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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROF. CEFERINO RODRIGUEZ PRESENTACINEl clculo surgi como una herramienta muy necesaria para ser utilizada en las matemticas, enfocada a la resolucin de problemas en los que intervena el movimiento. En la actualidad, su aplicacin se ha generalizado a una gran diversidad de reas del conocimiento, tal es el caso de las Ciencias Qumicas, de las Ciencias Econmicas, de las Ciencias Fsico-Matemticas, etc., interviniendo en aspectos, como: los clculos de velocidades, aceleraciones, reas, volmenes y slidos; cambios en las reacciones qumicas y en transformaciones de la materia, en el crecimiento bacteriano, en el voltaje de una corriente elctrica, en las utilidades o prdidas de una empresa, entre otros. Los conocimientos de Clculo Diferencial e Integral que se proporcionan al alumno de Bachillerato y perito, sern una base slida para que en sus estudios universitarios, quienes decidan estudiar carreras cientficas, profundice en la rama del conocimiento de su eleccin en la que seguramente el conocimiento del clculo ocupar un lugar importante. El programa que aqu se presenta, no es el ms avanzado de las matemticas impartidas, pero s tiene una base suficientemente slida para minimizar los problemas que puedan presentrsele en cualquiera de las Universidades que decida estudiar en el Nivel Medio Superior. Su estudio, supone conocimientos en lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica como contenido de cursos preliminares, los cuales aprovechamos a impartir en la primera unidad, temas que presentamos a continuacin.

APRENDIZAJES PREVIOS QUE REQUIERE LA ASIGNATURA Operaciones con expresiones algebraicas. Clasificacin y operaciones con funciones. Anlisis de dominio, rango y grficas de funciones. Identidades trigonomtricas. Conceptos de geometra analtica.

2 OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Comprender los conceptos de derivada e integral de una funcin. Aplicar el concepto de derivada a la solucin de problemas de optimizacin. Aplicar el concepto de integral al clculo de reas acotadas por funciones. Los contenidos se presentan a continuacin, en el ndice de unidades

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________________________ 5Resumen ________________________________________________________________7 Objetivos_________________________________________________________________7

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALES _____________ 8ANGULOS _______________________________________________________________8 Angulo complementario _____________________________________________________8 Angulo suplementario_______________________________________________________8 Angulos coterminales _______________________________________________________8 Relaciones entre grados y radianes ____________________________________________10

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS____________ 11Catetos: _________________________________________________________________11 Hipotenusa:______________________________________________________________11 Identidades fundamentales __________________________________________________11

GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ____________________ 16AMPLITIUD. ____________________________________________________________16 PERODO_______________________________________________________________16

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ________________________________ 26 ECUACIONES TRIGONOMTRICAS_________________________________ 33

..

_______ 45introduccin _____________________________________________________________47 Objetivos________________________________________________________________47

FUNCIONES Y LIMITES ____________________________________________ 48Lmites y Continuidad _____________________________________________________48 1. Lmite de una funcin en un punto. Propiedades._______________________________48 2. Lmites en el infinito. Asntotas de una curva. _________________________________49 3. Clculo de lmites. ______________________________________________________51 4. Funcin continua en un punto y en un intervalo. _______________________________53 5. Operaciones con funciones continuas. _______________________________________54 6. Discontinuidades. _______________________________________________________55 7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass. ___________________________________________________56

LMITES __________________________________________________________ 58LMITES UNILATERALES ________________________________________________66

CONTINUIDAD DE FUNCIONES _____________________________________ 77 LA DERIVADA _____________________________________________________ 89LA LINEA TANGENTE ___________________________________________________90 UN POCO DE HISTORIA__________________________________________________90

El problema de la tangente ____________________________________________ 90REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS__________________________________104 DERIVADA DE UN PRODUCTO __________________________________________105 DERIVADA DE UN COCIENTE ___________________________________________106 REGLA DE LA CADENA. ________________________________________________108 Funciones explcitas y funciones implcitas ____________________________________111 El mtodo de regla de la cadena para funciones implcitas ________________________111 dy/dx con derivadas parciales _______________________________________________114

4

_________________________ 121RAZONES DE CAMBIO ____________________________________________ 123OBJETIVOS ___________________________________________________________ 123 Introduccin ____________________________________________________________ 123

MXIMOS Y MNIMOS ____________________________________________ 147Clculo de los mximos y mnimos relativos __________________________________ 147

LA INTEGRAL ____________________________________________________ 156La integral indefinida_____________________________________________________ 156 Bibliografa ____________________________________________________________ 169

5

6

7

ResumenEn este curso desarrollaremos algunos contenidos de la trigonometra con el soporte de la calculadora y hojas de papel milimetrado, o en su defecto, hojas de papel cuadriculado, con el fin de poder trazar grficas trigonomtricas , especficamente de senos y cosenos, ms exactas. Tambin deduciremos algunas identidades trigonomtricas y relacionaremos las relaciones trigonomtricas con sus respectivas grficas.

ObjetivosObtener la grfica de la funcin seno Obtener la grfica de la funcin coseno Leer las grficas de funcin seno y coseno Determinar valores aproximados de las funciones de seno y coseno Conocer el perodo y la amplitud de las funciones de seno y coseno Definir la medida de ngulos en grados y radianes Hacer conversiones de grados a radianes y viceversa Resolver ecuaciones trigonomtricas

8

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NMEROS REALES

ANGULOS

Angulo complementarioEs el que hace falta a un ngulo en posicin estandar, para que sea de 90o

Ejemplo1 Si = 60o Encuentre el ngulo complementario c = 90 o 60 o = 30 oEl ngulo complementario es de 30o

Angulo suplementario

Es el que le hace falta a un ngulo para que sea de 180o

Ejemplo 2 Si = 60o Encuentre el ngulo Suplementario s = 180 0 60 o = 120 oEl ngulo suplementario de 60o es 120o

Angulos coterminales

Es cuando a un ngulo se le suman ngulos de 360o 0 -360o

9

Ejemplo 3 Si = 60o est en posicin estandar, encuentre dosngulos positivos y dos negativos que sean coterminales con El primero positivo 60o + 360o = 420o El segundo positivo 60o + 2(360o) = 60o + 7200 = 780o

El primer negativo 60o + (-360o) = 600 360 = 300o El segundo negativo 60o + 2(-360o) = 60o 720o = 660o Ejercicios: 1. Determina el ngulo complementario de a. = 10o g. = o b. = 25 h. = c. = 85o i. = o d. = 80 j. = o e. = 5 1734 k. = f. = 63o415 l. = 2. Encuentra el ngulo suplementario de a. = 100o h. = b. = 126 i. = o c. = 25 j. = o d. = 85 k. = e. = 80o l. = f. = 5o1734 m. = o g. = 63 415

4803025 152o1533.5 135.22o 125o1415 32.5o 82.73o 4803025 152o1533.5 135.22o 125o1415 32.5o 82.73o

3.

