libro de estadistica

1

Ing. Leonardo Sánchez/ Ing. Carlos Burgos

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

2


INDICE

CAPÍTULO 1: ESTADÍSTICA 3

INTRODUCCIÓN 3

FUNCIONES 4

REPRESENTAIÓN GRÁFICA EN ESTADÍSTICA 5

GRAFICAS TIPO PASTEL O CIRCULARES 6

CÁLCULO PARA LA OBTENCIÓN DE PORCENTAJES 7

CÁLCULO PARA LA OBTENCIÓN DE PORCENTAJES DENTRO DE UNA GRÁFICA

TIPO PASTEL 8

GRÁFICO DE BARRAS 9

CAPÍTULO 2: FRECUENCIAS Y DISTRIBUCIONES 18

CAPITULO 3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 33

CAPÍTULO 4: MEDIDAS DE DISPERSIÓN 47

CAPÍTULO 5: MOMENTOS ESTADÍSTICOS 54

CAPÍTULO 6: PROBABILIDADES 59

CAPITULO 7: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 71

CAPITULO 8: MUESTREO 78

CAPITULO 9: ESTADISTICA INFERENCIAL 82

3


CAPÍTULO 1: ESTADÍSTICA

INTRODUCCIÓN

Los inicios de la estadística se remontan desde siglos pasados, tal es el caso del censo que

realizo Moisés después de la salida de Egipto, esto según la biblia, también existieron otros

censo como los realizados por el emperador TAO hacia el año 2200 AC. En la edad media

realizado por Carlomagno en el año 762.

La estadística es bien aplicada desde los años

La estadística es una rama de las matemáticas que se encarga de la recolección y estudio

de datos de una población, objetos, animales, etc.

La estadística es muy necesaria dentro de todos los campos, ya que permite a través de sus

|datos darnos valores para interpretar nuestros datos recogidos, pudiendo estos ser de

estudio o no.

Cuando se habla de estadística surge muchas preguntas:

¿Porque es importante la estadística?

Se vuelve importante en nuestra vida diaria, como por ejemplo en lo más simple cuando se

necesita saber cuál será el pronóstico de un equipo de futbol durante un partido, la suerte

que se tendrá a jugar a la ruleta dentro de un casino o tan simple como jugar a los volados,

y en otras mucho más complejas como saber la necesidad de evaluar la tasa de

crecimiento de una población, las notas de un grupo de estudiantes, el número de botellas

plásticas defectuosas, predecir el estado del clima en base a su comportamiento climático,

predecir el comportamiento de una banda de aves, se puede calcular el comportamiento

de un delincuente, en fin un montón de usos prácticos.

¿Cuáles son las ventajas de usar estadística?

Ofrece muchas ventajas como por ejemplo:

Pronosticar si un equipo ganara o no un campeonato

Realizar un estudio de una muestra, cualquiera que esta sea y que nos arroje sus

pronósticos

En los juegos de azar pronosticar si un evento tendrá o no una probabilidad que este

ocurra

Si se desea saber la probabilidad de fallo de un foco dentro de unos cien producidos

4


¿Por qué es necesario la estadística?

La estadística se vuelve necesaria ya que es lo que nos permite obtener una conclusión en

base a sus resultados, a esto se lo conoce como estadística inferencial.

¿Qué es la estadística descriptiva?

La estadística descriptiva se encarga de tomar la información, datos recogidos y

presentarla como un valor

¿Qué es la estadística inferencial?

La estadística inferencial es aquella que nos ayuda a dar una conclusión a los datos

obtenidos como resultados obtenidos en la estadística descriptiva

FUNCIONES

Si a cada valor posible de una variable x le corresponden uno o más valores de otra variable

y, entonces decimos que y es función de x, y escribimos:

y = f (x)

A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se le llama variable

dependiente.

Ejemplo 1. La población total P de Ambato está en función del tiempo t, y lo expresamos:

P (Ambato) = f (t)

Ejemplo 2. La longitud L de un eje de trasmisión está en función de su peso, expresándose:

L = f (P)

Ejemplo 3. Los profesores de la UTI (C), están en función del Rector (D) en cada una de las

Facultades.

C = f (D)

5


La dependencia funcional o correspondencia entre variables se anota en algunas

ocasiones en una tabla. Sin embargo, puede también indicarse con una ecuación que

conecta ambas variables, por ejemplo:

y = 6x + 12

Si x = 2, y la función de x puede escribirse como: y = f (x)

Entonces: f(x) = 6x + 12

Sustituyendo el valor de x tenemos: f (2) = 6(2) + 12

f (2)= 12 + 12

f (2) = 24

El concepto de función admite extensión a varias variables.

Ejemplo 14. Si z = 5x - 3y +11, hallar el valor de z correspondiente a:

a) x = 1, y = 4

Sustituyendo tenemos:

z = 5(1)- 3(4) +11

z = 5 -12 +11

z = 4

b) x = -2, y = -5

Sustituyendo tenemos:

z = 5(- 2)-3(- 5) +11

z = -10 +15 +11

z = 16

REPRESENTAIÓN GRÁFICA EN ESTADÍSTICA

Un gráfico es una representación de la relación entre variables. Muchos tipos de gráficos

aparecen en Estadística; según la naturaleza de los datos involucrados y el propósito del

gráfico. Entre los más comunes tenemos:

1.-Los gráficos de pastel también conocidos como circulares.

2.-Los gráficos de barras.

3.-Los gráficos a base de pictogramas.

6


Para realizar cualquier tipo de grafica primero se debe tener los datos representados y

debidamente ordenado en una tabla

GRAFICAS TIPO PASTEL O CIRCULARES

Las gráficas tipo pastel o circulares nos permiten visualizar de una mejor manera la relación

entre una variable cualitativa (o discreta) y su porcentaje, su ventaja se encuentra en que

para pocas variables de estudio es más notoria visualmente que al aplicarse otro método

grafico

Los siguientes datos representan las áreas de las provincias del Ecuador en kilómetros

cuadrados.

PROVINCIAS AREAS (Km2)

AZUAY 8639

BOLIVAR 3254

CAÑAR 3908

CARCHI 3699

CHIMBORAZO 5287

ESMERALDAS 6569

GUAYAS 17139

PICHINCHA 9612

TUNGURAHUA 3334

Tabla 1 Áreas de las provincias de Ecuador en Km2

Paso 1 Con los datos e información de la tabla 1 Calcular los porcentajes para cada

provincia.

a) Para calcular el porcentaje de cada área primero se debe sumar todos los valores

correspondientes a cada provincia.

PROVINCIAS AREAS (Km2)

AZUAY 8639

BOLIVAR 3254

CAÑAR 3908

CARCHI 3699

CHIMBORAZO 5287

ESMERALDAS 6569

GUAYAS 17139

PICHINCHA 9612

TUNGURAHUA 3334

∑= 61441

Tabla 2 Suma de las áreas de cada provincia

7


b) Luego de sumadas se debe realizar la regla de tres simple para calcular el área

correspondiente. El porcentaje total será igual a 100 una vez sumado cada uno de

sus valores.

CÁLCULO PARA LA OBTENCIÓN DE PORCENTAJES

𝐴𝑧𝑢𝑎𝑦 =8639

61441𝑥100 = 14.061

𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑎𝑟 =3254

61441𝑥100 = 5.3

𝐶𝑎ñ𝑎𝑟 =3908

61441𝑥100 = 6.36

𝐶𝑎𝑟𝑐ℎ𝑖 =3699

61441𝑥100 = 6.02

𝐶ℎ𝑖𝑚𝑏𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜 =8639

61441𝑥100 = 8.61

𝐸𝑠𝑚𝑒𝑟𝑎𝑙𝑑𝑎𝑠 =6569

61441𝑥100 = 10.69

𝐺𝑢𝑎𝑦𝑎𝑠 =17139

61441𝑥100 = 27.9

𝑃𝑖𝑐ℎ𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎 =9612

61441𝑥100 = 15.64

𝑇𝑢𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎ℎ𝑢𝑎 =3334

61441𝑥100 = 5.43

PROVINCIAS AREAS (Km2) PORCENTAJE %

AZUAY 8639 14,06

BOLIVAR 3254 5,30

CAÑAR 3908 6,36

CARCHI 3699 6,02

CHIMBORAZO 5287 8,61

ESMERALDAS 6569 10,69

GUAYAS 17139 27,90

PICHINCHA 9612 15,64

TUNGURAHUA 3334 5,43

∑= 61441 100,00 Tabla 3 Porcentajes correspondientes a cada área de provincia

8


CÁLCULO PARA LA OBTENCIÓN DE PORCENTAJES DENTRO DE UNA

GRÁFICA TIPO PASTEL

c) Se calcula los grados a los que les corresponder cada área calculada dentro de la

circunferencia (Grafica de pastel)

𝐴𝑧𝑢𝑎𝑦 =14.06

100𝑥360° = 50.62

𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑎𝑟 =5.3

100𝑥360° = 19.07

𝐶𝑎ñ𝑎𝑟 =6.36

100𝑥360° = 22.9

𝐶𝑎𝑟𝑐ℎ𝑖 =6.02

100𝑥360° = 21.67

𝐶ℎ𝑖𝑚𝑏𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜 =8.61

100𝑥360° = 30.98

𝐸𝑠𝑚𝑒𝑟𝑎𝑙𝑑𝑎𝑠 =10.69

100𝑥360° = 38.49

𝐺𝑢𝑎𝑦𝑎𝑠 =27.9

100𝑥360° = 100.42

𝑃𝑖𝑐ℎ𝑖𝑛𝑐ℎ𝑎 =15.64

100𝑥360° = 56.32

𝑇𝑢𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎ℎ𝑢𝑎 =5.43

100𝑥360° = 149.53

Para graficar cada uno de los ángulos calculados se deberá utilizar un graduador

y representarlo sobre su gráfica.

9


GRÁFICO DE BARRAS

Dentro de la representación grafica de barras se tiene:

Según a orientación.- Vertical u Horizontal

Según su tipo.- Pueden ser Sencillo, agrupados y apilados

HISTOGRAMA

Un histograma permite comparar valores con respecto a una variable cualitativa y

una cuantitativa. Esta no se ve limitada por el número de variables, ya que su

comparación la una de la otra no depende del espacio utilizada por otra variable

en comparación al grafico de pastel. La orientación de estos gráficos se puede

mostrar de manera vertical u horizontal según convenga ver figura 1 y 2

respectivamente.

Gráfico de barras Sencillos.- Para este tipo de gráfico el orden de la distribución de

variables se muestra como la figura 1 con una única serie de datos.

AZUAY

14%BOLIVAR

5%

CAÑAR

6%

CARCHI

6%

CHIMBORAZ

O

9%ESMERALDAS

11%

GUAYAS

28%

PICHINCHA

16%

TUNGURAHU

A

5%

ÁREAS (Km2)

10


Figura. 1 Gráfico de barras sencillo con una única serie de datos con la variable cuantitativa en

sentido vertical

Figura. 2 Grafico de barras sencillo con una única serie de datos con a variable cuantitativa en

sentido vertical

Gráfico de barras agrupado.- Este tipo de gráfico es utilizado para comparar los

valores de ciertas variables conforme al tiempo y las demás variables.

