Matemática

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Autor : Preuniversitarios Cpech.

N° de Inscripción : 238.194 del 30 de enero de 2014.

Derechos exclusivos : Cpech S.A.

PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

Año Impresión 2014.

Impreso en QUADGRAPHICS CHILE S.A.

Han colaborado en esta edición:

Subdirectora Académica

Paulina Núñez Lagos

Directora PSU y Programas consolidados

Patricia Valdés Arroyo

Equipo Editorial

Francisca Carrasco Fuenzalida

Rodrigo Cortés Ramírez

Nicolás Jorquera Silva

Equipo Gráfico y Diagramación

Elizabeth Rojas Alarcón

Diseño de Portada

Vania Muñoz Díaz

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

ÍNDICE

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I. Conjuntos numéricos ..................................................................................... 14

1. Números naturales (IN)...................................................................................... 14 1.1 Pares e impares ................................................................................................. 14 1.2 Primos ............................................................................................................... 15 1.3 Múltiplos y divisores .......................................................................................... 15 1.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor ............................................ 16 1.5 Operaciones en los números naturales (IN) ...................................................... 18

2. Números cardinales (IN0) .................................................................................... 19

2.1 Operaciones en los números cardinales (IN0) .................................................... 19

3. Números enteros (IZ) .......................................................................................... 20 3.1 Operaciones en los números enteros (IZ) .......................................................... 20 3.2 Prioridad de las operaciones .............................................................................. 23

4. Números racionales (Q ) ...................................................................................... 23 4.1 Propiedades de las fracciones ............................................................................ 23 4.2 Operaciones en los números racionales (Q ) ...................................................... 24 4.3 Transformaciones ............................................................................................. 24 4.4 Comparación de fracciones ............................................................................... 25

5. Números irracionales (Q *) .................................................................................. 26

6. Números reales (IR) ............................................................................................ 27

6.1 Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas .............. 27 6.1.1 Análisis de cifras significativas ................................................................ 27 6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas .............................................. 27 6.2 Desafíos y problemas numéricos ....................................................................... 29 6.2.1 Cuadrados mágicos ................................................................................ 29 6.2.2 Regularidades numéricas ........................................................................ 29

7. Números imaginarios (II) .................................................................................... 30

8. Números complejos (C ) ...................................................................................... 30

PRESENTACIÓN

CAPíTulo 1: NúMERoS y PRoPoRCIoNAlIdAd

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II. Razones, proporciones, porcentajes e interés ............................................... 38

1. Razones y proporciones ....................................................................................... 38 1.1 Razón ............................................................................................................... 38 1.2 Proporción ........................................................................................................ 38 1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones ............................................. 38 1.2.2 Propiedades de las proporciones ............................................................ 39 1.2.3 Clasificación de las proporciones ............................................................ 39 1.2.4 Serie de razones o proporciones ............................................................. 40 2. Proporcionalidad .................................................................................................. 41 2.1 Directa ............................................................................................................... 41 2.2 Inversa ............................................................................................................... 41 2.3 Compuesta ........................................................................................................ 42

3. Porcentaje ............................................................................................................ 43 3.1 Relación en porcentajes ..................................................................................... 44 3.2 Variación porcentual (∆%) ................................................................................. 45 3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de pérdida (%P) .............................. 46 3.4 Interés ............................................................................................................... 46 3.4.1 Interés simple ......................................................................................... 46 3.4.2 Interés compuesto .................................................................................. 47

55

I. Potencias y raíces ........................................................................................... 56

1. Potencias .............................................................................................................. 56 1.1 Signos de una potencia ..................................................................................... 56 1.2 Propiedades ...................................................................................................... 57 1.2.1 Multiplicación de potencias .................................................................... 57 1.2.2 División de potencias ............................................................................. 57 1.2.3 Potencia de una potencia ....................................................................... 58 1.2.4 Potencias de exponente negativo ........................................................... 58 1.2.5 Potencias de exponente cero .................................................................. 59 1.3 Potencias de base 10 ......................................................................................... 59

2. Raíces ................................................................................................................... 64 2.1 Propiedades ...................................................................................................... 64 2.1.1 Relación de la raíz y la potencia .............................................................. 64 2.1.2 Multiplicación de raíces de igual índice .................................................. 64 2.1.3 División de raíces de igual índice ............................................................ 65 2.1.4 Composición o descomposición de raíces .............................................. 65 2.1.5 Raíz de una raíz ...................................................................................... 65 2.2 Racionalización ................................................................................................. 65

II. Álgebra .......................................................................................................... 72

1. Conceptos importantes ....................................................................................... 72 1.1 Término algebraico ........................................................................................... 72 1.2 Expresión algebraica ......................................................................................... 73 1.2.1 Clasificación ............................................................................................ 73 1.2.2 Grado ..................................................................................................... 73

CAPíTulo 2: ÁlGEBRA y FuNCIoNES

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1.3 Términos semejantes ......................................................................................... 74 2. operaciones algebraicas ............................................................................................. 74 2.1 Adición y sustracción ........................................................................................ 74 2.2 Multiplicación ................................................................................................... 75 2.2.1 Productos notables ................................................................................. 75 2.3 Factorización ..................................................................................................... 76 2.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m) ...................................................................... 78 2.5 Máximo común divisor (M.C.D) ......................................................................... 79

3. operatoria con fracciones algebraicas ................................................................ 79 3.1 Adición y sustracción ........................................................................................ 79 3.2 Multiplicación ................................................................................................... 80 3.3 División ............................................................................................................. 80

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones ........................................................... 85 1. Ecuaciones lineales .............................................................................................. 85 1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros ...................................... 86 1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios .............................. 87 1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado......................................................... 87 1.4 Ecuaciones literales de primer grado ................................................................ 88

2. Metalenguaje y problemas de planteo ............................................................... 88

3. Sistemas de ecuaciones lineales .......................................................................... 90 3.1 Métodos de resolución ..................................................................................... 90 3.2 Representación grafica ..................................................................................... 94

IV. Inecuaciones lineales ..................................................................................... 102

1. desigualdades ...................................................................................................... 102 1.1 Propiedades ...................................................................................................... 102 1.2 Intervalos .......................................................................................................... 104

2. Inecuaciones lineales ........................................................................................... 105

3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita ........................................ 105

V. Relaciones y funciones .................................................................................. 112

1. Nociones de conjuntos ........................................................................................ 112 2. Relaciones ............................................................................................................ 116 2.1 Producto cartesiano .......................................................................................... 116 2.2 Concepto de relación ........................................................................................ 116

3. Funciones ............................................................................................................ 117 3.1 Concepto de función......................................................................................... 117 3.2 Representación gráfica ..................................................................................... 118 3.3 Clasificación de funciones ................................................................................. 119

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VI. Funciones de variable real ............................................................................. 127

1. Función afín ......................................................................................................... 127

2. Función parte entera ........................................................................................... 130

3. Función valor absoluto ........................................................................................ 131 3.1 Propiedades del valor absoluto ......................................................................... 131

4. Función raíz cuadrada .......................................................................................... 132

5. Función cuadrática............................................................................................... 133 5.1 Gráfica .............................................................................................................. 133 5.1.1 Concavidad ............................................................................................. 133 5.1.2 Eje de simetría y vértice .......................................................................... 133 5.1.3 Intersección con los ejes ......................................................................... 134 5.2 Ecuación de segundo grado .............................................................................. 135 5.2.1 Propiedades de las raíces o soluciones ................................................... 135

6. Función exponencial ............................................................................................ 137 6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial ........................................... 137

7. Función logarítmica ............................................................................................. 138 7.1 Logaritmos ........................................................................................................ 139 7.1.1 Tipos de logaritmos ................................................................................ 139 7.1.2 Propiedades ............................................................................................ 139 7.2 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .......................................................... 141 7.2.1 Exponencial ............................................................................................ 141 7.2.2 Logarítmica ............................................................................................ 142 7.3 Aplicaciones ...................................................................................................... 142

151

I. Ángulos y polígonos ...................................................................................... 152

1. Ángulos ................................................................................................................ 152 1.1 Sistemas de medida .......................................................................................... 152 1.1.1 Unidades de los sistemas ........................................................................ 153 1.1.2 Transformación de un sistema en otro ................................................... 153 1.2 Clasificación de ángulos .................................................................................... 154 1.3 Relaciones angulares ......................................................................................... 154 1.4 Ángulos entre paralelas .................................................................................... 155 2. Polígonos ............................................................................................................. 156 2.1 Elementos de un polígono ................................................................................ 156 2.2 Clasificación de polígonos ................................................................................ 157 2.3 Generalidades en un polígono convexo de n lados ........................................... 157 2.3.1 Número de diagonales desde un vértice ................................................ 157 2.3.2 Número total de diagonales ................................................................... 158 2.3.3 Suma de los ángulos interiores de un polígono ..................................... 158 2.3.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo ....................... 158

CAPíTulo 3: GEoMETRíA

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II. Triángulos ...................................................................................................... 166

1. Elementos primarios ............................................................................................ 166

2. Teoremas fundamentales .................................................................................... 166

3. Elementos secundarios ........................................................................................ 167 3.1 Altura ............................................................................................................... 167 3.2 Bisectriz ............................................................................................................ 168 3.3 Simetral ............................................................................................................. 168 3.4 Mediana ............................................................................................................ 169 3.5 Transversal de gravedad .................................................................................... 169

4. Generalidades ...................................................................................................... 170 4.1 Área ............................................................................................................... 170 4.2 Perímetro .......................................................................................................... 170

5. Clasificación de triángulos ................................................................................. 171 5.1 Según sus ángulos ............................................................................................ 171 5.1.1 Teoremas en el triángulo rectángulo ...................................................... 171 5.1.2 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ...................................... 172 5.2 Según sus lados ............................................................................................... 173 5.2.1 Propiedades del triángulo equilátero ..................................................... 173 5.2.2 Propiedades del triángulo isósceles ........................................................ 174

III. Trigonometría en el triángulo rectángulo .................................................... 183

1. Razones trigonométricas ..................................................................................... 183 2. Identidades trigonométricas ............................................................................... 184

3. Aplicaciones ......................................................................................................... 184 3.1 Ángulos de elevación y de depresión ................................................................ 184 3.2 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos más utilizados ........... 185

IV. Cuadriláteros ................................................................................................. 192

1. Elementos primarios ............................................................................................ 192

2. Teoremas fundamentales .................................................................................... 192 3. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados ............... 193 3.1 Paralelógramos ................................................................................................. 193 3.2 Trapecios ........................................................................................................... 194 3.3 Trapezoides ....................................................................................................... 194

V. Circunferencia y círculo ................................................................................. 206

1. Elementos .......................................................................................................... 206

2. Generalidades ..................................................................................................... 207 2.1 Perímetros ......................................................................................................... 207

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2.1.1 Perímetro de la circunferencia ................................................................ 207 2.1.2 Perímetro del sector circular ................................................................... 207 2.2 Áreas ............................................................................................................... 207 2.2.1 Área del círculo ....................................................................................... 207 2.2.2 Área del sector circular ........................................................................... 208

3. Ángulos en la circunferencia .............................................................................. 208 3.1 Ángulo del centro ............................................................................................. 208 3.2 Ángulo inscrito ................................................................................................. 208 3.2.1 Ángulo inscrito en una semicircunferencia ............................................. 209 3.2.2 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ............................................ 209 3.3 Ángulo semi-inscrito ......................................................................................... 209 3.4 Ángulo interior.................................................................................................. 210 3.5 Ángulo exterior ................................................................................................. 210

4. Proporcionalidad en la circunferencia ............................................................... 210 4.1 Teorema de las cuerdas ..................................................................................... 210 4.2 Teorema de las secantes ................................................................................... 210 4.3 Teorema de la tangente y la secante ................................................................. 211 4.4 Igualdad de tangentes ...................................................................................... 211

VI. Geometría de proporción .............................................................................. 220

1. Congruencia ........................................................................................................ 220 1.1 Elementos correspondientes en los triángulos .................................................. 220 1.2 Criterios de congruencia en triángulos ............................................................. 220

2. Equivalencia ....................................................................................................... 221

3. Semejanza ........................................................................................................... 221 3.1 Criterios de semejanza en triángulos ................................................................ 221 3.2 Propiedades de los triángulos semejantes ........................................................ 221 3.3 Teorema de Thales ........................................................................................... 222 3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales ............................................... 223 3.4 Teorema de la bisectriz ..................................................................................... 223

4. división de un segmento .................................................................................... 224 4.1 División interior ................................................................................................. 224 4.1.1 Sección áurea o divina ............................................................................ 224 4.2 División exterior ................................................................................................ 224 4.3 División armónica ............................................................................................. 224

VII. Cuerpos geométricos .................................................................................... 225

1. Poliedros ........................................................................................................... 225 1.1 Elementos ......................................................................................................... 225 1.2 Clasificación ...................................................................................................... 225 1.2.1 Poliedros regulares ................................................................................. 225 1.2.2 Poliedros irregulares ............................................................................... 226 1.3 Área y volumen de algunos poliedros ............................................................... 226 1.3.1 Cubo o hexaedro .................................................................................... 226 1.3.2 Paralelepípedo ........................................................................................ 226

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2. Cuerpos redondos .............................................................................................. 226 2.1 Cilindro ............................................................................................................. 226 2.2 Cono ............................................................................................................... 227 2.3 Esfera ............................................................................................................... 229

VIII. Geometría analítica y Transformaciones isométricas ................................... 237

1. Plano cartesiano ................................................................................................ 237 1.1 Definición .......................................................................................................... 237 1.2 Coordenadas de un punto ................................................................................ 237 1.3 Cuadrantes ........................................................................................................ 237 1.4 Distancia y punto medio entre dos puntos ....................................................... 238 2. la recta ........................................................................................................... 238 2.1 Pendiente .......................................................................................................... 238 2.2 Ecuación de la recta .......................................................................................... 239 2.2.1 Ecuación general .................................................................................... 239 2.2.2 Ecuación principal .................................................................................. 239 2.3 Posición relativa entre rectas ............................................................................ 240 2.3.1 Rectas coincidentes ................................................................................ 240 2.3.2 Rectas paralelas ...................................................................................... 240 2.3.3 Rectas perpendiculares ........................................................................... 240

3. Transformaciones isométricas ............................................................................ 241 3.1 Traslación .......................................................................................................... 241 3.1.1 Propiedades ............................................................................................ 241 3.2 Rotación ............................................................................................................ 241 3.2.1 Propiedades ............................................................................................. 242 3.3 Simetría ............................................................................................................. 243 3.3.1 Central .................................................................................................... 243 3.3.2 Axial ...................................................................................................... 243 3.3.3 Propiedades de las simetrías................................................................... 244 4. Teselaciones ........................................................................................................ 245 4.1 Teselaciones regulares ........................................................................................ 245

5. Homotecia ........................................................................................................... 245 6. Geometría tridimensional .................................................................................. 246 6.1 Plano tridimensional ......................................................................................... 246 6.2 Ángulos diedros ................................................................................................ 247 6.3 Posición relativa de planos y rectas ................................................................... 248

257

I. Probabilidad ................................................................................................. 258

1. Combinatoria ...................................................................................................... 258 1.1 Principio multiplicativo ..................................................................................... 258 1.2 Permutaciones .................................................................................................. 259 1.2.1 Sin repetición ......................................................................................... 259 1.2.2 Con repetición ........................................................................................ 259 1.3 Variaciones ........................................................................................................ 259 1.3.1 Sin repetición ......................................................................................... 259

CAPíTulo 4: PRoBABIlIdAd y ESTAdíSTICA

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1.3.2 Con repetición ........................................................................................ 260 1.4 Combinaciones ................................................................................................. 260 1.4.1 Sin repetición ......................................................................................... 260 1.4.2 Con repetición ........................................................................................ 260

2. Probabilidades .................................................................................................... 261 2.1 Definiciones ...................................................................................................... 261 2.1.1 Experimento aleatorio ............................................................................ 261 2.1.2 Espacio muestral (E) ............................................................................... 261 2.1.3 Evento o suceso ...................................................................................... 262 2.2 Ley de los Grandes Números ............................................................................. 262 2.3 Probabilidad clásica o “a priori” ........................................................................ 262 2.3.1 Diagrama de árbol .................................................................................. 263 2.3.2 Tipos de sucesos ..................................................................................... 264 2.4 Probabilidad total ............................................................................................. 265 2.5 Probabilidad condicionada ............................................................................... 267 2.6 Probabilidad compuesta ................................................................................... 267

II. Estadística .................................................................................................................. 275

1. Conceptos básicos .............................................................................................. 275

2. Tipos de gráficos ................................................................................................. 277 2.1 Gráficos de barras ............................................................................................. 277 2.2 Histogramas ...................................................................................................... 278 2.3 Polígono de frecuencias .................................................................................... 279 2.4 Gráficos circulares ............................................................................................. 279 2.5 Pictogramas ...................................................................................................... 280

3. distribución de frecuencias ................................................................................ 280 3.1 Tablas de datos No agrupados ......................................................................... 281 3.2 Tablas de datos agrupados ............................................................................... 282

4. Medidas de tendencia central ............................................................................ 284 4.1 Media aritmética o promedio (x) ...................................................................... 284

4.2 Mediana (Me) .................................................................................................... 285

4.3 Moda (Mo) ........................................................................................................ 285

5. Medidas de dispersión........................................................................................ 286 5.1 Varianza (σ2) ..................................................................................................... 286 5.2 Desviación típica o estándar ............................................................................ 287

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PRESENTACIÓN

Con el propósito de ayudarte en la adecuada preparación de la PSU de Matemática, te invitamos a iniciar un recorrido por las páginas de este libro. En sus capítulos, encontrarás el desarrollo de los contenidos establecidos por el DEMRE – Departamento

de Evaluación, Medición y Registro Estudiantil – para el currículo de esta área.

Con el fin de complementar tu proceso de aprendizaje, este libro contiene una serie de íconos didácticos que te indicarán distintas estrategias para optimizar tu modelo de lectura y análisis de los temas que se incluyen. Finalmente encontrarás

resolución detallada de algunos problemas, actividades adicionales para resolver y ejercitación PSU en cada capítulo.

Es importante que recuerdes que la Prueba de Selección Universitaria (PSU) mide, además, la integración de los contenidos dentro de la transversalidad del

conocimiento, es decir, evalúa ciertas destrezas cognitivas (habilidades), necesarias para resolver cada problema. Con el propósito de orientarte en los procesos cognitivos que se evalúan, en la página siguiente te presentamos las habilidades consideradas en la PSU, de modo que durante

la ejercitación de cada capítulo identifiques qué habilidad se desarrolla y potencies así tu capacidad de resolución

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Habilidades evaluadas

ConocimientoReconocer información explícita que no implica un mayor manejo de contenidos.

ComprensiónAdemás del reconocimiento explícito de la información, ésta debe ser relacionada para manejar el contenido evaluado.

AplicaciónEs el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos asimilados.

AnálisisImplica conocer, comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que no necesariamente son de conocimiento directo.

EvaluaciónEs la más compleja de las habilidades. Implica conocer, comprender, discriminar, seleccionar y concluir información para argumentar una respuesta.

Íconos didácticos

Conceptos fundamentales

Indica aquellos conceptos básicos que debes necesariamente dominar al término de la unidad.

Sabías que...Indica conceptos que puedes encontrar desarrollados en la vida cotidiana, son la aplicación real de contenidos, con la finalidad de que los asocies de manera didáctica.

Ojo conIndica conceptos que debes manejar respecto a un contenido y que no debes olvidar o confundir.

Ejercicios PSUIndica, al final de cada capítulo, aquellos ejercicios que reproducen la misma estructura de una pregunta PSU. También encontrarás el antecedente de la habilidad evaluada en cada ejercicio.

Ejercicios Resueltos

Muestra la resolución paso a paso de ejercicios para facilitar la comprensión en el desarrollo de un problema.

Esquema deSíntesis

Indica esquemas en donde se resumen una serie de conceptos importantes del capítulo.

NúmERoS yPRoPoRCIoNAlIDAD

Capítulo 1

Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales y aplicar sus propiedades determinando sus características.

Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de resolución.

Estimar y analizar los resultados en la realización de cálculos y ajustarlos a las características que necesita el problema.

Establecer relaciones de orden y posición de distintos tipos de números, utilizando la recta numérica y la inclusión en los conjuntos.

APRENdIzAjES ESPERAdoS

ESTUDIA EN

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capí

tulo

1Números y Proporcionalidad

En la ilustración se muestra un fragmento de la pintura mural que adorna la tumba de un príncipe en Tebas, que vivió en tiempos del rey Tutmosis IV de la XVII dinastía (siglo XV a.C). Seis escribas contables controlan a cuatro obreros que cuentan el grano pasándolo de un montón a otro.

I. Conjuntos numéricos

1. Números naturales (IN)

El conjunto de los números naturales, que designaremos por la letra IN, corresponde a:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Este conjunto tiene algunas características:

• Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el número aumentado en una unidad. El antecesor de un número natural es el número disminuido en una unidad. Por ejemplo: el sucesor de 27 es 28, el de 501 es 502, etc.

• Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor. Por ejemplo: el antecesor de 10 es 9, el de 912 es 911, etc.

• El conjunto de los Números naturales es infinito, es decir, no existe un último número natural.

1.1 Pares e impares

Este conjunto se puede separar en dos “subconjuntos”: los pares y los impares, y ningún número pertenece a ambos.

Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden también generalizar para los números pares e impares, obte-niendo de esta forma los conceptos de “par sucesor”, “par antecesor”, “impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 37 es 39 y el par antecesor de 48 es 46.

Esquema de síntesis

Consecutividad numérican – 1

antecesor

n + 1sucesor

n

Naturales consecutivos

2n – 2 2n + 22nantecesor par sucesor par

Números impares: Son de la forma: 2n – 1; n ∈ IN.

2n – 3 2n + 12n – 1antecesor impar sucesor impar

Paridad e imparidad

Números pares: Son de la forma: 2n; n ∈ IN.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

1.2 Primos

Son aquellos que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo número, es decir, dichos números se pueden dividir por uno y por sí mismos. Por ejemplo, el 23 es un número primo, pues sus factores son exactamente dos, el 1 y el 23. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

Primos relativos o primos entre sí son aquellos que, no siendo primos necesariamente, no tienen factores primos comunes.

Ejemplo: 1) 21 y 25: 21 posee como factores primos el 3 y el 7, 25 posee al 5. 2) 32 y 15: 15 posee como factores primos el 3 y el 5, 32 posee al 2.

Los números primos tienen gran importancia, porque cualquier número natural mayor que uno es primo o se puede expresar como producto de números primos. Por ejemplo, el número 150 se puede expresar como 2 · 3 · 5 · 5 o escrito en potencias: 2 · 3 · 52.

Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el estudio de las propiedades de los números; entre ellas, los divisores de un número, el cálculo del máximo común divisor (M.C.D.) y del mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Para descomponer un número en factores primos, procederemos dividiendo el número sucesivamente por los números primos hasta llegar al último factor primo, tal como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:Descomponer el número 700 en factores primos:

700 2350 2175 535 57 71

Por lo tanto, la descomposición de 700 en factores primos corresponde a: 2 · 2 · 5 · 5 · 7, el cual se puede escribir en notación de potencias de la siguiente forma: 22 · 52 · 7.

1.3 Múltiplos y divisores

En la radio FM “Retro”, cada 30 minutos se anuncia la hora mediante una grabación automática. Las horas son anunciadas a los 30, 60, 90, 120 minutos, etc., después de la primera vez. Estos números corresponden a los múltiplos de 30 y son la multiplicación de 30 por los números naturales 1, 2, 3, 4,..., etc.

Un ejemplo de múltiplos de un número cualquiera podrían ser los múltiplos del número 14, los que se designan con el símbolo M(14) y corresponde al conjunto: {14, 28, 42, 56, 70,...}

Supongamos que queremos saber si el número 168 está o no en este conjunto. Para ello, deberíamos saber si “14” divide exactamente a 168 o no.

Efectivamente, 168 = 14 · 12; por lo tanto, 168 es múltiplo de 14 y también podemos decir que 168 es divisible por 14. Entonces, los conceptos de múltiplo y divisor están fuertemente relacionados: “si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a”, y viceversa.

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1Para determinar en forma rápida si un número es divisible o no por otro, existen las llamadas reglas de divisibilidad, algunas de las cuales se presentan a continuación:

• Un número es divisible por dos si su última cifra es un número par o cero. Ejemplo: 58, ya que 8 es número par.

• Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ejemplo: 42, ya que 4 + 2 = 6 y éste es múltiplo de tres.

• Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o ambos son ceros.

Ejemplo: 708, ya que 8 es múltiplo de cuatro.

• Un número es divisible por cinco si su última cifra es cero o cinco. Ejemplos: 85 y 50.

• Un número es divisible por seis si es divisible por dos y tres a la vez. Ejemplo: 42.

• Un número es divisible por nueve si la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. Ejemplo: 3.699, ya que 3 + 6 + 9 + 9 = 27 y éste es múltiplo de nueve.

• Un número es divisible por diez si su última cifra es cero. Ejemplo: 3.840

Los divisores de un número los puedes determinar si ocupas las reglas anteriores o bien si efectúas la descom-posición en factores primos. Por ejemplo, para hallar los divisores de 60, podemos encontrar su descomposi-ción en factores primos:

60 320 54 22 21

Entonces 60 = 3 · 5 · 22.

Los números que dividen a 60 son el 1, cada uno de sus factores primos y todos los productos posibles entre ellos.

El conjunto de los divisores de 60 se puede escribir:D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

1.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima de todos los números y multiplicando todos los factores distintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tenga en las descomposiciones.

El máximo común divisor (M.C.D.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima y multiplicando posteriormente los factores comunes elevados cada uno al menor exponente que tenga en las descomposiciones.A continuación, te presentamos dos situaciones de la vida diaria donde se aplica el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor:

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

• Juan compró un vehículo y se dio cuenta de que el cambio de aceite debía hacerse cada 6.000 km; el cambio de filtro de aceite cada 10.000 km; y la revisión de frenos, cada 12.000 km. Luego se pre-guntó: si tuviera que hacer las tres cosas a la vez, ¿en cuántos kiló-metros más las tendré que realizar?

Al contar determinó lo siguiente:

Cambios de aceite: 6.000, 12.000, 18.000, 24.000, 30.000,... Cambios de filtro: 10.000, 20.000, 30.000, 40.000, 50.000,... Revisión de frenos: 12.000, 24.000, 36.000, 48.000, 60.000,...

Y luego surgió la respuesta: el número corresponde al menor de los múltiplos comunes, es decir, al m.c.m. (mínimo común múltiplo).

El cálculo del m.c.m. se puede realizar utilizando la descomposición en factores primos de los números, es decir: 6.000 = 24 · 3 · 53 10.000 = 24 · 54 12.000 = 25 · 3 · 53

Ahora, para hallar el m.c.m. se deben multiplicar todos los factores distintos que aparecen en las descom-posiciones, elevados al mayor exponente que aparezca en cada base.

En este caso el m.c.m. es: 25 · 3 · 54 = 60.000

• Fanny está a cargo del festival del instituto donde estudia y debe empapelar una parte de una pared con cuadrados de cartulina de diversos colores.

El pliego de cartulina de color tiene un tamaño de 84 por 108 cm y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles para que no sobre material en cada pliego. ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado para que cumpla con lo anterior?

Para resolver esto, Fanny debería calcular el máximo común divisor (M.C.D.) entre 84 y 108.

El cálculo del M.C.D. se obtiene al igual que en los ejemplos anteriores a través de la descomposición en factores primos:

84 108 127 9 71 9 91 1

Se puede observar que el mayor número que divide simultáneamente ambos números es 12, el cual corres-ponde al M.C.D. Finalmente, Fanny deberá cortar trozos de cartulina de 12 por 12 cm para que no le sobre ningún pedazo y así optimizar la cartulina.

Un número se puede escribir de una única manera como un producto de números primos.

Ejemplo: 6.000 = 24 · 3 · 53 10.000 = 24 · 54 12.000 = 25 · 3 · 53 2.700 = 22 · 33 · 52, etc.

Sabías que...

El primer elemento de este conjunto,

es decir, el “1”, por defini-ción, NO es primo.

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11.5 Operaciones en los números naturales (IN)

Las operaciones aritméticas que se definen en este conjunto son las siguientes:

a. Adición

Sean dos números naturales a y b, la adición de números naturales se expresa por: a + b

Propiedades

• Clausura (a + b) ∈ IN, ∀ a, b ∈ IN Ejemplo: 5 + 3 = 8, de tal forma que 8 ∈ IN

• Conmutativa a + b = b + a, ∀ a, b ∈ IN Ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5 8 = 8

• Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ IN Ejemplo: 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 10 = 10

Nota: No existe elemento neutro para la adición.

b. Sustracción

Sean dos números naturales a y b, la sustracción o diferencia de números naturales se expresa por a – b, con:

(a – b) ∈ IN si y sólo si a > b, ∀ a , b ∈ IN, con a: “minuendo” y b: “sustraendo”Ejemplo: 5 > 3 ⇒ 5 – 3 = 2 ∈ IN 10 < 18 ⇒ 10 – 18 = – 8 ∉ IN

c. Multiplicación

Sean dos números naturales a y b, la multiplicación o producto de números naturales se expresa por: a · b.

Propiedades

• Clausura (a · b) ∈ IN, ∀ a, b ∈ IN Ejemplo: 5 · 3 = 15, de tal forma que 15 ∈ IN

• Conmutativa a · b = b · a, ∀ a, b ∈ IN Ejemplo: 5 · 3 = 3 · 5 15 = 15

• Asociativa a · (b · c) = (a · b) · c, ∀ a, b, c ∈ IN Ejemplo: 10 · (5 · 2) = (10 · 5) · 2 10 · 10 = 50 · 2 100 = 100

• Elemento Neutro 1 · a = a · 1, ∀ a ∈ IN Ejemplo: 1 · 5 = 5 · 1

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

La “multiplicación” es distributiva con respecto a la “suma”, es decir: a · (b + c) = a · b + a · c , ∀ a, b, c ∈ IN

Ejemplo: 5 · (3 + 7) = 5 · 3 + 5 · 7 5 · 10 = 15 + 35 50 = 50

d. División

Sean dos números naturales a y b, la división de números naturales se expresa por (a : b), con:

(a : b) ∈ IN si y sólo si a es divisible por bEjemplo: 10 : 2 = 5 ∈ IN, ya que 10 es divisible por 2 6 : 5 = 1,2 ∉ IN, ya que 6 no es divisible por 5

Ser divisible significa que el resto es cero y el cuociente (división) no tiene decimales.

2. Números cardinales (IN0)

Este conjunto se define por:

IN0 = {0,1,2,3,...}, es decir, según el conjunto anterior:

IN0= {0} ∪ IN

2.1 Operaciones en los números cardinales (IN0)

Las operaciones aritméticas que se definen en este conjunto, al igual que en el conjunto anterior, son las siguientes:

a. Adición

Sean dos números cardinales a y b, la adición de números cardinales se expresa por: a + b.

Propiedades

• Clausura. (a + b) ∈ IN0 , ∀ a, b ∈ IN0

• Conmutativa. a + b = b + a, ∀ a, b ∈ IN0

• Asociativa. a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a, b, c ∈ IN0

• Elemento neutro aditivo. El cero “0” cumple con: a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ IN0

b. Sustracción

Sean dos números cardinales a y b, la sustracción o diferencia de números cardinales se expresa por (a – b), con:

(a – b) ∈ IN0 si y sólo si a ≥ b, ∀ a, b ∈ IN0

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1c. Multiplicación

Sean dos números cardinales a y b, la multiplicación de números cardinales se expresa por: a · b.

Propiedades

• Clausura. (a · b) ∈ IN0 , ∀ a, b ∈ IN0

• Conmutativa. a · b = b · a, ∀ a, b ∈ IN0

• Asociativa. (a · b) · c = a · (b · c), ∀ a, b, c ∈ IN0

• Elemento neutro multiplicativo. 1 · a = a, ∀ a ∈ IN0

• El 0 es absorbente. a · 0 = 0, ∀ a ∈ IN0

• Distributividad respecto a la suma. a · (b + c) = a · b + a · c, ∀ a, b, c ∈ IN0

d. División

Sean dos números cardinales a y b, la división de números cardinales se expresa por (a : b). La división por cero no está definida en este conjunto, luego:

(a : b) ∈ IN0 si a es divisible por b, y b ≠ 0

3. Números enteros (Z)

Los números enteros conforman el conjunto:

Z = {...,– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, los números naturales corresponden a los números enteros positivos.

En los números naturales y cardinales ya se han descrito las operaciones aritméticas básicas, las cuales podemos extender a todo el conjunto de los números enteros.

Al sumar, restar o multiplicar números enteros, el resultado es siempre un número entero. En cambio, en la división no siempre es así.

Z = { ……– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 ……}

………… – 2, – 1, 0, 1, 2, ………– ∞ + ∞

Z – Z+= IN

3.1 Operaciones en los números enteros (Z)

a. Adición

Sean dos números enteros a y b, la adición de números enteros se expresa por: a + b.

La adición de dos números enteros de igual signo se obtiene sumando los valores absolutos de cada número entero y manteniendo el signo de los sumandos.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

El valor absoluto de un número se puede interpretar en la recta numérica como la distancia del número al cero. Por lo tanto, siempre es positivo o cero. La representación del valor absoluto de un número entero se puede establecer a través de la siguiente regla.

x, si x ≥ 0

|x| =

− x, si x < 0

Ejemplos: |– 3| = 3 |0| = 0 |7| = 7

Conceptos fundamentales

Propiedades

• Clausura (a + b) ∈ Z , ∀ a, b ∈ Z

• Conmutativa (a + b) = b + a, ∀ a, b ∈ Z Ejemplo: – 5 + 2 = 2 + – 5 – 3 = – 3

• Asociativa (a + b) + c = a + (b + c), ∀ a, b, c ∈ Z Ejemplo: ((– 8) + 2) + (– 3) = (– 8) + (2 + (– 3)) (– 6) + (– 3) = (– 8) + (– 1) – 9 = – 9

• Elemento neutro aditivo a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ Z Ejemplo: 5 + 0 = 0 + 5 = 5 – 3 + 0 = 0 + – 3 = – 3

• Elemento inverso aditivo a + (– a) = (– a) + a = 0, ∀ a ∈ Z El “opuesto” de a es (– a) o (– a) es el “inverso aditivo” de a.

Ejemplo: El opuesto de 3 es – 3 El opuesto de – 5 es 5

La suma de un número positivo con uno negativo se obtiene restando los valores absolutos de cada número y colocando el signo del mayor valor absoluto.

b. Sustracción

Sean dos números enteros a y b, la sustracción o diferencia de números enteros se expresa por (a – b), con:

(a – b) ∈ Z ∀ a, b ∈ Z

La anterior definición determina que en este conjunto siempre existe un elemento que representa la diferencia entre dos elementos cualesquiera, es decir, a partir del conjunto de los números enteros se puede realizar cualquier sustracción.

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1 Ejemplo: 7 – 4 = 3 8 – 19 = – 11

La diferencia entre dos números enteros no es conmutativa, por lo que tampoco es asociativa.

Ejemplo: 7 – 4 = 3 4 – 7 = – 3

c. Multiplicación

Sean dos números enteros a y b, la multiplicación de números enteros se expresa por: a · b. Se deben mencionar los siguientes casos:

• El producto de dos números enteros de igual signo se obtiene multiplicando los números y anteponiendo el signo positivo, es decir, la multiplicación de números enteros de igual signo es siempre “positiva”.

• El producto de dos números enteros de distinto signo se obtiene multiplicando los valores absolutos de los números y anteponiendo el signo negativo, es decir, la multiplicación de números enteros de distinto signo siempre es “negativa”.

Ejemplo:

3 · (– 120.000) = – 360.000 (– 3) · (– 120.000) = 360.000

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0.

d. División

Sean dos números enteros a y b, la división de números enteros se expresa por (a : b).

La división, al igual que en los Números Naturales, es la operación inversa de la multiplicación. Es decir, dividir 14 : 2 corresponde a determinar qué número multiplicado por 2 da como resultado 14.

Luego, para dividir números enteros se deben dividir los valores absolutos de los números y asignarles signo de la misma forma que al multiplicar:

• Si se dividen dos números de igual signo, el resultado es positivo. • Si se dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo.

En el ejemplo anterior – 14 : 2 = – 7.

En resumen, se puede establecer una regla de signos para la multiplicación y división de números enteros, la cual se resume en la siguiente tabla:

Regla de los signos

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

3.2 Prioridad de las operaciones

Al igual que en la operatoria con números naturales y cardinales, en los números enteros hay algunas operaciones que tienen prioridad sobre otras. De lo contrario, en cálculos como – 20 : 5 + 7, no se sabría si calcular primero la división o la suma.

En cálculos con expresiones que tengan paréntesis y operaciones combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el siguiente:

1º Las operaciones que están entre paréntesis, partiendo de los interiores a los exteriores.2º Potencias.3º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

4º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Ejemplo: (– 32 + (– 28 + 13)) – (– 12) : (– 3) =

1º Calcular lo que aparece en el paréntesis interior: – 28 + 13 = – 15 Calcular el paréntesis exterior: – 32 + (– 15) = – 472º Calcular la división: – 47 – (– 12) : (– 3) = – 47 – 43º Calcular la sustracción: – 47 – 4 = – 51 Resultado: – 51

4. Números racionales (Q)

Son aquellos que se pueden escribir de la forma ab y pertenecen al conjunto:

Q = { ab

/ a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0 }a : numerador (dividendo)b : denominador (divisor)

Éstos están formados por todos los números que se pueden escribir como una fracción, cuyos numerador y denominador son números enteros, pero el denominador es diferente de cero.

Ejemplo:– 0,25 ;

– 34

; – 11,5 ; – 8 27

; – 9 ; 0,6666...

4.1 Propiedades de las fracciones

• Amplificar y simplificar fracciones son procedimientos que no cambian el valor de una fracción.

Ejemplo: 45

= 4 · 65 · 6

= 2430

( 45

amplificado por 6 )

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1• Simplificar una fracción es el proceso inverso de amplificar, o sea, se dividen el numerador y el denominador

por un mismo número.

Ejemplo: 2436

= 12 · 212 · 3

= 23

( 2436

simplificado por 12 )

• El inverso multiplicativo o recíproco del número ab

es ba

, siempre que a y b sean distintos de cero.

• La prioridad de operaciones también se aplica a la operatoria con fracciones.

4.2 Operaciones en los números racionales (Q )

Sean a, b, c, d diferentes de cero

a. Adición y sustracción ab

± cd

= a · d ± b · cb · d

b. Multiplicación ab

· cd

= a · cb · d

c. División ab

: cd

= ab

· dc

= a · db · c

d. Número mixto E pq

= E + pq =

E · q + pq

No es lo mismo 7 · 23

que 7 23

, porque el primero es un producto de un número

entero por una fracción y el segundo un número mixto.

143

≠ 21 + 23

4.3 Transformaciones

a. De fracción a decimal

Para esto basta dividir el numerador por el denominador.

b. De decimal finito a fracción común

La fracción que resulta tiene por numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente será el número total de decimales.

Ejemplo: 0,125 = 125

103 =

125

1.000 =

1

8

1,125 = 1.1251.000

= 9

8

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

c. De decimal periódico a fracción común

La fracción resultante tiene como numerador el período y como denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo: 0,45= 4599

= 511

( 45: período)

1,45 = 1 + 0,45 = 1 + 4599

= 99 + 45

99 =

14499

d. De decimal semiperiódico a fracción común

La fracción tiene como numerador un número formado por el número sin la coma menos lo que está antes del período, y como denominador un número con tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplo: 0,527 = 527 – 5

990 =

522990

= 261495

= 87165

= 2955

1,32= 132 – 13

90 =

11990

4.4 Comparación de fracciones

Comparar fracciones significa ordenarlas en forma creciente o decreciente dos o más fracciones. Los métodos más comunes son:

• Multiplicación cruzada: Este método es conveniente si son pocas fracciones a comparar.

Ejemplo:

Al comparar 211

y 317

2 · 17 3 · 11 Se tiene que multiplicar cruzado, teniendo el cuidado de dejar el resultado bajo la fracción cuyo numerador es utilizado en el producto.

34 33, como 34 > 33 entonces 211

> 317

• Igualar denominadores: Este método es conveniente utilizar cuando son varias fracciones a comparar. Se calcula el m.c.m. de los denominadores y cada fracción es amplificada para que tenga el mismo denominador, luego se comparan los numeradores.

Ejemplo: 79

, 7190

y 77100

; el m.c.m. entre 9,90 y 100 es 900

700900

, 710900

y 693900

como 693 < 700 < 710 entonces

77100

< 79

< 7190

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1• Transformar a decimal: Se transforma de fracción a decimal y después se compara decimal a decimal.

Ejemplo:

79

= 0,7 = 0,777...

7190

= 0,78 = 0,788...

Al comparar decimales el primero es igual para los tres, en el

segundo el 8 es el mayor entonces 7190

es la fracción mayor y en

el tercer decimal 7 > 0

Luego, 7190

> 79

> 77

100

77100

= 0,77 = 0,770

5. Números irracionales (Q* )

Las transformaciones anteriores permiten determinar que los elementos del conjunto de los números racionales se clasifican en números decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos, los cuales se pueden también representar a través de una fracción.

Además de los números mencionados anteriormente, existen números decimales que tienen infinitas cifras decimales, sin período, los cuales no se pueden escribir como una fracción con numerador y denominador enteros. Estos elementos se llaman números irracionales.

En resumen, los números Irracionales son todos aquellos que no se pueden escribir de la forma a

b, con

a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0.

Q * = {…… ± �3, ± �2, ± π, ± �π ……}

Propiedades

• Q ∩ Q* = ∅• Q ∪ Q* = IR, con IR conjunto de los números reales

• Una secta matemática Nacido en la isla de Samos, Pitágoras habría sido discípulo de Thales, que enseñaba en Mileto, la ciudad vecina. Viajó mucho a Egipto y a Babilonia, antes de instalarse en una colonia griega del sur de Italia, Crotona. Fundó una secta a la vez científica, religiosa y política. Los pitagóricos estudiaban matemática y música. Buscaban la armonía universal, explicando el mundo con los números (enteros), atribuyendo un nombre a cada cosa. Predicaban una vida austera; compartían sus bienes y sus descubrimientos científicos.La escuela pitagórica, que existió hasta aproximadamente el año 400 a.C., dio origen a la aritmética. Los pitagóricos se consagran exclusivamente al estudio de los números enteros, que asimilaban a las figuras geométricas. El descubrimiento de los irracionales �2 , π, ... que volvía imposible esta correspondencia, provocó una gran crisis entre los pitagóricos, el primer drama de la historia de la matemática.

Sabías que...

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

6. Números reales (IR)

La unión entre los conjuntos de números racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales. La recta numérica nos permite representar este conjunto, ésta está formada por infinitos puntos. A cada punto sobre la recta le corresponde un número real único, que se denomina coordenada de ese punto. Por esta razón se dice que existe una correspondencia entre puntos de la recta y los números reales. Dicha recta se llama recta de coordenadas o recta de números reales. Finalmente, existe la libertad de tratar los números reales como puntos sobre dicha recta y viceversa.

– ∞ 0•• ••• • •

1 2 3 ………

�212 π

– 2 – 1 …… – 3

– �12– 3

2

∞ +

6.1 Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas

6.1.1 Análisis de cifras significativas

Excepto cuando todos los números de una operación son enteros (como, por ejemplo, al contar las aves de un corral), a menudo es imposible obtener el valor exacto de la cantidad que se investiga.

Por este motivo, es importante indicar el margen de error en las mediciones indicando claramente el número de cifras significativas: dígitos representativos de una magnitud medida o calculada. Cuando se cuentan las cifras significativas se sobreentiende que el último dígito es incierto.

Como ejemplo, si una probeta está graduada en mililitros y se encuentra que el volumen de un líquido es de 6 ml, el volumen real estará en el intervalo de 5 a 7 ml. El volumen del líquido se presenta como (6 ± 1) ml. En este caso sólo hay una cifra significativa, el número 6, que tiene incertidumbre de más o menos 1. Para mejorar la medición se podría utilizar una probeta con divisiones más finas, de tal manera que la incertidumbre fuera de sólo 0,1 ml si se encuentra que el volumen del líquido es de 6,0 ml, la cantidad se puede expresar como (6 ± 0,1) ml, y el valor correcto estará entre 5,9 y 6,1 ml. Se puede continuar mejorando las mediciones mediante el empleo de otros dispositivos y obtener más cifras significativas. En todo caso, el último dígito es siempre incierto; el valor de esta incertidumbre dependerá del instrumento de medición.

6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas

El análisis previo demuestra que en el trabajo científico siempre se debe tener cuidado de anotar el número adecuado de cifras significativas. En general, es bastante fácil determinar cuántas cifras significativas hay en un número si se siguen las siguientes reglas:

a. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. Así, 845 tiene tres cifras significativas; 1,234 kg tiene cuatro cifras significativas, etcétera.

b. Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos. Así, 606 m tiene tres cifras significati-vas; 40.501 tienen cinco cifras significativas, etcétera.

c. Los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero no son significativos. Estos ceros se usan para indicar el lugar del punto decimal. Así, 0,08 L tiene una cifra significativa; la medida 0,0000349 cm tiene tres cifras significativas, etcétera.

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1d. Si un número es mayor de 1, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras

significativas. Así 2,0 mg tiene dos cifras significativas; 40,062 ml tiene cinco cifras significativas; 3,040 tiene cuatro cifras significativas. Si el número es menor de 1, solamente los ceros que están al final del número o entre dígitos diferentes de cero son significativos. Así, la cifra 0,090 kg tiene dos cifras significativas; 0,3005 m/s tiene cuatro cifras significativas y, como último ejemplo, 0,00420 min tiene tres cifras significativas.

e. Para números sin punto decimal los ceros que están después del último dígito de cero pueden ser o no significativos. Así, 400 cm puede tener una cifra significativa (el dígito 4), dos (40) o tres (400). No es posible saber cuál es la cantidad correcta de cifras significativas si no se cuenta con mayor información. Sin embargo, empleando notación científica se puede evitar esta ambigüedad. En este caso particular, el número 400 puede expresarse como 4 x 102 para una cifra significativa, 4,0 x 102 para dos y 4,00 x 102 para tres.

