloj); es decir que el instrumento se lleva de A a B a C, etc.
N
B
A
F
D
C
E
F
A
E
DC
N
B
Figura 8.2 Poligonal cerrada
La poligonal se auto comprueba, hasta cierto punto, ya que la suma de los ángulos externos de
un polígono debe ser igual a:
)2n(180exteriores angulos
Donde:
n = número de vértices o estaciones del instrumento.
En la figura 8.2, los ángulos interiores son los que se miden cuando el levantamiento se hace en
sentido negativo (contrario al movimiento de las agujas del reloj).
La sumatoria deberá ser igual a:
)2n(180interiores ángulos
Donde “ n ” es el número de estaciones, y la suma de los ángulos medidos no deberá diferir de
esta cantidad en más de los límites de tolerancia indicados posteriormente.
8.3.2.1 EJEMPLOS DE POLIGONALES CERRA-
DAS
Poligonal envolvente, cuando los obstáculos o la forma del terreno es tal que no pode-
mos medir sobre el lindero del mismo, ni desde punto alguno del interior.
Poligonal interior o inscrita, cuando no es posible medir los linderos directamente y
podemos formar un polígono desde cuyos vértices definir el contorno del terreno que nos in-
teresa representar.
Poligonales mixtas, cuando por necesidades específicas se recurre a poligonales que
cruzan de afuera hacia adentro y viceversa.
Poligonales coincidentes con el terreno, cuando desde las propias esquinas del terreno
podemos medir una poligonal. Esto significa que tenemos visibilidad desde todos los vértices
con los lados anterior y siguiente, además de no haber obstáculos para realizar las medidas li-
neales.
8.3.3 POLIGONAL BIFURCADA
Conociendo n puntos, conocemos una línea de partida y llegamos a una línea final teniendo un
azimut inicial Zi y un azimut final Zf, (ver figura 8.3).
zi
A
B
C
D
zM f
N
Figura 8.3 Poligonal bifurcada
Si A y M fueran visibles entre si, la poligonal bifurcada podríamos transformarla en poligonal
cerrada bifurcada.
A
C
B
M
D
Figura 8.4 Poligonal cerrada bifurcada
Para cerrar, poner el instrumento en M, entonces D punto atrás y A punto adelante (figura 8.4).
8.4 LEVANTAMIENTOS POR POLIGONAL
Para representar gráficamente los terrenos que levantamos es necesario el apoyo de figuras
geométricas, puntos, líneas rectas, curvas, coordenadas, etc.
En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales abiertas o cerradas, de las cuales reco-
pilamos las mediciones lineales y angulares que nos permitan representar gráficamente la
proporción del terreno con todos sus detalles.
Las operaciones que comprende son: el reconocimiento del terreno, la materialización de los
vértices del polígono, el dibujo del croquis de la zona en una libreta de campo, definición de la
orientación de un lado de la poligonal, generalmente de el primero, se hace un levantamiento
del perímetro midiendo los ángulos y las longitudes de los lados y el levantamiento de detalles.
8.5 POLIGONALES CON TEODOLITO Y CINTA
Se da el nombre de “poligonal” a un polígono
o una línea quebrada de “n” lados, o a una suce-
sión de alineamientos, que puede ser abierta o cerrada y que sirve de esquema geométrico de
referencia para los levantamientos topográficos.
Se recomienda hacer poligonación porque podemos controlar el trabajo, ya que existen errores
que tienen que estar en cierto margen y deben ser controladas con fórmulas geométricas y si-
métricas.
Se emplean los siguientes métodos de levantamiento:
Medida directa de ángulos
Deflexiones, y
Conservación de azimutes
Medida directa de ángulos (poligonales cerradas); consiste en medir en todos los vértices del
polígono los ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación. To-
mándose los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polígono en sentido contrario
al movimiento de las manecillas del reloj y los ángulos exteriores en el sentido de dicho movi-
miento.
Método de deflexiones (poligonales abiertas); cuando dos rectas se unen en un punto forman-
do un ángulo, el ángulo que forma la prolongación de una de estas rectas con la otra es la
deflexión, esta puede ser positiva hacia la derecha de la recta prolongada o bien negativa hacia
la izquierda.
Método de conservación de azimutes (para cualquier clase de polígono); consiste en conser-
var el azimut de un lado leído en una estación, para partir de el en las lectura que se ejecuten en
la siguiente estación.
8.5.1 MEDIDA DE ÁNGULOS INTERIORES
Las observaciones angulares deben efectuarse antes que las lineales (distancias), (ver figura
8.5) y así mientras que el instrumento está aún en estación se miden los ángulos verticales ne-
cesarios y se alinea la cinta.
Tramo 1
Dinamómetro
Estaca de la estación
Jalón
Tramo 1
h
Tramo 2
h h1
Jalón
Placa de marcar
h1
Tramo 3
h2
Tramo 4
h2
h1
Figura 8.5 Ángulos interiores
Estas observaciones pueden realizarse por cualquiera de las siguientes formas: ángulos de de-
flexión, ángulos a la derecha, ángulos interiores o azimút. Para cada método es recomendable
tomar medidas compensadas de cada ángulo como un control. Para trabajos más precisos los
ángulos se deben medir varias veces por el método de repetición 1.
8.5.2 ÁNGULO DE DEFLEXIÓN
Es el ángulo entre la prolongación de la línea anterior y la siguiente (ver figura 8.6).
Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polígono, habrá deflexiones derechas e iz-
quierdas. Este sistema es especialmente adecuado para polígonos abiertos como los que se
emplean en estudios de vías de comunicación.
D
H
D
I
D G
I
C
FD
I
D
Deflexión derechaA
B
E
D
D
Figura 8.6 Ángulo de deflexión
1 Ver capítulo 7; Medida de ángulos con teodolito, sección 7.1.
En cada vértice se observa el punto de atrás, se da vuelta de campana y se gira la deflexión para
observar el punto adelante.
8.5.2.1 CONDICIÓN ANGULAR
“La suma de deflexiones de un polígono cerrado es igual a 360º”, considerando signos con-
trarios para deflexiones derechas e izquierdas.
En polígonos abiertos, el control angular solo puede hacerse comprobando las direcciones de
los lados mediante rumbos astronómicos cada cierto número de lados.
En general su uso está decayendo por la frecuencia de equivocaciones en las lecturas y al anotar
los ángulos a la derecha o a la izquierda, especialmente cuando los ángulos son pequeños.
Quizás el método más común de medir ángulos para una poligonal es el de ángulo a la derecha.
Con este método, el vernier A se coloca en cero y se dirige el anteojo al punto atrás. Se suelta el
plato superior y se gira el anteojo, en dirección del movimiento de las agujas del reloj hasta ob-
servar el punto adelante y se lee el ángulo.
En ángulos interiores de poligonales (para poligonales cerradas) se miden todos los ángulos por
el método de repetición o reiteración descritos en el capítulo anterior, lo cual no ocurre con los
otros métodos.
8.5.3 AZIMUT DE POLIGONALES
Se utilizan frecuentemente para levantamientos en los cuales se va a localizar un gran número
de detalles. Este método se emplea para cualquier clase de polígonos.
Para este método (azimut de poligonales) pueden seguirse los sistemas de operación con vuelta
de campana y sin vuelta de campana:
Con vuelta de campana para ver atrás en inversa y adelante en directa, y siempre le-
yendo en un mismo vernier.
Sin vuelta de campana, alterando las lecturas en cada vértice a los verniers A y B, para
obtener el azimut directamente.
8.6 DIBUJO DE POLIGONALES CON TEODOLITO
Para obtener los datos en terreno, se utilizarán cuatro instrumentos: un taquímetro, una mira
graduada, una cinta y clavos. Los clavos serán utilizados para fijar las estaciones; el taquímetro
para realizar las lecturas de hilos sobre la mira y para las lecturas de ángulos; la cinta servirá
para medir la altura instrumental.
En primer lugar se fijarán las estaciones, éstas serán los puntos del terreno donde se situará el
instrumento. Estas estaciones tienen que cumplir con la condición principal de ser visibles entre
ellas. Las estaciones deben ser situadas en zonas que sean accesibles y presenten buenas condi-
ciones para situar el instrumento.
A las estaciones se les asignará el nombre de estación 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. siguiendo el contorno
de un polígono cerrado.
Se situará el instrumento sobre la primera estación (E1), es importante que al situar el taquíme-
tro, éste quede bien nivelado y que la estación coincida con la plomada óptica, para de ésta
forma asegurarse de que el eje óptico se encuentre precisamente sobre la estación y no sobre un
punto cercano a ella, lo que acarrearía un error considerable en todas las medidas poste-
riormente realizadas desde dicha estación. Situado el instrumento, se medirá la altura instru-
mental, esta medida se efectuará con cinta y se hará desde el eje óptico hasta la estación; ya que
la cinta no se puede situar exactamente sobre el eje óptico, puesto que éste se encuentra en el
interior del instrumento, entonces se situará en un punto, marcado sobre el instrumento, que se
encuentra a la misma cota del eje pero desplazado un poco horizontalmente.
Se calará el instrumento al Norte supuesto (calar significa fijar la lectura del ángulo acimutal en
0 radianes), es importante que el Norte quede determinado por la línea que une la primera esta-
ción con algún hito que sea suficientemente lejano, inamovible, y que sea lo suficientemente
angosto para no perder precisión en la medida de ángulos horizontales. Se medirán los azimutes
de las líneas que unen a la estación 1 (E1) con las estaciones 2, 3, 4, etc.
Ahora, ubicando la mira sobre E2, según corresponda, se harán las lecturas de hilos superior,
medio e inferior y la lectura de ángulo vertical para cada estación. Estos datos, ángulos e hilos,
se llevarán a la tabla, junto con la altura instrumental y serán suficientes para posteriormente
calcular la posición relativa de cada estación.
Ya se estará en condiciones de hacer el primer cambio de estación. Se llevará el taquímetro a la
E2 y se situará el instrumento sobre dicha estación de la misma forma que se hizo en E1, y sin
olvidar medir la altura instrumental, se medirá el ángulo interior que conforman las líneas E2-
E1 y E2-E3, de la misma manera que se hizo para medir el azimut E1-E2, pero con la única di-
ferencia que ahora se calará el cero en la estación uno. Se harán las medidas de ángulo vertical
e hilos sobre E1 y E3. Siguiendo el mismo procedimiento, se hará los cambios de estación a
E3, tomando todas las medidas ya mencionadas y así sucesivamente con las demás estaciones.
Con los datos obtenidos, se estará en condiciones de calcular los azimuts y cotas de las estacio-
nes y las distancias horizontales, para de esta forma calcular las coordenadas de cada estación.
Como para cada dos estaciones se tendrán dos distancias horizontales (una de ida y otra de
vuelta), se considerará el promedio de las dos.
8.7 ORIENTACIÓN DE POLIGONALES
Los meridianos de referencia para la medición de la dirección u orientación en planta de un ali-
neamiento pueden ser de varios tipos: verdaderos, magnéticos y arbitrarios.
Meridiano geográfico verdadero
Meridianos magnéticos
Meridianos arbitrarios
8.8 CÁLCULO DE COORDENADAS
Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando algebraicamente las pro-
yecciones de cada lado a las coordenadas de la estación anterior.
Si no se conocen las coordenadas del punto de partida, se le atribuyen coordenadas arbitrarias,
elegidas de tal modo que las correspondientes a todos los demás vértices de la poligonal sean
positivas; es decir que la poligonal queda alojada en el primer cuadrante, para facilitar el dibujo
del plano.
“Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyec-
ciones de los lados comprendidos entre el origen y el vértice cuyas coordenadas se desea
conocer”.
Para calcular las coordenadas de los vértices de la poligonal se requiere los rumbos de sus la-
dos, que se obtienen a partir de los ángulos externos (positivos) o internos (negativos) medidos
en el terreno.
El cálculo de los azimutes de los lados del polígono se realiza aplicando la siguiente regla:
El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando el azimut inverso del lado
anterior el ángulo horizontal tomado en la estación que es origen del lado cuyo azimut se busca.
BAB.inv.AzBCAz
Las operaciones aritméticas se comprueban calculando el azimut del lado de partida.
8.9 CÁLCULO DE ÁREAS
Si en un cuadrilátero conocemos sus lados, encontramos su área utilizando métodos geo-
métricos conocidos como por ejemplo mediante triángulos, usando la ley de senos y cosenos, o
por medio de sus coordenadas, sabiendo que por geometría analítica el área de un triángulo en
función de las coordenadas de los vértices es igual a ½ de un determinante, entonces el área del
polígono es igual a la suma de las áreas de tantos triángulos se conforme este.
Otra forma de deducir el área es por medio de los trapecios que se forman con la poligonal y
alguno de los ejes cartesianos.
8.10 AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Tenemos algunos cálculos para encontrar el grado de error que hemos tenido.
8.10.1 AJUSTE ANGULAR Y CÁLCULO DE RUM-
BOS (POLIGONALES CERRADAS)
Son los errores en los ángulos o exceso en la medida de ángulos y distancias.
Esta operación se denomina compensación angular del polígono y consiste en distribuir entre
todos los ángulos del polígono, el error angular encontrado, siempre que este se encuentre den-
tro de los límites de tolerancia.
8.10.1.1 ERRORES CON TRÁNSITO Y CIN-
TA
8.10.1.1.1 Error angular (EA)
El error angular se determina comparando la suma de los ángulos observados.
2n180.int.ángulos , si se miden ángulos interiores.
2n180.int.ángulos , si se miden ángulos exteriores.
8.10.1.1.2 Tolerancia angular (TA)
La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula.
na T ad.max
n04T , en el caso de un teodolito que lea segundos.
n10T , en el caso de un teodolito de veinte segundos.
El error máximo en la poligonación esta en función de “a”.
Donde:
a = precisión de lectura del instrumento utilizado, medido en segundos.
El error angular encontrado deberá estar dentro de los límites de la tolerancia, tiene que cum-
plir:
EA < TA
8.10.1.1.3 Corrección angular (C)
La compensación angular consiste en distribuir entre todos los ángulos del polígono, el error
angular encontrado. La corrección angular “C” se aplica con signo contrario al error angular.
Una vez efectuada la compensación angular el polígono queda como una figura angularmente
correcta. La corrección angular puede efectuarse de diferentes maneras, sin embargo, para el al-
cance de este curso, el error angular se distribuirá solamente entre el número de ángulos del
polígono.
n
EC A
Luego procedemos con el cálculo de los azimuts de los lados del polígono.
A continuación se convierten los azimuts a rumbos2.
2 Ver Capítulo 3; Ángulos y direcciones.
8.11 CÁLCULO DE DIRECCIONES
Se llaman proyecciones de un lado del polígono a los catetos de un triángulo rectángulo for-
mado por una vertical que parte de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del
punto visado. En la recta AB de la figura 8.7, la vertical que parte de A es AC y la horizontal
que parte de B hasta encontrar a al vertical es BC, siendo ambas rectas, las proyecciones de la
recta AB.
Punto visado
EstaciónA
y
C
N
90°
Rbo.
L
xB
Figura 8.7 Dirección de un punto
Si la proyección vertical va hacia el Norte, tiene signo positivo y se designa con N; si va hacia
el Sur su signo es negativo y se designa con S.
Si la proyección horizontal va hacia el Este tiene signo positivo y se designa con E; si va hacia
el Oeste su signo es negativo y se designa con W.
De manera general las proyecciones se designan con las letras “y proyección vertical” y “x
proyección horizontal”.
Por trigonometría se tiene:
RbocosLy
RbosenLx
RboRbo
Rbo Rbo
III
IV
II
I
-x
-y
+x
- cos Rbo- cos Rbo
+ cos Rbo+ cos Rbo
+ sen Rbo
- sen Rbo
+ sen Rbo
- sen Rbo
Figura 8.8 Cuadrantes y signos de las coordenadas topográficas
8.11.1 DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES EN
LAS PROYECCIONES
Por ser un polígono cerrado se debe cumplir:
SesproyeccionNesproyeccion
WesproyeccionEesproyeccion
Debido a pequeños errores al terminar los ángulos y las distancias y al haber repartido el error
de cierre en partes iguales entre todos los ángulos, no se cumple exactamente, entonces tene-
mos:
xESesproyeccionNesproyeccion
yEWesproyeccionEesproyeccion
De acuerdo con la exactitud requerida, se han establecido límites máximos para el error unitario
(ver tabla 8.1). Se toma como guía las siguientes normas:
Tabla 8.1 Límites máximos de error unitario3.
Error máximo Clases de levantamientos
1:800
Levantamiento de terrenos quebrados
y de muy poco valor, generalmente
hechos por taquimetría.
1:1000 a 1:1500
Levantamientos de terrenos de poco
valor; Taquimetría con lectura de mi-
ra.
1:1500 a 1:2500 Levantamientos de terrenos de valor
medio; levantamientos con estadía.
1:2500 a 1:4000 Levantamientos urbanos y terrenos ru-
rales con cierto valor.
1:4000 en ade-
lante
Levantamientos en ciudades y terre-
nos bastante valiosos.
1:10000 y más Levantamientos geodésicos.
8.12 AJUSTE LINEAL
Para dibujar nuestra poligonal es necesario que cumpla las condiciones geométricas de cierre
en ángulo y distancia. Compensados los errores de los ángulos, dibujamos la poligonal por me-
dio de los ángulos compensados, o rumbos calculados y las distancias medidas, encontramos
que el punto final no coincide con el inicial, debido al error lineal.
8.12.1 ERROR LINEAL (EL)
Se hace coincidir la estación inicial 0 del polígono con el origen del sistema de coordenadas
rectangulares, la distancia 00’ es el error de cierre lineal y se designa por EL, por tanto el valor
del error de cierre lineal se encuentra aplicando el Teorema de Pitágoras.
3 Manual de Topografía General I – II; E. Narváez D.; L. LLontop B.
EL
O
Ey
Ex
Ey
X
Y
O' (Ex , Ey)
Figura 8.9 Error lineal
2
y
2
xL EEE
8.12.1.1 TOLERANCIA LINEAL (TL)
Tabla 8.2 Tolerancia lineales.
Orden del levantamiento Tolerancias
Preciso
Primero
Segundo
Tercero
Donde:
TL = Tolerancia lineal [m]
p = Desarrollo de la poligonal [m]
Es práctico emplear las siguientes fórmulas:
Tabla 8.3 Tolerancia lineales.
Orden del levantamiento Tolerancias
Preciso
Primero
Segundo
Tercero
00008.0p 000000045.0 p TL
0002.0p 00000018.0 p TL
0005.0p 00000040.0 p TL
00008.0p 000000011.0 p TL
5000/pTL
3000/pTL
10000/pTL
1000/pTL
8.12.1.2 PRECISIÓN (P)
Tabla 8.4 Precisión.
Precisión
Taquimétrica
Buena
Muy Buena
8.12.1.3 COMPENSACIÓN LINEAL (kx y ky)
Primero se calculan los factores unitarios de corrección kx y ky, o sea correcciones por metro.
WE
xx
xx
Ek
SN
y
yyy
Ek
Donde:
xWE Exx
ySN Eyy
Multiplicando las proyecciones de los lados por los factores unitarios de corrección co-
rrespondientes obtenemos las correcciones.
Si:
W.esproyeccion las a )( escorreccion
E. esproyeccion las a (-) escorreccion
x xW
E
N. esproyeccion las a )( escorreccion
S. esproyeccion las a (-) escorreccion
y yS
N
El límite máximo admisible lineal se expresa como: Emax.adm.lineal > 2500 o 3000, si es verdadero
continuamos con el ajuste lineal, caso contrario revisar las distancias.
Para corregir esas distancias se utiliza:
8.13 MÉTODO PROPORCIONAL
10001
50001a
30001
100001
Es una poligonación chica, consiste en distribuir Et proporcional a las longitudes de la diagonal,
figura 8.10.
BA
EE
C
B
C
E D
D M´
Figura 8.10 Proporcionalidad de triángulos
AB + BC = EC
AC EC
Se tiene que encontrar analíticamente EC, tenemos lo siguiente:
R
Nu
D
Ef
N ; Factor unitario en N
R
Eu
D
Ef
E ; Factor unitario en E
Factor por unidad de longitud.