Si est en posicin estandar, encuentra dos ngulos coterminales positivos y dos negativos. a. b. c. d. e. f. g. h. = = = = = = = = 120o 135o - 30o 240o 315o -150o -150 620o i. j. k. l.5 6 2 = 3

=

=

4 5 = 4

10

Relaciones entre grados y radianes

Una vuelta completa medida en grados tiene 3600, medida en radianes tiene 2 radianes, entonces la mitad de la vuelta o sea una lnea recta mide 1800 y en radianes . Entonces, Para convertir grados a radianes multiplicamos la cantidad de grados por , por ejemplo, si nos piden encontrar 180 a cuanto equivale en radianes un ngulo de 600

60 = Multiplicamos 60 0 = 180 3 180

Entonces 600 es equivalente a

3

Para convertir radianes a grados, multiplicamos el ngulo dado 180 en radianes por

Ejemplo 1 convertir

3 2

a grados

Solucin: efectuamos entonces la multiplicacin3 180 540 = 270 o = 2 2

11

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSLas funciones trigonomtricas son razones de los lados de un tringulo rectngulo. Un tringulo es rectngulo si uno de sus ngulos es recto.

Catetos:Se le llama catetos a los lados de un tringulo que forman el ngulo recto.

Hipotenusa:La hipotenusa es el lado ms largo de un tringulo rectngulo, es la lnea que une los extremos de los catetos.

Identidades fundamentalesLas funciones trigonomtricas son: sen = cateto opuesto hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente1 cos

cos =

cateto adyacente hipotenusa1 sen

tan =

cosecante csc =

secante sec = cot =

tan =

sen cos

1 cos = tan sen

sen 2 + cos 2 = 1

Ejemplo 1Si es un ngulo agudo y sen = de todas las funciones trigonomtricas.3 encuentra los valores 4

12 Solucin: Procedemos a dibujar un tringulo rectngulo con los datos dados para ayudarnos visualmente.

3

4

a Escribimos de la forma anterior los datos que nos dieron, puesto Cateto opuesto . que sabemos que el sen = hipotenusa A travs del teorema de Pitgoras podemos encontrar el otro lado a2 = c2 b2 a2 = 42 32 a2 = 16 9 a2 = 7 a= 7 Conociendo todos los lados del tringulo ponemos encontrar todas las funciones.

3

4

7cos = 7 4 tan = 3 7

como debe quedar racionalizado el7 7

denominador, multiplicamos por

tan =

3 7 7csc = 7 3

sec =1 4 = sen 3

1 4 7 4 7 = * = cos 7 7 7

cot =

13

Ejemplo 2 Encuentre los valores de un ngulos de 600Solucin: Para resolver este problema, dibujamos un tringulo equiltero, pues este tringulo tiene la caracterstica de tener sus tres ngulos de 600 por tener sus tres lados iguales. Por conveniencia le pondremos un valor de dos a cada lado.

2 h 600 1 Encontramos ahora la altura h a travs del teorema de Pitgorash 2 = 2 2 12 h2 = 4 1 h2 = 3 h= 3

Tenemos entonces un tringulo rectngulo al cual podemos encontrar el valor de todas las funciones trigonomtricas

2 600 1sen60 0 = 3 2cos 60 0 = 1 2

3

tan 60 0 =

3 = 3 1

Como la cosecante es el inverso del senocsc 60 0 = csc 60 0 = 2 3 2 3 3

Racionalizando

csc 60 0 =

2 3

*

3 3

=

2 3 nos queda 3

14 la secante es el inverso del cosenosec 60 0 = 2

La cotangente es el inverso de la tangentecot 60 0 = 1 3 * 3 3

=

3 3

Ejemplo 3 Encuentre los valores de un ngulos de 300Solucin: Al igual que el anterior, para resolver este problema, dibujamos un tringulo equiltero, por las caractersticas conocidas y al partir a la mitad dicho tringulo, nos queda un ngulo de 300. 300 h

2

1

Encontramos ahora la altura h a travs del teorema de Pitgorash 2 = 2 2 12 h2 = 4 1 h2 = 3 h= 3

Tenemos entonces un tringulo rectngulo al cual podemos encontrar el valor de todas las funciones trigonomtricas

2

300

3

1cos 30 0 = 3 2sen30 0 = 1 2 tan 30 0 = 1 3 = 3 3

Como la secante es el inverso del coseno

15

sec 30 0 =sec 30 0 =

2 32 3 3

Racionalizando

csc 60 0 =

2 3

*

3 3

=

2 3 nos queda 3

La cosecante es el inverso del senocsc 30 0 = 2

La cotangente es el inverso de la tangentecot 30 0 = 3

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GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICASLas funciones trigonomtricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenmenos peridicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente elctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilacin de pndulos, ciclos comerciales, movimiento peridico de los planetas, ciclos biolgicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonomtricas relacionadas con fenmenos que se repiten peridicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de nmeros reales. Para la obtencin de valores de las funciones trigonomtricas de nmeros reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radin. Al trazar grficas de funciones trigonomtricas, los ngulos deben estar medidos en radianes y escritos en el eje x para que la grfica quede bien, pues si se miden en grados sexagesimales, no queda la grfica trazada correctamente, pues quedar una lnea recta.

AMPLITIUD.Amplitud se le llama a la distancia que sube o baja la grfica desde su eje de simetra

PERODOPerodo se determina a la vuelta que da la grfica en el eje x y como una vuelta es 2, la amplitud tanto del seno como del coseno es esta

Ejemplo 1.Trazar la grfica de y = sen x. Elaboramos el plano cartesiano y escribimos en el eje x los radianes. Por conveniencia escribo a con el valor de 3, ya que sabemos que es aproximadamente 3.14, entonces omito el 0.14 y dejo a con el valor de 3.

17

-2

-

2

Poniendo la calculadora en el modo Rad. El seno de 0 es cero. El seno de

El seno de es 0 3 El seno de es -1 2 El seno de 2 es 0 Podemos ver en la grfica que cada , el seno vuelve a ser cero, pero no ha dado la vuelta completa sino que la mitad de la vuelta, pero esto solo sucede cuando su eje es el eje x. una vuelta completa es la que se muestra a continuacin sale de cero, cuando vuelve a ser cero, ha dado la mitad de la vuelta, solamente la parte de arriba, luego baja y regresa nuevamente al eje

2

es 1

Y as sucesivamente, cada 2 vuelve a caer en el mismo lugar.

18

Ejemplo 2Graficar y = 2 senx En este caso, como ya tenemos coeficiente 2 en el seno, la amplitud ya no es uno sino 2, el perodo contina siendo el mismo 2 , entonces sube hasta 2 y baja hasta -2

-2

-

2

Ejemplo 3Trazar la grfica de y = -3 sen x En las grficas anteriores notamos que la grfica pasa por el origen pero va hacia arriba por ser +. En este caso, como es siempre seno, tambin pasa por el origen pero por ser va hacia abajo y la amplitud sigue siendo el mismo nmero que est a la izquierda del seno. El perodo sigue siendo 2

-2

-

2

19

Ejemplo 4Graficar y = 4 cos x La amplitud de esta grfica es 4. El coseno no pasa por el origen sino por el nmero que indique la amplitud. El perodo del coseno tambin es 2

-2

-

2

Como la amplitud es 4, pasa en el origen y = 4 y cada vuelta o cada 2 termina en y = 4. Sabemos ahora que en la ecuacin y = sen x, la amplitud es 1 y el perodo es 2 . Amplitud se le llama a la distancia que sube o baja en el eje y y perodo a lo que avanza en el eje x al dar una vuelta.

