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Algebra de Boole/Automatismos cableados

lgebra de BooleAutomatismos cableados

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Introduccin Se ha modelado la realidad como 0s y 1s La salida es una funcin de las entradas Cmo se forma la funcin?

lgebra de Boole Cmo se simplifica?

lgebra de Boole Cmo se implanta?

Depende de la tecnologa elegida

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Algebra de Boole Un lgebra est definida por:

Un conjunto de elementos Un conjunto de operaciones que actan sobre los miembros de

y que cumplen unas ciertas propiedades El Algebra de Boole (caso ms simple) se define por:

Un conjunto B con slo dos elementos {0,1} Un conjunto de operaciones (lgicas) {+,,} definidas sobre B

2 operaciones binarias (f(x,y)): (+) funcin suma, funcin O, funcin OR () funcin multiplicacin, funcin Y, funcin AND

1 operacin monaria (f(x)): ( ) funcin negacin, funcin NO, funcin NOT

tales que para x,y,z B se cumplen las siguientes propiedades: Postulados de Huntington

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Postulados (axiomas) de Huntington Conjunto cerrado:

xy B, x+y B, x B Ley conmutativa:

x+y=y+x xy=yx

Ley asociativa: (x+y)+z=x+(y+z) (xy)z=x(yz)

Ley distributiva: (x+y)z=xz+yz x+yz=(x+y)(x+z)

Identidad: x+0=x x1=x

Complemento x+x=1 xx=0

En la siguiente transparencia se definen las operaciones bsicas. Todas ellas cumplen los postulados de Huntington. Puede haber otra definicin que tambin los cumpla.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Definicin operaciones bsicas/tablas de verdad Funcin suma lgica, O o OR

Para activar la salida, a o b tienen que estar activas

Funcin producto lgico, Y o AND

Para activar la salida, a y b tienen que estar activas

Funcin complemento, NO o NOT

a b a+b0 0 0

10 11 0 1

11 1

a b ab0 0 0

10 01 0 0

11 1

a a0 1

01

a

bc = ab

a

bc = a+b

b = aa

1 + 1 = 1 !!

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Variables, expresiones lgicas, tablas de verdad Variable lgica (booleana)

Variable perteneciente a B Por tanto, slo puede tener dos

valores: 0 y 1 Expresin (funcin) lgica

(booleana) Combinacin de variables lgicas

pertenecientes a B y de operaciones lgicas (+ parntesis):

f = xy+xyz+xyz ( implcito) Tabla de verdad equivalente a la

anterior. Formas estndar de representacin:

Producto de sumas Suma de productos

Tabla de verdad (con todas las posibilidades) y expresin lgica son equivalentes entre s.

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

x zy f

A una misma tabla de la verdadle corresponden varias expresiones

lgicas

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Equivalencia entre expresiones Dos expresiones son equivalentes si sus tablas de verdad

son iguales f1 = a+bc f2 = (a+b)(a+c)

O si se puede llegar de la una a la otra (ambas direcciones) f2=(a+b)(a+c)=aa+ac+ba+bc=a+ac+ba+bc=a(1+c+b)+bc=a+bc

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

a cb a+bc (a+b)(a+c)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Convertir tabla de verdad en expresin lgica I Forma cannica con minterm: 1. Tmese cada combinacin

que d 1 a la salida y frmese un producto de variables, de forma que si una variable vale 0 en aquella fila se coloca su complemento y si vale 1 se coloca la variable sin complementar.

2. Escrbase la funcin que resulta de sumar todos los productos.

f=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz Hay muchas expresiones

equivalentes f=xy+xyz+xy

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

x zy f

f=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Convertir tabla de verdad en expresin lgica II 1. Tmese cada combinacin

que d 0 a la salida y frmese un producto de variables, de forma que si una variable vale 0 en aquella fila se coloca su complemento y si vale 1 se coloca la variable sin complementar.