En la tabla 4 se tiene los datos de población de la provincia de Tungurahua según

el censo del 2010 y se la compara con la del censo del 2001

02000400060008000

1000012000140001600018000

AREAS (Km2)

AREAS (Km2)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

AZUAY

BOLIVAR

CAÑAR

CARCHI

CHIMBORAZO

ESMERALDAS

GUAYAS

PICHINCHA

TUNGURAHUA

AREAS (Km2)

11


Rango de edad

Año 2001

% Año 2010 %

95 a mas 1098 0,2 398 0,1

90 a 94 1275 0,3 1207 0,2

85 a 89 2764 0,6 3163 0,6

80 a 84 4550 1,0 5612 1,1

75 a 79 6850 1,6 7867 1,6

70 a 74 8606 2,0 10581 2,1

65 a 69 10372 2,4 13675 2,7

60 a 64 12470 2,8 15761 3,1

55 a 59 13602 3,1 18951 3,8

50 a 54 17837 4,0 21629 4,3

45 a 49 19456 4,4 26371 5,2

40 a 44 23705 5,4 28966 5,7

35 a 39 27678 6,3 32874 6,5

30 a 34 30367 6,9 37189 7,4

25 a 29 33298 7,5 42233 8,4

20 a 24 41475 9,4 45622 9,0

15 a 19 45287 10,3 49701 9,8

10 a 14 47913 10,9 49194 9,7

5 a 9 48158 10,9 48391 9,6

0 a 4 44273 10,0 45198 9,0

441034 100,0 504583 100,0

Tabla 4 Tabla de población según el INEC 2010 vs 2001

Figura. 3 Grafico de barras vertical agrupado de población de Tungurahua

0

10000

20000

30000

40000

50000

95 a

ma

s

90 a

94

85 a

89

80 a

84

75 a

79

70 a

74

65 a

69

60 a

64

55 a

59

50 a

54

45 a

49

40 a

44

35 a

39

30 a

34

25 a

29

20 a

24

15 a

19

10 a

14

5 a

9

0 a

4

Población de la pronvincia de

Tungurahua

Año 2001 Año 2010

12


Figura. 4 Grafico de barras horizontal agrupado de población de Tungurahua

Como se pude apreciar en la figura 3 y 4, el grafico de barras agrupado, muestra

la asociación de la misma variable, en este caso el rango de la edad en años

diferentes, los cuales muestran valores de rango de edad en periodos diferentes,

este grafico permite comparar los valores de la misma variable en diferentes

periodos, lo que nos permite apreciar de manera visual el aumento de la población

con respecto al año anterior.

POLIGONOS DE FRECUENCIA

El polígono de frecuencia nace de un histograma y de la unión de sus puntos

medios, tal y como se muestra en la siguiente figura.

Poner grafico aqui

EJERCICIOS

1. La siguiente tabla muestra un promedio del rendimiento en consumo de diésel

en 50 viajes de la ruta Quito Guayaquil de Transportes Baños. Construir un

Histograma y un polígono de frecuencia.

KILOMETROS

POR LITRO

NÚMERO

DE VIAJES

4.50 3

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

95 a mas

85 a 89

75 a 79

65 a 69

55 a 59

45 a 49

35 a 39

25 a 29

15 a 19

5 a 9

Población de la pronvincia de

Tungurahua

Año 2010 Año 2001

13


5.50 8

6.50 9

7.50 11

8.50 8

9.50 7

10.50 4

Tabla 5

2. En las elecciones de 2014 para Alcaldes, se obtuvieron los siguientes resultados en el cantón

Ambato, correspondiente a la provincia de Tungurahua. Elaborar un gráfico de pastel.

PARTIDO PORCENTAJE (%)

PRIAN 33.59%

PAIS 53.31%

MPD 7.15%

SUMA 0.62%

PACHACUTIK 1.01%

PSC 0.00%

PRE 0.01%

PPBC 1.26%

OTROS 0.00%

NULOS 2.85%

Tabla 6

3. La elecciones 2014 para alcaldes, en Ecuador, arrojaron las siguientes cifras:

CANDIDATO PARTIDO VOTOS PORCENTAJE

VOTOS

Luis Amoroso Avanza 151,739 36.66%

Alexis Sánchez Alianza País 100,951 24.38%

Javier Altamirano CCJM 153,949 37.18%

Otros 7,314 1.78%

Tabla 7

Votos Totales = 413,953

Padrón Electoral= 817,466

Elaborar un gráfico de pastel, para representar la información de la tabla mostrada.

14


4. En la Unidad Educativa Bolívar, la distribución de grupos y su correspondiente cantidad de

alumnos, era la siguiente en los turnos matutino y vespertino, en el ciclo escolar septiembre 2005 a

junio 2006.

TURNO MATUTINO TURNO VESPERTINO

GRUPO ALUMNOS GRUPO ALUMNOS

1 AP 44 1 CP 42

1 BP 44 1 DP 43

1 AM 44 1 EP 42

1 BM 44 1 FP 44

1 AT 44 1 CM 41

3 AP 38 1 DM 37

3 BP 40 1 BT 40

3 CP 38 1 SFT 52

3 AM 39 3 DP 40

3 BM 38 3 EP 40

5 AP 36 3 CM 35

5 BP 31 3 SFT 18

5 CP 32 5 DP 26

5 AM 52 5 CM 47

Tabla 8

Representar gráficamente, tanto en Histograma y polígono de frecuencias como en gráficos de pastel.

5. La tabla mostrada, representa las temperaturas de algunas ciudades del Ecuador. Se dan a conocer

las máximas y las mínimas en centígrados (°C). La información corresponde al día domingo 21 de

abril de 2006.

CIUDAD MAXIMA(°C) MINIMA(°C)

Ambato 20 10

Quito 19 12

Atacames 19 13

Salinas 19 9

Puyo 26 10

15


Cuenca 23 12

Huaquillas 27 13

Esmeraldas 34 15

Babahoyo 33 15

Manta 32 14

Guayaquil 35 16

Portoviejo 29 15

Tabla 9

Construir un Histograma y un polígono de frecuencias, tanto para las temperaturas máximas como

para las mínimas.

6.- La nómina de los estudiantes de un curso de dibujo de la tabla 10 arroja las siguientes

calificaciones.

NOMBRES DEBERES TRABAJOS

LEONEL FERNANDO 8.3 9.3

DANNY ISRAEL 7.7 7.7

FRANCIS ANDRES 5.4 8.2

ADRIANA ELIZABETH 9.4 9.5

CYNTHIA ALEJANDRA 8.7 9.4

JHONATAN LUIGGY 9.0 7.7

PABLO MARCELO 2.0 6.5

WILSON ALEXANDER 8.4 8.5

MARLON ALEXIS 9.5 4.7

JORGE FERNANDO 9.8 9.2

DARWIN ISRAEL 7.6 8.0

JAIME OMAR 2.5 6.0

CHRISTIAN FERNANDO 3.0 5.7

FERNANDO ISRAEL 8.4 8.7

FERNANDA ELIZABETH 7.5 8.3

OLVER FELIPE 6.0 8.0

MERCEDES ELIZABETH 8.9 8.7

EDISON LENIN 7.9 7.8

HENRY VINICIO 9.4 8.8

FRANKLIN JAVIER 9.0 8.8

FERNANDO JOEL 8.5 8.0

DARWIN ALCIDES 2.8 4.0

JUANA GABRIELA 9.6 9.8 Tabla 10

16


Realice un histograma de frecuencias acumuladas con cada una de los alumnos.

7.- La tabla 11 muestra un historial de repeticiones con su Throughput “TH” (Cantidad promedio de

productos no defectuosos producidos por unidad de tiempo)

Repeticiones TH Sistema

Actual

1 18

2 32

3 26

4 15

5 33

6 27

7 17

8 27

9 35

10 24

11 31

12 34

13 22

14 27

15 22

Tabla 11

Realice un histograma con los datos de la tabla 11

8.- El tiempo requerido por 50 diferentes empleados para realizar un mismo trabajo fue medido con

el siguiente resultado:

Em

ple

ad

o

Tiempo

(min)

Em

ple

ad

o

Tiempo

(min)

Em

ple

ad

o

Tiempo

(min)

Em

ple

ad

o

Tiempo

(min)

Em

ple

ad

o

Tiempo

(min)

1 0.01 11 0.26 21 0.53 31 1.03 41 2.03

2 0.02 12 0.34 22 0.54 32 1.1 42 2.03

3 0.04 13 0.35 23 0.63 33 1.28 43 2.16

4 0.05 14 0.36 24 0.66 34 1.42 44 2.62

5 0.1 15 0.36 25 0.79 35 1.49 45 2.67

17


6 0.15 16 0.38 26 0.8 36 1.5 46 2.81

7 0.17 17 0.39 27 0.8 37 1.73 47 3.53

8 0.21 18 0.45 28 0.82 38 1.8 48 4.29

9 0.24 19 0.48 29 0.9 39 1.88 49 4.91

10 0.26 20 0.53 30 1 40 1.9 50 5.5

Realice un histograma con los datos de la tabla

9.-Se desarrolló un modelo de cuerda con siete fibras de Nylon de diferente diámetro, el mismo que

soporto una carga en Newton de 18.9; 22.0; 19.4; 22.1; 19.8; 21.9; 20.2, respectivamente. Elabore

una gráfica tipo pastel para cada una de las fibras y señale cual es la que soporto mayor carga en

Newton.

10.-En una fábrica de producción de cocinas se tiene tres líneas de producción, la primera produce

cocinas del tipo A eléctricas con 50 Unidades por mes, la segunda línea produce cocinas a gas del

tipo A cantidad 35 Unidades por mes y la tercera produce calefones del tipo A con 45 Unidades por

mes, el dueño de la empresa necesita leer los datos en un diagrama tipo pastel.

18


CAPÍTULO 2: FRECUENCIAS Y DISTRIBUCIONES

Al obtener datos producto de un levantamiento de información, es recomendable resumirlos o

agruparlos de manera que si existen valores con la misma cantidad o pertenecientes a un rango, estos

sean representados por su frecuencia, a esta recolección de datos también se la conoce como fila de

datos.

Frecuencia.-Es la cantidad asignada a un valor sea este un nombre o un número. Ejemplo. Existen 4

chaquetas de color café, 5 chaquetas de color blanco y 10 chaquetas de color azul.

CHAQUETAS Frecuencia

Color café 4

Color blanco 5

Color azul 10

Orden.- Al recoger información de una cierta muestra es recomendable ordenarla de manera

ascendente o descendente según convenga.

Rango.-Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de número ordenados.

Tomando como modelo el ejemplo anterior, el rango entre las chaquetas de color es: 10-4=6

Datos no agrupados.-Estos datos son los obtenidos por el levantamiento o recolección de

información los cuales pueden estar o no ordenados (variable aleatoria).

Ejemplo. Las edades de 30 personas están representadas en la siguiente tabla

10 8 15 22 12 22

10 14 21 21 16 18

16 26 30 25 8 30

17 20 24 35 16 27

8 17 21 10 25 30 Tabla 12

Datos agrupados.-Estos datos se obtienen producto de un orden establecido por la persona que

someterá a estudio dichos datos. Ejemplo. Las edades de 30 personas del ejemplo anterior están

representadas en la siguiente tabla.

Edades (años) Frecuencia (f)

8 3 10 3 12 1 14 1

Límite Inferior (Li)

Límite superior

(Ls)

19


15 1 16 3 17 2 18 1 20 1 21 3 22 2 24 1 25 2 26 1 27 1 30 3 35 1

Tabla 13

Distribución de Frecuencias.- Una distribución de frecuencias es una tabla en la cual se agrupa en

clases los valores posibles para una variable y se registra el número de valores observados que

corresponde a cada clase.

En la tabla se agrupa en clase los valores posibles de una variable y se registra el número de valores

observados que corresponde a una clase

Número de clase.- El número de clase, es la división en la cual podemos ordenar la toma de datos

obtenidos en campo. Una fórmula de aproximación para calcular el número de clases es la llamada

Regla de Sturges, la cual matemáticamente se define como:

no = 1 + 3.32log (n)

Dónde:

no = total de número de clases

n = total de datos obtenidos en campo.

log = logaritmo de Briggs.

Amplitud de clase.- Es el valor que se le aumenta a la cantidad menor de los datos o valores

Obtenidos, para así elaborar las distribuciones de frecuencia, matemáticamente se expresa:

𝐴 =𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑚𝑖𝑛

𝑛𝑜

20


Dónde:

Vmax = valor máximo de los datos obtenidos en campo.

Vmin = valor mínimo.

no = número de clases.

El resultado final de la amplitud de clase debe estrictamente obtenerse en número entero; en caso

contrario deberá redondearse, si el decimal es mayor a 0.5 se aumentara una unidad al resultado

obtenido.

Intervalos de clase Indica el rango de los valores incluidos dentro de una clase y puede ser

determinado restando el límite exacto inferior de clase de su límite exacto superior.

Marca de dase.-La marca de clase es un punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando

los límites inferior y superior de clase. La marca de clase se denomina también punto medio de la

base. Generalmente se representa por x. ver tabla 15

Frecuencia.- Se define como el número de veces en que se repite un suceso y se representa por la

letra f.