El siguiente paso consiste en explicar cómo se manejan las cifras significativas en los cálculos. Es posible formular las siguientes normas:

1. En la adición y la sustracción el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la cantidad resultante está determinado por el número mínimo de cifras significativas a la derecha del punto decimal en cualquiera de los números originales. Por ejemplo:

una cifra significativa después del punto decimal se redondea a 90,4

89,332 + 1,1 90,432

dos cifras decimalesdespués del punto decimalse redondea 1,98

2,097– 0,12 1,977

El procedimiento para redondear es el siguiente: si se desea redondear un número hasta cierto punto, simplemente se eliminan los dígitos que no desean conservarse, si el primero, de izquierda a derecha, de los que se eliminan es menor de cinco (5). Así 8,724 se redondea a 8,72 si sólo se quieren dos cifras significativas después del punto decimal. Si el primer dígito que sigue al último número que se desea conservar es igual o mayor de cinco (5), dicho número se incrementa en una unidad. Así 8,727 se redondea a 8,73 y 0,425 se redondea a 0,43.

2. En el caso de la multiplicación y la división, el número de cifras significativas del producto o el del cuociente es igual al menor número de cifras significativas en las cantidades originales. Por ejemplo:

2,8 · 4,5039 = 12,61092 se redondea a 13; 6,85 : 112,04 = 0,0611388789 se redondea a 0,0611.

3. Debe tenerse presente que los números exactos obtenidos por definición o al contar un número de objetos pueden considerarse constituidos por una cantidad infinita de cifras significativas. Si un objeto tiene 0,2786 gramos, entonces la masa de 8 de tales objetos será: 0,2786 · 8 = 2,229 gramos. En este caso el producto no se redondea a una cifra significativa porque el número 8 es en realidad 8,0000000….., por definición. En forma parecida, para calcular el promedio de dos longitudes dadas de medidas 6,64 cm y 6,68 cm se escribe:

6,64 cm + 6,68 cm2

= 6,66 cm, porque el número 2 es en realidad 2,00000…, por definición.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

6.2 Desafíos y problemas numéricos

6.2.1 Cuadrados mágicos

Son cuadrículas de 3 x 3; 4 x 4 ó de 5 x 5 o, en general, de n x n. La magia de un cuadrado mágico consiste en que todas las sumas de los números que allí aparecen, ya sea esta suma en forma horizontal, vertical o diagonal, tienen el mismo resultado, al cual se le llama constante mágica K. 1. 7 17 3

5 9 1315 1 11

2. 8 1 63 5 74 9 2

etc.

El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar los siguientes conceptos y habilidades:

• El concepto de orden en los números Naturales.• Practicar las operaciones aritméticas básicas.• Establecer relaciones numéricas.• Determinar y crear patrones.• Desarrollar estrategias para la resolución de problemas.• Generalizar.• Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento.

6.2.2 Regularidades numéricas

Corresponden a secuencias numéricas que cumplen patrones

Ejemplos:

i) 12

, 23

, 34

, 45

, 56

, ...

En este caso el numerador y el denominador aumentan en una unidad, por lo tanto, el término n-ésimo o

término de orden n será nn + 1

. Esta notación nos permite calcular el término que deseemos, por ejem-

plo, el duodécimo término de la secuencia es:

n = 12 ⇒ n

n + 1 = 12

12 + 1 =

1213

ii) – 2, 4, – 8, 16, – 32... En este caso el n-ésimo término es (– 2)n pués (– 2)1 = – 2, (– 2)2 = 4, (– 2)3 = – 8, (– 2)4 = 16, (– 2)5 = – 32,

por lo tanto, el décimo término es (– 2)10 = 1.024

iii) 13

, 9, 127

, 81, 1243

, ...

En este caso, el n-ésimo término es más complicado, 3– n ó ( 13 )n si n es impar y 3n si n es par.

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17. Números imaginarios (II)

Los números reales permiten representar infinitos números, pero no pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como, por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones:

x2 + 3 = 0, 5x2 + 3 = 0,... etc. A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya que no pueden representarse a través de números reales.

Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación x2 + 1 = 0, la que determina la siguiente expresión:

x = ± �– 1 , que da origen a la unidad imaginaria i = �– 1 . Finalmente, la solución de la ecuación es x = ± i

El conjunto de los números imaginarios se puede representar por:

II = {(0, b) / b ∈ IR}, donde (0, b) es un par ordenado, que representa el número imaginario bi.

Ejemplo: ± 2i ; ± i ; ± 5�2 i donde i = (0, 1) ∈ II y es tal que i2 = – 1

8. Números complejos (C)

C = IR x II ; C : (a, b) = a + bi

Donde a: parte real b: parte imaginaria i: unidad imaginaria (a,b): complejo escrito en forma de par ordenado a + bi: complejo escrito en forma binomial

Ejemplo: (3, 4) = 3 + 4i

(a, 0): número real puro. Ejemplo (2,0) = 2(0, b): número imaginario puro. Ejemplo (0,3) = 3i

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

IR II

Z

IN0IN Q *

C

Q ∪ Q * = IR

IR x II = C

IN ⊂ IN0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C Q ∩ Q * = ∅ ; Q ∪ Q * = IRIR ∩ II = ∅ ; II ⊂ C

Esquema de síntesis

IN : Naturales Q* : Irracionales IN0 : Cardinales IR : Reales Z : Enteros II : Imaginarios Q : Racionales C : Complejos (es el Universo)

Q

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1

1. Comparar las fracciones 1

3 y 2

7 Solución

Se efectúan productos cruzados y se comparan:

1 · 7 ? 3 · 2 7 > 6

1

3 >

2

7

2. Calcular el M.C.D. entre 36, 18 y 24

Se realizan divisiones sucesivas sólo por los factores primos que dividan todos los números. Esto se realiza sucesivamente hasta lograr en las columnas números primos entre sí.

Solución

36 18 24 2 18 9 12 3Primos entre sí 6 3 4

⇒ M.C.D. = 2 · 3 = 6

3. Calcular el m.c.m. entre 6, 9 y 12. Solución

Se realizan divisiones sucesivas por los factores primos hasta lograr un 1 en cada columna.

6 9 12 2 3 9 6 2 3 9 3 3 1 3 1 3 1 1 1

⇒ m.c.m. = 2 · 2 · 3 · 3 = 36

4. Ordenar de mayor a menor ( 23

, 56

, 12 )

Solución

Se igualan los denominadores determinando el m.c.m. entre ellos: El m.c.m. entre los denominadores es 6.

46

, 56

, 36

(se amplificó cada fracción convenientemente)

Luego, 56

> 23

> 12

Ejercicios resueltos

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

5. Transformar el decimal semiperiódico 0,875 a fracción.

Solución

Numerador : 875 – 8 = 867 Denominador : 990 (dos nueves porque el período tiene 2 cifras, y un cero porque el anteperíodo tiene

1 cifra)

0,875 = 867990

Nota: 4,875 = 4 867990

= 4.827990

6. Calcular el valor de “k” de la expresión: 12

– k5

= 15

Solución

12

= 15

+ k5

Aquí, 12

= 1 + k

5

Igualando denominadores 510

= 2(1 + k)10

Igualando numeradores: 5 = 2 + 2k 5 – 2 = 2k 3 = 2k Dividiendo por 2:

32

= k

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1EjErcicios

1. El valor de

13 +

36

15

+ 615

es

A) 56

B) 915

C) 2518

D) 6554

E) 8063

2. Al reducir la expresión

34 +

18

58

+ 14

se tiene

A) 23

B) 78

C) 88

D) 87

E) 32

3. El valor de 2

13 – 4

13

614

– 214

es

A) – 48

B) 12

C) 42

D) 82

E) 4 14

4. Si p = 23

; q = 19

; r = 73

; entonces el

valor de la expresión (p + q) · 1r

es

A) 3

B) 4927

C) 13

D) – 13

E) – 4927

5. El valor de 0,62 + 0,62 es

A) 0,124

B) 11290

C) 12499

D) 124990

E) 11299

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capítulo 1Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

EjErcicios

6. Al reducir 1530

– 1426

( 47

+ 121 ) es igual a

A) – 12

B) – 16

C) 16

D) 56

E) 32

7. El valor de 0,5 + 0,25 es

A) 0,30

B) 0,30

C) 310

D) 7599

E) 7390

8. Si b es el triple de c, con b ≠ 0 y c ≠ 0, enton-ces es verdadero que

A) bc

es un número primo.

B) cb

∈ IN

C) cb

∈ Z

D) bc

∉ Z

E) cb

= 3

9. Si – P es un entero negativo, entonces

I) P es entero positivo. II) P ∈ IN. III) P < – P.

Es(son) siempre verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) I, II y III.

10. El valor de 1 + 1

1 + 1 1 + 1

1 + 1

2

es

A) 58

B) 34

C) 95

D) 98

E) 138

11. ¿Cuál es el valor de la expresión 1

x – z

y, si x = 3, y = 2

3 – 5

2, z = 11

18 ?

A) 0

B) 13

C) 0,6

D) 0,6

E) 1

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1EjErcicios

12. La quinta parte de la mitad de quince veces cuatro tercios es

A) 50 B) 8 C) 2 D) 1,5 E) 1,125

13. Si a + 2b – ab a

b – b

a

es igual a M, ¿cuál es el

valor de M para a = 2 y b = 1?

A) – 43

B) – 12

C) 34

D) 43

E) 2

14. El doble de la tercera parte del quíntuple de la mitad de 18 equivale a

A) 1,2 B) 2,7 C) 7,5 D) 15 E) 30

15. Si se tiene la fracción VW

, ésta significa que

A) por cada V unidades hay V · W unidades. B) por cada W unidades hay V unidades. C) W está dividido en V partes. D) la fracción es la W-ava parte de V. E) la fracción es la V-ava parte de W.

16. Si a = 0,2 · 0,5 , b = 0,1 : 0,9 , c = 1,02 : 0,25 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) a = b > c B) a < c < b C) a = b < c D) b < a < c E) c < a < b

17. ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre 1

3 y 1

2 ?

I) 0,4 II) 0,2 III) 1327

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

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capítulo 1Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

EjErcicios

18. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas(s)?

I) 24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el m.c.m.

II) El que un número sea natural nos asegura totalmente que es también un entero; sin embargo, lo inverso no es siempre cierto.

III) El M.C.D. entre 6, 9, 12, 15 es el 3.

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

19. Para la expresión ( ab

+ bc ) : ( b

a ) , ¿cuál(es) de las

siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Si b = – c, el resultado es indeterminado.II) Si a = 0 o b = 0 o c = 0, el resultado es

indeterminado.III) Si a = 1, b = 1 y c = 1, el resultado no

varía si a = 1, b = – 1 y c = 1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

20. Si el sucesor del número (a + 3) es igual a 14 y el antecesor de (b – 5) es 6, entonces ¿cuál es el doble del sucesor de (a + b)?

A) 22 B) 23 C) 26 D) 46 E) 52

NúmeroAlternativaHabilidad1CAplicación2CAplicación3AAplicación4CAplicación5CAplicación6CAplicación7EAplicación8AComprensión9DAnálisis10EAplicación11DAplicación12CAplicación13DAplicación14EAplicación15DComprensión16DAnálisis17DAnálisis18DAnálisis19EAnálisis20DAplicación

Respuestas correctas

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1II. Razones, proporciones, porcentajes e interés

1. Razones y proporciones

1.1 Razón

Es la comparación entre dos cantidades a y b, distintas de cero, se anota: ab

, o bien a : b , y se lee “a es a b”.

En una razón, el numerador (a) es el antecedente y el denominador (b) es el consecuente.

Ejemplo: La razón entre 36 y 12 es:

3612

= 3 ⇒ 36 → antecedente ; 12 → consecuente ; 3 → razón

Dadas las cantidades a y b, se pueden establecer dos razones a : b y b : a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el orden en una razón.

1.2 Proporción

Es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo: La igualdad de fracciones ab

= cd

, es una proporción.

En una proporción, los términos a y d se denominan extremos, b y c son medios.

También se escribe “a : b = c : d” y se lee: “a es a b como c es a d”

1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones

La propiedad fundamental de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”; es decir:

a : b = c : d si y sólo si a · d = b · c o ab

= cd

si y sólo si a · d = b · c

Ejemplo: ¿Es la expresión 15 : 18 = 20 : 24 una proporción?

Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que: 15 · 24 = 18 · 20 360 = 360

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

Aritmética Potencias y raíces

1.2.2 Propiedades de las proporciones

Si ab

= cd

, entonces se cumple:

• Alternando extremos db

= ca

• Invirtiendo ba

= dc

• Permutando cd

= ab

• Componiendo a + ba

= c + dc

o a + bb

= c + dd

• Descomponiendo a – ba

= c – dc

o a – bb

= c – dd

• Componiendo y descomponiendo a la vez a + ba – b

= c + dc – d

1.2.3 Clasificación de las proporciones

a. Proporción discontinua

Es aquella que tiene todos sus términos desiguales.

ab

= cd

Ejemplo: 213

= 497

Se denomina cuarta proporcional a cada uno de los términos de una proporción discontinua.

Ejemplo: Si 213

= 497

, entonces se puede afirmar que:

49 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 3. 3 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 49. 7 es la cuarta proporcional entre 3, 49 y 21. 21 es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 7.

b. Proporción continua

Es la que tiene los medios o los extremos iguales:

ab

= bd

ó ab

= ca

Ejemplo: 46

= 69

Se denomina tercera proporcional geométrica a cada término no repetido de una proporción continua.

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1 Ejemplo: Si

46

= 69

, entonces se puede afirmar que:

4 es una tercera proporcional entre 6 y 9. 9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.

Se denomina media proporcional geométrica al término que se repite en una proporción continua.

Ejemplo: Si 46

= 69

entonces se puede afirmar que:

6 es la media proporcional entre 4 y 9.

1.2.4 Serie de razones o proporciones

Si tenemos: ab

= k; cd

= k; ef

= k..., etc,

podemos escribir: ab

= cd

= ef

=... = k

Esta igualdad de dos o más razones se llama serie de razones o serie de proporciones. Se puede escribir también como:

a : c : e = b : d : f

Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

ab

= cd

= ef

= k

De esto se tiene:

a = b · kc = d · ke = f · k

Sumando obtenemos

a + c + e = k (b + d + f )

entonces: k = a + c + eb + d + f

= ab

= cd

= ef

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

2. Proporcionalidad

2.1 Directa

“X” es directamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” aumenta (disminuye) en la misma proporción.

Esto se escribe: XY

= k o X = k · Y , con k constante

Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5 km/L.¿Cuántos litros de bencina consumirá en 370 kilómetros?

La relación de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumirá un litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanece constante e igual a 18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo tanto, se trata de una proporcionalidad directa entre las variables “kilómetros” y “litros”:

18,5 km1 litro

= 370 kmx litros

Por ser ésta una proporción, utilizamos la propiedad fundamental:

18,5 · x = 370 · 1, por lo tanto x = 37018,5

= 20 litros

x

y

y = k · x

0

Si dos variables poseen una proporcionalidad directa, la gráfica es un conjunto de puntos que están en una línea recta como lo indica la figura, sin incluir el (0, 0).

En resumen, cuando dos variables están en proporcionalidad directa, el cuociente entre sus respectivos valores es constante. Este cuociente se llama constante de la proporcionalidad directa.

2.2 Inversa

“X” es inversamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” disminuye (aumenta) en la misma proporción.

Esto se escribe: X · Y = k o X = kY

, con k constante

Ejemplo: 36 jóvenes scouts tienen alimento para 15 días. Si faltan seis, ¿para cuántos días más alcanzará el alimento si consumen diariamente la misma ración?

El número de scouts y la cantidad de días están en proporcionalidad inversa y tienen la característica de que una de ellas disminuye y la otra aumenta con respecto a la cantidad de alimento disponible, de modo que el producto entre los valores respectivos de ambas variables permanece constante. Luego, sea “x” el número de días:

36 · 15 = 30 · x, por lo tanto, x = 36 · 1530

= 18. Entonces, alcanzará para 3 días más.

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1

0

y

x

y = kx

Cuando dos variables están en proporcionalidad inversa, la gráfica es un conjunto de puntos que están en una curva denominada hipérbola.

En resumen, cuando dos variables están en proporcionalidad inversa, el producto de sus respectivos valores es constante. Este producto se denomina constante de la proporcionalidad inversa.

2.3 Compuesta

En este tipo de proporcionalidad están los dos tipos antes mencionados, pero en vez de dos variables hay tres.

Para determinar la constante de proporcionalidad, se comparan las variables de dos en dos. De esta manera, la tercera queda como constante. Se hace variar una de ella y se observa qué pasa con la otra (con respecto a la proporcionalidad). Si A y B son directamente proporcionales y A con C son inversamente proporcionales, entonces la constante de proporcionalidad es

A · CB

= k

Ejemplo:

5 pasteleros fabrican en 8 horas 10 tortas de matrimonio. ¿Cuántos pasteleros se necesitan para fabricar 3 tortas de matrimonio en 6 horas?

Sean P: Número de pasteleros H: Número de horas T: Cantidad de tortas de matrimonio

Al comparar P con H: Si aumentan los pasteleros, disminuye el número de horas al fabricar la misma cantidad de tortas (inversa).

Al comparar P con T: Si aumentan los pasteleros, aumenta la cantidad de tortas que se fabricará en la misma cantidad de horas (directa).

⇒ P · HT

= k

P H T

I

D

5 8 10 ⇒ 5 · 8

10 = x · 6

3 x 6 3

4010

= 6x3

⇒ 4 = 2x ⇒ x = 2

Se necesitan 2 pasteleros.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

3. Porcentaje

Es común en los fines de temporada encontrar grandes letreros publicitando liquidaciones en las tiendas comerciales.

Todorebajado

en un

40%

¿Qué significa la información presente en este letrero?

En este caso el total se divide en 100 partes de las cuales se rebajarán 40 de estas partes. Si

un artículo costaba $ 10.000, al dividirlo en 100 partes cada uno vale $ 10.000100

⇒ $ 100.

Luego se descontarán 40 de estas partes o se cancelará el resto de ellas, es decir, las 60

partes restantes. 60 · $ 100 ⇒ $ 6.000

El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa, pues el a% significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman “a” de ellas.

Notación: a% = a100

a%: se lee “el a por ciento”, 25% se lee “el 25 por ciento”

Ejemplo: 25% = 25

100 =

14

= 0,25

Resumiendo, sacar un tanto por ciento de una cantidad se llama sacar porcentaje

Los porcentajes están directamente relacionados con fraccionesy decimales. A continuación están presentes algunos como ejemplos.

10% de A = A10

= 0,1A 66,6% de A = 2A3

= 0,6A

20% de A = A5

= 0,2A 75% de A = 3A4

= 0,75A

25% de A = A4

= 0,25A 90% de A = 9 · 10% A = 9A10

= 0,9A

33,3% de A = A3

= 0,3A 100% de A = A 200% de A = es el doble de A = 2A 50% de A =

A2

= 0,5A 500% de A = 5 veces A = 5A 1.800% de A = 18 veces A = 18A

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capí

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13.1 Relación en porcentajes

Total100%

= Parte del totala%

Con esta igualdad se puede obtener:

• Porcentaje de un número: ¿Cuál es el a% de N?

N100%

= x

a% ⇒ x = a · N

100

Ejemplo: Calcular el 20% de $ 3.600

3.600100%

= x

20% ⇒ x =

20 · 3.600100

= $ 720

• Un número, conocido un porcentaje de él: ¿De qué número p es el q%?

x100%

= p

q% ⇒ x =

100pq

Ejemplo: Calcular la edad de la mamá de Jaime que tiene 4 años, cuya edad es el 12,5% de la edad de su

mamá.

x100%

= 4

12,5% ⇒ x =

100 · 412,5

= 8 · 4

1 = 32

La mamá de Jaime tiene 32 años.

• Relación porcentual: ¿Qué porcentaje es a de b?

b100%

= ax

⇒ x = a · 100

b %

Ejemplo: En una tienda comercial todas las poleras estaban rebajadas. Si una polera me costó $ 12.750 y costaba $ 15.000, ¿cuál fue el porcentaje de descuento?

15.000100%

= 12.750x

⇒ x = 12.750 · 100%15.000

= 85% (100% – 85% = 15%) ó

15.000100%

= 2.250x

⇒ x = 2.250 · 100%15.000

= 15%

La polera fue rebajada en un 15%.

• Porcentajes sucesivos

Se calculan porcentajes de porcentajes

¿Cuál es el a% del b% del c% del... de N?

x = a100

· b

100 ·

c100

·... · N

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

Ejemplos:

– Calcular el 25% del 50% del 75% de 8.000

x = 25100

· 50100

· 75100

· 8.000

x = 14

· 12

· 34

· 8.000 = 750

– En una universidad, el 40% de los alumnos son mujeres y de ellas el 30% son alumnas de primer año. Si las alumnas que no están en primer año son 560, ¿cuántos alumnos (hombres y mujeres) tiene la universidad?

x: total de alumnos

560 = ( 40100

· x) · 70100

alumnas

alumnas que noestán en primer año

560 = 28

100 x

560 · 10028 = x

2.000 = x La universidad tiene 2.000 alumnos.

3.2 Variación porcentual (∆%)

∆% = Cf – Ci

Ci · 100%

con:

Ci = Cantidad InicialCf = Cantidad Final

Ejemplo:

Al comienzo del verano, una empresa de buses interprovinciales sube los pasajes a una cierta ciudad de $ 1.800 a $ 2.250. ¿Cuál es la variación porcentual?

∆% = 2.250 – 1.800

1.800 · 100% =

4501.800

· 100%

= 14

· 100% = 25%

La variación es de un 25%.

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capí

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13.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de pérdida (%P)

Sea Pc: Precio de compra y Pv: Precio de venta, donde Pv = Pc + G

Pv – Pc : Indicará ganancia si es mayor que cero y será pérdida si es menor que cero

Pc100%

= Pv – Pc

x%

3.4 Interés

Interés es una forma de pago por el uso del dinero según tiempo. Cuando pedimos dinero prestado, comúnmente debemos pagar algún dinero, o interés, por el uso de él. Cuando ahorramos dinero en el banco, éste nos paga un interés.

El dinero es un medio de intercambio entre personas, entre instituciones y entre personas e instituciones; por lo tanto, el dinero es un bien y un producto y, como tal, se posee, se adquiere, se presta y se invierte.

Los bancos e instituciones financieras ofrecen guardar y/o prestar dinero. Una de sus principales funciones es prestar dinero a las personas y empresas, en otras palabras, otorgar créditos. Es decir, facilitar dinero para comprar y/o invertir, haciendo adquirir una deuda que deberá ser cancelada dentro de un cierto plazo, bajo condiciones de pago de las instituciones.

El crédito conlleva aplicar una tasa de interés a las operaciones de préstamo de dinero.

El interés simple y el interés compuesto son los más usados en estas operaciones. El monto solicitado más el interés es la suma total del dinero que se adeuda. Esta suma se divide en los periodos en que se cancelará. Este cuociente es el valor de la cuota que se debe cancelar en los periodos acordados.

3.4.1 Interés simple

Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos se deben únicamente al capital inicial.

C = K (1 + n · r)

con: K: capital inicial n: períodos C: capital acumulado r: tasa de interés simple

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses a una tasa de interés simple mensual (r) del 10% sobre un capital inicial (K ) de $ 5.000.

Aplicando la fórmula:

C = 5.000 (1 + 3 · 10%)

C = 5.000 (1 + 3 · 110

) C = 5.000 (1 +

310

) C = 5.000 ·

310

C = 500 · 13

C = 6.500

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.500.

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

3.4.2 Interés compuesto

Es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente los intereses producidos. Así, al final de cada período, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos en dicho período.

C = K (1 + i)n

con: K: capital inicial i: tasa de interés compuesto n: períodos C: capital acumulado

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de interés compuesto (i) 10% sobre un capital inicial (K ) de $ 5.000.

Capital acumulado al primer mes: C1 = 5.000 + 5.000 · 0,1 = $ 5.500

Capital acumulado al segundo mes: C2 = 5.500 + 5.500 · 0,1 = $ 6.050

Capital acumulado al tercer mes: C3 = 6.050 + 6.050 · 0,1 = $ 6.655

o bien por fórmula: C = 5.000 (1 + 0,1)3 C = 5.000 (1,1)3 C = 5.000 · 1,331 C = 6.655

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.655.

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1

1. Las edades de tres personas son entre sí como 4 : 7 : 9 y la suma de estas edades es de 80 años. ¿Qué edad tiene el menor?

Solución

Sean x, y, z las edades de las personas, tal que x : y : z = 4 : 7 : 9

La segunda ecuación es: x + y + z = 80

Se ha formado una serie de razones (o proporciones), la cual podemos expresar como:

x4

= y7

= z9

= k

En donde k es una constante que deberá ser determinada.

Es así como tenemos que: x4

= k ⇒ x = 4k

y7

= k ⇒ y = 7k

z9

= k ⇒ z = 9k

Reemplazando estos valores de k en la segunda ecuación:

4k + 7k + 9k = 80

20k = 80

k = 8020

k = 4

Reemplazando k por 4 se obtiene:

x = 4 · 4 ⇒ x = 16 y = 7 · 4 ⇒ y = 28 z = 9 · 4 ⇒ z = 36

Luego, el menor tiene 16 años.

2. En una fábrica 25 operarios fabrican 400 juguetes en 8 horas. ¿Cuánto se demorarán en fabricar 200 de los mismos juguetes, 10 operarios?

Solución

En esta pregunta hay tres variables que son Operarios (O), Juguetes ( J) y Horas (H). Al tomar dos de ellas y la tercera dejarla constante se tiene que:

Si la cantidad de operarios no varía, al aumentar la cantidad de juguetes que se fabricarán aumenta el Nº de horas (directamente proporcionales).

Si la cantidad de juguetes no varía, al aumentar la cantidad de operarios se necesita menos horas para fabricar los juguetes (inversamente proporcionales).

Inversa

Directa ⇒ H · OJ

= k; k: constante

O J H

Directa: se dividen

Inversa: se multiplican

Ejercicios resueltos

2

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Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

2

Al reemplazar los valores:8 · 25400

= H · 10200

⇒ 200400

= H20

⇒ 12

= H20

2H = 20 ⇒ H = 202

⇒ H = 10 horas

3. En una de las fechas de carreras de auto, se debe recorrer 100 vueltas en un óvalo de 1,5 km de largo.

Si un automóvil hace el recorrido a un promedio de 200 kmhr

en 45 minutos, ¿cuánto se demorará en

recorrer el mismo circuito en automóvil a un promedio de 180 kmhr

?

Solución

En este ejercicio parece haber tres variables: distancia recorrida, velocidad y tiempo; pero en la pregunta nos piden el tiempo para “el mismo circuito”. Como la distancia no es variable, entonces pasa a ser constante, por lo tanto, no es considerada en la ecuación a determinar.

La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales, pues a mayor velocidad, menor tiempo ⇒ V · T = k, donde en este caso k corresponde a la distancia.

200 · 45 = 180 · T

9.000180

= T

50 = T

Se demora 50 minutos.

4. Se compra un artículo en $ 30.000 y se quiere vender con un 40% de ganancia. ¿Cuál es el precio de venta?

Solución

Sea Pv: Precio de venta. Luego Pv = 30.000 + ganancia

Como la ganancia es el 40% de 30.000 ⇒ ganancia = 40

100 · 30.000 = 12.000

Por lo tanto, Pv = 30.000 + 12.000 = 42.000

El precio de venta es $ 42.000

5. Se compra un polerón en $ (d – p), con p > 0 y d > 0; y se vende en $ d. ¿Cuál fue el porcentaje de pérdida o ganancia?

Solución Pc = d – p Pv = d Luego, Pv – Pc = d – (d – p) = p > 0, por lo tanto, es una ganancia.

Entonces:

d – p

p =

100%G

⇒ G = p

d – p · 100%

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16. En una tienda comercial, se pagaron 10 cuotas de $ 28.000 por un artículo. ¿Cuál fue la tasa de interés

simple aplicada si el artículo tenía un precio contado de $ 200.000?

Solución

El valor total pagado (C) es de 10 · $ 28.000 = $ 280.000

Luego:

280.000 = 200.000 (1 + 10 · r)

280.000200.000

= 1 + 10r

75

= 1 + 10r ⇒

75

– 1

10 = r

r = 0,04 ⇒ 4%

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capítulo 1Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

EjErcicios

1. La media proporcional entre 2x y 8x es igual a

A) 16x2 B) 16x C) 4x2

D) 4x E) 4

2. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9 : 5. ¿Cuál es el número mayor?

A) 40 B) 60 C) 88 D) 102 E) 108

3. Dos personas se reparten $ 2.500 en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la diferencia positiva entre lo que

recibe cada una de ellas?

A) $ 500 B) $ 1.000 C) $ 1.500 D) $ 2.000 E) $ 2.500

4. En una reunión de 500 personas, por cada 35 varones hay 15 mujeres. El número de mujeres que falta para igualar el número de varones es

A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 350

5. Si los tres últimos términos de una proporción son 24, 14 y 56, ¿cuál es la cuarta proporcional geométrica?

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 983

6. Si el a% de b es 23, ¿cuál es el b% de a?

A) 32

B) 23

C) 123

D) 132

E) Faltan datos para determinarlo.

7. Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y

la de su hermano es 34

, ¿cuál es la edad de su

hermano?

A) 16 años B) 18 años C) 28 años D) 32 años E) 48 años

8. ¿En qué porcentaje debe aumentar el numerador

de la fracción 58

para que ésta sea equivalente a

0,75? A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%

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1EjErcicios

9. Se depositan $ 350.000 en un banco al 10% mensual simple. ¿En cuánto tiempo el monto acumulado es el triple de lo depositado inicialmente?

A) 2 meses B) 5 meses C) 10 meses D) 20 meses E) 24 meses

10. La media proporcional geométrica entre 54

y 0,20 es

A) – 12

B) 14

C) 12

D) 2

E) 4

11. Si Ricardo tiene 6 años más que Mónica y el doble de la suma de sus edades es 60, ¿cuál es la razón entre sus edades?

A) 4 : 2 B) 5 : 3 C) 6 : 5 D) 3 : 2 E) 8 : 11

12. Una persona calcula que con el 68% del dinero que lleva puede comprar cierto artículo, y que sobran $ 48.000. ¿Cuánto costaba el artículo?

A) $ 10.200 B) $ 15.360 C) $ 102.000 D) $ 150.000 E) $ 153.600

13. Se pagan $ 24.000, que corresponden a los 38

de

una deuda. Al mes siguiente, se pagan los 45

del

resto de la deuda. Entonces, por pagar quedan aún

A) $ 6.000 B) $ 8.000 C) $ 24.000 D) $ 40.000 E) $ 64.000

14. Si A es el 25% de B, ¿qué % es A de (A + B)?

A) 500 % B) 400 % C) 50 % D) 25 % E) 20 %

15. Si Y es directamente proporcional a X, y además,

Y vale 35

cuando X vale 34

, ¿cuánto vale

X si Y = 20?

A) 25 B) 20 C) 16

D) 203

E) 125

16. Un mapa está hecho a escala 1 cm : 150 km. Si un automóvil recorre 750 km, ¿a qué medida corresponde en el mapa?

A) 0,5 cm B) 2,5 cm C) 5 cm D) 7,5 cm E) 15 cm

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capítulo 1Capítulo 1 Números y Proporcionalidad

EjErcicios

17. En una faena, 5 obreros pintan una pared en 2 horas. Si un día se ausentan 3 obreros, ¿cuánto se demorarán en pintar una pared igual a la ante-rior?

A) 1,2 hr B) 2 hr C) 3,5 hr D) 5 hr E) 7,5 hr

18. ¿Cuál(es) de los siguientes valores podría(n) ser C.P.G. entre 2, 3 y 6?

I) 9 II) 4 III) 1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

19. Si a : b = 2 : 3, entonces es siempre verdadero que

I) a + b = 5. II) b – a = 1. III) 6a = 4b.

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) I, II y III.

20. Si un comerciante hace un 25% de descuento a un comestible y luego se recarga un 20%, ¿cuál es el porcentaje real de descuento o recargo sobre el precio inicial?

A) 15% de descuento. B) 5% de recargo. C) 10% de recargo. D) 10% de descuento. E) 5% de descuento.

NúmeroAlternativaHabilidad1DComprensión2EAplicación3AAplicación4CAplicación5AComprensión6BComprensión7DAplicación8BAnálisis9DAplicación10CComprensión11DAplicación12CAplicación13BAnálisis14EAnálisis15AAplicación16CAplicación17DAplicación18EAnálisis19CAnálisis20DAnálisis

Respuestas correctas

54 MT

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Capítulo 2000000000000.

Expresar en forma algebraica categorías de números, valorando el nivel de generalización que permite el lenguaje algebraico y su poder de síntesis.

Explicar y expresar algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en problemas y desafíos.

Resolver problemas de planteo, analizando posteriormente la pertinencia de las soluciones.

Analizar fórmulas e interpretar las variaciones que se producen por cambios en las variables.

Representar información en forma cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de ubicación.

Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas.

Reconocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta y de las funciones cuadrática, entera, valor absoluto, exponencial y logarítmica.

Analizar comportamiento gráfico y analítico de las funciones.

álgebra Y FUNCIONeS

AprendizAjes esperAdos

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capí

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Álgebra y Funciones

2Matemático, astrónomo y geógrafo musulmán, Abu Abdalá Mohamed Ben Musa Al Juarismí (Abu Yafar), vivió aproximadamente entre 780 y 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración.

es.wikipedia.org

I. Potencias y raíces

1. Potencias

Una potencia corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando se llama base y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente. La definición anterior se puede expresar en forma general por:

bn = b · b · b · b · ...... · b

n veces b Ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8

con b : base 2 = base n : exponente 3 = exponente

En el ejemplo anterior, la base es 2 y la cantidad de veces en que se multiplica la base es 3, es decir, 3 es el exponente.

En resumen, una potencia se puede escribir como una multiplicación iterada.

1) 83 = 8 · 8 · 8 = 5122) (– 5) · (– 5) = (– 5)2 = 253) (– 4) · (– 4) · (– 4) = (– 4)3 = – 644) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

1.1 Signos de una potencia

• Si el exponente es par (± b)2n = b2n > 0, ∀ n ∈ Z , b ∈ IR – {0} Si el exponente es par, entonces el resultado es siempre positivo (siempre que la base no sea cero):

(– 3)4 = – 3 · – 3 · – 3 · – 3 = 81 • Si el exponente es impar (± b)2n +1 = ± b2n + 1, ∀ n ∈ Z, b ∈ IR – {0} Si el exponente es impar, entonces el resultado mantiene el signo de la base:

(– 2)3 = – 2 · – 2 · – 2 = – 8

23 = 2 · 2 · 2 = 8

• Si el exponente es negativo (± b)– n = 1

(± b)n , b ∈ IR – {0}

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

i. (– 1)n = 1 si n es par = – 1 si n es imparii. a1 = aiii. an + 1 = an · a1

iv. – a2n ≠ (– a)2n Ejemplo: – 44 = – 4 · 4 · 4 · 4 = – 256 v. (– a)n = an si n es par (– 4)4 = – 4 · – 4 · – 4 – 4 = 256 = – an si n es impar

1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicación de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

a p · a q = a p+q

b. De igual exponente

Se multiplican las bases y el resultado se eleva al exponente.

a p · b p = (a · b) p

Ejemplo: En el ejercicio: 85 · 42 · 22, el 4 y el 2 tienen igual exponente, entonces 42 · 22 = (4 · 2)2 = 82

Por lo tanto:

85 ∙ 42 ∙ 22 = 85 ∙ 82 (Multiplicación de potencias de igual base) = 85+2 = 87

1.2.2 División de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se restan los exponentes.

an : am = an – m ; ∀ a ≠ 0

Como fracción

an

am = an – m ; ∀ a ≠ 0

Ejemplo:

237

229 = 237 – 29 = 28 = 256

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2b. De igual exponente

Se dividen las bases y el resultado se eleva al exponente.

a p : b p = (a : b)p ; b ≠ 0

Como fracción

a p

b p = ( a

b )p ; b ≠ 0 Ejemplo:

57 : ( 153

33 ) , por división de potencias de igual exponente:

153

33 = (15

3 )3 = 53, entonces:

57 : ( 153

33 ) = 57 : 53, por división de potencias de igual base:

57 : 53 = 57 – 3 = 54. Por lo tanto, 57 : ( 153

33 ) = 54

1.2.3 Potencia de una potencia

Se deben multiplicar los exponentes.

(a p)q = a p ∙ q

Ejemplo:

(82)4 · 26, se tiene que:

26 = 23 ∙ 2 = (23)2 = 82, y también (82)4 = 82 ∙ 4 = 88 entonces:

(82)4 · 26 = 88 · 82 = 88 + 2 = 810

El resultado de 810 también se puede presentar como potencia de base 2, ya que 8 = 23, entonces 810 = (23)10 = 23 ∙ 10 = 230.

1.2.4 Potencias de exponente negativo En forma general, corresponde al recíproco de la base (inverso multiplicativo) y se cambia el signo del expo-nente.

• Con base entera

a– p = ( 1a ) p = 1

a p ; a ≠ 0

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

• Con base fraccionaria

( ab )– p

= ( ba ) p

= b p

a p ; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Ejemplo:

52 · (109 )– 2

, por potencia de exponente negativo, se tiene (109 )– 2

= ( 910)2

entonces 52 · (109 )– 2

= 52 · ( 910)2,

por multiplicación de potencias de igual exponente: 52 · ( 9

10)2 = (5 · 910)2

= ( 92 )2

= 814

1.2.5 Potencias de exponente cero

El resultado es uno, siempre que la base no sea cero:

a0 = 1, ∀ a ≠ 0

La potencia de exponente cero se aplica por la división ante dos cantidades iguales: an

an por división de potencias de igual base se tiene a0 = an – n =an

an = 1

an

an = an – n = a0, entonces por lógica el resultado es 1

Caso particular: 00 = 0n – n =

0n

0n =

0

0 = indeterminado, por lo tanto 00 = indeterminado.

Sabías que...

1.3 Potencias de base10

a. Exponente positivo

101 = 10 102 = 100 103 = 1.000 • • • 106 = 1.000.000

Entonces: 10n = 100...0n ceros

; n ∈ IN

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2 Se toma la cantidad significativa del número y se multiplica por 10n siendo n el número de ceros que se

dejan de anotar.

Ejemplo:

5.000 = 5 · 103

100.000 = 1 · 105

32.400 = 324 · 102

b. Exponente negativo

10 – 1 = 0,1 = 110

10– 2 = 0,01 = 1

100

10– 3 = 0,001 = 1

1.000

• • • 10 – 6 = 0,000001

Entonces: 10– n = 0,00...01

n ceros

; n ∈ IN

Se toma la cantidad significativa y se multiplica por 10– n, siendo n el número de decimales que tiene la cifra.

Ejemplo: 0,005 = 5 · 10– 3

0,00001 = 1 · 10– 5

0,0324 = 324 ∙ 10– 4

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1. Determinar el valor de la siguiente expresión (– 2) · (– 3)2 + (– 2)2 · (– 2)– 1

Solución

Separemos el problema de la siguiente forma:

A = (– 2) · ( – 3)2

B = (– 2)2 · ( – 2)– 1⇒ (– 2) · (– 3)2 + (– 2)2 · (– 2)– 1 = A + B

i. En A tenemos multiplicación de potencias de distinta base, entonces:

A = (– 2) · (– 3)2 = (– 2) · (– 3 · – 3) = (– 2) · (9) = – 18

ii. En B tenemos multiplicación de potencias de igual base, de la forma:

(– b)n · (– b)m = (– b)n + m

Luego: B = (– 2)2 · (– 2)– 1 = (– 2)2 – 1 = (– 2)1 = – 2

Por lo tanto, la expresión final queda:

A + B = – 18 + – 2 = – 18 – 2 = – 20

2. Determinar el valor de la siguiente expresión ( 34 )3a – 5

· (0,75)7 – 3a

Solución

Como 0,75 = 75

100 = 3

4 , el problema se resuelve como multiplicación de potencias de igual base:

(a)(n + h) · (a)(m + p) = a(n + h + m + p)

( 34 )3a – 5

· ( 34 )7 – 3a

= ( 34 )3a – 5 + 7 – 3a

= ( 34 )2

Pero como ( ab )n =

an

bn , finalmente se tiene: ( 34 )2 =

32

42 =

9

16

Ejercicios resueltos

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23. Resolver

1 0,001

+ 100

0,02 +

0,000110

Solución Utilizando potencias de 10: 0,001 = 1 · 10 – 3

100 = 102

0,02 = 2 · 0,01 = 2 · 10 – 2

0,0001 = 1 · 10 – 4, reemplazando en la expresión se obtiene el siguiente desarrollo:

1

10– 3 + 102

2 · 10– 2 + 10– 4

10 = 103 +

1 2

· 102 – (– 2) + 10 – 4 – 1 = 103 + 104

2 + 10– 5

= 1.000 + 10.000

2 + 0,00001

= 6.000,00001

4. Determine el valor de 0,006 · 54.000 · 160

360 · 0,08 · 90

Solución

Anotado como potencia de diez queda 6 · 10– 3 · 54 · 103 · 16 · 10

36 · 10 · 8 · 10– 2 · 9 · 10

Al observar la expresión nos damos cuenta de que todos los factores significativos se pueden escribir como potencias de base 2 ó 3, entonces:

2 · 3 · 10– 3 · 33 · 2 · 103 · 24 · 10

22 · 32 · 10 · 23 · 10– 2 · 32 · 10

Aplicando propiedad de potencia de igual base:

21+ 1 + 4 · 31 + 3 · 10– 3 + 3 + 1

22 + 3 · 32 + 2 · 101 – 2 + 1 =

26 · 34 · 10

25 · 34 · 100

Aplicando propiedad de división de potencias de igual base:

26 – 5 · 34 – 4 · 10 = 2 · 30 · 10 = 2 · 10 = 20

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

5. El valor del producto entre la tercera potencia de ocho y la cuarta potencia de cuatro, dividido por 16 al cuadrado es:

Solución

83 · 44

162

Al observar la expresión, nos damos cuenta de que todas las bases se pueden escribir como potencias de 2, es decir:

(23)3 · (22)4

(24)2

Aplicando propiedad de potencia de una potencia:

23 · 3 · 22 · 4

24 · 2 =

29 · 28

28

Por multiplicación y división de potencias de igual base:

29 + 8 – 8 = 29

6. Se sabe que cierta población de seres vivos se triplica por cada hora que pase. Si se cuenta la población en cierto momento, ¿cuántas veces habrá aumentado al cabo de 4 horas?

Solución

Si se sabe que en cada hora la población se triplica y la cantidad inicial es x, entonces al cabo de: 1 hora = x · 3 2 horas = x · 3 · 3 = x · 32

3 horas = x · 3 · 3 · 3 = x · 33

· · · · n horas = x · 3n

Entonces, al cabo de 4 horas habrá x · 34 = 81 · x, es decir, aumentó 81 veces.

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22. Raíces

Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el índice, se obtiene la cantidad subradical.

x = n�c ⇔ xn = c , n ≠ 0

x es la raíz enésima de c, donde n: índice c: cantidad subradical

Ejemplo:

4 = 3�64 ⇔ 43 = 64 4 es la raíz cúbica de 64

2.1 Propiedades

2.1.1 Relación de la raíz y la potencia

Una raíz siempre se puede escribir como potencia de la siguiente manera:

p�aq =

qpa , p ≠ 0

Ejemplo: 4�33 · �3 =

343 ·

123 = 3

34

+ 12 =

543

De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:

• El índice y el exponente del subradical son simplificables entre sí:

12�a8 =

812a =

23a , es decir,

3 �a8 212

= 3�a2

• El índice y el exponente del subradical son amplificables entre sí:

3�a2 = a

23 · 5

5 =

1015a =

15�a10

2.1.2 Multiplicación de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se multiplican los subradicales:

n�a ·

n�b =

n�a · b , n ≠ 0

Ejemplo:

3�22 ·

4�3 , como no tienen igual índice, entonces se puede amplificar para igualarlos.

3 · 4�22 · 4 ·

4 · 3�31 · 3 =

12�28 ·

12�33 =

12�28 · 33

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

2.1.3 División de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se dividen los subradicales:

n�a :

n�b =

n�a : b o bien

n�an�b

= � ab

n , n ≠ 0, b ≠ 0

2.1.4 Composición o descomposición de raíces

a. Composición

Un factor puede ingresar a una raíz si lo elevo al índice de ella (ingresa como factor del subradical).

an�b =

n�an · b , n ≠ 0

Ejemplo: 23�3 =

3�23 · 3 =

3�8 · 3 =

3�24

b. Descomposición

Un factor puede salir de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta.

n�an · b = a ·

n�b , n ≠ 0

Ejemplos: i) 3�54 =

3�27 · 2 = 3

3�2

ii) 5�a7 =

5�a5 · a2 = a

5�a2

2.1.5 Raíz de una raíz

Se deben multiplicar los índices.

��ap q

= �ap · q

, p ∧ q ≠ 0

Ejemplo: �2�2�23

= ��22 · 2�23

= �23�23 · 2

= ��(23)2 · 26

= �26 · 2 6 · 2

= �27 12

2.2 Racionalización

Consiste en dejar el denominador de una fracción en forma racional, es decir, sin raíces. Al racionalizar el valor de la expresión no varía pues se multiplica por un uno especial.