Cada uno factor unitario tiene que ser corregido, en la parte que le corresponda, con:
iE
iN
Rui
Rui
Df E
Df N
8.14 CUESTIONARIO
Planimetría
1. Describir las características de poligonales cerradas e indicar algunos ejemplos.
2. Mencionar las operaciones comprendidas en un levantamiento por poligonal.
3. Explicar cálculo de coordenadas.
4. Describir brevemente el método de levantamiento por deflexiones.
5. Desarrollar el dibujo de poligonales con teodolito.
8.15 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Cálculo de coordenadas
Calcular el Rumbo y la longitud del lado AC y las coordenadas de los vértices B y C del te-
rreno triangular que se muestra en la figura.
Az. AB
X
Y
200
200
Nconstrucción
C
I
BA
Figura 1
Datos:
I '45 83BC Deflección
m 00.250BC
m 00.202AB
'22 93AB.Az
)00.200 ;00.200 (A
Cálculo del rumbo AB:
E '38 86 S'22 93 '60 179AB.Az '60 179AB.Rbo
Proyecciones del lado AB:
E m 201.65 '83 68 sen202AB.Rbo sen ABX
S m 11.86 '83 68 cos202AB.Rbo con ABY
Coordenadas del vértice B:
188.14 401.65 B
11.86 - 202.65 AB proy.
200.00 200.00
Y X A
Cálculo del rumbo BC:
E '37 9 N '23170 '60 179)BC.DeflAB.boR( '60 179BC.Rbo
Proyecciones del lado BC:
E m 41.77 '73 9 sen250BC.Rbo sen BCX
N m 246.49 '73 9 cos250BC.Rbo con BCY
Coordenadas del vértice B:
63.344 443.42 C
246.49 - 77.14 BC proy.
14.881 65.014
Y X B
Cálculo del rumbo AC:
E '03 46 NAC.Rbo
03746.163.234
42.243
20063.434
20042.443
YY
XXAC.Rbotan
AC
AC
Longitud del lado AC:
m 10.338AC
10.33871995.0
42.243
'0346sen
42.243
AC.Rbo sen
XXAC AC
Ejemplo 2 Cálculo de coordenadas
Sea la poligonal: A –B – C – D – A.
136° 13' 11"
59° 29' 30"112° 01' 22"
52° 16' 17"
= N 77° 28' 17" W
100
1400
BCRC
B
A
D
Figura 2 Poligonal cerrada, con sus ángulos observados y rumbo base.
1) Cálculo del error angular:
A = 59° 29’ 30”
B = 136° 13’ 11”
C = 52° 16’ 17”
D = 112° 01’ 22”
"20 '00 360DCBA
"00 '00 360 2) - (4 180 2) -(n 180 interiores Ángulos
Error angular:
20" E
20" 00' 00 00" 00' 360 - "20 '00 360E angular Error
a
a
Tolerancia Angular:
1 60' 4 30' T
na T
a
a
ok T E
aa
Corrección angular:
ángulos. de número el esn "5
4
"20
n
E C angular Corrección a
a
"5Ca
2) Compensación de ángulos:
La corrección angular se aplica con signo contrario al error.
A = 59° 29’ 30” – 05” = 59° 29’ 25”
B = 136° 13’ 11” – 05” = 136° 13’ 06”
C = 52° 16’ 17” – 05” = 52° 16’ 12”
D = 112° 01’ 22” – 05” = 112° 01’ 17”
"00 '00 360DCBA
3) Cálculo de rumbos: Columna 4
Con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base RBC = N 77° 28’ 17” W.
-+
-
S
W E
N
+
Figura 10.21 Convención de signos, para ángulos medidos en sentido a la derecha.
Rumbo BC (RBC) = N - 77° 28’ 17” W
+ 52° 16’ 12”
- 25° 12’ 05”
00° 00’ 00”
Rumbo CD (RCD) = S - 25° 12’ 05” E
+ 112° 01’ 17”
+ 86° 49’ 12”
00° 00’ 00”
Rumbo DA (RDA) = N + 86° 49’ 12” E
+ 59° 29’ 25”
+ 146° 18’ 37”
- 179° 59’ 60”
Rumbo AB (RAB) = N - 33° 41’ 23” W
+ 136° 13’ 06”
+ 102° 31’ 43”
- 179° 59’ 60”
Rumbo BC (RBC) = N - 77° 28’ 17” W
4) Cálculo de coordenadas:
Siguiendo la convención de signos expuesta en el capítulo, se calculan las coordenadas.
Coordenadas parciales:
(Rumbo)sen (L) horizontal Distancia x
(Rumbo) cos (L) horizontal anciaDisty
Lado D – A:
10 columna 400.013 - )23" 41' (33sen )( 721.14 (Rbo)sen L x
9 columna 600.03 )23" 41' (33 cos )( 721.14 (Rbo) cos Ly
Se suman todas las proyecciones en “x” y en “y”, tomando en cuenta lo siguiente:
0.04 y - yE
0.015 - x - xE
SNy
WEx
Error lineal:
2
y
2
xLEEE
m 0.043 )04.0()015.0(E 22
L
Tolerancia Lineal:
5000
LT
L
m 697.0 5000
9.3483T
L
ok T ELL
Precisión:
0000123.081021
1
9.3483
043.0
L
EP L
Factores unitarios de compensación lineal:
0000235.004.1700
04.0
850)01.5020003.600(
04.0
yy
Ek
00000577.0025.2600
015.0
)007.900013.400()003.900002.400(
015.0
xx
Ek
SN
y
y
wE
x
x
Correcciones que se aplicaran a las proyecciones:
x
DC-
CB-
B-A
AD
E 0.015
0052.000000577.0003.900 x
0023.000000577.0002.400 x
0052.00.00000577900.007 x
0023.000000577.00013.400 xx
y
DC-
C-B
B-A
AD
E 0.04
0012.00000235.001.50y
0201.00000235.0850y
0047.00.0000235200y
0141.00000235.003.600y y
Proyecciones corregidas:
Tabla 1 Proyecciones corregidas.
Proyecciones sin corregir Correcciones Proyecciones corregidas
E W N S x y E W N S
D -A -400,013 600,03 0,002 -0,014 -400,011 600,02
A -B -900,007 200 0,005 -0,005 -900,002 200,00
B - C 400,002 -850 -0,002 0,020 400,00 -850,0
C - D 900,003 50,01 -0,005 -0,001 900,00 50,01
Coordenadas totales:
Se conocen las coordenadas Norte y Este del punto A. (O se asumen, de tal forma que el polí-
gono quede alojado en el primer cuadrante).
Punto A.
Coordenadas: Norte = 100.00
Este = 1400.00
Coordenada Norte = + 100.00 columna 11
+ 600.02
+ 700.02
+ 200.00
+ 900.02
- 850.00
+ 50.02
+ 50.01
+ 100.00
Coordenada Este = + 1400.00 columna 12
- 400.011
+ 999.989
- 900.002
+ 99.987
+ 400.00
+ 499.987
+ 900.000
+ 1400.00
Distancia vertical:
0.2 2.3- 0.72 - 2.10 1.12 hhhh DCBA
Corrección:
0.05 4
20.0
n
E C Corrección
8 columna 0.05 - C
07.105.012.1
Cota de elevación m.s.n.m:
12 columna m 37.25611.07 3.2560
99
CCAAPPÍÍTTUULLOO
TAQUIMETRÍA
9.1 INTRODUCCIÓN
Su objetivo es abreviar el trabajo, haciendo en el campo simultáneamente la poligonación y el
levantamiento altimétrico.
Determina la posición de un punto en el espacio por tres coordenadas, x, y, z, considera el des-
nivel como una coordenada mas.
Por medio de la taquimetría pueden medirse indirectamente distancias horizontales y diferen-
cias de nivel. Se emplea este sistema cuando las características del terreno hacen difícil y poco
preciso el empleo de la cinta; constituyendo un procedimiento rápido.
La taquimetría es muy utilizada para obtener los datos necesarios para la preparación de planos
topográficos y otros.
ía)(Taquimetr etríaPlanialtim Altimetría aPlanimetrí
9.2 EQUIPO TAQUIMÉTRICO
Los taquímetros como el teodolito son los instrumentos apropiados para las triangulaciones, es-
pecialmente indicados para determinar simultáneamente la cota.
El taquímetro es un teodolito provisto de una estadía en el anteojo, para evaluar las distancias
con mayor precisión, en general se da a sus anteojos un aumento mayor y son de analitismo
central. Su construcción se ajusta a dos tipos de fabricación diferente, según sean los limbos de
vidrio o metálicos con cinta de plata embutida.
Cualquiera que sea el tipo, su apreciación no suele pasar de medio minuto centesimal, ni tam-
poco bajar de los dos minutos.
Los limbos azimutales de los taquímetros son de graduación normal; otra particularidad es la de
ser repetidores1.
1 Ver Capítulo 7; Medidas de ángulos con teodolito, sección 7.1.
Generalmente se provee a los taquímetros de una declinatoria; es ésta una aguja magnética dis-
puesta en el interior de un tubo, cuando mirando a su través veamos la aguja en coincidencia
con el eje, estará el tubo en dirección de la meridiana magnética, circunstancia que utilizaremos
para comprobar que el instrumento está orientado.
Su anteojo o telescopio está provisto con hilos taquimétricos o estadimétricos que están en el
anillo reticular, uno arriba del hilo horizontal y otro debajo, a igual distancia figura 9.1 y una
mira taquimétrica es aquélla que permite efectuar lecturas hasta de 250 m de distancia.
Ls
Lm
Li
i
TaquimétricosHilos
Figura 9.1 Hilos estadimétricos
2
LLL IS
m
Donde.
inferior. HiloL
superior. HiloL
media. LecturaL
i
s
m
Comprobar que la lectura media leída cumpla con la igualdad, de lo contrario volver a leer.
9.3 TEORÍA TAQUIMÉTRICA
Es un sistema de levantamiento que consta en determinar la posición de los puntos del terreno
por radiación, refiriéndolo a un punto especial (estación) a través de la medición de sus coorde-
nadas y su desnivel con respecto a la estación. Este punto especial es el que queda determinado
por la intersección del eje vertical y el horizontal de un taquímetro centrado sobre un punto fi-
jado en terreno.
Tiene por objeto el estudio de los métodos de observaciones topográficas y cálculo utilizando
el taquímetro, para poder obtener simultáneamente la posición horizontal y vertical de puntos
del terreno mediante observaciones de distancias y ángulos.
9.3.1 DISTANCIAS HORIZONTALES
Determina las distancias horizontales y verticales, por medio de la estadía, con utilización de
las medidas angulares.
La relación entre la distancia “D” de un instrumento a una mira mantenida verticalmente, y
aquélla parte o intervalo “g” de la misma, interceptada por los hilos estadimétricos del anteojo,
se representa en términos generales por una función lineal (ver figura 9.2).
gkcD
Donde:
g.100 D i
L-s
L generador número :g
0.cy D distancia la de 1m represente g que para 100 k
:cálculo de fines para anteojo, delón construcci la dedependen que lesintrumenta constantes :k y c
g
D
Mira
Figura 9. 2 Distancia horizontal
Se da el caso en el que “g” es constante, cuando se mide la altura del instrumento.
9.3.2 MEDICIONES INCLINADAS
Como las lecturas taquimétricas son casi siempre horizontales, es necesario considerar la teoría
de visuales inclinadas, figura 9.3.
En general para ángulos verticales (+) y (-).
mLhhih
hi
DH
g
DV
h
Li
Ls
Lm
Figura 9. 3 Visuales inclinadas
Donde:
nivel. de Diferencia h
.sen21/2g DV
vertical.DistanciaDV
.cos g DH
.horizontal DistanciaDH
o.instrument del Alturahi
media. LecturaL
2
m
9.4 PROCEDIMIENTO DE CAMPO PARA LE-
VANTAMIENTOS TAQUIMÉTRICOS
9.4.1 MÉTODO - CONFIGURACIÓN CON PUN-
TOS AISLADOS (RADIACIONES)
Para configuraciones, los puntos del terreno se fijan por radiaciones desde los vértices de los
polígonos de base, obteniendo también su distancia y desnivel, que permiten situarlos con un
ángulo, una distancia y una elevación.
Como en estos levantamientos solo se toman puntos aislados notables del terreno, el trazado de
las curvas de nivel se obtendrá interpolándolas entre las cotas de los puntos fijados. También
deben tomarse, los detalles que se consideran necesarios además de los propios del terreno
(construcciones, caminos, bancos de nivel, etc.).
El plano de comparación de niveles, o la cota de partida para levantamientos taquimétricos,
puede tomarse de un Banco de Nivel (BM) conocido, o suponer una cota relativa.
Este BM conocido o relativo puede o no, ser vértice del polígono de base (ver figura 9.4), pu-
diendo después referir su cota a otro banco conocido, mediante una nivelación geométrica
diferencial (nivel-mira) o una nivelación trigonométrica. La nivelación trigonométrica se efec-
túa en forma similar a la nivelación diferencial, pero obteniendo los desniveles entre estaciones
de cambio con el teodolito y mira.
relacionar cotas
nivelación parapoligono auxiliar
zona configurada
poligono debase principal
punto auxiliar
BM
Figura 9.4 Configuración con puntos aislados
Cuando se ha establecido la cota de uno de los vértices del polígono base, se puede ir cono-
ciendo sucesivamente las cotas de los demás, para obtener desde estos vértices las cotas de los
puntos de detalle y de configuración del terreno.
En estos trabajos de configuración con puntos aislados, debe dibujarse un croquis cuidadoso de
la localización de los puntos y detalles más notables del terreno, que se tomarán desde cada
vértice, para después reproducirlos en el dibujo de los planos.
Este croquis es tanto más importante que el registro de los datos numéricos del levantamiento,
pues es la base y la guía para el dibujo. Sin buenos croquis el dibujo puede resultar muy dife-
rente del terreno que se trata de representar.
Los vértices del polígono de base, deberán estar situados en puntos notables, elevados, con la
mayor visibilidad posible a su alrededor, para tomar desde ellos por radiaciones todos los pun-
tos necesarios.
En algunos casos serán necesarios para poder configurar todo el área, llevar polígonos auxilia-
res ligados al principal, que permitan configurar las zonas faltantes. También pueden utilizarse
algunos puntos auxiliares ligados al polígono base.
Los puntos del terreno que se deben tomar para obtener su configuración son únicamente aque-
llos en donde se observen “cambios de pendiente o cambios de dirección de los accidentes
topográficos”. Esto supone considerar el terreno formado por una serie de planos de diferentes
pendientes y formas.
Es muy importante fijar los puntos que definan los ejes de las quebradas, crestas y divisorias de
aguas, pues servirán para definir la dirección de las curvas de nivel.
En terrenos planos, los puntos quedarán muy espaciados, y cuando están cubiertos de vegeta-
ción que impide ver los pequeños accidentes, se puede abrir brechas radiales en cada vértice,
para ir tomando puntos sobre una misma línea.
Para mayor precisión, los ángulos horizontales para fijar las radiaciones, deben medirse con el
limbo horizontal-vernier del teodolito, teniendo cuidado de anotar con toda claridad en la li-
breta taquimétrica, cual es el origen de esos ángulos (la dirección Norte, el lado anterior, o el
lado siguiente del polígono, etc.) y el sentido en el que se midieron. En cada vértice deberá ha-
cerse un croquis acompañado de su respectivo registro de datos.
Las lecturas de los ángulos verticales, de altura o depresión, conviene anotarlos con una flecha
después del número, para evitar confusiones al escribir signos (+) o signos (-) que pudieran
confundirse o mal interpretarse.
Al leer en la mira, puede registrarse la lectura del hilo inferior y la del superior en cada una, o
directamente la distancia comprendida entre ambos hilos.
Una brigada para estos trabajos de configuración deberá estar formada por:
1 operador del instrumento.
1 ayudante anotador.
2 alarifes (como mínimo).
Según las condiciones del terreno, la facilidad para trasladarse y el número de detalles a tomar,
puede ser necesario para acelerar el trabajo, disponer de 4 o 5 alarifes, y los macheteros necesa-
rios para abrir brecha en zonas de vegetación abundante. En un mismo trabajo pueden trabajar
varias brigadas al mismo tiempo.
Con los datos de campo se calculan la distancia horizontal “a” y la distancia vertical “h”, con la
distancia “h” se determina el desnivel del punto que puede ser positivo (ángulo de altura) o ne-
gativo (ángulo de depresión). Con este desnivel “h”, se obtiene la cota del punto, sumando o
restando su valor a la cota del vértice correspondiente de la poligonal base.
Con los datos procesados, se efectúa el dibujo de las curvas de nivel de la siguiente manera:
1) Se dibuja el polígono de base y los polígonos auxiliares en caso de existir.
2) Con un transportador circular se marcan los ángulos horizontales de todos los puntos
de configuración, alrededor de todos y cada uno de los vértices.
3) Se trazan las radiaciones con su distancia (utilizando un escalímetro) para fijar la posi-
ción de los puntos, y se escribe su nombre y cota. El punto decimal de la cota puede ser
el punto fijado precisamente, para evitar marcas adicionales. Esta operación se deno-
mina “plotear los puntos de configuración”.
4) Concluido el ploteo de los puntos, con la ayuda de los croquis de campo se marcan los
ejes de las quebradas y divisorias de agua. Luego, se procede a la “interpolación de los
puntos”. Esta operación consiste en observar cuales son los puntos entre los cuales hay
pendiente constante, y sobre la línea que los une se marcan igualmente espaciados los
puntos de cota cerrada, que será por donde pasarán las curvas de nivel. Como habrá
que estar dividiendo muchas líneas es muy variado número de partes iguales, se reco-
mienda utilizar un método gráfico para facilitar la operación de la “interpolación”.
5) Después de la “interpolación”, por zonas puede irse trazando las curvas de nivel unien-
do puntos de igual cota, con la ayuda de los croquis de campo.
Los ejes de las quebradas y divisoria de aguas indican la dirección de las curvas de nivel, pues
estas los cruzan en dirección normal y después cambian de sentido. Finalmente para mayor cla-
ridad del dibujo pueden marcarse más gruesas las curvas de nivel a cada 5 o 10 metros.
La equidistancia vertical de las curvas de nivel, depende de la escala del dibujo. En escalas de
1: 500 o 1: 1000, se usan equidistancias de un metro; en 1: 2000, uno o dos metros; en 1: 5000,
dos o cinco metros; para escalas mayores se emplean 5, 10, o 50 metros.
9.5 CUESTIONARIO
Taquimetría
1. Definir taquimetría.
2. Dar una descripción breve de un equipo taquimétrico.
3. Desarrollar el método de configuración con puntos aislados.
9.6 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Taquimetría
Con los datos del registro de campo determinar la cota de los puntos B, C y D.
Estación y altura del instrumento:
Estación A
Cota = 2560.52 m.s.n.m
Altura del instrumento hi = 1.45m
Puntos observados, ángulos y lectura de mira:
Pto. Observado B
Ángulo horizontal 00° 00’ 00”
Ángulo Vertical = 2° 40’
Lectura de mira Sup. = 4.00
Med. t = 3.00
Inf. = 2.00
Número generador:
100)HIHS(g
8 columna 200100)00.200.4(g
Distancia horizontal:
2cosgDH
9 columna 567.199'402cos200DH 2
Distancia vertical:
2cos2
gDV
295.9'4022sen2
200DV
hithAh
11 columna ) subiendo( 745.745.13295.9Ah
Cotas de elevación [m]:
13 columna m.n.s.m 815.2569295.952.2560elevación de Cota
1100
CCAAPPÍÍTTUULLOO
CURVAS DE NIVEL
10.1 INTRODUCCIÓN
Se denomina curva de nivel a la línea que une en el plano los puntos de igual cota.
En un plano, las curvas de nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son equi-
distantes sobre un plano de referencia. Esta diferencia de altura entre curvas recibe la denomi-
nación de “equidistancia”.
Para que la representación del relieve sea mas objetiva, el intervalo entre curvas de nivel (equi-
distancia) debe ser constante.
La superficie topográfica, no coincide con la superficie real del terreno y se aproximará tanto
mas a esta, cuanto menor sea la equidistancia.
La representación del terreno, con todas sus formas y accidentes tanto en su posición en un
plano horizontal, como en sus alturas, se logra simultáneamente mediante las curvas de nivel.