Histograma.-Un Histograma o Histograma de frecuencias, consiste en un conjunto de rectángulos,

que pueden ser:

(a) Con bases en el eje x horizontal, centros en las marcas de clase y longitudes iguales a los tamaños

de los intervalos de clase.

(b) Áreas proporcionales a las frecuencias de clase.

Polígono de Frecuencias. Es un gráfico de trozos de la frecuencia de clase con relación a la marca de

clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del

Histograma.

Distribuciones de Frecuencias Relativas.- La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia

dividida por la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje, por

lo tanto la suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 100%. Si se acumulan las frecuencias

relativas de varias clases, a la tabla obtenida, se le llama "tabla de frecuencia relativas".

Comentado [WU1]: Este párrafo de cambiar de orden

21


𝑓𝑟 =𝑓𝑟

∑𝑓𝑟𝑇

Donde:

Fr.-frecuencia relativa

∑𝑓𝑟𝑇.-Sumatoria total de frecuencias relativas

Distribuciones de Frecuencias Acumuladas.- La frecuencia total de todos los valores menores que

la frontera de clase superior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta ese

intervalo de clase. Una tabla que presenta varias frecuencias acumuladas se llama "tabla de

frecuencias acumuladas". A las distribuciones de frecuencias acumuladas también se les conoce como

"ojivas". Esta tabla nos sirve para ver el comportamiento que tiene una variable respecto de otra,

debido a que su valor es la suma de acumulada de las variables anteriores.

Curvas de Frecuencia.- Los datos obtenidos pueden considerarse usualmente como pertenecientes

a una muestra de una población grande. Ya que son posibles muchas observaciones sobre esa

población, siendo posible escoger intervalos de clase muy pequeñas y tener todavía números

razonables en cada clase.

Ejemplo 1. Los datos siguientes representan el tiempo que tarda un autobús de la cooperativa Unión

en la línea 8, en recorrer del punto A al punto B. El tiempo se mide en minutos y en promedio se

realiza 60 recorridos por día. Elaborar una tabla de registro de datos, además construir el Histograma

y polígonos de frecuencias respectivos. El tiempo corresponde al recorrido de dicha ruta.

75 71 68 67 72 70 69 78 64 71

74 72 66 69 73 76 68 70 70 73

62 67 65 72 74 75 65 77 66 71

67 82 79 78 78 64 64 63 68 69

64 80 80 81 82 66 65 69 67 62

71 70 77 74 71 74 75 75 76 77

Tabla 14

Solución.

Comentado [WU2]: CAMBIAR DE ORDEN

22


Primeramente se localizan los números mayor y menor.

Valor máximo=82 Valor mínimo=62

Calculando el número de clases: no = 1 + 3.32log n

n = número de datos; n = 60 Sustituyendo:

no = 1 + 3.32log60

no = 1 + 5.9035

no = 6.9035

La Amplitud de clase:

𝐴 =𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑚𝑖𝑛

𝑛𝑜

𝐴 =82 − 62

6.9035

A = 2.90

Hay que recordar que por definición el valor de la amplitud de clase debe representarse en números

enteros, por lo tanto:

A = 3.0

Tabla de Registro de Datos: Distribución de Frecuencias Relativas y Acumuladas

Intervalos

de clase

Marca de

clase Frecuencia Frecuencia

X Relativa Acumulada

fr Fa

62 - 65 63.5 10 10

66 - 69 67.5 14 24

70 - 73 71.5 14 38

74 - 77 75.5 13 51

78 - 81 79.5 7 58

82 - 85 83.5 2 60 Tabla 15

Ejemplo 2.Segun las estadísticas del INEC (instituto ecuatoriano de estadísticas y censos) del año

2010, los porcentajes de analfabetismo por provincia fueron:

23


# Provincia Tasa de

Analfabetismo por Provincias

1 Galápagos 1,3%

2 Pichicha 3,5%

3 El oro 4,1%

4 Guayas 5,0%

5 Santa Elena 5,2%

6 Zamora Chinchipe 5,5%

7 Loja 5,8%

8 Carchi 6,2%

9 Napo 6,3%

10 Santo Domingo 6,3%

11 Orellana 6,5%

12 Morona Santiago 6,6%

13 Azuay 6,7%

14 Sucumbíos 6,8%

15 Pastaza 6,9%

16 Tungurahua 7,5%

17 Los Ríos 9,3%

18 Esmeraldas 9,8%

19 Manabí 10,2%

20 Imbabura 10,6%

21 Zonas no delimitadas

12,0%

22 Cañar 12,2%

23 Chimborazo 13,5%

24 Cotopaxi 13,6%

25 Bolívar 13,9% Tabla 16

(a) Construir una tabla de frecuencias relativas y acumuladas.

(b) Construir un Histograma y polígono de frecuencias.

Solución:

Valor máximo=13.9 Valor mínimo=1.3

Número de clases: no = 1 + 3.32log n donde n =25

no = 1 + 3.32log25

no = 1 + 4.64

24


no = 5.64=6

La Amplitud de clase: A

𝐴 =13.9 − 1.3

6

A = 2.196

INTERVALOS

# Clases

Li Ls frecuencia Relativa Fr

1 1.3 3.4 1

2 3.4 5.5 5

3 5.5 7.6 14

4 7.6 9.7 14

5 9.7 11.8 16

6 11.8 13.9 19

Tabla de Registro de Datos: Distribución de Frecuencias Relativas y Acumuladas

2. TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIA

Las curvas de frecuencia que aparecen, en la práctica adoptan ciertas formas características, como

se ilustra en las siguientes figuras.

Simetría en forma de campana

25


a) Las curvas de frecuencias simétricas o en forma de campana (1), se caracterizan porque las

observaciones equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. Un ejemplo importante

es la curva normal.

b) En las curvas de frecuencias poco asimétricas o sesgadas (2 y 3), la cola de la curva a un lado

del máximo central es más larga que al otro lado. El sesgo de la cola puede ser a la derecha o

hacia la izquierda.

c) En una curva en forma de 'J' o de 'J invertida' (4 y 5), hay un máximo en un extremo.

d) Una curva de frecuencia en forma de 'U' tiene máximos en ambos extremos.

e) Una curva de frecuencia bimodal (6) tiene dos máximos.

f) Una curva de frecuencia multimodal (7) tiene más de dos máximos.

26


GRÁFICOS DE PASTEL

Los gráficos de pastel son especialmente apropiados para ilustrar las divisiones de una cantidad total,

tal como la distribución de los egresos o los ingresos de una empresa. Un gráfico de pastel en

porcentajes es aquella en la que los valores se convierten en porcentajes para que resulte más fácil

compararlos.

Ejemplo 3. De acuerdo a un sondeo a egresados de la Facultad de Administración y Negocios de la

Universidad del Sur de California (USC) de Los Ángeles, los siguientes datos representan el número

de egresados por especialidad. Construir un gráfico de pastel.

ESPECIALIDAD GRADUADOS PORCETAJE EGRESADOS

(%)

ANGULO Grados (°)

Contador Fiscal 73 28.85 104

Finanzas 52 20.55 74

Gerencia 36 14.23 51

Mercadotecnia 64 25.30 91

Otros 28 11.07 40

TOTAL 253 100 % 360°

CALCULO PAREA LA OBTENCIÓN DE LOS ÁNGULOS

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 =28.85

100𝑥360° = 103.86

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 =20.55

100𝑥360° = 73.98

𝐺𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =14.23

100𝑥360° = 51.23

𝑀𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑡𝑒𝑐𝑛𝑖𝑎 =25.03

100𝑥360° = 91.08

𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠 =11.07

100𝑥360° = 39.85

27


Ejemplo 4. De acuerdo a un estudio de Mercado sobre preferencias en los medios masivos de

comunicación, haciendo referencia a la televisión pagada de los ecuatorianos. Los porcentajes de cada

televisora corresponden al horario “DRTV PLUS”de 9:00 a 11:00 de la noche. Elaborar un gráfico

de pastel con datos del estudio realizado entre septiembre de 2011 y abril de 2012

TELEVISORAS PORCETAJE AUDIENCIA

(%)

ANGULO Grados (°)

CBS 23.00 83

ABC 20.00 72

NBC 18.00 65

FOX 11.00 40

Otros 28.00 100

TOTAL 100.00 360°

CÁLCULO PAREA LA OBTENCIÓN DE LOS ÁNGULOS

𝐶𝐵𝑆 =23.00

100𝑥360° = 103.86

𝐴𝐵𝐶 =20.00

100𝑥360° = 73.98

𝑁𝐵𝐶 =18.00

100𝑥360° = 51.23

Contador

Fiscal

29%

Finanzas

21%

Gerencia

14%

Mercadotec

nia

25%

Otros

11%

GRADUADOS

28


𝐹𝑂𝑋 =11.00

100𝑥360° = 91.08

𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠 =28.00

100𝑥360° = 39.85

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Con el siguiente grupo de números 13, 57,43, 22, 6, 19, 11, 9, 62, 35, 66, 24:

(a) Ordenar de menor a mayor.

(b) Hallar el intervalo de clase.

2. Los siguientes datos representan el número de clientes en el Restaurante "El lince" en los dos

primeros meses de 2006

140 130 125 90 60 140 160 125 180 140

125 90 130 75 62 70 80 45 62 72

95 64 80 92 115 80 30 84 40 75

110 115 130 90 70 125 95 64 72 130

70 95 50 115 120 60 180 130 70 60

130 60 30 140 40 80 110 115 120 130

CBS

23%

ABC

20%

NBC

18%

FOX

11%

Otros

28%

PORCETAJE AUDIENCIA (%)

29


Encontrar:

(a) El valor máximo

(b) El valor mínimo

(c) El rango

(d) Los siete mayores

(e) Los siete menores

(f) El treceavo en forma ascendente (de menor a mayor)

(g) Los días en que el número de clientes supera los tres dígitos

(h) Los días en que el número de clientes solo llego a los dos dígitos

(i) Construir una tabla de registros de datos (Distribución de Frecuencias)

(j) Construir un Histograma y el polígono de frecuencias

(k) Construir un polígono de frecuencias acumuladas

3. De acuerdo a la Secretaría de Turismo de Ecuador los siguientes son los principales hoteles con

mayor número de cuartos, en la "Ciudad de Baños". Construir un gráfico de pastel con el porcentaje

de cuartos que cobre cada uno de los hoteles de la ciudad de Baños

HOTEL # CUARTOS HOTEL # CUARTOS

Samari Spa Resort 1426 Luna Runtun Adventure Spa 2024

Napolitano Apart & Hotel 2700 Hosteria Finca Chamanapamba 3991

Miramelindo Spa Hotel 1350 Hotel Sangay 3479

La Floresta Hotel 2891 Volcano Hotel 2700

Hotel Puerta del Sol 5034 Hotel Alisamay 1720

Hotel el Belen 3003 Hostal Familiar Las Granadillas 1878

30


Casa Amarilla 4400

PROBLEMAS PARA RESOLVERSE EN EQUIPO

4. En equipos de 4 personas, realizar lo siguiente:

(a) Lanzar 4 monedas 50 veces y anotar el número de "sellos" obtenidos en cada ocasión.

(b) Construir una distribución de frecuencias que indique el número de veces que se han obtenido

0,1, 2, 3 y 4 "sellos".

(c) Construir una distribución de porcentajes correspondientes a la parte del inciso anterior.

(d) Comparar el porcentaje obtenido en (c) con los teóricos 6.25%, 25%, 37.5%, 25% y 6.25%,

deducidos por las leyes de las probabilidades.

5. Los siguientes datos representan el número de horas ante grupo de un total de 40 Maestros

(Catedráticos) del CONALEP Mexicali II, son horas durante una semana.

20 5 12 3 14 18 20 17 5 13

17 15 16 11 12 5 13 16 12 3

8 13 13 12 5 8 8 14 17 17

13 11 9 18 20 15 12 8 14 20

(a) Construir una tabla de Registro de Datos.

(b) Construir un Histograma de polígonos de frecuencia.

(c) Construir un polígono de frecuencias acumuladas.