• Caso 1: Raíz cuadrada: Se debe amplificar por la misma raíz.

a

�b ·

�b

�b =

a�b

b

Ejemplo: 3

�5 ·

�5

�5 =

3�5

(�5)2 =

3�5

5

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2• Caso 2: Raíz no cuadrada: Se debe amplificar por una raíz de igual índice, preocupándose de igualar el

exponente del subradical con el índice de la raíz.

an�bm

· n�bn – m

n�bn – m

= a

n�bn – m

b , n ≠ 0

Ejemplo: 54�2

· 4�23

4�23

= 54�23

4�21 + 3

= 54�23

4�24

= 54�82

• Caso 3: Racionalizar un binomio con raíces cuadradas: Se debe amplificar por el conjugado del binomio.

Ejemplo: 2

�3 + �2 ·

(�3 – �2 )(�3 – �2 )

= 2(�3 – �2 )

(�3 )2 – (�2 )2 =

2(�3 – �2 )3 – 2

= 2�3 – 2�2

1. Racionalizar 55�2

Solución

Debemos eliminar la raíz del denominador de la siguiente manera:

55�2

= 55�2

· 5�24

5�24

= 5 · 5�24

5�25

= 5 · 5�24

2

2. Simplificar: �18 + �98 + �50 + �4

2�2

Solución Utilizando la multiplicación de raíces de igual índice:

n�ab =

n�a ·

n�b

�18 = �2 · �9 = 3�2

�98 = �49 · �2 = 7�2

�50 = �2 · �25 = 5�2

�4 = 2

Ejercicios resueltos

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

Reemplazando en la expresión inicial:

3�2 + 7�2 + 5�2 + 2

2�2 =

15�2 + 2

2�2 =

15�2

2�2 +

2

2�2 = 15

2 +

1

�2

Racionalizando 1

�2 =

1

�2 ·

�2

�2 =

�2

2

Finalmente: 15

2 + 1

�2 = 15

2 +

�2

2 =

(15 + �2 )2

3. Racionalizar � ax�a

x – 1

Solución

Analicemos la cantidad subradical ax�a

, introduciendo “a” (numerador) a la raíz

ax�a

= � ax

a

x=

x�ax – 1

Luego, � �ax – 1x – 1 x

= x(x – 1)�ax – 1 =

x – 1x(x – 1)a =

1xa , entonces la expresión inicial es equivalente a

x�a

4. Racionalizar b

�a + b – �a

Solución

Para racionalizar debemos eliminar las raíces del denominador; para ello amplificaremos por el conju-gado del denominador, �a + b + �a , esto es:

b

�a + b – �a ·

�a + b + �a

�a + b +�a =

b(�a + b + �a )(�a + b)2 – (�a )2

= b(�a + b + �a )

(a + b) – a

= b(�a + b + �a )

b

= �a + b + �a

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25. Ordenar de mayor a menor

4�8, �3 y

3�5

Solución

El m.c.m. entre 2, 3 y 4 es 12, igualando el índice de las raíces:

4�8 =

12�83 =

12�512

�3 = 12�36 =

12�729

3�5 =

12�54 =

12�625

Como 729 > 625 > 512 entonces �3 > 3�5 >

4�8

6. ¿Cuál(es) de los siguientes términos corresponde(n) al triple de 3�3 ?

I) 3�9

II) 3 ·

3�9

III) 3�81

Solución

El triple de 3�3 lo obtendremos multiplicando por 3, o sea, será 3 ·

3�3

Introduciéndolo en la raíz: 3 · 3�3 =

3�33 · 3 =

3�34 =

3�81

Luego, la única alternativa correcta es la III). Vemos, en todo caso, que además

I) 3�9 =

3�32 II) 3

3�9 =

3�33 · 32 =

3�35

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

1. Al simplificar an + 1

an · a , con a ≠ 0, se obtiene

A) a

B) a2n + 2

C) a2n

D) 1

E) 2

2. Al simplificar la expresión 9a3 b5 c2

3ab– 2 c3 , con a, b,

c ≠ 0, se obtiene

A) 3a2 b3 c

B) 3a2 b7 c– 1

C) 3a3 b3 c– 1 D) 3a3 b7 c– 1

E) 3a b3 c

3. El valor de �15 – �5

�5 es igual a

A) �3 – 1

B) �5 – 1

C) �3

D) 2 E) �75 – 5

4. ¿Cuál es el resultado de (2 – �9)2 ?

A) – 7

B) – 5

C) – 1

D) 1 E) 13

5. ¿Cuál de las siguientes alternativas es el resultado de reducir la expresión

6n – 2 · 3n + 2 · 22?

A) 9n

B) 18 C) 18n

D) 36n

E) 63n

6. Al desarrollar la expresión 0,016 · 80,00032

utilizando

potencias de diez, resulta

A) 2 · 10– 2

B) 4 · 102

C) 4 · 105

D) 2 · 108

E) 4 · 1011

7. El resultado de la expresión (43)2

+ 83

28 es

A) 43 + 8 B) 4 · (23 + 1) C) 18 D) 24 + 1 E) 3

8. Se tienen los términos x, x2, x3, x4. ¿Cuál de las siguientes alternativas nos muestra la

ordenación correcta para x = – 12

?

A) x < x2 < x3 < x4

B) x4 < x3 < x2 < x C) x3 < x < x2 < x4

D) x < x3 < x4 < x2

E) x3 < x < x4 < x2

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2EjErcicios

9. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

igual(es) a (ax)12 ?

I) x · � ax

II) �a · �x

III) 1x

· �ax3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

10. El valor de 2x3

x + 2 , cuando x vale 2, es

A) 25

B) 24

C) 23

D) 22

E) 2

11. El valor de (ax2 + 1), cuando a = �3 y x = 4�12 ,

es

A) 37

B) 36

C) 12�3 + 1

D) 4�36 + 1

E) 7

12. ¿Por cuál de los siguientes términos se

puede amplificar la fracción �5 5�4

para que su

denominador sea un número racional?

A) 5�4

B) 5�8

C) 5�16

D) 5�64

E) 5�45

13. La expresión (513 – 511) es divisible por

I) 513

II) 511

III) 6

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo II y III. E) I, II y III.

14. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Todo número que sea una raíz real inexacta es irracional.

II) Todo número real elevado a un exponente par resulta siempre un número positivo.

III) Toda raíz de índice par y subradical negativo NO pertenece a los reales.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

19. Se puede determinar el valor numérico de la expresión a2n · x si:

(1) n = 0 (2) a ≠ 0

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. Se puede determinar que el resultado de (a – 1)4 será un número par positivo si:

(1) a es impar. (2) a ≠ 1

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

15. Si el volumen de un cubo se calcula como a3 siendo a la arista, entonces la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 54 u3, es

A) 33�2 u

B) 3 u C) �54 u D) 9 u E) 18 u

16. El área de un círculo es π · r2, siendo r el radio y π una constante cuyo valor lo aproximaremos a 3, entonces ¿cuál es, aproximadamente el área de un círculo si el radio mide 3�3 cm?

A) 34 cm2

B) 27�3 cm2

C) 9�3 cm2

D) 9 cm2

E) �54 cm2

17. Se sabe que una población de bacterias se duplica cada 3 horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas si inicialmente había 5 bacterias?

A) 5 · 312

B) 5 · 212

C) 80

D) 16

E) 4

18. ¿Con cuál(es) de las siguientes expresiones

podemos racionalizar 5 3�9

? I)

3�9

II) 3�81

III) 3�3

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III NúmeroAlternativaHabilidad

1DAplicación2BAplicación3AAplicación4DAplicación5CAnálisis6BAplicación7CAplicación8DAplicación9EAnálisis10DAplicación11EAplicación12BAplicación13DAnálisis14DAnálisis15AAplicación16AAplicación17CAplicación18DAnálisis19CEvaluación20CEvaluación

Respuestas correctas

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2II. Álgebra

La rama de la matemática que permite modelar situaciones a través de generalidades literales, se conoce con el nombre de Álgebra. El lenguaje que ocupa el Álgebra permite realizar representaciones a través de factores literales, coeficientes numéricos y relaciones matemáticas de la Aritmética.

El lenguaje algebraico es el lenguaje del Álgebra, el cual permite representar cantidades por medio de letras y, de esta forma, generalizar variadas situaciones, como por ejemplo los problemas de enunciado matemático.

1. Las calificaciones de un estudiante son 6,4 y 6,2. ¿Qué nota debe sacarse en un tercer control para que su promedio sea de 6,5?

6,4 + 6,2 + x3

= 6,5

2. Una tienda está liquidando su mercadería y anuncia que todos sus precios fueron rebajados un 20%. Si el precio de un artículo es $ 28.000, ¿cuál era su precio antes de la liquidación?

28.000 = 80100

x ó

x → 100%$ 28.000 → 80%

3. A la presentación de una película asistieron 600 personas. El valor de boletos para adultos fue de $ 5.000 mientras que los niños pagaron sólo $ 2.000. Si los ingresos de boletería fueron de $ 2.400.000, ¿cuántos niños asistieron a la “premiere”?

a + n = 600 5.000a + 2.000n = 2.400.000

4. Si se espera que la población P de una ciudad crezca de acuerdo a P = 15 + �3t + 2 , en donde t está en minutos, hallar cuándo se espera que la población alcance 20.000 personas.

20.000 = 15 + �3t + 2

1. Conceptos importantes

1.1 Término algebraico

Es una relación entre números y letras donde intervienen operaciones como multiplicación, división, potencias y/o raíces (no se incluyen sumas ni restas). Consta de un factor numérico denominado coeficiente y un factor literal.

Ejemplos: 3x4, �xy2 , – 8b

a2

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1.2 Expresión algebraica

Combinación de números y letras relacionados entre sí mediante operaciones aritméticas como sumas y/o restas.

Ejemplos: (x – 1)2, log x + log y , x4

y2 – x3

y4

1.2.1 Clasificación

a. Monomio

Expresión algebraica constituida por el producto de un número (coeficiente) y/o variables representadas por letras, que consta de un solo término.

Ejemplos: x2, 6a, 7xy.

Si un monomio no tiene escrito su coeficiente numérico, entonces su valor es 1.

Ejemplos: a2 = 1a2, m3x2y = 1m3x2y1

b. Polinomio

Expresión algebraica construida por una suma de varios monomios. Cuando se dice “suma” de monomios, está incluido el caso de las diferencias entre ellos, que consta de dos o más términos.

• Binomio: Expresión algebraica obtenida por la suma de dos monomios.

Ejemplos: a + b; 3xy + 2z; a + 1; 3x – y2; 47

x2y + 83

m4,... etc.

• Trinomio: Expresión algebraica obtenida por la suma de tres monomios.

Ejemplos: a + b – 2; a + b + c; 3x2 – 5x + 1; 4a2 + 3ab – 5b2,... etc.

1.2.2 Grado

a. De un término algebraico

Éste puede ser relativo o absoluto:

• Relativo: Está dado por el exponente de la variable considerada.

• Absoluto: Está dado por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 5x2y3 : es de 2º grado con respecto a la variable x. es de 3er grado con respecto a la variable y. es de 5º grado absoluto con respecto a la variable x e y.

El exponente 1 no se escribe. Debe tenerlo presente cuando calcule el grado de un polinomio.

Ejemplos: y = y1, x2ym = x2y1m1

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2b. De un Polinomio

• Relativo: Está dado por el mayor exponente de una variable considerada.

• Absoluto: Está dado por el mayor grado absoluto de sus términos o por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 17x2y – 3x3 + 5y4 – 2x2y3

• es de grado 3 con respecto a x • es de grado 4 con respecto a y • es de 5º grado absoluto.

1.3 Términos semejantes

Son aquellos términos o monomios que tienen los mismos factores literales e igual exponente.

Ejemplo: – Los términos 8a3b2 y 5a3b2, “son semejantes”. – Los términos 2x2 y 5x3, “no son semejantes”. – Los términos x2, 3x2 y 0,5x2, “son semejantes”.

Los términos semejantes siempre se pueden reducir a un solo término y para ello se suman o restan los coeficientes numéricos, según corresponda, y se conserva la parte literal. Los términos que no son semejantes no se pueden reducir a un solo término.

2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción

Sólo pueden ser sumados o restados los términos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte no numérica, llamada también literal. Ejemplo: xy2 + 2xy2 = 3xy2

Sumar dos polinomios (sumandos) significa obtener un nuevo polinomio (suma), escribiendo un polinomio a continuación del otro, conectados con un signo más, y reduciendo sus términos semejantes, cuando existan.

Ejemplos: – La suma de los polinomios 2x – 3y y 5x + 8y – 2z es:

(2x – 3y) + (5x + 8y – 2z) = 2x – 3y + 5x + 8y – 2z = 7x + 5y – 2z

– Reduciendo 3�x + 2�x – �x, su resultado es 4�x

El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando los signos de sus términos.

Ejemplo: El inverso aditivo de 7x3 – 0,5x2 + 2x es

– (7x3 – 0,5x2 + 2x) = – 7x3 + 0,5x2 – 2x.

Recuerda que la resta de enteros está definida por a – b = a + (– b); a, b ∈ Z.

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

De la misma forma se define la resta de polinomios, lo que significa que para restar se escribe el polinomio minuendo con sus propios signos y se suma el polinomio sustraendo con los signos cambiados, reduciendo los términos semejantes, si los hay.

Ejemplo: Restar (6a2 – 7a2b – 49b2) con (4a2 – 25b2) (6a2 – 7a2b – 49b2) – (4a2 – 25b2) = 6a2 – 7a2b – 49b2 – 4a2 + 25b2

= 2a2 – 7a2b – 24b2

2.2 Multiplicación

a. Multiplicación de monomiosPara multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales entre sí.

Ejemplos: i) 7x · 5y = 35xy

ii) (– 6x) · 8x2 = – 48x1 + 2 = – 48x3

iii) 10x3y3 · 7x7y = 70x3 + 7 · y3 + 1 = 70x10y4

b. Multiplicación de monomios por polinomios

La multiplicación de un monomio por un polinomio es una consecuencia directa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, es decir, para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos: i) 3z (2z + 7z2) = 3z · 2z + 3z · 7z2 = 6z2 + 21z3

ii) – 5x2 (x4 – y – z2) = – 5x2 · x4 + (– 5x2) · (– y) + (– 5x2) · (– z2) = – 5x6 + 5x2y + 5x2z2

c. Multiplicación de polinomios por polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.

Ejemplo: (3x + y) (2x + 3y) = 3x (2x + 3y) + y (2x + 3y) = 3x · 2x + 3x · 3y + 2x · y + 3y · y = 6x2 + 9xy + 2xy + 3y2

= 6x2 + 11xy + 3y2

Se sugiere recordar los productos notables para agilizar la resolución de problemas algebraicos.

2.2.1 Productos notables

Son aquellos cuyos factores cumplen ciertas características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

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2Los productos notables son:

• Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

• Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

• Suma por su diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2

• Producto de binomios: (x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab• Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac• Diferencia de cubos: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

• Suma de cubos: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

Algunos productos notables se pueden determinar utilizando geometría.

Ejemplo: El cuadrado de un binomio se puede representar por el área formada por un cuadrado cuyo lado es el binomio.

a

a

a2

b

b

a b

b

aab

ab b2

a2, ab y b2 corresponde a las áreas de los cuadriláteros rectángulos forma-dos al trazar las perpendiculares señaladas en la figura y de acuerdo a ésta se puede ver que:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Sabías que...

2.3 Factorización

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Las formas más comunes de factorización son:

a. Factor común monomio

Se factoriza por un término común entre los factores de la expresión.

Ejemplo: Sacar factor común en la expresión 3xy + 4xy2 – 6x2y 3xy + 4xy2 – 6x2y = xy(3 + 4y – 6x)

b. Factor común polinomio

No todos los términos de una expresión algebraica contienen factores comunes, pero realizando una adecuada agrupación de ellos, se puede encontrar factores comunes de cada grupo.

Ejemplo: Factorizar la expresión: xz + xw + yz + yw

xz + xw + yz + yw = (xz + xw) + (yz + yw) = x(z + w) + y(z + w) = (x + y)(z + w)

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

c. Resultado de productos notables

• Diferencia de cuadrados: El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferen-cia de los cuadrados de ambos términos.

Ejemplos: • Factorizar la expresión 25x2 – 9y2

25x2 es el cuadrado de 5x y 9y2 es el cuadrado de 3y. Entonces : 25x2 – 9y2 = (5x + 3y)(5x – 3y)

• x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4)

• Trinomios ordenados: Un trinomio ordenado (según el grado) es una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b y c representan números reales.

Los trinomios ordenados más utilizados son de la forma (x2 + bx + c) cuya factorización será de la forma

x2 + bx + c = (x + m)(x + n) tal que m + n = b y m · n = c

Los siguientes ejemplos ayudan a entender este tipo de factorización.

– x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ↓

ambos positivos

signosiguales

Dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5

– x2 – 14x + 24 = (x – 12)(x – 2) ↓

ambos negativos

signosiguales

Dos números que multiplicados den 24 y sumados den – 14

– x2 + 8x – 20 = (x + 10)(x – 2) ↓el número de mayor valor absoluto es

positivo

signosdistintos

Dos números que multiplicados den – 20 y sumados den 8

– x2 – 4x – 21 = (x + 3)(x – 7) ↓el número de mayor

valor absoluto es

negativo

signosdistintos

Dos números que multiplicados den – 21 y sumados den – 4

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2• Sumas o diferencias de cubos:

– Los factores de una diferencia de cubos son: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)– Los factores de una suma de cubos son: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

Ejemplo: Factorizar la expresión x3 + 27 El término x3 es el cubo de x y 27 es el cubo de 3. Luego, x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)

1. xn – yn Si n es par, es factorizable por (x – y) y por (x + y). Si n es impar, es factorizable por (x – y)

Ejemplo: x4 – 16 = (x4 – 24) = (x2 – 22)(x2 + 22) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 22)

2. xn + yn Si n es impar, es factorizable por (x + y) Ejemplo: x5 + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)

Sabías que...

2.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

a. Entre monomios Numérico

(9ab2c) y (15a4bc3) ⇒ m.c.m. = 45a4b2c3

Literal (mayor exponente)

3x4y; 9xy3z2; 12xy5 ⇒ m.c.m. = 36x4y5z2

Se determina el m.c.m. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales. Para este caso, será el literal con mayor exponente.

b. Entre polinomios Para este caso es conveniente factorizar previamente, como se hace a continuación.

x2 + x y x2 + 2x + 1 x(x +1) y (x + 1)2

⇒ m.c.m. = x(x +1)2

Deben estar presente en el m.c.m. cada una de las expresiones resultantes en la factorización y si están repetidas, la de exponente mayor.

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2.5 Máximo común divisor (M.C.D.)

a. Entre monomios

Numérico

9a2b3c y 15a4bc2 ⇒ M.C.D. = 3 a2bc Literal (menor exponente)

4p4qr3 y 12p3 ⇒ M.C.D. = 4p3

Se determina el M.C.D. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales.

b. Entre polinomios Al igual que en el m.c.m., también es conveniente factorizar:

x2 + x y x2 + 2x + 1 Corresponde a la o las expresiones algebraicas repetidas en ambos polinomios, pero la de exponente menor.

x(x + 1) y (x + 1)2

⇒ M.C.D. = x + 1

3. Operatoria con fracciones algebraicas

Sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas se realiza de la misma manera que con números fraccionarios.

3.1 Adición y sustracción

Si los denominadores son iguales:

Ejemplo: ab

+ 1b

= a + 1b

Si los denominadores son diferentes, primero debe calcularse el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo: a

a + 1 +

1a – 1

= a(a – 1)

(a + 1)(a – 1) +

1 · (a + 1)(a – 1)(a + 1)

= a(a – 1) + (a + 1)(a – 1)(a + 1)

= a2 – a + a + 1(a – 1)(a + 1)

= a2 + 1a2 – 1

En algunos casos, es conveniente observar los denominadores y factorizarlos para buscar el m.c.m.

Ejemplo: 1a + 3

+ 1

2a + 6 +

13a + 9

=

1a + 3

+ 1

2(a + 3) +

13(a + 3)

=

1 · 6

6(a + 3) +

1 · 36(a + 3)

+ 1 · 2

6(a + 3) =

116a + 18

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23.2 Multiplicación

Antes de multiplicar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunas expresiones. Una vez hechas las simplificaciones (si es que las hubo) se multiplican las expresiones en forma horizontal.

Ejemplos: • x2 + x – 2x2 – 9

· x2 + 2x – 3x2 – 2x + 1

= (x + 2) (x – 1)(x + 3) ( x – 3)

· (x + 3) (x – 1)(x – 1) (x – 1)

(x ≠ 3, x ≠ – 3 y x ≠ 1)

(Simplificando) = x + 2x – 3

• x + 9x – 7

· x + 4x – 1

= (x + 9) (x + 4) (x – 7) (x – 1)

= x2 + 13x + 36

x2 – 8x + 7

3.3 División

La división de expresiones algebraicas fraccionarias se efectúa igual que con fracciones numéricas, ocupando además las factorizaciones anteriores.

Ahora bien, el caso más general es una división de polinomios, como la que se muestra a continuación.

Ejemplo: x2 + x – 20

x2 – 25 = (x + 5) (x – 4)

(x + 5) (x – 5) = (x – 4)

(x – 5) (∀ x ≠ 5 y x ≠ – 5)

1. Simplificar la expresión a2a – 2b

– b3a – 3b

– b6a – 6b

, con a ≠ b

Solución

a

2a – 2b – b

3a – 3b – b

6a – 6b =

a

2(a – b) – b

3(a – b) – b

6(a – b) (Factorizando los denominadores)

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de estas fracciones es 6(a – b), luego:

3a – 2b – b6(a – b)

= 3a – 3b6(a – b)

= 3(a – b)6(a – b)

Simplificando por 3 y (a – b) queda:

= 3 1

6 2 ·

(a – b)(a – b)

= 12

Ejercicios resueltos

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

2. ¿Cuál es el valor de ( b3

a3 – 1) : ( b

a3 – 1

a2 ) , con a ≠ 0 y b ≠ 0?

Solución

b3

a3 – 1

b

a3 – 1

a2 =

b3 – a3 a3

b – aa3

=

b3 – a3

a3 ·

a3

b – a =

b3 – a3

b – a

Recordando productos notables:

= (b – a)(b2 + ab + a2) (b – a)

= b2 + ab + a2

3. Simplifique la expresión x2 – 7x + 12

x2 + 7x + 10 · x2 – 4x – 12

x2 – 9x + 18 , con x2 + 7x + 10 ≠ 0

y x2 – 9x + 18 ≠ 0

Solución

Factorizando:

= (x – 3)(x – 4) (x + 2)(x + 5)

· (x + 2)(x – 6) (x – 3)(x – 6)

(Simplificando)

= x – 4 x + 5

4. Reducir a una fracción la expresión xx – y

– yx + y

, con (x – y) ≠ 0 y (x + y) ≠ 0

Solución

El denominador común es (x + y)(x – y), entonces:

x(x + y) – y(x – y)

(x + y)(x – y) = x2 + xy – xy + y2

x2 – y2

= x2 + y2

x2 – y2

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2EjErcicios

1. Se define la operación x = x2, entonces

1 + b3

– 13

1 + b es igual a

A) 23

B) 23

– 2b2

9

C) 1 – 2b + b2

D) 23

– 2b2

3

E) 1 + 2b + b2

2. Sea A = + 60xy + 25y2. Si A es un cuadrado perfecto, entonces ¿cuál es el término que falta?

A) 36x2 B) 12x2 C) 6x2

D) 3x2

E) x2

3. Sea Z = x2 – ax – 156(x + 12)(x – 13)

, con (x + 12) ≠ 0 y

(x – 13) ≠ 0. ¿Cuál debe ser el valor de a para que

Z sea igual a 1?

A) – 25 B) – 1 C) 1 D) 12 E) 25

4. La superficie de un rectángulo está dada por (x2 – 11x + 18). Si uno de sus lados es (x – 2), entonces la expresión que representa el otro lado es

A) (x + 9) B) (x – 9) C) (x – 11) D) (x + 18) E) (x – 18)

5. Al factorizar 8x3 + 27, éste está representado por

A) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) B) (2x – 3)(4x2 – 6x + 9) C) (2x + 3)(4x2 + 6x – 9) D) (2x + 3)(4x2 – 6x – 9) E) (2x – 3)(4x2 – 6x – 9)

6. La expresión – (a + b) + (a2 – b2) + (a + b)2 es igual a

A) 2a(a + b) – a – b B) 2a2 + 2b – a + ba C) 2a2 – 2b + a – ba D) 2a(1 – b) – a – b E) ninguna de las expresiones anteriores.

7. La expresión – {a + b(a – c) – (–(bc – ab))} es igual a

A) – a B) a + bc – ab C) a D) bc + a – 2ab E) 2bc – 2ab – a

8. Si x2 – 23x + 112 = (x – a)(x + b), ¿cuáles deben ser los valores de a y b para que se verifique la igualdad?

A) a = – 7 ; b = – 16 B) a = – 7 ; b = 16 C) a = 7 ; b = – 16 D) a = 7 ; b = 16 E) a = 4 ; b = 28

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

9. La expresión 7(3y + 2x) – 8(– 2x + 7y) + 23x – 35y es igual a

A) 53x – 70y B) – 17xy C) 0 D) 53y – 70x E) 20(x – y)

10. Al simplificar la expresión

(a + b)2 – (a2 – b2) – 2ab a + b

, con (a + b) ≠ 0,

se obtiene

A) 0

B) 1

C) 2ab

D) 1 – 2ab

E) 2b2

a + b

11. Al reducir la expresión (a + b)2(a – b)a + b

a2 – b2

, con

(a + b) ≠ 0 y (a – b) ≠ 0, se obtiene

A) (a + b)2 B) (a – b) C) (a + b) D) (a2 – b2)2

E) (a – b)2

12. La superficie de un cuadrado está dada por la expresión (4x2 – 12x + 9). Si el lado aumenta en dos unidades, la superficie aumenta en

A) (8x + 8) unidades cuadradas. B) (8x – 8) unidades cuadradas. C) (8 – x + 16) unidades cuadradas. D) (8x – 16) unidades cuadradas. E) (8x + 16) unidades cuadradas.

13. Al simplificar la expresión

x2 – xy + y2

x3 + y3 : 1

x + y , con (x3 + y3) ≠ 0 y

(x + y) ≠ 0, se obtiene

A) 1 B) x3 – y3

x3 + y3

C) (x – y)3

x3 + y3

D) x3 – y3

x + y

E) (x + y)(x – y)

x3 + y3

14. El volumen de un cubo está dado por (x3 – 3x2 + 3x – 1). Si el lado del cuadrado

disminuye en 2 unidades, entonces la diferencia de volumen es

A) 6x2 – 24x + 26 B) 2x3 – 12x2 + 30x – 28 C) – 6x2 + 24x – 26 D) 24x + 6x2 – 26 E) 24x – 6x2 – 26

15. Al reducir la expresión

[( 1

a2 – b2) : ( 1

a + b)] – 1

, con a ≠ 0

y (1 + ab) ≠ 0, se obtiene

A) 1a

+ b

B) 1 + abb

C) 1a

– b

D) a1 + ab

E) a1 – ab

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2EjErcicios

NúmeroAlternativaHabilidad1BAplicación2AComprensión3CAplicación4BAplicación5AComprensión6AAplicación7AAplicación8CComprensión9AAplicación10EAplicación11DAplicación12BAplicación13AAplicación14AAnálisis15EAplicación16CAplicación17CAplicación18DAplicación19DAplicación20DAplicación

Respuestas correctas

16. Al reducir la expresión (a + b)2

a2 – b2 : 1

a – b, con

(a + b) ≠ 0 y (a – b) ≠ 0, se obtiene

A) 1

B) a – b

C) a + b

D) (a + b)2

E) a

(a – b)2

17. La expresión (a + b)a – b

· (a2 – b2), con a ≠ b, es equivalente a

A) (a + ba2 – a2b) · (a – b) B) (a + b) · (a – b) C) (a + b)2 D) a2 + 2ab – b2

E) (a – b)2

18. La expresión x4 – 4x2 + 2

, con (x2 + 2) ≠ 0,

es equivalente a

A) 1 B) 2 C) x – 2 D) x2 – 2 E) x2 + 2

19. Al reducir la expresión (x2 + 4x + 4)(x – 2)(x2 – 4)(x + 2)

,

con (x2 – 4) ≠ 0 y (x + 2) ≠ 0, se obtiene

A) x + 2 B) x – 2 C) 0 D) 1 E) 2

20. El área de un cuadrado está dada por la expresión (x2 + 2x + 1). Si el lado del cuadrado aumenta 2 unidades, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a su área?

A) x2 + 2x + 3 B) x + 3 C) x2 + 9 D) x2 + 6x + 9 E) x2 + 3x + 9

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita (variable) que hace verdad la igualdad que la contiene, es decir, se busca el valor de la incógnita que convierta la ecuación en una identidad. Dicho valor se dice que es solución de la ecuación.

En la resolución de una ecuación, se deben considerar las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, ésta se mantiene.

• Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar términos o coeficientes hasta lograr despejarla.

Ejemplos:

• 7x + 9 = 33 + 3x Restar 3x, a ambos lados, para agrupar la incógnita. 7x – 3x + 9 = 33 + 3x – 3x 4x + 9 = 33 Restar 9, a ambos lados, para “despejar” 4x.

4x + 9 – 9 = 33 – 9 4x = 24 Dividir por 4, a ambos lados, para despejar “x”. x = 6

• 7x – 4x – (x – 6) = 24 – (– 6x – 8 – 4x + 32) Eliminar paréntesis.

7x – 4x – x + 6 = 24 + 6x + 8 + 4x – 32 Reducir términos semejantes.

2x + 6 = 10x Restar 2x a ambos lados.

6 = 8x 8x = 6 Dividir por 8 ambos lados.

x = 68

Simplificar la fracción.

x = 34

La solución es 34

.

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2

• Hay ecuaciones tales como: 4 · (x + 5) = 9x – (5x – 7), que al resolverlas conducen a un resultado falso, 20 = 7. En este caso, no existe un valor que las satisfaga, es decir, no tiene solución.

• Hay ecuaciones tales como: 2 · (3x – 8) = 10x – (4x + 16), que al resolverlas conducen a un resultado siempre cierto, – 16 = – 16. En este caso, todo valor que se asigna a x satisface la ecuación, por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

• En la mayoría de los casos, el número de incógnitas determina el número de ecuaciones que se deben utilizar para determinar el valor de éstas. Además, el exponente que posea la incógnita determina la cantidad de soluciones posibles que se pueden encontrar para dicha incógnita, es decir, si la incógnita está al cuadrado se buscan dos posibles valores para ella, si posee exponente tres, se buscan tres posi-bles soluciones y así sucesivamente.

Sabías que...

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros Ejemplos:

• Resolver la ecuación 5x + 3 = 12

Debemos despejar x, para ello restamos 3 en ambos miembros:

5x + 3 – 3 = 12 – 3 5x = 9

Dividimos ambos miembros por 5 5x5

= 95

Efectuamos las operaciones, entonces: x = 9

5 Verificamos:

5x + 3 = 12

5 · 95

+ 3 = 12

9 + 3 = 12

12 = 12

• Resolver la ecuación 9 – 2x = 9x – 13

Despejamos x. Para ello sumamos 13 y sumamos 2x en ambos miembros. 9 – 2x + 2x + 13 = 9x – 13 + 13 + 2x

Efectuamos las operaciones:

9 + 13 = 9x + 2x 22 = 11x 2 = x

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios

Ejemplo: Resolver la ecuación 14

– x – 220

= 2x – 35

– 3x – 716

El método más conveniente para resolver este tipo de ecuaciones es multiplicar ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. De esta forma, se obtiene una ecuación equivalente con coeficientes enteros.

El m.c.m. entre 4, 20, 5 y 16 es 80. Luego:

80 · ( 14

– x – 220 ) = 80 · ( 2x – 3

5 – 3x – 7

16 ) Simplificando se obtiene:

20 – 4( x – 2) = 16(2x – 3) – 5(3x – 7)

Resolviendo se obtiene: 20 – 4x + 8 = 32x – 48 – 15x + 35

28 – 4x = 17x – 13

28 + 13 = 17x + 4x

41 = 21x

4121

= x

1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejemplo: 5

x + 1 –

3x – 1

= x + 2x2 – 1

, x debe ser distinto de 1 y de − 1,

ya que para estos valores las fracciones se indeterminan. Estos valores no pueden considerarse como solución de la ecuación.

El m.c.m. entre:x + 1, x – 1 y x2 – 1 es x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)Luego, multiplicando por (x + 1)(x – 1) cada uno de los términos y simplificando se obtiene la ecuación equivalente:

5(x – 1) – 3(x + 1) = x + 2Resolviendo esta ecuación se tiene:

5x – 5 – 3x – 3 = x + 2 2x – 8 = x + 2 2x – x = 2 + 8 x = 10

Luego, 10 sí es solución, ya que es distinto de 1 y de – 1.

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21.4 Ecuaciones literales de primer grado

Ejemplo: x + m(mx + 1) = (1 + m) – m(2x – 1)

Resolvemos los paréntesis y reducimos términos semejantes.

x + m2x + m = 1 + m – 2mx + mx + m2x + m = 1 + 2m – 2mx

Agrupando los términos que contienen x en el primer miembro y los que no la contienen en el segundo.

x + m2x + 2mx = 1 + 2m – m

Factorizamos ambos miembros:

x(1 + 2m + m2) = 1 + mx(1 + m)2 = 1 + m

Dividimos ambos miembros por (1 + m)2:

x = m + 1(m + 1)2

x = 1m + 1

, con m ≠ – 1

2. Metalenguaje y problemas de planteo

Si x representa un número, entonces:

• El doble de x: 2x

• La tercera parte de x: 13

x = x3

• Los cinco cuartos de x: 5x4

• El triple de x: 3x

• El cuádruple de x: 4x

• El cuadrado de x: x2

• El consecutivo o sucesor de x: x + 1 (x ∈ Z)

• El anterior o el antecesor de x: x – 1 (x ∈ Z)

• Tres números consecutivos: (n – 1), n, (n + 1)

• Tres pares consecutivos: (2n – 2), 2n, (2n + 2) o x – 2, x, x + 2

• Tres impares consecutivos: (2n – 1), (2n + 1), (2n + 3) o x – 2, x , x + 2

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

¿Cómo debe empezar a trabajar con un problema verbal?

1° Lea todo el problema para ver de qué tipo es y de qué se trata.

2° Busque la pregunta al final del problema. A menudo esto aclara qué es lo que se está resolviendo, y en qué ocasiones son dos o tres cosas.

3° Empiece el problema diciendo “sea x = algo” (generalmente la incógnita se representa con x); x es lo que se intenta encontrar, y suele expresarse en la pregunta que se plantea al final del problema. Es preciso indicar y etiquetar qué representa x en cada problema para que la(s) ecuación(es) tenga(n) significado.

4° Relea el problema y deténgase en cada dato o información. Los problemas sencillos generalmente contienen dos enunciados. Uno de ellos ayuda a determinar las incógnitas; el otro proporciona datos y/o vínculos para expresar lo escrito en forma de ecuaciones y/o símbolos (metalenguaje). Debe traducir el problema de datos a símbolos dato por dato, es decir, plantear el problema.

5° Cuando sea preciso hallar más de una cantidad o incógnita, intente determinar la incógnita que sea más fácil de despejar.

Ejemplos: • Hallar tres números consecutivos que al sumarlos den 102. Si llamamos “x” al primer número, el siguiente es (x + 1) y el que sigue es (x + 2).

Como los tres números suman 102, podemos decir que:

x + (x + 1) + (x + 2) = 102

3x + 3 = 102

3x = 99

x = 993

x = 33Si x = 33, entonces:(x + 1) = 34 (x + 2) = 35

Respuesta: Los números pedidos son 33, 34 y 35.

Como alternativa de solución se puede utilizar el concepto de que si la cantidad de números es impar, la suma dividida por el número de elementos da como resultado el término central, y si hay una cantidad par de números, la misma operación entrega el número que está entre los dos centrales. Utilizando el mismo ejemplo.

102 : 3 = 34, como es el término central, entonces los números buscados son 33, 34 y 35.

• En una granja, hay 5 conejos más que patos y 3 gansos más que conejos. Si en total hay 55 animales, ¿cuántos conejos, patos y gansos hay?

Sea x el número de patos, entonces: (x + 5) será el número de conejos y (x + 5 + 3) será el número de gansos

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2 Como en total hay 55 animales, podemos decir que:

x + (x + 5) + (x + 5 + 3) = 55 3x + 13 = 55 3x = 42 x = 14

Respuesta: Hay 14 patos, 19 conejos y 22 gansos.

• Si el cuadrado del antecesor de un número excede en 8 al cuadrado del número menos 5 unidades, ¿cuál es el número?

El problema plantea que (x – 1)2 excede en 8 a (x – 5)2, es decir:

(x – 1)2 = (x – 5)2 + 8

Resolviendo esta ecuación se tiene:

x2 – 2x + 1 = x2 – 10x + 25 + 8 x2 – x2 – 2x + 10x = 25 + 8 – 1 8x = 32 x = 4

Respuesta: El número pedido es 4.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Dos o más ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas puede escribirse de la forma:

ax – by = ecx + dy = f

Donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, d, e y f son coeficientes reales. La solución de un sistema compatible es el par ordenado (x, y) de números reales que satisface ambas ecuaciones.

3.1 Métodos de resolución

a. Sustitución

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación

Ejemplo: Sea 4x – 3y = 3

5x + y = 37 , determinar x e y.

Solución De (1) x = 3 + 3y

4

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

Reemplazando en (2): 5 · (3 + 3y)4

+ y = 37 / · 4

5 · (3 + 3y) + 4y = 148

15 + 15y + 4y = 148

19y = 133 / : 19

y = 7

Reemplazando en (1): x = 3 + 3 · 74

= 3 + 214

= 244

= 6 ⇒ x = 6

b. Reducción

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo: Sea 4x – 3y = 3

5x + y = 37 , determinar x e y.

Solución

(1) 4x – 3y = 3 / · – 5 ⇒ (1) – 20x + 15y = – 15(2) 5x + y = 37 / · 4 ⇒ (2) 20x + 4y = 148

Sumando 15y + 4y = – 15 + 148

19y = 133 / : 19

y = 13319

y = 7

Reemplazando en (2) 5x + 7 = 37 / – 7

5x + 7 – 7 = 37 – 7

5x = 30 / : 5

x = 305

x = 6

c. Igualación

Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema o en alguno de los despejes realizados.

Ejemplo: Sea 4x – 3y = 3

5x + y = 37 , determinar x e y.

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2 Solución

(1) 4x – 3y = 3(2) 5x + y = 37

Despejando x de ambas ecuaciones, se tiene:

4x – 3y = 3 5x + y = 37

4x = 3 + 3y / : 4 5x = 37 – y / : 5

x = 3 + 3y

4 x =

37 – y5

Igualando las ecuaciones:

3 + 3y

4 =

37 – y5

/ · 20

15 + 15y = 148 – 4y / + 4y

19y + 15 = 148 / – 15

19y = 133 / : 19

y = 7 Reemplazando en (1):

4x – 3 · 7 = 3 4x – 21 = 3 / + 21 4x = 3 + 21 4x = 24 / : 4 x = 6

d. Algoritmo de Crámer

En el sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

ax + by = ecx + dy = f

los valores de x e y se pueden calcular aplicando las siguientes fórmulas:

x = ed – bfad – bc

y = af – ecad – bc

Este método es conveniente utilizar si nos preguntan por el tipo de solución del sistema, el que se puede detallar como:

1. Si ad – bc ≠ 0: El sistema tiene una solución.2. Si ad – bc = 0: El sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

a) No tiene solución: si ed – bf ≠ 0 o af – ec ≠ 0b) Infinitas soluciones: si ed – bf = 0 o af – ec = 0

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

Ejemplo: 3x – 2y = 7– 6x + 4y = 10

En este sistema a = 3, b = – 2, c = – 6, d = 4, e = 7 y f = 10

Calculando ad – bc = 3 · 4 – (– 2) · (– 6) = 12 – 12 = 0

Para determinar si son infinitas o no tiene solución, se calcula ed – bf o af – ec

af – ec = 3 · 10 – 7 · (– 6) = 30 + 42 = 72 ≠ 0, luego el sistema no tiene solución.

e. Incógnita auxiliar

Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones es a través de incógnitas auxiliares, si el sistema no posee coeficientes enteros o racionales, es decir, si las variables se encuentran escritas de una forma tal que no se parezcan al sistema analizado anteriormente.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

12x

+ 15y

= 6

3x

+ 4y

= 23

Para simplificar este sistema, asignaremos las incógnitas auxiliares:

u = 1x

y v = 1y

Reemplazando estas incógnitas obtenemos un nuevo sistema:

12u + 15v = 6 3u + 4v =

23

Al resolver el nuevo sistema, se obtienen los valores de las incógnitas auxiliares:

u = 143

y v = – 10

3

Reemplazando en u = 1x

, obtenemos:

1x

= 143

, por lo cual x = 314

Del mismo modo, reemplazamos en v = 1y

y obtenemos:

1y

= – 103

, por lo cual y = – 310

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23.2 Representación gráfica

Para el ejemplo: (1) 4x – 3y = 3(2) 5x + y = 37

encontramos que su solución viene dada por un punto que corresponde a la intersección de dos rectas representadas por las ecuaciones del sistema.

Ahora bien, cada ecuación del sistema representa en el plano XY una recta o función de 1er grado (y = mx + n)

34

– 1

y

L1

x

x y

0 – 1

34 0

Intersección con los ejes

L1 4x – 3y = 3

3y = 4x – 3

y = 43

x – 1

L2 5x + y = 37

375

y

L2

x

37

x y

0 37

375 0

Intersección con los ejes

y = 37 – 5x

Si las graficamos y

37

7

P(6, 7)

y = 43 x – 1

x

y = – 5x + 37

6

Nota: Estos gráficos no están a escala.

Por lo tanto, la solución de un sistema de ecuaciones de 1er grado nos entrega el punto de intersección de las dos rectas asociadas.

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1. Encontrar el valor de x en la siguiente ecuación 3

x – 1 +

5x + 2

= 12

x2 + x – 2 .

Solución

Se debe tener en cuenta que si x vale 1 o – 2, la ecuación se indefine. Estos valores se conocen como valores críticos.

Factorizando denominadores para cálculo de m.c.m.

3x – 1

+ 5x + 2

= 12(x – 1)(x + 2)

Amplificando la ecuación por el m.c.m. (x – 1)(x + 2):

3(x + 2) + 5(x – 1) = 12

3x + 6 + 5x – 5 = 12

8x + 1 = 12

8x = 12 – 1 / – 1

x = 118

Como 118

no es un valor crítico para la variable, se acepta la solución x = 118

2. Sea 5x

– 3y

= 1

3x

+ 5y

= 21

, encontrar x e y.

Solución

Sean las variables 1x

= p

1y

= q

. Reemplazando las nuevas incógnitas:

5p – 3q = 1 / · 53p + 5q = 21 / · 3

25p – 15q = 5 9p + 15q = 63

34p = 68 p = 2 Reemplazando

1x

= 2 ⇔ x = 12

3 · 2 + 5q = 21 5q = 15 q = 3

Reemplazando

1y

= 3 ⇔ y = 13

Ejercicios resueltos

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23. ¿Qué relación deben cumplir a y b en el sistema ax + 3y = 5

bx + 2y = 7 para que éste no tenga una única solución?

Solución

Aplicando la regla de Crámer se tiene que 2a – 3b = 0 ⇒ 2a = 3b ⇒ a = 3b2

4. Verónica y Marcelo para celebrar su matrimonio han invitado 50 parejas a una fiesta. Al enviar las invitaciones ellos quieren informar el número de la mesa en la que se deben sentar. Si el recinto cuenta con diez mesas aparte de la mesa de los novios en la que se sientan con ellos el papá y la mamá de cada uno, ¿cuántas mesas de 4 y de 5 parejas se pueden constituir si los padres de los novios están incluidos en los 100 invitados?

Solución

Sean:

x: La cantidad de mesas de 4 parejas y: La cantidad de mesas de 5 parejas Como hay 50 parejas invitadas, pero la parejas de padres de los novios ya están ubicados, se debe

organizar la ubicación de 48 parejas, generándose el siguiente sistema.

(1) x + y = 10(2) 4x + 5y = 48

Multiplicando (1) por – 4

– 4x – 4y = – 40 4x + 5y = 48

Sumando ambas ecuaciones

y = 8

Como x + y = 10, entonces x = 2

Respuesta: Se deben organizar 2 mesas para 4 parejas y 8 mesas para 5 parejas.

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

5. Sea L1 la recta que representa gráficamente a la ecuación (1) 5x – 3y = 12 y L2 la recta que representa a (2) x + y = 4, encuentre el punto de intersección entre L1 y L2.

Solución

Se sabe que el punto de intersección entre dos rectas está dado por la solución del sistema de las ecuaciones que representan. Entonces, para responder, basta desarrollar:

(1) 5x – 3y = 12(2) x + y = 4 / · 3

5x – 3y = 123x + 3y = 12 +

8x = 24 / : 8 x = 3

Reemplazando en (2): 3 + y = 4 / – 3 y = 1

Respuesta: El punto de intersección entre L1 y L2 es (3, 1)

6. Determinar los valores de x e y que satisfacen el sistema x5

+ y3

= – 215

x3

– y2

= 56

Solución

El trabajar con coeficientes fraccionarios es más complicado que hacerlo con coeficientes enteros. Para eliminar las fracciones se multiplican por el m.c.m. calculado en cada ecuación.

3x + 5y = – 2

2x – 3y = 5

x5

+ y3

= – 215

· 15

⇒x3

– y2

= 56

· 6

El sistema resultante se resuelve posteriormente por cualquiera de los métodos.