El espacio comprendido entren dos curvas se denomina “zona”, son superficies regladas cuya
generatriz rectilínea se apoya en las dos curvas como directrices con la condición de ser cons-
tantemente normal a una de ellas.
Estas curvas se utilizan para representar en planta y elevación al mismo tiempo, la forma o con-
figuración del terreno, que también se denomina relieve.
El intervalo es determinado por el propósito del plano topográfico y por el tipo de terreno. Se
pueden espaciar las curvas de nivel cada ½ m, o cada 5 m, 10 m, o 20 m.
En la figura 10.1, se muestra la intersección de dos cerros por cuatro planos horizontales. Cada
plano corta secciones, los perímetros de esas secciones son las curvas de nivel o las cotas res-
pectivas, que reuniéndolos en una sola figura se obtiene la configuración del terreno (ver figura
10.2).
100
110
120
130
100
110
120
130124
137
e
Figura 10.1 Planos horizontales cortando el terreno cada 10 m.
Curva 100
Curva 110
Curva 120
110
120
100
130137
120124
Curva 100
Curva 110
Curva 120120
Curva 130
Secciones cortadas por los planos
A
Figura 10.2 Configuración del terreno
10.1.1 MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL
Una de cada cuatro o cinco curvas se dibuja con un mayor grosor y se rotula su altitud corres-
pondiente; son las llamadas curvas maestras y entre ellas, se describen las curvas de nivel
intermedias (ver figura 10.3).
A pesar de que las curvas de nivel no proporcionan una imagen visual del relieve tan clara, su
análisis facilita tal cantidad de información que hace que sea el método más útil de re-
presentación del relieve en los mapas topográficos.
100
100
95
90
85
8483
87
92
97
Curvas maestras
Curvas intermedias
Figura 10.3 Curvas maestras y curvas intermedias
Actualmente, las curvas se trazan a partir de las fotografías aéreas, consiguiendo una precisión
mucho mayor que cuando tenían que delinearse en el campo con la ayuda de una red de cotas.
Las curvas de nivel son uno de los variados métodos que se utilizan para reflejar la forma tri-
dimensional de la superficie terrestre en un mapa bidimensional.
Imaginemos que deseamos representar sobre un plano horizontal la topografía de una región
para eso se dispone de observaciones en distintos puntos del terreno relativas a su altura sobre
el nivel del mar. Se conoce además la posición geográfica (latitud y longitud) de cada punto.
Entonces registrando esos niveles en un plano a escala podemos trazar “las denominadas isolí-
neas que son líneas que unen puntos que tienen el mismo nivel”.
El trazado de una isolínea tiene algo de subjetivo, pues no se conoce exactamente la posición
geográfica de todos los puntos que tienen esa altura sobre el nivel del mar.
El espaciado de las curvas de nivel depende del intervalo de curvas de nivel seleccionado y de
la pendiente del terreno: cuanto más empinada sea la pendiente, más próximas entre sí aparece-
rán las curvas de nivel en cualquier intervalo de curvas o escala del mapa. De este modo, los
mapas con curvas de nivel proporcionan una impresión gráfica de la forma, inclinación y alti-
tud del terreno.
10.1.2 CONSTRUCCIÓN DE LAS CURVAS DE NI-
VEL
Las curvas de nivel pueden construirse interpolando una serie de puntos de altitud conocida.
En campo un operador empieza a nivelar partiendo de una cota conocida, efectuando una nive-
lación compuesta, desde la estación de arranque debe marcar los puntos del terreno que tienen
igual lectura de mira.
Cuando cambia la estación tomara como diferencia el último punto de la estación anterior y
efectuada la lectura de mira, procede a buscar sobre el terreno puntos de igual cota que propor-
cionen la misma lectura y así hasta terminar con esa curva.
De esta manera se marca sobre el terreno una línea de nivel, es decir que no sube ni baja, para
esto se van colocando estacas de madera que demarcan su trayectoria.
Los puntos vienen determinados, según se ha dicho por su proyección horizontal y su cota; por
esto se dice que todo levantamiento consta de dos partes.
1) Planimetría, que consiste en el conjunto de operaciones necesarias para llegar a obtener la
proyección horizontal o levantamiento planimétrico.
2) Altimetría, determina la cota de los puntos necesarios o las curvas de nivel constituyendo la
nivelación o levantamiento altimétrico.
Ambos trabajos se hacen por separado con diferentes instrumentos, pero también pueden hacer-
se simultáneamente empleando un mismo instrumento, valiéndose de métodos abreviados
llamados de taquimetría, o levantamientos taquimétricos.
La planimetría y la altimetría o la taquimetría se realizan en dos etapas. Primero sobre el te-
rreno o los trabajos de campo, denominada “hacer estación” que consiste en situar los
instrumentos en los puntos elegidos, en estos puntos se anotan las observaciones en los regis-
tros o libretas. Segunda etapa o trabajos de gabinete, se calculan las reducidas, recta AB del
terreno que es representada en el plano por la proyección ab de sus extremos, será en general
menor que AB (distancia natural) y desniveles o la diferencia de cotas entre dos puntos y se
efectúan todas las operaciones precisas hasta dejar dibujado el plano.
Los trabajos de campo y de gabinete son diferentes y es recomendable que se los realice con
personal especializado en cada uno de ellos.
10.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS DE
NIVEL
De la definición de las curvas podemos citar las siguientes características:
Toda curva se cierra sobre si misma, ya sea dentro del área de levantamiento o fuera de
ella. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las líneas del dibujo.
Una curva no puede dividirse o ramificarse.
No se pueden fundir dos o más curvas en una sola. Si en algún caso se observan juntas,
la realidad es que están superpuestas, una sobre otra, pero cada cual en su nivel.
Las curvas de nivel no se cruzan entre si.
En una zona de pendiente uniforme las curvas quedarán equidistantes.
Si las curvas están muy separadas es por que existe una pendiente suave, y cuando es-
tán muy cercanas la pendiente es fuerte, y si llegan a quedar superpuestas indicará un
corte vertical.
Una serie de curvas cerradas concéntricas, indicará una colina (promontorio) o una de-
presión, según vayan creciendo hacia el centro o decreciendo respectivamente.
Las vaguadas abren las curvas hacia el sentido del escurrimiento.
Las curvas de nivel en superficies planas son rectas paralelas.
Por medio de las curvas de nivel se pueden conocer las condiciones del terreno, su
morfología.
Están establecidas siempre en cotas de números enteros, generalmente en metros.
La distancia entre dos curvas es inversamente proporcional a la pendiente del terreno.
Por eso cuanto mas inclinado sea el terreno, mas se acercarán las curvas de nivel, y la pendiente
es uniforme (ver figura 10.1 y 10.5).
p
e
A
Figura 10.5 Pendiente del terreno.
A
ep
Donde:
curvas. entre separación A
ciaequidistan e
Con experiencia y práctica al observar un plano configurado con curvas de nivel, se podrá co-
nocer e imaginar el terreno como si se estuviera en el lugar.
10.2.1 MÉTODOS PARA EL LEVANTAMIENTO
DE CURVAS DE NIVEL
Los factores que afectan la selección del método de campo que se emplea para obtener los da-
tos que se requieren en un plano topográfico con curvas de nivel, son los siguientes:
Escala del plano, equidistancia de las curvas de nivel, naturaleza del terreno, tipo de proyecto,
equipo disponible, precisión requerida, tipo de control existente y área del levantamiento.
Para obtener la configuración del terreno, se aplican dos procedimientos terrestres directos:
1. Con secciones transversales.
2. Con puntos aislados de configuración1.
3. También se puede obtener con bastante aproximación la configuración con curvas
de nivel por medio de la aéreofotogrametría.
1. Con secciones transversales, el equipo más utilizado para el levantamiento con secciones
transversales es el siguiente: nivel fijo y cinta, nivel de mano y cinta.
En general consiste en trazar, uno o más polígonos de apoyo por lugares convenientes de la
zona a levantar, obteniéndose los perfiles o secciones del terreno, transversales a los lados del
polígono, cubriendo el área requerida.
Las secciones pueden levantarse con el espaciamiento que convenga, de acuerdo con el grado
de aproximación con que se requiera tener el relieve.
Los pasos a seguir dentro el trabajo de campo, son los siguientes:
Se traza un polígono de apoyo, marcando a intervalos de 10 m, 20 m, etc., con el objeto
de obtener su sección transversal.
Se nivela de perfil el polígono para obtener las cotas de todos los puntos.
Se levantan secciones transversales en todos y cada uno de los puntos del polígono.
En general las secciones son normales al polígono, pero en ciertos casos se necesitan secciones
especiales, en algún punto intermedio o en cierta dirección, para fijar detalles importantes.
1 Ver capítulo 9; Taquimetría, sección 9.4.1.
Las secciones transversales pueden efectuarse con nivel fijo y cinta cuando el ancho de la zona
por configurar es grande y el terreno plano, para no hacer cambios de posición del instrumento;
operación que toma mas tiempo. El procedimiento que se sigue en este caso, es similar al de la
nivelación del perfil. Lo mas frecuente es que las secciones se obtengan con nivel de mano y
cinta, especialmente cuando el terreno es accidentado, porque el instrumento en este caso es el
mismo observador y puede trasladarse rápidamente.
El punto de partida para levantar cada sección, es el del polígono cuya cota se determinó con la
nivelación del perfil.
Conviene que el observador este parado del lado más alto del terreno y la mira abajo.
Con el objeto de evitar errores, en el levantamiento de secciones, se recomienda abarcar una
longitud de 100 m a ambos lados del polígono. Es decir, como máximo se podrá cubrir por este
método una franja de 200 m de ancho.
Cuando la zona que se requiere configurar tiene mayor amplitud, será necesario llevar polígo-
nos auxiliares trazados convenientemente, para que con sus respectivas franjas configuradas se
cubra toda el área. Una vez comprobados los cierres de los polígonos, se dibujan estos, luego
los trazos de las secciones y sobre ellos se marcan los puntos con sus cotas. Uniendo con líneas
continuas los puntos de igual cota, obteniéndose de esta manera las curvas de nivel que nos re-
presentan la configuración del terreno.
3. Por medio de la aéreo-fotogrametría, obteniéndose un plano planimétrico y altimétrico ba-
sado en fotografías del terreno que se trata de levantar, con lo que se evita la totalidad o buena
parte del trabajo de campo. Tiene esta por finalidad deducir la planta y alzado por medidas u
observaciones realizadas por las fotografías.
10.2.2 TRAZO DE LAS CURVAS DE NIVEL
10.2.2.1 INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA
Es la más precisa, para cada punto se establecen proporciones entre la distancia y el desnivel.
1
2
a
d1d2
b
ccota redonda
Figura 10.6 Interpolación aritmética
Se tiene los puntos “1” y “2” con sus respectivas cotas, y la distancia que los separa “b” (ver fi-
gura 10.6). En la distancia “b” hay un desnivel “a” (cota1 – cota2), la distancia que
corresponde a la diferencia de nivel “c” (cota1 – cota redonda) es la siguiente:
a
cbd
c
d
a
b1
1
Se sigue el mismo cálculo para unir todos los puntos de cota redonda, según la equidistancia fi-
jada previamente entre curvas de nivel.
10.2.2.2 INTERPOLACIÓN GRÁFICA
Con un escalímetro y con una escala conveniente, hacemos coincidir un punto con la marca co-
rrespondiente a la elevación del mismo. Respecto a un punto “A” hacemos coincidir la regla
graduada con una abertura determinada, hasta hacer coincidir la marca correspondiente a la co-
ta de “B” en la regla, con la perpendicular bajada desde “B”, luego se unen todas las marcas
redondas a sus correspondientes sobre la línea “AB”.
2560.00
2555.63
h = 4.37 m
2555.63
2560.00
2
44.37
2558
2556
2558
25562555.63
B
A
Figura 10.7 Interpolación gráfica
10.3 SISTEMA DE CURVAS DE NIVEL
La elevación o altitud de los diferentes puntos del terreno se representa mediante las curvas de
nivel, que son líneas trazadas a mano alzada en el plano de planta con base en el esquema hori-
zontal y que unen puntos que tienen igual altura.
Entonces con ayuda de los levantamientos taquimétricos podemos realizar mapas topográficos
y representarlos bien; o sea que estén definidos a la perfección para hallar puntos extras.
10.3.1 FORMA DE CURVAS DE NIVEL SU RE-
PRESENTACIÓN
10.3.1.1 DIVISORIA DE AGUA
Vertiente o ladera es una superficie de terreno inclinada bastante lisa (ver figura 10.8), y queda
representada por curvas casi rectilíneas.
1.0
00
1.1
00
Figura 10. 8 Ladera
Divisoria es el encuentro de dos vertientes que se unen originando una superficie convexa. Sus
curvas suelen ser más redondeadas y se caracteriza por que las curvas de menor cota envuelven
a las de mayor cota.
Si desde el punto C (ver figura 10.9), de la divisoria AB, trazamos las líneas de máxima pen-
diente, a una y otra vertiente, y una teórica gota de agua que cae en C, cada una de sus mitades
se deslizará de acuerdo con cada una de las líneas, de ahí el nombre de divisoria de aguas.
D1
1.100
A
C D2
1.000
B
Figura 10.9 Divisoria
Collado es una forma más compleja pero muy interesante ya que suele ser el paso más cómodo
para cruzar una sierra, está constituida por dos divisorias (M N figura 10.10) enfrentadas y dos
vaguadas opuestas (AB figura 10.10). El collado C es el punto mas bajo de las dos divisorias y
el más alto de las dos vaguadas.
A
1.000
CB
1.100 N
1.000
1.100M
Figura 10.10 Collado
Línea de máxima pendiente entre dos curvas de nivel es la determinada por el segmento de
menor longitud que las une (ver figura 10.11), (al tener todos los segmentos que las unen la
misma diferencia de cota entre sus extremos, la máxima pendiente corresponde al de menor
longitud).
C
B
A
D
Figura 10.11 Segmento AB correspondiente a la línea de máxima pendiente
10.3.1.2 VAGUADA
Valle o vaguada está formada por dos vertientes que se unen según una superficie cóncava y su
representación se caracteriza por que las curvas de mayor cota envuelven a las de menor cota,
si desde los puntos M y N (figura 10.12) de cada una de las vertientes trazamos las líneas de
máxima pendiente respectivas estas seguirán una trayectoria bastante rectilínea hasta llegar a
AB para descender luego a lo largo de ella lo cual quiere decir que las aguas que caigan en es-
tas laderas irán a parar a la mencionada línea AB, para encauzarse a lo largo de ella.
1.100
1.000
B
M
N
A
Figura 10.12 Vaguada
10.3.1.3 CÚSPIDE O CUMBRE
Cúspide cuando las curvas de menor cota envuelven a la mayor, el terreno forma elevaciones,
que según su importancia se denomina pico, montaña, monte, cerro, otero, colina, altozano,
etc., (ver figura 10.13).
5
67
8
Figura 10.13 Cumbre
10.3.1.4 HOYADA
Hoyada cuando las curvas de mayor cota envuelven a las de menor, figura 10.14; es el caso de
una depresión, que cuando es de gran amplitud constituye un valle o zona de terreno rodeada
de montañas, cuyas laderas formarán a su vez, divisorias, vaguadas y líneas de cambio de pen-
diente y dirección de diversas clases, por su mayor profundidad o angostura reciben también
los nombres de barrancos, simas, hoyas, etc.
5 67
8
Figura 10.14 Hoyada
10.4 UTILIZACIÓN DE PLANOS CON CURVAS
DE NIVEL
En los planos con curvas de nivel se señala sobre cada curva la cota que corresponde al plano
secante. Un técnico en el terreno requiere cotas específicas, mientras que el diseñista trabaja
con planos topográficos que abarcan toda el área del proyecto y que dan así una idea de la for-
ma de esta. Por lo tanto los planos topográficos con curvas de nivel tienen muchos usos, y
sirven como base fundamental en el planeamiento, diseño y construcción de aeropuertos, cami-
nos ferrocarriles, obras hidráulicas (presas, embalses, túneles, canales, etc.), oleoductos, líneas
de transmisión eléctrica, plantas industriales y en muchas otras obras de construcción.
10.5 DIBUJO DE PLANOS TOPOGRÁFICOS EN
DIFERENTES ESCALAS
Se da propiamente el nombre de plano a la representación gráfica que por la escasa extensión
de superficie a que se refiere no exige hacer uso de los sistemas cartográficos, se apoyen o no
en los trabajos de la geodesia.
Un plano topográfico mostrará el tipo de vegetación existente, utilizando símbolos con-
vencionales, así como las distancias horizontales entre los rasgos naturales (configuración) y
sus elevaciones, tomando como base un punto fijo de referencia.
Mediante la taquimetría, el topógrafo puede con el instrumento estacionado en un punto, tomar
lecturas que le proporcionarán distancias, direcciones y alturas de mucho interés.
Los mapas o planos topográficos de relieve se basan en la proyección acotada sobre cualquier
plano.
Para mayor comodidad se utilizan siempre escalas cuyo numerador sea la unidad y el de-
nominador números sencillos terminados en cero.
En los planos muy rara vez se emplean escalas inferiores a 1:10.000, siendo frecuentes las de
1:5.000, 1:2.000, 1:1.000 y 1:500 y para los planos de detalle las de 1:100 y aun superiores.
10.6 CUESTIONARIO
Curvas de Nivel
1. Definir curva de nivel.
2. ¿Que son las curvas maestras?
3. Nombrar las características que deben reunir las curvas de nivel.
4. Describir brevemente los métodos para el levantamiento de curvas de nivel.
5. Diferencia entre vertiente y divisoria.
6. ¿Que es una línea de máxima pendiente?
7. Definir cúspide y hoyada.
1111
CCAAPPÍÍTTUULLOO
REPLANTEO
11.1 INTRODUCCIÓN
Constituye la operación inversa del levantamiento topográfico, en este con las medidas y obser-
vaciones realizadas se construye un plano, con el replanteo se pretende señalar en el terreno la
posición de detalles utilizando los datos tomados en el plano.
Son motivadas por causas topográficas es decir, en el caso de haber desaparecido una señal y
que se requiera localizar el lugar que ocupaba.
En general se hace uso de los replanteos para el desarrollo de un proyecto de ingeniería que de-
berá comenzar por el señalamiento en el terreno del eje definitivo.
En el caso de parcelaciones de fincas es preciso replantear los límites de las parcelas estudiadas
en el plano apoyándose para esto en hitos o señales anteriormente fijados en el terreno y referi-
dos en el levantamiento.
11.2 REPLANTEO
Cualquiera sea el caso el problema del replanteo se reduce a tres puntos:
11.2.1 REPLANTEO PLANIMÉTRICO
11.2.1.1 REPLANTEO DE PUNTOS
Si el punto es de importancia, con el replanteo conoceremos sus coordenadas con relativa segu-
ridad si el trabajo topográfico previo esta bien hecho, utilizando solo datos tomados sobre el
plano
De no poseer mas datos que el plano, mediremos sobre el las distancias del punto a otros tres,
que representen detalles identificables en el terreno, haciendo después en el terreno la opera-
ción inversa tomando a partir de cada punto la distancia que resulte de multiplicar la homologa
del plano por el denominador de la escala.
La intersección de las distintas medidas limitará una zona de error, cuya extensión dará idea de
la precisión del replanteo, debiendo tomar como definitivo un punto interior de dicha zona, mas
próximo a la intersección que puedan considerarse como de mayor peso, para lo que pueda ser-
vir de guía la menor longitud de las distancias medidas.
Si se conocen las coordenadas del punto a replantearse, por cálculo se deducirán los azimutes a
puntos visibles de preferencia vértices, entonces el replanteo se reduce a resolver un problema
de trisección a la inversa (Pothenot, tiene soluciones gráficas y numéricas las últimas mas re-
comendadas en las que requerimos dos longitudes y un ángulo).
11.2.1.2 REPLANTEO DE ALINEACIONES
11.2.1.2.1 Replanteo de alineaciones rectas
Una vez replanteados los extremos A y B de la alineación si son visibles entre si comprobamos
su azimut y si la distancia es pequeña no superior a 400 m podrá replantearse directamente, se-
ñalando puntos intermedios.