6. Hasta el día 12 de Mayo de 2006, así se encontraban las estadísticas del campeonato nacional de

futbol Profesional:

31


EQUIPO GANADOS PERDIDOS

Liga de quito 21 13 Nacional 19 13

Bacerlona 19 15

Emelec 15 20

Deportivo Quito 14 21

Independiente 23 10

Macara 21 13

Técino 17 18

Cuenca 15 19

Manta 10 22

Espoli 18 17

Liga de loja 17 17

(a) Construir un Histograma de los juegos ganados

(b) Construir un Histograma de los juegos perdidos

(c) Construir un Histograma de los juegos ganados y perdidos

7. Los trasatlánticos más grandes que han existido se enlistan en la siguiente tabla:

(a) Construya un gráfico de pastel con respecto al tonelaje de los barcos.

BARCO EMPRESA TONELADAS MODELO

Titanic White Star 46,329 1912

Queen Elizabeth 2 Cunard 70,327 1969

Queen Mary 2 Cunard 151,400 2004

Freedom of the seas Royal Caribbean 160,000 2006

8. Los siguientes datos indican el número de trabajadores que faltan a una fábrica en 50 días de

trabajo:

13 5 13 37 10 16 2 11 6 12

8 21 12 11 7 7 9 16 49 18

32


3 11 19 6 15 10 14 10 7 24

11 3 6 10 4 6 32 9 12 7

29 12 9 19 8 20 15 5 17 10

(a) Hallar los cinco valores mayores.

(b) Hallar los cinco valores menores.

(c) Construir una tabla de Registro de Datos (Distribución de Frecuencias).

(d) Construir un Histograma y Polígono de frecuencias.

(e) Construir un Polígono de frecuencias acumuladas.

9. Las mediciones de la temperatura de licuación de un gas varían de 1161 a 1319°F (grados

Fahrenheit). Construir una tabla con ocho clases iguales en las cuales estos datos podrían ser

Agrupados. Calcular:

(a) Los límites de clase

(b) Las fronteras de clase

(c) Las marcas de clase

(d) El intervalo de clase

10. La siguiente tabla se basa en datos publicados en los Indicadores Económicos del Banco de

Central del Ecuador, y son datos preliminares correspondientes a diciembre de 1988. Construir una

gráfica de pastel porcentual de las exportaciones de Ecuador

CATEGORIA DE CANTIDAD

EXPORTACION (millones de dólares)

Petroleras 560.10

Agropecuarias 143.00

Extractivas 49.90

Manufactureras 951.10

.

33


CAPITULO 3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos, como tales valores suelen

situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen

como medidas de tendencia central.

Se definen varios tipos, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana, la moda y la media

geométrica. Cada uno tiene ventajas y desventajas, según los datos y el objetivo perseguido.

MEDIA ARITMETICA (�̅�)

La media aritmética o promedio aritmético, se define como la división de la suma de todos los valores

entre el número de valores.

En Estadística es normal representar una medida descriptiva de una población, o parámetro

poblacional, generalmente mediante letras griegas, en tanto que se utilizan letras romanas para las

medidas descriptivas de muestras, conocidas también como "Estadísticas Muestrales".

La media aritmética, matemáticamente se expresa:

�̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

Dónde:

(�̅�) = media aritmética.

xi= suma total de datos que componen la población o muestra.

n = número de datos de la población o tamaño de la muestra.

Ejemplo1. Calcular la media aritmética de los números: 9, 4, 6, 13 y 11

34


�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6

𝑛

�̅� =9 + 4 + 6 + 13 + 11

5

(�̅�)=8.6

Notación de Suma.

El símbolo ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 representará la suma de todos los xi desde i= 1 a i= n, por definición:

∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

Ejemplo 2. Escribir explícitamente los términos de la sumatoria:

∑ 𝑥𝑖

8

𝑖=1

= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8

Cálculo de la media aritmética para datos agrupados

�̅� =∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Donde:

�̅� = media aritmética

fi = frecuencia

xi = marca de clase

n = número de datos de la población o tamaño de la muestra

Ejemplo 3. Calcular la media aritmética de los valores 6, 9, 7 y 3 si suceden con frecuencias de 4, 3,

5 y 2 respectivamente.

Marca de clase

x

Frecuencia

Relativa

f

6 4

9 3

7 5

3 2

35


Ejemplo 4. Calcular la media aritmética de los valores mostrados en la tabla de distribución

Intervalos de clase

Marca de clase

x

Frecuencia

Relativa

f

Frecuencia Acumulada

fa

62 - 65 63.50 10 10

66 - 69 67.50 14 24

70 - 73 71.50 14 38

74 - 77 75.50 13 51

78 - 81 79.50 7 58

82 - 85 83.50 2 60

�̅� =63.5(10) + 67.5(14) + 71.5(14) + 75.5(13) + 79.5(7) + 83.5(2)

10 + 14 + 14 + 13 + 7 + 2

�̅� = 71.43

LA MEDIA ARITMETICA PONDERADA

La media aritmética ponderada a veces se asocia con los números x1, x2, x3, xk ciertos factores peso

o "de peso" w1,w2,w3.wk, dependientes de la relevancia asignada a cada número, entonces:

�̅� =∑ 𝑤. 𝑥

∑ 𝑤=

𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 + 𝑤3𝑥3 + ⋯ + 𝑤𝑘𝑥𝑘

𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + ⋯ + 𝑤𝑘

Ejemplo 5. Si el examen final de Tópicos de Actualización cuenta tres veces más que una evaluación

parcial y un estudiante tienen calificación 85 en el examen final y, 70 y 90 en los dos parciales, la

calificación media es:

�̅� =∑ 𝑤. 𝑥

∑ 𝑤=

70(1) + 90(1) + 85(3)

1 + 1 + 3=

415

5= 83

LA MEDIANA (𝒙)̃

La mediana de un grupo de datos es el valor central o la media de los dos valores centrales que ocupa

un lugar de cuando se les agrupa a todos en ascendente o descendente. La mediana puede presentarse

de dos formas:

36


a) Cuando el total de datos son un número impar.- En este caso, la mediana será el dato que

queda exactamente en el centro, una vez ordenados los datos de menor a mayor.

Ejemplo 6. Hallar la mediana de: 6, 4, 8, 8, 3, 4, 8

Ordenando se tiene: 3, 4, 4, 6, 8, 8, 8

Luego entonces (𝑥)̃ = 6

Cuando el total de datos son un número par. Aquí debemos aplicar la siguiente fórmula:

�̃� =

𝑥(

𝑛2)

+𝑥(

𝑛2

+1)

2

Dónde:

N=número total de datos

Hallar la mediana del conjunto de números:

3, 6, 10, 11, 10, 11, 3, 13, 19, 10, 12, 8,

n = 12 , luego se acomodan de forma que se encuentren ordenados de menor a mayor

3, 3, 6, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 19

�̃� =

𝑥(

122 )

+𝑥(

122

+1)

2

�̃� =𝑥6+𝑥7

2

�̃� =10 + 10

2

�̃� = 10

LA MODA ( �̂�)

La Moda de un conjunto de números es el valor que sucede con mayor frecuencia, es decir, el valor

más frecuente. La moda puede no existir, o incluso no ser única en caso de existir; si existe dos veces,

se llama bimodal.

37


Ejemplo 8. Hallar la moda del siguiente grupo de datos:

2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18

Una vez ordenados de menor a mayor, el número que más veces se repite es el 9. La moda es 9.

En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar los

datos, la moda será el valor o valores de “ x ” correspondiente al máximo o “máximos” de la curva.

La moda puede deducirse de una distribución de frecuencias o de un histograma a partir de la fórmula:

�̂� = 𝑳𝟏 + (∆𝟏

∆𝟏 + ∆𝟐) 𝒄

L1 = Frontera inferior de la clase modal (clase que contiene la moda)

Δ1 = Exceso de frecuencia modal sobre la de la clase inferior inmediata

Δ2 = Exceso de la frecuencia modal sobre la clase superior inmediata

c = Ancho de intervalo de clase modal

CUARTILES DECILES Y PERCENTILES

CUARTILES.-Los cuartiles dividen un conjunto de datos (n) ordenados en cuatro partes iguales,

cada uno de los cuales toman un valor, Q1 para el primer cuartil toma el 25% de la muestra por debajo

de este y el 75% por encima de la muestra, Q2 para el segundo cuartil toma el 50% de la muestra por

debajo este y el 50% por encima de la muestra, el cuartil Q2 es igual a la mediana, Q3 para el segundo

cuartil toma el 75% de la muestra por debajo de la misma y el 25% por encima de la muestra; el

cálculo del cuarto cuartil no se lleva a cabo debido a que este toma el valor total de la muestra es decir

el 100%.

CÁLCULO DE CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

Cuartiles cuando (n) es par.-Cuando se tiene un conjunto de datos en la cual su número de datos es

par, la fórmula a aplicarse para encontrarse la posición 𝐹𝑖es:

𝐹𝑖 =𝑖. 𝑛

4

38


Dónde:

𝐹𝑖= Es la posición para el cuartil i=1,2, 3 ó 4

n= es el número total de datos

Li=Límite Inferior

Ls.-Límite superior

Las posiciones relativas que se tomaran para dicho conjunto cuando n es par serán:

Ejemplo:

De un termómetro se registraron las siguientes temperaturas 240 260 280 300 320 340 sus unidades

están en Grados celcius

Solución:

n= 6 par

1ro.- Se calcula la posición o ubicación para cada cuartil

𝐹1 =1. (6)

4= 1.5

𝐹2 =2. (6)

4= 3

𝐹3 =3. (6)

4= 4.5

39


Para calcular el valor de dicho cuartil cuando n es par o impar se debe utilizar la fórmula de la

interpolación lineal

𝑄𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑖(𝐿𝑠 − 𝐿𝑖)

4

Donde:

Li=Límite inferior de la clase del cuartil

Ls.- Límite superior de la clase del cuartil

i-Toma los valores de 1,2,3 o 4 dependiendo de la ubicación del cuartil que se requiera hallar

𝑄1 = 240 + 1(260 − 240)

4= 245

𝑄2 = 280 + 2(300 − 280)

4= 290

Como el cuartil 2 es igual a la mediana se puede comprobar dicho valor de cuartil calculando el valor

de la mediana, bajo el concepto de que le media es el valor central o la media de los dos valores

centrales

𝑀𝑒𝑑 =(300 + 280)

2= 290

𝑄3 = 300 + 3(320 − 300)

4= 315

𝑄4 = 240 + 4(340 − 0)

4= 245

Cuartiles cuando (n) es impar.-Cuando se tiene un conjunto de datos en la cual su número de datos

es impar, la fórmula a aplicarse para encontrarse la posición 𝑃𝑖es:

𝐹𝑖 =𝑖. (𝑛 + 1)

4

Dónde:

𝐹𝑖= Es la posición para el cuartil i=1,2, 3 ó 4

n= es el número total de datos

40


Las posiciones relativas que se tomaran para dicho conjunto cuando n es impar serán:

Para calcular el valor de dicho cuartil cuando n es par o impar se debe utilizar la fórmula de la

interpolación lineal

𝑄𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑖(𝐿𝑠 − 𝐿𝑖)

4

Ejemplo:

De la muestra anterior de temperaturas 240 260 280 300 320 340 se ha recogido una muestra adicional

más la cual marco 360, sus unidades están en Grados Celsius.

1ro calculamos la posición 𝐹𝑖

𝐹 =1. (7 + 1)

4= 2

𝐹2 =2. (7 + 1)

4= 4

𝐹3 =3. (7 + 1)

4= 6

Para obtener el valor de cada cuartil basta con ubicar la posición y tomar el valor asignado a la

posición, por ejemplo

Para la posición P1=2 tenemos el valor de Q1= 260



CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Para calcular los valores de cuartiles en datos agrupados se utiliza la siguiente formula

41


𝑄𝑖 = 𝐿𝑖 + (𝐹𝑖 − 𝐹𝑎𝑖

𝑓𝑐) ∗ 𝑐

𝐹𝑖 =𝑛 ∗ 𝑖

4

Donde:

Qi=Valor del cuartil para i=1,2 ó 3

Li=Límite inferior de la clase que contiene al cuartil

𝐹𝑖=Indica la posición de la medida

Fc=Frecuencia de clase que contiene a la medida solicitada

c=anchura de la clase

fai=Frecuencia acumulada anterior que contiene a la medida solicitada.

n=Número de datos

DIAGRAMA DE CAJA PARA CUARTILES

Para hacer más representativo la lectura e interpretación de los cuartiles se suele utilizar los diagramas

de caja conocidos también como “boxplots” o “box and whiskers” y describe varias características

importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría, consta de dos cajas y dos bigotes,

además de los siguientes elementos:

42


Donde:

Ls.-Límite superior

Li.-Límite inferior

Lmin.-Límite mínimo

Lmax.-límite máximo

RIC.-Rango Inter Cuartílico (RECORRIDO INTERCURTILICO)

Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre

un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente.