(1) 3x + 5y = – 2 · 3(2) 2x – 3y = 5 · 5

9x + 15y = – 610x – 15y = 25

19x = 19 / : 19 x = 1

Reemplazando x = 1 en (1):

3 · 1 + 5y = – 2 3 + 5y = – 2 5y = – 5 / : 5

y = – 1

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2EjErcicios

1. En la ecuación 3x – 2

3 = 3x2 – x

3x + 2 , el valor de

x es igual a

A) – 2

B) 0

C) 43

D) 2

E) 3

2. En la ecuación 12x

– 13x

+ 16x

= 1, el valor

de x es igual a

A) 1

6

B) 14

C) 13

D) 12

E) 1

3. En la ecuación a(x + a) – x = a(a + 1) + 1, el valor de x es igual a

A) – a B) – 1

a C) a

D) 1a

E) a + 1a – 1

4. Si P = h1 – h

, entonces h es igual a

A) P1 + P

B) P + Q C) P

1 – P

D) P – 1

E) P + 1

5. Dada la ecuación ax

= ab

– ba

, entonces

x es igual a

A) (a – b)2

ab2

B) a – b

C) a2 – b2

a2b

D) a2b

a2 – b2

E) a + b

6. Si a + b + c = 0 y 3b – a + c = 5, entonces (b – a) es igual a

A) 25

B) 2

C) 52

D) 5

E) 10

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

7. La diferencia de las soluciones del sistema x + y = 1x – y = 0

es

A) – 12

B) 0

C) 12

D) 1

E) El sistema no tiene solución.

8. En el sistema de ecuaciones

2x3

+ 0,3 y = 6

0,3 x + 2y3

= 7

el valor de x e y, respectivamente es A) 5 ; – 8 B) – 8 ; 5 C) 8 ; 5 D) – 5 ; – 8 E) 5 ; 8

9. En el sistema de ecuaciones

x + y − 16 = 0z + x − 22 = 0y − 28 + z = 0

el valor de (x + y + z) es igual a

A) 10 B) 11 C) 22 D) 30 E) 33

10. Al resolver el sistema de ecuaciones

x + y + z = 6 y − z = 0 x = 2

se obtiene

x y z A) 6 0 2 B) 2 2 6 C) 2 2 1 D) 1 2 1 E) 2 2 2

11. En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total se pueden contar 50 cabezas y 134 patas, ¿cuántos animales de cada tipo hay?

A) 20 conejos y 30 gallinas. B) 19 conejos y 31 gallinas. C) 17 conejos y 33 gallinas. D) 15 conejos y 35 gallinas. E) Faltan datos para determinarlo.

12. Si tres números enteros consecutivos suman 45, ¿cuál es el cuadrado del número central?

A) 196 B) 225 C) 256 D) 289 E) 324

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2EjErcicios

13. En el sistema

2 · �y + x – 3 · �y – x – 3 = 0

3 · �y – x + 5 · �x + y – 18 = 0

x e y valen, respectivamente

A) 4 ; 5 B) 5 ; 4 C) 3 ; 2 D) – 2 ; 5 E) 4 ; – 2

14. En el sistema

k + x + y = 0 x + 3y = k

x = y

el valor de k es igual a

A) – 1 B) 0 C) 2 D) 5 E) 11

15. Se requiere mezclar vino de un tipo A a $ 1.500 el litro, con otro de un tipo B a $ 900 el litro, de modo que resulte un vino de $ 1.140. ¿Cuántos litros de cada tipo deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

A) 140 lts. de A y 60 lts. de B B) 120 lts. de A y 80 lts. de B C) 100 lts. de A y 100 lts. de B D) 80 lts. de A y 120 lts. de B E) 60 lts. de A y 140 lts. de B

16. Si Pablo tiene el triple de hermanas que de hermanos y Angélica, su hermana mayor, tiene igual cantidad de hermanos que de hermanas, ¿cuántos hombres y mujeres son en total?

A) 2 hombres y 6 mujeres. B) 2 hombres y 3 mujeres. C) 3 hombres y 2 mujeres. D) 3 hombres y 9 mujeres. E) 3 hombres y 3 mujeres.

17. A las tres de la tarde sale de la ciudad un auto a una

velocidad constante de 80 kmh

. Dos horas después,

del mismo lugar, sale una moto en su persecución a

una velocidad constante de 120 kmh

. ¿A qué hora

la moto alcanzará el auto?

A) A las seis de la tarde. B) A las siete de la tarde. C) A las ocho de la tarde. D) A las nueve de la noche. E) A las diez de la noche.

18. Se puede determinar el valor de (x – y), si:

(1) 5x + y – 2z = 21 (2) 2x + 3y = 28

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

19. En la ecuación 2x – 3y = 4, se puede determinar el valor de x e y si:

(1) x es el doble de y (2) 2x + 3y = 28

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. Se puede determinar el valor que se pagará en la cuenta del agua de una casa en cierto mes, si:

(1) La cuenta incluye tres tipos de cobros:

consumo en m3, cobro por uso alcantarillado y arriendo del medidor. Dicho mes se pagan $ 3.500 por concepto de uso de alcantarillado.

(2) El cobro de alcantarillado equivale a la mitad del consumo en m3 y el arriendo del medidor tiene un costo fijo de $ 1.000 mensuales.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1CAplicación2CAplicación3EAplicación4AAplicación5DAplicación6CAnálisis7BAplicación8EAplicación9EAnálisis10EAplicación11CAplicación12BAplicación13AAplicación14BAplicación15DAnálisis16BAnálisis17DAnálisis18EEvaluación19DEvaluación20CEvaluación

Respuestas correctas

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2Álgebra en los Números RealesRazones y proporciones, porcentaje e interés

IV. Inecuaciones lineales

1. Desigualdades

Una desigualdad es una relación entre dos números o expresiones, tal que:

• x es menor que y si: (x – y) es negativo• x es mayor que y si: (x – y) es positivo

Para trabajar esta unidad se utilizará la siguiente simbología:

< Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que

Ejemplo:

Al construir un triángulo se debe tener en cuenta que la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero y la resta es menor. Entonces, determine qué valor(es) se le puede(n) dar al tercer lado de un triángulo si los otros dos miden 3 cm y 7 cm.

• El menor valor del tercer lado será mayor que

7 – 3 = 4

• El mayor valor del tercer lado será menor que la suma de los lados conocidos

7 + 3 = 10

Por lo tanto, si al tercer lado lo llamamos x, la respuesta será: 4 < x < 10

1.1 Propiedades

• Si se suma o resta una misma cantidad a los miembros de una desigualdad, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo: 2 + 7 ≤ 4 + 7 ⇒ 9 ≤ 11 2 – 7 ≤ 4 – 7 ⇒ – 5 ≤ – 3

• Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad positiva, resulta otra desigualdad del mismo sentido que la dada.

Ejemplo: 2 ≤ 4 / : 5 2 ≤ 4 / · 5

25

≤ 45

5 · 2 ≤ 5 · 4 10 ≤ 20

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

• Si los miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, resulta otra desigualdad de distinto sentido que la dada.

Ejemplo: 2 ≤ 4 / : – 5 2 ≤ 4 / · –5

– 25

≥ – 45

– 5 · 2 ≥ – 5 · 4 – 10 ≥ – 20

• Si se elevan ambos miembros de la desigualdad a un exponente impar positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo: 3 < 5 / ( )3

27 < 125

• Si se tiene una desigualdad de términos positivos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, se obtiene una desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplos: i) 5 > 4 / ( )2 ii) 12

> 14

/ ( )2

25 > 16 14

> 116

• Si se tiene una desigualdad de términos negativos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra igualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplos: i) – 4 < – 2 / ( )2 ii) – 12

< – 14

/ ( )2

16 > 4 14

> 116

• Si se tiene una desigualdad en que ambos miembros sean positivos o ambos negativos y se genera el inverso multiplicativo, resulta otra desigualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplos: i) 2 < 3 / ( )– 1 ii) 12

> 13

/ ( )– 1

12

> 13

2 < 3

iii) – 5 < – 3 / ( )– 1 iv) – 14

> – 12

/ ( )– 1

– 15

> – 13

– 4 < – 2

• El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos tienen signos contrarios y se elevan a un exponente par.

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21.2 Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de los números reales.

• Intervalo cerrado[a, b] = {x ∈ IR / a ≤ x ≤ b}

– ∞ a b + ∞

• Intervalo abierto(a, b) =]a, b[= {x ∈ IR / a < x < b}

– ∞ a b + ∞

• Intervalo semiabierto o semicerrado

[a, b[ = [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}]a, b] = (a, b] = {x ∈ IR / a < x ≤ b}

• Intervalos indeterminados

[a, + ∞) = [a, + ∞[= {x ∈ IR / x ≥ a}(a, + ∞) =]a, + ∞[= {x ∈ IR / x > a}(– ∞ , a] =]– ∞ , a] = {x ∈ IR / x ≤ a}(– ∞ , a) =]– ∞ , a[= {x ∈ IR / x < a}

Para trabajar con intervalos, se definirán las operaciones de conjunto unión (∪) e intersección (∩), como:A ∪ B: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A o que están en B.

A ∩ B: Es el conjunto formado por todos los elementos que están presentes en el conjunto A y también en B.

Ejemplos:

• ]– 3, 12] ∪ ]5, + ∞[

– 3 5 12R: ]– 3, + ∞[

• (]– ∞, 5] ∩ ]– 2, 10]) ∩ ]– 7, 4] Resolviendo el paréntesis

– 2 5 10

]– 2, 5] ∩ ]– 7, 4]

– 2 4 5– 7

R: ]– 2, 4]

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

2. Inecuaciones lineales

Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazar en una variable cumpla con la desigualdad.

Ejemplos: • 5x – 36

≥ x3

– 1 / · 6

5x – 3 ≥ 2x – 6 5x – 2x ≥ 3 – 6 3x ≥ – 3 / : 3 x ≥ – 1

Es decir, se cumple para todo valor de x mayor o igual que – 1. Entonces x ∈ [– 1, + ∞[

• 3x5

– x + 12

< x – 34

/ · 20

4 · 3x – 10(x + 1) < 5(x – 3) 12x – 10x – 10 < 5x – 15 2x – 5x < 10 – 15 – 3x < – 5 / : (– 3)

x > 53

o bien x ∈ 53

, + ∞

3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Ejemplo: ¿Cuál es la solución del sistema?

x – 3 ≤ 23

x – 32

x + 23

≥ 5x – 1

Solución

En este caso tenemos dos inecuaciones, por lo cual cada una se resolverá por separado y la solución del sistema quedará dada por la intersección de los intervalos solución de cada una.

a) x – 3 ≤ 23

x – 32

x – 23

x ≤ 3 – 32

/ · 6

6x – 4x ≤ 18 – 9

2x ≤ 9

x ≤ 92

S1 = x ∈ IR / x ≤ 92

o bien S1 = – ∞, 92

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2b) x + 2

3 ≥ 5x – 1 / · 3

x + 2 ≥ 15x – 3

5 ≥ 14x

514

≥ x

x ≤ 514

S2 = x ∈ IR / x ≤ 514

S2 = – ∞, 514

c) Entonces, la solución final será S1 ∩ S2, es decir:

– ∞, 92

∩ – ∞, 514

514

92

Gráficamente, la solución está representada por el doble achuramiento.

R: x ∈ – ∞, 5

14

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1. Ordene de menor a mayor los términos a, b y c, sabiendo que a es mayor que c, b no es menor que a y a es distinto de b.

Solución

Podemos ordenar los términos en una recta numérica, ya que nos da una inmediata solución al problema.

c a b

Por lo tanto: c < a < b

2. Determine la solución de la siguiente operación con intervalos

(]– ∞, 5] ∩ [3, 12]) ∪ ]2, 7]

Solución

3 5 12

[3, 5] ∪ ]2, 7]

3 5 72

Solución final: ]2, 7]

3. Resolver 3x – 12

< 5x + 47

– 1

Solución 3x – 1

2 < 5x + 4

7 – 1 / · 14

42x – 7 < 2(5x + 4) – 14 42x – 7 < 10x + 8 – 14 42x – 10x < 8 + 7 – 14 32x < 1 / : 32

x < 132

Ejercicios resueltos

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24. Resolver: 12 < 3x – 5 ≤ 21

Solución

Para resolver inecuaciones simultáneas, se despeja la variable realizando las mismas operaciones a los tres miembros.

12 < 3x – 5 ≤ 21 / + 5 12 + 5 < 3x – 5 + 5 ≤ 21 + 5 17 < 3x ≤ 26 / : 3

173

< x ≤ 263

Rta: x ∈ 173

, 263

5. Si la suma entre tres números pares consecutivos es menor que 120, ¿cuál es el máximo valor posible para el número par mayor?

Solución

Sean los números 2n, 2n + 2, 2n + 4 Se pide que: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 < 120 6n + 6 < 120 / – 6 6n < 114 / : 6 n < 19 Como el par mayor es 2n + 4, entonces a partir de la restricción (n < 19) se busca la solución del

problema. n < 19 / · 2 2n < 38 / + 4 2n + 4 < 42

Como el par mayor debe ser menor que 42, entonces el valor máximo que puede tomar es 40.

6. En un proyecto, Pablo trabajó 4 horas más que Jaime y juntos trabajaron a lo menos 30 horas. ¿Cuál es el mínimo número de horas que pudo haber trabajado cada uno?

Solución Sea P: el número de horas que trabaja Pablo J: el número de horas que trabaja Jaime

(1) P = J + 4 (2) P + J ≥ 30

Reemplazando (1) en (2), se tiene:

J + 4 + J ≥ 30 / – 4 2J ≥ 26 / : 2 J ≥ 13

Entonces, si Jaime trabajó un mínimo de 13 horas, Pablo lo hizo por lo menos durante 17 horas.

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

1. Al resolver la expresión ([– 6, + ∞[ ∩ ]– ∞, 10]) ∪ ]5, + ∞[ , ésta equivale al intervalo

A) [– 6, + ∞[ B) ]5, + ∞[ C) ]5, + ∞[ D) [– 6, 5[ E) ]– 6, 5]

2. El intervalo que se obtiene al reducir [– 6, + ∞[ ∩ ]– 2, + ∞[ ∩ ]– ∞, 3], es

A) [– 2, + ∞[ B) ]– 6, – 2[ C) [3, + ∞[ D) [– 2, 3[ E) ]– 2, 3]

3. El intervalo solución que se obtiene al reducir ([– 3, 6[ ∪ ]8, + ∞[) ∪ ]4, 12] es

A) ]4, 12] B) ]4, 6[ ∪ ]8, 12] C) [4, 6] D) [– 3, + ∞[ E) ∅

4. Al resolver la inecuación

2x + 18

< 3x – 43

, se obtiene

A) x > 0

B) x > 3518

C) x < 3518

D) x = 3518

E) x > 1835

5. La solución de 6x + 112

+ 6 > 9 + 3x, es A) ∅ B) IR C) {∅} D) [11, 5] E) [23, 17]

6. Si x < 5, entonces la solución de

1 – x – 59

< 9 + x, es

A) ] – 6710

, + ∞[ B) ] – 77

10 , + ∞[

C) ]– ∞, 5[

D) ] – 6710

, 5[ E) ] – 77

10 , 5[

7. La expresión 4�3x – 2 NO representa un número

real si

A) x < 4 B) x > 4 C) x ≤ 4 D) x ≥ 4 E) x = 4

8. La expresión �– x representa un número real si x pertenece a

A) (– ∞, 0] B) (– ∞, 2) C) IR D) (0, + ∞) E) (0, + ∞[

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2EjErcicios

9. La expresión 7

�3 – x representa un número

real si x pertenece a

A) IR B) IR* C) ]0, + ∞[ D) ]– ∞, 3[ E) ]3, + ∞[

10. Si a, b ∧ c > 0 y a · b > b · c, entonces siempre se cumple que

I) a > c

II) 1a

< 1c

III) – 3ab > – 3bc Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo I y II. D) sólo I y III. E) I, II y III.

11. La solución de (x – 1)2 ≤ x (x – 4) + 8 es

I) x ≤ 72

I) ]– ∞, 72 [

III) IR

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) I, II y III.

12. En el sistema 3x – 1 ≥ x2

+ 3

2x + 5 < 3x – 1

el intervalo solución al que pertenece x es:

A) [ 85

, 6[ B) ]– ∞,

85 ]

C) [6, + ∞[

D) ]6, + ∞[

E) ] 85

, 6[13. La alternativa que corresponde al conjunto

solución del sistema

2x + 3 < 3 x – 2 > 4

es

A) ]– ∞, 0[ B) ]6, + ∞[ C) ]– ∞, 0[ ∪ ]6, + ∞[ D) IR E) ∅

14. Se sabe que el doble de un número, menos uno es menor que el número aumentado en uno. ¿Cuántos números naturales cumplen con el enunciado?

A) Uno. B) Dos. C) Tres. D) Cuatro. E) Cinco.

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

15. Dado que el perímetro de un polígono es la suma de sus lados, ¿cuál debe ser la menor longitud del lado de un cuadrado para que su perímetro NO sea menor que 50 cm?

A) 10 cm B) 12 cm C) 12,5 cm D) 15 cm E) {x ∈ IR / x ≥ 12,5 cm}

16. Si la suma de dos números impares consecutivos es menor que 60, ¿cuál es el mayor valor posible para el número mayor?

A) 31 B) 29 C) 27 D) 25 E) 23

17. Si en un bolsillo tengo 5 monedas más que en el otro y sé que en total tengo por lo menos 35 monedas, ¿cuál es la menor cantidad de monedas que puedo tener en un bolsillo?

A) 25 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5

18. Se puede determinar quién es mayor entre Marcelo, Pablo y Joaquín si:

(1) Pablo es un año mayor que Joaquín.(2) Marcelo no es menor que Pablo y está de

cumpleaños el mismo mes que Joaquín.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

19. Se puede determinar cuál es la menor cantidad de tarros de pintura que se necesitan para pintar una casa si:

(1) En el living se utiliza el doble que en la cocina, en la cual se ocupa un tarro y medio.

(2) Para pintar la casa completa se necesita por lo menos el triple de la cantidad de tarros que se gastan en pintar el living y la cocina juntos.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 20. Se puede determinar cuál es la cantidad de pares

de zapatos que hizo un zapatero si:

(1) Al vender 40 pares, le quedan más de la mitad de los pares que hizo.

(2) Al vender 35 pares, le quedan menos de 47 pares.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1AAplicación2EAplicación3DAplicación4BAplicación5BAplicación6DAplicación7AAnálisis8AAnálisis9DAnálisis10CAnálisis11AAnálisis12DAplicación13EAplicación14AAplicación15CAnálisis16BAnálisis17CAplicación18EEvaluación19CEvaluación20CEvaluación

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2V. Relaciones y funciones

1. Nociones de conjuntos

El concepto de conjunto está referido al hecho de reunir o agrupar objetos o cosas para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar en o entre dichos grupos.

• La escritura o notación a ∈ M significa que el objeto a es un elemento del conjunto M.

– La notación a ∉ M significa que a NO es un elemento de M.

Así, si M = {p, q, r, a}, escribimos q ∈ M, r ∈ M, n ∉ M, b ∉ M

– Un conjunto puede definirse por comprensión cuando se da una propiedad que la cumplen todos los elementos del conjunto o por extensión cuando se especifican gráficamente todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una vocal} se define por comprensión. A = {a, e, i, o, u} se define por extensión.

• Si un conjunto no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se designa por ∅. Así, por ejemplo, ∅ = {x / x ≠ x}, o bien ∅ = { }

• El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento en A es también elemento de B. Esto se escribe A ⊂ B.

Si hay cuando menos un elemento en B que no está también en A, entonces A se llama subconjunto propio de B. Según lo anterior ∅ es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplo: Si M = {a, b, c, d}; N = {c, d}; P = {d, b, a, c}, entonces, N ⊂ M y M ⊂ P (nótese que d ∈ N y que {d} ⊂ N).

• Dos conjuntos M y N son iguales si, y solamente si, contienen los mismos elementos. En este caso escribimos M = N.

Esto es equivalente a escribir: si A y B son conjuntos, entonces:

A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A

Si A es conjunto con n elementos diferentes, se dice que su cardinalidad es n (número de elementos del conjunto) y se puede demostrar que posee 2n subconjuntos.

Ocasionalmente, nos interesan sólo aquellos conjuntos que están contenidos en un conjunto fijo dado, llamado conjunto universal o universo (también llamado conjunto universo relativo).

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

• Operaciones con conjuntosSi A y B son subconjuntos de un conjunto universo U, entonces se define:

– Unión (∪):

Definición: Sean A y B conjuntos

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

Ejemplo: Sean los conjuntos

M = {a, b} P = {a, c, d} ⇒ M ∪ P = {a, b, c, d} (nótese que el elemento común a los dos conjuntos se cuenta una sola vez)

– Intersección (∩):

Definición: Sean A y B conjuntos

A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Del ejemplo anterior se observa que M ∩ P = {a}

– Diferencia (–): Definición: Sean A y B conjuntos

A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

Ejemplos:

i) M = {a, b, c} N = {a, d} M – N = {b, c} N – M = {d}

ii) P = {d, e} Q = {d, e, f } Q – P = {f } P – Q = ∅

– Complemento (C’):

Definición: Sean A y B conjuntos tales que, simultáneamente, A ∪ B = U ∧ A ∩ B = ∅, entonces A es complemento de B y B es complemento de A con respecto al universo U.

Por tanto, si U designa el universo y C’ el complemento de un conjunto dado C, tenemos:

C’ = U – C

El complemento de C se define como el conjunto de los elementos del universo que no están en C.

C’ = {x / x ∉ C ∧ x ∈ U}

Ejemplo: Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} C = {a, b, c, e, g, i, k} Luego, C’ = {d, f, h, j}

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2• Los conjuntos formados por uniones, intersecciones y diferencias pueden representarse pictóricamente por

medio de diagramas llamados Diagramas de Venn.

– Unión (∪):

A ∪ BA B

U

– Intersección (∩):

A ∩ BA B

U

– Diferencia (–):

A – B

A B

U

A B

U

B – A

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

– Complemento (A’):

U

A

A’

– Otros ejemplos:

U

A B

(A ∩ B)’

U

A B

(A ∪ B)’

U

A B

A ∩ B = B A ∪ B = A

U

A B

A ∪ B (A y B son disjuntos)

U

A B

U

A B

A ∩ B = ∅

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22. Relaciones

2.1 Producto cartesiano

Dados dos conjuntos M y N, se define una operación entre los elementos de ellos tal que originan elementos especiales llamados pares ordenados.

Así M x N = {(a, b) / a ∈ M ∧ b ∈ N, en ese orden}Es decir, N x M = {(a, b) / a ∈ N ∧ b ∈ M, en ese orden}Se observa M x N ≠ N x M

Si M tiene m elementos y N tiene n elementos, entonces por distributividad, M x N tendrá (m · n) elementos. De igual forma, el número de subconjuntos de M x N es 2m · n.

Notemos que el conjunto A x B presenta como elementos a entes matemáticos llamados pares ordenados (a, b).

(a, b)

Segunda componente

Primera componente

Ejemplo:

Sean A = {7, 1, 2} y B = {6, 4} A x B = {(7, 6), (7, 4), (1, 6), (1, 4), (2, 6), (2, 4)} B x A = {(6, 7), (6, 1), (6, 2), (4, 7), (4, 1), (4, 2)} ⇒ A x B ≠ B x A

Una vez conocido el conjunto A x B podemos asociar los componentes de los pares ordenados de alguna manera; por ejemplo, busquemos o determinemos el conjunto formado por los pares ordenados en los cuales se verifiquen que la segunda componente es múltiplo de la primera componente. Observando tenemos:

S = {(1, 6), (1, 4), (2, 6), (2, 4)}

Podemos notar que S ⊆ A x B

2.2 Concepto de relación

Todo subconjunto R de A x B se dice “relación entre los conjuntos A y B”

R = {(a,b) ∈ A x B / a ∈ A ∧ b ∈ B}, R ≠ ∅

Así, podemos escribir de nuestro ejemplo anterior.

S = {(a, b) ∈ A x B / a divide a b}

Se dice que:

• a es la preimagen de b, bajo la relación R.• b es la imagen de a, bajo la relación R.• B es el conjunto de llegada o codominio.• El conjunto A se llama conjunto de partida. El subconjunto de A que está formado por todos los elementos

que tienen imágenes en B bajo la relación R se llamará conjunto de preimágenes o dominio.

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

3. Funciones

3.1 Concepto de función

Si tenemos una relación f entre 2 conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

A B

a b = f(a)

x f(x)

f

La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

Se dirá:• f : A → B• b ∈ B es la imagen de a ∈ A bajo la función f y se denota por b = f(a)

Diremos que f es una función de A en B, si y sólo si se verifican:

i. Dom f = Aii. Si (x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ⇒ y = z (Unívoca)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

El recorrido o rango de una función es aquel subconjunto del conjunto de llegada en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

Veamos el siguiente ejemplo:

A B

123456 7

f

abcde

Se puede ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B.

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2Luego, para la función f denotada:

Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} Conjunto de llegada (Codominio) = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al Rango de f.

3.2 Representación gráfica

Una forma de representar una función es mediante un sistema de coordenadas rectangulares o ejes cartesianos.

x

y

4

3

P

P(x, y) = (3, 4) donde 4 = coordenada “y” (ordenada) 3 = coordenada “x” (abscisa)

Entonces, la función y = f(x) corresponde al conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacióny = f(x).

Ejemplo:

Indica cuál de los siguientes gráficos representa una función de x en y.

A)

x

y B)

x

y C)

x

y D)

x

y

Analizando cada caso:

x

y

y1y2

x2 x1

A) Es función, ya que a cada valor de x le corresponde un único valor en “y”.

x

y

y1

y2

x1

B) NO es función, ya que a un mismo valor de x le corresponden dos imágenes en “y”.

118 119

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

x

y

y1

y2

xC) NO es función por las mismas causas del

ejemplo anterior. Cabe destacar que si se toma cada curva por separado, cada una de ellas sí es una función.

x

y

y2

x2

x1

y1

D) Sí es función.

3.3 Clasificación de funciones

1 2

3

4

5

A B a b

c

d

f

Como se ve, 4 ∈ B y no es imagende ningún elemento de A

a. Función inyectiva

Una inyección de A en B es toda función f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

1

2

A B

a b

c

d

fb. Función Epiyectiva o Sobreyectiva

Una epiyección o sobreyección de A en B es toda función f de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al menos, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que #A ≥ #B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

f

1

2

3

A B

a

b

c

c. Función Biyectiva

Una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto inyectiva como epiyectiva. Si cumple que sea Inyectiva y Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una única preimagen en A.

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2

1. Sea la relación R definida por R = {(a, 1); (b, 2); (b, 3); (c, 3); (d, 1)}. Se puede afirmar que

A) a R 2 B) b R 3 C) c R 1 D) d R 2 E) b R 1

Solución

Sea R una relación tal que R : A → B y ∀ (x, y) ∈ R ⇒ x ∈ A e y ∈ B. Según esto: A) a R 2 ⇒ (a, 2) ∉ R (Verdadero) B) b R 3 ⇒ (b, 3) ∉ R (Falso) C) c R 1 ⇒ (c, 1) ∈ R (Falso) D) d R 2 ⇒ (d, 2) ∈ R (Falso) E) b R 1 ⇒ (b, 1) ∈ R (Falso)

Luego, la alternativa correcta es A.

2. Sea f(x) = x + 1. Entonces, el valor de f(2x – 1) es

A) 2x + 1 B) 4x C) 3x D) 2x + 2 E) 2x Solución Se tiene la función f(x) = x + 1, entonces el valor de f(2x – 1):

Sea: u = 2x – 1 ⇒ f(u) = f(2x − 1)

Luego al reemplazar x por u:

f(u) = u + 1

Pero como u = 2x – 1 ⇒ f(2x – 1) = (2x – 1) + 1 = 2x – 1 + 1 = 2x

Finalmente: f(2x – 1) = 2x

Alternativa correcta E.

Ejercicios resueltos

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

3. En la figura, el gráfico de la función f: [3, 6] → [1, 3]. Es correcto afirmar que

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6

f

y

x

A) f no es una relación. B) f es función epiyectiva. C) f es función inyectiva. D) f no es función. E) Ninguna de ellas es correcta.

Solución

Si tenemos la función f: [3, 6] → [1, 3]:

• Elintervalo[3, 6] corresponde al dominio de f. • Elintervalo[1, 3] corresponde al conjunto de llegada de f.

Estudiemos la veracidad de las afirmaciones:

A) Si f es función entonces f es relación, luego la afirmación es falsa. B) Es verdad, puesto que el recorrido ([1, 3]) es igual al conjunto de llegada ([1, 3]). C) Es falsa, puesto que f (3) = f (4) = 3 ⇒ f no es inyectiva. D) Es falsa, puesto que ∀ x ∈ [3, 6] ( dominio de f ), ∃! y ∈ [1, 3] (recorrido de f ). E) Es falsa, puesto que B es verdadera.

4. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas corresponde(n) a una función de A en B?

I)

a

b

c

A B

1

2

3

II)

a

b

c

A B

1

2

3

III)

a

b

c

A B

1

2

3

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

Solución

Para que una relación sea función, todo elemento del conjunto de partida debe poseer una sola imagen en el conjunto de llegada; y sólo III) no lo cumple. Alternativa A.

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25. Sea la relación G = {(x, y) / y2 = x ; x, y ∈ IR}

Determinar si es o no una función:

Solución

Al graficar el conjunto G se tiene: y2 = x / �64

y = ± �x

IR

IR

y=± �x

Si se toma como Dominio a IR, la relación no es unívoca, ya que (1, 1) ≠ (1, – 1) Además, la relación no está definida para todo elemento de IR ⇒ Dominio = IR+ ∪ {0} Si se toma como recorrido a IR, la relación tampoco es unívoca, luego G no es función. G es función si Dom G = IR+ ∪ {0} y Rec G = IR+ ∪ {0}

6. Sea f(w) = 4, entonces determinar el valor de w si f(x) = – 3x + w

Solución

Evaluando en x = w f(w) = – 3w + w = – 2w = 4

w = 4– 2

w = – 2

7. Sea f(x) = 2x + 1 y g(x) = x – 5. Entonces f(g(3))= Solución

Se resuelve desde adentro hacia afuera

f(g(x)) ≠ g( f(x))

g(3) = 3 – 5 = – 2 f(g(3)) = f(– 2) = 2 · – 2 + 1 (Desarrollando) = – 4 + 1 = – 3 ∴ f(g(3)) = – 3

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

1. Sea A = {2, 3, 4} y B = {4, 6}.Se establece una relación R entre A y B tal que

a ∈ A ∧ b ∈ B, a R b si b es múltiplo de a.

¿Cuál de los siguientes conjuntos corresponde a la relación R?

A) {(2, 4); (3, 4); (3, 6); (2, 6)} B) {(2, 4); (3, 6); (4, 4); (4, 6)} C) {(2, 4); (2, 6); (3, 6); (4, 4)} D) {(2, 4); (3, 4); (4, 6); (4, 8)} E) {(2, 4); (3, 6); (4, 4); (4, 8)}

2. Sea R una relación de IR en IR, tal que

x R y ⇔ x = y2

. ¿Cuál de los siguientes pares

ordenados NO cumple la relación?

A) (2, 4) B) (8, 16) C) (6, 12) D) (4, 8) E) (10, 5)

3. Sea una relación R entre números naturales tal que: R = {(a, b) / a ∧ b ∈ IN, a es múltiplo de b}. La alternativa verdadera es

A) 6 R 3 B) 4 R 8 C) 9 R 3 D) 28 R 16 E) 28 R 7

4. Dado el conjunto A = {a, b, c} donde se establecen relaciones de A en A. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) función(es)

I) R1 = {(a, a); (b, b); (c, c)} II) R2 = {(a, a); (a, b); (a, c)} III) R3 = {(a, c); (c, a); (b, b)} A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

5. Si f(u) = 3x + u, entonces f(3) – f(0) es igual a

A) 3u B) 6x C) 3 D) 0 E) 3x + 3

6. Para que se cumpla que f(x) = 3x – 5 sea 6, el valor de x debe ser

A) – 11

3

B) – 65

C) 13

D) 53

E) 113

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2EjErcicios

7. Si f(x) = 2x y g(u) = 2u, entonces f(2) – f(3) + g(5) es igual a

A) – 12 B) – 5 C) 3 D) 4 E) 8

8. Si f(x) = x + 3 y g(x) = 5x + 7, entonces g(f(– 2)) es igual a

A) – 18 B) – 5 C) – 3 D) 12 E) 18

9. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones de A en B es(son) función(es)?

I) A B

abc

1234

II) A B

abcd

1

2

III) A B

abc

1234

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

10. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos corresponde(n) a una función de x en y?

I) y

x

II) y

x

III) y

x

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

11. Sea la función f(x) = x2 – 3x + 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) f(0) = 1 B) f(– 5) = 41 C) f(2) = – 1 D) f(– 1) = 3 E) f(1) = – 1

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

12. La gráfica representa a una función. El valor de f(0) + f(3) – f(– 3) es

x

y

2,5

1

5

3

– 4

– 1

– 3– 5

A) 0 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12

13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Toda función biyectiva es también una función inyectiva.

B) La función f: IR → IR / f(x) = x + 5 es una función inyectiva.

C) Toda función biyectiva es también una función epiyectiva.

D) Toda relación es una función.E) Si f(x) = x + 1 y g(x) = x + 2, entonces

f(g(2)) = 5

14. Sea f(x) = x – 3 y g(x) = x – 1, entonces g(f(x)) viene dado por

A) x – 4 B) x(x + 6) C) x2 + x – 4 D) (x – 3) · (x – 1) E) – 6x + 8

15. Si f(u) = u + 2x, entonces f(x) + f(2x) es igual a

A) 7u B) 2(x + 2u) C) 7x D) 2(u + 2x) E) 5x

16. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados NO satisface la función f(x) = x2 – 4?

A) (– 1, – 3) B) (– 2, 0) C) (– 3, 5) D) (0, 4) E) (2, 0)

17. Sea la función f: IR → IR que viene dado por f(x) = 2x + 1. El gráfico de la función f corresponde a

A)

x

y

5

3

1

1 2

B)

x

y

7

2

3

C)

x

y

10

1

5

D)

x

y

3

5

E)

x

y

9

3

4

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2EjErcicios

18. Si f(x) = 2ax – 5x + 5a, entonces al calcular

f(a + b) – f(a)

2b se obtiene

A) 4ab – 5b

2b

B) 2a – 5

2

C) 2(a + b)2

D) (a + b)2

b

E) 2a + 5

2

19. Sea la función f(x) = x – ax, entonces f(a + b) – f(b) es igual a

A) a(a +1) B) 2(ab + b2) C) a2 + ab + b2

D) a(1 – a) E) ab + a

20. Si f(a) = 2 y f(x) = 3 + 2x

2a, el valor de a es

igual a

A) 47

B) 23

C) 32

D) 74

E) 3

NúmeroAlternativaHabilidad1CComprensión2EComprensión3AComprensión4BAnálisis5CAplicación6EComprensión7EAplicación8DAplicación9AAnálisis10DAnálisis11DConocimiento12CComprensión13DAnálisis14AConocimiento15CAplicación16DComprensión17AComprensión18BAplicación19DAplicación20CComprensión

Respuestas correctas

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

VI. Funciones de variable real

1. Función afín

Es de la forma f(x) = mx + n, con n ≠ 0, m ≠ 0

con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición)

Ejemplo: La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada – 3.

• Análisis de la pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

Si m < 0, entonces la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Si m > 0, entonces la función es creciente

• Relaciones gráficas para la pendiente y el coeficiente de posición

I)

x

y

m > 0n > 0

n

II)

x

y

m < 0n > 0n

III)

x

y

m > 0n < 0

n

IV)

x

y

m < 0n < 0

n

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2• Tipos de funciones especiales

a) La función de la forma f(x) = x, se conoce como función identidad y su gráfica es:

x

f(x)

1

1

2

2

– 1

– 1

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante real, se conoce como función constante y su gráfica es:

f(x)

c

x

con c > 0 f(x)

c

x

con c < 0

c) La función de la forma f(x) = mx, m ≠ 0 se conoce como función lineal y su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

• Evaluación de una función

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo:

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos x metros es:

fx) = 0,8[x] + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos 3 km = 3.000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es :

f(3.000) = 0,8 · [3.000] + 250 = 2.650

Por tres kilómetros se pagan $ 2.650

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

• Construcción de una función con comportamiento lineal conocidos valores de ella

Se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:

(x1, f(x1)) y (x2, f(x2))

O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:

(x1, y1) y (x2, y2)

Donde la función buscada será:

y – y1 = y2 – y1

x2 – x1

(x – x1) Ejemplo:

Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF en función de los ºC, si existe un comportamiento lineal?

Solución:

Se tiene la siguiente información: x1 y1 x2 y2

(0, 32) y (100, 212)

ºC : variable independiente (x)

ºF : Variable dependiente (y)

Reemplazando en: y – y1 = y2 – y1

x2 – x1

(x – x1)

Se tiene: y – 32 =

212 – 32100 – 0

(x – 0) y – 32 =

180100

· x

y = 1,8 · x + 32

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es:

f(x) = 1,8x + 32 f(x) = 1,8x + 32

Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmético.

Sabías que...

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2Ejemplo:

f(x) = 2x + 1

f(0) = 2 · 0 + 1 = 1 + 2 f(1) = 2 · 1 + 1 = 3 + 2 f(2) = 2 · 2 + 1 = 5 + 2 f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

Gráficamente

f(x)

1

1

5

3

2x

2. Función parte entera

Ésta se escribe: f (x) = [x] Dom : IR, Rec : Z

El valor de [x] es el menor de los dos números enteros entre los cuales está comprendido x, o si x es un número entero, [x] = x, es decir:

[x] ≤ x < [x + 1]

Ejemplo:

[2,9] = 2 ; [ – 72 ] = – 4 ; [5] = 5 ; [�2 ] = 1

Gráfica de la funciónf(x) = [x], con – 3 ≤ x < 3

– 1

– 2

– 3

– 3 – 2 – 1 1 2 3

3

2

1

f(x)

x

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[, con n ∈ Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos.

130 131

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

3. Función valor absoluto

Es frecuente en el cálculo al tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto.

Si x ∈ IR, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se define:

f(x) = |x| = x si x ≥ 0– x si x < 0

Ejemplo: |– 3| = 3 |12| = 12 |– 18| = 18 |– 5,3| = 5,3

Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.

– 1

– 2

– 3

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

f(x)

x Gráfica de la función f(x) = |x|

3.1 Propiedades del valor absoluto

• Si |x| ≤ a, entonces – a ≤ x ≤ a; con a ≥ 0• Si |x| ≥ a, entonces x ≥ a ó – x ≥ a• |xy|= |x| · |y|• |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

Esta última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando se generaliza a vectores, indica que la longitud de cada lado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

|x|2 = x2

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2Ejemplos:

• |x – 3| ≤ 2

Aplicando la primera propiedad:

– 2 ≤ x – 3 ≤ 2– 2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3

1 ≤ x ≤ 5x ∈ [1, 5]

• |3x – 4| ≥ 5 Aplicando la segunda propiedad:

3x – 4 ≥ 5 ∨ – (3x – 4) ≥ 53x ≥ 9 ∨ – 3x + 4 ≥ 5

x ≥ 3 ∨ – 3x ≥ 1

x ≤ – 13

x ∈ ]– ∞ – 13 ] ∪ [3, ∞[

• |5 – 23

x| = 15

5 – 23

x = 15 ó – (5 – 23

x) = 15

15 – 2x = 45 – 15 + 2x = 45 – 2x = 30 2x = 60 x = – 15 x = 30

4. Función raíz cuadrada

f(x) = �x Dom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0}

y

y = �x

x

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

5. Función cuadrática

Es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

, con a ≠ 0

5.1 Gráfica

Siempre es una parábola, dependiendo, su forma y ubicación, de los coeficientes a, b y c.

5.1.1 Concavidad

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0x

y

0

a > 0, Abierta hacia arriba a < 0, Abierta hacia abajo

5.1.2 Eje de simetría y vértice

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

x = – b2a

El vértice está dado por:

Vértice = ( – b2a

, f ( – b2a )) =( – b

2a ,

4ac – b2

4a )

x

y

a > 0

– b2a

– b2 – 4ac

4a

x

y

a < 0

– b2a

– b2 – 4ac

4a

134 135

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25.1.3 Intersección con los ejes

a. Intersección con el eje Y

El coeficiente c nos da la ordenada del punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

c

x

y

0

b. Intersección con el eje X

Para determinar si la parábola corta o no al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante (Δ) de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

Δ = b2 – 4ac

• Si Δ = 0, la parábola corta en un punto al eje X

x

y

0

a > 0

(x1 = x2, 0)

• Si Δ > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

x

y

0

a > 0 (x1, 0) y (x2, 0)

• Si Δ < 0, la parábola no corta al eje X

x

y

0

a > 0

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

5.2 Ecuación de segundo grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax2 + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.

Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

x = – b ± �b2 – 4ac

2a

x1 = – b + �b2 – 4ac

2a

x2 = – b – �b2 – 4ac

2a

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a las abscisas de los puntos donde la función f(x) = ax2 + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x1, 0) y (x2, 0).

Tipos de soluciones

Dependen del valor del discriminante Δ = b2 – 4ac

a) Si Δ = 0 2 soluciones reales iguales (x1 = x2)b) Si Δ > 0 2 soluciones reales distintas (x1 y x2 ∈ IR , con x1 ≠ x2)c) Si Δ < 0 2 soluciones imaginarias distintas (x1 y x2 ∈ C , con x1 ≠ x2)

Conceptos fundamentales

5.2.1 Propiedades de las raíces o soluciones

• x1 + x2 = – ba

• x1 · x2 = ca

• x1 – x2 = ± �Δ

a

A partir de las soluciones x1 y x2, se puede obtener la ecuación, aplicando las propiedades anteriormente men-cionadas. Así se tiene que:

x2 − (x1 + x2) x + x1 · x2 = 0

O de otra forma

(x – x1) · (x – x2) = 0

a(x – x1) · (x – x2) = 0

136 137

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2Ejemplos:

1. Sea la ecuación de 2º grado: x2 + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones a esta ecuación?

Solución Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

x = – b ± �b2 – 4ac

2a

En nuestro caso: a = 1 b = 2 c = – 15

Luego, x = – 2 ± �22 – 4 · 1 · (– 15)

2 · 1

x = – 2 ± �4 + 60

2

x = – 2 ± �64

2

x = – 2 ± 8

2

Luego, x1 = – 2 + 8

2 x2 =

– 2 – 8 2

x1 = 3 x2 = – 5

2. Dada la ecuación x2 + px + qx – 3p = 0, determinar los valores que deben tener p y q para que 2 y 3 sean raíces de esta ecuación.

Solución

Si 2 y 3 son raíces de la ecuación, al aplicar las propiedades deberá cumplirse que:

O bien:

Reemplazando x = 2 x = 3

se obtienen:1. 4 + 2p + 2q – 3p = 02. 9 + 3p + 3q – 3p = 0

de 2. 3q = – 9 q = – 3

∴ 4 + 2p – 6 – 3p = 0 – p = 2 p = – 2

x1 + x2 = – ba

x1 · x2 = ca

2 + 3 = – ba

2 · 3 = ca

Donde x2 + px + qx – 3p = 0 x2 + (p + q)x – 3p = 0

Luego a = 1 b = p + q c = – 3p

Igualando ca

= – 3p = 6 ⇒ p = – 2

– ba

= – (p + q) = 5 ⇒ q = – 5 – p

Reemplazando p = − 2 q = − 5 − (− 2) = − 3

Luego p = − 2 y q = − 3

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

6. Función exponencial

La función exponencial f con base a se define como

f(x) = ax , con a > 0 ∧ a ≠ 1, x ∈ IR

6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial

x

f(x)

0

a > 1

• Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR. (Ley del crecimiento exponencial).

Este tipo de gráfica también se asocia a crecimiento de tipo geométrico.

x

f(x)

0

0 < a < 1• Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR. (Ley del decrecimiento exponencial).

Ejemplo:Determinar la función que representa el número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias y que la población se triplica cada una hora.

Solución

Cantidad inicial = 10.000Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000...Después de x horas = 10.000 · 3x

Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función

f(x) = 10.000 · 3x

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27. Función logarítmica

La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por loga.

y = logax ⇔ x = ay , con a > 0, a ≠ 1, x > 0

x

f(x)

1

• Si a > 1, f(x) = loga x es creciente para x > 0.

x

f(x)

1

• Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente para x > 0.

x

y

0

y = x

(a) b > 1

y = bx

y = logbx1

1

x

y

0

y = x

(b) 0 < b < 1

y = bx

y = logbx

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

7.1 Logaritmos

n = loga b ⇔ an = b , donde n es el logaritmo de b en la base a,

con b > 0 , a > 0 y a ≠ 1

7.1.1 Tipos de logaritmos

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

log10x = log x

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

logex = ln x = l x con e = 2,718281828...

7.1.2 Propiedades

• Logaritmo de la base: loga a = 1

• Logaritmo de la unidad: loga 1 = 0

• Logaritmo del producto: loga (b · c) = loga b + loga c

Ejemplo: log8 2 + log8 4 = log8 (2 · 4) = log8 8 = 1

• Logaritmo del cuociente: loga ( bc ) = loga b – loga c

Ejemplo: log3 7 – log3 21 = log3 ( 7

21 ) = log3 ( 13 )

= log3 1 – log3 3 = 0 – 1 = – 1

• Logaritmo de una potencia: loga (bn) = n · loga b

Ejemplo: log5 125 = log5 (25 · 5) = log5 (53) = 3 · log5 5 = 3

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2• Logaritmo de la raíz: loga

n�b =

1n

· loga b

Ejemplo: log27 3 = log27 ( 3�33 )= log27 3�27 =log27 27

1

3 = 13 log27 27 =

13

• Cambio de base: loga b = logc b

logc a

Ejemplo: log27 9 = log3 9

log3 27 = log3 3

2

log3 33 =

2 · log3 3

3 · log3 3 =

23

• Exponente logaritmo: alogab = b

1) loga x · loga y ≠ loga x + loga y

2) loga A

loga B ≠ loga A – logaB

Ejemplos:

i) Calcular log10 100 + log2 128 + log5 625

Solución

Para resolver, analicemos cada término: 100 = 102

128 = 27

625 = 54

Luego: log10 100 = log10 102 = 2 · log10 10 = 2

log2 128 = log2 27 = 7 · log2 2 = 7

log5 625 = log5 54 = 4 · log5 5 = 4

Reemplazando: 2 log1010 + 7 log22 + 4 log55 = 2 + 7 + 4 = 13

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

ii) ¿A qué expresión equivale 2 log a + 1

3 log b

5 log c – log d ?