En la ecuacin y = a sen bx La amplitud es a. En los libros aparece como el valor absoluto de a, a , nosotros la tomaremos simplemente como a. Si este valor es negativo, lo que para nosotros suceder es que la grfica tomar el rumbo contrario, es decir, si este valor es positivo en el seno, la grfica pasar por el origen hacia arriba y si este valor es negativo, tambin pasar por el origen pero hacia abajo. Si la funcin es coseno, la grfica pasar por este nmero: Si es positivo sale de ah hacia abajo. Si es negativo pasar por este valor en el eje y y saldr hacia arriba. El siguiente ejercicio mostrar nicamente una vuelta en la funcin. Y = cos x

20

Ejemplo 5Calcular la amplitud, el perodo y trazar la grfica de y = 3 sen 2x Como a = 3 y b = 2 encontramos directamente que la amplitud y es 3, solamente tenemos que buscar el perodo Amplitud 3 Perodo

2 2 = = b 2

Esto quiere decir que cada vuelta se completa en x =

-2

-

2

21

Ejemplo 61 Calcular la amplitud, el perodo y trazar la grfica de y = 2 sen x 2 Amplitud 2

Perodo

2 = 4 1 2

-2

-

2

3

4

Ejemplo 7Calcular la amplitud, el perodo y trazar la grfica de y = 2 sen(3 x) Si tenemos sen(-3x) = -sen3x Entonces y = 2 sen(3 x) = 2sen 3x Amplitud -2 Perodo2 2 = 3 3 Como a tiene signo - , la grfica de seno pasa por el origen pero hacia abajo.

-2

-

2

22

Ejemplo 8 trazar la grfica de y = 2senx 3En este caso, pero la grfica ms que es pero en el eje espacios hacia tenemos que la amplitud es 2, el perodo es 2 ya no pasa por el origen ya que tiene otro trmino 3 . esto indica que su eje se ha movido 3 espacios y. es la misma grfica de y = 2 senx pero corrida 3 abajo.

-2

-

2

Ejemplo 9Calcular la amplitud, el perodo y trazar la grfica de y = 2 sen( x 3) Ahora es un solo trmino, ya que x 3 est dentro de un parntesis. Cuando hay un nmero como en el ejemplo anterior, 2 y c es el o sea y = asenbx + c , a es la amplitud; el Perodo es b desplazamiento o movimiento en el eje y, este movimiento es vertical, es decir la grfica se mueve en el eje y. Si tenemos y = sen(x + c), c siempre indica movimiento, pero por estar dentro del parntesis, el movimiento es en el eje x y se le denomina Desplazamiento de fase o desfasamiento. Para encontrar el desplazamiento de fase, se iguala lo que est dentro del parntesis a cero. x+c=0 Si tenemos y = 2 sen( x 3) Amplitud 2 Como la x no tiene nmero, el perodo es 2 Luego igualamos x 3 a 0 para encontrar el desplazamiento de fase o desfasamiento x3=0 x=3

23 Esto nos indica que el desplazamiento de fase es 3, es decir, la grfica no cruza en el origen sino en x = 3, luego el procedimiento es el mismo, a partir de este nmero se contina con el perodo

-2

-

2

3

4

Ejemplo 10Calcular la amplitud, el perodo, el desplazamiento de fase y trazar la grfica de y = 3sen 2 x + 2 Amplitud a = 3 2 Perodo, como el nmero que tiene la x es 2, = 2 Desplazamiento de fase igualando el parntesis a cero tenemos=0 2 Despejando x 2x = 2x +

2

x=

4

-2

-

2

24 Ejercicios Calcular la amplitud, el perodo y trazar lagrfica de: 1) y = 2 senx 2) y = sen 4x 13) y = 2cos2x1 3) y = senx 3 1 4) y = 2 sen x 41 14) y = cos x 2 1 15) y = ( cos 3 x) 3

12) y = 3 cos( x)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

y = 2 senx y = 4 senx y = 2 senx y = 3sen 2x y = 3sen(2 x)

16) y =

1 1 cos x 4 3

17) y = 5cosx 18) y = 4cos( 2x) 19)1 y = 2 cos x 3

y=

1 sen(4 x) 2

11) y = cos 2 x

1 20) y = 2 cos x 3

Calcule la amplitud, el perodo y el desplazamiento de fase de las siguientes funciones, luego trace su grfica. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y = sen(x 2) y = 2sen(2x + 1) y = 3senx 2 y = senx 1 y = 2senx + 3 y = 3senx + 4y= 1 sen( x + 2) 2

8)

y=

1 sen( x + 3) 3

9)

y = sen x 2

10) y = sen x + 4 11) y = sen x + 6 12) y = sen x 3

25 13) y = cos(x - )

14) y = 2 cos x + 2 15) y = 3cosx + 4 16) y = 4cosx + 3

17)

y = 4cosx + 4

18) y = 3cos2x + 3 19) y = 2cos(3x + 1) 20) 3cos(4x 3)

26

IDENTIDADES TRIGONOMETRICASUna identidad es una igualdad de expresiones algebraicas, en donde las funciones de los ngulos se escriben de diferente manera. Lo que trataremos en nuestro curso es demostrar que uno de los lados de la igualdad es igual al otro. La forma que trabajaremos ser llevando cualquier expresin a escribirla como senos y cosenos, para esto debemos conocer y memorizar las identidades fundamentales siguientes:csc = 1 sen

sec =

1 cos

tan =

sen cos

cot =

1 cos = tan sen 1 + tan 2 = sec 2

sen 2 + cos 2 = 1

1 + cot 2 = csc 2

Ejemplo 1Verificar la identidad

tan + cos = sec + cot sen

Como nicamente nos indican que verifiquemos la identidad, podemos tomar cualquiera de los dos lados; es conveniente tomar el lado que veamos ms difcil, ya que el ms simple se dificulta la verificacin. Nosotros generalmente tomaremos el lado izquierdo para comprobar que es igual que el lado derecho. SOLUCIN: Como vamos a demostrar que el lado izquierdo es igual que el lado derecho, procedemos separando los trminos. Podemos omitir el smbolo de ngulo durante el procedimiento, pero debemos tener cuidado de escribirlo en la respuesta final.tan cos + sen sen

= sec + cot

27cos , el segundo trmino ya sen est como tal, procedemos entonces a convertir el primer trmino pasando la tangente a senos y cosenos.