Utilizando jalones siguiendo el método de trazado de una alineación recta (intersección del te-
rreno con un plano vertical que pase por dos punto, se hace fundándose en el principio de que
una visual se propaga en línea recta). entre dos puntos visibles entre si que consiste en: colocar
dos jalones en dos puntos A y M entre los que se quiere señalar la alineación, un operador
avanza desde M hacia A siguiendo las indicaciones que le hace otro operador situado a un par
de metros del jalón A, este irá clavando nuevos jalones en D, C, B, etc.
El operador en A deberá ver superpuestos todos los jalones que se vayan clavando y al desviar
la cabeza a uno u otro lado si la alineación esta bien hecha los verá aparecer en el mismo orden
en el que fueron colocados, replanteada la alineación deberá ser comprobada a la inversa.
En el caso de no ser visibles los extremos entre si, podría replantearse un punto intermedio P
que al dividir la alineación entre dos, permite operar a mayores distancias.
La longitud AB (ver figura 11.1) de la alineación recta excederá los límites de buena visibili-
dad de los jalones, por lo cual se deberá utilizar un teodolito que estacionaremos en A
dirigiendo la puntería a B para fijar la alineación, enfocando el anteojo a distancias decrecientes
a partir de un punto P centralicemos clavando los jalones 3, 2, 1, cada vez más próximos a A de
modo que queden cubiertos por el hilo vertical del retículo, así replanteando la mitad desde ca-
da extremo.
Se aconseja utilizar señales convenidas de antemano que indiquen si ha de desplazarse el jalón
a la derecha o a la izquierda si ha de rectificar su verticalidad dejarle clavado, etc.
Estacionando en un punto intermedio P se puede replantear simultáneamente los dos segmentos
AP y BP , comprobando después con el teodolito en el punto P estacionado si la diferencia de
las lecturas a A y a B difiere exactamente en 180°; el ángulo formado nos indicará si el punto
quedo a uno u otro lado de la alineación debiendo rectificarse la ubicación del punto.
B
6
5
4
P
3
2
1
A Figura 11.1 Replanteo en distancias larga
Si A y B no son visibles y no hay posibilidad de situar un puno intermedio, es necesario efec-
tuar un itinerario saliendo de A con el azimut de la alineación, señalando el punto 1, a la mayor
distancia posible, estacionando después en este punto y dirigiendo la visual a A hecha la lectura
en el limbo azimutal establecemos un punto 2 tal que su lectura difiera de la anterior en 180°,
siguiendo de igual modo que en cualquier itinerario donde todos sus ángulos fuesen de 180°.
Los errores cometidos en cada eje se irán acumulando y al final llegaremos a un punto B’ dis-
tinto de B.
Si el error de cierre del replanteo es admisible habrá de compensarse en el terreno, repartiendo
el error proporcionalmente a la distancia de cada estación del itinerario al punto A de partida.
Para el replanteo de alineaciones rectas y de puntos intermedios hoy hay una nueva orientación
con la aparición de Rayos Láser acoplados al teodolito.
11.2.1.2.2 Obstáculos que se interponen en el re-
planteo de una alineación recta
N
T
M'
BPMA
Figura 11.2 Obstáculo en la alineación
Si se interpone un obstáculo entre A y B, desde la estación M anterior a el situaremos un punto
N desviado de la alineación y mediremos con la mayor precisión el eje MN y el ángulo , es-
tacionando en N mediremos un nuevo ángulo que puede o no ser recto y sobre el eje NP
tomaremos el punto P en la alineación AM (ver figura 11.2).
Medida exactamente la distancia NP y estacionando en P hacemos que la visual señale con PN
un ángulo.
Si B es visible desde P la visual anterior comprobará la alineación, si no lo es, continuaremos el
itinerario hasta determinar el error de cierre.
En caso de solo utilizar escuadra, podrá salvarse el obstáculo levantando sucesivamente per-
pendiculares y midiendo los lados.
11.2.1.2.3 Replanteo de alineaciones curvas
En los ejes de caminos, acequias, etc., se dan una serie de alineaciones rectas y curvas alterna-
das.
Empezamos por replantear las alineaciones rectas hasta su encuentro si es posible, dejando se-
ñalados en ellas los puntos de tangencia de la curva de enlace, denominados puntos de entrada
y de salida de la curva respectivamente según el sentido en el que se haya levantado el perfil
longitudinal del proyecto. Conociéndose como tangente de entrada a la distancia entre el punto
de entrada y el vértice de intersección de las dos alineaciones rectas y tangentes de salida, la
comprendida entre el vértice y el de enlace de la curva.
A
V
BC
O
tang
ente
de
entr
ada
tangente de salida
Figura 11.3 Alineación curva
Las tangentes de entrada y de salida peden ser iguales o desiguales, cuando son iguales la curva
suele ser un arco de circunferencia, cuando son desiguales está formado por dos o mas arcos de
circunferencias, en casos excepcionales se recurre a enlaces parabólicos para aumentar la cur-
vatura gradualmente.
11.2.1.2.3.1 Tangentes iguales y curvas de enla-
ce circular
Los elementos que interesa conocer son, el ángulo que forman las alineaciones rectas y el radio
de la curva.
El ángulo de las alineaciones se conoce por medida directa al efectuar el replanteo y el segundo
se establece según límites mínimos en relación con la naturaleza de la obra, debiéndose siempre
establecer curvas con mayor radio posible.
Por ejemplo en canales de navegación no baja de 600m reduciéndose hasta no menos de 500m.
En ferrocarriles hasta de 279 m, en carreteras de primer orden no menos de 300m en terreno
llano y de 150m en terreno ondulado, según la categoría de la carretera reduce hasta 30m y 20m
en caminos vecinales, en las acequias de riego varia el límite en relación con el caudal y la na-
turaleza de los materiales remarcando que no se podrá bajar el radio de cinco veces el ancho de
la acequia en la parte superior.
Si en el replanteo de las alineaciones rectas no es accesible el vértice V, se establece una nueva
alineación recta intermedia MN (ver figura 11.4).
B
V
M
N
A
Figura 11.4 Alineación recta intermedia MN
Se pueden seguir muchos métodos para el replanteo de la curva, como ser:
1. Por abscisas y ordenadas sobre la tangente.
Que requiere únicamente instrumentos como la cinta y la escuadra.
2. Por coordenadas polares.
Requerimos de un taquímetro y una cinta.
3. Por ángulos inscritos.
Aplicado en terrenos despejados, con el uso de dos taquímetros.
4. Por polígonos circunscritos.
Se usa generalmente para replantear curvas de túneles.
5. Por polígonos inscritos.
11.2.1.2.3.2 Tangentes desiguales
Cuando hay necesidad de salvar obstáculos o evitar terraplenes o exigencias del movimiento de
tierras.
11.2.1.3 REPLANTEO ALTIMÉTRICO
Que consiste en replantear una rasante proyectada sobre un terreno natural existente, definiendo
la cota roja de puntos singulares de la misma. Previamente estos han sido replanteados plani-
métricamente.
11.2.1.4 REPLANTEO DE RASANTES
Con todas las operaciones anteriores queda replanteado el eje definitivo del proyecto con todos
sus perfiles transversales, dejando en estas señales permanentes que habrán sido cuidadosamen-
te niveladas para construir el perfil longitudinal.
Antes de empezar la obra se debe señalar en cada perfil la altura en que ha de quedar la rasante,
más alta que el terreno en los terraplenes y más baja en los desmontes.
Los desniveles entre las señales correspondientes al terreno y la rasante constituyen las cotas
remarcadas del perfil longitudinal.
El situar estas señales en el terreno tal que resulten con la cota remarcada que les corresponda
para que la rasante resulte con la pendiente prevista, constituyen las operaciones de replanteo.
11.2.1.4.1 Altimetría o control vertical
La altimetría se encarga de la medición de las diferencias de nivel o de elevación entre los dife-
rentes puntos del terreno, las cuales representan las distancias verticales medidas a partir de un
plano horizontal de referencia.
La determinación de las alturas o distancias verticales también se puede hacer a partir de las
mediciones de las pendientes o grado de inclinación del terreno y de la distancia inclinada entre
cada dos puntos. Como resultado se obtiene el esquema vertical.
11.2.1.4.2 Planimetría o control horizontal
La planimetría sólo tiene en cuenta la proyección del terreno sobre un plano horizontal imagi-
nario (vista en planta) que se supone que es la superficie media de la tierra; esta proyección se
denomina base productiva y es la que se considera cuando se miden distancias horizontales y se
calcula el área de un terreno. Aquí no interesan las diferencias relativas de las elevaciones entre
los diferentes puntos del terreno. La ubicación de los diferentes puntos sobre la superficie de la
tierra se hace mediante la medición de ángulos y distancias a partir de puntos y líneas de refe-
rencia proyectadas sobre un plano horizontal. El conjunto de líneas que unen los puntos
observados se denomina Poligonal Base y es la que conforma la red fundamental o esqueleto
del levantamiento, a partir de la cual se referencia la posición de todos los detalles o accidentes
naturales y/o artificiales de interés. La poligonal base puede ser abierta o cerrada según los re-
querimientos del levantamiento topográfico. Como resultado de los trabajos de planimetría se
obtiene un esquema horizontal.
11.2.1.4.3 Nivel de piso
Para establecer las señales de la rasante partiremos de un perfil transversal 1, en el que toma-
remos la cota remarcada que se determino en el proyecto, para esto estacionamos el nivel en un
punto equidistante de los perfiles transversal 1 y 2; situamos en el primero una mira sobre la
señal de la rasante ya replanteada, calculamos el desnivel en el que se encuentra la señal 2 te-
niendo en cuenta la distancia entre perfiles transversales determinada en el perfil longitudinal y
la pendiente de la rasante calculada; procediendo con el replanteo por tanteos, subiendo o ba-
jando la segunda mira, si la cota remarcada corresponde al terraplén (o en un hoyo si es
desmonte), hasta obtener en ella la lectura que corresponda.
Si la redacción del proyecto y las operaciones de replanteo son correctas, se obtendrán puntos
de la rasante cuyo desnivel de las señales antes establecidas para el terreno correspondan con
una tolerancia admisible, a las cotas remarcadas que se calcularon en el perfil longitudinal.
Las señales provisionales que vayamos estableciendo en el control horizontal y vertical deberán
sustituirse después por señales definitivas de hormigón.
Las señales establecidas para el terreno como las de la rasante deberán respetarse en el trans-
curso de la obra par comprobar su ejecución en todo momento.
Para casos de obras que no requieren precisión en la nivelación, como en los caminos, puede
emplearse un clisímetro en lugar de un nivel, estacionándolo sobre una señal de la rasante y
dando a la visual del anteojo la pendiente que aquella ha de tener, las lectura de mira, iguales a
la altura del instrumento sobre la señal, también corresponden a puntos de la rasante para lo que
operaremos por tanteos igual a lo descrito anteriormente.
Para casos como conducción de aguas, replanteos de acequias, desagües no es recomendable
utilizar clisímetros, debiendo utilizar siempre en estos casos niveles de precisión.
11.2.1.4.4 Control de excavaciones
Calculadas las curvas verticales, contamos con el perfil y con las secciones transversales esta-
mos en condición de calcular los volúmenes de material y su desplazamiento.
Para determinar los movimientos de tierras y obtener el costo mínimo, nos apoyamos en el dia-
grama de masas o curva de masas, tanto para terraplén como para corte, obteniendo los
presupuestos de ejecución de las obras de tierra multiplicando el número de metros cúbicos de
esta por su respectivo precio unitario.
Para ello hacemos uso de las líneas compensadoras (ver figura 11.3), que nos delimitan los mo-
vimientos de tierras, su determinación se basa en el “trazado de una horizontal que corte dos
puntos consecutivos de la curva de masa1” obteniéndose volúmenes de corte y terraplén igua-
les a ambos lados.
Diagramas de masa
Compensadora
Tramo compensado
Figura 11.3 Línea compensadora
El objetivo es el de encontrar la compensadora más económica, es decir aquella que produzca
los movimientos de tierra más económicos.
Acarreo libre.
1 Ver anexos.
Distancia máxima a que puede ser transportado un material, cuyo precio está incluido en el de
la excavación.
Sobre-acarreo en m3- estación.
Aquel comprendido entre 20 y 120 m.
Sobre-acarreo en m3-hectómetro.
Comprendidos de 120 a 520 m entre sus centros de gravedad.
Sobre-acarreo en m3- km.
Distancia entre los centros de gravedad mayor a 520 m.
11.3 CUESTIONARIO
Replanteo
1. En que consiste un replanteo, explique.
2. Diferencia entre replanteo planimétrico y replanteo altimétrico.
3. Desarrollar replanteo de puntos y replanteo de alineaciones rectas.
4. Explicar brevemente control vertical y control horizontal.
1122
CCAAPPÍÍTTUULLOO
NOCIONES DE GEODESIA
12.1 INTRODUCCIÓN
La geodesia, estudia la forma y dimensiones de la tierra, para ese propósito se eligen en la su-
perficie, puntos de estudio denominados geodésicos, de cuya posición se deduce la forma de un
territorio o de todo el Globo.
Permite obtener datos para fijar con exactitud los puntos de control de las triangulaciones y ni-
velaciones.
Muy útil para establecer la ordenación de tierras, los límites de suelo edificable o verificar las
dimensiones de las obras construidas,
Los métodos aplicados en la geodesia son: la triangulación y la nivelación; la gravimetría y la
astronomía geodésica.
12.2 GEOIDE Y ELIPSOIDE DE REFERENCIA
Para situar puntos en la Tierra, es preciso referirlos a una superficie que podría ser real o arbi-
traria, el geoide y elipsoide son superficies usadas como datos de comparación en
levantamientos geodésicos del globo terrestre.
12.2.1 GEOIDE
El geoide, es una superficie física y real. Es la forma teórica del globo terrestre, que sirve de
base a la geodesia y que se obtiene admitiendo como superficie del mismo la del nivel medio
de los mares prolongada por debajo de los continentes.
El geoide tiene la forma de un elipsoide de revolución ligeramente deformado en algunas par-
tes. Su eje mayor, o sea el diámetro ecuatorial, mide 12.756,50 km. y su eje menor 12.713,75
km.
12.2.2 ELIPSOIDE DE REFERENCIA
Es una superficie arbitraria que sirve de fundamento para el cálculo de la situación de los pun-
tos geodésicos y para determinar con respecto a ella la posición del geoide.
Cada nación utilizaba el elipsoide que mejor se adaptaba a su superficie.
a
ba
Donde:
elipse la de semiejes b a,
oplanamienta
Por convenio internacional, se adoptó:
0.0051/298.255
m 6 6.378.42a
No se debe confundir geoide con elipsoide de referencia.
12.3 COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Sistema de referencia cuyas unidades de medida son angulares debido a la forma esférica de la
tierra. Las coordenadas geográficas son Latitud, Longitud y Altitud
La situación de un punto sobre el elipsoide queda definida por la intersección de un meridiano
y de un paralelo que determinan sus coordenadas geográficas, para conseguirlo se toma como
origen un meridiano denominado meridiano principal.
Estas coordenadas se transforman en coordenadas rectangulares planas por medio de un sistema
de proyección que permite representar en un plano topográfico o en un mapa la superficie curva
del planeta.
12.4 MÉTODOS GEODÉSICOS
La geodesia calcula las coordenadas de puntos referentes a su proyección sobre la superficie te-
rrestre, apoyándose en la tecnología actual, utilizando métodos geométricos y métodos
indirectos, dando origen a dos ramas de la geodesia: astronomía geodésica de posición y geo-
desia matemática.
12.4.1 ASTRONOMÍA GEODÉSICA DE POSI-
CIÓN
Por este método se obtienen las coordenadas geográficas y direcciones de la meridiana por ob-
servaciones astronómicas.
12.4.2 GEODESIA MATEMÁTICA
Este método es el más exacto y el más utilizado, se llega al resultado por las llamadas trian-
gulaciones, uniendo entre sí los puntos geodésicos por medio de visuales que formen sobre el
elipsoide una malla de triángulos que cubran todo el territorio; a los puntos geodésicos en este
caso, se les da el nombre de vértices.
Para obtener las coordenadas geográficas y azimutes se parten de un vértice denominado punto
astronómico fundamental.
12.5 PLANIMETRÍA
12.5.1 REDES GEODÉSICAS
Los triángulos no constituyen una malla única para evitar la acumulación de errores que se ob-
tendría al calcular cada uno apoyándose en el anterior, sino que forman tres sucesivas, cada vez
más densas, denominadas redes o triangulaciones de primer, segundo y tercer orden.
12.5.1.1 RED GEODÉSICA DE PRIMER ORDEN
Esta red esta constituida por grandes triángulos de lados comprendidos entre los 30 y 70 km
pudiendo llegar, a más de 200.
12.5.1.2 RED GEODÉSICA DE SEGUNDO OR-
DEN
La triangulación de segundo orden forma una red uniformemente repartida, apoyada en la de
primer orden, con una longitud de los lados de los triángulos variable de 10 a 25 km.
Todos los vértices del primer orden lo serán también del segundo.
12.5.1.3 RED GEODÉSICA DE TERCER OR-
DEN
El tercer orden se apoya en la red del segundo, con lados de 5 a 10 km. Utilizándose como vér-
tices de tercer orden todos los de primero y segundo.
12.5.2 LÍNEA GEODÉSICA
Los lados de los triángulos geodésicos son líneas trazadas sobre el elipsoide que se denominan
geodésicas.
12.5.3 TRIÁNGULO GEODÉSICO
Por ser el triángulo geodésico una figura elipsoídica limitada por líneas geodésicas, se com-
prende lo difícil que sería su resolución sobre el elipsoide, debiendo recurrir una trigonometría
de complejos cálculos.
Se simplifica el trabajo, por la aplicación del teorema de Gauss y el de Legendre.
12.5.4 TRABAJO DE CAMPO
Los trabajos geodésicos de campo, son especialmente los de primer orden. Estos son de gran
dificultad.
Para realizar el proyecto de triangulación se precisan, en los reconocimientos, hacer ascen-
siones a los picos más altos.
También las observaciones astronómicas fundamentales para determinar la longitud, latitud y
azimut exigen la instalación de observatorios portátiles, prolongándose los trabajos durante me-
ses.
12.5.5 SEÑALES PERMANENTES
Todos los vértices geodésicos quedan señalados en el terreno para que puedan utilizarse en tra-
bajos posteriores, aún después de muchos años, señales que han de servir de fundamento para
todo trabajo topográfico de alguna extensión.
12.5.6 TRABAJOS DE GABINETE
Se denominan así a los cálculos que se realizan a la terminación del trabajo de campo; con-
sisten en correcciones: 1º. Del contraste de los hilos de invar a la salida y a la llegada; 2º. De la
temperatura en el momento de la medida; 3º. De la intensidad de la gravedad del lugar, y 4º.
Del desnivel de los extremos del hilo en estación.
12.6 SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA
Sistema de Información Geográfica (SIG o GIS), permite procesar datos almacenados previa-
mente por medio de un sistema informático con hardware y software especializados
permitiendo la creación de mapas y análisis espaciales territoriales, manejados por personas
expertas.
Los datos geográficos están almacenados de de diversas formas: como puntos, líneas, polígo-
nos, redes o planos, acepta datos de una variedad de fuentes, ya sean mapas, fotografías aéreas,
imágenes de satélite, datos GPS o estadísticas.
Un SIG puede generar imágenes de un área en dos o tres dimensiones, representando elementos
naturales como colinas o ríos, junto a elementos artificiales como carreteras, tendidos eléctri-
cos, núcleos urbanos o estaciones de metro.
12.7 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL
El Sistema de Posicionamiento Global es un sistema compuesto por una red de 24 satélites, si-
tuados en una órbita a unos 20.200 km. de la Tierra, y unos receptores GPS, que permiten
determinar nuestra posición en cualquier lugar del planeta, de día o de noche y bajo cualquier
condición meteorológica.
Figura 12.1 Sistema de Posicionamiento Global
12.8 CARTOGRAFÍA
La cartografía, tiende a confeccionar la interpretación geográfica de un levantamiento topográ-
fico.
La cartografía o trazado de mapas es, al mismo tiempo, un conjunto de técnicas y una materia
de estudio académico.
La realización de mapas requería tradicionalmente:
1) Saber encontrar y seleccionar la información sobre diferentes aspectos de la geografía a par-
tir de fuentes diversas, para después sintetizar los resultados en un único grupo de datos consis-
tente y preciso.