Solución Para reducir analicemos cada término

2 log a = log a2

5 log c = log c5

13

log b = log 3�b

Luego, reemplazando:

2 log a + 13

log b

5 log c – log d =

log a2 + log 3�b

log c5 – log d

Veamos el numerador log a2 + log 3�b = log (a2 · 3�b )

Y el denominador log c5 – log d = log (c5

d )

Luego, queda: log a2 + log 3�b

log c5 – log d =

log (a2 · 3�b )log (c5

d )

7.2 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

7.2.1 Exponencial

Se reducen ambos términos de la igualdad mediante las propiedades hasta llegar a una ecuación reducida mínima. Esta ecuación final puede responder a dos situaciones:

• Bases iguales: ab = ac

Por propiedad de las potencias se obtiene: b = c, ∀ a , b, c ≠ 0 • Bases distintas: ax = bc Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación, obteniéndose:

x log a = c log b

x = c log blog a

O bien x = c · loga b , ∀ a, b > 0 , a ≠ 1

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27.2.2 Logarítmica Se reducen ambos términos de la igualdad mediante las propiedades de los logaritmos hasta llegar a la ecuación:

logc a = logc b ∀ a > 0, b > 0, c > 0, c ≠ 1

Lo que conduce a:a = b

7.3 Aplicaciones

Se debe plantear la ecuación o el sistema que represente el problema, resolviendo después según el(los) tipo(s) de ecuación(es) obtenida(s).

a. Crecimiento bacteriano

Un estudio arroja que el crecimiento de una familia de m bacterias crece en función del tiempo según

f(t) = m · 2t , con t en segundos

Si la familia inicial de bacterias es 7, ¿cuántas habrá para t = 5 segundos?

Solución

f(5) = 7 · 25 f(5) = 7 · 32 f(5) = 224

b. Interés compuesto

Sea M una cantidad de dinero inicial y sea i un interés, tal que r es i en forma decimal y corresponde a la tasa de interés por período.

El interés compuesto acumulado después de n períodos de inversión que entrega un monto final Q (valor acrecentado) está dado por:

Q = M (1 + r)n

Si se invierten $ 200 a un interés 6% anual, es decir, con un interés por mes de r = 0,005 y n el número de meses, se tendrá que:

Q = 200 (1 + 0,005)n

Q = 200 (1,005)n

En general, se supone que r es la tasa de interés anual y que el interés se capitaliza n veces al año. La tasa

de interés por período de inversión es rn

. Si el capital inicial o monto inicial M se ha intervenido por t años,

entonces el número de períodos de interés es nt y el monto Q después de t años está dado por:

Q = M (1 + rn )nt

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

1. Si un depósito de agua pierde 5,3 litros diariamente debido a una grieta en su base, determine dentro de cuántos días el depósito tendrá 650 litros si hoy tiene 809 litros.

Solución

Si se conoce la función f(x) de la cantidad de litros que tendrán el depósito después de x días, se busca el valor de x para que f(x) sea igual a 650.

i) La función que nos entrega la cantidad de litros después de x días es:

f(x) = – (Pérdida diaria) · x + (Cantidad inicial)

Es decir:

f(x) = – 5,3 · x + 809

ii) Se busca f(x) = 650

Es decir: – 5,3x + 809 = 650 809 – 650 = 5,3x 159 = 5,3x / : 5,3

30 = x

R: Después de 30 días, el depósito tendrá 650 lts.

2. Determina en qué cuadrante se encuentra el vértice de la función f(x)= 3x2 – 5x + 2

Solución Recordar que el punto vértice está dado por:

V : ( – b2a

, f ( – b2a ))

En que: a = 3 b = – 5 Por lo tanto:

i) – b2a

= – (– 5)2 · 3

= 56

Ejercicios resueltos

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2 ii) f ( – b

2a ) = f ( 56 )= 3 · ( 5

6 )2 – 5 ·

56

+ 2

= 3 · 25

36 – 256

+ 2

= 2512

– 256

+ 2

= 25 – 50 + 24

12

= – 112

Donde el vértice está en el punto ( 56

, – 112 ), el cual corresponde a un (+ , –); por lo tanto, el punto

vértice se ubica en el cuadrante IV del plano cartesiano.

3. En la función f(x) = 2x2 + (d – 1) x + 5, determine para que valor de “d” una de las raíces será el inverso aditivo de la otra.

Solución

Se pide que las raíces difieran sólo en el signo, por lo tanto, se puede inferir que la suma entre x1 y x2 será siempre cero:

Por propiedad

x1 + x2 = – ba

Entonces – ba

= 0, con a = 2 y b = d – 1

– (d – 1)

2 = 0

– d + 1 = 0 – d = – 1 d = 1

4. Dada la función f(x) = – 5x2 + 3x + 1, determine

a) Concavidad. b) Intersección con eje Y. c) Intersección con eje X.

Solución

Según la función, se sabe que

a = – 5 b = 3 c = 1

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Capítulo 2 Álgebra y Funciones

Entonces:

a) La concavidad está dada por el signo del coeficiente a; como en este caso a < 0, entonces la concavidad es negativa.

b) Intersección con eje Y es siempre el punto (0, c), en este caso: (0, 1)c) Intersección con eje X son los puntos (x1, 0) y (x2, 0), con:

x1 = – b + �b2 – 4ac

2a y x2 =

– b – �b2 – 4ac2a

x1 = – 3 + �32 – 4 · (– 5) · 1

2 · – 5 x2 =

– 3 – �32 – 4 · (– 5) · 12 · – 5

x1 = – 3 + �9 + 20

– 10 x2 =

– 3 – �9 + 20– 10

x1 = 3 – �29

10 x2 =

3 + �2910

Entonces, la parábola intersecta al eje X en los puntos ( 3 – �2910

, 0 ) y (3 + �2910

, 0 )5. Dados los valores: log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771. Entonces, en la función f(x) = log x, determine f(6).

Solución

f(6) = log 6

Donde:

log 6 = log (2 · 3)

Por propiedad:

log (2 · 3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

Por lo tanto:

Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0,7781

6. Determinar cuál es el conjunto de números reales que se encuentran a lo más a 10 unidades del número 3.

Solución

Como le pide que estén a lo más a 10 unidades del 3, se debe tener un cuenta que los números buscados pueden ser mayores o menores que 3. Por lo tanto, se aplica un concepto de valor absoluto donde:

|x – 3| ≤ 10 Por propiedad:

i) x – 3 ≤ 10 / + 3 y ii) x – 3 ≥ – 10 / + 3 x ≤ 13 x ≥ – 7 Por lo tanto, sirven todos los números mayores o iguales que – 7 y menores o iguales que 13, entonces

x ∈ [– 7, 13]

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2EjErcicios

1. Si el producto entre dos números enteros consecutivos positivos es 272, entonces los números son

A) 14 y 15 B) 15 y 16 C) 16 y 17 D) 17 y 18 E) 18 y 19

2. El(los) valor(es) de x que satisfacen la igualdad �x + 7 = x – 5, es(son)

OBS.: Considere la raíz aritmética o principal.

A) 9 B) 2 C) 2 y 9 D) 11 y 7 E) – 6 y – 3

3. Sean x1 y x2 raíces de una ecuación de 2° grado. Si se sabe que x1 + x2 = – 4 y que, además, x1 · x2 = 3, entonces la ecuación que cumple con que sus raíces tengan esas propiedades corresponde a

A) 2x2 + 4x + 3 = 0 B) x2 – 4x = 0 C) x2 + 4x + 3 = 0 D) x2 – 4x + 3 = 0 E) – x2 + 4x + 3 = 0

4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 5x2 – 10x + 2k + 6 = 0 para que una de las

raíces se anule?

A) – 3

B) – 12

C) 0

D) 25

E) 65

5. ¿Qué valor debe tomar m en la ecuación x2 + mx – (7 + m) = 0 para que las soluciones

sean – 2 y 3?

A) – 1 B) –

12

C) 1

D) 2

E) 3

6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k + 7)x + (7k – 1) = 0 para que el producto

de las raíces sea 48?

A) – 55 B) –

477

C) 6

D) 7

E) 41

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 1 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuántos centímetros mide la hipotenusa?

A) 5 B) 13 C) 5 y 13

D) 52

y 132

E) No existe dicho triángulo.

8. El área de un rectángulo mide 161 m2 y su perímetro 60 m. ¿Cuánto mide el lado menor de dicho rectángulo?

A) 15 m B) 13 m C) 10 m D) 7 m E) 5 m

9. Si log 9 = 0,95424, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) log 3�9 = 0,31808

II) log 900 = 2,95424 III) log 81 = 1,90848

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

10. Si a y b son soluciones del sistema

a + b = 27,5 log a – log b = 1

entonces (a · b) es igual a

A) 16,9 B) 19,6 C) 20,1 D) 22,5 E) 62,5

11. Dado log 5 = 0,69897, ¿cuánto vale log 2?

A) 25

· 0,69897

B) 0,69897

2 C) 1 – 0,69897

D) 52

· 0,69897

E) 1 + 0,69897

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2EjErcicios

12. En la parábola de la figura, ¿para qué valores de x la función que representa es creciente?

x

f(x)

1 5

A) ]– ∞, 1[ B) ]– ∞, 5[ C) [1, 5] D) ]3, + ∞[ E) Ninguno de los intervalos anteriores.

13. ¿Cuál es el intervalo que representa los valores de los cuales la función f(x) = – x2 + 4x – 3 es decreciente?

A) ]– ∞, 1] B) ]– ∞, 2[ C) ]2, + ∞[ D) ]1, 3[ E) ]1, + ∞[

14. Si U = (log2 3) (log3 4) (log4 5) · · · (log15 16), entonces U es igual a

A) – 4 B) – 3 C) 3

D) 4 E) 5

15. Si f(x) = – x2

q + 4x – 3q, con q < 0, la mejor

representación de su gráfico corresponde a

A)

x

y

q −3q

B)

x

y

q − 2q

C)

x

y

− q − 3q

D)

x

y

q2q

E)

x

y

q3q

16. Dada la función f(x) = |x – 3| – 1, ¿en qué punto intersecta al eje de las ordenadas?

A) (0, – 4) B) (0, – 2) C) (0, – 1) D) (0, 2) E) (0, 4)

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capítulo 1Capítulo 2 Álgebra y Funciones

EjErcicios

17. Si la tasa de crecimiento de las rentas en cierta empresa está dada por la función

R(x) = – 0,15 x2 + 4,5x, ¿cuál es el número de rentas que hace máxima la tasa de crecimiento?

A) 30 B) 27 C) 20 D) 15 E) 10

18. Una empresa aplica el concepto de “economías de escala” en función de que mientras mayor sea la cantidad vendida de cierto producto, el precio de venta es más bajo y está representado por el gráfico. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

2.000 4.000 6.000 8.000

$ 2.100

$ 2.000

$ 1.800

$ 1.700

Precio por unidad

Cantidadde productos

I) Una persona que compra 5.000 unidades paga menos dinero que la suma de lo que pagan dos personas que compren 2.300 unidades cada una.

II) Lo que paga una persona al comprar 6.000 unidades es menos de lo que pagaría por comprar 5.800 unidades.

III) Al comprar 4.000 unidades se deben pagar $ 2.000 por unidad.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

19. Se puede determinar la concavidad de una parábola si:

(1) Intersecta al eje X en los puntos (– 2, 0) y (3, 0).(2) Intersecta al eje Y en el punto (0, – 6).

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. Si una población de bacterias se duplica cada hora, entonces se puede determinar la cantidad de bacterias que habrá al cabo de 5 horas si:

(1) Inicialmente hay 5.000 bacterias.(2) Al final del tiempo dado habrá 32 veces la

cantidad inicial de bacterias.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1CAplicación2AAnálisis3CComprensión4AAplicación5AAplicación6DAplicación7BAnálisis8DAnálisis9EComprensión10EAnálisis11CAnálisis12DAnálisis13CAnálisis14DAnálisis15EAnálisis16DAplicación17DAnálisis18CAnálisis19CEvaluación20AEvaluación

Respuestas correctas

150 MT

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Capítulo 3

AprendizAjes esperAdos

GEOMETRÍA

Analizar relaciones geométricas presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ciencias; describir y analizar situaciones con precisión.

Analizar invariantes relativas a desplazamientos, cambios de ubicación y ampliación o reducción a escala, utilizando el dibujo geométrico.

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la trigonometría en el triángulo rectángulo, de rectas y planos en el espacio, de volúmenes generados por rotaciones o traslaciones de figuras planas, a la representación de objetos del espacio tridimensional.

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capí

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3Geometría

Las leyes que estudian los fenómenos ópticos de refracción y reflexión se deben principalmente a los trabajos del físico holandés Christian Huyghens. En estas leyes, tienen una gran importancia los ángulos; en la refracción, los rayos luminosos varían sus trayectorias en función de su longitud de onda –es decir, su color– y la densidad de los medios recorridos.

I. Ángulos y polígonos

1. Ángulos

Un ángulo está formado por la intersección de dos rayos con un origen en común. El punto en donde se originan los rayos se denomina vértice de dicho ángulo. La abertura que se produce entre estos dos rayos corresponde a la medida de dicho ángulo, es decir, un ángulo se mide de acuerdo a lo que barre cuando gira desde una posición inicial hacia una posición final.

Sean los rayos OA y OB . Si la posición inicial es el rayo OA y la posición final el rayo OB , entonces dicho giro forma el ángulo AOB, es decir:

B

a

A

O

En este caso, el punto O representa el vértice del ángulo, y su medida será la abertura que existe entre ambos rayos.

La notación de un ángulo en general se realiza a través de letras griegas, como por ejemplo, a, b, g, d, e, q, W, etc... o simplemente mencionando los puntos de los rayos que lo forman. En el caso anterior, el ángulo se describe por AOB, siendo O el vértice, OA y OB los lados del ángulo.

Es importante mencionar que los ángulos se miden positivamente en forma contraria al movimiento de las manecillas del reloj. En general, cuando se mide un ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj se le asocia un número positivo a su medida. Se pueden medir ángulos en el sentido de las manecillas del reloj, pero en este caso, la medida asociada será negativa.

1.1 Sistemas de medida

Existen tres sistemas de medición de ángulos: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema circular.

a. Sistema sexagesimal

Este sistema divide una circunferencia en 360 partes iguales, generando, de esta manera, una división de 360 arcos iguales. A cada uno de los ángulos que se forman uniendo el centro de la circunferencia con los extremos de los respectivos arcos se le asocia como medida un grado sexagesimal (1°), el cual corresponde a una de las 360 partes en que se dividió la circunferencia. Cada una de estas 360 partes se puede dividir, a su vez, en 60 partes iguales. Cada una de las 60 divisiones así generadas, de un grado sexagesimal se llama un minuto(1’) sexagesimal. A su vez, los minutos sexagesimales se dividen en 60 segundos sexagesimales. En resumen, en este sistema, la medida del ángulo que describe la circunferencia es 360°; la de una que describe una semicircunferencia será de 180º y así sucesivamente.

153

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Capítulo 3 Geometría

b. Sistema centesimal

Este sistema divide una circunferencia en 400 partes iguales, su unidad de medida es el grado centesimal o gradian (g), el cual corresponde a una de las 400 partes. En resumen, en este sistema una circunferencia mide 400g.

c. Sistema circular

En este sistema de medición la unidad de medida es el radián (rad.). Un radián se define como la medida del ángulo, que encierra un arco de circunferencia de longitud igual al radio de ésta. Esto es, dada una circunferencia de radio r, un radián es la medida del ángulo que forma un arco de la circunferencia cuya longitud es r. Luego, la circunferencia tiene asociada una medida de 2π radianes. No es difícil mostrar que esta definición no depende del radio r. Para ello, basta considerar todas las circunferencias centradas en un sólo punto y hacer variar el radio de ellas.

1.1.1 Unidades de los sistemas

Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema circular

1⊗ mide 360° (grados)

1° mide 60’ (minutos)

1’ mide 60” (segundos)

1⊗ mide 400g (gradianes)

1g mide 100m (minutos)

1m mide 100s (segundos)

1⊗ mide 2π (radianes)

con ⊗: circunferencia

1.1.2 Transformación de un sistema en otro

Para transformar ángulos de un sistema de medición a otro, sólo se deben recordar las medidas totales de la circunferencia en cada uno de ellos y relacionarlos por una regla de tres simple. Un ejemplo es la siguiente tabla comparativa de ángulos en los tres sistemas:

360º 400g 2π rad

90° 100g π2

rad

45° 50g π4

rad

Ejemplo:

Determine a cuántos grados sexagesimales corresponde la suma entre 50g y 13

π rad.

Solución

• Se deben transformar ambas unidades al sistema sexagesimal a. 180º 200g b. 180º π rad

x 50g x 13

π rad

x = 180º · 50g

200g x = 180º ·

13

π rad

π rad

x = 45º x = 60º

154

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3 • La suma entre ambos ángulos corresponde a:

45º + 60º = 105º

En el resto del texto identificaremos los ángulos con su medida. Esto si el ∠ AOB fuera de medida aº diremos: El ángulo a para identificar al ángulo.

1.2 Clasificación de ángulos

Si a es un ángulo dado (en el sistema sexagesimal), éste puede ser:

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso

Si 0° < a < 90°

a

Si a = 90° Si 90° < a < 180°

a

Ángulo extendido Ángulo completo

Si a = 180°

a

Si a = 360°

a

1.3 Relaciones angulares

a. Ángulos congruentes

Son aquellos que poseen la misma medida. Los ángulos congruentes se describen mediante el símbolo: @.

b. Ángulos adyacentes

Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la misma recta L.

a bL

a + b = 180º

c. Ángulos complementarios

Son aquellos que sumados dan 90°. Ambos ángulos son el complemento del otro, es decir, si a + b = 90°, entonces a es el complemento de b y en forma recíproca b es el complemento de a.

– Compl.(a) = 90° – a = b– Compl.(b) = 90° – b = a

155

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

d. Ángulos suplementarios

Son aquellos que sumados dan 180° (los ángulos adyacentes son suplementarios). Ambos ángulos son el suplemento del otro, es decir, si a + b = 180°, entonces a es el suplemento de b y en forma recíproca b es el suplemento de a.

– Suple.(a) = 180º – a = b– Suple.(b) = 180º – b = a

e. Ángulos opuestos por el vértice

Considerar dos rectas L1 y L2 que se cortan. Sea P el punto de intersección. Es claro que alrededor de P se formen cuatro ángulos a, d, g y b, y que la medida de a es la medida de g, la medida de b es la medida de d. Diremos que los ángulos a y g, así como b y d, son opuestos por el vértice P.

– a @ g– b @ d

d b

L1

L2

a

g• P

1.4 Ángulos entre paralelas

Sean L1 // L2 y T una transversal como muestra la siguiente figura. Para ésta se definen:

Si L1 // L2

L1

L2

T

a bg d

e lw ϕ

• Ángulos correspondientes: a @ e g @ w b @ l d @ ϕ

• Ángulos alternos externos: a @ ϕ b @ w

• Ángulos alternos internos: g @ l d @ e

156

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3Existen otras propiedades de ángulos entre rectas paralelas.

Sean L1 // L2, entonces:

a.

Entre las figuras se cumple: a @ b

a

b

a a

b b

L1

L2

L1

L2

L1

L2

b.

Sean T1 y T2 transversales, entonces: a = w + y b = x + z

L1

L2

T2

w x

y z

b a

T1

c.

a + b = 180°

L1

L2

a

b

L1

L2

a

b

Sabías que...

2. Polígonos

Un polígono es toda figura plana cerrada limitada por un número finito de lados rectos. De acuerdo al número de lados, los polígonos se clasifican, por ejemplo, en:

Triángulo

Polígono de 3 lados

Cuadrilátero

Polígono de 4 lados

Pentágono

Polígono de 5 lados

Hexágono

Polígono de 6 lados

2.1 Elementos de un polígono

• Lados: son los segmentos que al unirse forman el polígono.

• Vértices: son los puntos de intersección entre los lados consecutivos del polígono.

• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos de un polígono.

• Ángulos interiores: son los ángulos formados por las intersecciones de los lados consecutivos del polígono.

• Ángulos exteriores: son los ángulos formados por los lados y las prolongaciones de los lados de un polígono, de tal forma que el vértice de dicho ángulo es la intersección de estos lados.

157

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Ejemplo:

B

A

FE

D

C

Hexágono

aa’

b’b

q q’ee’

dd’

gg’

• Lados : AB , BC , CD , DE , EF y AF .

• Vértices : A, B, C, D, E, F.

• Diagonales : AC , AD , AE , BD , BE , BF , CE , CF y DF

• Ángulos interiores : a, b, g, d, e, q.

• Ángulos exteriores : a’, b’, g’, d’, e’, q’.

2.2. Clasificación de polígonos

Según la igualdad de sus elementos

Polígono regular: Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos interiores iguales.

Polígono irregular: Son aquellos polígonos que no son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares.

Según la medida de los ángulos

Polígono convexo: Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores, en medida, a 180°.

Polígono cóncavo: Son aquellos polígonos que poseen al menos un ángulo interior que mide más de 180°.

2.3 Generalidades en un polígono convexo de n lados

Sea n el número de lados de un polígono, entonces:

2.3.1 Número de diagonales desde un vértice

Sea d el número buscado, entonces el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice está dado por la fórmula:

d = n – 3

Ejemplo: En un Hexágono, n = 6, luego el número de diagonales trazadas desde un vértice es:

d = 6 – 3d = 3

En resumen, por cada uno de los vértices de un hexágono pasan exactamente 3 diagonales.

158

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

32.3.2 Número total de diagonales

Sea D el número buscado, entonces el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono está dado por la fórmula:

D = n · (n – 3)2

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, luego al reemplazar en la fórmula el número total de diagonales trazadas en este polígono es:

D = 6 · (6 – 3)2

⇒ D = 6 · 32

⇒ D = 182

⇒ D = 9

2.3.3 Suma de los ángulos interiores de un polígono Sea Si la suma de los ángulos interiores de un polígono, entonces dicha suma se expresa por la fórmula:

Si = 180º · (n – 2)

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, luego la suma de los ángulos interiores es:

Si = 180º · (6 – 2)

Si = 180º · 4 = 720º

2.3.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo

En todo polígono la suma de sus ángulos exteriores es siempre 360º. Sea Se la suma de los ángulos exteriores de un polígono, entonces:

Se = 360º

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, la suma de los ángulos exteriores es 360º

Para determinar la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de n lados, se aplica la siguiente fórmula:

x = 180º · (n – 2)n

, x: ángulo buscado

Ejemplo: En un hexágono regular, n = 6, cada ángulo interior mide:

x = 180º · (6 – 2)

6 ⇒ x =

720º 6

⇒ x = 120º

Sabías que...

159

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

1. Sea L1 // L2, determine la medida del ángulo x. L1

L2

40º

135º

x

Solución

Dado que L1 // L2, entonces en la figura L1

L2

a

b

x

Se cumple que: x = a + b

L1

L2

40º

45º135º

x

x = 40º + 45º = 85º

2. Determine la medida de x si L1 // L2 y L3 es bisectriz del ángulo formado por L2 y L4.

L1

L2

L4L3

x – 10º

65º

Solución i) Completando la figura se tiene:

L1

L2

L4L3

x – 10º

65º65º50º

ii) Por ángulos correspondientes entre paralelas: x – 10º = 50º x = 60º

Ejercicios resueltos

160

Cpec

h P

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ios

capí

tulo

33. ¿Cuál es el ángulo menor que forman las manecillas de un reloj que marca las 3:30 horas?

Solución

i) Dado un reloj

Se observa que tiene 12 arcos iguales de circunferencia, por lo tanto, cada uno mide

360° : 12 =30° ii) Viendo solamente el arco utilizado, se tiene:

a

a

3

4

56

Para encontrar el valor de a, nos damos cuenta de que se utilizan 2 arcos de 1 hora más la mitad del arco entre las 3 y las 4, entonces:

a = 2 · 30º + 12

· 30º = 75º

4. Sea a igual a la suma entre el complemento de la tercera parte de un ángulo extendido y la mitad del suplemento de 130°, entonces a es

Solución

a = (90° – ( 13

· 180° )) + ( 12

· (180° – 130°)) a = (90° – 60°) + ( 1

2 · 50° )

a = 30° + 25°

a = 55°

5. ¿Cuál es la medida del ángulo a en el siguiente hexágono regular de centro 0?

a0

161

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Solución Al unir todos los vértices del hexágono con el centro, se tiene la siguiente figura:

01 2

345

6

Si el hexágono es regular , entonces los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son iguales y cada uno mide: 360° : 6 = 60° \ a = 2 · 60º = 120º

6. En un octágono regular determinar:

a) Suma de ángulos interiores (Si) b) Medida de un ángulo interior ( i) c) Número de diagonales desde un vértice (d) d) Número de diagonales totales (D)

Solución

Si la figura es un octágono, entonces n = 8

a. Si = 180° (n – 2)

Si = 180° · (8 – 2)

Si = 180° · 6

Si = 1.080°

b. Medida de un ángulo interior

i = Si

n =

1.080º8

= 135º

c. d = n – 3 d = 8 – 3 d = 5

d. D = n · (n – 3)

2

D = 8 · (8 – 3)

2

D = 8 · 52

= 20

162

Cpec

h P

reun

iver

sitar

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capí

tulo

3EjErcicios

1. El complemento de un ángulo recto más el suplemento de un ángulo extendido es

A) 0° B) 30° C) 45° D) 90° E) 180°

2. En la figura, L1 // L2 ¿cuánto mide el ángulo x?

L1

L2

x

L4L3

60º

100º

A) 80º B) 120º C) 140º D) 150º E) 160º

3. En la figura, L1 // L2, ¿cuánto mide el ángulo a?

L1

L2

120º

135º

a

A) 105° B) 165° C) 195° D) 225° E) 255°

4. En la figura, L1 // L2, ¿cuánto mide x?

L1

L2

x

a

b

A) a + b B) 180° – a C) 180° – a + b D) b – a E) 180° – b

5. En la figura, L1 // L2 y L3 es bisectriz del ángulo

formado por L2 y L4. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

L1

L2

L4L3

120°

x

A) 80° B) 120° C) 140° D) 150° E) 160°

6. En la figura, L1 // L2 y a : b = 3 : 6. ¿Cuánto mide a?

L1

L260º

a b

A) 13,3° B) 40° C) 60° D) 79,9° E) Ninguna de las medidas anteriores.

163

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

7. En la figura, L1 // L2, ¿cuánto mide el ángulo x en función de a y b?

L1

L2

x

L4L3

a

b

A) a + b B) 180º – b C) 180º – a + b D) 180º – a E) a + b – 180º

8. En la figura, L1 // L2 // L3 y b = 70° ¿cuánto mide el ángulo a?

L1

L2

L3

b

a

A) 100º B) 90º C) 70º D) 55º E) 20º

9. En la figura, L1 // L2, entonces (x + y – z) es igual a

L1

L2

105º

z

135ºy

x

A) 45° B) 95° C) 105° D) 135° E) 225°

10. En la figura, L1 // L2 y L3 // L4, ¿cuánto mide el ángulo x?

L1

L2

x

100º

30º

L3

L4

A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º

11. En la figura, L1 // L2, ¿cuánto mide x?

L1

L2

2x + 15º

x

A) 30° B) 45° C) 55° D) 65° E) 70°

164

Cpec

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sitar

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capí

tulo

3EjErcicios

12. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior en un pentágono regular?

A) 18° B) 72° C) 108° D) 136° E) 180°

13. ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar 12 diagonales?

A) 4 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

14. ¿Cuál es la medida del ángulo a en el pentágono regular de la figura?

a

A) 36° B) 54° C) 60° D) 72º E) 75°

15. En la figura, OB es bisectriz del ángulo AOC y OD es bisectriz del ángulo COE. ¿Cuánto mide el BOD si AOD=125° y F, O y A colineales?

25º A

B

CD

E

FO

A) 47,5º B) 65º C) 75º D) 77,5º E) Ninguna de las medidas anteriores.

16. Si un reloj marca las 10 horas 5 minutos, ¿cuál es el ángulo menor que forman sus punteros?

A) 90° B) 87,5° C) 85° D) 75° E) 60°

17. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 900°, ¿cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono?

A) 4 B) 5 C) 14 D) 18 E) 28

165

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

18. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, acerca de polígonos, es(son) siempre verdadera(s)?

I) Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360°, entonces se sabe que el polígono es un cuadrilátero.

II) Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.

III) Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

19. En la figura, AB // DC , se puede determinar la medida de x si:

a b

x 65ºD

A

C

B

(1) a = b

(2) AB @ DC

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. En la figura, se puede determinar la medida del ACB, si:

L2

L1

a

50º

A B

C

(1) L1 // L2

(2) a = 110°

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1AComprensión2CAplicación3EAplicación4EAplicación5DAplicación6BAplicación7CAplicación8EAplicación9CAplicación10EAplicación11CAplicación12BComprensión13EComprensión14AAnálisis15DAplicación16BAplicación17CAplicación18CAnálisis19DEvaluación20CEvaluación

Respuestas correctas

166

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tulo

3II. Triángulos

Es un polígono de tres lados.

1. Elementos primarios

• Vértices: La intersección de dos trazos se denomina vértice, los que se identifican por letras mayúsculas. En la figura los vértices son: A, B y C.

• Lados: Los segmentos AB , BC y AC se llaman lados del triángulo, y se identifican por letras minúsculas. En la figura los lados están denotados por a, b y c.

AB = c, BC = a y AC = b

Se usa por convención que el lado a se opone al vértice A, el lado b se opone al vértice B y el lado c se opone al vértice C.

Sabías que...

• Ángulos interiores: Los ángulos que se forman por la intersección de los segmentos, en el interior de esta figura, se denominan ángulos interiores. En este caso:

BAC = a CBA = b ACB = g

• Ángulos exteriores: Los adyacentes de los ángulos interiores se denominan ángulos exteriores. En la figura dichos ángulos son a , b y g .

AB

C

ab

c

aa

b b

gg

2. Teoremas fundamentales

• La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180 grados sexagesimales, es decir:

a + b + g = 180º

167

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

• En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. Ejemplo: si en la figura anterior se cumple que a > b > g , entonces para los lados se cumple que a > b > c.

• Cada ángulo exterior de cualquier triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. En la figura anterior se puede observar que:

a = b + g, el adyacente a a es a, es decir, a + a = 180°b = a + g, el adyacente a b es b, es decir, b + b = 180°g = a + b, el adyacente a g es g, es decir, g + g = 180°

• La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es equivalente a 360 grados sexagesimales, es decir:

a + b + g = 360°

• La suma de dos lados es siempre mayor que el tercer lado.

a + b > cb + c > ac + a > b

• La diferencia positiva de dos lados es siempre menor que el tercer lado.

a – b < cb – c < ac – a < b

3. Elementos secundarios

3.1 Altura

La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

•

ha

hc

hb

BA

C

A B

C

hb

ha

hc

•

A

B

C

hb

ha

hc

•H

H

H

En cada una de las figuras anteriores ha, hb y hc son las alturas de los triángulos. El punto de intersección de estas alturas se llama Ortocentro, y se denota por H.

168

Cpec

h P

reun

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capí

tulo

33.2 Bisectriz

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo es el segmento que dimidia ese ángulo, es decir, lo divide en dos partes iguales.

En cada una de las figuras ba, b

b y bg son las bisectrices de los triángulos. Las tres bisectrices de un triángulo

(ba, b

b y bg) se cortan en un punto “I” llamado Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al

triángulo.

El Incentro equidista de los lados del triángulo, es decir, posee la misma distancia a los lados del triángulo.

bb

bg

ba

BA

C

I

g

2

g

2

b2b

2

a2 a

2

•

bb

bg

ba

BA

C

I

•

BA

C

I

3.3 Simetral

Las simetrales de un triángulo corresponden a los segmentos perpendiculares en los puntos medios de los lados del triángulo. Éstas concurren en un punto que equidista de los vértices del triángulo.

B

A

C

•

••

•

QR

P

O

Sa

Sb

Sc

BA

C

•OSaSb

Sc

En cada una de las figuras Sa, Sb y Sc son las simetrales de los triángulos. En la primera figura los puntos medios de los lados son respectivamente P, Q y R. Las tres simetrales de un triángulo (Sa, Sb y Sc) se cortan en un punto “O” llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

169

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3.4. Mediana

Las medianas son los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.

BA

C

•

••R

P

Q

Sean P, Q y R puntos medios de los lados respectivos, entonces:

i) AB // RQ y se cumple que RQ = 12

· AB ii) BC // PR y se cumple que PR =

12

· BC

iii) AC // PQ y se cumple que PQ = 12

· AC

En resumen, la medida de la mediana corresponde a la mitad de la medida del lado opuesto, por último, cada mediana es paralela a su lado opuesto.

Al trazar las medianas, los triángulos que se forman son congruentes entre sí y semejantes al triángulo original.

BA

C

•

••R

P

Q

Lo anterior implica que el área del triángulo RQC, equivale a la cuarta parte del área total del triángulo ABC, es decir, A(∆RQC) : A(∆ABC) = 1 : 4 con A área del triángulo.

3.5 Transversal de gravedad

Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

BA

C

•

••R

P

Q

•

ta

tc

tb

G

Sean P, Q y R puntos medios; AQ , BR y CP las transversales de gravedad (t).

El punto en donde se intersectan las transversales de gravedad (G) se denomina Centro de gravedad, Centroide o Baricentro. Este punto divide a las transversales de gravedad en la razón 2 : 1, partiendo desde el vértice hacia el lado opuesto.

BA

C

R

P

Q

x

2x z

y2z

2y

G•

Según lo anterior, la razón entre los segmentos de las transversales de gravedad es:

AG = 2GQ

GQ

AG =

GR

BG =

GP

CG =

12

BG = 2GR

x2x

= y2y

= z

2z =

12

CG = 2GP

170

Cpec

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34. Generalidades

Sean ha, hb y hc alturas del triángulo, y a, b y c los lados del triángulo, tenemos los siguientes conceptos que se obtienen con operaciones entre los elementos:

4.1 Área

El área de un triángulo, que es la medida de su superficie, está dada por el semiproducto de la base (lado) por su altura correspondiente.

Área = base · altura2

= a · ha

2 =

b · hb

2 =

c · hc

2

4.2 Perímetro

El perímetro es la longitud del triángulo y corresponde a la suma de las medidas de todos los lados del triángulo.

Perímetro = a + b + c

Teorema de HerónEste teorema nos permite calcular el área de un triángulo cualquiera sólo conociendo los tres lados de él.

b ahb

ha

hc

cba

gÁrea = �s · (s – a) · (s – b) · (s – c)

con: s = a + b + c

2 =

P2

(semiperímetro)

con P: perímetro del triángulo

Sabías que...

171

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

5. Clasificación de triángulos

5.1 Según sus ángulos

Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo Triángulo rectángulo

Triángulo que tiene sus tres ángulos interiores agudos.

A B

C

a b

g

0º < a < 90º0º < b < 90º0º < g < 90º

Triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

C

BAa

90º < a < 180º

Triángulo que tiene un ángulo interior recto.

C

B

A

ca

b

ACB = 90º, ángulo recto

El lado opuesto al ángulo recto c se llama hipotenusa. Los lados restantes se denominan catetos. En este caso son los lados a y b.

5 1.1 Teoremas en el triángulo rectángulo

b

C

a

p q

hc

c

A BD

Sea ABC un triángulo rectángulo en C y AD = p, DB = q y CD = hC

AC y BC catetos (lados que forman el ángulo recto)

AB hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto)

a. Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

a2 + b2 = c2(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2 ó

Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el Teorema de Pitágoras.

• 3k, 4k y 5k; con k ∈ IR+.

• 5k, 12k y 13k; con k ∈ IR+.

• 8k, 15k y 17k; con k ∈ IR+.

Sabías que...

172

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3b. Teorema de Euclides

a2 = c · q

b2 = c · p

hc2 = p · q

hc = a · bc

En un triángulo rectángulo se cumple que

Área = cateto1 · cateto2

2

5.1.2 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

• Triángulo de ángulos 30º, 60º y 90º

30º

60º

a

a2

a2 �3

• Triángulo de ángulos 45º y 90º

45º

45º

a

a

a�2

45º

45º

b

b2 �2

b2 �2

• Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

A B

C

M

Si M es punto medio del segmento AB, entonces:

AM @ MB @ MC

173

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

5.2 Según sus lados

Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

Es aquel triángulo que tiene todos sus lados de igual longitud.

aa

aA B

C

En este triángulo, se cumple que:

AB @ BC @ AC

Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentes y uno de distinta medida llamado base.

aa

cA B

C

a b

g AB : Base AC @ BC a y b: ángulos basales a = b g : ángulo de vértice

Es aquel triángulo que tiene todos sus lados no congruentes.

C

B

A

AB ≠ BC ≠ AC

5.2.1 Propiedades del triángulo equilátero

C

a a

A BMa

b

g

a

• AB = BC = AC = a • Ángulos congruentes entre sí. Cada uno mide 60°.

• Las transversales de gravedad, alturas, bisectrices y simetrales

trazadas de cada vértice son una misma recta.

ta = ha = Sa = ba tb = hb = Sb = bb tc = hc = Sc = bc

• AM @ MB , con M: punto medio

C

a a

A Ba

•

R

r

• Altura = lado2

· �3 = a2

· �3

• Área = (lado)2

4 · �3 = a

2

4 · �3

• Radio de la circunferencia inscrita (r):

lado6

· �3 = a6

· �3

• Radio de la circunferencia circunscrita (R):

lado

3 · �3 =

a3

· �3

174

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

35.2.2 Propiedades del triángulo isósceles

C

a a

A BMc

a b

g

• AC @ BC y AB : Base • a @ b: ángulos basales y g : ángulo del vértice

• La altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base, son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo mismo.

hc = tc = bg = Sc = CM

• AM @ MB y M: Punto medio de AB

• Las alturas trazadas desde los vértices de los ángulos de igual medida a los lados de igual medida miden lo mismo. Lo mismo ocurre para las bisectrices, transversales y simetrales trazadas desde los ángulos iguales o trazadas desde los lados iguales.

ba = b

bha = hbta = tbSa = Sb

175

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

1. En ABCD polígono de la figura se sabe que:

100ºE

D

A C

B

60º

AE @ EC DE : Altura ∆ ACD

EB : Altura ∆ ABC

Determinar la medida del ángulo CBA

Solución

AE @ EC y ED es altura del ∆ ADC, nos indican que es la base del triángulo ADC y que su altura cae en el punto medio.

Luego, ∆ ADC equilátero (AD @ DC y ADC = 60º), por lo tanto, los ángulos son congruentes:

EAD = DCE = 60°, así, ECB = 40°.

Como el triángulo ABC es isósceles (EB altura del ∆ ABC), entonces BAE = 40°. Luego se obtiene que CBA = 100°

2. Si ABC es un triángulo rectángulo en C, ¿cuánto miden a, b y c?

a

C

b

A B

12

16

D

c

Solución

Aplicando el teorema de Euclides:

1. b2 = c · p = c · BD

2. a2 = c · q = c · AD

3. h2 = p · q =AD · BD Reemplazando en 3

(12)2 = 16 · BD ⇒ DB = 14416

= 9

⇒ c = AD + DB = 16 + 9 = 25

Reemplazando en 2

a2 = 25 · 16 = 400 a = 20

Como ∆ ABC es rectángulo

a2 + b2 = c2

202 + b2 = 252

b2 = 625 – 400 b2 = 225 b = 15

Ejercicios resueltos

176

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

33. Sea ∆ ABC isósceles de área A, con AC = BC = 2a, AB = a, CD ^ AB y AE ^ BC . Calcule el

cuociente entre el área achurada y el área total.

C

DA B

E

Solución

∆ ABC isósceles de área A = hc · a

2 ⇒ hc =

2A2

Pero como ABC isósceles: hc2 + ( a

2 )2 = (2a)2

hc2 = 4a2 –

a2

4

hc2 =

15 a2

4 / �6

hc = a2

�15

El área del ∆ ABC será: A =

a�152

· a

2 =

a2�154

Pero el área del ∆ ABC también es igual a 2a · AE

2

Luego, 2a · AE

2 =

a2�154

AE =

a�154

Para poder determinar el área del ∆ AEC es necesario conocer CE :

CE2 + AE 2 = AC 2

CE2 + ( a�154 )2

= (2a)2

CE2 = 4a2 – a2 · 1516

CE2 = 49a2

16

CE = 7a4

177

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Luego:

Área ∆ AEC = AE · EC

2 =

a�154

· 7a4

2

Área ∆ AEC =

7a2�1532

\

Área ∆ AECÁrea ∆ ABC

=

7a2 �1532

a2�154

= 7a2�15

32 · 4

a2�15 =

78

4. Sea ABCD un rectángulo de largo x y ancho z, además DF @ FC , BE @ EC . Entonces, ¿cuál es el área achurada?

FD C

z E

A Bx

Solución

DF = FC = x2

BE = EC = z2

Área (∆ AFE) = Área (Rectángulo ABCD) – Área(∆ ADF) – Área (∆ FCE) – Área(∆ ABE) Área (Rectángulo ABCD) = z · x

Área ∆ ADF = z ·

x2

2 =

xz4

Área ∆ FCE =

x2

· z2

2 =

xz8

Área ∆ ABE = x ·

z2

2 =

xz4

Área ∆ AFE = xz – xz4

– xz8

– xz4

= 3xz8

178

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

35. Determine el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 10 cm.

Solución

i) La altura de un triángulo equilátero se puede expresar en función del lado “a”, como:

h = a�3

2

Reemplazando h = 10 cm

a�3

2 = 10 cm / · 2

a�3 = 20 cm / : �3

a = 20

�3 cm

Racionalizando:

a = 20�3

3 cm

ii) El perímetro corresponde a la suma de los lados

P∆ = a + a + a = 3a

P∆ = 3 ·

20�33

cm

P∆ = 20�3 cm

6. En el triángulo ABC de la figura, determine la medida del lado AC si BC = 6 cm

A B

C

75º

45º

Solución

i) CBA = 180º – (45º + 75º) CBA = 60º

ii) Trazando la altura hC, el triángulo ABC se divide en los siguientes triángulos:

45º

45ºA D

C

30º

60º

C

BD

63�3 3�3

iii) Por relaciones métricas:

a. En el triángulo 30º, 60º, 90º si hipotenusa = 6 cm, entonces cateto opuesto a 30º = 3 cm cateto opuesto a 60º = 3�3 cm b. En el triángulo 45º, 45º, 90º si cateto = 3�3 cm, entonces hipotenusa = 3�3 · �2 cm AC = 3�6 cm

179

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

1. El complemento de 50g es

A) 40g

B) 50g

C) 90g

D) 130g

E) 150g

2. En el triángulo SRT de la figura, TQ es una transversal de gravedad, tal que el RQT = 120°. El ángulo a mide

S R

T

Q2b

a b

b

A) 20° B) 30° C) 40° D) 60° E) 80°

3. En la figura, la altura del vértice C del triángulo isósceles, de área S conocida y base b es

C

b

S

A) 2Sb

B) 2Sb C)

2bS

D) 4bS

E) 6Sb

4. En la figura, 1 + 2 + 3 + 4, en función del ángulo a, es igual a

1

2

3

4

a A) 180° + a B) 360° – 2a C) 2a D) 2(a + 90°) E) 180° – 2a

5. En la figura, el triángulo ADB es isósceles de base AD y el triángulo CDE es equilátero.

Si a + b = 110°, ¿cuánto mide x?

x

B

A D

CE

a b

A) 80° B) 70° C) 65° D) 60° E) 50°

6. En la figura, AC ^ AD, AC // DE , EAC @ BAE; CBA = 40° y AB @ BC .

¿Cuánto mide el ángulo AED?

xC

A D

B

E

A) 20º B) 35º C) 40º D) 55º E) 70º

7. Sea el triángulo ABC de la figura, tal que AC @ BC ; DB es bisectriz del ángulo CBA y

AB // DC. ¿Cuánto mide x?

x

40º

D

A B

C

A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 100º

180

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

8. En la figura, L1 ^ L2. Si 1 = 2 = 3 y L1 // L3 // L4 // L5, entonces (x + y + z) es

igual a

L5

L4

L3L1

x

yz

15º123 L2

A) 90º B) 120º C) 150º D) 170º E) 210º

9. En la figura, L1 // L2 y a = b = x4

, ¿cuánto mide x?

x

L1L2

b

a

A) 102,5° B) 120° C) 135° D) 140° E) 180º

10. El perímetro de un triángulo equilátero mide 16�3 cm. ¿Cuánto mide su área?

A) 64�3 cm2

B) 32�3 cm2

C) 64�3

3 cm2

D) 16�3 cm2

E) 16 cm2

11. En la figura, BC @ CD y el ángulo BDC mide 20°. ¿Cuánto mide a?

C DA

B

A, C y D: colinealesa

A) 20° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

12. El área de un triángulo equilátero mide 16�3 cm2. ¿Cuánto mide su perímetro?

A) 12 cm B) 24 cm C) 36 cm D) 48 cm E) 64 cm

13. En la figura, el ∆ ABC es equilátero y ABED es un cuadrado de lado a. El área achurada es igual a

C

D E

BA

A) a2 – a �34

B) a – a �32

C) a – a2

�34

D) a2 – a2 �34

E) a – a �34

181

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

14. En la figura, ABC es un triángulo rectángulo en C, h = 3 y BC = �10 , entonces el valor de AC es

C

A B

h

A) �10 B) 3�2 C) 3�5 D) 3�10 E) 9�10

15. En la figura, ABC es un triángulo isósceles de base AB = 8 cm, AC = �97 cm y G: centro de gravedad. Si CD es bisectriz del ángulo ACB, entonces x mide

DA B

G

C

x

�97

A) 25 cm

B) �145

2 cm

C) 4�13 cm

D) �61 cm

E) 5 cm

16. En la figura, AC = 1 cm y AB = 2 cm, la razón entre los ángulos x e y es

C

A Bx y

A) 1 : 1 B) 1 : 2 C) 2 : 3 D) 4 : 5 E) 5 : 6

17. En el ∆ ABC de la figura, AE y BD son transversales de gravedad iguales a 3 cm y

AB = 2 cm. El área del ∆ ABC mide

C

A

D E

B2

A) 3 cm2

B) 6�2 cm2

C) 3�3 cm2

D) 9 cm2

E) 3�2 cm2

182

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

18. Si en el triángulo ABC de la figura, se cumple que 28° ≤ x ≤ 56°, entonces

C

A

By

x

A) 34° ≤ y ≤ 62° B) 28° ≤ y ≤ 56° C) 124° ≤ y ≤ 152° D) 0° ≤ y ≤ 90° E) 110° ≤ y ≤ 140°

19. Se puede determinar la medida de la altura en un triángulo equilátero, si:

(1) Su área mide 9�3 cm2. (2) Su base mide 6 cm.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. En el triángulo ABC de la figura se puede determinar la medida del ángulo a si:

C

DA B

a

25º

(1) ACB = 90º (2) D es punto medio de AB A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1BAplicación2DAplicación3AAplicación4CAplicación5AAplicación6BAplicación7BComprensión8BAplicación9BAplicación10CAplicación11CAplicación12BAplicación13DAplicación14DAplicación15EAplicación16DAnálisis17CAnálisis18AAnálisis19DEvaluación20CEvaluación

Respuestas correctas

183

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

GeometríaTrigonometría

III. Trigonometría en el triángulo rectángulo

1. Razones trigonométricas

C

B

A b

ca

a

Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, con a un ángulo interior agudo, a y b catetos, y de hipotenusa c, entonces se pueden establecer 6 razones entre las medidas de sus lados. El valor de estas razones no depende del tamaño del triángulo, sino de la medida de sus ángulos agudos. En efecto, si ∆ A’B’C’ es otro triángulo rectángulo tal que A = A’, entonces los triángulos son semejantes y se cumple:

aa’

= bb’

= cc’

Esto implica que: (1) ac

= a’c’

, (2) bc

= b’c’

, (3) ab

= a’b’

y las tres relaciones recíprocas

Estas razones tienen nombres particulares:

• El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa, es decir:

sen a = ac

• El coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de la hipotenusa, es decir:

cos a = bc

• La tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud del cateto adyacente al ángulo, es decir:

tan a = tg a = ab

• La cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud del cateto opuesto al ángulo, es decir:

cotan a = ctg a = ba

• La secante de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al ángulo, es decir:

sec a = cb

• La cosecante de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto al ángulo, es decir:

cosec a = csc a = ca

184

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3En resumen:

sen a = ac

= cateto opuesto

hipotenusa cos a =

bc

= cateto adyacente

hipotenusa

tg a = ab

= cateto opuesto

cateto adyacente ctg a =

ba

= cateto adyacentecateto opuesto

sec a = cb

= hipotenusa

cateto adyacente cosec a =

ca

= hipotenusa

cateto opuesto

La razón recíproca del seno es la cosecante, es decir: cosec a = 1

sen a

La razón recíproca del coseno es la secante, es decir: sec a = 1

cos a

La razón recíproca de la tangente es la cotangente, es decir: ctg a = 1

tg a

2. Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre razones trigonométricas que se verifica para cualquier medida del ángulo. Las identidades más utilizadas son las siguientes:

• tg a = sen acos a

• ctg a = cosec asec a =

cos asen a

• sen2 a + cos2 a = 1 • 1 + tg2 a = sec2 a

• 1 + ctg2 a = cosec2 a

3. Aplicaciones

3.1 Ángulos de elevación y de depresión

Si consideramos un observador en un punto A y un objeto P situado en el mismo plano que A, podemos definir el ángulo de elevación y de depresión de A respecto a P de la siguiente forma:

• Ángulo de elevación a Horizontal del observador

• Ángulo de depresión b Horizontal del observador

185

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3.2 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos más utilizados

Función a seno a coseno a tangente a

0º 0 1 0

30º12

�32

�33

45º �22

�22

1

60º �32

12 �3

90º 1 0 indefinido

180º 0 – 1 0

270º – 1 0 indefinido

360º 0 1 0

Si a + b = 90º (ángulos complementarios) ⇒ sen a = cos b y cos a = sen b

Sabías que...