Como sabemos que la cotangente es

sen cos + cos = sec + cot sen sen

Sabemos tambin que cuando dividimos una fraccin con un entero, el denominador de la fraccin pasa a multiplicar al entero y el resultado se escribe en donde est el entero. En este caso, sen por lo tanto el cos pasa a multiplicar al sen la fraccin es cossen cos + = sec+ cot cos sen sen

Simplificando nos queda1 cos + = sec + cot cos sen

Y sabemos que demostrado.

1 cos = sec y = cot , por lo tanto ya qued cos sen

Ejemplo 2Demostrar que sec cos = sen tan Como demostraremos que el lado izquierdo es igual que el lado derecho, procedemos a escribir como senos y cosenos lo que no est.1 cos = sen tan cos

Efectuando la resta de fracciones escribiendo como denominador comn cos1 cos 2 = sen tan cos

28 Como sabemos adems que sen 2 + cos 2 = 1 , al despejar nos queda sen 2 = 1 cos 2 entonces podemos escribir sen 2 = sen tan cos Separando sen2 como sen*sen podemos escribirlo de la siguiente manera: sen sen = sen tan . Se separaron de esta forma para dejar solo el cos seno y dejar as la tangente sen sen = sen tan cos

Ejemplo 3Demostrar que sen (tan + cot ) = sec Cambiando a senos y cosenos el lado izquierdo sen cos sen + = sec cos sen

Efectuando la suma del parntesis

sen 2 + cos 2 sen cos sen = sec 2 como sen + cos 2 = 1 1 sen = sec cos sen Multiplicando seno(1) sen = sec cos sen

Simplificando

1 = sec cos

29

Ejemplo 4Demostrar quecos x 1 + senx = 1 senx cos x

Como ya est todo como senos y cosenos, observamos el denominador del lado izquierdo que es el que vamos a convertir en el lado derecho. Si el denominador es suma, multiplicamos por una resta. Si es resta, multiplicamos por una suma. El objetivo es completar una diferencia de cuadrado; en matemtica se le denomina multiplicar por su conjugada. En este caso, como tenemos una resta, multiplicamos por la suma, escribiendo como denominador la misma suma, ya que para que la expresin no cambie estamos multiplicando por la unidad ya que una cantidad dividida por ella misma es1.cos 1 + sen 1 + sen * = 1 sen 1 + sen cos

Multiplicandocos(1 + sen) 1 + sen = cos 1 sen 2

como sen 2 + cos 2 = 1 Despejando Cos2 = 1 sen2cos(1 + sen) 1 + sen = cos cos 2

Simplificando el cos con cos2 nos queda1 + senx 1 + senx = cos x cos x

Ejemplo 5(tan 3 sec 3 ) 2 = 1 sen3 1 + sen3

El 3 no le tomamos importancia, ya que lo que importa es la funcin del ngulo dado, por lo tanto nuevamente omitimos el ngulo y procedemos de la misma forma escribindolo al final. Convirtiendo a senos y cosenos

30

1 1 sen sen = 1 + sen cos cos 2

Efectuando la suma del parntesis sin resolver el cuadrado del binomio

1 sen sen 1 = 1 + sen cos 2

Elevando al cuadrado los dos trminos( sen 1) 2 1 sen = 1 + sen cos 2

Cuando tenemos el cuadrado de un binomio (a b)2 esto tambin se puede escribir como (b a)2 puesto que su resultado es el mismo (a b)2 = (b a)2 Demostracin (a b)2 = a2 2ab + b2 y (b a)2 = b2 2ab + a2

Ordenando el lado derecho nos queda que a2 2ab + b2 = a2 2ab + b2

Por esto podemos escribir:

(1 sen ) 2 1 sen = 1 + sen cos 2Separando el numerador y sabiendo que cos2 = 1 sen2(1 sen )(1 sen ) 1 sen = 1 sen 2 1 + sen

Como 1 sen2 = cos2 es una diferencia de cuadrados, podemos factorizar

31 (1 sen)(1 sen) 1 sen = (1 + sen)(1 sen) 1 + sen y Simplificando1 sen 1 sen = 1 + sen 1 + sen

Ejercicios Verifique la identidad: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) csc sen = cot cos senx + cosx cotx = cscsec 2 u 1 = sen 2 u 2 sec u csc 2 = cot 2 2 1 + tan tan t + 2 cos t csc t = sec t csc t + cot t

tan2 1 sen2 = tan2 sen21 + cos x senx + = 2 csc x senx 1 + cos x 1 1 + = 2 csc 2 y 1 cos y 1 + cos y

8) 9)

(tan u + cot u )(cos u + senu ) = csc u + sec u

10) (sec w tan w)(csc w + 1) = cot w 11)cot tan = csc sec sen + cos cos = sec + tan 1 sen 1 = csc y + cot y csc y cot y

12)

13)

32

14)

tan 2 x 1 cos x = sec x + 1 cos x cot 1 1 tan = cot + 1 1 + tan

15)

16) csc4x cot4x = csc2x + cot2x 17) cos4 t + sen2 t = cos2 t + sen4 t 18) sen4 u cos4 u = sen2 u cos2 u 19) 20)

sen 4 + 2sen cos + cos 4 = 1sen = csc + cot 1 cos 1 + csc = sec cot + cos cos3 x sen 3 x = 1 + senx cos x cos x senx sen3 y + cos3 y = 1 seny cos y seny + cos y sen cos + cos sen tan + tan = cos cos sensen 1 tan tan tan u tan v cot v cot u = 1 + tan u tan v 1 + cot u cot v

21)

22)

23)

24)

25)

33

ECUACIONES TRIGONOMTRICASUna ecuacin trigonomtrica es aquella que contiene expresiones trigonomtricas. Resolverla significa encontrar todos los valores que hagan verdadera la ecuacin; Los valores o nmeros que encontramos corresponden a ngulos, estos nmeros corresponden a la variable x. Muy importante: El seno sirve para encontrar valores en el eje y y el coseno se utiliza para encontrar valores en el eje x. As: El seno de 0o es cero, esto significa que cuando el ngulo es cero grados, el eje y mide cero.

Al irse abriendo el ngulo, va subiendo el valor del eje y hasta llegar a su mximo que es uno cuando el ngulo mide 90o x y

Al pasar de 90o comienza a descender nuevamente hasta llegar a cero cuando mide 180o. por esta razn el seno es

34 positivo en los cuadrantes I y II y se encuentra el mismo valor en estos dos cuadrantes. Por ejemplo: en el ngulo de 30o, el seno es 0.5, que est en el primer cuadrante y tiene el mismo valor con el ngulo de 150o que se encuentra en el segundo cuadrante.

150o 30o

El coseno sirve para encontrar valores de x, este es positivo en los cuadrantes I y IV. Cuando el ngulo es cero, el coseno tiene su valor mximo por estar sobre el eje x

Cuando el ngulo es de 90o, el eje x no tiene dimensiones, por eso el coseno de 90o es cero

37 Como ya conocemos la grfica de y = senx, observndola nos damos cuenta en donde queda 0.5

-2

-

2

Ejemplo 2Determinar las soluciones de la ecuacin tan u = 1 Despejando u u = tan 1 (1) u = 1350 Aunque no trazamos grficas de y = tan x, en el crculo unitario queda una recta a 1350 y su perodo es . Al convertir 1350 a radianes nos queda135 0 *

1800

=

135 3 = 180 4

Solucin u =

3 + n 4 Teniendo en cuenta nuevamente que n es un nmero entero. Para caer nuevamente en la misma lnea, solamente debemos sumar .