2) Técnicas y habilidades de diseño con el fin de crear un mapa final que consiga representar
con fidelidad la información, para que los lectores, que poseen diferentes grados de habilidad
en la lectura de mapas, puedan interpretarlo correctamente.
3) Destreza manual y técnicas de diseño gráfico para simplificar y dibujar la información me-
diante símbolos, líneas y colores, de modo que el amontonamiento o el desorden sean mínimos
y el mapa resulte legible.
12.9 CUESTIONARIO
Nociones de Geodesia
1. ¿Qué es la Geodesia?
2. ¿En qué se diferencian geoide y elipsoide?
3. ¿Qué es un Sistema de Información Geográfico?
4. ¿Qué es un Sistema de Posicionamiento Global?
5. ¿Qué estudia la Cartografía?
1133
CCAAPPÍÍTTUULLOO
TRIANGULACIÓN Y TRILATER-
ACIÓN
13.1 TRIANGULACIÓN
Este procedimiento solo se emplea para polígonos de dimensiones reducidas y los cálculos se
basan en las medidas lineales y angulares hechas en el campo.
La superficie de cada uno de los triángulos en los que se puede dividir el terreno, se obtiene
aplicando las fórmulas geométricas y trigonométricas procedentes.
Es un conjunto de operaciones necesarios para establecer sobre el terreno una cadena de trián-
gulos o red de triángulos, serie de triángulos unidos entre si, de manera que por observación de
ángulos y conocimiento de un lado se pueden calcular los demás lados. (o uno solo) cuyos án-
gulos se miden por observación directa, y la longitud de cuyos lados se determina por cálculo
trigonométrico. También se acostumbra utilizar cuadriláteros con diagonales.
El lado de longitud conocida, sobre el cual se apoya el cálculo de todas las demás distancias, se
llama base de triangulación; los vértices de los triángulos se llaman estaciones o vértices de
triangulación.
Se debe medir otra línea al final para confrontar su longitud medida directamente y la calculada
a través de triangulación lo cual sirve para verificar esta.
Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º; debido a errores inevitables, esto no se logra
exactamente, y así, se presenta un pequeño error en cada triángulo (cierre en ángulo). De
acuerdo con el grado de precisión deseado este error tiene un valor tolerable.
De acuerdo con la magnitud del error promedio en ángulo y en lado se clasifican los triángulos
en: triangulaciones de 1º, 2º, 3º y 4º orden, como se nombra en el siguiente cuadro:
13.1.1 ERRORES MÁXIMOS PERMITIDOS
Según el orden de la triangulación 1:
1 Manual de topografía General – E. Narváez D., L. Llontop B.
Tabla 13.1 Errores máximos permitidos según el orden de la triangulación.
Clases de errores. Clases de errores.
1° 2° 3° 4°
Error más probable de medio
cuadrático en la medición de
la base.
Máximo error de cierre en el
ángulo.
Cierre promedio en ángulo.
Cierre de la base (cierre de
lado), calculado después del
angular.
Las triangulaciones de 1º, 2º y 3º orden son empleados en geodesia. Al topógrafo y en general
al ingeniero solo le interesa la triangulación de 4º orden, por que esta proporciona la precisión
suficiente para los trabajos ordinarios de ingeniería.
13.1.2 TRABAJOS DE CAMPO PARA UNA
TRIANGULACIÓN
Lo primero por hacer es un reconocimiento del terreno para planear la triangulación, es decir,
estudiar la posición más conveniente de las estaciones de acuerdo con la topografía misma del
terreno y con las condiciones de visibilidad y facilidad de acceso.
Luego se establecen las estaciones lo cual se llama “materializarlas”; para esto se emplean
mojones o estacas.
Además las estaciones deben hacerse visibles mutuamente; para tal fin se establecen señales
que pueden ser postes o un jalón, que se coloca al lado de la estación, estas señales son indis-
pensables, pues es imposible observar las estacas, jalones o piquetes, dado que las distancias
son muy grandes, (de 0.5 a 2.0 km en promedio).
Se procede luego a la medición de la base (ver figura13.1). Empleando los métodos de preci-
sión vistos en mediciones con cintas. La base se toma sobre un terreno que presenta con-
diciones favorables para efectuar la medición; se debe medir varias veces para así conocer el
valor más probable. Es requisito fundamental trabajar con un grupo de cadeneros lo suficiente
expertos como para garantizar la medición.
1000000:1 500000:1 200000:1 20000:1
25000:1 10000:1 5000:1 3000:1
"3 "5 "10 "30
"1 "3 "6 "15
En general como los lados de la triangulación oscilan entre 200 y 2000 m, la base no debe ser
menor de 300 m. Si se ha medido otra base en el extremo de la triangulación no se debe encon-
trar una discrepancia, entre el valor calculado y el valor medido, superior de 1:3000. Debe
anotarse que a mayor longitud de la base se obtendrá resultados más exactos en el cálculo de
las longitudes de los lados de la red.
bb
b
b
b
Figura 13.1 Bases medidas para diversas figuras
Luego, viene la medición de los ángulos, que estos no sean menores que 20°. El teodolito se
coloca en cada vértice y por uno de los métodos de precisión ya vistos (según el aparato que es-
té usando), se va midiendo todos los ángulos.
Que los triángulos de la cadena sean lo más parecidos a un triángulo equilátero y su número sea
de 12 a 16 para una distancia de 8 a 10 km. aproximadamente.
13.1.3 AJUSTE DE CÁLCULO
Es oportuno recordar que nuestros triángulos son planos y no consideran el exceso esférico co-
sa que si hace la geodesia.
Si el trabajo se efectúa en una cadena de triángulos, el ajuste se hace teniendo en cuenta dos
condiciones:
1º Que la suma de los ángulos alrededor de cada estación sea 360º.
2º Que la suma de los ángulos en cada triángulo sea 180º.
a) Se suma los ángulos alrededor de cada estación. La diferencia a 360º. Se divide en par-
tes iguales de acuerdo con el número de ángulos alrededor de cada estación y esta co-
rrección se suma o resta según que la suma haya resultado menor o mayor que 360º.
b) A partir de los valores encontrados en (a) se suman los ángulos de cada triángulo; la di-
ferencia a 180º en cada triángulo se divide en tres partes iguales y esta corrección se
suma o resta a cada ángulo del triángulo según que la suma haya sido menor o mayor
que 180º.
Con los valores de los ángulos ajustados se calcula los lados de los triángulos; estos cálculos se
hacen trígonométricamente, basándose en la relación de los senos; cada lado calculado sirve de
base para el cálculo en el triángulo siguiente, se continúa así hasta conocer todos los lados de la
triangulación
Si en la triangulación se ha formado un cuadrilátero, este se debe ajustar teniendo en cuenta:
1° Alrededor de cada estación los ángulos deben sumar 360º.
2° Los ángulos interiores del cuadrilátero deben sumar: º360)2n(º180
3° Un lado calculado por uno u otro camino debe tener igual valor.
13.1.3.1 AJUSTE DE UNA TRIANGULACIÓN
ENTRE DOS BASES MEDIDAS
Si se ha medido otra base al final de la triangulación (que es lo más aconsejable) se puede esta-
blecer otra condición para el ajuste. “La longitud de cualquier lado debe ser la misma, se
calcula a partir de la base inicial de la final”.
13.1.3.2 MÉTODO PARA AJUSTAR ESTA
CONDICIÓN
Se escoge una línea (“base media”) más o menos a la mitad de la triangulación, es decir equi-
distante de las dos bases medias, y se calcula su longitud a partir de uno y otro extremo de la
triangulación, utilizando los valores de los ángulos ya ajustados. Se toma un promedio de estos
valores calculados independientemente y se supone este promedio como el valor verdadero de
la “base media” (con lo cual se admite que las dos mitades de la triangulación están hechas con
igual precisión). A partir de este valor verdadero de la base media, se ajustan las dos mitades de
la triangulación por uno de los dos métodos siguientes:
1º. Si se considera que los ángulos están medidos relativamente con mayor precisión que las
bases, entonces se corrige únicamente los lados de la triangulación y se dejan invariables los
ángulos. Cada lado se corrige proporcionalmente a su longitud comparada con la de la base
media.
2º. Se considera una mayor precisión en medición de las bases que en la de los ángulos, en-
tonces la corrección cada lado se hace no solamente proporcional a su longitud sino también
proporcional a su distancia desde la base media, decreciendo la corrección desde la corrección
total para la base media hasta cero para la base media. Este procedimiento cambia ligeramente
el valor de los ángulos, siendo necesario calcularlos de nuevo para utilizarlos en cálculos poste-
riores.
13.2 TRILATERACIÓN
Operación contraria a la que realiza la triangulación, consiste en medir las longitudes de los la-
dos para determinar con estas el valor de los ángulos, por trigonometría, en algunas ocasiones
si se requiere se hace ambas logrando una mayor precisión pero empleando mas tiempo y tra-
bajo.
Se debe cuidar los siguientes aspectos:
Medir las distancias en forma directa e inversa, corregir por temperatura y presión las medi-
das lineales.
Medir en forma precisa los ángulos verticales tanto en posición directa como inversa, con re-
lación a esto medir la altura del aparato en todos y cada uno de los vértices.
Orientar astronómicamente uno de los lados con el fin de propagar esta orientación y com-
probar el cálculo mediante otro lado orientado astronómicamente (ver figura 13.2).
C
b
a
B
c
A
d2
d1
d3
d3
C
E F H
J
IGDB
A
Figura 13.2 Lados orientados AB e IJ
La precisión de la trilateración es relativa al tamaño de los triángulos.
Finalmente es ventajoso complementar triangulación con trilateración cuando por la longitud
de los lados hay problemas de visibilidad.
También en ambos casos puede requerirse del conocimiento de las elevaciones o cotas.
13.3 CUESTIONARIO
Triangulación y Trilateración
1. Explicar que es una triangulación y desarrollar los trabajos de campo.
2. Definir trilateración.
13.4 EJEMPLOS
Ejemplo 1 Cálculo de compensación de un cuadrilatero
Con los datos del registro de campo compensar el cuadrilátero.
Base
2 3
4
5678
1
W X
YZ
A B
CD
Figura 1.
Registro de campo:
ESTACIÓN ÁNGULO PROMEDIO
A W 281° 22' 17.5"
1 35° 38' 40.7"
2 42° 58' 58.8"
359° 59' 57"
B X 311° 00' 54.5"
3 31° 01' 2"
4 17° 58' 9.5"
360° ''0 6"
C Y 226° 11' 50.3"
5 88° 1' 39.5"
6 45° 46' 24.2"
359° 59' 54.02
D Z 261° 25' 09.5"
7 28° 13' 46.0"
8 70° 21' 16,5"
360" 00' 12"
1) Ajuste de estación: Con los datos obtenidos del campo, después de promediar directamente
la serie de lecturas, se procede con la distribución del error en cada estación, de acuerdo al si-
guiente cuadro.
ESTACIÓN ÁNGULO PROMEDIO CORRECCIÓN COMPENSADO
A W 281° 22' 17.5" 1 281° 22' 18.5"
1 35° 38' 40.7" 1 35° 38' 41.7"
2 42° 58' 58.8" 1 42° 58' 59.8"
359° 59' 57" 3 360° 00' 00"
B X 311° 00' 54.5" -2 311° 00' 52.5"
3 31° 01' 2" -2 31° 1' 0"
4 17° 58' 9.5" -2 17° 58' 7.5"
360° ''0 6" -6 360° 00' 00"
C Y 226° 11' 50.3" 2 226° 11' 52.3"
5 88° 1' 39.5" 2 88° 1' 41.5"
6 45° 46' 24.2" 2 45° 46' 26.2"
359° 59' 54.02 6 360° 00' 00.0"
D Z 261° 25' 09.5" -4 261° 25' 05.5"
7 28° 13' 46.0" -4 28° 13' 42.0"
8 70° 21' 16,5" -4 70° 21' 12.5"
360" 00' 12" -12 360° 00' 00.0"
2) Ajuste de figura:
360 interiores losángu
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 360°
La suma de los ángulos opuestos tiene que ser igual.
2 + 3 = 6 + 7
4 + 5 = 1 + 8
ÁNGULO
VALOR
AJUSTE DE ESTACIÓN
AJUSTE
A 360°
AJUSTADO
A 360°
DISCREP.
ÁNG. OPUEST
AJUSTE
ÁNGULO OPUESTO
ÁNGULOS
AJUSTADOS PRUEBA
2 42° 58' 59.8" 1,1 42° 59' 00.9" 2,1 42° 59' .32
74° 00' 02" 74° 00' 06.2"
3 31° 01' 00.0" 1,1 31° 01' 01.1" 8,4 2,1 313° 01' 03.2"
6 45° 46' 26.2" 1,1 45° 46' 27.3" -2,1 45° 46' 25.2"
74° 00' 10.4" 74° 00' 06.2"
7 28° 13' 42" 1,1 28°13' 43.1" -2,1 28° 14' 41"
4 17° 58' 07.5" 1,1 17° 58' 08.6" 1,3 17° 58' 09.9"
105° 59' 51.2" 105° 59' 53.8"
5 88° 01' 42.6" 1,1 88° 01' 42.6" 5,2 1,3 88°01' 43.8"
8 70° 21' 12.5" 1,1 70° 21' 13.6" -1,3 70° 21' 12.3"
105° 59' 56.4" 105° 59' 53.8"
1 35° 38' 41.7" 1,1 35° 38' 42.8" -1,3 35° 38' 41.5"
359° 59' 51.2" 8,8 360° 00' 00" 360° 00' 00"
3) Condición de los lados:
0paressen.logimparessen.log
18sen6sen4sen2sen
7sen5sen3sen1sen
ANGULOS ANGULOS AJUS-
TADOS LOG. SENOS
DIFERENCIA
TABU. POR
1"
CORRECCIÓN ANGUL. SEG.
ANGULOS FINALES
PRUEBA LOG. SENOS
1 35° 38' 41.5" 9,7654893 29,4 0,3 35° 38' 41.82 9,7654902
3 31° 01' 03.2" 9,7120607 35 0,4 31° 01' 03.6" 9,7120621
5 88° 01' 43.9" 9,999743 0,7 0,3 38° 01' 44.2" 9,999743
7 28° 13' 41" 9,6748248 39,2 0,3 28° 13' 41 3" 9,674846
39,1521378 39,1521413
2 42° 59' 03" 9,8336546 22,6 -0,4 42° 59' 02.6" 9,8336537
4 17° 58" 09.9" 9,4892663 64,9 -0,3 17° 58' 09.6" 9,4892663
6 45° 46' 25.2" 9,8552708 20,5 -0,3 45° 46' 24.9" 9,8552702
8 70° 21' 12.3" 9,9739515 7,5 -0,3 70° 21' 12" 9,9739513
39,1521432 39,1521415
74" 219,8 Residuo 2
ANGULO ANGULO
AJUSTADO LOG. SENOS
DIFERENCI
TAB. POR 1"
CORRECCIÓN
LOG. SENO
LOG. SENOS
AJUSTADOS
ANGULOS FI-
NALES
1 35° 38' 41.5" 9,7654893 29,5 9,9 9,7654903 35° 38' 41.836"
3 31| 01' 03.2" 9,7120607 35 11,8 9,7120619 31° 01' 03.543"
1144
CCAAPPÍÍTTUULLOO
LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO
MEDIANTE ESTACIÓN TOTAL
14.1 CONCEPTOS BÁSICOS PARA LA REALIZA-
CIÓN DE UN LEVANTAMIENTO TOPO
GRÁFICO MEDIANTE UNA ESTACIÓN
TOTAL
En este apartado se pretende ofrecer una visión general, mediante un ejemplo práctico, sobre la
realización de un levantamiento topográfico mediante la utilización de una estación total y el
posterior tratamiento informático de los datos obtenidos.
14.2 LA ESTACIÓN TOTAL
14.2.1 GENERALIDADES
Se trata de uno de los aparatos topográficos de mayor difusión en la actualidad. Su potencia,
flexibilidad, precisión, sencillez de manejo y posibilidades de conexión con ordenadores perso-
nales son los principales factores que han contribuido a su gran aceptación.
Las estaciones totales han venido desde hace ya varios años, a facilitar enormemente la toma de
datos en campo mediante procedimientos automáticos. Todo ello ha contribuido a una notable
mejora en las condiciones de trabajo de los topógrafos, así como a un mayor rendimiento en los
levantamientos y el replanteo posterior.
Existen muchos modelos de las estaciones totales, de distintos fabricantes, con diferentes fun-
cionalidades y, sobre todo con distinta precisión y obviamente precio.
A la hora de elegir una estación total debemos tener en cuenta nuestras necesidades actuales y
futuras, así como la rentabilidad que vamos a obtener del aparato. No siempre el más caro va a
ser el más adecuado a nuestro trabajo por lo que conviene estudiar detenidamente la elección.
Mirilla de puntería
Telescopio
Nivel Tórico
Batería recargable Nivel esférico
Movimiento cenital Teclado
Movimiento acimutal
Conexión colector datos
y ordenador personal
Pantalla digital
Tornillos de nivelación
Base
Figura 14.1 Partes fundamentales de una Estación Total
El manejo de una estación total no es complicado y en un breve plazo una persona con los co-
nocimientos teóricos necesarios puede estar trabajando con un rendimiento aceptable.
14.2.2 FUNCIONES BÁSICAS DE UNA ESTA-
CION TOTAL
En esencia, una estación total permite efectuar las mismas operaciones que se efectuaban antes
con otros aparatos como los taquímetros o los teodolitos. La gran diferencia es que ahora se
aprovechan más las grandes posibilidades que nos brinda la microelectrónica. De esta manera
la medida indirecta de distancias se convierte en un proceso sencillo en el que basta pulsar una
tecla tras haber hecho puntería sobre un prisma situado en el punto de destino. Tampoco es ne-
cesario efectuar tediosos cálculos para determinar las coordenadas cartesianas de los puntos
tomados en campo, sino que, de forma, automática la estación nos proporcionará dichas coor-
denadas.
Para realizar todas estas operaciones las estaciones totales disponen de programas informáticos
incorporados en el propio aparato.
Todas las funciones del mismo así como la información calculada son visibles a través de una
pantalla digital y un teclado como los que se muestran en la figura.
Figura 14.2 Pantalla digital y teclado de una estación total
Mediante una estación total podremos determinar la distancia horizontal o reducida, la distancia
geométrica, el desnivel, la pendiente en %, los ángulos horizontal y vertical, así como las coor-
denadas cartesianas X, Y, Z del punto de destino, estas últimas basadas en las que tiene
asignadas el aparato en el punto de estacionamiento.
Para ello basta con estacionar el aparato en un punto cuyas coordenadas hayamos determinado
previamente o sean conocidas de ante mano, por pertenecer a un sistema de referencia ya esta-
blecido, y situar un prisma (ver figura 14.3) en el punto que deseamos determinar. A
continuación se hace puntería sobre el prisma, enfocándolo adecuadamente según la distancia a
que nos encontramos del mismo, y se pulsa la tecla correspondiste para iniciar la medición.
Z
N
E
Figura 14.3 Estación total en funcionamiento
La estación lanzará una radiación, generalmente infrarroja que será reflejada por el prisma y
devuelta hacia la fuente emisora, registrando esta el intervalo de tiempo transcurrido, a partir
del cual será capas de determinar la distancia y el resto de los valores necesarios. El software se
encargará de realizar los cálculos para presentarnos en pantalla directamente los datos que mas
nos interesen como suelen ser las coordenadas X, Y, Z; que en la denominación americana se
denominan Easting (E), Northing (N) y Elevation (Z), respectivamente, pudiendo presentarse
en el orden (E, N, Z) o (N, E, Z), ambos de frecuente utilización.
Los resultados obtenidos no es necesario transferirlos a la tradicional libreta de campo, pues es-
ta se ha visto sustituida por una libreta electrónica o colector de datos que de encarga de ir
almacenando de forma automática, toda la información necesaria. Los colectores de datos pue-
den ser externos o internos.
Los primeros han sido excesivamente utilizados durante mucho tiempo, pues a sus funciones
propias como sistema de almacenamiento de los datos procedentes de la estación, se añadían
otras prestaciones propias de una calculadora programable avanzada. Estos colectores de mon-
tan sobre el trípode y se conectan a la estación mediante un cable especial. Posteriormente ya
en gabinete es posible transferir la información desde el colector a un ordenador personal en el
que podremos realizar el tratamiento de los datos mediante software específico del que habla-
remos mas adelante.