1. Un asta de bandera está clavada verticalmente sobre un plano horizontal. Desde un punto del terreno,

a una distancia de 10 metros de su pie, su ángulo de elevación es de 60°. Calcule la altura del asta.

Solución

10 metros

60º

h

Entonces, según la figura se tiene que: tg 60° =

h10

h = 10 · tg 60°

h = 10 · �3 metros

Ejercicios resueltos

186

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

32. Un ángulo de elevación de la parte superior de una columna vista desde el pie de una torre es de 60°;

a su vez, desde la parte superior de la torre que tiene 15 metros de altura dicho ángulo es de 30°. Determine la altura de la columna.

E 30º

60ºA

15

C

B

D

x

Solución

Llamemos

AB = EC = y

⇒ Sea x la altura de la columna. Por otro lado, BC = 15 y CD = (x – 15)

⇒ tg 30° = CD

EC =

(x – 15)y

⇒ y = (x – 15)tg 30°

(a)

tg 60° = BD

AB =

xy

⇒ y = x

tg 60° (b)

Igualando (a) y (b):

(x – 15)tg 30°

= x

tg 60°

Reemplazo tg 30° = �33

y tg 60° = �3 :

(x – 15) · �3 = x�3

3

(x – 15) · 3 = x�3

�3

3x – 45 = x

2x = 45

x = 452

m

3. Calcular tg a + tg b, en función de los lados, en el triángulo ABC de la figura. Solución

C

A B

b a

ca b

tg a = ab

, tg b = ba

⇒ tg a + tg b = ab

+ ba

= a2 + b2

ab

Aplicando teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2

⇒ tg a + tg b = c2

ab

187

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

4. El perímetro del triángulo ABC de la figura es de 24 cm. ¿Cuánto mide el lado y y el cos a si tg a = 0,75?

Solución

10

x

ya

B

AC

Como tg a = 0,75 = 34

Aplicando la definición de tangente:

⇒ xy

= 34

Pero x + y + 10 = 24 x + y = 14 Aplicando propiedad de proporciones:

x + y

y =

3 + 44

14y

= 74

y = 8 cm

Luego, cos a = cat. ady.hip.

cos a = 810

= 0,8

5. Si sen a = �32

, determinar el cos a.

Solución

Por definición de sen a = cat. op.hip.

= �32

z

x

ya

\ x

z =

�32

= k ⇒ x = �3k z = 2k

Aplicando teorema de Pitágoras: x2 + y2 = z2

(�3k)2 + y2 = (2k)2

3k2 + y2 = 4k2

y2 = k2

y = k ⇒ cos a =

cat. ady.hip.

= yz

= k

2k =

12

6. Se tiene que tg a = �33

, entonces, ¿cuál es el valor de cotg a + 1?

Solución

Por definición ctg a = 1

tg a = 1

�33

= 3

�3

Luego, ctg a + 1 = 3

�3 + 1 =

3 + �3

�3

Racionalizando: 3 + �3

�3 ·

�3

�3 =

3�3 + 33

= 3(�3 + 1)

3 = �3 + 1

188

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

1. Si cos a = 513

, entonces ctg a es

A) 513

B) 512

C) 1213

D) 1312

E) 135

2. Si a = 45º y b = 60º, entonces

sen2 a – cos2 b

tg a · sec b es

A) 1

B) 12

C) 14

D) 18

E) 116

3. El perímetro del ∆ ABC de la figura mide 48 m. Si tg a = 0,75, ¿cuánto mide x?

y

x

A B

20

a

C

A) 5 m B) 6 m C) 12 m D) 15 m E) Faltan datos para determinarlo.

4. La circunferencia de centro 0 de la figura tiene radio 6,5 cm. Si AB = 5, entonces cos a es igual a

B

A

aO•

A) 1013

B) 135

C)

513

D) 125

E) 713

5. Según la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

c

a

A

Bb b

a

C

I) sen a = cos b

II) sen2 a + sen2 b = 1 III) tg b =

sen bsen a

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

189

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

6. Si cos a = 35

y sen (2a) = 2 sen a · cos a,

entonces sen (2a) es igual a

A) 2425

B) 1825

C) 35

D) 1225

E) 9

25

7. Al reducir la expresión � sen a · tg a · sec a cos a · cosec a

3 se

obtiene

A) tg a B) ctg a C) sen a D) cos a E) sec a

8. Si en el triángulo de la figura c = 4 cm, b = 2�3 cm y a = 2 cm, la medida de a es

b

c

a

a

A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90º

9. En la figura, BFDE cuadrado, CB = 10 cm, con a = 30º, el área achurada mide

h

D F

E BA

C

a

A) (15 + 5�3) · (1 + π4 ) cm2

B) (15 + 5�3)2 · (1 – π2 ) cm2

C) (15 – 5�3 ) · (1 – π2 ) cm2

D) (15 – 5�3 )2 · (1 – π4 ) cm2

E) (15 – 5�3 )2 · (1 – π2 ) cm2

10. La altura del muro para que una persona de 1,8 m no alcance a ver la torre en la posición indicada es

41,8 mx

15 m20 m

1,8 m

A) 4,6 m B) 9,8 m C) 11,8 m D) 12,2 m E) 15 m

190

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

11. En un bote, los ángulos de elevación hacia los puntos más bajo y más alto del asta de una bandera de 9 metros de altura situada sobre un acantilado, son de 30° y 60°, respectivamente. La altura del acantilado es

A) 9�3 metros B) 9 metros C) 6 metros D) 4,5 metros E) 3 metros

12. La longitud entre un papel que se encuentra en el suelo y la punta de un poste es de 9 metros, con un ángulo de elevación de 30°. La distancia del papel a la base del poste es

A) 3�3 m B) 4,5�3 m C) 6�3 m D) 9�3 m E) 27 m

13. En la figura, el área del rectángulo ABCD mide

B 15 cm

10 cm

C

D A

20 cm

A) 35 cm2

B) 50 cm2 C) 65 cm2

D) 72 cm2

E) 85 cm2

14. Sea el triángulo ABC de la figura, ¿cuánto mide el lado AB ?

A B

C

30º 30º

2 cm

A) 3�2 cm B) 4 cm C) 2�3 cm D) 4�3 cm E) 2�5 cm

15. De las siguientes aseveraciones, la correcta es

A) sen a · tg a · cos a · cotg a = 1 B) tg a + cotg a =

1sen a · cos a

C) tg a – cotg a = 1

sen a · cos a D) tg b + cotg b = sen b · cos b

E) 1

cos2 x + 1

sen2 x = 1

16. Si cos a = w se puede afirmar que

I) tg a · cotg a = 1

II) sen2 a = 1 – w2

III) cosec a = 1w

Es(son) verdadera(s) A) sólo I y II. B) sólo I y III. C) sólo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas.

191

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

17. En la figura, (x + 2y) es igual a

30º

x

y

18 cm

A) (18 + 36�3) cm B) (18 + 18�3) cm C) (9 + 18�3) cm D) (18 + 9�3) cm E) faltan datos para determinarlo.

18. El valor de 2 sen a – 3 tg b es

a

2a

a

b A) 2�3

B) 116

C) 3�3

2

D) 92

E) 0

19. El valor de sen 30° + cos 60º + tg 45º es

A) 13

B) 12

C) 1

D) 32

E) 2

20. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) rectángulo(s)?

I)

cos 0º

cos 45ºsen 45º

II)

sen 30º

cos 30ºsen 90º

III)

tg 60º

2tg 45ºtg 45º

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

NúmeroAlternativaHabilidad1BAplicación2DAplicación3CAplicación4CAplicación5DAnálisis6AAplicación7AAplicación8AAnálisis9DAplicación10CAplicación11DAplicación12BAplicación13DAnálisis14CAnálisis15BAnálisis16AAnálisis17CAplicación18EAplicación19EAplicación20DAnálisis

Respuestas correctas

192

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3IV. Cuadriláteros

Es un polígono de cuatro lados.

1. Elementos primarios

• Vértices: La intersección de dos trazos se denomina vértice, los que se identifican por letras mayúsculas. En la figura los vértices son A, B, C y D.

• Lados: Los segmentos AB , BC , CD y AD se llaman lados del cuadrilátero y se identifican por letras minúsculas. En la figura los datos están denotados por a, b, c y d.

• Ángulos interiores: Los ángulos que se forman por la intersección de los segmentos en el interior de la figura se denominan ángulos interiores. En la figura a, b, g y d son los ángulos interiores.

• Ángulos exteriores: Los adyacentes de los ángulos interiores se denominan ángulos exteriores. En la figura a’, b’, g’ y d’ son los ángulos exteriores.

• Diagonales: Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos se denominan diagonales. En la figura AC y BD son las diagonales.

C

B

A

D

ba

dc

b

g

d

aa’

b’

g’

d’

2. Teoremas fundamentales

a. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°.

a + b + g + d = 360°

b. La suma de los ángulos exteriores de cualquier cuadrilátero convexo es 360°.

a’ + b’ + g’ + d’ = 360°

193

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados

• Según sus lados, también los cuadriláteros se pueden clasificar en: Equiláteros Isósceles Escalenos

• Según sus ángulos, también los cuadriláteros se pueden clasificar en: Rectángulos Oblicuángulos

Sabías que...

3.1 Paralelógramos

C

BA

D

b

g

a

d

•E

h

Sus características son:

• Lados opuestos paralelos y congruentes.

– AB // DC y AD // BC

– AB @ DC y AD @ BC

• Ángulos interiores opuestos congruentes.

– a @ g

– b @ d

• Ángulos interiores consecutivos suplementarios.

– a + b = g + d = 180°

– a + d = b + g = 180°

• Las diagonales se dimidian.

– AE @ EC

– BE @ ED

• Área = base por altura correspondiente.

En la figura, si h es la altura del paralelógramo y el segmento AB es la base, entonces, el área se expresa por:

Área de ABCD = h · AB

• Se clasifican en:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

194

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

33.2 Trapecios C

BA

D

E

hM N

Sus características son:

• Un par de lados paralelos llamados bases. En la figura: AB // DC AB y DC: Bases

• El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana.

En la figura: MN : Mediana M y N : Puntos medios

La mediana es paralela a las bases y mide la semisuma de ellas.

MN = AB + DC

2 • Área = mediana por altura = MN · h

• Se clasifican en:

Isósceles Rectángulo Escaleno

Son aquellos que poseen sus lados no paralelos congruentes.

A B

D C

AD @ BC

Son aquellos que poseen dos ángulos interiores rectos.

A

C

B

D

BAD = ADC = 90°

Son aquellos que poseen todos sus ángulos interiores distintos.

A B

CD

3.3 Trapezoides

Sus características son:

• No tienen lados paralelos.

• Para calcular áreas y perímetros se descomponen en figuras más comunes.

• Se clasifican en:

Simétrico o deltoide Asimétrico

A

B

C

D

AB

CD

195

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Para

leló

gram

oFi

gura

Prop

ieda

des

de lo

s án

gulo

sPr

opie

dade

s de

los

lado

sPr

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dade

s de

las

diag

onal

esPe

rím

etro

Áre

a

Cua

drad

o

DC

AB

a

aa

a

Áng

ulos

igua

les

a 90

° c/

u.

Cuat

ro la

dos

cong

ruen

tes

Lado

s op

uest

os p

aral

elos

AB

@ B

C @

CD

@ D

A

AB

// D

C

AD

// B

C

AC

= B

D =

a�2

= d

Se d

imid

ian

Son

perp

endi

cula

res

Bise

ctan

los

ángu

los

inte

riore

s.

4 · a

a2 d2 2

Rec

táng

ulo

DC

AB

b

aa

b

Áng

ulos

igua

les

a 90

° c/

u.

Lado

s op

uest

os c

ongr

uent

es

AD

= B

C =

a

AB

= D

C =

b

Lado

s op

uest

os p

aral

elos

AB

// D

C y

AD

// B

C

AC

= B

D =

�a2 +

b2

Se d

imid

ian

No

son

perp

endi

cula

res

No

bise

ctan

a lo

s án

gulo

s in

terio

res.

2a +

2b

2(a

+ b

)a

· b

Rom

bo

AB

DC

AB

DC

a

ha

a

aa

a

b

b

Áng

ulos

opu

esto

s co

ngru

ente

s

a ≠

b

a +

b =

180

°

Los

cuat

ro la

dos

cong

ruen

tes

AB

@ B

C @

CD

@ D

A

Lado

s op

uest

os p

aral

elos

AB

// D

C

AD

// B

C

AC

≠ D

B

Se d

imid

ian

Son

perp

endi

cula

res

Bise

ctan

los

ángu

los

inte

riore

s.

4 · a

a · h

AC

· D

B

2

Rom

boid

e

AB

DC

b

aa

bh b

h a

AB

DC

b

aa

b

a

ba

b

Áng

ulos

opu

esto

s co

ngru

ente

s

a ≠

b

a +

b =

180

°

Lado

s op

uest

os c

ongr

uent

es

AB

= D

C =

b

AD

= B

C =

a

Lado

s op

uest

os p

aral

elos

AB

// D

C

AD

// B

C

AC

≠ D

B

Se d

imid

ian

No

son

perp

endi

cula

res

No

bise

ctan

los

ángu

los

inte

riore

s.

2a +

2b

2(a

+ b

)a

· ha

b · h

b

Trap

ecio

Figu

raPr

opie

dade

s de

los

ángu

los

Prop

ieda

des

de lo

s la

dos

Prop

ieda

des

de la

s di

agon

ales

Perí

met

roÁ

rea

Isós

cele

s

MN

aa

bb

DC

BA

FG

a Eh

cc

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Los

ángu

los

de c

ada

base

son

con

grue

ntes

a ≠

ba

+ b

= 1

80°

MN

=A

B +

DC

2

:med

iana

Con

M y

N p

unto

s m

edio

s

AD

= B

C =

c

AB

≠ D

C ;

AB

// D

C

AE

@ B

E ;

CE

@ D

E

AF

= G

B =

b

– a

2

AC

@ B

D

a +

b +

2c

(a +

b)

2 ·

h

MN

· h

Rec

táng

ulo

DC

BAM

N

c

a

b

bd

a

a ≠

ba

+ b

= 1

80°

MN

= A

B +

DC

2

Con

M y

N p

unto

s m

edio

s

AD

^ A

B

A

D ^

DC

AD

= d

= h

= a

ltura

AB

// D

C

AC

≠ D

B

a +

b +

c +

d

(a +

c)

2 ·

h

MN

· h

Esca

leno

db

h

DC

ca

BA

MN

d

ab

g

a +

b +

g +

d =

360

°a

+ d

= 1

80°

b +

g =

180

°

MN

= A

B +

DC

2

Con

M y

N p

unto

s m

edio

sTo

dos

los

lado

s so

n di

stin

tos

AB

// D

C

AC

≠ B

D

a +

b +

c +

d(a

+ c

2) · h

MN

· h

Trap

ezoi

de

Trap

ezoi

de

Asi

mét

rico

db

DC

BA

cd

ab

g

a

a +

b +

g +

d =

360

°a

≠ b

≠ g

≠ d

No

tiene

lado

s pa

rale

los

a +

b +

c +

dD

esco

mpo

ner

en fi

gura

s co

noci

das

Trap

ezoi

de

Sim

étri

co

(Del

toid

e)

C D

AB

bb

aa

a ba b

g d

D

AC

@

CB

D

AC

B ≠

B

DA

AC

@ B

C

AD

@ D

B

No

tiene

lado

s pa

rale

los

CD

: bi

sect

rizLa

s di

agon

ales

son

pe

rpen

dicu

lare

s en

el

punt

o m

edio

de

la d

iago

nal

que

no e

s bi

sect

riz

2a +

2b

Áre

a ∆

ABC

+

Áre

a ∆

ABD

o

AB

· C

D

2

197

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

1. En el rombo ABCD de la figura, el ángulo a = 25°. Luego, ¿cuánto mide el ángulo b?

A B

D C

E

ba

Solución

En el rombo se tiene que DB es una diagonal, y ésta dimidia al CBA.

Luego, el EBA = b

Por otra parte, el AEB = 90°, ya que en un rombo las diagonales son perpendiculares.

Entonces:

25° + 90° + b = 180° b = 180° – 115° b = 65°

2. En el cuadrado ABCD de lado a, E, F, G y H puntos medios de los lados respectivos, ¿qué porcentaje es la zona achurada respecto del área total?

A B

CD

H F

E

G

Solución La zona achurada corresponde a un romboide, en que FC =

a2

, EB = a2

(con “a” lado del cuadrado) es base del romboide. El área achurada mide:

h

A B

CD

F

E

a2

a2

a2

Área = a2

· h con h = a2

⇒ Área = a2

4

Luego, a2

100% =

a2

4x

⇒ x = 25%

Ejercicios resueltos

198

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

33. En el trapecio isósceles ABCD de la figura, ¿qué valor debe tener el segmento x para que la zona

achurada sea 258

�3 ?

x

12

7

A B

CD

Solución

En la figura, ya que el trapecio es isósceles, se tiene que:

x

7

7

x h

52

52

Luego, aplicando el teorema de Pitágoras:

(1) x2 = h2 + ( 52 )2

con incógnitas x: lado del trapecio y h: altura del trapecio.

Por otra parte, el área de la zona achurada = 258

�3

⇒ 258

�3 = 12

· 52

· h

De aquí despejamos h

h = 258

�3 · 45

⇒ h = 5�3 2

Reemplazando h = 5�3 2

en (1) nos queda:

x2 = ( 5�3 2 )2

+ ( 52 )2

x2 = 254

· 3 + 254

x2 = 754

+ 254

x2 = 100

4

x2 = 25 x = 5

199

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

4. Se cortan 4 triángulos isósceles rectángulos de un papel para formar un rectángulo como muestra la figura. Si la suma de las áreas de los triángulos es 200 m2, ¿cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?

Solución

Supongamos que los lados del rectángulo son x e y

Aplicando teorema de Pitágoras a cada par de triángulos se tiene que los lados medirán x

2�2 e y

2 �2

respectivamente.

x

x

y

y

d

x2 �2

x2 �2

y2 �2

y2 �2

x2 �2

El área de los triángulos mayores es

x

2�2

·

x

2�2

2 =

x2

4

El área de los triángulos menores es

y

2�2

·

y

2�2

2 =

y2

4

Por otro lado, la diagonal del rectángulo viene dada por:

d2 = x2 + y2

2x2

42

+ 2y2

42

= 200 m2

x2

2 + y2

2 = 200 m2 / · 2

x2 + y2 = 400 m2

⇒ d2 = 400 m2 / �64

d = 20 m

200

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

35. Sea ABCD un cuadrado. Calcular el área del cuadrado central si AB = 1 y P, Q, R, S son puntos

medios.PA B

Q

CRD

S

Solución

Si trabajamos con la siguiente figura vemos que el cuadrado se divide en 6 rectángulos y 8 triángulos congruentes, por lo que al unir los triángulos formarán 4 nuevos rectángulos congruentes a los anteriores.

PA B

CD

Así, el cuadrado queda formado por 10 rectángulos congruentes. Luego, el área achurada será:

AACH =

número rectángulos achuradosnúmero rectángulos totales =

210

= 15

6. Sea el triángulo ABC equilátero, CD @ CF , CF : FB = 1 : 2. Si AB = 6 cm, determinar el área del del-toide CDEF.

A B

C

E

D F

Solución

AB = BC = CA = 6 cm (∆ ABC equilátero)

CF1

= FB2

⇒ 2 CF = FB pero CF + FB = BC = 6 cm ⇒ CF = 2 cm y FB = 4 cm

Además ∆ CDF equilátero de lado 2 ⇒ DF = 2 cm

Como CE = CB · �3

2 = 6�3

2 = 3�3, entonces:

Área deltoide = DF · CE 2

= 2 · 3�3

2 = 3�3 cm2

201

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

1. En el rombo ABCD de la figura, ¿cuánto mide a + b?

ba

D C

BA

A) 2a B) 2b C) 180° – a + b D) 90° E) Faltan datos para determinarlo.

2. En la figura, ABCD es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A B

CD

a

d

b

I) a = b2

II) a + d = b III) a + b = 180° – d

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

3. En el rectángulo MNPQ, de la figura, MP y NQ son diagonales. Entonces, el ángulo x mide

Q P

NM

x

40º

A) 40° B) 50° C) 80° D) 100° E) 140°

4. En la figura, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD?

3 cm

4 cmA B

CD

A) 12 cm B) 14 cm C) 16 cm D) 24 cm E) Faltan datos para determinarlo.

202

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

5. En la figura, el semiperímetro del cuadrilátero PQRT es 10�2 cm2. Su área mide

P Q

RT

A) 400 cm2

B) 300 cm2

C) 200 cm2

D) 100 cm2

E) Faltan datos para determinarlo.

6. El área del trapecio isósceles ABCD de la figura es

4 cm

5 cm

3 cm

D C

BA

A) 24 cm2 B) 28 cm2

C) 40 cm2

D) 56 cm2

E) Ninguna de las medidas anteriores.

7. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y el cuadrilátro AEDB es un cuadrado. Entonces, la medida del ángulo x es

x

A B

DE

C A) 20° B) 30° C) 40° D) 45° E) 50°

8. En la figura, ABCD es un rectángulo, F y E puntos medios de los lados DC y DA respectivamente. ¿Qué parte del rectángulo es la figura achurada?

BA

D CF

E

A) 14

B) 16

C)

18

D) 13

E) 112

9. En la figura, ABCD cuadrado de lado 20 cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la figura achurada?

D C

A B

A) 79 cm B) 79,2 cm C) 80 cm D) 105,6 cm E) 120 cm

203

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

10. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) correcta(s)?

I) En un rombo, los ángulos opuestos son suplementarios.

II) En un rombo, los ángulos opuestos son congruentes.

III) En un deltoide, la diagonal de mayor longitud dimidia a la otra.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

11. En la figura, ABCD es un rectángulo de área 48 cm2, E es punto medio de AB y EF ^ AB . El área achurada mide

D C

A BE

F

A) 12 cm2

B) 24 cm2

C) 36 cm2

D) 40 cm2

E) 44 cm2

12. En la figura, AC mide 6 cm, ¿a qué porcentaje del área del trapecio ABCD corresponde el área achurada?

D

BA

C1 cm

4 cm

A) 20% B) 40% C) 60% D) 80% E) Faltan datos para determinarlo.

13. En la figura, ABCD es un cuadrilátero cualquiera, con DB = 10,6 cm y AC = 12 cm. Luego, el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios F, G, H y E es

H

E

G

D

C

BAF

120º

60º

A) 32,2 cm B) 22,3 cm C) 22,6 cm D) 26,2 cm E) 23,2 cm

204

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

14. En la figura, si MN es mediana del trapecio ABCD, entonces la razón entre las áreas S1 y S2 es

5 cm

M

3 cm

A B

CD

S1

S2

N

A) 35

B) 79

C)

23

D) 811

E) 713

15. Se tiene un terreno de la forma y dimensiones que se muestran en la figura. Para cercar todo su contorno con malla de alambre, sin considerar dos puertas de 1 m y 2 m de ancho, respectivamente, ¿cuántos metros lineales de malla se necesitan?

15 m

4 m

3 m

A) 39 m B) 41 m C) 42 m D) 43 m E) 44 m

16. En la figura se tienen 3 cuadrados congruentes de lado “a”. Si A, B, C, D, E, F, G, H son puntos medios, el área total es

aB

E F

DA

H G

C

a

a

A) 8a

B) 4a2 C) 3a2

D) 5a2

2

E) 2a2

17. En la figura, los triángulos ABC y DEF son equiláteros de lado 6 m. Si BD = 4 m, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo CGHF?

HA B

FC

ED G

A) 26�3 m B) (20 + 3�3 ) m C) (20 + 12�3 ) m D) (20 + 6�3 ) m E) Faltan datos para determinarlo.

205

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

NúmeroAlternativaHabilidad1DAplicación2EAnálisis3DAplicación4EComprensión5EComprensión6BAplicación7BAplicación8CAplicación9CComprensión10BAnálisis11CAplicación12DAnálisis13CAnálisis14BAnálisis15AAplicación16EAnálisis17DAplicación18AAnálisis19CAnálisis20DAnálisis

Respuestas correctas

18. Un octógono regular se forma al cortar triángulos isósceles iguales de las esquinas de un cuadrado de lado 1 m, como lo muestra la figura. La longitud a del lado del octógono es

1 m a

a

A) (�2 – 1) m

B) (2 – �2 ) m C)

�2 – 12

m

D) (2�2 – 1) m

E) �2 + 1

2 m

19. En la figura, el trapecio ABCD es isósceles,

CD = 3 cm, AB = 7 cm, h = 23

d y AD = d. La

medida de h es

d h

D C

BA

A) 4�5 cm

B) 6�5

5 cm

C)

4�5 5

cm

D) 2 cm

E) 2�5 cm

20. En la figura, ABCD es un rombo. Si CD @ CE, CEB = a y BAD = a, ¿cuánto mide el

ángulo BDE?

A B

CD

E

A) 180° – 2a

B) 45° – a C) 90° –

a2

D) 90° – a

E) 180° – a

206

Cpec

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reun

iver

sitar

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capí

tulo

3GeometríaCircunferencia y círculo

V. Circunferencia y círculo

• Circunferencia: Es el conjunto de los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro.

• Círculo: Es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una longitud determinada. Corresponde a la región interior del plano limitada por una circunferencia.

1. ElementosO : Centro de la circunferencia

OA : Radio de la circunferencia (r). Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

DE : Cuerda es el segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia.

BC : Diámetro es una cuerda que pasa exactamante por el centro de la circunferencia, además, entre todas las cuerdas, es la de mayor longitud.

DB : Arco de la circunferencia es una parte de la circunferencia. Observación: los arcos se miden en forma contraria al movimiento de los punteros de un reloj.

SA : Secante es la recta que intersecta en dos puntos distintos a una circunferencia.

TA : Tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto. Observación: OA ^ TA .

PM : Sagita segmento de un radio perpendicular a una cuerda que va desde el punto de intersección con la cuerda hasta la circunferencia.

En la figura M punto medio de DE . Si DE es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia, entonces:

OM : Apotema es la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia al punto medio de una cuerda Observaciones: 1) PM + MO = OP : radio de la circunferencia 2) OP ^ DE 3) M es punto medio de DE

ESP

C

A

B

D

T

M

O

207

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos los vértices son puntos de ella.

• Un polígono está circunscrito a una circunferencia si la circunferencia es tangente a todos los lados del polígono.

2. Generalidades

2.1 Perímetros

Sea r: radio, d: diámetro

2.1.1 Perímetro de la circunferencia

Or

O: centro de la circunferencia

P = 2π · r = π · d

2.1.2 Perímetro del sector circular

O

a

A Barco AB

O: centro de la circunferencia

r

Psector = 2π · r · a

360° + 2r

2.2 Áreas

Sea r: radio, d: diámetro

2.2.1 Área del círculo

A = π · r2 = d2π

4

208

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

32.2.2 Área del sector circular

Sector Circular

O

A B

a

O: centro de la circunferencia

Asector = π · r2 · a

360°

3. Ángulos en la circunferencia

O

B A

O: centro de la circunferencia BOA = Arco BA

3.1 Ángulo del centro

Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y está formadopor dos radios. Mide lo mismo que el arco que lo subtiende.

3.2 Ángulo inscrito

B A

BCA =Arco BA

2

C

Tiene el vértice en la circunferencia y está formado por dos cuerdas. Mide la mitad del arco que lo subtiende.

O

A B

a

d

b

g

O: Centro de la circunferencia

Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro comparten el mismo arco, entonces el ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.

a = d + gb = 2d + 2gb = 2a ; a =

b2

Si Arco(AB) = b ⇒ AOB = b

209

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

A B

C D

a bSi dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces estos ángulos tienen igual medida.

• ACB y ADB subtienden el arco AB

• a @ b

Sabías que...

3.2.1 Ángulo inscrito en una semicircunferencia

A B

CSi AB es diámetro de la circunferencia, entonces el ACB = 90°

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo.

3.2.2 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

A B

C D

a

d g

b

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son suplementarios.

a + g = 180°b + d = 180°

3.3 Ángulo semi inscrito

A

B

a

D

Tiene el vértice en la circunferencia y está formado por una cuerda y una tangente. Mide la mitad del arco.

a = DB 2

, con AB : tangente en el punto B

210

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

33.4 Ángulo interior

A E

CD

ab

ab

Tiene el vértice en el interior de la circunferencia, y está formado por segmentos de cuerdas. Su medida se calcula con la siguiente fórmula:

a = ED + CA 2

; b = AE + DC 2

3.5 Ángulo exterior

O: Centro de la circunferencia

AE

CD

Oa b d

Tiene el vértice en el exterior de una circunferencia y está formado por dos secantes. Su medida se calcula con la siguiente fórmula.

d = a – b

2 = CA – ED

2

4. Proporcionalidad en la circunferencia

4.1 Teorema de las cuerdas

A

BC

D

P•

Sea P punto interior de la circunferencia y AB y CD dos cuerdas como indica la figura, entonces se cumple que:

PA · PB = PC · PD

4.2 Teorema de las secantes

A

CD

B

P

Sea P punto exterior a la circunferencia y PA y PC dos secantes, como lo indica la figura, entonces se cumple que:

PA · PB = PC · PD

211

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

4.3 Teorema de la tangente y la secante

A BP

TSea P un punto exterior a la circunferencia, PT una tangente en T y PB una secante, según la figura, entonces se cumple que:

PT2 = PA · PB

4.4 Igualdad de tangentesA

B

P

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes, entonces las medidas de éstas son congruentes.

PA @ PB

A

B

C

D

c

d

a

b

Para que un cuadrilátero pueda circunscribirse a una circunferencia, es necesario y suficiente que la suma de sus lados opuestos sean iguales. En la figura se tiene que:

a + c = d + b

Sabías que...

212

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3

1. Calcular el área de la siguiente zona achurada, si AB es diámetro, BC = 2, DC = 3 y EDAB

= 12

A B C

D

E

Solución

La incógnita del problema es el área achurada, es decir, la mitad del círculo que tiene por diámetro al segmento AB. Su radio, por lo tanto, es la mitad del diámetro. Al reemplazar estos datos en la fórmula del área de un círculo, se obtiene la siguiente relación, ya que AB diámetro.

Área = [ π · ( AB 2 )2 ] · 1

2 (1)

Pero en esta relación desconocemos AB . Para encontrar este valor apliquemos el teorema de las secantes.

(AB + BC) · BC = (ED + DC ) · DC Al reemplazar en la fórmula anterior los datos del problema, se obtiene:

(AB + 2) · 2 = (ED + 3) · 3 (2)

Por otra parte, se tiene que:

EDAB

= 12

⇒ ED = AB2

(3)

Reemplazando (3) en (2), se obtiene el valor del segmento AB (diámetro)

(AB + 2) · 2 = ( AB2

+ 3) · 3 2(AB) + 4 =

(AB + 2 · 3) · 32

/ · 2

4AB + 8 = 3AB + 18

4AB – 3AB = 18 – 8

AB = 10

Ejercicios resueltos

213

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Finalmente, reemplazando AB = 10 en (1) se obtiene el área solicitada.

Área = [ π · ( 102 )2

] · 12

= [π · (5)2

] · 12

= π · 252

Área = 25π

2

2. En la figura, AB = 10, AD = 6 y CB = 5. Si el segmento AB es tangente a la circunferencia en el punto A, entonces el segmento DE mide:

D B

A

F C

ESolución

Reemplazando los datos en la figura obtenemos:

D B

A

F C

E

xy

z5

106FD = z

DC = yDE = x

La incógnita principal es x. Para encontrar el valor de y se aplica el teorema de Pitágoras.

⇒ (10)2 = (6)2 + (5 + y)2

100 = 36 + (5 + y)2

64 = (5 + y)2

(8)2 = (5 + y)2

8 = 5 + y ⇒ y = 3

Para encontrar el valor de z se aplica el teorema de la tangente y la secante:

⇒ (10)2 = 5 · (5 + y + z) 100 = 25 + 5 · y + 5 · z pero y = 3 100 – 25 – 5 · 3 = 5 · z 60 = 5 · z z = 12 En consecuencia, por teorema de cuerdas: 6 · x = z · y 6 · x = 12 · 3 x = 6 Finalmente, el segmento DE = 6

214

Cpec

h P

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capí

tulo

33. Determina el perímetro del cuadrilátero ABCD circunscrito de la figura, si E,F,G y H son puntos de

tangencia.

C

B

D

A

G E

H

F 7 cm

10 cm

3 cm

2 cm

Solución i) Utilizando el teorema de la igualdad de tangentes, se tiene: AH = AE = 10 cm CF = CG = 3 cm BE = BF = 7 cm DH = DG = 2 cm

Donde:

DA = AH + DH = 10 cm + 2 cm = 12 cm CD = DG + CG = 2 cm + 3 cm = 5 cm BC = CF + BF = 3 cm + 7 cm = 10 cm AB =BE + AE = 7 cm + 10 cm = 17 cm ii) Perímetro ABCD = AB + BC + CD + DA = (12 + 5 + 10 + 17) cm = 44 cm

4. ¿Cuál es la medida del área achurada en la circunferencia de radio 10 cm, si el Arco (CA) mide 90° y ACB = 45°?

A

B

C

Solución

i) Si ACB = 45°, entonces, Arco (AB) = 90° ii) Si arco (CB) = Arco (CA) + Arco (AB) = 90° + 90° = 180°

Entonces, CB es diámetro, por lo tanto, triángulo BCA es rectángulo en A y si ACB = 45°, entonces es también isósceles.

iii) Área achurada = A⊗

2 + 12

· ( A⊗

2 – A∆BCA)

= ( π · 102

2 +

12

· ( π · 102

2 –

20 · 102 )) cm2

= (50π + 12

(50π – 100)) cm2

= (50π + 25π – 50) cm2

= (75π – 50) cm2

215

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

5. Si el radio de la circunferencia de centro O mide 8 cm y AE = 12

· OA, determine el área del ∆BDE

B

D

C

AE O

Solución

i) AE = EO = 12

· OA = 12

· 8 cm = 4 cm

ii) Completando la figura, se tiene:

B

D

C

A E O4 4 8

8

Por relaciones métricas en triángulo OED,

si ∆ OED es rectángulo en E y EO = 12

· OD

Entonces, si OD mide 8 cm, ED mide 4�3 cm

iii) Área ∆ BDE = cateto · cateto

2

= 12 · 4�3

2

= 24�3 cm2

6. Determine la medida del ángulo a en la figura.

B

D

C

A

E30º

100ºa

Solución

i) Si CBD = 30°, entonces Arco (CD) = 60°

ii) Por teorema del ángulo exterior:

a = AB – CD 2

a = 100º – 60º

2

a = 20°

216

Cpec

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capí

tulo

3EjErcicios

1. En la figura, AB es diámetro y O centro de la circunferencia. Si CB @ OA , entonces la medida de x es

B

A

O

C

x

A) 25° B) 30° C) 45° D) 60° E) faltan datos para determinarlo.

2. En la figura, O es centro de la circunferencia. ¿Cuál es la relación que existe entre x, y, z?

xOy

z

A) x + y + z = 180° B) x – y + z = 90° C) x + y – z = 45° D) x – y – z = 0° E) – y – x – z = – 90°

3. En la figura, O es centro de la circunferencia y las fracciones equivalen a la parte del círculo que corresponde su sector. ¿Qué parte del círculo representa el sector achurado?

O

134

15

15

A) 1215

B)

915

C)

615

D) 3

15 E) 1

15

4. Se tiene un alambre de largo L y se construye una circunferencia con él, entonces el radio de esa circunferencia es

A) 2 πL

B)

πL

C) 2π + L

D) L

2π

E) � Lπ

5. En la figura, AC y BD son cuerdas, la medida del ángulo x es

45º45º

70º

x

CB

DA

A) 25° B) 30° C) 35° D) 40° E) 45°

6. Si los cuadrados de la figura son congruentes, entonces entre los perímetros de las figuras achuradas la relación correcta es

I II III

A) I < III < II B) I = III < II C) III < II < I D) I = II = III E) II < I < III

217

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

7. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm, AC y CA son arcos con centros en D y B respectivamente. ¿Cuál es el área de la figura sombreada? (Considere π = 3).

A B

CD A) 16 cm2

B) 18 cm2

C) 32 cm2

D) 36 cm2

E) 64 cm2

8. ¿Qué ángulo forman los punteros de un reloj cuando son las 12 horas y 30 minutos?

A) 160° B) 165° C) 170° D) 175° E) 180°

9. En la figura, ABCD es un cuadrado y AC su diagonal, entonces el área sombreada es

B

CD

Aa

A) a2

4 (1 –

π4 )

B) a2(π – 1) C) a2

8 (1 –

π4 )

D) a2

2 – a2π

4

E) a2 ( 12

– π)

10. En la circunferencia de centro O de la figura, AC = 18 cm y BE = 3 cm. Si BD es diámetro,

el radio de la circunferencia mide

B

A

O

C

D

E

A) 10 cm B) 15 cm C) 18 cm D) 27 cm E) 30 cm

11. En la circunferencia de centro O de la figura, ABCD es un rectángulo, Arco (AB) = 60°, y el radio mide 4 cm. ¿Cuánto mide el área achurada?

BA

D C

O

A) 32 cm2

B) 16�3 cm2

C) 37�22

cm2

D) 40 cm2

E) Faltan datos para determinarla.

218

Cpec

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capí

tulo

3EjErcicios

12. En la figura, DO // CA , AB es diámetro y O es centro de la circunferencia. Si DOC = b, entonces el BOD mide

B

A

D

C

O

A) 180° – 2b B) 90° – b C) 2b

D) b

E) b2

13. En la figura, O es centro de circunferencia de radio r, AD y BC son cuerdas y a = 40°. El área sombreada es

AB

C D

O a

A) 2πr2

9 B)

5πr2

18

C) 5πr2

9

D) 18πr2

5

E) 9πr2

2

14. En la figura, AB tangente en C a la circunferencia de centro O, entonces el ángulo FCA mide

F

A BC

O

100°

30°

A) 40° B) 45° C) 50° D) 60° E) 65º

15. Desde un punto fuera de una circunferencia situado a 15 cm de su centro, se traza una secante de 16 cm que determina una cuerda de 5 cm. El radio de la circunferencia mide

A) 1 cm

B) �145 cm

C) (15 ± �115

2 ) cm

D) 5 cm

E) 7 cm

16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) En una circunferencia hay infinitas cuerdas de igual longitud.

II) Dos puntos sobre una circunferencia determinan siempre 2 arcos, uno mayor y otro menor en longitud.

III) Un ángulo inscrito y otro del centro que subtiende el mismo arco son iguales.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

17. La diferencia entre los perímetros de dos circunferencias es 4π y la diferencia de las áreas de los círculos es 20π. Sus radios son

A) 2 y 4 B) 3 y 5 C) 4 y 6 D) 5 y 8 E) 6 y 10

219

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

18. En la figura, las tres circunferencias son concéntricas y el radio de la menor es 5 cm. Si el área de cada una de ellas es la mitad del área de la anterior, entonces el radio de la más grande mide

O

A) 10 cm B) 12,5 cm C) 15 cm D) 20 cm E) 25 cm

19. Se puede determinar la medida del ángulo a de la figura si:

a

DE

AB

C

(1) BED = 60º (2) EBA = 80° A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. Se puede determinar la medida del área achurada en la figura si:

A

B

C

(1) La tangente AC a la circunferencia de centro B mide 3 cm.

(2) El radio de la circunferencia mide 3�3 cm.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1BAplicación2DComprensión3DAplicación4DAplicación5AAplicación6DAnálisis7CAplicación8BAplicación9CAplicación10BAplicación11BAplicación12DAplicación13BAplicación14AAplicación15EAplicación16EAnálisis17CAnálisis18AAplicación19CEvaluación20CEvaluación

Respuestas correctas

220

Cpec

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reun

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sitar

ios

capí

tulo

3GeometríaGeometría de proporción, cuerpos geométricos

VI. Geometría de proporción

1. Congruencia

Dos figuras son congruentes cuando al ubicarlas una sobre la otra sus elementos correspondientes coinciden totalmente. Deben tener la misma forma y el mismo tamaño.

En el caso particular de los polígonos, sus ángulos, lados y otros elementos deben coincidir tanto en su forma como en sus medidas.

Si dos polígonos son congruentes, entonces tienen el mismo perímetro y la misma área.

1.1 Elementos correspondientes en los triángulos

Si ∆ ABC @ ∆ DEF, entonces:

A B

C

D E

F

• AB @ DE ; BC @ EF ; AC @ DF • ACB @ DFE ; BAC @ EDF ; CBA @ FED

• ha = hd ; hb = he ; hc = hf ; etc.

1.2 Criterios de congruencia en triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen:

• Dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos congruente (L.A.L).• Los tres lados congruentes (L.L.L).• Dos ángulos congruentes y el lado comprendido por ellos congruente (A.L.A).• Dos lados respectivamente congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos congruente (L.L.A.)

221

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

2. Equivalencia

Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma área sin tener, necesariamente, la misma forma.

Ejemplo: Un círculo de radio 3 es equivalente a un cuadrado de lado 3�π

A círculo = A cuadrado

πr2 = a2

π · (3)2 = (3�π)2

9π = 9π

3. Semejanza

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus elementos homólogos son proporcionales.