Ejemplo 3 Resolver la ecuacin grados y en radianes. Cos 2x = 0

cos 2x = 0 y expresar la solucin en

Como 2x es el ngulo escribimos 2x como

39 Ahora igualamos cada factor a cero Sen = 0 tan 1 = 0 tan = 1

Buscamos todos los ngulos en los cuales el seno sea cero y la tangente 1 y estos son = 00 = 450

Si se nos olvid como encontrar el ngulo en grados, ponemos la calculadora en el modo DEG y escribimos shift sin 0 = y ya encontramos que el ngulo es de cero grados Luego convertimos a radianes 00 = 045 0 =

4

Como el primero es seno, sabemos que el perodo del seno es 2, todas las soluciones para este ngulo son: = 0 + 2n.

En el segundo como es la tangente, sabemos que el perodo de la tangente es , todas las soluciones son:

2 =

4

+ n

Ejemplo 5Encontrar todas las soluciones de

sen + = 1 8

+ +

8 8

= sen 1 (1) = 90 0

Como 90 0 =

2

+

8

=

2

40 Como no tiene ningn nmero, no agregamos antes de despejar + 2n, si tuviera tendramos que agregarlo antes.

2 8 3 1 = 8 Encontrando todas las soluciones 3 1 = + 2n 8

=

=

3 8

2 = 2 =

3 5 = 8 8

5 + 2n 8

Ejemplo 6Resolver la ecuacin y encontrar todas las soluciones de 2sen2 t cos t 1 = 0 Estas ecuaciones se pueden escribir en trminos de una sola variable, para esto, como ya tenemos cos, escribimos sen2 en funcin de cos 2(1 cos2 t) cos t 1 = 0 2 2cos2 t cos t 1 =0 1 2cos2 t cos t = 0 Cambiando los signos o multiplicando por 1 toda la ecuacin y ordenndola nos queda 2cos2 t + cos t 1 = 0 factorizando (2cos t 1)(cos t + 1) = 0 Igualando a cero los dos factores 2cos t 1 = 0 2cos t = 1cos t = 1 2

cos t + 1 = cos t = 1

41 Buscamos entonces los ngulos en los cuales el coseno es 0.5 y 1 y encontramos que son 600 y 1800. y al convertirlos en radianes nos queda 600 =

3

1800 = todas las

Como sabemos que el perodo del coseno es 2 soluciones quedan :

1 =

3

+ 2n

y

2 = + 2n

Ejemplo 7Encuentra las soluciones de la ecuacin 4 sen 2 x tan x tan x = 0 en el intervalo [0,2 ] Factorizando tan x(4 sen 2 x 1) = 0 Igualando a cero cada factor tan x = 0 El ngulo x es cero grados y 180o Y en radianes tambin es cero y 4 sen 2 x 1 = 0 4 sen 2 x = 1 1 sen 2 x = 4

senx = senx =

1 4

1 2 Como en este caso, seran todos los ngulos que den 0.5 , basta con encontrar un ngulo senx = 0.5 x = sen 1 0.5

x = 30o En los ejes positivos, que son I y II, los ngulos que dan 0.5 positivo son 30o y 150o

42 Los ngulos que dan -0.5 son 180o + 30o = 2100 Y 360o 30o = 330o Nota: Al buscar los ngulos en la calculadora, como sabemos que solamente nos dan ngulos agudos, encontramos el de 30o y el de -30o. Esto indica que son los ngulos treinta grados arriba y treinta grados debajo de la horizontal.

30o -30o

Pero como los ngulos siempre se miden a partir del eje x en contra de las agujas del reloj para que sean positivos, quedan as

330o

30o

Dibujando todos los ngulos del seno

1500 2100 330o Los ngulos son entonces: con la tangente 0o y 180o Medidos en radianes 0 y Para el seno: 30o, 150o, 210o y 330o 5 7 11 En radianes , , y 6 6 6 6 30o

43

Ejercicios Hallar todas las soluciones de la ecuacin 2 1) senx = 2) 2 3) 5) 7) 9) 11) tan = 3sec = 2

cos t = 1 cot = csc = 2

4) 6) 8)

1 3

senx =

2

cos x =

3

2 cos 2 3 = 0 1 3 tan t = 1 3

10) 2sen3 + 2 = 01 2 12) cos x = 4 2

1 13) sen + = 4 2

14) cos x = 1 3 1 16) sen 2 x = = 3 2 1 18) cos 2t + = 2 2 20) cotx + 1 = 0 22) 4cos y - 2 = 0 24) Sec2 4 = 0 26) cot2 x -3 = 0 28) 2cos2 t + 3 cos t +1 30) 2cos2 x + cos x = 0

2 15) cos 4t = 4 2 3 17) sen 3 x =0 4

19) 2sent + 1 = 0 21) tan2 = 1 23) 2 cos x = 3 25)3 + 2 sen = 0

27) 2sen2 u = 1 sen u = 0 29) tan2 sen = sen

44

45

..

47

introduccinEn esta unidad didctica se estudian los conceptos bsicos de lmite de una funcin en un punto. Aunque se parte de una idea intuitiva de esos conceptos, el objetivo fundamental de la unidad es llegar a obtener una definicin rigurosa de los mismos y facilitar la comprensin de esa definicin de una manera visual. Esta unidad se complementa con la unidad titulada "Propiedades de los lmites de funciones" y en ella se basarn las unidades que traten el tema de las funciones continuas.

ObjetivosEl principal objetivo es hacer comprender de una forma visual las farragosas definiciones del concepto de lmite de una funcin en sus distintas variantes; para ello: Conocer, intuitivamente el concepto de lmite Primero introducimos los conceptos de forma intuitiva. Despus y a base de una serie de ejercicios deducimos las definiciones rigurosas de dichos conceptos.

49

B3) indeterminacin

siempre y cuando no aparezca la .

B4) indeterminaciones

siempre y cuando no aparezcan las e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

siempre y cuando tengan sentido B6) las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos C) LIMITES LATERALES. C1) Lmite por la izquierda: .

C2) Lmite por la derecha:

TEOREMA: Existe el lmite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostracin inmediata). TEOREMA: Si existe el lmite, ste es nico. (Demostracin inmediata). Todo lo dicho anteriormente es tambin vlido si consideramos que el lmite vale en lugar de l.