Actualmente son mas frecuentes las estaciones que incluyen un sistema de almacenamiento in-
terno, que podríamos asemejar a un pequeño disco duro. En realidad se trata de tarjetas de
memoria del tipo PCMCIA (ampliamente utilizadas en ordenadores portátiles). La capacidad de
la misma suele medirse en función de los puntos que pueden almacenar, pudiendo oscilar esta
cifra entre 1000 y 5000 puntos, mas que suficiente para varias jornadas de trabajo. Este sistema
evita la necesidad de otro aparato externo, y permite la conexión directa de la estación al orde-
nador.
Lógicamente, cada vez que de realiza la descarga de los datos a la PC, es posible borrar la in-
formación almacenada en la tarjeta, con lo que de nuevo estará dispuesta para comenzar el
trabajo.
También podemos optar por transferir el contenido del colector directamente a una impresora.
Las últimas estaciones aparecidas en el mercado llegan aun más lejos en el continuo proceso de
automatización, permitiendo generar directamente un dibujo o croquis de los datos tomados y
transferirlo al computador en un formato estándar, de manera que pueda ser directamente trata-
do por un programa de diseño asistido por ordenador (CAD, Computer Arded Desing) como
los populares AutoCad o MicroStation.
14.2.3 ESTACIONAMIENTO DEL APARATO
Podemos decir sin lugar a dudas que la puesta en estación del aparato, por muy moderno que
este sea, será una de las tareas más dificultosas para el topógrafo inexperto.
En primer lugar, debemos materializar sobre el terreno el punto de estacionamiento. Para ello
utilizaremos normalmente estacas de madera, clavos metálicos u otros elementos, dependiendo
del tipo de terreno y de la permanencia que queramos otorgar a dicho punto. Si se trata de un
punto de apoyo topográfico, que posteriormente será utilizado para el replanteo, debemos de
cuidar que permanezca inamovible el tiempo suficiente.
Una vez materializado el punto en el terreno, procedemos a situar el aparato, junto con el trípo-
de en su vertical. Para ello se utiliza la plomada que en las estaciones totales puede ser óptica o
láser. En el primer caso, tendremos que mirar en el anteojo correspondiente para situar la cruz
filar sobre el punto señalado con la mayor aproximación posible. Procedemos asentando fir-
memente en el terreno una de las patas del trípode y moviendo las otras dos hasta que logremos
asentar el aparato en la vertical del punto. Las estaciones mas modernas disponen de una plo-
mada láser, que proyecta un rayo sobre el terreno, perfectamente visible a la luz del día y que
nos permite desplazar el aparato sin necesidad de estar mirando al mismo tiempo el anteojo.
Cuando se ha conseguido situar el nivel esférico, debemos asegurarnos que la estación sigue es-
tando en la vertical del punto de estación. Lo más normal es que se haya desplazado
ligeramente. Para corregir este desplazamiento, aflojamos el tornillo de fijación entre el aparato
y el trípode y desplazaremos el primero sobre la plataforma nivelante hasta conseguir de nuevo
la verticalidad.
El nivel esférico debe seguir en su posición, con lo que solamente será necesario actuar sobre
los tornillos de nivelación y equilibrar el nivel tórico.
14.2.4 PRIMEROS PASOS CON LA ESTACIÓN
TOTAL, TRABAJOS DE CAMPO
Una vez que hemos conseguido estacionar adecuadamente el aparato, ya podemos comenzar a
utilizarlo, aunque poco podemos conseguir si antes no le indicamos a nuestra estación cual es
nuestra situación actual, es decir, cuales son las coordenadas del punto se estacionamiento, y en
que dirección se realiza la orientación para la medida de ángulos.
Por lo tanto todo el proceso de medición que se efectúa con la estación total está basado en
unos datos de partida, a partir de los cuales, y mediante las medidas obtenidas con el aparato, se
pueden calcular el resto de los puntos representativos de la zona que se va a estudiar.
A la hora de fijar el sistema de referencia, podemos elegir dos métodos:
14.2.5 TRABAJO DE COORDENADAS RELATI-
VAS RECTANGULARES PLANAS
Asignamos al punto de estación (primera base de nuestro levantamiento) unas coordenadas ar-
bitrarias (por ejemplo 5000, 5000), de manera que, por simplicidad, no obtengamos
posteriormente coordenadas negativas. Al mismo tiempo, orientamos el aparato con respecto a
alguna señal, monumento, hito, etc., permanente del terreno (uno de los bordes de una iglesia,
casa, etc.) esta orientación nos marcará el origen en la medida de ángulos.
Una vez colocado el aparato con la visual del punto de orientación, podemos asignar los valores
de las coordenadas del punto en el que estamos, así como el valor del ángulo (normalmente
asignaremos el valor 0g al punto de orientación, aunque a veces puede interesarnos otro valor).
Esta asignación se realiza de manera electrónica, como si se tratase de una calculadora avanza-
da, almacenándose en la memoria interna de la estación. La manera de hacerlo es diferente para
estaciones de distintos fabricantes, pero no representa mayor complicación que la de leer dete-
nidamente los manuales de instrucción del aparato.
A partir de este punto, podemos indicar a nuestro ayudante que se sitúe con el prisma en cual-
quier parte, siendo necesario hacer solamente puntería sobre el prisma y presionar el botón
correspondiente para iniciar la medición. En muy pocos segundos tendremos el resultado, con
las coordenadas rectangulares planas del punto deseado ya calculadas (esta se calcula mediante
rutinas internas que parten del valor medido de los ángulos horizontal y vertical, de la distancia
geométrica, etc.), las cuales se presentarán en pantalla y, si lo queremos, se almacenarán auto-
máticamente en memoria, para poder ser descargadas al final de la jornada en nuestro
ordenador personal.
No es necesario decir que la diferencia en la metodología de trabajo con respecto a otros apara-
tos más antiguos son más que notables. Ya no es necesario medir manualmente ángulos y
tomar lecturas con los hilos del retículo, para luego en gabinete efectuar una serie de pesados
cálculos y determinar las coordenadas cartesianas. La estación hace todo el trabajo por noso-
tros, que solamente tenemos que apuntar y disparar.
Loa últimos modelos de estaciones totales incluyen un sistema todavía mas impresionante: se
trata del seguimiento automático del prisma mediante un mecanismo motorizado que gira el
aparato automáticamente al detectar que el prisma se está moviendo. En este caso solo es nece-
sario disparas ni tan siquiera tendremos que hacer puntería.
14.2.5.1 TRABAJO ENLAZADO CON LA
RED GEODÉSICA NACIONAL
En trabajos de cierta entidad que requieran que requieran el estudio de una zona de alguna am-
plitud, es una buena práctica el orientar el aparato con respecto a algún vértice de la Red
Geodésica Nacional.
Para ello, en primer lugar deberíamos identificar sobre un plano todos los vértices geodésicos
existentes en la zona de estudio, así como su nivel de fiabilidad. Además, es imprescindible co-
nocer las coordenadas de estos vértices. Toda esta información puede solicitarse al Centro
Nacional de Información Geográfica (Ministerio de Fomento). En concreto, debe solicitarse los
siguientes documentos:
Plano general de la Red Geodésica de Primer Orden (nacional).
Plano de triangulación de las provincias objeto de estudio: plano de detalle de todos los
vértices disponibles identificados.
Reseña de los vértices geodésicos que nos interesen por su proximidad a la zona de es-
tudio: la reseña incluye nombre y localización del vértice, así como sus coordenadas
geográficas, altitud, coordenadas UTM y huso correspondiente, convergencia de meri-
dianos y factor de escala.
Tras haber elegido los vértices que nos van a servir como referencia, estacionaríamos el aparato
en cada uno de ellos, asignando las coordenadas X, Y, Z correspondientes (suministradas), y
orientando, por ejemplo, hacia otro vértice. Posteriormente lanzaríamos visual al punto que
constituirá la primera base de nuestro trabajo. Así, determinaremos las coordenadas de esta pri-
mera base con respecto a las del vértice estacionado.
Sucesivamente, según vayamos colocando nuevas base, será conveniente realizar cierres con
los vértices más cercanos o accesibles, lanzando visual a los mismos y comprobando las coor-
denadas obtenidas con la estación con las suministradas previamente.
En la figura se describe el método de operación para realizar un levantamiento apoyado en la
Red Geodésica:
En primer lugar marcaremos en el terreno el punto desde el cual queremos partir (B1).
A continuación, estacionaremos el aparato en el vértice geodésico (V) cuyas coordena-
das (X, Y, Z) son conocidas, asignándoselas a la estación.
Hacemos puntería sobre el prisma situado en B1 y asignamos el valor del ángulo hori-
zontal (Hz), pues esta será siempre la orientación elegida. Normalmente, elegiremos
que el ángulo horizontal Hz (V, B1) sea igual a 200g, pues así cuando nos situemos en
la primera base de nuestro trabajo (B1), apuntaremos al vértice (V) y fijaremos a cero
el valor de Hz (B1,V).
Una vez orientado el aparato y asignadas las coordenadas del punto de estación, pode-
mos iniciar la medición. En breves segundos aparecerán en la pantalla todos los valores
deseados. En concreto, los tres datos imprescindibles son los ángulos horizontal y verti-
cal, y la distancia geométrica. Partiendo de ellos pueden calcularse los demás,
incluidas la distancia reducida, el desnivel y las coordenadas rectangulares. La deter-
minación del desnivel es la del existente entre el eje del aparato y el prisma, no entre
los dos puntos del terreno, razón por la cual será necesario conocer las alturas del apa-
rato y del prisma.
Se cumple la relación:
Hpr. B)-D(A Dmed. .Hap
Donde:
prisma del altura Hpr.
By A puntos los entre real desnivel B)-D(A
medido desnivel Dmed.
aparato de altura .Hap
Deduciéndose:
Dmed. Hpr.) - (Hap. B)-D(A
Expresión que permite calcular el desnivel real existente entre los puntos A y B.
No debemos pensar que es necesario aplicar esta expresión para cada uno de los puntos
que vayamos tomando. Si nos fijamos, el valor de la altura del aparato permanecerá
constante dentro de una misma estación, y en general, la altura del prisma también será
constante, salvo en casos de puntos dificultosos en los que puede interesar aumentarla o
disminuirla para lograr la puntería.
Teniendo en cuenta que estas dos magnitudes suelen permanecer constantes, podemos
introducirlas en la memoria del aparato y obtener gran cantidad de puntos por radiación
desde la misma sin ningún tipo de cálculo adicional. Cuando cambiemos de estación,
batará con medir de nuevo la altura del aparato y tener constancia de la altura a la que
colocamos el prisma.
Ya tenemos las coordenadas de nuestra primera base (B1) referidas a la Red Geodésica,
con lo cual cogeremos el aparato y pasaremos a estacionarnos en dicho punto (B1). El
proceso se repite. En esta ocasión asignaremos a la estación las coordenadas recién cal-
culadas de (B1), apuntaremos a V y pondremos a cero el valor del ángulo horizontal.
De esta forma, el aparato esta preparado para tomar todos los puntos de relleno necesa
rios, calculando sus coordenadas en función de las previamente asignadas de B1.
Por tanto, desde B1 haremos una radiación lanzando visuales al prisma, que se irá si-
tuando sucesivamente en puntos del terreno aleatorios, aunque elegidos con destreza,
para representar el terreno con la mayor fidelidad, sin necesidad de excederse en el
número de puntos tomado. Como regla general conviene tomar todos los puntos nota-
bles del terreno, que en su mayor parte serán los constituyentes de las líneas de quiebro
(vaguadas, bordes de caminos, pies de talud, etc.). Adicionalmente tomaremos los pun-
tos de relleno que consideremos necesarios.
Cuando finalicemos los trabajos desde B1, debemos situar una nueva base en el terreno
que nos permita continuar el trabajo desde ella. Para ello, materializaremos esta en el
terreno y lanzaremos visual sobre ella, calculando sus coordenadas (Xb2, Yb2).
Recogemos el aparato y estacionamos en B2. Como siempre, lo primero es asignar las
coordenadas recién calculadas y orientar el aparato. Lo primero es inmediato. Para lo
segundo, haremos puntería sobre el prisma situado en B1 y fijaremos el ángulo hori-
zontal de B2 a B1(Hz(B2, B1)), cuyo valor será el mismo que el de B1 a B2(Hz(B1,
B2)) mas 200 grados centesimales. Por tanto:
B2) Hz(B1, 200 B1) (B2,Hz g
Nuevamente tenemos el aparato orientado, con lo cual podemos empezar a radiar hasta
que necesitemos una nueva base. Y así sucesivamente hasta completar el trabajo.
Como vemos el modo de operar es sencillo, no obstante, no debemos de perder de vista los
errores que conlleva todo proceso de medida.
Para ir testeando los errores cometidos y, en su caso, efectuar las correcciones oportunas, de-
bemos ir comprobando la fidelidad de las coordenadas obtenidas cerrando desde cada base con
el vértice inicial o con otro que este visible. Si desde B2 lanzamos visual a V, deberemos obte-
ner en pantalla las coordenadas de V. Normalmente siempre habrá una desviación con respecto
a las originales. Teniendo en cuenta las tolerancias establecidas, sabremos si es necesario efec-
tuar correcciones o no. También debemos comprobar el cierre angular.
Se entiende que si el trabajo no esta orientado con la Red Geodésica la única variación del pro-
cedimiento expuesto será el hecho de que a la base B1 le asignaremos unas coordenadas
arbitrarias, de las cuales se derivaran el resto.
14.2.6 TRABAJOS DE GABINETE
Una vez finalizados los trabajos de campo comienza una de las tareas más interesantes. Se trata
del análisis, interpretación y tratamiento de los datos obtenidos para conseguir un buen modelo
del terreno objeto de estudio.
Cuando digo que se trata de una de las tareas más interesantes estoy pensando en las posibili-
dades que las nuevas herramientas informáticas nos brindan.
Lejos quedan ya aquellos tiempos en los que era necesario tomar la libreta de campo y ponerse
a calcular coordenadas a partir de los datos de ángulos y distancias, para luego representarlos
manualmente en un plano y dibujar las curvas de nivel interpolando cotas de la mejor manera
posible. Efectivamente, era un trabajo extremadamente tedioso que consumía bastante tiempo.
Hoy día, todo es más sencillo y a la vez más interesante. Cuando lleguemos a nuestro despacho
con nuestra estación total no tendremos más que extraer el colector de datos y transferir estos a
nuestro ordenador personal. Posteriormente, con el software apropiado abriremos dichos fiche-
ros y, con un poco de experiencia, no será necesario mucho tiempo para tener en pantalla un
modelo digital del terreno que podremos visualizar al modo tradicional (con curvas de nivel) o
bien elegir la representación tridimensional basada en triángulos o en malla cuadriculada.
Posteriormente efectuaremos la revisión (siempre necesaria), el dibujo de detalles, y la confec-
ción de los planos finales. Pero todo ello lo haremos con un sistema de diseño asistido por
ordenador (CAD) que nos facilitará enormemente la tarea (aunque requerirá un tiempo conside-
rable de aprendizaje previo, pues se trata de programas muy elaborados y complejos con
infinidad de funciones) y nos hará pasar un rato muy agradable delante del ordenador, convir-
tiendo lo que antes era un trabajo arduo en una gratificante experiencia, al comprobar como el
trabajo realizado en campo se materializa en gabinete con rapidez y efectividad.
Una vez se ha generado y revisado el Modelo Digital del Terreno, tenemos a nuestra disposi-
ción una base de datos con la que podemos efectuar todos los cálculos necesarios aparte de las
lógicas representaciones que hemos visto. Por ejemplo, es posible dibujar perfiles longitudina-
les, secciones transversales, calcular movimientos de tierra, proyectar plataformas, obras
lineales, etc. Todo tendrá como base el MDT generado previamente, razón por la cual se le ha
concedido tanta importancia, pues ya se ve que es la base de multitud de proyectos y trabajos
relacionados con la ingeniería.
14.2.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Supongamos que sobre el terreno que acabamos de modelizar queremos proyectar una urbani-
zación como.
Supongamos también que ya hemos diseñado los perfiles longitudinales de las distintas calles,
adaptándonos lo mejor posible a la superficie del terreno existente, como el terreno original es
accidentado, queremos efectuar un movimiento de tierras para suavizarlo, de forma que el mo-
delo del terreno final este basado en los puntos definitorios de los bordes izquierdo y derecho
de cada una de las calles, con la cota resultante del perfil longitudinal respectivo.
Para modelizar el terreno final tendremos que partir de una nueva nube de puntos, que obten-
dremos escogiendo una serie de puntos representativos en cada borde de las calles y
determinando sus cotas respectivas acudiendo al perfil longitudinal diseñada.
Una vez que tengamos esta nube de puntos, es sencillo generar el nuevo MDT, que puede co-
existir en la memoria de nuestro programa junto con el anterior, y lo que es mas importante,
puede realizarse cálculos entre los dos MTD (o entre más si fuera necesario).
Una vez que tenemos almacenados los dos modelos del terreno, ya es posible calcular el movi-
miento de tierras comprendido entre ambas superficies.
Si tuviéramos que efectuar este trabajo por métodos tradicionales, lo más lógico sería colocar
una serie de secciones transversales uniformemente espaciadas y en cada una de ellas, dibujar
los dos terrenos.
Posteriormente mediríamos las superficies de cada sección transversal y aplicaríamos las ya
conocidas fórmulas para determinar los correspondientes volúmenes. No puede negarse que se
trataría de un trabajo extremadamente engorroso.
El método de cálculo que utilizan las aplicaciones de que hablamos va todavía más lejos y,
aparte de una mayor rapidez, también obtendremos mayor precisión. Si antes nos basábamos en
una serie de secciones transversales con un intervalo de 10 o 20 metros entre ellas (para no
eternizar la fase de dibujo y medición de áreas), ahora el programa parte de una matriz de pun-
tos o maya con un espaciamiento elegido por el usuario. En cada uno de estos puntos la
aplicación calcula el desnivel entre una y otra superficie. El volumen final se determina en fun-
ción de los resultados en todos los puntos de la malla. No cave duda de que a mayor densidad
de malla, mayor será también la precisión del cálculo.
Esto resulta tan interesante que es posible, en el caso práctico que presentamos, establecer el
paso de malla en 0.5 metros y obtener el resultado final en poco mas de 20 segundos.
Para finalizar este capítulo, es necesario indicar que el modelado digital de terrenos no es una
tarea trivial. Por mucho que los actuales ordenadores simplifiquen los cálculos y los trabajos
reiterativos, es necesario actuar con cautela y, en todo caso con un conocimiento exacto de lo
que estamos haciendo. Debemos recordar y tener siempre presente que el ordenador no piensa
por si mismo (al menos por el momento), así que tendremos que suministrarle la información
de una determinada manera que pueda entender. El conseguir esto necesita un cierto entrena-
miento y un periodo de aprendizaje que puede variar entre cada persona, pero que en todo caso
tendrá que ser medianamente razonable. En caso contrario es muy posible que obtengamos re-
sultados no deseados que nos ocasionen grandes problemas y quebraderos de cabeza. En este
sentido, no será de extrañar que en las primeras ocasiones tardemos más tiempo en completar
un trabajo utilizando el PC que realizándolo por métodos convencionales. Esto es normal y no
debe causar desazón, pues con un poco de paciencia y buena voluntad enseguida comenzare-
mos a ver los resultados, y en poco tiempo el ordenador será nuestro compañero de trabajo
inseparable, eso es seguro.
14.3 CUESTIONARIO
Estación total
1. Explicar la diferencia entre un teodolito y una estación total.
2. Explicar los pasos a seguir en campo con una estación total.
14.4 EJEMPLO
Ejemplo 1 Estación total
Levantamiento de un tramo carretero, ver planilla.
poligonal base
eje de la carretera
BIBLIOGRAFIA
1. Francisco Domínguez García – Tejero “Topografía General y Aplicada”, 6°
edición corregida y aumentada, editorial Dossat, S.A. Madrid.
2. Montes de Oca “Topografía”, 4° edición revisada.
3. Fernando García Márquez “Curso Básico de Topografía, Planimetría –
Agrimensura - Altimetría.