Un Diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de

datos. Está compuesto por un rectángulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".

Ejemplo

Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2

o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución. Primero es

necesario encontrar la mediana para luego encontrar los 2 cuartiles restantes

43


DECILES (Di)

Los decíles dividen un conjunto de datos ordenados “n” en diez partes iguales. Los decíles

generalmente son utilizados para efectos de ingresos de un país ya que dividen a una población en

diez partes iguales y se analiza cada decíl para la toma de decisiones del estado, esta muestra puede

ser el ingreso anual de la canasta básica, la cantidad de emigrantes por año, la tasa de natalidad del

país, o fijar el aprovechamiento académico etc.

DECILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

Cuando n es par:

Para calcular o hallar el valor de cada decíl para un conjunto de datos no agrupado siempre que este

ordenado, se utiliza la siguiente forma.

1ro.-Hallar la posición de cada decíl

𝑃𝐾 =𝑛 ∗ 𝑖

10

Donde:

n=Número total de datos

i=Tomara los valores de 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 correspondiente para cada decíl.

2do.-Para determinar el valor de cada decíl se emplea la fórmula de la interpolación lineal.

𝐷𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑖(𝐿𝑠 − 𝐿𝑖)

10

Cuando n es impar:

1ro.-Determinamos la posición de cada decíl mediante la fórmula

𝐹𝑖 =𝑖. (𝑛 + 1)

10

2do.-Si es un número entero tomamos el valor directamente indicado por la posición, en caso de ser

un número decimal calculamos el valor de decíl mediante la fórmula de la interpolación lineal.

44


𝐷𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑖(𝐿𝑠 − 𝐿𝑖)

10

DECILES PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando se presenta una tabla de datos agrupados de la cual se quiere hallar los decíles respectivos es

conveniente utilizar la siguiente formula:

𝐷𝑖 = 𝐿𝑖 + (𝑃𝑖 − 𝐹𝑎𝑖

𝑓𝑐) ∗ 𝑐

𝑃𝑖 =𝑛 ∗ 𝑖

10

Donde:

Di=Valor del decil 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9

Li=Límite inferior de la clase que contiene al Decíl solicitado.

𝐹𝑖=Indica la posición de la medida del Decíl.

Fc=Frecuencia de clase que contiene a la medida solicitada.

c=anchura de la clase.

fai=Frecuencia acumulada anterior que contiene a la medida solicitada.

n=Número de datos

PERCENTILES Pi

Los percentiles dividen un conjunto de datos ordenados “n” en 100 partes iguales, es una medida muy

útil para describir a una población. Es una medida de posición no central que nos dice cómo está

posicionado un valor respecto al total de una muestra.

45


Para entender el concepto de percentil tomamos una muestra con muchos valores y la dividimos en

100 partes, cada una de ellas es un percentil. Y cada valor de la muestra estará en alguna de esas

cajitas percentiles. El percentil está referenciado de 0 a 100. El Percentil 0 es el menor valor de la

muestra y el Percentil 100 el mayor valor. Técnicamente PK es el percentil i-ésimo, donde la i toma

valores del 1 al 100. El i% de los valores de muestra son menores que ese Pi y el (100-i)% restante

son mayores.

Los percentiles sirven para relacionar un valor concreto de la variable (el peso de un niño, un salario,

una calificación, el tamaño de una empresa) con los restantes valores de esa variable en la misma

población. Se calculan en general –se estiman- con las frecuencias obtenidas de una muestra

suficientemente grande, representativa de la población de interés.

El percentil 50 es la mediana (la mitad de la población está por encima de la mediana, y la otra mitad

no). Los percentiles 25 y 75 son los cuartiles 1 y 3, que junto con la mediana dividen a la población

en cuatro partes con igual número o igual proporción de elementos.

A menudo se utiliza el percentil 1, 2 o 3 como límite de lo que se puede considerar excesivamente

bajo, y los opuestos, percentiles 97, 98 y 99 como límite de lo que se puede considerar muy alto.

RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

Las diferencias entre los valores de la media, la mediana y la moda permiten saber la forma de la

curva de frecuencias en términos de asimetría.

a) Para una distribución unimodal simétrica, el valor de la media, la mediana y la moda es igual.

b) Para una distribución asimétrica positiva, la media es el mayor valor de los tres y la mediana es

mayor que la moda, pero menor que la media.

46


c) Para una distribución asimétrica negativa, la media es el menor valor de los tres y la mediana es

inferior a la moda, pero mayor que la media

d) El coeficiente de asimetría de Pearson, es una medida conocida de asimetría que utiliza la

diferencia observada entre la media y la mediana de un grupo de valores.

Los cuartiles, decíles y percentiles se parecen mucho a la media porque también subdividen una

distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientras que la

mediana divide a la distribución en dos mitades, los cuartiles la dividen en cuatro cuartos, los decíles

en diez décimos y los puntos percentiles la dividen en cien partes. Matemáticamente, a manera de

ejemplo, se pueden expresar:

47


CAPÍTULO 4: MEDIDAS DE DISPERSIÓN

La dispersión a variación de los datos intenta dar una idea de lo esparcido que se encuentra estos. Hay

varias medidas de tal dispersión, siendo las más comunes el rango, la desviación media, y la

desviación típica.

a) RANGO ( R )

El rango o recorrido de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos

ellos; es una medida de dispersión que no se utiliza mucho. Rango = R = xmax− xmin

Ejemplo 9. Encontrar el rango entre los siguientes valores:

a. R = 9.5 −1.5 = 8

b. R = 6 −1 = 5

Como 8>5, se dice que la variable en el primer histograma está más dispersa que en el segundo.

DESVIACION MEDIA (MD)

La desviación media o desviación promedio, de un conjunto de N números, x1, x2 , x3 ...xn es abreviada

por MD y se define como:

Donde:

x =media aritmética de los números

| xi − x |=valor absoluto de la desviación de xi respecto de x


Ejemplo ilustrativo 10. Hallar el rango del siguiente conjunto de datos.

2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12

xmax =12 xmin =2

R = xmax− xmin = 12 − 2 = 10

48


Ejemplo11. Hallar la desviación media del siguiente conjunto de números. 2, 3, 6, 8, 11

�̅� =2 + 3 + 6 + 8 + 11

5= 6

�̅� =|2 − 6| + |3 − 6| + |6 − 6| + |8 − 6| + |11 − 6|

5= 2.8

VARIANZA (σ 2 ó S 2)

La varianza es similar a la desviación media porque se basa en la diferencia entre cada uno de los

valores del conjunto de datos y la media del grupo. La diferencia consiste en que antes de sumarlas,

se eleva al cuadrado cada una de las diferencias. Matemáticamente se expresa:

σ2= Varianza Poblacional

S2= Varianza Muestral

x = media aritmética.

i x = suma total de datos que componen la población


Ejemplo 12. En el mes de mayo, 8 vendedores de artículos electrónicos, vendieron los siguientes

números de aparatos: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11, las cuales se realizaron en “INTELCOMP” en

Ambato. Encontrar la varianza.

�̅� =8 + 11 + 5 + 14 + 8 + 11 + 16 + 11

8= 10.5

49


DESVIACIÓN ESTANDAR (σ ó S )

En Estadística frecuentemente se aplica más la raíz cuadrada de la varianza a la cual se le llama

Desviación Estándar, representándose por σ para la población y S para una muestra. Las formulas

son:

Dónde:

σ = Desviación Estándar Poblacional

S = Desviación Estándar muestral

x = media aritmética.

i x = suma total de datos que componen la población


La desviación estándar es especialmente útil cuando se le utiliza junto con la denominada Distribución

Normal.

COMPROBACIÓN DE CHARLIER

La comprobación de Charlier en cálculos de la media y de la desviación típica por el método de

compilación hace uso de las identidades.

50


∑ 𝑓(𝑢 + 1) = ∑ 𝑓. 𝑢 + ∑ 𝑓 = ∑ 𝑓. 𝑢 + 𝑛

∑ 𝑓(𝑢 + 1)2 = ∑ 𝑓. (𝑢2 + 2𝑛 + 1) = ∑ 𝑓𝑢2 + 2 ∑ 𝑓. 𝑛 + ∑ 𝑓 = ∑ 𝑓. 𝑢2 + 2 ∑ 𝑓. 𝑢 + 𝑛

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.-Anotar el término de la suma indicada

∑ 𝑓𝑗𝑋𝐽2

7

𝐽=1

2.- Escribir los términos de la suma indicada.

∑ 𝑉𝑗(𝑉𝐽 + 6)

4

𝐽=1

3.-Explicar en notación abreviada la suma.

(a) (X1 + 5)4 + (X2 + 5)4 + (X3 + 5)4 + (X4 + 5)4 + (X5 + 5)4

(b) g1 (X1 - a)2 + g2 (X2 - a)2 + g3 (X3 - a)2 +…+ g7 (X7 - a)2

4.- Expresar en notación abreviada de suma

(a) (4X1 - 6y1) + (4X2 - 6y2) + (4X3 - 6y3)+ (4X4 - 6y4) + (4X5 - 6y5) + (4X6 - 6y6) + (4X7 - 6y7) +

(4X8 - 6y8) + (4X9 - 6y9)

5.-Las calificaciones finales de los estudiantes del 2do semestre de la UTI en las asignaturas de

geometría y trigonometría fueron: 7, 5, 8 y 10. Hallar la media aritmética

6.- Los siguientes datos representan las 10 calificaciones de una muestra de un grupo de cuarto

semestre de Psicología de la UTI de Ensenada: 65, 66, 67, 68, 71,73,74,77, 77, 77.Hallar la media,

mediana, y moda (M).

7. En la siguiente tabla se muestra las edades de las motociclistas que han cometido faltas al

reglamento de tránsito del estado de Ecuador en el 2013:

51


17,38, 27, 14, 18, 34, 16, 42,28, 24, 40, 20,23, 31,37, 21, 30, 25, 17, 28, 33, 25,23,19, 51,18,29

(a) construir una tabla de registro de datos

(b) construir un histograma y polígono de frecuencia

(c) calcular la media, mediana, y moda.

(d) Calcular la varianza y la desviación típica

8. En la tabla se muestran 30 resultados del examen SES para estudiantes de bachillerato, los cuales

mostraron:

500, 510, 514, 514, 516, 519, 521, 522, 522, 527

528, 535, 540, 542, 545, 553, 555, 558, 561, 571

572, 574, 577, 578, 580, 583, 584, 588, 589, 592

(a) Anotar las cinco calificaciones menores.

(b) Anotar las cinco calificaciones mayores.

(c) Construir un histograma y polígono de frecuencia.

(d) Calcular la media, mediana, y moda

(e) Calcular la varianza y la desviación estándar.

9. La siguiente tabla representan las temperaturas de 106 habitantes de la provincia de " Manta" ,

llevadas a cabo por una brigada de estudiantes de la UTA. Las temperaturas Están medidas en grados

Celsius.

35.8 36.3 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 37.0 37.0 37 .1 37.3

36.0 36.3 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 37.0 37.0 37 1 37.3

36.1 36.3 36.4 36.7 36.7 36.9 36.9 37.0 37.0 37 1 37.4

36.1 36.3 36.5 36.7 36.7 36.9 36.9 37.0 37.0 37 1 37.4

52


36.1 36.3 36.6 36.7 36.7 36.9 36.9 37.0 37.0 37.1 37.5

36.2 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 36.9 37.0 37.0 37.1 37.5

36.2 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 36.9 37.0 37.0 37.2

36.2 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 36.9 37.0 37.0 37.2

36.2 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 37.0 37.0 37.0 37.2

36.3 36.4 36.6 36.7 36.8 36.9 37.0 37.0 37.1 37.2

(a) Anotar las siete temperaturas menores

(b) Anotar las siete temperaturas mayores

(c) Construir una tabla de registro de datos

(d) Construir un histograma y un polígono de frecuencia

(e) Calcular la media, mediana, y moda.