2. Lmites en el infinito. Asntotas de una curva.A) LIMITES EN EL INFINITO. A1) Lmite finito.

50

A2) Lmite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los lmites vistas en la pregunta anterior es vlido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente. B) ASNTOTAS DE UNA CURVA. B1) Asntotas verticales. Se dice que y = f(x) tiene una asntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los lmites laterales vale . Es decir, puede haber asntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posicin de la curva respecto a la asntota depender del signo de los lmites laterales. Como ejemplo, determinar la asntota vertical y su posicin con respecto a la grfica de la funcin

B2) Asntotas horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asntota horizontal en y=b si . La asntota puede aparecer cuando La posicin de la grfica de la funcin respecto a la asntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asntota horizontal y su posicin con respecto a la grfica de la funcin

B3) Asntotas oblicuas. Dada la funcin y = f(x), si se verifica que

51

a)

b)

c)

entonces se dice que y = mx + h es una asntota oblicua de . La asntota puede aparecer cuando dicha funcin para Para estudiar la posicin de la grfica de la funcin con respecto a la asntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asntota oblicua y su posicin con respecto a la grfica de la funcin

3. Clculo de lmites.A) INDETERMINACIN En la mayora de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresin radical conjugada. Ejemplo.-

B) INDETERMINACIN En la mayora de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

C) INDETERMINACIN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

52 En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresin radical conjugada. Ejemplo.-

D) INDETERMINACIN En la mayora de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - Para determinar estos lmites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los mtodos anteriores o por mtodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminacin facilidad la siguiente igualdad: podemos aplicar con mayor

Aplicar la igualdad anterior a la resolucin del siguiente lmite:

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un lmite muy conocido, que es:

53

Aplica lo anterior para resolver los siguientes lmites:

(Usa la frmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminacin. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolvern en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hpital.

4. Funcin continua en un punto y en un intervalo.Diremos que la funcin y = f(x) es continua en x = a si: a. Existe f(a), es decir, f(x) est definida en x=a. b. Existe el . . c. Ambos valores coinciden, es decir

Si tenemos en cuenta la definicin de lmite, podemos obtener la siguiente definicin equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b). Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si . Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si . Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si: a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a. c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b. TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el demostracin es inmediata) . (La

54 Sin embargo, el teorema recproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIN DEL SIGNO Sea y=f(x) una funcin continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a). Demostracin: Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonara de modo similar). Tomemos que: . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quera demostrar) TEOREMA DE ACOTACIN DE LA FUNCIN Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) est acotada en un cierto entorno de x = a. Demostracin: Tomemos tiene que:

. Por la continuidad de y = f(x) en x = a se

de modo que

es un intervalo acotado, por lo de x=a.

tanto y=f(x) est acotada en el entorno

5. Operaciones con funciones continuas.Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que: a. b. c. es continua en x=a. es continua en x=a. es continua en x=a si .

55

d.

es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) Demostracin: es continua en x=a.

De lo dicho anteriormente resulta que:

6. Discontinuidades.Se dice que una funcin y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). B) De salto: Cuando existe el lmite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. C) Asinttica: Cuando alguno de los lmites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asinttica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. D) Esencial: Cuando no existe alguno de los lmites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la funcin en x=a al Dicho valor es el que convierte a la funcin en continua. .

56 Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la funcin en x=a al valor .

Estudiar, como aplicacin de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el captulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.TEOREMA DE BOLZANO Si y = f(x) es una funcin continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha funcin en los extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.

Demostracin: Supongamos que f(a)0 (Se razona de forma anloga si ocurre lo contrario). Si el teorema est demostrado. En caso contrario, la funcin tomar en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b). Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

Si el teorema est demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, obtenindose una sucesin de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la funcin toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesin define un nmero real . Demostremos que f(c)=0. Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIN DEL SIGNO, existir un entorno de c donde se mantendr el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construccin anterior, dicho entorno contendr uno al menos de los , donde la funcin tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradiccin f(c)=0. Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revs) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)

57 TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el mximo y el mnimo absoluto en dicho intervalo [a,b]. Demostracin: A) Veamos, en primer lugar, que f(x) est acotada en [a,b]. Supongamos que no lo est. Consideremos el punto medio y los subintervalos y f(x) no est acotada . Dividamos en

en uno de ellos, al menos, que llamaremos

dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no est acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesin de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no est acotada. Sea c el nmero real que define esta sucesin. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIN DE LA FUNCIN, existir un entorno de c en el que la funcin est acotada. Pero en dicho entorno y por construccin estarn incluidos a partir de uno todos los , donde la funcin no estaba acotada. Llegamos a una contradiccin, luego f(x) est acotada en [a,b]. B) Veamos, a continuacin, que f(x) alcanza el mximo en [a,b]. (Anlogamente se demuestra que alcanza el mnimo). Si f(x) est acotada en [a,b] siendo m el nfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algn punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estar demostrado.

g(x) est acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un mximo absoluto en [a,b]. Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el mximo y el mnimo. ( Su demostracin es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.

58

LMITESEl lmite existe cuando se est llegando al final de algo y se iniciar otro, es decir, cuando estamos llegando hacia donde termina uno para dar inicio otro, por ejemplo los lmites de una repblica estn en donde termina una e inicia otra. Para nuestro estudio, tomaremos lo mismo que hacen en los libros de texto, tomar lmites en donde no existen, pero esto nos ayudar a comprenderlos. Existe lmite en una funcin cuando nos estamos acercando a cualquier nmero y al continuar la grfica en el otro lado contina de donde se qued,

Ejemplo 1 Sea la funcin y = x 3

Y queremos encontrar el lmite de la misma cuando x se aproxime a 2, esto significa que se est acercando a la lnea del dos del eje x, podemos verlo en la grfica que en el eje y se est acercando al 1. Esto lo podemos hacer tambin sustituyendo en la ecuacin para encontrar el valor de y cuando se acerca al 2 en x. Escribimos nmeros que estn muy cerca del 2 por la izquierda y veremos que cada vez estarn ms cerca del menos uno

X 1.9 1.99 1.999

y=x-3 1.9 3 = -1.1 1.99 3 = -1.01 1.999 3 = -1.001.

59 Luego nos acercamos al dos por el lado derecho x 2.1 2.01 2.001 y=x-3 2.1 3 = -0.9 2.01 3 = -0.99 2.001 3 = -0.999.

Ahora lo encontraremos directamente f(2) = x 3 Encuentre lim x 3x2

Sustituimos directamente con el nmero indicado y este ser el resultado. 2 3 = -1

Ejemplo 2. Consideremos ahora la funcin

x +1 . Esta x 1 funcin no est definida en x = 1, ya que el denominador se vuelve cero y en los nmeros reales la divisin por cero no est definida. La grfica queda de la siguiente forma f ( x) =

En este caso podemos con facilidad darnos cuenta que cuando la x se acerca a uno no existe lmite ya que ni siquiera se acerca la grfica sino se aleja. Cuando se acerca a 1 por el lado izquierdo va hacia abajo y cuando se acerca por el lado derecho va hacia arriba.