4. E. Narváez – L. Llontop B “Manual te Topografía General I – II”, primera
edición corregida y aumentada: septiembre del 2003, edición en Lima – Perú.
5. Dante Alcántara García “Topografía”, McGraw – HILL/INTERAMERICANA
DE MEXICO, S.A. DE C.V.
6. Carciente, J., “Carreteras, estudio y proyecto” (1º Reimpresión 2da Ed.),
Venezuela: Ediciones Vega, s.r.l.
7. “Flores Julio”, Apuntes de la materia Topografía U.M.S.S.
8. DIRECCIONES EN INTERNET
ÁREAS Y VOLÚMENES
INTRODUCCIÓN
Área, de una figura, es el número que indica la porción de plano que ocupa. Se expresa en uni-
dades de superficie.
Volumen, de una figura tridimensional, es el número que indica la porción de espacio que ocu-
pa. Se expresa en unidades cúbicas.
MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE ÁREAS
Si conocemos los lados de una figura podemos calcular su área de forma geométrica, y de for-
ma trigonométrica si además de los lados conocemos los ángulos.
ÁREA DE PARALELOGRAMOS
El área de un paralelogramo es el producto de la base por la altura. El rectángulo, el cuadrado y
el rombo son paralelogramos; sus áreas se muestran en las figura 1.
lb
a
CuadradoRectángulo
abA
2lA
Rombo
d'd
b
a
Paralelogramo
abA 2
'ddA
Figura 1. Área de paralelogramos
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es:
a
bc
mn
h
cba hc2
1hb
2
1ha
2
1A
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la si-
guiente fórmula, llamada fórmula de Herón:
)cp)(bp)(ap(pA
En donde 2
cbap
; es el semiperímetro del triángulo.
Fórmulas del área de un triángulo en función de la base y la altura, y en función de sus lados.
TriánguloTriángulo
c
ba
b
a
2
abA
2
cbap
)cp)(bp)(ap(pA
Triángulo equiláteroTriángulo rectángulo
h
c'
c l
2
'ccA
4
3lA 2
Figura 2. Área de triángulos
ÁREA DEL TRAPECIO
Trapecio, cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados pa-
ralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, altura.
El área de un trapecio de bases b y b’ y altura a es:
a2
'bbA
Si un trapecio tiene dos lados iguales se llama isósceles. Y si tiene dos ángulos rectos se llama
rectángulo.
trapecio rectángulotrapecio isósceles
ÁREA DEL CÍRCULO
r
Círculo
2rA
ÁREA DEL POLIGONO REGULAR
a
Polígono Regular
2
aperímetroA
MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE VOLÚ-
MENES
El cálculo de volúmenes de movimientos de tierra se efectúa principalmente mediante uno de
los siguientes dos métodos: el método del promedio de áreas extremas y la fórmula del pris-
moide.
VOLÚMENES POR PROMEDIO DE ÁREAS
Este método se utiliza generalmente para calcular el volumen existente entre dos secciones
transversales o áreas extremas.
Consiste en determinar las áreas en el corte transversal de una estación y la que sigue, sumarlas
y sacar promedio. Se multiplican luego por la sección entre ambas estaciones.
Las fórmulas para áreas extremas que se muestran a continuación dan buenos resultados cuan-
do las dos áreas extremas son aproximadamente iguales en forma y tamaño. Sin embargo, al
crecer las diferencias en la forma entre las dos áreas, crece también el error en el volumen cal-
culado, y cuando un área tiende a convertirse en un punto (valor cero), el error llega a un
máximo.
Si las dos áreas extremas adyacentes son idénticas en forma y tamaño, la figura geométrica só-
lida que se forma es un prisma. El volumen V de un prisma se obtiene con la fórmula siguiente:
d)2
AA(V 21
d A2
A1
Figura 3. Volumen por promedio de áreas
Donde:
V: Volumen en m3
A1,A2: áreas extremas correspondientes, en m2
d: distancia perpendicular entre las áreas extremas, en m.
NOTA: Si A1 = A2 , V = A · d
Cuando una de las áreas extremas es cero, la figura geométrica es una pirámide, cuyo volumen
es igual a un tercio del área de la base multiplicada por la longitud:
V = ⅓ A · d
La fórmula del método supone que el volumen contenido entre áreas extremas sucesivas es un
producto del promedio de las dos áreas extremas y la distancia perpendicular que existe entre
ellas.
VOLÚMENES POR LA FÓRMULA DEL PRISMOIDE
Este procedimiento es sólo una variación del anterior y se aplica cuando el área de uno de los
dos cortes es mucho mayor que la del otro corte, de manera que se hace necesario el conoci-
miento del área en la parte media de la sección.
Cuando se requieren valores más exactos de los volúmenes de movimientos de tierra, se utiliza
la fórmula del prismoide. Esta fórmula se aplica a menudo para determinar volúmenes de mate-
riales costosos de construcción con formas complicadas, tales como el hormigón vaciado en
sitio. El volumen del prismoide se expresa con la siguiente fórmula:
)AA4A(6
dV 2m1
A1
Am
A2
Figura 4. Volumen del prismoide
Donde:
V: Volumen en m3
A1,A2: áreas extremas correspondientes, en m2
Am: área de la sección ubicada a la mitad de la distancia entre A1 y A2, en m2
d: distancia perpendicular entre las áreas extremas, en m.
“Am” se obtiene dibujando primero la sección medida a partir del promedio de las dimensiones
de las secciones A1 y A2 y calculando luego el área de esta sección nueva y no promediando el
área de A1 y A2.
PROBLEMAS DE CAMPO QUE
PUEDEN
RESOLVERSE CON USO DE CIN-
TA
TRAZADO DE PERPENDICULARES
A. Levantar una pendiente en cualquier punto sobre
la línea
Con una sola cinta se forma un triángulo rectángulo.
Se emplean lados de 3, 4 y 5 m. o múltiplos de ellos. Con una sola cinta se puede formar e án-
gulo, sostenida por tres persona, una en la marca (3), otra en la (7) y otra juntando la (0) y la
(12).
(7)
(3)
(0) 3
(12)
5 4
A
La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también midiendo distancias
iguales a uno u otro lado del punto (A).
NM
CB A
90°
D
Se eligen dos puntos (B) y (C), de tal manera que AB = AC; con la cinta se trazan arcos de
igual radio, haciendo dentro en (B) y (C), la intersección de los arcos será el punto (D) de la
perpendicular buscada.
Desde un punto cualquiera (P), descríbase un arco de círculo con un radio PA, inter-
sectando MN en (C). El punto B de la perpendicular AB a la línea MN se encuentra
prolongado CP; es decir, B se halla en línea CP y PB = CP.
B
P
90°
AC
B. Desde un punto exterior a un alineamiento bajar
una perpendicular a este.
Bajar de un punto (A), una perpendicular a una línea.
Es el caso inverso del anterior:
Se marca sobre la línea dos puntos a igual distancia de (A), y a la mitad de su separación queda
la normal que viene (A).
A
Tomándose un punto (B) arbitrario sobre el alineamiento MN y manteniendo el punto
medio (C) de la distancia BD. Luego, con centro en (C) y radio igual a CB, trazar el
arco CA. El punto (A) de intersección de este arco con el alineamiento MN es el pie de
la perpendicular.
BC = CD
NM
B A
90°
C
D
TRAZADO DE PARALELAS
Trazar una línea paralela a otra línea por un punto (A):
Puede hacerse midiendo la distancia normal del punto a la línea, y repitiéndola mas adelante en
otro punto cualquiera.
A
De otro modo, con distancias inclinadas cualesquiera como se indica en la figura, puede fijarse
el otro punto por donde pasara la paralela.
A
CUANDO EL PUNTO (A) ES INACCESIBLE PERO
VISIBLE
Se forma un triángulo con los puntos auxiliares (1) y (2) sobre la línea, y se bajan de
ellos, normales a los lados opuestos, es decir, altura del triángulo. Por la intersección
de ambas alturas la normal (altura que baja de (A)).
Las líneas se pueden pintar, o marcar varios puntos de ellas en el terreno.
TRAZAR UN ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS
INVISIBLES UNO DE OTRO
P auxiliar1
432
4'
3'
2'
1'
A
B
Fuera del obstáculo se traza AP y se mide, y su perpendicular por (B), y también se
mide: 1A , 2A , 3A , etc. donde convenga situarlos.
'1A
'11
'2A
'22
'3A
'33
'4A
'44
AP
PB
Y de aquí se calculan las distancias '11 , '22 , '33 normales a la línea auxiliar.
Los levantamientos normales en 1, 2, 3 y 4, y con sus longitudes conocidas, se fijan 1’, 2’, 3’ y
4’, que están sobre la línea AB .
Si el obstáculo es una elevación pequeña sobre la cual se quieren marcar puntos, estos se pue-
den determinar alineando dos balizas al mismo tiempo, de modo que de (A) y de (B) se vean
ambas alineadas.
BA
DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA A UN PUNTO
INACCESIBLE PERO VISIBLE (B).
Se toma un triángulo rectángulo con un punto auxiliar (P), y de (A) se baja una normal
al lado BP , que cae en (Q).
Son semejantes: ABP y QAP :
P aux.
aux
B
Q A
distancia
QP
QA
AP
AB
QP
APQAAB
Las distancias QA , AP y QP se miden para obtener así la distancia AB .
INTERSECCIÓN DE ALINEAMIENTO
Sobre una de las líneas se marcan dos puntos cercanos que queden francamente a am-
bos lados del otro alineamiento, (1 y 2). Entre ellos se extiende un hilo o cinta, que
marque el tramo de línea y sobre ella se alinea la otra dirección.
2
1
BC
A C
Método de levantamiento.- Para fijar las posiciones de puntos del terreno, siempre se hace
trazando en el terreno una figura regular o irregular, llamada polígono de base o poligonal,
a la cual se le miden todos sus ángulos y lados, y a ella se refieren los puntos que se requie-
re fijar.
FÓRMULA PARA CALCULAR LOS ÁNGULOS DE
LOS TRIÁNGULOS
a
b c
BC
A
cb
csbs
2
Asen
cb
ass
2
Acos
ass
csbs
2
Atan
2
cbas
Así se calculan todos los ángulos de todos los triángulos de todas las triangulaciones.
Dentro de cada triángulo, y en el polígono total, la suma de ángulos interiores debe ser:
2n180erioresint ángulos , ángulos o lados de númeron
SUPERFICIE
La superficie dentro del polígono se calcula sumando la de todos los triángulos.
La superficie de un triángulo será:
A
CB
cb
a
csbsass.sup
2
cbas
Donde:
s = perímetro
a, b, c = lados del triángulo
EJEMPLOS
1) ¿Que longitud debe tener la perpendicular CB a la línea AB, para que el ángulo sea de
25°30’? Calcular también AC.
A B
C
Se midió la distancia: AB = 20.00 m.
Solución
AB
BCtan
'3025tan20tanABBC
m 54.9477.020BC
m 54.9BC
2) Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible, se trazaron AP perpen-
dicular a la línea AB y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ y PQ. De esta manera
se tienen elementos suficientes para obtener la distancia AB. Calcúlela.
Datos:
AP = 24.00 m.
AQ = 21.70 m.
PQ = 10.25 m.
AB = ?
Q
P
BA
Solución
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por tanto, se puede establecer la pro-
porción:
PQ
AQ
AP
AB
25.10
247.21
PQ
APAQAB
m 81.50AB
CURVA DE MASAS
INTRODUCCIÓN
Es una gráfica dibujada en ejes cartesianos, cuyas absisas representan el cadenamiento de la lí-
nea, y cuyas ordenadas representan volúmenes de excavación o relleno, según sea la curva
ascendente o descendente.
Es un método gráfico que permite determinar la distribución económica de los volúmenes ex-
cavados y calcular el costo para llevar a cavo dicha distribución.
La curva se dibuja junto con el perfil del proyecto pues el cadenamiento debe ir coincidiendo.
El dibujo puede comenzarse donde convenga. Entre estaciones consecutivas, subirá si hay corte
(+) el número de metros cúbicos correspondiente al tramo, o bajará si hay terraplén (-). Como
es una gráfica acumulativa, siempre al marcar un volumen se hará partiendo del punto anterior
a donde se llego. Entonces la escala horizontal será la misma del perfil, y para la vertical se re-
comienda 1cm = 200 m3, pero podrá escogerse otra si los volúmenes acumulativos son fuertes.
Propiedades de la curva de masa.- Del modo como se construye la curva resultan las siguien-
tes:
1) Entre los límites de la excavación, la curva crece de izquierda a derecha y decrece
cuando hay terraplén.
2) En las estaciones donde hay cambio de excavación a relleno (línea de paso) habrá un
máximo y viceversa.
3) Cualquier línea horizontal que corte a la curva marcará puntos consecutivos entre los
cuales habrá compensación, es decir, que entre ellos el volumen de corte igual al terra-
plén.
4) La diferencia de ordenadas entre dos puntos representará el volumen de terraceria den-
tro de la distancia comprendida entre esos puntos.
5) Cuando la curva queda encima de la línea horizontal compensadora que se escoge para
ejecutar la construcción. Los acarreos de material se harán hacia delante, y cuando la
curva quede debajo los acarreos serán hacia atrás.
6) El área comprendida entre la curva de masa y una horizontal cualquiera compensadora,
es el producto de un volumen por una distancia, y nos representa al volumen por la
longitud media del acarreo, la que se expresa en m3 estación (en este caso el término
“estación” no se refiere a un punto, sino al tramo de 20 m entre estaciones consecutivas
cerradas.
Es evidente que las mejores compensadoras serán las que cortan el mayor número de veces a la
curva.
Al estudiar un tramo pueden trazarse varias compensadoras, según resulte la curva masa obte-
nida, y entre una y otra quedarán tramo sin compensación. En estos tramos, si la curva asciende
habrá un volumen de excavación excedente que no hay donde emplearlo para rellenar, o sea un
desperdicio, y si la curva desciende indicará que hace falta material para el terraplén, que no
podemos obtener de la excavación en este caso debe traerse material de otro lado, o sea un
préstamo.
Los volúmenes de desperdicio o préstamo se miden en el dibujo:
métros cúbicos de préstamo
préstamo
2° comp.
tramo de préstamo
métros cúbicos de préstamo
1° comp.
1° comp.
2° comp.
tramo de desperdicio
m3 de desperdicio
desperdicio
métro cúbicos de desperdicio
FOTOGRAMETRÍA
La Fotogrametría, es una ciencia o arte para obtener medidas reales a partir de fotografías, tanto
terrestres como aéreas, para realizar mapas topográficos, mediciones y otras aplicaciones geo-
gráficas.
La fotogrametría tiene por objeto, obtener un plano planimétrico y altimétrico basándose en fo-
tografías del terreno que se trata de levantar, con lo que se evita la totalidad o buena parte del
trabajo de campo.
Una fotografía es la proyección cónica del objeto fotografiado, mientras que el plano es una
proyección ortogonal; se pasa de la proyección cónica a la ortogonal, mediante una operación
fundamental que recibe el nombre de restitución.
Normalmente se utilizan fotografías tomadas por una cámara especial situada en un avión o en
un satélite. Las distorsiones de las fotografías se corrigen utilizando un aparato denominado
restituidor fotogramétrico. Este proyector crea una imagen tridimensional al combinar fotogra-
fías superpuestas del mismo terreno tomadas desde ángulos diferentes. Los límites, las
carreteras y otros elementos se trazan a partir de esta imagen para obtener una base sobre la
cual se realizará el mapa.
Hay diversos tipos de fotografías aéreas. En la actualidad se usa en planimetría, planimetría y
altimetría simultáneas, geología; agricultura, estudios forestales, urbanos, catastrales, con fines
militares, etc.
Según el caso, las fotografías aéreas pueden ser verticales u oblicuas (figura 1). La fotografía
de eje vertical es aquella en que el eje óptico de la cámara coincide con la vertical del lugar del
campo fotografiado.
Eje óptico
Eje óptico Vertical
Vertical Vertical
Eje óptico
Figura 1. Fotografía oblicua
La fotografía oblicua (eje inclinado y alto inclinado) es la que se toma describiendo un ángulo
entre el eje óptico y la vertical del lugar.
Se llaman oblicuas bajas cuando el ángulo de inclinación del eje está entre 10º y 30º, y cuando
el ángulo es mayor recibe el nombre de oblicua alta o panorámica formando un ángulo tal que
permite fotografiar la línea del horizonte.
Figura 2. Sistema trimetrogón
Existe una toma especial que combina una fotografía del eje vertical, y dos oblicuas altas, si-
multáneamente, reciben el nombre de sistema trimetrogón (figura 2). Este sistema es muy
ventajoso en trabajos de reconocimiento, pues cubre una gran extensión de terreno.
LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁ-
FICOS
INTRODUCCIÓN
Se denomina levantamiento hidrográfico al conjunto de actividades dirigidas a la determinación
de la profundidad del fondo de cauces fluviales, lagos y océanos
Los levantamientos hidrográficos tienen como propósito principal obtener información sufi-
ciente para identificar y reconocer la configuración del fondo de un cuerpo de agua, mediante
sondeos, para usos diversos como la elaboración de cartas de navegación, la señalización de ru-
tas de navegación, y determinar la capacidad de embalses, entre otros usos. También se obtiene
a través de este procedimiento, información sobre mareas, corrientes superficiales, tipos de
fondo y características del agua.
Los levantamientos hidrográficos son destinados a estructurar la combinación de los lechos de
agua superficiales y sirve para controlar y mantener obras de ingeniería sean estas puentes, pre-
sas y embalses, etc.
DETALLE DE ORILLAS
MÉTODO DE LAS ALINEACIONES
Se colocan estaciones permanentes del teodolito en cualquiera de las orillas, la embarcación re-
corre una línea entre dos banderolas, señales ubicadas en las riberas u orillas y los operadores
de los teodolitos sirvan el bote por la señal en este y el operador sitúa el bote y su señal desde la
estación.
HILO O ALAMBRE GRADUADO
Se utiliza para el sondaje de una corriente de agua o caudal para lo cual se utiliza sondajes en
las orillas de los lugares en los cuales se desea levantar el perfil del fondo. La profundidad del
lago puede leerse en una mira graduada y la posición horizontal esta dada por el hilo graduado
y la altura de la superficie de agua se toma con un nivel y una mira a determinado intervalo de
tiempo.
NIVEL DE REFERENCIA
Las profundidades medidas con la sonda tomadas al nivel del agua en el instante de la opera-
ción, siendo que dicho nivel es variable sobre todo si la fuente está sujeta al régimen de marcas,
de allí la necesidad de reducir las alturas de agua a una medida de origen común que puede ser
una superficie de nivel de agua como por ejemplo el nivel medio de las mareas en el mar o un
cota arbitraria.
PUNTOS DE SONDEO (Sondajes)
Las bases como control horizontal se establecen generalmente en las orillas desde la cual se
ubican puntos de sondaje y en el momento de efectuarlo se denomina su verdadera posición al
mismo tiempo se mantiene un registro exacto del tipo de sondaje y de la variación del nivel del
agua. El control vertical sirve para relacionar las alturas de agua entre si con las de la orilla
Cuando se efectúa sondaje hay que tomar en cuenta que las rocas aisladas del resto de obras de
ingeniería u otras obstrucciones pueden producir errores en los sondeos. En estos casos es pre-
ferible efectuar un dragado con el fin de desalojar los obstáculos a mayores profundidades del
área de interés.
ALINEAMIENTO CON BOYAS
Para indicar las posiciones de los sondajes se utilizan alineaciones las que se señalan nor-
malmente en un extremo mediante 2 señales en la orilla o en aguas poco profundas por dos
boyas o por un sistema combinado. Cuando los sondeos han de realizarse varias veces en el
mismo punto han de usarse alineaciones en cruz.
PLANIFICACIÓN DE LA ECOSONDA
La ecosonda o sondímetro, realiza un registro continuo y exacto de la profundidad del agua por
debajo de la embarcación en la cual está instalado, y su funcionamiento se basa en la creación
de un onda de sonido en el agua próxima a la superficie y el registro del intervalo de tiempo
desde el instante en que se produce el sonido hasta aquel en que se produce el retorno del eco
desde el fondo.
Figura 1. Ecosonda
Estos aparatos están adecuados para determinar profundidades de acuerdo con la velocidad del
sonido y el tipo de agua en que está siendo utilizado.