(f) Calcular la varianza y desviación estándar

10. Hallar la media y la mediana de: 6, 5, 9, 4, 8, 3, 10.

11. Hallar la media, mediana y moda de: 9, 12, 5, 4, 3, 6, 11, 7, 5, 2, 11, 9, 13, 7, 6, 8.

12. La siguiente tabla muestra los cocientes de inteligencia (IQ) de 480 niños De una escuela primaria

de la colonia "valle dorado" de Ensenada.

Hallar:

(a) la media aritmética

(b) la varianza (𝜎2)

53


(c) la desviación estándar(𝜎)

13. para el conjunto de números 8, 10, 9, 12, 4, 8, 2. Hallar la desviación media respecto de:

(a) La media aritmética (X)

(b) La mediana (X)

(c) Verificar que la desviación media de la mediana no es mayor que la media

14. El número de automóviles que vendió cada uno de los 10 ejecutivos de cuenta de "auto

productos del pacifico" en el mes de diciembre es: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, y 15; determinar:

(a) La media, mediana, y moda.

(b) El primer cuartil

(c) El segundo decil

(d) El punto percentil 30 para los importes de ventas.

15. El servicio postal (SERVIENTREGA) determinó que los pesos de una muestra de cartas

procesadas en una oficina postal, pesada hasta el gramo más próximo son: 21, 18, 30, 12, 14, 17, 18,

27, 31, y 35; determinar

(a) La media mediana y moda de los pesos de las cartas en gramos

(b) El tercer cuartil

(c) El tercer decil

(d) El punto percentil 70

54


CAPÍTULO 5: MOMENTOS ESTADÍSTICOS

Dentro del concepto de momentos estadísticos existe la palabra “Parámetro” que se define como un

número que resume la ingente cantidad de datos que pueden derivarse de cualquier variable estadística

en estudio.

Al estudiar grandes cantidades de datos de una población, cualquiera que fuese esta, resulta inútil o

inoperativo estudiarlos debido a su cantidad por eso es necesario resumirlos para que nos permita

tener una idea global de la población, comprarlas con otros datos, comprobar su ajuste a un modelo

ideal, realizar estimaciones sobre datos desconocidos de la misma y en definitiva tomar “decisiones”

Momentos.-Los momentos estadísticos son formulaciones matemáticas, que se definen como

parámetros estadísticos, algunos de los cuales tienen amplia connotación dentro del campo de estudio

de curvas de distribución de frecuencias y más específicamente respecto de sesgo y curtosis.

Los momentos son una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y

guardan relación con una buena parte de ellos.

Dada una distribución de datos estadísticos X1, X2, ..., Xn, se define el momento central o momento

centrado de orden “r” como.

𝑋𝑟̅̅̅̅ =𝑋1

𝑟+𝑋2𝑟+⋯+𝑋𝑛

𝑟

𝑛=

∑ 𝑋𝑗𝑟𝑛

𝑗=1

𝑛=

∑ 𝑋𝑟

𝑛 (ec 1)

Dónde:

n= Número total de datos.

A la ecuación anterior se la conoce como el r-ésimo momento.

El primero momento, con r=1, es la media aritmética �̅�.

El r-ésimo momento respecto de la media �̅� se define como:

𝑚𝑟 =∑ (𝑋𝑗−�̅�)𝑟𝑛

𝑗=1

𝑛=

∑(𝑋−�̅�)𝑟

𝑛 (ec 2)

55


Dónde:

n= Número total de datos

-Para la ecuación anterior, cuando r=1 para el cálculo del primer momento obtendremos que 𝑚1 = 0

, esto se refiere a que las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media aritmética es

cero (esta es la primera regla de las propiedades de la media aritmética).

-Para la misma ecuación cuando r=2, para el cálculo del segundo momento, se obtendrá que 𝑚2 = 𝑠2

, el cual es la varianza.

-Para el cálculo del r-ésimo momento respecto de cualquier origen “A”, se define como:

𝑚′𝑟 =∑ (𝑋𝑗−𝐴)𝑟𝑛

𝑗=1

𝑛=

∑(𝑋−𝐴)𝑟

𝑛=

∑ 𝑑𝑟

𝑛 (ec 3)

Dónde:

d=X-A.- son las desviaciones de X respecto de A. si A=0, la ecuación anterior se reduce a la (ec 1),

es por esta razón que a la ecuación (ec 1) se suele llamar el r-ésimo momento respecto de cero

MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS

Para una distribución de datos X1,X2,…Xn que ocurren con una frecuencia f1,f2,…fn, respectivamente,

las fórmula para este tipo de caso se define como:

𝑋𝑟̅̅̅̅ =𝑓1𝑋1

𝑟+𝑓2𝑋2𝑟+⋯+𝑓𝑘𝑋𝑘

𝑟

𝑓1+𝑓2+⋯+𝑓𝑘=

∑ 𝑋𝑗𝑟𝑘

𝑗=1

∑ 𝑓𝑗𝑘𝑗=1

=∑ 𝑋𝑟

∑ 𝑓

Para el cálculo del r-ésimo momento respecto de la media se define como:

𝑚𝑟 =∑ 𝑓𝑗(𝑋𝑗 − �̅�)

𝑟𝑛𝑗=1

𝑁=

∑ 𝑓(𝑋 − �̅�)𝑟

𝑁

Para el cálculo del momento respecto de cualquier origen A

𝑚′𝑟 =∑ 𝑓𝑗(𝑋𝑗 − 𝐴)𝑟𝑛

𝑗=1

𝑁=

∑ 𝑓(𝑋 − 𝐴)𝑟

𝑁

56


Dónde:

𝑁 = ∑ 𝑓𝑗

𝑘

𝑗=1

= ∑ 𝑓

SESGO:

Al grado de asimetría que presenta una distribución de datos se la conoce como “Sesgo”. Si la curva

de un polígono de frecuencias suavizado presenta una cola más larga a la izquierda, se dice que es

sesgada a la izquierda o sesgo negativo, si esta sesgada a la derecha se dice sesgada a la derecha o de

sesgo positivo tal y como se muestra en las siguientes figuras.

Ubicaciones relativas de la Media Mediana y Moda en curvas de frecuencias sesgadas a la izquierda

Ubicaciones relativas de la Media Mediana y Moda en curvas de frecuencias sesgadas a la derecha

57


Para distribuciones sesgadas, la media suele situarse del mismo lado de la moda

CURTOSIS

El cálculo de Curtosis nos permite saber que tan puntiaguda es una distribución de datos. Una

distribución Leptocúrtica presenta un pico muy alto, si presenta una punta un poco más suavizada se

dice que es mesocúrtica y si la curva presenta una distribución normal más achatada se dice que es

Platicúrtica

Para considerar si una curva es Leptocúrtica, mesocúrtica y Platicúrtica se debe saber que:

Si Curtosis = 3.- Esta curva es normal o mesocúrtica

Si Curtosis > 3. La curva es apuntada o Leptocúrtica

Si Curtosis < 3.- La distribución es achatada o Platicúrtica.

Una de las maneras para el cálculo de Curtosis es utilizando el cuarto momento respecto de la media

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 (𝐶𝑀𝐶) = 𝑎4 =𝑚4

𝑠4=

𝑚4

𝑚22

EJERCICIOS

1.-Hallar los cuatro primeros momentos del siguiente conjunto de números: 1, 4, 7, 10,15

Solución:

a) El primer momento, o media aritmética es:

58


𝑋1̅̅̅̅ =∑ 𝑋𝑟

𝑛=

11 + 41 + 71 + 101 + 151

5= 7.4

b) El segundo momento es:

𝑋2̅̅̅̅ =∑ 𝑋𝑟

𝑛=

12 + 42 + 72 + 102 + 152

5= 78.2

c) El tercer momento es:

𝑋3̅̅̅̅ =∑ 𝑋𝑟

𝑛=

13 + 43 + 73 + 103 + 153

5= 956.6

d) El cuarto momento es:

𝑋4̅̅̅̅ =∑ 𝑋𝑟

𝑛=

14 + 44 + 74 + 104 + 154

5= 12656.6

2.-hallar los cuatro primeros momentos respecto de la media para el conjunto de números del

problema anterior: 1, 4, 7, 10,15.

Solución

a) El primer momento respecto de la media es:

𝑚1 =∑(𝑋 − �̅�)𝑟

𝑛=

(1 − 7.4)1 + (4 − 7.4)1 + (7 − 7.4)1 + (10 − 7.4)1 + (15 − 7.4)1

5=

0

5= 0

b) El segundo momento respecto de la media es:

𝑚2 =∑(𝑋 − �̅�)𝑟

𝑛=

(1 − 7.4)2 + (4 − 7.4)2 + (7 − 7.4)2 + (10 − 7.4)2 + (15 − 7.4)2

5=

117.2

5= 23.44

c) El tercer momento respecto de la media es:

𝑚3 =∑(𝑋 − �̅�)𝑟

𝑛=

(1 − 7.4)3 + (4 − 7.4)3 + (7 − 7.4)3 + (10 − 7.4)3 + (15 − 7.4)3

5=

155.04

5= 31

d) El cuarto momento respecto de la media es:

𝑚4 =∑(𝑋 − �̅�)𝑟

𝑛=

(1 − 7.4)4 + (4 − 7.4)4 + (7 − 7.4)4 + (10 − 7.4)4 + (15 − 7.4)4

5=

5193.296

5= 1038.65

59


CAPÍTULO 6: PROBABILIDADES

El estudio de las probabilidades abarca casi todas los sucesos de nuestras vidas, tales como la Ciencia,

la Filosofía, las matemáticas, los juegos de azar, etc., ya que nos permite estudiar los sucesos o eventos

que de cada una de ellas se deriven.

Mediante el uso de las probabilidades se puede obtener la frecuencia con la que un acontecimiento u

evento puede darse como resultado de haber realizado un experimento o prueba del que se conocerán

todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Evento (E).- Hecho o suceso que ocurre, especialmente si es de cierta importancia

Posibilidad (n).- Circunstancia u ocasión de que una cosa ocurra o suceda.

PROBABILIDAD DE OCURRENCIA (p).

Supongamos que un suceso (E) tiene (h) posibilidades de salir de un total de (n) posibilidades.

𝑝 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 {𝐸}

𝑝 =ℎ

𝑛

Dónde:

h.- Son todas las formas en las que se pueda o se requiera obtener un resultado.

n.- Total de formas en las que se da el resultado.

Si la probabilidad de que un evento ocurra es decir un éxito será igual a 1

Si la probabilidad de que un evento no ocurra es decir sea un fracaso será igual a 0

“La teoría de las probabilidades es la menos

intuitiva de todas las ramas de las

matemáticas”

Amir Aczel

60


PROBABILIDAD DE NO OCURRENCIA (q)

La probabilidad de que un evento no ocurra {�̅�} y definido por (q) viene determinado por:

𝑞 = 1 − 𝑝

Esto quiere decir que:

1 = Pr{𝐸} + 𝑃𝑟{�̅�}

Ejemplo. Ahora supongamos un ejemplo clásico, que al lazar un dado una sola vez nos salga 2.

Solución:

Datos

h=1 (Forma de salir ó número de veces que saldrá el 2)

n=6 (Todas las opciones posibles de un dado)

𝑝 =1

6= 0.167

Análisis.

La probabilidad de que al lanzar un dado nos salga 2 en un solo lanzamiento es de 0.167 es decir un

16.7%. Esto es muy importante ya que no importa las veces que lancemos un dado, la probabilidad

de que nos salga el 2 en un lanzamiento siempre será de 16.7%.

La paradoja del cumpleaños

Para explicar la paradoja formulamos la pregunta ¿Cómo explicar la probabilidad de que en un grupo

de 23 personas dos de ellas cumpla años el mismo día? ¿Coincide tu intuición con lo que dicen las

matemáticas?

El enunciado de la paradoja cita lo siguiente:

“La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probabilidad del

50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la

61


probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es casi del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta

los años bisiestos).”

En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en

el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Cuando se propone este

problema por primera vez y se pide una estimación sobre el tamaño mínimo que debería tener un

grupo para que sea más probable que improbable que dos personas compartan el día del cumpleaños,

la mayoría de las personas se equivoca por completo.