60

Ejemplo 3 Encuentre lim(4 x 2) x 3Sustituimos el 3 en la ecuacin y encontramos el lmite lim(4 x 2) =(4*3 2) = 12 2 = 10x 3

Los teoremas que nosotros utilizaremos sern los siguientes:

1)Si al sustituir en la funcin el nmero que nos dan se puede efectuar la operacin y encontramos el resultado, entonces este ser el lmite. lim f ( x) = a . Excepto cuando es una xc raz par y su resultado es cero, por ejemplo f ( x) = x 2 , en x = 2 no existe lmite aunque halla f(2), porque la grfica sale de x = 2.

2)Si al sustituir en la funcin el nmero que nos dan queda indefinida, entonces no existe lmite (Es indefinida cuando queda cualquier nmero dividido entre cero) lim f ( x) = x ca 0

3)Si al sustituir en la funcin el nmero que nos dan no se puede efectuar la operacin, entonces no existe lmite lim f ( x) = a , x c

4)Cuando al sustituir en la funcin el nmero que nos dan queda lim f ( x) = , existe lmitex c

0 0

pero hay que buscarlo a travs de manipuleo algebraicoPara que en una funcin exista lmite, al acercarse por la izquierda debe llegar al mismo valor en y que al acercarse por la derecha. Algunas veces nos confundimos creyendo que si existe lmite por la derecha, este es el lmite de la funcin pero no es cierto

61 si al acercarnos por la izquierda al mismo nmero llegamos a otro en y.

Un ejemplo ms compresible sera que si vamos de Guatemala hacia el Salvador o si venimos de el Salvador a Guatemala, llegamos al mismo punto. De igual forma, si vamos de Guatemala hacia Honduras o venimos de Honduras a Guatemala, llegamos al mismo punto por los dos lados, esto significa que existe lmite, tanto entre Guatemala y El Salvador como entre Guatemala y Honduras.

Entre Guatemala y Nicaragua no existe lmite, ya que por cualquier lugar que se quiera llegar, ya sea de Guatemala a Nicaragua o de Nicaragua a Guatemala, no hay ningn punto en el cual se llegue al mismo lugar por los dos lados.

62 Existe lmite cuando: El lmite por la derecha es igual que el lmite por la izquierda, es decir, que cuando nos acercamos a un nmero del eje x por la izquierda o por la derecha estamos llegando al mismo nmero en el eje y El mismo nmero no significa que si me acerco a 5 en x tiene que ser tambin 5 en y; significa que si me acerco al 5 en x por la izquierda y llego a 2 en el eje y, al acercarme al mismo 5 de x por la derecha, tendr que llegar tambin al 2 de y. No existe lmite cuando Existe un salto en la funcin

La siguiente figura la permitir obtener una comprensin adicional

4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

En la grfica anterior encuentre: 1) f (3) = 4 En este caso, como nos preguntan f(-3), este ser un nmero en el eje y cuando en el eje x sea 3 y observamos en la grfica que cuando x vale - 3, el eje y vale 4. Podemos darnos cuenta muy claramente que no siempre que exista f(x) habr lmite, pues vemos que en este casi si existe

63 f(3), pues es un punto, pero lmite no existe porque el punto no est sobre la grfica. 2)x 3

lim f ( x) = 3

El signo como exponente nos indica que

encontremos el nmero al cual se aproxima la funcin en el eje y cuando en el eje x se aproxima a 3 por la izquierda. Al observar la grfica podemos darnos cuenta que cuando nos acercamos sobre la lnea de la grfica, al 3, en y nos estamos acercando al 3. 3)x 3 +

lim f ( x) = 5

El signo + como exponente nos indica que

encontremos el nmero al cual se aproxima la funcin en el eje y cuando en el eje x se aproxima a 3 por la derecha. Observando la grfica vemos que se aproxima a 5. Nota: podemos ver en este ejemplo que f(-3) = 4; lim de -3 por la izquierda es 3 y el lim de -3 por la derecha es 5 las tres son diferentes en el mismo nmero. 4) lim f ( x) = Como nos piden encontrar el lmite en toda lax 3

funcin cuando en el eje x se aproxima a 3, el lmite no existe porque tiene un salto y sabemos que para que el lmite exista, tiene que ser igual por la derecha que por la izquierda y vemos que por la derecha es 5 y por la izquierda es 3. 5) f (1) No existe ya que cuando la x vale 1 el eje y est vaco y cuando nos pidan f de un nmero, tiene que ser otro nmero, no aproximaciones, es decir, si nos indican que busquemos f(de un nmero), debemos encontrar otro nmero que ser la coordenada en y P(x,y) 6)lim f ( x) = 3 Cuando la x se aproxima a 1, en el y sex 1

aproxima a 3. Podemos darnos cuenta que imagen, s existe lmite cuando no existe arriba ni hacia abajo, lo que debemos saber por la derecha es igual que por la izquierda, funcin. 7)x 1

aunque no exista un salto ni hacia es que si el lmite s hay lmite en la

lim f ( x) = 3 Como nos piden encontrar a qu nmero se

acerca en el eje y cuando en el eje x se aproxima a 1 por la izquierda, vemos que se acerca a 3. 8) lim f ( x) = 3 Por la derecha, cuando la grfica se acerca al 1 +x 1

de x, en y est acercndose al 3

64 9) lim f ( x) = 3 En este caso nos preguntan cul es el lmite dex 1

la funcin cuan se acerca al 1 por los dos lados. Como vemos que se acerca al 3 tanto por la derecha como por la izquierda, esto significa que el lmite de la funcin es 3 10) lim = 4x 3

11) 12) 13) 14)

f (3) = 4

lim f ( x) = 4x 3

x 3+ x 3

lim f ( x) = 4

lim f ( x) = 4

Ejemplo 4 Encuentre el lmite indicado.

lim(2 x 1)x 3

Solucin: No importa si no he aprendido de memoria los teoremas, procedo a sustituir el valor que me dan en la ecuacin. Como la grfica es una lnea recta, el dominio son los nmeros Reales, por lo tanto, el lmite ser el nmero que encuentre al sustituir.lim(2 x 1) = 2 * 3 1 = 6 1 = 5x 3

Como encontr un resultado sin tener problema, este es el lmite indicado. Entonces escribo la respuesta pero sin borrar el procedimiento porque debo dejarlo como constancia.lim(2 x 1) = 5x 3

Ejemplo 5

3x 3 lim x 1 x +1 Hacemos el mismo procedimiento, sustituyendo el valor al cual se aproxima en la ecuacin 3x 3 3 *1 3 3 3 0 lim = = =0 = x 1 1+1 2 2 x +1

Como encontramos una respuesta y el dominio de esta funcin son los reales excepto x = -1, entonces este es el resultado del lmite indicado

65 3x 3 lim =0 x 1 x +1

Ejemplo 6 xlim2 2 x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 3 = Como Encontramos la raz cuadrada de un nmero negativo, sabemos que no se puede efectuar, por lo tanto en la funcin dada, el lmite indicado no existe

x 2

lim 2 x + 1 = No Existe

Ejemplo 7 lim x4

3 x 3 3 * 4 3 12 3 9 = = = Indefinida = 44 0 0 x4

Como al sustituir nos dio indefinida la operacin, no existe lmite.