3.1 Criterios de semejanza en triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen:

• Dos ángulos respectivamente congruentes.• Un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales.• Dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos congruente.• Tres lados proporcionales.

3.2 Propiedades de los triángulos semejantes

Los elementos homólogos en triángulos semejantes corresponden a los lados que están opuestos a los mismos ángulos o elementos que cumplen la misma función en cada triángulo (alturas, bisectrices, transversales y simetrales).

Sabías que...

Si ∆ ABC ~ ∆ DEF, entonces:

M y N: puntos medios

C

A B

M

a

e

b

F

D E

N

b

e

a

222

Cpec

h P

reun

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sitar

ios

capí

tulo

3a. La razón entre los elementos homólogos de dos triángulos semejantes, es constante.

Opu

esto

a a

Opu

esto

a b

Opu

esto

a e

Altu

ras

Tran

sver

sale

s

Bise

ctric

es

BC

EF =

CA

FD =

AB

DE =

hc

hf =

ta

td

= b

bB

bbE

= k , con k constante de proporcionalidadEn ∆ ABC

En ∆ DEF

b. La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

P∆ABCP∆DEF

= BC

EF =

CA

FD =

AB

DE =

hc

hf =

ta

td

= b

bB

bbE

= k

c. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

A∆ABCA∆DEF

= ( BC

EF )2

= ( CA

FD )2

= ... k2

3.3 Teorema de Thales

Teorema general

Sean L1 // L2 // L3, entonces se tiene que:

OL1

AL2

B

D

C

E

L3

OA

AB =

ED

DC ;

OA

OB =

ED

EC ;

AB

OB =

DC

EC

223

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales

a. Si en un triángulo cualquiera se traza un segmento paralelo a uno de los lados, se obtiene otro triángulo cuyos lados son proporcionales a los lados del triángulo original.

A B

C

D E

AC

DC =

BC

EC =

AB

DE

AB // DE

b. Sean L1 // L2, entonces se tiene que:

O

L1

AL2

BD

C

DB

DO =

AC

OC ;

DB

BO =

AC

OA ;

DO

OC =

BO

OA

3.4 Teorema de la bisectriz Si CD es una bisectriz del triángulo ABC, entonces se cumple la siguiente proporción entre los lados y los segmentos que determina la bisectriz al intersectar al lado opuesto:

A B

C

ab

Du v

a a

•

bu =

av

Este teorema es válido para cualquier triángulo.

224

Cpec

h P

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capí

tulo

34. División de un segmento

4.1 División interior

P divide interiormente al trazo AB en la razón m : n

AP

PB =

mn A P B

4.1.1 Sección áurea o divina

Si un punto x divide interiormente a un trazo en dos segmentos, de modo que el mayor sea la media proporcional geométrica entre el trazo completo y el segmento menor, entonces se cumple:

A X BAB

AX =

AX

BX , con AX > BX

4.2 División exterior

Q divide exteriormente al trazo AB en la razón m : n

A B QAQ

BQ =

mn

4.3 División armónica

P y Q dividen interior y exteriormente al trazo AB en la razón m : n

AP

PB =

AQ

BQ =

mn QA P B

La divina proporción o proporción áurea se ha utilizado en el arte, ya que se logra un equilibrio armónico y estético en las formas. Se dice que el Partenón griego fue construído de modo que sus proporciones estén en sección áurea.

Sabías que...

225

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

VII. Cuerpos geométricos

1. Poliedros

Cuerpos geométricos formados sólo por caras planas.

C

D

A

B

R S

QP

1.1 Elementos

Todos poseen caras, aristas y vértices.

• Lascarassonsuperficiesquehacendefronteraentreelinterioryelexteriordelcuerpo. • Lasaristassonlaslíneasdeinterseccióndelascaras.

• Losvérticescorrespondenalpuntodeinterseccióndetresomásaristas.

Número de caras + Número de vértices = Número de aristas + 2

Conceptos fundamentales

1.2 Clasificación

1.2.1 Poliedros regulares

Son aquellos que tienen todas sus caras iguales.

Tetraedro Hexaedro o cubo

Octaedro Dodecaedro Icosaedro

226

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

31.2.2 Poliedros irregulares

Se dividen en prismas y pirámides.

• La base de la pirámide es el polígono en el cual se apoya. Un prisma es un sólido determinado por 2 polígonos paralelos y congruentes llamados bases y las caras restantes se llaman caras laterales.

1.3 Área y volumen de algunos poliedros

1.3.1 Cubo o hexaedro

Sólido de 6 caras cuadradas y paralelas.

Volumen = a3

Área = 6a2

Diagonal = a�3Total de aristas: 12

a

1.3.2 Paralelepípedo

Sólido de 6 caras, las cuales pueden ser rectángulos y/o cuadrados.

Volumen = largo · ancho · alto = l · a · hÁrea = 2 (l · h + a · h + l · a)Diagonal = �a2 + h2 + l2h

l

a

2. Cuerpos redondos

Cuerpos geométricos formados por caras planas y curvas y sólo por caras curvas. Se generan por la rotación de 360° de una figura plana alrededor de su eje.

2.1 Cilindro

Sea un rectángulo ABCD, que gira 360° sobre uno de sus lados. El lado DC es, por definición, el eje de rotación.El cuerpo resultante de la rotación se llama cilindro; sus bases son dos circunferencias iguales, y la superficie curva lateral se llama superficie cilíndrica de revolución.

227

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

La distancia entre las bases se llama altura, en la figura AB (o CD ). El lado del rectángulo que genera la superficie lateral, se llama generatriz.

En el cilindro, la generatriz y la altura coinciden.

Área y volumen

desarrollo del área lateral h

2π · r

2π · r

D A

BC

h g DA = CB = r

Árealateral = 2π · r · h Áreabasal = 2π · r2

ÁreaTotal = 2π · r(h + r) Volumen = π r2 · h

2.2 Cono

Sea un triángulo rectángulo ABC que gira 360° sobre uno de los catetos: eje de rotación. El cuerpo resultante de esta rotación se llama cono.

Su única base es una circunferencia y la superficie lateral se llama superficie cónica de revolución. El vértice superior del triángulo es el vértice del cono.

La distancia entre el vértice y la base es la altura, y la hipotenusa del triángulo rectángulo es la generatriz del cono (g).

Área y volumen

C O

h

A

B

desarrollo del área lateral

A

g g

2π r

Área total = Área lateral + Área basal

228

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3• Área lateral Haciendo una proporción respecto del área y perímetro total se tiene:

O

g g

2π r

gO

O : centro

Sea x: Área Lateral

Área sectorPerímetro Arco

= Área círculoPerímetro circunferencia

x2πr

= π · g2

2π · g

x = 2πr · π · g

2

2πg

x = πrg

• Área basal ABasal = π · r2

Área total = πrg + πr2 = πr(g + r)

Área cono = πrg + πr2

Volumen cono = 13

· πr2h

229

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Un plano P que corte el cono, siendo paralelo a la base de éste, origina un tronco del cono, y la parte superior del cono se llama, en este caso, cono deficiente.

Para el tronco de cono, se tiene:

ÁreaLateral = πg · (R + r) ÁreaBasal = π(R2 + r2)D A

BC

AD = r

CB = R

DC = h

AB = g

ÁreaTotal = πg · (R + r) + π(R2 + r2)

Volumen = 13

h (πR2 + πr2 + πRr)

2.3 Esfera

Consideremos un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.

A

BC

D

O

C

A

B

O

D

El cuerpo generado por esta rotación del semicírculo se llama esfera y la superficie que limita la esfera se llama superficie esférica (todos sus puntos equidistan del centro O).

Una porción de la superficie esférica se suele llamar casquete esférico.

, con r: radioÁrea = 4π · r2 Volumen = 43

π · r3

230

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3

A

C

NM

D B

1. En el triángulo ABC de la figura, MN es mediana. Si MN = 4, AD = 5, NB = 3 y CD es bisectriz del ACB, entonces, ¿cuál

es el valor de MC ?

Solución

Como el segmento MN es una mediana del triángulo, entonces MN // AB , además:

C

D BA 5

x

x 3

3

M N MC = MA = x y NC = NB = 3 CB = NC + NB = 6 CA = MC + MA = 2x

Para calcular DB , como MN es mediana entonces:

AB = 2MN

AD + DB = 2 · 4

5 + DB = 8

DB = 3

Aplicando teorema de la bisectriz:

CA

AD =

CB

BD

2x5

= 63

6x = 30

x = 5

\ MC = 5

C

BA

D

O

2. En la figura, se tiene que AB // CD , AB = 6, OA = 3 y AD = 8.

¿Cuál es el valor del segmento CD?

Ejercicios resueltos

231

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

Solución Aplicando trazos proporcionales se llega a:

AB

OA =

CD

OD ⇒ CD =

AB · OD

OA

Donde: OD = AD – OA = 8 – 3 = 5

Reemplazando, se tiene que: CD = 6 · 5

3 = 30

3 ⇒ CD = 10

3. Al dividir un trazo de 10 cm, armónicamente en la razón 3 : 2 el trazo interior más pequeño multiplicado por el trazo exterior, corresponde a:

Solución

Dibujando el trazo y asignando valores y variables tenemos:

QA P B

10 y

10 – xx Si la división es armónica tenemos que:

APPB

= 32

y AQBQ

= 32

APPB

= AQBQ

= 32

⇒

x

10 – x =

32

(1)

10 + y

y =

32

(2)

Resolviendo:

(1) x

10 – x =

32

⇒ 2x = 30 – 3x 5x = 30 x = 6 cm ⇒ Trazo más pequeño es 4 cm (2)

10 + yy

= 32

⇒ 20 + 2y = 3y y = 20 cm

Luego, el trazo interior más pequeño es 4 cm y el trazo exterior es 20 cm 4 cm · 20 cm = 80 cm2

232

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

34. Si el volumen de un cubo es igual al de una esfera de radio a, entonces ¿cuánto mide su lado?

Solución

Se sabe que el volumen de una esfera es 43

π · r3,

con r radio de la esfera

Luego, se tiene que: Volumen = 43

π · a3

Por condición del problema:

Vesfera = Vcubo ⇒ 43

π · a3 = x3 / �63 ⇒ x = � 43 π · a3

3

= a � 43 π

3

5. Se tiene un tarro y jarros cilíndricos. El tarro tiene agua hasta las tres cuartas partes de su capacidad y

su altura es de 30 cm con radio interior de 6 cm. ¿Cuántos jarros se podrán llenar con el agua contenida en el tarro, si éste tiene 8 cm de altura y radio interior de 3 cm, y si se considera π = 3?

Solución

i) Volumen de agua contenida en el tarro:

Vagua = 34

· π · r2 · h

= 34

· 3 · 62 · 30

= 2.430 cm3

ii) Capacidad del jarro

Vjarro = π · r2 · h = 3 · 32 · 8 = 216 cm3

iii) Cantidad de jarros

V agua

V jarro

= 2.430 cm3

216 cm3 = 11,25 jarros

6. ¿Cuántos cm2 de papel se utiliza para etiquetar un frasco de 8 cm de radio si el ancho de la etiqueta es de 8 cm y ésta rodea todo el frasco? Considere π = 3

Solución

La superficie a etiquetar corresponde al área lateral de un cilindro de 8 cm de radio y 8 cm de altura. Superficie etiqueta = 2π · r · h

= 2 · 3 · 8 · 8

= 384 cm2

233

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

1. Para que el segmento DE sea paralelo al segmento AB , el valor de x debe ser

A

C

ED

18

3

6

B

x

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

2. Si el largo, ancho y alto de una caja miden 25 cm, (b + �2 ) cm y (b – �2 ) cm respectivamente, entonces su volumen mide

A) (25b2 – 50) cm2

B) (b2 – 50) cm3

C) (25b2 – 20) cm3

D) 25(b2 – 2) cm3

E) ninguna de las medidas anteriores.

3. Se dice que un punto X divide un trazo HD en sección áurea o divina, si lo hace en dos segmentos de modo que el mayor sea

H X D

A) igual a dos veces el trazo HX.B) igual a dos veces el trazo XD.C) media proporcional geométrica entre HD y

el segmento menor.D) media proporcional geométrica entre HD y

el segmento mayor.E) ninguna de las afirmaciones anteriores.

4. Para que dos figuras sean equivalentes deben

I) tener igual perímetro. II) tener igual área. III) ser semejantes.

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo II y III.

5. El punto Q divide interiormente al trazo AB en la razón 7 : 5. Si QB = 35 cm, entonces AB mide

A Q B

A) 72 cm B) 76 cm C) 80 cm D) 84 cm E) 88 cm

6. En la figura, AB es bisectriz del ángulo CAD. ¿Cuánto miden x e y?

B

A

x

y

3

5

C

D

A) 2 y 2

B) 32

y 52

C) 1 y 3

D) 3 y 1

E) Faltan datos para determinarlo.

234

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

7. En la figura, L1 // L2; AB = b + a; CD = 2a,

OA = 2b y OD = x, entonces el segmento x es

C

BA

D

L1

L2

O

A) 4ab2b + a

B) 2abb + a

C) 16ab

2 + 2a

D) ab

b + a

E) 4ab

b + a

8. Si el volumen de una esfera es igual al volumen del cono de radio basal 6 cm de la figura, entonces el radio de la esfera mide

10 cm

A) 2�63 cm

B) 2�93 cm

C) 3�33 cm

D) 6�23 cm

E) 9�23 cm

9. En la figura, AB // CD y AE = AB = BE = AC = 5�2 ,

entonces el perímetro del ∆CDE es

C

E

BA

D

A) 35�2 B) 30�2 C) 25�2 D) 20�2 E) faltan datos para determinarlo.

10. En la figura, a = b, AC = 8, CB = 7 y EB = 4, entonces el segmento AE es

A B

C

E

a b A) 7

2

B) 327

C) 92

D) 5

E) 14

11. Sea una esfera de área 12π cm2. El volumen de una segunda esfera cuyo radio es el triple del radio de la primera es

A) 36π cm3

B) 72�3π cm3

C) 108�3π cm3

D) 144π cm3

E) 162π cm3

235

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

12. La razón entre las áreas de los triángulos ADC y CBD es

8

D

16

A B

C

a

A) 4 : 5 B) 1 : 2 C) 1 : 4 D) 1 : 5 E) 1 : 8

13. La superficie exterior a pintar en un papelero de forma cúbica y abierto en su cara superior, como indica la figura, es

a

A) a3

B) a3 – a2

C) 6a2

D) 5a2

E) 5a2 – a

14. Se tiene una malla de alambre de largo igual a 480 m, con el cual se desea cercar un terreno rectangular,

tal que la razón entre los lados del terreno sea igual

a 53

. La superficie del terreno es

A) 13.500 m2

B) 14.400 m2

C) 27.000 m2

D) 28.800 m2

E) 54.000 m2

15. El área del triángulo ABC es 24 m2. Los lados AB y BC miden 6 m y 12 m respectivamente. Se traza la bisectriz interior BF tal que A, F y C son colineales. El área del triángulo ABF es

A) 4 m2 B) 6 m2 C) 8 m2

D) 12 m2

E) 16 m2

16. En un cubo caben exactamente 27 cubos menores de área 2

3 m2. ¿Cuál es el volumen del

cubo mayor?

A) 1 m3 B) 1,8 m3 C) 3 m3

D) 6 m3

E) Faltan datos para determinarlo.

236

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3EjErcicios

17. El volumen de un cubo de arista 1 m está en la razón 2 : 1 con el volumen de una esfera. ¿Cuál es el área de la esfera? (considere π = 3)

A) 0,3 m2

B) 3 m2

C) 30 m2

D) 300 cm2

E) 3.000 cm2

18. La razón entre los volúmenes de un cilindro de radio basal r y altura h, un cono de radio r y altura h y una esfera de radio r, es

A) 3h : h : 4r B) 3h : h : r C) h : �3 h : 4r D) 3 : 3h : 4

E) h5

: h : 4rh

19. En la figura, ∆ ADG es congruente con ∆ CEG si:

A B

C

G

D

E

(1) El triángulo ABC es equilátero. (2) G es centro de gravedad.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

20. Se puede determinar el volumen del cubo de la figura si:

B

A

(1) AB = 8�3 cm. (2) La superficie del cubo es 384 cm2.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1BAplicación2DComprensión3CConocimiento4BAnálisis5DAplicación6BAplicación7EAplicación8BAplicación9BAplicación10BAplicación11CAplicación12CAplicación13DAplicación14AAplicación15CAplicación16AAnálisis17BAplicación18AAnálisis19DEvaluación20DEvaluación

Respuestas correctas

237

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

GeometríaGeometría analítica y transformaciones isométricas

VIII. Geometría analítica y Transformaciones isométricas

1. Plano cartesiano

1.1 Definición

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes). El punto de intersección se llama origen.

• El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de abscisas.

• El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de ordenadas.

1.2 Coordenadas de un punto

En un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5, se tiene A(3, 5).

1.3 Cuadrantes

El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes.

y

x

1

2

3

1 2 3– 3 – 2 – 1

– 3

– 2

– 1

IV

III

III

0

238

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

31.4 Distancia y punto medio entre dos puntos

d = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 , con d: distancia

M =( x1 + x2

2 ,

y1 + y2

2 ) , M: punto medio

y

xx1 x2

y1

y2P2(x2, y2)

P1 (x1, y1)

dM

2. La recta

2.1 Pendiente

La pendiente o inclinación de la recta L que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se define:

m = y2 – y1

x2 – x1

, con x1 ≠ x2

A

L

C

B••

•

x2x1

y2

y1a

y

x

Notemos que m = y2 – y1

x2 – x1

= Cateto opuesto a a

Cateto adyacente a a = tg a

Esto es, si a es el ángulo que forma la recta L con una paralela al eje X, entonces m = tg a

Tres puntos son colineales si la pendiente calculada, considerando los puntos de dos en dos, entregan el mismo valor.

Sabías que...

239

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

2.2 Ecuación de la recta

Se puede determinar la ecuación de la recta a partir de:

a. Dos puntos conocidos

Sean P1(x1, y1) y P2 (x2 , y2) puntos conocidos, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos viene dada por:

y − y1 = y2 – y1

x2 – x1 · (x − x1), con x1 ≠ x2 donde m =

y2 – y1

x2 – x1

b. Un punto y pendiente conocida

Sean P1 (x1, y1) y m conocidos. Entonces la ecuación de la recta que pasa por este punto y con pendiente m viene dada por la ecuación:

y – y1 = m · (x – x1)

2.2.1 Ecuación general Ax + By + C = 0; A, B y C ∈ IR

2.2.2 Ecuación principal y = mx + n

con m : pendiente o inclinación de la recta

(0, n) : punto donde la recta corta al eje “Y” (n: coeficiente de posición)

En esta forma vemos que la recta y = mx + n pasa por el punto (x0, y0), si y sólo si y0 = mx0 + n

x

y

m > 0n > 0n

x

y

m > 0n < 0

n

x

y

m < 0n < 0

n

x

y

m < 0n > 0n

Conceptos fundamentales

240

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

32.3 Posición relativa entre rectas

2.3.1 Rectas coincidentes

Sean

L1: y = m1 x + n1

L2: y = m2 x + n2

L1 ≡ L2 ⇔ m1 = m2 ∧ n1 = n2

2.3.2 Rectas paralelas

x

y

L1

L2

Sean

L1: y = m1 x + n1

L2: y = m2 x + n2

L1 // L2 ⇔ m1 = m2 ∧ n1 ≠ n2

2.3.3 Rectas perpendiculares

Sean y

L1

L2

x

L1: y = m1 x + n1

L2: y = m2 x + n2

L1 ^ L2 ⇔ m1 · m2 = – 1

O bien, m1 = – 1m2

Cuando las rectas NO son paralelas, perpendiculares ni coincidentes, entonces son rectas secantes.

Sabías que...

241

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3. Transformaciones isométricas

Dados dos conjuntos de puntos del plano, uno llamado conjunto origen y otro llamado conjunto imagen, la correspondencia que lleva los puntos del conjunto origen a algunos puntos del conjunto imagen se llama transformación geométrica.

Si a cada elemento del conjunto origen le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto imagen, la correspondencia recibe el nombre de aplicación.

Por otra parte, las transformaciones geométricas que cumplen la propiedad de mantener las distancias se llaman isométricas.

3.1 Traslación

Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T = T(a, b) que transforma el punto P de coordenadas (x, y) en el punto P’ de coordenadas (x + a, y + b) = T(x, y).

La traslación queda completamente definida por el vector (a, b) que se conoce como el vector de traslación.

A’

B’

C’

B

C

A

En la traslación, la coordenada “a” mueve el punto a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo de ésta. La coordenada “b” mueve el punto hacia arriba o hacia abajo, también dependiendo del signo de éste.

3.1.1 Propiedades

• Sea A’, B’ los transformados de A, B por traslación del vector v → . Se verifica siempre que |AB | = |A’B’|

• La traslación transforma los segmentos en segmentos de igual medida y paralelos al dado.

• La traslación transforma una recta en una recta paralela.

• La traslación transforma cualquier figura en otra figura congruente.

3.2 Rotación

Es frecuente encontrar, en física o geometría analítica, el siguiente problema: dado un punto P cuyas coordenadas en un sistema ortogonal de referencia UV son (u, v) y dado un sistema ortogonal de referencia XY, con el mismo origen que UV determinan las coordenadas del punto P en el sistema XY.

242

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

3Para resolver este problema vamos a suponer que el sistema XY es el sistema de coordenadas cartesianas y que el sistema UV se obtiene del XY girado en un ángulo a. Por la geometría de la figura, se infiere que:

YV

v

O A BX

UuQ

yC

P

a

a

x

x = OB – AB = OB – QC (1) x = u · cos a – v · sen ay = QA + PQ = CB + PQ (2)y = u · sen a + v · cos a

Las ecuaciones de rotación (1) y (2) nos permiten determinar las coordenadas de un punto P en relación a un sistema ortogonal no rotado, conociendo sus coordenadas (u, v) en el sistema rotado respecto al origen común.

A’

C’

B’

D’

A B

C

D

3.2.1 Propiedades

• Los segmentos que unen los puntos homólogos son congruentes.

• Una rotación transforma los puntos de un segmento en los de otro congruente a él.

• Una rotación transforma las rectas en otras rectas.

• Una rotación transforma un ángulo en otro congruente a él. De ello se deduce que dos figuras homólogas bajo las transformaciones de una rotación son directamente iguales. El centro de giro O es homólogo de sí mismo y, por lo tanto, es punto doble.

• Si el ángulo de giro es de 180°, cada punto A del plano se transforma en otro A’ que es su simétrico bajo una simetría central “con centro en el punto O”.

• Si el ángulo de rotación o giro es de 360°, cada punto del plano A se transforma en sí mismo.

Punto 90° 180° 270° 360°

(x, y) (− y, x) (− x, − y) (y, − x) (x, y)

243

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

3.3 Simetría

3.3.1 Central

Se llama simetría central a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ del plano, tales que están alineados con un punto fijo O, a distinto lado de él y a la misma distancia AO @ AO ’.

A’ C’ B’

D’

AB

CD

O

El punto O recibe el nombre de centro de simetría.

En una simetría central de centro O, A’ es el homólogo de A y recíprocamente; por lo tanto, los elementos homólogos en una simetría central se corresponden doblemente. Una figura geométrica tiene centro de simetría cuando sus puntos son simétricos dos a dos, con relación a O.

3.3.2 Axial

Se llama simetría axial a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro

A’ tal que la recta que los une es perpendicular a una recta fija OX →

, de forma que el segmento AA’ queda dimidiado por ella.

XA

O A’

P AP @ PA’

La recta OX →

se llama eje de simetría. (La simetría se representa por la letra S).

A’

C’

B’ D’

A

B

C

D

O

X

244

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

33.3.3 Propiedades de las simetrías

• Todo punto del plano tiene uno y sólo un homólogo bajo una simetría.

• Todos los puntos del eje de simetría son homólogos de sí mismos; se dice que son puntos dobles (o que son puntos fijos de la simetría axial).

• La simetría es una isometría, es decir, mantiene las distancias.

• Las simetrías axiales transforman los segmentos en segmentos congruentes y las rectas en otras rectas que cortan a las primeras en puntos M del eje de simetría.

• Las simetrías transforman los ángulos en otros ángulos congruentes, pero de sentido contrario.

• Las simetrías transforman una figura geométrica en otra congruente, aunque en sentido inverso.

• Una figura tiene eje o ejes de simetría si existe una o más rectas que, al atraversarla, la dividen en dos partes idénticas entre sí.

Ejemplos:

1. Un triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, ya que si se trazan las alturas desde los tres vértices, cada una divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).

A B

Ca2

a2

a2

a2

a2

a2

2. Un trapecio isósceles tiene un solo eje de simetría, el cual corresponde a la recta que pasa por los puntos medios de sus dos bases.

D

A B

C

aa

c2

c2

b2

b2

245

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

4. Teselaciones

Imaginemos a nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: se dice que una pieza es teselante cuando es posible acoplarla con otra sin espacios ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

4.1 Teselaciones regulares

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los panales.

• Teselación de triángulos

• Teselación de cuadrados

• Teselación de hexágonos

5. Homotecia

Se llama homotecia de factor l ≠ 0 a o la transformación del plano que envía el punto P en el punto P’ tal que

OP’ →

= l · OP →

, donde O es un punto fijo.

Se dice que A’ es homotético a A y al número real l se le llama razón de la homotecia.

• Si l > 1 la homotecia se llama directa y el punto O es exterior a los segmentos que unen cada dos puntos homotéticos.

O

AA’

Si l = 2

OA’ →

= 2OA →

OB’ →

= 2OB →

B’

B

• Si l = 1 la transformación es una coincidencia, y por consiguiente, su valor es nulo.

• Si 0 < l < 1 la homotecia se llama inversa y el punto O está situado en el interior de los segmentos que unen dos puntos homotéticos.

• Si l < 0 entonces el punto A’ se sitúa en la prolongación del segmento OA y con sentido opuesto al de OA . B

B’A’

A– 1 < l < 0

O

246

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36. Geometría tridimensional

Hasta el momento nuestro objeto de estudio ha sido generalmente la geometría de las figuras en el plano. Este estudio puede extenderse al de las figuras en el espacio más conocido como la geometría del espacio.

Los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo en la geometría espacial. Por lo tanto, las ideas de punto, recta y plano se analizarán desde la óptica espacial, pues si bien en la geometría plana puntos y rectas se hallan dentro del plano, en la geometría espacial no sucede así: en este caso los puntos y las rectas pueden ser exteriores a él. Se puede imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ello tendremos la imagen del plano geométrico. El suelo y la superficie de una muralla sugieren la idea del plano; por lo tanto, en el espacio existe una infinidad de planos.

Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano ni con dos puntos; un plano queda determinado por tres puntos no colineales. Otras formas de determinar un plano en el espacio y que no son sino consecuencias de lo anterior descrito, son:

• Mediante dos rectas que se corten.• Mediante dos rectas paralelas.• Mediante una recta y un punto exterior a ella.

6.1 Plano tridimensional

z

y

x

En este sistema los ejes son:Eje “x” : Eje de abscisasEje “y” : Eje de ordenadasEje “z”: Eje de cotas

Un punto en este sistema tiene el orden

(abscisa, ordena, cota); es decir (x, y, z).

Para buscar un punto en dicho sistema, se debe generar un paralelepípedo.

Ejemplo:

P

4

x

y3

5z

(4, 3, 5)Sea P (4, 3, 5)

247

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

6.2 Ángulos diedros

Dos cualquiera de estos semiplanos definen una abertura entre ellos. Esta abertura puede ser medida colocando un plano perpendicular a la recta de intersección y midiendo el ángulo que se genera en ella. Llamaremos ángulo diedro a cualquiera de estas cuatro aberturas unidas con las respectivas caras (semiplanos) que lo limitan. La

recta de intersección se conoce como la arista del ángulo diedro y los semiplanos que lo limitan se llaman caras del ángulo diedro.

arista

cara

cara

ángulos rectilíneos de un diedro

Para medir el ángulo diedro, basta dibujar un plano perpendicular a la arista y medir en éste el ángulo que deja el ángulo diedro.

π

248

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36.3 Posición relativa de planos y rectas

A. Entre recta y plano Posición relativa Características

r

π r y π se cortanLa recta y el plano tienen punto en común.

r

π r y π son paralelasLa recta y el plano no tienen puntos en común.

πr r está contenida en π

La recta y el plano tienen en común todos los puntos de ella.

B. Entre dos rectas Posición relativa Características

r s

Rectas paralelasLas dos rectas están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común.

Rectas que se cortanLas dos rectas están en un mismo plano y tienen un punto en común.

rs

Rectas oblicuasLas dos rectas no están en un mismo plano.

C. Entre dos planos Posición relativa Características

Planos que se cortanLos dos planos tienen una recta en común.

Planos paralelosLos dos planos no tienen una recta en común.

249

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

1. ¿Cuál(es) de los 3 gráficos dados representa(n) la recta y = – mx + n con m > 0 y n > 0?

I)

x

y

L

II)

L

y

x

III)

x

y

L

Solución

La función f(x) = – mx + n ; con m > 0 y n > 0 es una función afín que, al graficarla, se obtiene una recta cuya pendiente es negativa – m y corta al eje Y en un punto positivo (n > 0).

De los gráficos dados:

I) Recta cuya pendiente es positiva y coeficiente posicional (n) positivo. II) Recta cuya pendiente es negativa y coeficiente posicional (n) negativo. III) Recta cuya pendiente es positiva y coeficiente posicional (n) igual a cero.

\ Ningún gráfico representa la recta en cuestión.

2. Un corredor que parte de A da una ventaja de 30 m a otro que parte de B. El primero lleva una rapidez de 8 m/s y el segundo de 5 m/s. ¿A qué distancia de A se encontrarán?

Solución

Recordando que la velocidad (v) se expresa mediante la siguiente relación:

v = dt

⇒ d = v · t , con d : distancia recorrida t : tiempo empleado

Luego, la función que representa al desplazamiento de:

⇒ 1er corredor: parte del origen (A) dA = 8[m/s] · t[s] ⇒ 2do corredor: parte a 30 m distantes de A dB = 30[m] + 5[m/s] · t[s]

Luego, llevando esto a un gráfico:

dA = dB8t = 5t + 303t = 30 t = 10

A 10

80

30 B

y

x

La intersección se produce en el tiempo t = 10[s] y a una distancia de 80[m] de A.

Ejercicios resueltos

250

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33. Sean los puntos A(0, 0); B(5, 0); C(2, 3) los vértices de un triángulo. Encontrar las coordenadas del

punto de intersección de las alturas (ortocentro).y

x

C(2, 3)

hb

A(0, 0) B(5, 0)(2, 0)

ha

hc

(0, 3)

Solución

Primero graficaremos el triángulo

La pendiente de BC = 3 – 02 – 5

= – 1 = mBC

Como ha ^ BC ⇒ mha · mBC = – 1 mha

· – 1 = – 1 mha = 1

Luego, la ecuación de ha es y = 1 · x + n; pero ha pasa por el origen, lo que implica n = 0, luego la ecuación se reduce a: y = x

Ecuación de hc es x = 2, luego intersectando hc con ha : y = x x = 2 ⇒ y = 2

Por lo tanto, las coordenadas de P son: P(2, 2).

4. Se tiene una recta que pasa por los puntos (– 2, 1) y (1, 7), ¿En qué punto se intersecta dicha recta con otra que tiene por ecuación y = 5x – 1?

Solución

i) Se debe buscar la recta que pasa por (– 2, 1) y (1,7)

y – y1 = y2 – y1

x2 – x1

(x – x1)

y – 1 = 7 – 11 + 2

(x + 2)

y – 1 = 2 (x + 2)

y = 2x + 5

ii) Punto de intersección entre y = 2x + 5 e y = 5x – 1

Por método de igualación:

2x + 5 = 5x – 1 5 + 1 = 5x – 2x 6 = 3x / : 3 2 = x

Reemplazando x = 2 en y = 2x + 5

y = 2 · 2 + 5 = 9

\ El punto de intersección es (2, 9)

251

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 3 Geometría

5. Determine el volumen del cuerpo que se forma al trasladar el cuadrado de lado 5 cm de la figura, 4 cm en un plano perpendicular a él.

5 cm

Solución

Al hacer la traslación, se forma el siguiente paralelepípedo:

4 cm

5 cm

5 cm

4 cm

Volumen = (5 · 5 · 4) cm3

= 100 cm3

6. ¿En qué coordenadas se ubicarán los vértices del triángulo ABC de la figura si se le aplica una rotación de 90° con centro en el origen?

x

y

C

A

B

6

21

2 5 7 Solución

Si se tiene un punto (x, y) y se aplica una rotación de 90° con centro en el origen, entonces:

Pto inicial Rotación 90º Pto. final Centro en el origen (x, y) (– y, x)

Entonces: A (2, 2) A’ (– 2, 2) B (7, 1) B’ (– 1, 7) C (5, 6) C’ (– 6, 5)

\ Los vértices quedarán en: (– 2, 2); (– 1, 7) y (– 6, 5)

252

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3EjErcicios

4. ¿Cuál(es) de las siguientes acciones se puede(n) explicar con el concepto de homotecia?

I) La proyección de una trasparencia en el pizarrón.

II) El movimiento de un objeto en línea recta.III) La ampliación de una fotografía en el

computador.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

5. En un sistema de coordenadas cartesianas, sean los puntos A(3, 2), B(3, 6), C(– 3, 2). Sea M el punto medio de CB , entonces la distancia entre M y A es

A) �13 B) �14 C) 3�2 D) 2�5 E) �21

6. Se define una traslación de un punto (x, y) como sigue: T(x, y) = (x + a, y + b) con a, b ∈ IR. Entonces, uno de los vértices del triángulo ABC trasladado si la traslación usa a = 2 y b = 5, es

x

y

1

B 4

– 6 – 3 – 2

CA

A) (6, 0) B) (– 4, 4) C) (4, – 4) D) (0, 6) E) (0, 9)

1. El valor de la pendiente de la recta que une los puntos (– 4, 3) y (2, 6) es

A) – 2

B) – 12

C) – 29

D) 12

E) 2

2. ¿Es posible teselar el plano con cualquier tipo de polígono regular?

A) Sólo existe un tipo. B) Sólo existen dos tipos. C) Sólo existen tres tipos. D) Sólo existen cuatro tipos. E) Nunca se podrá teselar.

3. El punto A graficado tiene como coordenadas

A

2

x

y5

6

z

A) (5, 6, 2) B) (2, 6, 5) C) (2, 5, 6) D) (6, 2, 5) E) (6, 5, 2)

253

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

7. A un triángulo de vértices A(– 6, 1), B(– 2, 1) y C (– 3, 4) se le aplica una simetría con respecto al eje X. El área encerrada por el polígono que quede entre los dos triángulos es

A) 4 u B) 6 u C) 8 u D) 10 u E) 20 u

8. En un sistema de coordenadas cartesianas, la distancia entre A(5, 2) y B(a, 6) es 5. Entonces el valor de a es

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

9. ¿Cuál es el área de la figura descrita por los puntos ABDC?

y

x(– 2, 0)

A

5

– 3

C (2, 5)

(4, 0)

D

B(4, – 3)

A) 9 B) 15 C) 16 D) 24 E) 28

10. En la ecuación de la recta y = mx + n, si m = 0 y n < 0 su gráfico sería

A)

x

y B)

x

y

C)

x

y D)

x

y

E)

x

y

11. ¿Cuál es el área del polígono cuyos vértices se ubican en el sistema coordenado de la figura?

y

x

(2, 7)

(5, 4)

(2, 1)

(– 1, 4)

A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

254

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3EjErcicios

12. Al examinar la figura adjunta, el cuadrado ABCD es congruente con A’ B’ C’ D’ siendo este último obtenido por una traslación T. El vector traslación es

2 4 6

6

4

2C

BA

D

C’

B’A’

D’

y

x

A) T (2, 2) B) T (3, 3) C) T (4, 4) D) T (5, 5) E) T (– 4, – 4)

13. Consideramos que un ángulo se dice positivo si

avanza en sentido antihorario, ejemplo 40º

y el ángulo es negativo si se mide en sentido

horario –40º . Dada la figura, A’B’A = 45º,

el triángulo A’ B’ C’ se obtiene del triángulo

A B’ C congruente a través de

C’

A’B’

A

C

A) T(x – a, y – b). B) T(x + a, y + b).C) una rotación de centro B’ y un giro de 45°.D) una rotación y un giro de – 45°, con centro

en B’.E) como una imagen simétrica.

14. Dada la siguiente figura, ¿cuáles son las coordenadas del vértice A al aplicar al ∆ABC una simetría con respecto al eje Y?

x

y

2

B 5

– 8 – 3

2A

– 4 C

A) (7, 2) B) (2, – 8) C) (– 8, 2) D) (– 8, – 2) E) (8, 2)

15. Los triángulos ABC y AB’C’ de la figura son congruentes. Entonces, si hay una rotación con centro en A, la relación que hay con los ángulos x e y es

C’C

B’B

y

x

A

A) x + y = 90°

B) x = – y

C) x = y

D) x = 2y

E) x = y2

255

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 3 Geometría

EjErcicios

16. Se dibuja siguiendo las siguientes instrucciones: trazar 2 cuartos de circunferencia inscritas en un cuadrado con centro en los vértices opuestos y que intersectan los lados del cuadrado en sus puntos medios. Entonces el punto de simetría entre ambos cuartos de circunferencia se encuentra

I) sobre los lados del cuadrado.II) sobre un punto en cualquiera de las 2

circunferencias.III) en la intersección de las diagonales del

cuadrado.

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo I y III.

17. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares le permite(n) a un diseñador teselar el piso plano de una iglesia?

I) Octágonos. II) Hexágonos. III) Cuadrados.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

18. ¿En cuál (es) de las siguientes ecuaciones sus puntos equidistan de los ejes?

I) – x – y = 0 II) – x + y = 0 III) x – y = 0

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

19. El área del paralelógramo cuyos vértices son (– 2, – 1); (– 1, 4); (2, – 1); (3, 4) es

A) 16 B) 20 C) 25 D) 8 + 2 �26 E) 40

20. Se puede determinar un plano si:

(1) A(1, 1); B(2, 3); C(3, 5) (2) D(4, 5)

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

NúmeroAlternativaHabilidad1DAplicación2CConocimiento3CComprensión4DAnálisis5AAplicación6DAplicación7CAplicación8EAplicación9DAplicación10DAnálisis11DAplicación12EAnálisis13DAnálisis14EAplicación15CAplicación16CAnálisis17DAnálisis18DAnálisis19BAplicación20CEvaluación

Respuestas correctas

256

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Capítulo 4

AprendizAjes esperAdos

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre probabilidades en eventos sencillos.

Analizar información cuantitativa relacionando probabilidad y estadística.

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados a la combinatoria, probabilidad y estadística descriptiva.

Analizar la información de tipo estadístico que presentan los medios de comunicación.

258

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4Probabilidad y Estadística

Esta figura conocida como triángulo de Pascal, y también como triángulo de Tartaglia, relaciona las combinaciones de m elementos tomados de n en n, con álgebra, a través del binomio de Newton; en cada fila se encuentran los coeficientes numéricos del desarrollo polinómico de la expresión (x+y)n .

I. Probabilidad

1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo

Supongamos que un elemento a1 puede ser elegido de k1 formas diferentes; otro elemento a2 se puede elegir de k2 formas diferentes, hasta un elemento an que se puede elegir de kn formas diferentes.

Si queremos elegir todos los elementos juntos (desde a1 hasta an), entonces pueden ser elegidos de k1 · k2 · k3 · …… · kn formas distintas.

Ejemplo: ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar usando los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstos pueden repetirse?

Supongamos que tenemos 3 casillas donde cada una corresponde a una cifra:

1ª cifra 2ª cifra 3ª cifra

La primera casilla puede usar todos los números, menos el cero, porque dejaría de ser de 3 cifras. Por lo tanto, hay 6 posibilidades.

La segunda casilla puede usar los 7 números, por lo tanto hay 7 posibilidades.

La tercera casilla puede tomar las cifras 0, 2, 4, 6 para que el número sea par. Luego, hay 4 posibilidades.

Así, con las cifras dadas pueden formarse 6 · 7 · 4 = 168 números pares de tres cifras.

Se define como factorial de un número natural “n” a la multiplicación, sucesiva de los primeros “n” números naturales.

n! = 1 · 2 · 3 · ....... · (n – 1) · n, ∀ n ∈ IN0! = 1! = 1

Sabías que...

259

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

1.2 Permutaciones

1.2.1 Sin repetición

Son los distintos grupos que se pueden formar con esos “n” elementos a la vez, de manera que estos grupos se diferencien sólo en el orden de los elementos que los componen, es decir, que el grupo AB sea distinto de BA.

Pn = n!

Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra disco?

Como las letras de esta palabra no se repiten y se usan todas ellas:

P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Luego, se pueden formar 120 palabras.

1.2.2 Con repetición

Son los distintos grupos que se pueden formar con los “n” elementos, repitiendo algunos de ellos, de manera que estos grupos se diferencien sólo en el orden de los mismos.

Es así como el primer elemento se puede repetir “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces, hasta el último, que se repite “r” veces.

Pr

n=

n!a! · b! · c! · ....... · r!

Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea 9 bolitas, de las cuales 4 son blancas, 3 son amarillas y 2 son azules?

Como se usan las 9 bolitas y, además, las blancas se repiten 4 veces, las amarillas 3 veces y las azules 2 veces, entonces:

P4,3,29 =

9!4! · 3! · 2!

= 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4!4! · 3 · 2 ·1 · 2 · 1

= 9 · 7 · 5 · 4 = 1.260

Se pueden colocar de 1.260 maneras diferentes

1.3 Variaciones

1.3.1 Sin repetición

Corresponde al número de grupos con “k” elementos que se pueden formar con los “n” elementos que tenemos, siendo k ≤ n, tomando en cuenta que influye el orden de sus componentes, de manera que dos grupos con los mismos elementos se pueden diferenciar en el orden de éstos.

Vk

n=

n!(n – k)!

260

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4Ejemplo: En una carrera de automóviles participan 50 autos. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir los 3 primeros lugares?

Para este caso, son grupos formados de 3 en 3. Obviamente, un auto no puede obtener el 1º y 2º lugar a la vez (sin repetición)

V350=

50!(50 – 3)!

= 50!47!

= 50 · 49 · 48 · 47 !

47! = 117.600

1.3.2 Con repetición

Al igual que en las variaciones simples, también corresponde al número de grupos con “k” elementos de un total de “n” elementos, considerando que se pueden repetir.

V(k,k)

n= nk

Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los 9 primeros números naturales?

Al tratarse de números, el orden importa y, además, las cifras se pueden repetir, luego:

V(4,4)

9= 94 = 6.561

Se pueden formar 6.561 números

1.4 Combinaciones

1.4.1 Sin repetición

Es el número de grupos de “k” elementos que se pueden formar con “n” elementos, de manera que se diferencien en alguno de los elementos, por lo que no influye el orden (al contrario de las variaciones), es decir, que el grupo AB es el mismo que BA. Además, un elemento no se repite en el mismo.

Ck

n= ( n

k ) n!k! · (n – k)!

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con los 25 alumnos de un curso?

Evidentemente, no puede haber grupos que tengan exactamente los mismos alumnos y un alumno no puede repetirse en un mismo grupo, luego:

C4

25= (25

4 ) = 25!

4! · (25 – 4)! =

25!4! · 21!

= 25 · 24 · 23 · 22 · 21!

4 · 3 · 2 · 1 · 21! = 12.650

1.4.2 Con repetición

Son combinaciones en las que se considera la repetición de los elementos

C(k,k)

n= ( n + k – 1

k ) = (n + k – 1)!k! · (n – 1)!

261

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

Ejemplo: En una pastelería hay 8 tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas puedo elegir 4 de ellos?

Para este ejemplo puedo considerar la repetición, ya que pueden ser los 4 de un tipo, o de dos tipos, etc.

C(4,4)

8= ( 8 + 4 – 1

4 ) = (8 + 4 – 1)!4! · (8 – 1)!

= 11!

4! · 7! =

11 · 10 · 9 · 8 · 7!4 · 3 · 2 · 1 · 7!

= 11 · 10 · 3 = 330

2. Probabilidades

Desde tiempos antiguos el hombre ha tratado de adivinar su futuro o si ciertos eventos ocurrirán o no. Es así como en la Edad Media se practicaban juegos de azar para apostar dinero. Ya en el siglo XV se empezaron a hacer cálculos de la “ventaja” que tendría un jugador sobre otro. Esta ventaja es muchas veces aparente, debido a que a simple vista podían estar en igualdad de condiciones.

Si vemos el caso del juego Kino, ¿cuál es la probabilidad de ganar un sorteo si compro un cartón? ¿Qué sucede si compro 100 cartones?

• Si compro uno, la probabilidad será de 1 en 3.268.760, es decir, 0,000031%.• Si compro cien, la probabilidad será de 100 en 3.268.760, es decir, 0,0031%.

Si todas las personas que juegan Kino compraran un solo cartón, cada una tendrá la misma probabilidad de ganar.

2.1 Definiciones

2.1.1 Experimento aleatorio

Es aquel que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones: • Es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento.• Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.• Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces.

2.1.2 Espacio muestral (E)

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo.

1 moneda ⇒ 2 posibilidades 2 monedas ⇒ 2 · 2 = 4 posibilidades 3 monedas ⇒ 2 · 2 · 2 = 8 posibilidades n monedas ⇒ 2 · 2 · 2 · 2 · …… · 2 = 2n posibilidades n veces

262

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4Luego, el espacio muestral “E” tiene 2n posibilidades.

Ejemplo: De un conjunto de 4 tarjetas numeradas del 0 al 3, respectivamente, se extraen dos de ellas al azar. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral “E”?

Corresponde a una combinación de 4 elementos tomados de 2 en 2, sin repetición:

C2

4= ( 4

2 ) = 4!

2! · 2! = 6

Luego, el espacio muestral “E” tiene 6 elementos.