La respuesta intuitiva que se da a menudo es 183, es decir 365 dividido entre dos. La cantidad correcta

no es algo a lo que la gente pueda llegar fácilmente y, ciertamente, no por intuición. Es bastante

extraño que las primeras estimaciones sean inferiores a 40. Y sin embargo la respuesta es 23.

La clave para entender estas "sorprendentes" recurrencias es pensar que hay muchas posibilidades de

encontrar parejas que cumplan años el mismo día.

Un análisis superficial asume que 23 días (cumpleaños de las 23 personas) es una fracción demasiado

pequeña del posible número de días distintos (365) para esperar repeticiones. Y así sería si

esperáramos la repetición de un día dado. Pero las repeticiones, en el caso supuesto, pueden darse

entre dos días cualesquiera, con lo que éstas pueden combinarse entre sí de un número de formas que

aumenta rápidamente con el número de elementos a considerar. Así:

Entre dos personas P1 y P2 sólo cabe una posibilidad de repetición de cumpleaños: Pl=P2.

Con tres ya hay tres posibilidades (Pl=P2; Pl=P3; P2=P3)

Con cuatro ya habría seis, (4x3)/2=6 .

Con un grupo de 10 personas, (10x9)/2=45 posibilidades

Con 23 personas, hay (23×22)/2 = 253 parejas distintas, cada uno de ellas es una candidata

potencial para cumplir la paradoja

Y así sucesivamente, en uno de 40, ya son 780 las parejas, y 1770 si juntamos 60 personas.

No hay que malinterpretar lo que nos dice esta paradoja: Si entramos en una habitación con 22

personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es

mucho más baja, sólo hay un 6% de probabilidades. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 parejas

62


posible y se necesitan 253 personas para que haya más de un 50% de probabilidades de que esto

ocurra.

El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera

de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.

Ejemplo.

Determinar la probabilidad de que en 10 lanzamientos de una moneda 7 de ellas salga caras, por tanto:

𝑝 =7

10= 0.7

Si en otros 10 lanzamientos salen 6 caras, su frecuencia relativa aumenta a 20 lanzamientos, por

tanto:{

𝑝 =(7 + 6)

(10 + 10)= 0.625

Para obtener una cifra significativa dentro de la cual se pueda tomar una decisión basta con realizar

más lanzamientos.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se conoce como probabilidad condicional aquel en la que dos eventos E1 y E2 y que el evento E2

ocurra dado que ya haya sucedido el evento E1 y se denota por: {𝐸2|𝐸1} ó Pr {𝐸2 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐸1}

Sucesos Independientes

Son sucesos independientes cuando dos eventos E2 y E1 ocurren de manera independiente es decir

el evento E1 ocurra sin que afecte la probabilidad que suceda el evento E2. Ejm El lanzamiento de

una moneda tres veces es un evento independiente, ya que el resultado de un lanzamiento no afecta

el otro.

𝑃𝑟{𝐸1 𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐸1}. 𝑃𝑟{Pr 𝐸2}

Para tres sucesos E1, E2 y E3 se tiene:

63


𝑃𝑟{𝐸1 𝐸2 𝐸3} = 𝑃𝑟{𝐸1}. 𝑃𝑟{𝐸2}. 𝑃𝑟{𝐸3}.

Para los tres eventos citados la probabilidad de ocurrencia es la misma

Ejemplo

Al lanzar una moneda en su 7mo lanzamiento sale cara y en el 8vo lanzamiento sale cara, entonces

el evento E1 Cara en el 7mo lanzamiento y el evento E2 Cara en el 8vo lanzamiento, son sucesos

independientes ya que cada lanzamiento no depende que salga cara en el siguiente lanzamiento.

Sucesos Dependientes

Son sucesos dependientes cuando en dos eventos E1 y E2 ocurren de manera tal que el evento E1

afecta la probabilidad que suceda el evento E2.

𝑃𝑟{𝐸1 𝐸2 𝐸3} = 𝑃𝑟{𝐸1}. Pr{𝐸2|𝐸1} . Pr{𝐸3|𝐸1. 𝐸2}.

Suceso compuesto

Se conoce como suceso compuestos cuando dos eventos E1 y E2 tienen la misma probabilidad de

ocurrencia.

𝑃𝑟{𝐸1 𝐸2} = {𝐸1} Pr{𝐸2|𝐸1}

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Se conoce como sucesos mutuamente excluyentes cuando se presentan dos eventos E1 y E2, y uno

de estos eventos sea E1 ó E2 excluye la del otro evento sea este E1 ó E2.

La siguiente ecuación se utiliza para calcular la ocurrencia del evento E1 o bien E2 ó ambos a la vez

𝑃𝑟{𝐸1 + 𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐸1} +𝑃𝑟{𝐸2} − Pr{𝐸1. 𝐸2}

Para sucesos mutuamente excluyentes se utiliza la siguiente ecuación.

𝑃𝑟{𝐸1 + 𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐸1} + 𝑃𝑟{𝐸2}

64


DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables discretas

Una variable discreta es una variable cuantitativa que toma valores aislados, es decir no admite

valores intermedios entre dos valores específicos.

Si una variable X toma un conjunto discreto de valores X1, X2, . . . , XK con probabilidades respectivas

p1, p2, . . . , pK, donde p1 + p2 +. . .+ pK = 1, esto se define como una distribución de probabilidad

discreta de X. La función p(X ), que tiene los valores p1, p2, . . . , pK para X = X1, X2, . . . , XK ,

respectivamente, se llama función de probabilidad o función de frecuencia de X. Como X puede tomar

ciertos valores con determinadas probabilidades, suele llamársele variable aleatoria discreta. A las

variables aleatorias también se les conoce como variables estocásticas.

Ejm

Si al lanzar un par de dados nos de la suma 8, la probabilidad es de 5/36 y se marca en la siguiente

tabla. Así que de 500 veces se lancen los dados se espera que en 100 la suma en sea 8

Suma de los

dados 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidad

(p) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

La manera adecuada de agrupar o parear los dados se presenta a continuación y se aprecia las 3

maneras posibles de combinar.

65


Mas ejemplo de variables discreta tenemos:

1.-Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2.-Número de hijos de 50 familias.

3.-Censo anual de los españoles.

Variable Continua

Una variable continua es una variable cuantitativa que puede tomar valores comprendidos entre dos

números. Por ejemplo:

1.-La altura de las 5 personas: 1.60, 1.72, 1.76, 1.79, 1.75.

2.-Temperaturas registradas cada hora en un observatorio

3.-Período de duración de un automóvil.

4.-El diámetro de las ruedas de varios coches.

Valor esperado o Esperanza matemática

El Valor esperado o Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es la suma del producto

de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. También se puede entender como la

relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar.

Si la esperanza matemática es 1, el juego es “justo”. Por ejemplo, apostar 1 dólar a que una moneda

sale cara o cruz, si el premio por acertar son 2 dólares, y si se pierde, 0 dólares. La esperanza del

66


juego es 2 · (1/2) = 1. Entonces, consecuentemente con la teoría de juegos, podría pagar el dolar para

jugar o para rechazar jugar, porque de cualquier manera su expectativa total sería 0.

Si la esperanza matemática es menor que 1, el juego es “desfavorable para el jugador”. Un sorteo

que pague 500 a 1 pero en el que la probabilidad de acertar sea de 1 entre 1.000, la esperanza

matemática es 500 · (1/1.000) = 0,5.

Si la esperanza matemática es mayor que 1, el juego es “favorable para el jugador”, todo una

“Fortuna” para el jugador. Un ejemplo sería un juego en el que se paga 10 a 1 por acertar el número

que va a salir en un dado, en donde hay una probabilidad de acertar es de 1 entre 6. En este ejemplo

el valor de la esperanza matemática es 10 · (1/6)=1,67 y por tanto en esas condiciones es juego

«beneficioso» para el jugador.

ANALISIS COMBINATORIO

El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal (1596 – 1650) y Fermat

(1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades.

Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”. El mayor impulsor de

esta rama fue Bernoulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y

combinaciones.

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un

conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen

utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas

diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología

computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en

donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos.

Principio

67


Dado que un evento puede ocurrir en su primera salida n1, y dado que el primer evento a ocurrido,

luego se produce un siguiente evento n2, entonces el número de combinaciones que se pueda dar será

n1*n2

Ejemplo:

Una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A una ciudad B; y una vez llegada a la ciudad B, tiene

3 formas de llegar a una ciudad C, ¿De cuantas maneras podrá realizar el viaje de A a C Pasando por

B?

Solución

De manera general si aplicamos la formula

Combinación= n1*n2

Combinación= 2(3)

Combinación= 6

Factorial de un número

El Factorial de un número está definido por:

𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1

Ejemplo

Hallar el factorial de 6!

𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1

6! = 6(6 − 1)(6 − 2)(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5)

6! = 6(5)(4)(3)(2)(1)

6! = 720

68


Permutaciones:

Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí importa. Para encontrar el

número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:

Cuando se permite Repetición

𝑛𝑃𝑟 = 𝑛𝑟

Ejemplo

1.- ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite

la repetición?

Solución:

𝑛𝑃𝑟 = 𝑛𝑟

5P4=54

5P4=625

Cuando no se permite repetición

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Ejemplos:

1.- ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite

la repetición?

Solución

5P3=𝑛!

(𝑛−𝑟)!

5P3=5!

(5−3)!

5P3=5!

2!

69


Combinación.- Una combinación de objetos es un arreglo en el cual el orden no importa. Para

encontrar el número de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:

(𝑛𝑟

)=nCr 𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!

Ejemplo

De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades

existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.

Solución

8C5 8!

5!(8−5)!

8C5 8!

5!(3)!

8C5 =56

Ejercicios de resolución

1) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se

permite la repetición?

resp[360]

2) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la

repetición?

resp[64]

3) Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco

jugadores puede formar?

resp[792]

4) De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se

pueden formar?

Resp [38760]

70


APROXIMACIÓN DE STIRLING

Al evaluar las funciones de distribución en estadísticas, a menudo es necesario evaluar considerables

factoriales de números, como en la distribución binomial:

𝑓𝑏(𝑥) =𝑛! 𝑝𝑋(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

Una relación aproximada útil y de uso común en la evaluación de factoriales de grandes números es

la aproximación de Stirling

𝑛! ≈ 𝑛𝑛𝑒−𝑛√2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛

Donde:

e=Es la base natural de logaritmos, con un valor 2.71828

71


CAPITULO 7: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Dentro de las distribuciones de probabilidad las más importantes para objetos de estudio dentro de la

estadística inferencial son:

1. La Distribución Binomial o de Bernoulli

2. La Distribución normal

3. La Distribución de Poison

La Distribución Binomial o de Bernoulli:

La distribución Binomial o también conocida como de Bernoulli es una distribución de probabilidad

discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos entre sí, con una probabilidad

fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser

dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una

probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución

binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la

probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en

una distribución de Bernoulli.

La distribución Binomial viene definida por:

𝑝(𝑥) = (𝑁𝑋

) 𝑝𝑥𝑝𝑁−𝑥 =𝑁!

𝑋! (𝑁 − 𝑋)!𝑝𝑥𝑝𝑁−𝑥

Donde:

X=0,1,2,…N; N posibilidades de ocurrir

N!=N(N-1)(N-2)…1; y 0!=1

q=1-p

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si al analizar un determinado experimento donde su variable sea aleatoria X y esta se repita n número

de veces de forma independiente, y que en ese experimento haya un suceso que denominamos éxito,

que ocurre con una probabilidad p. Viene definido por:

72


Ejercicio

En un grupo de amigos se decide jugar a los volados, el jugador A necesita obtener la probabilidad

de que al lanzar una moneda “no trucada” 6 veces le dé exactamente dos caras para ganar al jugador

B

Solución

Datos

N=6: Posibilidades de ocurrir

X=2: Posibilidades que ofrece la moneda

p= ½: probabilidad de que ocurra el evento

q= ½: probabilidad de que no curra el evento

𝑝(𝑥) = (𝑁𝑋

) 𝑝𝑥𝑝𝑁−𝑥 =𝑁!

𝑋! (𝑁 − 𝑋)!𝑝𝑥𝑝𝑁−𝑥

𝑝(𝑥) = (6!