3x 3 lim x 4 x 4

No existe

x 2 2x 3 lim x 3 x 3

Ejemplo 8

x 2 2 x 3 3 2 2(3) 3 9 6 3 0 = = = Sustituyendo lim =883( )-9.7730 Td(=)T2j-16.92=94 17.0425 27 x 3 33 0 0 x3

3xCuando al sustituir encontramos cero sobre cero,0 sabemos 0 que s existe el lmite pero hay que buscarlo a travs de procedimientos algebraicos.

=Lo primero que hacemos es factorizar para poder simplificar

lim

2

3

1

66

LMITES UNILATERALESDefinicin de lmites laterales o unilaterales

67

Note que la expresin que .

es mayor que cero, pues

por lo

En adelante determinaremos los lmites laterales a partir de la representacin grfica de una funcin cuya ecuacin se da.

Ejemplo 9Determinar los lmites, en los puntos de discontinuidad, de la funcin definida por:

Primero hagamos la grfica de la funcin:

El punto de discontinuidad se presenta cuando Luego: y

Observe que el lmite por la derecha (3), es diferente al lmite por la izquierda (2).

68

Ejemplo 10 Trace 2 x + 2 x 1 si x < - 1 si x = - 1 0 f ( x) = si - 1 < x 2 2x - 2x si x > 2

la

grfica

de

Encuentre despus a) f (1) b) lim f ( x )x 1+

f) lim f ( x)x 2+ x 2 x 2

g) lim f ( x) h) lim f ( x )

c) lim f ( x )x 1

d) lim f ( x)x 1

e) f ( 2) Solucin: Trazamos la grfica con las especificaciones que nos dan. Recordemos que f(x) es y, pero en este caso, como son partes de funciones en una sola, tomamos las que se encuentran dentro de la llave. La primera es y = x2 + 2x 1. Recordemos que es una parbola a la cual debemos encontrarle su vrtice para poder graficarla

y + 1 = x 2 + 2x y + 1 + 1 = x2 + 2x + 1 y + 2 = ( x + 1)2

pasando el -1 con la y completando al cuadrado

Encontramos entonces que el vrtice es V(-1, -2) Localizamos el vrtice y trazamos la parbola, solamente que debemos tomar en cuenta la condicin que los valores de la x tienen que ser menores que -1, entonces debe quedar abierto en x = -1.

69 La segunda grfica dice que es y = 0 cuando la x vale -1. Esto significa que es un punto con coordenadas (-1, 0)

Tracemos ahora, en el mismo plano, la otra grfica y = 2x

Por ltimo trazamos la siguiente grfica y = -2x con la condicin que esta grfica tiene que quedar de x = 2 hacia la derecha.

70

Respondemos ahora los incisos planteados. a) f (1) = 0 Porque cuando la x vale 1, la y vale 0, pues este tiene que ser un punto y vemos que en donde pasa la grfica est vaco. b) lim f ( x ) = -2.x 1+

El signo + como exponente nos indica

que se est acercando al nmero indicado en x por el lado derecho y como al observar la grfica vemos que, al llegar sobre la lnea, nos estamos acercando al -2 del eje y

c) lim f ( x ) =x 1

-2 El signo como exponente nos indica

que nos estamos acercando al nmero indicado, en el eje x, por la izquierda y vemos que sobre la lnea de la grfica, estamos llegando al -2 en el eje y d) lim f ( x) = -2 En este caso, que no tiene signo comox 1

exponente, nos indican en toda la funcin, por la derecha y por la izquierda. Si por la derecha y por la izquierda llegamos al mismo nmero en el eje y, existe lmite.

71 e) f ( 2) = 4 Como nuevamente preguntan las coordenadas de un punto especfico, en este caso, preguntan cunto vale la y cuando la x vale 2, y vemos que el punto est en y = 4 f) lim f ( x) = -4 Cuando la grfica est llegando a la lneax 2+

del 2 por la derecha, que es lo que indica el exponente +, vemos que en el eje y est llegando al -4 g) lim f ( x) = 4 observando la grfica podemos darnosx 2

cuenta que, cuando se acerca sobre la lnea por el lado izquierdo al 2 de la x, estamos llegando al 4 en el eje y h) lim f ( x) =x 2

Sabemos que cuando el lmite por la

derecha no es igual que por la izquierda, el lmite en la funcin no existe.

Ejercicio:

Represente la funcin definida por y determine los lmites laterales en el punto de discontinuidad. es necesario y Es posible demostrar que para que exista suficiente que los lmites laterales existan y sean iguales. Es decir, Por consiguiente, si si y solo si es diferente de no existe. y se dice que

Ejemplo 11Representemos grficamente la funcin definida por:

72

Como Como y

y

, entonces , entonces no existe.

Ejercicio:

Aprovecharemos adems para ver algunos lmites, que aunque no corresponden a funciones, no podremos decir que no existen. Estos lmites se dan nicamente en el eje x, aparecen escritos como sucesiones o series y adems se pueden representar en la recta numrica para poder tener una mejor visualizacin de adonde est llegando o hacia donde se est acercando.

Ejemplo 12Encuentre el lmite de 1, , , ...

1 1 1 2 3 4

Solucin: Esta es una serie que si la continuamos sera: 1 1 1 , , , etc. Al graficar esta sucesin en la recta numrica 5 6 7 para poder visualizar mejor sera:

0

11 43

1 2

1

73

Y si seguimos localizando ms fracciones, entre ms pequea es la fraccin, ms cerca estar del cero, por lo tanto, el lmite de esta sucesin es 0

Ejemplo 131 2 3 4 5 Encuentre el lmite de 0, , , , , ... 2 3 4 5 6

Solucin: Localizando las fracciones en la recta numrica

0

1 2

2 34 3 45

1

Si seguimos localizando fracciones, podemos darnos cuenta que se est acercando al 1,por lo tanto, el lmite es 1 Ejercicios:Encuentre el lmite indicadoLim( x + 4)x 1

1) 2) 3)

lim(3 x + 2)x 3

2 lim + 1 x 2 x x 2

4)

lim ( x 2 3x + 1)

9 x2 5) lim x4 x +1 x 2 + 3x 4 6) lim x 1 x+3

74

x 2 2x 3 7) lim x 3 x 1 2 x + 5x + 6 8) lim x 3 x3 2 x + 5x + 6 9) lim x4 x4x 2 + 3x 4 x 1 x 1 2 2x + 5x 3 11) lim x 3 x+3 2 x 16 x 12) lim x 3 x3 10) lim x 3 16 x 13.) lim 2 x 0 x + 4 x x9 14) lim x 9 x 3 3 x 8 15) lim x2 x 2 x2 + x 6 x2 x+2 2 x + 4x + 4 17) lim x 3 x 3 2 t 5t + 6 18) lim 2 t 2 t t 2 16) lim u 2 + 6u 7 u 1 u 2 1 4 x 20 lim x4 2 x x 25 21) lim x 25 x 5 19) lim

75 22) Trace la grfica de x2 2x 2 si si si x< 0 0