MATEMÁTICAMENTE:
El retardo del pulso sonoro enviado y recogido por el transductor es lo que permite calcular la
profundidad utilizando la siguiente ecuación:
2
tVP S
Donde:
P: Profundidad
VS: Velocidad del Sonido, 1500 m/s
t: Tiempo de retardo (en segundos)
La división por 2, se utiliza para tener en cuenta el viaje de ida y vuelta del impulso en el agua.
Existen ecosondas de un haz y multihaz. El empleo de las ecosondas multihaz para la elabora-
ción de batimetrías se ha convertido en la más desarrollada y exacta tecnología actual. Dicho
sistema, proporciona un conocimiento preciso y completo de la profundidad y morfología de
los fondos marinos.
Es una herramienta ideal para la exploración de fondos marinos, reconocimientos arqueológi-
cos, etc.
Figura 2. Exploración con ecosonda del fondo del cuerpo de agua
EMBARCACIONES DE SONDEO
Se utiliza botes de remo, lanchas a motor o embarcaciones pequeñas, como por ejemplo: canoa
que en ciertos casos están unidas entre ellas para disponer de un soporte fijo para una platafor-
ma de sondeo que se sitúa en el centro de la embarcación y en el lado de estribor para que la
ecosonda pueda ser manejada por el operador con la mano derecha.
Figura 3. Sondeo del fondo
APLICACIONES DE LA ECOSONDA
Realización de levantamientos batimétricos de los vasos de los embalses utilizando, las últimas
técnicas de cartografía analógica y digital.
PLANIFICACIÓN DEL TRABAJO
Para realizar un levantamiento hidrográfico se cumplen las siguientes operaciones:
Registro de nivel de agua, este se basa generalmente en el nivel medio de las mareas en el
mar en que se puede definir como un plano de referencia o superficie determinada por la
media aritmética de los niveles del mar a intervalos iguales durante una serie de observa-
ciones y se obtiene promediando las alturas horales (horas)
Reconocimiento, se toma planos o fotografías aéreas existentes y se proyecta una triangu-
lación en las orillas que sirve de control
Topografía preliminar, se levanta red de triángulos y se hace una polígonal a lo largo de
la orilla y luego se dibuja en un plano la línea de la orilla y los detalles situados en las zo-
nas aledañas seleccionando también sitios para ubicar registro de altura de marea.
Proyecto, se traza sobre el plano las alineaciones lo mas perpendicular posible a la direc-
ción del flujo
Situaciones de las alineaciones, las señales de alineaciones se miden en el campo median-
te medidas a partir de la red horizontal de triángulos. Se ubica señales permanentes que se
las une a la red topográfica, se determina las posiciones del teodolito a lo largo de la orilla
de tal manera que la longitud de la base pueda observarse a dos posiciones del teodolito.
Sondeos, los operadores del teodolito y la embarcación deben sincronizar los relojes, los
teodolitos se estacionan en puntos adecuados de manera que cubran toda la zona del sonda-
je. Los teodolitos son apuntados al norte astronómico del sistema coordenado y a partir de
ello estaríamos en condiciones de visar u obcecar las embarcaciones, los operadores de los
teodolitos mantienen la cruz filal del retículo sobre la embarcación manteniendo la puntería
minuto a minuto o según el intervalo de tiempo establecido. Los que anotan en las estacio-
nes de tierra registran la hora, el orden de los puntos y el ángulo de ubicación en la
embarcación el que lleva la libreta de registro hace lo mismo y además la profundidad de
cada sondeo. La dificultad que se anota en los levantamientos hidrográficos esta por conse-
guir la adecuada corrección de datos y una vez que se dibuja los ángulos, las intersecciones
deben caer aproximadamente las distancias o intervalos.
CÁLCULO DEL VOLUMEN DEL EMBALSE
Para calcular cuanto de agua hay en este depósito ver figura 4, primero se definen en los extre-
mos puntos que corresponderían a la laguna y por esos puntos se trazan líneas imaginarias por
donde pasarían los planos transversales para definir perfiles transversales.
volumen m3
Vista superior
Laguna ( plano)
Laguna o lago
Figura 4. Laguna
Teniendo los extremos de los puntos hay que referirlos a poligonales, en este caso una poligo-
nal cerrada y los puntos de la poligonal cerrada serán conocidos pudiendo realizarse por
triangulación, etc.
Poligonal conocida
punto atrás
punto adelante
línea
de
refe
renc
ia
a
b
c
1
e distancia
Figura 5. Poligonal con las coordenadas de los extremos conocidos
En la figura 5 se conocen las coordenadas de a, b, c y queremos hallar las coordenadas del pun-
to 1, punto que pertenece al extremo del lago, entonces hay que medir la distancia ea1 y el
ángulo con teodolito en planimetría, luego después do conocer las coordenadas de 1 y por al-
timetría se puede conocer su cota 1 entonces el punto 1 está definido y así se puede hacer
para todos los puntos extremos no definidos.
ji
e
Laguna
ji V4V3
V2V1
d6
d5
d4
d3
d2
d1
2
1
2'
1'c
b
a
Figura 6. Poligonal cerrada
Viendo el corte transversal (son conocidos 1 – 1’) ver figura 7.
S1 lamina de agua
[H]
[D]
d3
d2
d1
L1
h7
h6
h5h4h3
h2
h1
1'1
Figura 7. Corte transversal
Se necesita conocer las distancias d1, d2, d3,…., dn, para calcular el V1 se tiene que conocer
las coordenadas de 1, 1’, 2, 2’… luego para conocer las alturas h1 de la figura se calcula o se
determina con un aparato llamado Ecosonda el que emite ondas y que a través de lecturas de
tiempos nos da la altura que existe desde la barca en la línea imaginaria i para hallar la altura
h1 entonces la barca se lleva hasta j o línea imaginaria j y soltar la ecosonda y nos dará la altura
h2 y así sucesivamente estacionándose en varios puntos para calcular las alturas con la ecoson-
da.
De igual manera para todas las secciones.
Conocidos los puntos 1 – 1’ nos da la forma aproximada del corte y lo mismo para 2 – 2’ y to-
dos los demás puntos.
Una vez hallados las secciones 1 – 1’ y sección 2 – 2’ se halla el primer volumen con la fórmu-
la:
121
1 d2
SSV
Lo mismo para V2, V3, V4, etc.
232
1 d2
SSV
etc ,d2
SSV 3
431
MÉTODOS DE LEVANTAMIENTOS TOPO HIDRO-
GRÁFICOS
BATIMETRIA
La batimetría es la ciencia que mide las profundidades marinas para determinar la topografía
del fondo de un cuerpo de agua, actualmente las mediciones son realizadas por GPS diferencial
para una posición exacta, y con sondadores hidrográficos mono o multihaz para determinar la
profundidad exacta, todo ello se va procesando en un ordenador de abordo para confeccionar la
carta batimétrica.
Figura 8. Batimetria con la ayuda de GPS
Una Carta batimétrica es un mapa que representa la forma del fondo de un cuerpo de agua,
normalmente por medio de líneas de profundidad, llamadas isobatas, que son las líneas que
unen una misma profundidad, las líneas isibáticas son los verticales que nos indican la profun-
didad en las cartas de navegación.
Figura 9. Mapa de contornos batimétricos derivados del sondaje multihaz
CONSTANTE DIASTIMOMÉTRICA
ESTADIA
a) VISUALES HORIZONTALES
objetivo
ocular i
foco
cf
t
eje acimutal
D
D - c
L
Li
Ls
Figura 1 Distancia en terreno plano
Por triángulos semejantes (ver figura 1), podemos deducir que:
cD
L
f
i
cLi
fc
i
LfD
Si hacemos:
ki
f , constante, tenemos:
cLkD Fórmula básica de estadía.
Donde:
D = Distancia entre la estación y el punto observado.
iSis LLL Lectura en el estadal entre hilos.
f Distancia entre el objetivo y el foco.
i Separación entre los hilos.
t Distancia entre el eje acimutal y el objetivo.
C Constante aditiva ft .
k Constante multiplicadora diastimométrica.
cD Distancia entre el foco y el punto observado.
Previamente se establece el valor de las constantes del aparato, la mayoría viene dispuesto de
tal forma que las constantes tienen valore fijos, 0c y la constante k según la separación en-
tre las dos líneas finísimas paralelas de los retículos estadimétricos esta calculada de modo que
resulte como constante diastimométrica los valores de 50, 100, 200, o 250 por tanto cada cen-
tímetro de mira equivaldrá a 0.5, 1.2 y 2.5 metros del terreno respectivamente.
La constante C.
Resulta de sumar ft , las cuales se pueden medir directamente sobre el telescopio.
La constante K.
L3 .........LnL2L1
D3
D2
c
D1
De la formula de la distancia despejamos L
cDk
n
n
.
2
2
L
)cD(k
.
L
)cD(k
Sumando:
L
)cD(k
A partir de esta expresión conocemos la constante c, fijamos en un terreno sensible, plano una
distancia D arbitraria entre el aparato y el estadal; leemos el intervalo de estadía y determina-
mos k. Si tomamos n lecturas, obtendremos un promedio y, en consecuencia, una mejor
aproximación del valor de k.
Se acostumbra hacer 3 o 4 mediciones y las distancias se dan siempre en números redondos de
30 m, 40 m, 50 m, etc., para facilitar el cálculo.
Para cada distancia medida se calcula c.
b) VISUALES INCLINADAS
Llevamos dicho que el hilo central del retículo es horizontal y perpendicular a la mira, sin em-
bargo, es frecuente que sea inclinada (ver figura 2), formando un ángulo con la horizontal.
A D
D'
B
L'
L
Figura 2 Visual inclinada.
En un plano inclinado en el cual interviene un ángulo vertical, de elevación o de depresión
donde la visual es inclinada es necesario encontrar su proyección sobre los planos horizontal y
vertical para determinar la distancia.
Hacemos que la línea de colimación sea paralela a la línea AB , el ángulo es el ángulo for-
mado entre el plano horizontal y la línea de colimación, α es un ángulo vertical referido al
horizonte para la distancia oblicua.
Entonces:
ccosLkD
cosDD
Sustituyendo D’ tenemos finalmente:
cosccosLkD 2
Donde:
D’ = Distancia oblicua.
D = Distancia real o reducida.
EXÁMENES PROPUESTOS TIPO
1er Parcial Auxiliatura
ENCERRAR EN UN CIRCULO LA RESPUESTA CORRECTA
1. Los levantamiento topográficos son aquellos que:
a. Se realizan en grandes extensiones considerando la curvatura de la tierra
b. Se realizan en superficies reducidas despreciando la curvatura de la tierra
c. Se realizan en cualquier caso sin considerar la extensión
d. Ninguno de los anteriores.
2. Los levantamientos que se realizan en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijar
linderos o estudiar las obras urbanas son:
a. Levantamientos de terrenos en general
b. Levantamientos hidrográficos
c. Levantamientos catastrales
d. Levantamientos geodésicos
e.-Ninguno de los anteriores
3. Los levantamientos que tiene por objeto marcar linderos o localizarlos, medir y dividir
superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores,
proyectar obras y construcciones son:
a. Levantamientos de terrenos en general
b. Levantamientos hidrográficos
c. Levantamientos catastrales
d. Levantamientos geodésicos
e. Ninguno de los anteriores
4. Los errores que, son constantes, del mismo signo y por tanto son acumulativos son:
a. Errores accidentales
b. Errores sistemáticos
c. Errores personales
d. Errores instrumentales
e. Ninguno de los anteriores
5. Los errores que, son causados por variaciones del viento, la temperatura, la humedad, la
presión atmosférica, la refracción atmosférica, la gravedad y la declinación magnética
son:
a. Errores accidentales
b. Errores sistemáticos
c. Errores personales
d. Errores instrumentales
e. Ninguno de los anteriores
6. Los errores que, se deben a imperfecciones en la construcción o ajuste de los instrumen-
tos y del movimiento de sus partes individuales son :
a. Errores accidentales
b. Errores sistemáticos
c. Errores personales
d. Errores instrumentales
e. Ninguno de los anteriores
7. El efecto de la catenaria puede disminuirse pero no eliminarse, a menos que se apoye la
cinta en toda su longitud.
F V
8. La brújula es utilizada para levantamientos preliminares y nos ayuda a encontrar direc-
ciones respecto al norte verdadero.
F V
9. La diferencia que existe entre el meridiano verdadero y el meridiano magnético se cono-
ce con el nombre de inclinación magnética.
F V
10. El eclímetro es un instrumento que tiene un disco graduado y un nivel tubular, nos sirve
para medir ángulos verticales respecto al horizonte.
F V
11. La altimétrica consiste en la determinación de las diferencias de nivel existentes entre
puntos del terreno o de construcciones.
F V
12. La nivelación directa es aquella con la que se obtienen diferencias de nivel o desniveles
mediante la medición de distancias y ángulos verticales.
F V
DESARROLLAR
13. Representar gráficamente rumbos y azimuts en todos los cuadrantes.
14. Mencionar todos los pasos en forma ordenada para realizar un levantamientote poligonal
con cinta y brújula e indicar que datos se obtienen del campo. (Graficar la poligonal e
indicar todos los datos obtenidos en campo).
15. Representar gráficamente los datos obtenidos en un levantamiento con eclímetro y cual
será el resultado final después de realizar el trabajo de gabinete.
16. Mencionar todos los pasos en forma ordenada para instalar el equipo que usted utilizo en
su practica para realizar la nivelación directa de una poligonal cerrada (No omitir nin-
guno).
17. Representar gráficamente los datos obtenidos en una nivelación directa y mencionar los
instrumentos utilizados y cual será el resultado final después de realizar el trabajo de ga-
binete.
18. Se ha realizado una nivelación directa, hallar la gradiente que existe entre los puntos A y
B de una poligonal abierta y la cota de B. Obteniéndose para esto los siguientes datos de
campo:
Lectura Atrás = 2.15 m.
Lectura Adelante =
12
11
13
14
15
16
Distancia Horizontal = 150 m.
Cota de A = 2550.5
2do Parcial Auxiliatura
ENCERRAR EN UN CÍRCULO LA RESPUESTA CORRECTA:
1. El error de índice es un error que se presenta en:
a. La lectura de ángulos verticales
b. La lectura de ángulos horizontales
c. La obtención de rumbos o azimut
d. El mal funcionamiento del equipo
e. Ninguno de los anteriores.
2. El limbo de un teodolito nos sirve para la:
a. Nivelación del equipo
b. Lectura de ángulos
c. Lectura de distancias
d. Obtención de azimut
e. Ninguno de los anteriores.
3. Los métodos de repetición y reiteración son métodos que nos sirven para la obtención
mas precisa de ángulos verticales.
F V
4. En una poligonal abierta simple se puede encontrar el error de cierre de forma precisa.
F V
5. La taquimetría es utilizada para levantamientos de predios con mucha precisión.
F V
6. Los hilos estadimétricos son aquellos hilos que nos ayudan a obtener distancias inclina-
das de un terreno.
F V
7. Las distancias obtenidas con cinta son mucho más precisas que las obtenidas con taqui-
metría.
F V
DESARROLLAR:
8. Mencionar todos los pasos para realizar la nivelación de un teodolito (no omitir nin-
guno).
9. Mencionar todos los pasos para realizar un levantamiento de poligonal de 5 lados e indi-
car que datos se obtienen del campo. (Graficar un lado de la poligonal e indicar todos los
datos obtenidos en campo).
10. Desde un punto de una poligonal ya establecida se requiere tomar todos los detalles res-
pectivos del lugar, indique en forma breve y ordenada que procedimientos se debe
realizar, que datos se tomaran del campo y cual será el resultado final después de reali-
zar el trabajo de gabinete.
11. En un levantamiento de poligonal se ha obtenido las siguientes lecturas de ángulos hori-
zontales, indique cual es el método que se utilizo y cual es el ángulo más probable.
Ángulo 1ª lectura 2ª lectura 3ª lectura 4ª lectura Ángulo
Probable
ABC 190º30’ 21º20’ 211º55’ 42º15’
BCD 100º50’ 191º 280º45’ 10º55’
12. Hallar la distancia horizontal y el desnivel que existe entre los puntos A y B de una poli-
gonal abierta obteniéndose para esto los siguientes datos de campo:
Ángulo Vertical AB = + 3º45’
A.I. = 1.45 m.
12
11
13
14
15
16
13. Explique como se halla la constante “K” de un equipo.
1. a) Definir topografía.
b) Indicar las clases de levantamiento topográfico y
c) Indicar el origen y las clases de errores.
2. a) Reducir los azimuts siguientes a rumbos: 113° 28’; 265° 10’; 312° 43’ y 131° 00’.
b) Completar los espacios vacíos del siguiente cuadro
Azimut Magnético 40° 330°
Azimut Verdadero 55° 315°
Declinación Magnética 10° Oeste 05° Este
c) La siguiente poligonal se refiere a una poligonal cerrada levantada con brújula:
Lado
Azimut Rumbo Directo
Rumbo Inverso
Longitud (m)
Ángulo Interno Rumbo Corregido Estación Pto. Obs. Calculado Corregido
A B 120° 40' 41,10
B C N 30° 30' W S 30° 30' W 61,00
C D 279° 20' 49,25
D E N 60° 20' E N 61° 00' E 57,05
E F 128° 10' 37,50
F A S 05° 50' W S 05° 30' E 49,89
Calcular: i) Los ángulos interiores, el error de cierre y los ángulos corregidos.
ii) Los rumbos nuevos, tomando como base el rumbo B – C.
3. Se ha levantado con huincha y eclímetro la sección transversal ABCD en cuatro tramos.
Los datos son los siguientes:
Tramo Distancia Inclinada
(m)
Ángulo
Vertical
A - B 205 + 6° 30'
B - C 115,9 + 2° 00'
C - D 96,4 - 5° 00'
Calcular: i) La distancia horizontal entre los puntos A y D.
ii) Desnivel entre A y D.
iii) La pendiente entre A y D en porcentaje.
Dibujar: La sección transversal.
4. Se tiene una elevación del Banco de Nivel BN20 = 100.305 m.s.n.m. Se instala el nivel
en A, B, C y D. Con los siguientes datos:
a) Obtener el registro de campo completo.
b) Calcular la nivelación para encontrar la elevación del Banco de Nivel BN21 y
c) Dibujar el perfil.
Posición
Instrumento Lectura Atrás
Lectura
Adelante
A 1,400 1,310
B 0,500 2,000
C 0,175 0,300
D 3,600 0,450
5. Con la siguiente información obtener el registro de campo completo y determinar:
a) La cota del Banco ce Nivel BN38 y
b) La diferencia de nivel entre BN12 y BN38.
= posición del instrumento
41.352
8.517
3.211 PL3
3.921
BN38
7.5376.591
7.61
0
6.230
PL1
3.6102.720
7.901COTA
BN12
6. Calcular el Rumbo y la |longitud del lado AC y las coordenadas de los vértices B y C,
del terreno triangular de la figura 1.
Datos:
RAB = S 80° 25’ E
Distancias:
AB = 180.00 m; BC = 250.00 m
Coordenadas en A:
N = + 300.00
E = + 500.00
Ang. Ext. B = 260° 15’
Figura 1.
7. En la planilla adjunta se presentan los datos de una poligonal ABCDEA. Calcular:
a) El error de cierre.
b) Las coordenadas totales y
c) La cota de los puntos (la poligonal sigue el sentido contrario a las agujas del reloj).
AB
C
construcción
8. Resolver el siguiente problema:
Estación Punto Observ. Ángulo Hor-
izontal Ángulo Vertical
Lecturas Mira
Superior Media Inferior
A
hi = 1,45 m
cota 256,35
m.s.n.m
B 00°00'00"
1 38°40'20" 02°40' 3,00 2,50 2,00
2 38°40'20" 03°00' 2,80 2,25 1,70
3 86°15'17" 03°50' ? 1,50 1,20
4 160°10'00" 02°50' 2,60 1,90 1,20
5 280°00'40" 02°00' 3,05 2,00 0,95
6 350°10'00" 01°30' 3,55 2,00 ?
a) Determinar la cota de los puntos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
b) Plotear los puntos 1, 2, 3, 4, 5, y 6.
c) Interpolar y trazar curvas de nivel cada 1.0 m.