2! ∗ (6 − 2)!) (

1

2)

2

(1

2)

6−2

𝑝(𝑥) = (720

48) (

1

2)

2

(1

2)

4

𝑝(𝑥) = (720

1536)

𝑝(𝑥) = (15

48)

𝑝(𝑥) = 0.234

73


DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal, también conocida como a distribución de gauss o gaussiana y es considerada

una distribución de probabilidad individual.

Ejercicios resueltos

La compañía COLD fabricante de frigoríficos, obtuvo, mediante mediciones valores promedios de

temperatura de -3.5°C, con una desviación Típica o estándar de 1.12°C con nivel de confiabiida del

95%

a) Además desea saber cuál es la probabilidad de que uno de sus frigoríficos se fabrique con

una temperatura menor a 4.5°C.

b) El dueño de la compañía necesita saber cuál es la probabilidad de que uno de sus frigoríficos

de una temperatura superior a 2.5°C.

Solución

Datos

µ=-4

σ=1.12

Pr(a<x<b)

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎

a) La probabilidad de obtener un temperatura menor a 4.5 en un frigorífico se obtiene

mediante

Pr(X< −4.5°𝐶)

X=-3.5

𝑍 =4.5 − 3.5

1.12

𝑍 = 0.89

Pr=(1-0.5)-Pr(LA calculada por tablas Apéndice…)

Pr=0.5-0.3238

Pr=0.1762

Pr=17.62%

b) El dueño de la compañía necesita saber cuál es la probabilidad de que uno de sus

frigoríficos de una temperatura superior a -2.5°C.

74


Pr(X> −2.5°𝐶)

X=-3.5

𝑍 =3.5 − 2.5

1.12

𝑍 = 0.89

Pr=(1-0.5)-Pr(LA calculada por tablas Apéndice…)

Pr=0.5-0.3212

Pr=0.1788

Pr=17.88%

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson nos ayuda a obtener la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos que

ocurren con muy poca frecuencia es decir impredecibles y de forma aleatoria, en otras palabras

pertenece al grupo de las funciones de distribución de variables aleatorias discretas , por tanto no se

conoce el total de resultados posibles. Esta distribución es utilizada para terminar la probabilidad de

volumen, área, distancia o tiempo establecido y viene definido por:

𝑃𝑟(𝑋; 𝜆) =𝑒−𝜆(𝜆)𝑥

𝑥!

Donde:

Pr(X=y).-Probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito (y).

λ=Parametro de ocurrencias de un intervalo (λ>0, y=1, 2,3,…)

e=Logaritmo natural o neperiano y es igual a 2.71828

y=Número de sucesos ocurridos.

Ejemplo

En una heladería se atienden cada 20 min a 6 personas. El dueño del local necesita saber cuál es la

probabilidad de que:

a) En un día no soleado se atiendan 5 personas en 20min

75


b) En un día soleado se atiendan 10 personas en 20min

c) Y que en un feriado con día soleado se atiendan 5 personas o menos, en menos de 20min

Solución

Parte a)


𝑥!

Datos

Pr(x=5)=(5,6)

𝑃𝑟(5,6) =2.718−6(6)5

5!

𝑃𝑟(5,6) = 0.16

𝑃𝑟(5,6) = 16%

Parte b)


𝑥!

Datos

Pr(x=10)=(10,6)

𝑃𝑟(5,6) =2.718−6(6)10

10!

𝑃𝑟(5,6) = 0.0413

𝑃𝑟(5,6) = 4.13%

Parte c)


𝑥!

76


Datos

Pr(x≤5)=Pr(x=0)+ Pr(x=1)+ Pr(x=2)+ Pr(x=3)+ Pr(x=4)+ Pr(x=5)

𝑃𝑟(𝑥 ≤ 5) =2.718−6(6)0

0!+

2.718−6(6)1

1!+

2.718−6(6)2

2!+

2.718−6(6)3

3!+

2.718−6(6)4

4!

+2.718−6(6)5

5!

𝑃𝑟(𝑥 ≤ 5) = 0.448

𝑃𝑟(5,6) = 44.83%

Interpretación:

a) Indica que existe una probabilidad de que en un día no soleado se atiendan a 5 personas en

20 min

b) Sin embargo en este literal existe la probabilidad de que el 4.13% se atiendan a 10 personas

en 20min

c) Para este literal existe el 44.8% de probabilidad de que se atienda 5 personas o menos en 20

min.

Ejemplo

Lo alumnos en la cafetería de una universidad consumen en un determinado día como media 5 tazas

de café, la misma tiene una distribución de Poisson, Hallar la probabilidad de que cuando mucho

lleguen a consumirse 7 tazas de café por día.

Datos:

λ=5

Pr (x≤7)

Solución


𝑥!

Pr(x≤7)=Pr(x=0)+ Pr(x=1)+ Pr(x=2)+ Pr(x=3)+ Pr(x=4)+ Pr(x=5) + Pr(x=6) + Pr(x=7)

77


𝑃𝑟(𝑥 ≤ 7) =2.718−5(5)0

0!+

2.718−5(5)1

1!+

2.718−5(5)2

2!+

2.718−5(5)3

3!+

2.718−5(5)4

4!

+2.718−5(5)5

5!+

2.718−5(5)6

6!+

2.718−5(5)7

7!

𝑃𝑟(𝑥 ≤ 7) = 0.00674 + 0.0337 + 0.0842 + 0.14 + 0.1755 + 0.1463 + 0.1045

𝑃𝑟(7,5) = 0.6909

𝑃𝑟(7,5) = 69.09%

Análisis:

La probabilidad de que a lo mucho llegue a consumirse 7 tazas de café por día es del 69%, la cual nos

asegura en más de un 50% que ese suceso de consumir al menos 7 tazas de café ocurra.

78


CAPITULO 8: MUESTREO

Introducción

Dentro de la estadística existe la teoría del muestreo, esta nos permite tomar de un

conjunto de datos una muestra que nos servirá como objeto de estudio.

El muestreo nos ayuda a tomar de un conjunto universal de datos una muestra

específica que nos servirá como objeto de estudio.

Cuando se toma las características de una población, es importante saber que

1.-La muestra debe ser seleccionada de acuerdo a su naturaleza.

2.-Resulta imposible verificar todos los elementos físicos de una población.

3.-El costo por estudiar toda l población seria elevado y no es recomendable.

3.-Los resultados de la muestra son adecuados.

4.-Si se deseara estudiar todo el universo de la muestra, esto conllevaría a tomar

más tiempo de lo normal para el estudio

Muestra aleatoria simple.- Este tipo de muestra toma a cada elemento o individuo

de una población y asigna las mismas posibilidades de que le incluya en la

selección.

Un ejemplo de muestra aleatoria simple es que si de un grupo de 145 botellas para

envasar agua, se debe elegir una muestra de 60 botellas. Para asegurarnos de que

todas las botellas tengan las mismas posibilidades de ser tomadas, estas deben ser

tomadas al azar mientras pasan el control de calidad hasta recoger la muestra de

60 botellas.

Muestra aleatoria sistemática.-Para tomar una muestra sistemática lo que se debe

hacer es primero tomar un punto de inicio aleatorio y luego cada k-ésimo objeto

de la muestra.

Muestra aleatoria estratificada.-Para realizar este tipo de pruebas se debe tener en

cuenta que esta se debe aplicar cuando una población está dividida en grupos a

partir de ciertas condiciones propias de la muestra. Para esto se debe dividir una

población en subgrupos conocido estos como “estratos”, como de los cuales se

seleccionar uno por cada estrato.

Muestra aleatoria por conglomerados.-Este tipo de muestreo cosiste dividir una

población en conglomerados a partir de los límites geográficos o naturales o de

79


cualquier otro tipo de población, y de este grupo de conglomerados se selecciona

al azar una muestra aleatoria .El muestreo por conglomerados es utilizado a

menudo para reducir costos de mostrar una población dispersa en cierta área.

EJERCICIOS DE DEMOSTRACIÓN CAPITULO 8

MUESTREO POR CONGLOMERADOS

Ejemplo.

Se desea saber el grado de aceptación de una obra realizad por un Municipio de

en un grupo de personas de una localidad. Se pide seleccionar una muestra de la

localidad aplicando el método de selección de una muestra por conglomerado y

subdividir la localidad en manzanas y a esta se las conocerá como unidades

primarias.

La localidad X se dividió en 6 manzanas es decir en 6 unidades primarias y

selecciono al azar las manzanas 1, 2, 4, 5 y de cada una de ella se seleccionara 4

casas al azar

80


MUESTREO CON REPOSSIION Y SIN REPOSICIÓN

Muestreo con reposición.-Se conoce así cuando de un grupo de muestras se toma

una al azar y luego es devuelta al mismo grupo. Por tanto se llama muestreo con

reposición si cada objeto de una población tiene la misma probabilidad de ser

elegido más de una vez

Ejemplo:

En una bolsa donde existen 10 canicas, 4 de color azul, 3 de color rojo y 3 de color

amarillo, se desea tomar una muestra y devolverla a la bolsa.

Muestreo Sin reposición.-Se le conoce al proceso de recolección en el cual se toma

una muestra y no se devuelve l grupo de muestras del cual fue tomado. Por tanto

se conoce como muestreo sin reposición cuando el objeto extraído de una

población ya no tiene ninguna probabilidad de que vuelva a salir.

Ejemplo:

Para el mismo caso de la bolsa donde existen 10 canicas, 4 de color azul, 3 de color

rojo y 3 de color amarillo, se desea tomar una muestra y sin devolverla a la bolsa.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Se conoce como distribución muestral a la selección de muestras de un tamaño

desconocido N y que puedan ser estas con y sin reposición se pueda hallar su

estadístico, tales como media o desviación estándar.

Una distribución muestral puede tomar diferentes formas según las características

de la población estudiada y es la que nos permite hacer inferencia además posee

un patrón de compartimento predecible.

Ejemplo.

La ciudad de Ambato se ve en la necesidad de saber cuál es la proporción de

mujeres en función de la población para poder determinar mediante un estudio

seguido la tasa de embarazos en mujeres menores de 18 años.

Debido a que la población de la ciudad es muy grande no se realizara un censo

ya que esto resultaría costoso. Por tanto se decide estimar a partir de la muestra Pm

(Proporción muestral).

𝑃𝑚 =# 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

(𝑡)𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

81


DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Una distribución muestral poblacional considerando que no hay reposición viene

definido por:

𝜇�̅� = 𝜇

𝜎�̅� =𝜎

√𝑁√

𝑁𝑝 + 𝑁

𝑁𝑝 − 𝑁

Si el muestreo se hace con reposición y cuya población es infinita, la ecuación se

define por:

𝜇�̅� = 𝜇

𝜎�̅� =𝜎

√𝑁

Para una población en la que su tamaño N≥ 30 su distribución normal de la media

es aproximadamente a la normal con media 𝜇�̅� y desviación estándar 𝜎�̅�

Si N<30 la distribución muestral de la medias es también normal, aun cuando el

tamaño de la muestra N sea pequeño y la población este distribuida normalmente.

ERROR DE MUESTREO

Dentro de la selección de datos o información recolectada por muestras

“muestreo” es de vital importancia saber que es poco probable que la desviación

estándar de la muestra sea exactamente igual a la desviación estándar de la

población.

CARACTERISTICAS DEL ERROR ESTANDAR EN DISTRIBUCIONES MUESTRALES

ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA

Para distribuciones donde las muestras son grandes o pequeñas su ecuación está

definida por:

𝜎�̅� =𝜎

√𝑁

82


Donde:

N≥30=Cuando la distribución muestral se asemeja a una distribución normal.

σ=Desviación estándar

𝜎�̅�=Distribución muestral de las medias estándar muestral

N=Población

ERROR ESTANDAR DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR

Para distribuciones donde la población es N≥100

𝜎𝑠 =Desviación estándar muestral de s

CAPITULO 9: ESTADISTICA INFERENCIAL

La estadística inferencial o estadística matemática se basa en la fusión de los conceptos y

conocimientos de estadística descriptiva y la teoría de probabilidad; Por tanto la estadística inferencial

analiza los datos obtenidos pudiendo ser estos Cualitativos o cuantitativos de las muestras y en base

a esta información se toman decisiones

.

HIPOTESIS NULA

libro de estadistica

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