2.1.3 Evento o suceso

Corresponde a todo subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio.

2.2 Ley de los Grandes Números

Repitamos un experimento aleatorio n veces. Llamaremos frecuencia absoluta del suceso A al número de casos favorables nA a lo largo de las n repeticiones de la experiencia.

La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el número total de casos.

Podemos afirmar que a medida que aumenta el número de experiencias, la frecuencia relativa se va estabilizando. Es así como la Ley de los Grandes Números plantea que si el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso se va acercando más y más a un cierto valor.

Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, cada uno de ellos lanza un dado 120 veces. Luego 240 veces, a continuación 1.200 veces y por último 2.400 veces.

Las siguientes gráficas muestran cómo al aumentar la cantidad de lanzamientos el resultado se acerca más a la línea que tiene asignada una frecuencia absoluta de 0,16 .

1 2 3 4 5 6

a) 120 lanzamientos

1 2 3 4 5 6

b) 240 lanzamientos

1 2 3 4 5 6

c) 1.200 lanzamientos

1 2 3 4 5 6

d) 4.800 lanzamientos

0,160,16

2.3 Probabilidad clásica o “a priori”

Podemos decir que si en un experimento aleatorio, el espacio muestral E tiene “n” elementos igualmente probables y un evento A subconjunto de E tiene nA elementos, entonces la probabilidad de que ese suceso ocurra se expresa como:

0 ≤ P(A) ≤ 1P(A)=

nA

n

n : casos posiblesna : casos favorables al evento A

263

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, calcula la probabilidad de que ocurra:

• Evento A: que salga un número primo.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 casosCasos favorables: {2, 3, 5} 3 casos

Calculando la probabilidad:

P(A) = casos favorablescasos posibles =

36

= 12

• Evento B: que salga un número mayor que 4.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 casosCasos favorables: {5, 6} 2 casos

Calculando la probabilidad:

P(B) = casos favorablescasos posibles =

26

= 13

2.3.1 Diagrama de árbol

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se comienza estableciendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento.

Ejemplos:

• Al lanzar tres monedas, calcule la probabilidad que se salgan 2 caras y un sello.

Construyendo el árbol respectivo, para determinar todos los resultados del experimento:

1ª moneda 2ª moneda 3ª moneda

C CCC C S CCS C C CSC S S CSS

C SCC C S SCS S C SSC S S SSS

264

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4 Calculando la probabilidad tenemos:

P(dos caras y un sello) = casos favorablescasos posibles =

38

• En un club deportivo se les da a elegir a los jugadores entre varios colores para el buzo y la polera; en los buzos hay azules, verdes y grises; en las poleras hay blancas, amarillas, rojas y celestes. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elija la combinación azul - celeste?

La solución de este problema se puede efectuar mediante diagrama de árbol. El siguiente esquema ilustra la situación a analizar:

Club

Blancas 14

Amarillas 14

Rojas 14

Celestes 14

Blancas 14

Amarillas 14

Rojas 14

Celestes 14

Blancas 14

Amarillas 14

Rojas 14

Celestes 14

Azul 1

3

Verde 1

3

Gris 1

3

La probabilidad de elegir buzo azul es P(A) = 13

La probabilidad de elegir polera celeste es P(C) = 14

Luego, utilizando el principio multiplicativo se tiene: P (azul – celeste) = 13

· 14

= 112

La probabilidad también puede expresarse como porcentaje entre 1 y 100, multiplicando el decimal por 100%.

2.3.2 Tipos de sucesos

a. Suceso imposible

Es aquel que nunca ocurre. Su probabilidad es cero. P(φ) = 0

b. Suceso seguro

Es aquel que siempre ocurre. Su probabilidad es uno. P(E) = 1, donde E es el universo.

265

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

c. Suceso contrario

El suceso A se conoce como suceso contrario de A, es decir, que el suceso A no ocurre. La probabilidad de que ocurra el suceso contrario de A es:

P(A ) = 1 – P(A)

A

E

A

Subconjunto B ⊂ A es el suceso formado por todos los elementos que están en B y que pertenecen también a A. Si el suceso A ocurre, entonces también ocurre B.

Por lo tanto: A

B P(B) ≤ P(A)

2.4 Probabilidad total

Se define la ley de probabilidad total como la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B.

• Si los sucesos son mutuamente excluyentes:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

• Si los sucesos NO son mutuamente excluyentes:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

266

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4• Intersección: A ∩ B es el suceso formado por todos los elementos que son de A y de B a la

vez. En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente.

A B

A ∩ B

• Diferencia: A – B es el suceso formado por todos los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.

A B

A – B

Ejemplo: Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de:

a. Que salga un número menor que 5 o un número par.

b. Que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

Solución

a. Que salga un número menor que 5 o un número par.

Casos posibles: n = 6

Llamemos:

A: que salga un número menor que 5 ⇒ nA = 4 Casos favorables: {1,2,3,4}

B: que salga un número par ⇒ nB = 3 Casos favorables: {2,4,6}

A ∩ B: que salga un número menor que 5 y que sea par ⇒ nA,B = 2 Casos favorables: {2,4}

P(A) = 46

P(B) = 36

P(A ∩ B) = 26

Reemplazando en P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ⇒ P(A ∪ B) =

46

+ 36

– 26

= 56

267

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

b. Que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

Casos posibles: n = 6

Llamemos:

C: que salga un número impar ⇒ nC = 3 Casos favorables: {1,3,5} D: que salga un número múltiplo de 3 ⇒ nD = 2 Casos favorables {3,6} C ∩ D: que salga un número impar y múltiplo de 3 ⇒ nC,D = 1 Casos favorables {3}

P(C) = 36

P(D) = 26

P(C ∩ D) = 16

Reemplazando en P(C ∪ D) = P(C) + P(D) – P(C ∩ D)

⇒ P(C ∪ D) = 36

+ 26

– 16

= 46

= 23

2.5 Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de B condicionada a A, a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

P(B / A)= P(A ∩ B)

P(A)

El valor de P(A) dependerá de si en el experimento aleatorio hay o no reposición de los elementos.

2.6 Probabilidad compuesta

Se define la ley de probabilidad compuesta como la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B.

• Si los sucesos son independientes: Es decir, que la ocurrencia del segundo evento no está influida por la ocurrencia del primero.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

• Si los sucesos son dependientes: Es decir, que la ocurrencia del segundo evento está influida por la ocurrencia del primero.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B/A)

268

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4Ejemplo: Supongamos un experimento aleatorio que consiste en sacar dos fichas de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas. Calcular la probabilidad de que ambas fichas sean rojas.

Llamemos:

A: Que la primera ficha sea rojaB: Que la segunda ficha sea roja

En este ejemplo se nos presentan dos alternativas: con reposición o sin reposición de la primera ficha.

a. Con reposición (independientes)

Casos posibles: n = 7 2 = 49

Casos favorables para A: nA = 3 Casos favorables para B: nB = 3 Casos favorables totales: nA · nB = 3 · 3 = 9

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 37

· 37

= 9

49

b. Sin reposición (dependientes)

Casos posibles: n = 7 · 6 = 42

Casos favorables para A: nA = 3 Casos favorables para B: nB = 2 Casos favorables totales: nA · nB = 3 · 2 = 6

P(A ∩ B) = P(A) · P(B/A) = 37

· 26

= 6

42 =

17

269

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

1. ¿Cuántos números de tres dígitos (sin que se repitan) pueden formarse con los 6 primeros números naturales?

Solución

El número que se pide es de tres dígitos, entonces en el primer dígito se puede usar cualquiera de los seis números. En el segundo dígito se usan sólo 5 de ellos porque no se deben repetir.

6 5 4 Por último, en tercer lugar se pueden usar sólo cuatro de los números. En total tendremos 6 · 5 · 4 = 120 números distintos de tres dígitos.

2. En un concurso se presenta 10 matemáticos y 10 físicos. ¿Cuántos comités pueden formarse si deben constar de 5 matemáticos y tres físicos?

Solución

Hay 10 matemáticos, de los que se escogen 5 de ellos

Hay 10 físicos, de los que se eligen 3 de ellos.

Luego, tenemos una combinación para cada caso:

C5

10= (10

5 ) = 10!

5! 5! =

210 · 9 · 28 · 7 · 6 · 5!5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 5!

= 2 · 9 · 2 · 7 = 252

C3

10= (10

3 ) = 10!

3! 7! =

510 · 39 · 8 · 7! 3 · 2 · 1 · 7!

= 5 · 3 · 8 = 120

Entonces, se formarán 252 · 120 = 30.240 comités

3. En tres lanzamientos de una moneda la probabilidad de que la tercera vez salga cara es: Solución No hay dependencia entre los lanzamientos, por lo tanto la probabilidad que el 3º sea cara es: P(cara) =

12

Ejercicios resueltos

270

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

44. En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. Luego, la probabilidad de que la primera ficha extraída sea

blanca y la segunda extraída sea azul ( sin devolver la primera extracción) es: Solución Como son sucesos independientes, entonces: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Casos totales: 15 · 14 = 210 Casos favorables que sea blanca: 10 Casos favorables que sea azul: 5

P(A) = 1015

P(B) = 514

P(A ∩ B) = 210

315

· 514

= 23

· 5

147

= 521

5. De una tómbola se saca 1 de 35 bolitas numeradas del 1 al 35. ¿Cuál es la probalilidad de que el número de la bolita extraída sea múltiplo de 5?

Solución

De las bolitas numeradas las que son múltiplo de 5 son: 5 – 10 – 15 – 20 – 25 – 30 – 35

P(múltiplo de 5) = 7

35 =

15

6. En un auto bueno funcionan 9 de sus 10 sistemas. En un auto malo no funcionan 6 de los 10 sistemas. Antes de comprarlo puedo hacer examinar sólo un sistema. ¿Cuál es la probabilidad de que si el auto es bueno el examen nos diga que es malo?

Solución

Realizando un diagrama de árbol: funcionan = 9 Bueno no funcionan = 1

Auto

funcionan = 4 Malo no funcionan = 6

Como dicen que el auto es bueno, sólo hay una opción de que el sistema elegido esté malo:

P = 110

= 10%

271

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

EjErcicios

1. ¿Cuántos números de 2 cifras, con repetición pueden formarse con el 3, 2, y 5?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

2. ¿Cuántos números de 10 cifras formados con los números 1 y 2 existen?

A) 49 B) 29 C) 169

D) 210

E) 20

3. ¿De cuántas maneras pueden escogerse 4 lápices de un total de 10 diferentes?

A) C4

6

B) V4

10

C) V4

6

D) C4

10

E) C6

10 – C4

10

4. ¿De cuántas maneras pueden ingresar de una en una, 8 personas a una sala?

A) C8

8

B) P7 C) V7

8

D) P5 + P3

E) P8

5. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de entre 7 hombres y 5 mujeres?

A) 175 B) 350 C) 700 D) 4.200 E) 5.040

6. Si en un restorán tengo 5 entradas distintas y 6 platos de fondo diferentes, entonces, ¿cuántos menús distintos se pueden formar?

A) 56 B) 65

C) 30 D) 11 E) 1,2

7. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra CPECH?

A) 5!

B) 60

C) 4!

D) 25

E) ( 51 )

8. ¿Cuál es la cantidad de ordenaciones distintas que se realizan con los 5 primeros dígitos no nulos, sin repetir ninguno de ellos?

A) 5 B) 25 C) 96 D) 115 E) 120

272

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4EjErcicios

9. Una persona recuerda que un número telefónico de 7 cifras tiene tres cifras iguales a 2 y cuatro iguales a 5. ¿Cuántos números telefónicos tienen tales características?

A) 70 B) 35 C) 25 D) 14 E) 7

10. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 2 hombres y 3 mujeres, entre un total de 35 personas?

A) (352 ) · (35

5 ) B) (35

5 ) C) 210

D) 420

E) Faltan datos para determinarlo.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas salgan una cara y dos sellos?

A) 38

B) ( 18 )3

C) ( 12 )3

D) 3 · ( 12 )

E) 23

12. En una bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas y 3 rojas, todas de igual peso y tamaño. Si se mete la mano una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca?

A) 112

B) 45

C) 811

D) 7

45

E) 215

13. Un test de matemática consta de 20 preguntas. Cada pregunta tiene 5 posibles respuestas, siendo sólo una de ellas la correcta. Si respondes al azar cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad que aciertes todas ellas?

A) 15

· 1

20 B)

15

C)

15

· 20

D) ( 15 )20

E) ( 15 ) 1

20

14. En el lanzamiento aleatorio de dos dados, la probabilidad de que la diferencia entre las pintas que aparecen en ellos sea 2 es

A) 19

B)

26

C)

112

D) 29

E) 16

273

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

EjErcicios

15. Una tómbola contiene dos bolitas blancas y cinco rojas, todas de igual peso y tamaño. La probabilidad de sacar al azar, sin reposición, primero una bolita blanca y luego una roja es

A) 1049

B) 27

C) 521

D) 421

E) 721

16. En un juego, la probabilidad de que una bolita acierte a una campana, que indica el puntaje

máximo, es 15

. Entonces, la probabilidad

de que en dos jugadas seguidas no logre el

puntaje máximo es

A) 2

25

B) 4

25

C) 1625

D) 15

E) 25

17. Jimena participa en una rifa de su trabajo comprando un número de los 10 que tiene un talonario de la rifa. Si hay 20 talonarios de la rifa en total, de 10 números cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que Jimena gane el premio mayor?

A) 0,00005 B) 0,0005 C) 0,005 D) 0,05 E) 0,5

18. Si la probabilidad que un atleta A gane es 15

y

la de un atleta B es 16

, entonces, ¿cuál es la

probabilidad de que cualquiera de ellos gane si

ambos participan en una misma carrera?

A) 1

30 B)

15

C)

16

D) 1130

E) 56

19. Si la probabilidad de que un alumno egrese

de la universidad es 16

y de que se case ese

mismo año es de 25

, ¿cuál es la probabilidad

de que salga de la Universidad y NO se case

ese año?

A) 110

B) 15

C) 23

D) 2330

E) 2930

274

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4EjErcicios

20. En una Facultad se cursan las carreras de Construcción Civil, Derecho y Enfermería. Los alumnos matriculados se distribuyen entre las tres áreas en un 25%, 25% y 50%, respectivamente. Si de cada curso finalizan sus estudios el 20%, 25% y 15% de los alumnos de cada carrera respectivamente, ¿qué probabilidad existe de que al elegir un estudiante al azar, éste haya finalizado su carrera?

A) 35

B) 14

C) 6

25

D) 110

E) 316

NúmeroAlternativaHabilidad1EAplicación2DAplicación3DAplicación4EAplicación5BAplicación6CAplicación7BAplicación8EAplicación9BAplicación10EAnálisis11AAplicación12BAplicación13DAplicación14DAplicación15CAplicación16CAplicación17CAplicación18DAplicación19AAnálisis20EAnálisis

Respuestas correctas

275

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

II. Estadística

1. Conceptos básicosTodo estudio estadístico esta referido a una colección (conjunto) de personas o cosas. La colección o conjunto de personas se llama población. Las personas, cosas o entes que forman parte de una población se denominan individuos. Un elemento de esta población puede ser algo con existencia tangible (edificios, casas, automóviles, bicicletas, radios, televisores, microbuses, etc.), o algo más abstracto (intervalos de tiempo, temperatura, coeficientes numéricos, etc.). A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así, por ejemplo, si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella las siguientes características: sexo, edad, años de escolaridad, profesión, peso, altura, color de ojos, color de pelo, estado civil, etc. Lo anterior indica que se pueden estudiar una o más características de los individuos o elementos de una población. Normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población; para ello se considera un subconjunto llamado muestra. Este subconjunto o subpoblación está formado por elementos de la población que comparten una determinada característica. Para entender los conceptos anteriormente mencionados, se deben distinguir algunas definiciones básicas, tales como:

a. Población

Es la colección o conjunto de individuos, objetos o eventos que poseen características comunes, cuyas propiedades serán analizadas.

• Población finita: Cuando el número de elementos que la forman es finito, es decir, se puede conocer el número de elementos de dicha población, por ejemplo, el número de alumnos de un centro de enseñanza o grupo clase.

• Población infinita: Cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos, es decir, no se puede conocer el número de elementos de dicha población. Por ejemplo, si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado, hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita.

b. Individuos

Se llama individuo o variable estadística a cada uno de los integrantes de la población cuya propiedad o característica se quiere estudiar. En este caso se entenderá que al referirnos a una población no se trata necesariamente de un conjunto de personas; así también, un individuo no es necesariamente una persona.

c. Muestra

Es un subconjunto de la población.

d. Variables

Al determinar características de los individuos, éstas se describen a través del uso de variables. Estas variables pueden ser, de acuerdo a su recorrido, de dos tipos: cualitativas o cuantitativas. Las variables cualitativas o de atributo son aquellas que para su definición requieren características no numéricas del individuo, como sexo, estado civil, color de ojos, etc.

Variable cualitativa

Color País

Blanco Brasil

Rojo Chile

Azul Perú

Verde Ecuador

Variable cuantitativaAño Vida media (años)1990 1001991 2001992 3001993 4001994 500

276

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4 Las variables cuantitativas describen al individuo por medio de características numéricas, como edad,

número de hermanos, años de escolaridad, etc. A su vez, las variables cuantitativas se pueden subdividir en:

• Cuantitativas discretas: Son aquellas a las que se les puede asociar un número entero, y por su naturaleza no permiten un fraccionamiento de la unidad por ejemplo, el número de hijos.

• Cuantitativas continuas: Son aquellas en las que la variable puede tomar cualquier valor expresado por un número real por ejemplo, el tiempo transcurrido.

Cuantitativa continua

Peso (kg) Frecuencia

55-59 0

60-64 5

65-69 5

70-74 8

75-79 12

Cuantitativa discretaPuntaje Frecuencia

400 4

500 15

600 36

700 34

800 3

e. Escalas de medición

La medición es el proceso mediante el cual se le asignan valores numéricos a objetos siguiendo determinadas reglas. Los instrumentos que se utilizan para ello se denominan escalas de medición, las cuales son la nominal, la ordinal, la de intervalo y la de razón.

Las variables medidas en escala nominal u ordinal son de tipo discreto, pues toman un número finito de valores.

Las variables medidas en escala de intervalo son de tipo continuo, ya que pueden tomar cualquier valor.

• Escala nominal: Es aquella que permite únicamente establecer relaciones de igualdad/desigualdad entre los objetos que se están midiendo. Los números asignados a dichas variables se pueden sustitutir por letras o nombres sin que ello afecte al resultado de la medición, la cual es una mera clasificación de objetos. Por ejemplo, a la variable estado civil, se le asignan en algunos casos los valores de “1” a las personas solteras, “2” a la personas casadas y “3” a las personas viudas o simplemente se les asigna una letra, como la primera letra de la palabra. Por ejemplo, “s” a las solteras, “c” a las casadas y “v” a las viudas.

• Escala ordinal: Es aquella que además de relaciones de igualdad/desigualdad, permite establecer relaciones de orden entre los objetos que se están midiendo. Dado cualquier par de números de una escala ordinal, se puede afirmar si son iguales o diferentes y si uno es mayor o menor que el otro. Sin embargo, no se puede realizar operaciones aritméticas con los números, ya que no se puede asumir que los intervalos que los separan son iguales. Por ejemplo, un psicólogo, al entrevistar candidatos para un puesto de trabajo, establece una escala que le permite determinar que los candidatos más idóneos poseen las categorías 1, 2, 3, 4,... etc. Sin embargo, no podemos establecer cuál es la diferencia entre el candidato “1”, el candidato “2”, y así sucesivamente.

• Escala de intervalo: Es aquella que permite establecer las relaciones de igualdad/desigualdad y de orden entre los objetos que se miden. Los intervalos entre los números de la escala son iguales, por lo tanto, se pueden realizar las operaciones suma y resta. Este tipo de escala carece de un cero absoluto, por lo que no están permitidas ni la múltiplicación ni la división entre los números de la escala. Ejemplo: como en escala para medir la temperatura en grados celcius los intervalos son iguales, se puede afirmar que la diferencia de temperatura que existe entre 25 y 28 grados es la misma que existe entre 30 y 33 grados. Sin embargo, dado que el punto 0 de la escala es arbitrario, no existe ausencia de temperatura, no se puede afirmar, por ejemplo, que 20 grados es exactamente la mitad de 40 grados.

277

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

• Escala de razón: Es aquella que permite el nivel más alto de medición. Además de las operaciones que se permiten en las escalas anteriores, en una escala de razón existe el 0 empírico, por lo cual se pueden efectuar operaciones aritméticas con los números de la escala. El tiempo de reacción, por ejemplo, es una variable medida en escala de razón. No sólo se puede afirmar que la diferencia entre 3 y 6 segundos es la misma que entre 6 y 9 segundos (afirmación válida también en la escala de intervalos), sino, además, que 6 segundos es el doble de 3 segundos, afirmación que es posible establecer gracias a que en la escala de tiempo de reacción existe el cero absoluto. Cero segundos significa ausencia de tiempo de reacción.

2. Tipos de gráficos

La forma más fácil de mostrar la infomación es a través de la respresentación gráfica de las observaciones que posee cualquier variable. Ésta a la vez permite una rápida comprensión de las variaciones que posee los valores u observaciones de una variable. El diseño de cada gráfico está ligado al tipo de dato que contiene la distribución, así tenemos gráficos de barra, circulares, de dispersión, histogramas, polígonos de frecuencia, pictogramas, etc.

El objetivo principal de un gráfico es resumir toda la información en una estructura que integre la situación, para así realizar en forma rápida un análisis general.

2.1 Gráficos de barras

Cada valor de las variables se representa mediante una barra proporcional a la frecuencia con que se presenta. Son apropiados para datos medidos en escala nominal u ordinal.

Brasil

País

2

0Chile Perú Uruguay Bolivia Ecuador

Con

sum

o de

Car

ne (

tone

lada

s)

4 6 8

10

12

14 16 18

20

Consumo de carne Sudamericano por país

278

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

4Permite la comparación de dos o más variables, es decir, permiten comparar grupos respecto de una misma variable.

Glóbulos blancos

Glóbulos rojos

Número de Muestras

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5Can

tida

d de

gló

bulo

s po

r 1.

000

en u

n m

etro

cúb

ico

En los gráficos debe ir claramente especificado lo que cada uno de los ejes representa. En general:

El eje horizontal X se usa para escribir los diferentes ítemes de la información.

El eje vertical Y es el que se usa para la frecuencia de las observaciones correspondientes a una o más variables, dependiendo si es un gráfico de barras o un gráfico de barras comparadas.

Nótese que el ancho de todas las barras es el mismo.

2.2 Histogramas

Se usa para variables agrupadas en intervalos, asignando a cada intervalo un rectángulo de superficie proporcional a su frecuencia. Su diferencia de un diagrama de barras es que en éste las barras están separadas, mientras que en el histograma están juntas, pues la variable es continua.

60-64

Puntajes de una prueba

2

065-69 70-74 75-79 80-84 85-89

Núm

ero

de a

lum

nos

4

6 8

10

12 14

16 18

279

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

2.3 Polígonos de frecuencias

Es la línea que une los puntos correspondientes a las frecuencias de cada valor (extremos superiores de las barras). Se deben tomar siempre dos puntos cuya frecuencia sea cero, correspondientes al inicio y fin del polígono.

57

Edad (años)

2

0

62 67 72 77 72

Núm

ero

de p

erso

nas

4

6 8

10

12 14

16 18

20

87 92

2.4 Gráficos circulares Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar. Pueden ser:

Perfumería

Electrónica

JuguetesLinea Blanca

Distribución de ventas de una multitienda• En dos dimensiones

Población del mundo por continente

Oceanía28.956.000habitantes

América del Norte388.073.000habitantes

Asia3.499.626.000

habitantes

América del Sur317.846.000habitantes

África 720.363.000

habitantes

Europa729.370.000habitantes

América Central y Caribe68.302.000habitantes

• En tres dimensiones

280

Cpec

h P

reun

iver

sitar

ios

capí

tulo

42.5 Pictogramas

Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero éstos emplean dibujos en una determinada escala para representar la unidad de medida de los datos utilizados. Se suelen utilizar para expresar atributos. El tamaño de los dibujos suele guardar relación con la frecuencia de las observaciones de la variable en estudio.

• En dos dimensiones

3 15 2 11 14

10 5 12 7

3 15 2 11 14

10 5 12 7

9 8 6

3 15 2 11 14

10 5 12 7

9 8 6

4 13

1

• En tres dimensiones

Golosinas Golosinas Golosinas

3. Distribución de frecuencias

Una vez recogidos una gran cantidad de datos para un estudio estadístico, se deben ordenar de tal forma que se pueda sacar la mayor cantidad de conclusiones de ellos.

Por ejemplo, tomemos los siguientes datos:

En el Instituto Profesional de Chile se tomó un ensayo de diagnóstico de habilidades matemáticas en el período de Admisión en abril del 2004, que arrojó los siguientes resultados:

Carrera Total alumnos % de participación Promedio Desviación1 1.315 35,4 528 90,47

2 781 81,4 494 84,843 869 58 507 88,144 463 44,3 512 92,925 974 53 530 93,276 518 47,5 532 92,067 387 59,2 543 87,228 712 56,9 508 88,169 1.252 70,1 493 85,58

10 499 78,8 498 86,07

281

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

Podemos afirmar que:

a. Hubo un mayor porcentaje de participación en la carrera N° 2 (81,4%).

b. La carrera con mayor cantidad de alumnos inscritos en el diagnótico es la N° 1 (1.315).

c. El puntaje promedio menor pertenece a la carrera 9 (493 ptos.).

d. El puntaje promedio mayor pertenece a la carrera 7 (543 ptos.).

e. La mayor desviación la tiene la carrera 5, es decir, que los puntajes se alejan 93,27 puntos de su promedio. El siguiente cálculo permite determinar el intervalo en que se encuentran la mayor cantidad de puntajes en esta carrera: 530 – 93,27 y 530 + 93,27, luego el intervalo es [436,73 ; 623,27].

Existen diversas formas de organizar datos. A continuación se describen algunas de las formas.

3.1 Tablas de datos NO agrupados

Es una tabla en la cual sólo aparecen los datos que se obtuvieron de la investigación científica o de algún experimento aleatorio. Es la tabla más sencilla para organizar datos y se utiliza cuando no se necesita mayor información acerca de los datos. Estas tablas se construyen por medio de la tabulación de las observaciones. Este procedimiento es relativamente sencillo. Para realizarlo nos ocupamos de un conjunto de datos estadísticos obtenidos al registrar los resultados de una serie de “n” repeticiones de algún experimento u observación aleatoria. Se supone que las repeticiones son mutuamente independientes y que se realizan en condiciones ideales. Es importante decir que el resultado de cada observación puede expresarse de forma numérica. Para este tipo de tablas de datos, se puede trabajar con una o más variables, de manera que nuestro material estadístico consiste en “n” valores observados de alguna variable aleatoria Xj.

Los valores observados se suelen registrar, en primer lugar, en una lista si el número de observaciones no excede de 20 ó 30; estos datos se registran en orden creciente de magnitud.

Con los datos de esta tabla pueden hacerse diversas representaciones gráficas y calcularse algunas características numéricas, tales como la media aritmética (o promedio), la mediana, etc.

Ejemplo 1: Agrupar en una tabla de datos el siguiente conjunto de valores: {10, 1, 6, 9, 2, 5, 7, 4, 3, 8}. La siguiente tabla muestra la agrupación de las observaciones en forma ascedente:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplo 2: Las notas de los alumnos en una prueba de Matemática fueron las siguientes:

3,0 6,5 7,0 4,5 3,5

6,0 5,5 6,0 6,5 3,5

4,0 7,0 3,0 5,5 6,0

7,0 2,5 7,0 4,0 6,5 Agrupar las observaciones de acuerdo a la cantidad de veces que se repite cada nota (frecuencia).

282

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4La siguiente tabla muestra los datos ordenados:

Notas Frecuencia2,5 1

3,0 2

3,5 2

4,0 2

4,5 1

5,5 2

6,0 3

6,5 3

7,0 4

3.2 Tablas de datos agrupados

• Si la variable es cuantitativa continua, debemos agrupar los datos en intervalos, ya que los valores de la variable en estudio son representados por números reales (IR).

• Si la variable es cualitativa o cuantitativa discreta, se agrupan los datos en valores enteros, es decir, los valores de la variable son representados por números enteros (Z), por lo general positivos.

Luego de construir una tabla de distribución de frecuencias solamente con el número de repeticiones que posee el recorrido de la variable (frecuencia), podemos realizar o determinar el gráfico que representa de mejor forma a nuestra variable. Es importante mencionar que los gráficos más utilizados son los gráficos de barra con sus respectivas poligonales y los gráficos circulares.

Ejemplo:

59

2

64 69 74 79 84 89 94 98

4

6

8

10

12

14

Frecuencia

Número de artículos vendidos

Intervalo de clases Frecuencia acumulada59-63 764-68 1069-73 1674-78 3079-83 3584-88 4089-93 4394-98 48

También se pueden agregar a la frecuencia de la variable (f), la frecuencia acumulada (F), la frecuencia relativa (h) y la frecuencia relativa acumulada (H).

283

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Valor) Simple(f) Acumulada(F) Simple(h) Acumulada(H)

X1 f1 F1 = f1 h1 = f1n

H1 = h1

X2 f2 F2 = f1 + f2 h2 = f2n

H2 = h1 + h2

... ... ... ... ...

Xn – 1 fn – 1 Fn – 1 = f1 + f2 +..+ fn – 1 hn – 1 = fn – 1

n Hn – 1 = h1 + h2 +..+hn – 1

Xn fnFn =

n∑

i = 1 fi hn =

fnn

Hn = n∑

i = 1 hi

• Siendo X : los distintos valores que puede tomar la variable, como número entero o como intervalos.

• Siendo n : el número total de observaciones de la variable.

• Siendo f : el número de veces que se repite cada valor.

• Siendo h : el porcentaje de la repetición de cada valor sobre el total de observaciones.

Ejemplos

1. Si se miden las alturas de los niños de una clase, se obtienen los siguientes resultados medidos en centímetros (cm):

Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura 1 1,25 11 1,23 21 1,21 2 1,28 12 1,26 22 1,29 3 1,27 13 1,30 23 1,26 4 1,21 14 1,21 24 1,22 5 1,22 15 1,28 25 1,28 6 1,29 16 1,30 26 1,27 7 1,30 17 1,22 27 1,26 8 1,24 18 1,25 28 1,23 9 1,27 19 1,20 29 1,22 10 1,29 20 1,28 30 1,21

Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia:

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas

(Valor) Simple Acumulada Simple Acumuladax f F f F

1,20 1 1 3,3% 3,3%1,21 4 5 13,3% 16,6%1,22 4 9 13,3% 30,0%1,23 2 11 6,6% 36,6%1,24 1 12 3,3% 40,0%1,25 2 14 6,6% 46,6%1,26 3 17 10,0% 56,6%1,27 3 20 10,0% 66,6%1,28 4 24 13,3% 80,0%1,29 3 27 10,0% 90,0%1,30 3 30 10,0% 100,0%

284

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42. Agrupar en una tabla el siguiente conjunto de números enteros: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5}.

X f1 22 43 34 15 1

n = 11

3. Agrupar en una tabla de distribución de frecuencias, las siguientes estaturas mediante la utilización de 6 intervalos de igual amplitud.

160, 168, 175, 183, 170, 164, 170, 184, 171, 168, 187 161, 183, 175, 185, 186, 187, 164, 165, 175, 162, 188 169, 163, 166, 172, 173, 167, 174, 176, 178, 179, 177

Solución:X f

160 – 165 6165 – 170 6170 – 175 6175 – 180 7180 – 185 3185 – 190 5

n = 33

4. Medidas de tendencia central

Si se posee un conjunto de observaciones de alguna variable aleatoria, existen algunos indicadores que entregan información resumida acerca de dichas observaciones.

4.1 Media aritmética o promedio (x)

Es el valor que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el número total de éstos. Es decir:

x =

n∑

i = 1 xi

n

n: nº de datos de la muestraxi: dato “i” de la muestra

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, entonces se define:

x =

k∑

i = 1(xi · fi)

n

fi: frecuencia del dato “i”k: número de datos distintos

285

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

4.2 Mediana (Me)

En una muestra cuantitativa discreta la mediana de un conjunto de datos es el valor que ocupa la posición central cuando los datos han sido ordenados en forma creciente (o decreciente). La mediana es el valor que deja por debajo y por encima de él, el mismo número de observaciones, es decir, existe un 50% inferior y un 50% superior a ella. En una lista ordenada, con datos sin agrupar, se observan los siguientes casos:

• Si el número de observaciones es impar, la mediana corresponde al valor central.

Ejemplo:

Me = 5

2, 3, 5, 5, 7

Luego, el número central “5” representa a la Mediana de las observaciones.

• Si el número de observaciones es par, la mediana corresponde al promedio entre los dos valores centrales

Ejemplo:

2, 3, 5, 5

Me = 3 + 5

2 = 4

Luego, el número central “4” se obtiene por la semi-suma entre los dos datos centrales del conjunto de observaciones.

En resumen, la mediana es el dato central, si éstos están ordenados. Además, lo anterior se puede resumir en las siguientes conclusiones:

• Si n es impar, es el dato n + 1

2 .

• Si n es par, es la media aritmética de los dos datos centrales, n2

y n2

+ 1

Conceptos fundamentales

4.3 Moda (Mo)

Una tercera medida es la moda, o sea, el valor más frecuente. Cuando los datos están sin agrupar, la moda se determina por la simple inspección de la lista ordenada.

Ejemplo: x 10 10 11 12 12 12 12 16

Frecuencia: 2 1 4 1

Moda: 12

286

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4Para calcular la moda de una tabla de distribución de frecuencias en una muestra cuantitativa discreta con datos tabulados en intervalos, previamente se busca la frecuencia absoluta mayor dentro de intervalos. Ésta será la clase Modal, que es la clase que contiene a la Moda. En el ejemplo, la Moda es 12. Ejemplo: Determinar la mediana, la moda y media aritmética (o promedio) de los siguientes datos:

2 – 10 – 3 – 3 – 4 – 6 – 12 – 8 – 4 – 5 – 4 Solución Ordenando de menor a mayor se tiene:

2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 6 – 8 – 10 – 12

La moda es el número 4, porque se repite más veces.La mediana es el número 4, porque está en la mitad de todos los datos.La media aritmética, con los datos no agrupados será:

x =

n∑

i = 1xi

n = 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12

11

x = 6111

= 5,54

Si agrupamos los datos, tendríamos la siguiente tabla de frecuencia:

xi fi

2 1

3 2

4 3

5 1

6 1

8 1

10 1

12 1

n = 11

5. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión dan una idea del “alejamiento” de los datos respecto de las medidas de centralización.

5.1 Varianza (s 2)

Es la media aritmética de las diferencias al cuadrado de cada dato respecto a la media aritmética de ellos. Si la variable está dada en cm, la varianza se mide en cm2.

s2 =

n∑

i = 1(xi – x)2

n

287

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

5.2 Desviación típica o estándar (s)

Es la raíz cuadrada de la varianza. Es más usada que la anterior, ya que tiene las mismas unidades de la variable estudiada.

s = �n∑

i = 1(xi – x)2

n

Si los datos están agrupados, entonces:

s = �k∑

i = 1 fi (xi – x)2

n

La desviación típica es una medida de la desigualdad de los datos estudiados, es decir, a mayor desigualdad corresponde mayor desviación típica o que hay mayor dispersión de los datos.

El valor de s indica la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria X.

Por analogía con las variables estadísticas, la desviación típica de una variable X será pequeña o grande según la gráfica de su función de densidad sea, respectivamente, estrecha o ancha en torno a la media aritmética.

s pequeña s grande

1. Si en una muestra no agrupada la desviación típica o estandar es 0, se puede concluir siempre que

I) los datos son todos iguales. II) la media aritmética (o promedio) es igual a la mediana. III) si a la muestra se le elimina uno de los datos, la desviación estandar no varía.

Solución

Si la desviación estándar es 0, esto nos indica que los datos no están dispersos con respecto a las medidas de centralización, es decir, no hay desigualdad entre los datos. Luego, los datos son todos iguales (I)

Al ser iguales los datos, la media aritmética (o promedio) y mediana adquieren el mismo valor (II)

Al eliminar uno de los datos, los restantes siguen siendo iguales, por lo tanto, la desviación es 0, no varía. (III)

Se puede concluir que las tres afirmaciones son verdaderas.

Ejercicios resueltos

288

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42. Si la media aritmética (o promedio) entre 9 notas es un 5, ¿cuál será el nuevo promedio si se eliminó la

nota más baja que era un 1?

Solución

Si el promedio de 9 notas es un 5 esto nos indica que la suma de todas ellas es 45. Luego, si le restamos 1, la suma de las 8 restantes es 44.

El nuevo promedio será x = 448

= 5,5

3. De los números 3, 4, 6, 7 y 9, ¿cuál se debe eliminar para que la mediana de los restantes sea 5,5?

Solución

Al eliminar uno de ellos, quedan cuatro números. Como están ordenados, el promedio de los dos centrales debe ser 5,5 o, sumados, deben dar 11.

Si se elimina el 3, los dos centrales son el 6 y el 7. Su promedio es 6.5

Si se elimina el 4, es igual al caso anterior.

Si se elimina el 6, los dos centrales son el 4 y 7 , en promedio es 5,5, Por lo tanto, se debe eliminar el 6.

4. Dada la siguiente muestra aleatoria

7, 5, 2, 12, 11, 3, 2, 5, 6, 9, 11, 4, 8, 7, 13, 10, 1

Determine la media aritmética (o promedio) de las modas

Solución

Tabulando la información se tiene:

xi fi

1 12 23 14 15 26 17 28 19 110 111 212 113 1

n = 17

Se observa que las modas son

2, 5, 7 y 11

Entonces, la media aritmética entre ellas es:

x = 2 + 5 + 7 + 11

4 = 6,25

289

Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

5. En un colegio el promedio (o media aritmética) entre las edades de los alumnos de 4° básico es 9,2 años y se sabe que por cada nivel que se avanza de escolaridad, la edad media aumenta en promedio 1,1 años. Determine cuál es el promedio aproximado de las edades entre los alumnos desde 4° básico hasta 2° medio, si todos los cursos tienen igual cantidad de alumnos.

Solución

Según los datos, se tienen los siguientes promedios de edades por nivel:

Nivel Edad Media

4° Básico 9,2

5° Básico 10,3

6° Básico 11,4

7° Básico 12,5

8° Básico 13,6

1° Medio 14,7

2° Medio 15,8

Entonces, el promedio entre las edades por nivel es:

x = 9,2 + 10,3 + 11,4 + 12,5 + 13,6 + 14,7 + 15,87

x =12,5 años

6. En un colegio se envía una comunicación por familia. Si se despachan 120 comunicaciones y además se sabe que son 240 alumnos en total, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Las 120 familias tienen más de un hijo en el colegio.II) La moda de hijos por familia es de 2.III) Si una familia tuviese 3 hijos en el colegio, necesariamente al menos una familia tiene sólo un hijo en

él.

Solución

I y II no siempre son verdaderas, además no conocemos las frecuencias parciales de la cantidad de hijos por familia en el colegio.

Si no se cumpliese la III, las 119 familias restantes deberían tener en total un mínimo de 238 hijos (con un mínimo de 2 hijos por familia). Si se le suman los 3 hijos de la familia restante, hacen un total de 241 hijos. Por lo tanto, como sobra un hijo, debe haber al menos una familia con un solo hijo.

290

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4EjErcicios

1. La media aritmética (o promedio) de 6, 5, 4, 6, 6 y 3 es

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. Dados los siguientes datos: 9 - 8 - 7 - 8 - 6 - 10, la moda es

A) 6 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 9

3. Dados los datos: 6 - 5 - 4 - 6 - 6 - 3, la mediana es

A) 0,25 B) 3 C) 4,5 D) 5,5 E) 6

4. Dados los siguientes datos: 3 - 6 - 4 - 6 - 5 - 6, la desviación típica es

A) �23

B) �32

C) � 43

D) 1

E) 3�2

3

5. En el gráfico de la figura, el número de datos de la muestra es

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7Puntajes · 102

0

Frecuencia

A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

6. La tabla adjunta muestra la distribución de puntajes obtenido por un grupo de estudiantes. La moda es

Puntajes Frecuencia100 2200 2300 3400 7500 9600 7700 2

A) 100 B) 400 C) 500 D) 600 E) 700

291

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

EjErcicios

7. En el gráfico de la figura, ¿cuántos puntajes iguales a 600 hay en la muestra?

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7Puntajes · 102

0

Frecuencia

A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

8. La media aritmética (o promedio) de los datos a, 3a, 6a, 7a, y 2a es

A) a

B) 19a

C) 19a

5

D) 195

E) 19

9. De los números 7, 12, 15, 21, 27, ¿cuál se debe eliminar para que la media aritmética (o promedio) entre los restantes sea 15,25?

A) 7 B) 12 C) 15 D) 21 E) 27

10. Si las puntuaciones de un juego son: 1 - 5 - 7 - 10 - 15 - 10 - 6 - 5 - 1 - 1 - 5, entonces la mediana es

A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

11. La tabla adjunta muestra los promedios finales de notas obtenidos por 20 alumnos de un curso. El porcentaje de alumnos aprobados del curso es

Intervalo Frecuencia

[1,2[ 0

[2,3[ 1

[3,4[ 2

[4,5[ 10

[5,6[ 4

[6,7] 3

Nota: Se aprueba con nota ≥ 4

A) 15% B) 50% C) 70% D) 85% E) 95%

292

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4EjErcicios

12. La frecuencia de un intervalo significa que

I) todos los valores que pertenecen al intervalo tienen la misma frecuencia.

II) es el número de datos de la muestra que están dentro de ese intervalo.

III) es el total de datos de la muestra. Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y III. E) sólo II y III.

13. Si el promedio (o media aritmética) de las edades de 3 personas es 18, y si una tiene 20 años y la otra 15, entonces la edad de la tercera es

A) 15 años B) 16 años C) 17 años D) 18 años E) 19 años

14. Si de un curso de 20 alumnos, 7 tienen nota mayor o igual que cuatro en escala del 1 al 7, entonces se cumple siempre que

I) la frecuencia del intervalo [4,7] es 7. II) la frecuencia del intervalo [4,5] es 2. III) la frecuencia del intervalo [5,7] es 3. Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y III. E) I, II, y III.

15. El siguiente gráfico representa un total de 600 elementos. ¿Cuál es la frecuencia de la categoría B?

AB

D

C

C = 90°B = 60°A = 30°D = 180°

A) 6 elementos. B) 60 elementos. C) 100 elementos. D) 150 elementos. E) 300 elementos.

16. ¿Cuál(es) de los siguientes datos es(son) el(los) más disperso(s)?

I) x = 30 s = 5 II) x = 30 s = 3 III) x = 30 s = 10

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguno de ellos.

17. Si un alumno debe aprobar una asignatura con promedio (o media aritmética) 4,0 con 6 notas y la suma de las primeras cinco notas es 21,3, ¿qué nota debe sacarse en la última prueba como mínimo?

A) 1,7 B) 2,7 C) 3,7 D) 4,7 E) 5,7

293

Cpech Preuniversitarios

capítulo 1Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

EjErcicios

18. La estatura media de un equipo de basketball es de 197 cm. Si se saca al integrante más bajo (170 cm) e ingresa el más alto (205 cm), ¿cuál es la nueva estatura media? (Un equipo de basketball tiene 5 jugadores)

A) 183,5 cm B) 191 cm C) 201 cm D) 204 cm E) 205 cm

19. Dada la siguiente tabla, se puede afirmar que

Nota Frecuencia

[1 ; 2,5] 250

]2,5 ; 4] 150

]4 ; 5,5] 100

]5,5 ; 7] 20

I) hay 100 alumnos con nota mayor a 4.II) la nota promedio está entre ]2,5 ; 4].III) en total hay 520 alumnos en el

colegio.

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo II y III.

NúmeroAlternativaHabilidad1CAplicación2DComprensión3DAplicación4CAplicación5DAplicación6CConocimiento7DComprensión8CAplicación9DAplicación10BAplicación11DAplicación12BAnálisis13EAplicación14AAnálisis15CComprensión16CAnálisis17BComprensión18DAplicación19EAnálisis20EAnálisis

Respuestas correctas

20. Sean los datos 1, 3, 5, 7 y 9. Si a cada uno le sumamos 12, podemos decir que

I) la nueva media aritmética (o promedio) es 17.

II) la nueva mediana es 9.III) la nueva desviación típica (estándar)

es �8 .

Es(son) verdadera(s)

A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo I y III.

294

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4

SIMBOLOGÍA

Concepto Símbolo Concepto Símbolo

Tal que / Existe un único ∃!

Paralelo // No existe un único ∃!

No paralelo // Tal que ∃

Igual = Conjunto con los elementos “a” {a}

Distinto ≠ Conjunto vacío { }

Idéntico ≡ Conjunto vacío ∅

Semejante ~ Conjunto universo U

Congruente ≅ Unión ∪

Menor que < Intersección ∩

Mayor que > Ángulo <

Menor o igual que ≤ Triángulo ∆

Mayor o igual que ≥ Circunferencia ⊗

Luego; Si, ..., entonces ⇒ Círculo

Si y sólo si ⇔ Paralelógramo o cardinalidad #

Por lo tanto ∴ Conjunto de los números naturales IN

y ∧ Conjunto de los números cardinales IN0

o ∨ Conjunto de los números enteros Z

Pertenece a ∈ Conjunto de los números racionales Q

No pertenece a ∉ Conjunto de los números irracionales Q*

Es subconjunto de ⊆ Conjunto de los números reales IR

No es subconjunto de ⊆ Conjunto de los números imaginarios II

Para todo ∀ Conjunto de los números complejos C

Existe ∃ No existe ∃

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Cpech Preuniversitarios

Capítulo 4 Probabilidad y Estadística

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