2. Escrbase la funcin que resulta de sumar todos los productos, negando el valor de la funcin.

f=xyz+xyz+xyz Simplificada: f=(xy+xyz)

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

x zy f

f=(xyz+xyz+xyz)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ms puertas AND de tres o ms entradas

OR de tres o ms entradas

NOR

NAND

OR exclusiva - XOR (diferentes)

XNOR (coincidentes)

f=abca

cb

abcd

f=a+b+c+d

a

bc = (a+b)

a

bc = (ab)

c=a+b

a

bc = a b

c = ab + ab

a

bc = (a b)c = ab + ab

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Convertir expresin a puertas lgicasf=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz

x y z

f

f=xy+xyz+xyx

y

z

f

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Variables y funciones lgicas en el mundo real Interruptor modelado como

una variable lgica (a) Interruptor cerrado -> a = 1 Interruptor abierto -> a = 0 a es la variable asociada al

interruptor

Bombilla modelada como una variable lgica (b)

Bombilla encendida -> b = 1 Bombilla apagada -> b = 0

a

b

Funcin O con interruptores

Funcin Y con interruptores

Comprobar las tablas de la verdad

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Funcin complemento Se puede realizar la funcin

complemento de forma mecnica: se dispone de la variable complementada y sin complementar mecnicamente( contacto abierto, contacto cerrado).

En muchos casos resulta difcil con interruptores y sin provocar cortocircuitos realizar la funcin complemento: manejar f1 y f1 en el mismo circuito, donde f1 se ha construido a partir de f1. En estos casos se necesitan rels (caso de circuito elctrico).

ab

f1=ab

b

f2=b

Fsicamente es el mismo pulsador: 2 contactos (NO y NC)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Lgica positiva/Lgica negativa Si una variable lgica est a 1 significa que la accin o

estado asociado a dicha variable se est cumpliendo. Si es 0 indica que no se cumple. En electrnica 1 significa tensin positiva ( tpico 5V) y 0 significa

tensin cero o tensin negativa. Interruptor abierto igual a 0. Interruptor cerrado igual a 1.

Lo anterior es una convencin. Se puede cambiar 0 por 1. Lgica negativa: 1 - 0 voltios, 0 - 5 voltios. 1 - Interruptor abierto 0 - Interruptor cerrado. Tpico para detectar

fallos de alimentacin.

Unidad decontrol Bombilla alarma

AlimentacinPlanta

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Simplificacin Problema: Juan quiere

instalar 2 interruptores en su habitacin (a y b) para encender una bombilla (f) de tal forma que slo se encienda cuando:

a y b estn simultneamente cerrados.

a est cerrado Juan que es un lanzado hace

la instalacin Juan est muy contento

porque la instalacin funciona perfectamente hasta que llega su amigo Antonio y le pregunta para qu sirve el interruptor b

a

b

a a

a b f0 0 0

10 01 0 1

11 1f = ab + a = a(b+1) = a1 = a

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Propiedades tiles del Algebra de Boole Idempotencia

a+a=a aa=a

Maximalidad del 1 a+1=1

Minimalidad del 0 a+0=a

Involucin a=a

Leyes de Morgan (a+b)=ab (ab)=a+b (a+b+c+...)=abc... (abc...)=a+b+c+...

Absorcin a+ab=a a(a+b)=a

Todas estas propiedades se comprueban mediante la aplicacin de las propiedades del Algebra de Boole(postulados de Hungtinton) o recurriendo a las tablas de la verdad (en todos los casos posibles se cumple la igualdad).

Permiten simplificar fcilmente.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Simplificando f=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz

Asociativa y distributiva: f=xy(z+z)+xyz+xy(z+z) Complemento: f=xy+xyz+xy Complemento: f=y(x+x)+xyz f=y+xyz

f=(xyz+xyz+xyz) Asociativa y distributiva: f=(xy(z+z)+xyz) Complemento: f=(xy+xyz) Leyes de Morgan: f=(xy)(xyz) Leyes de Morgan: f=(x+y)(x+y+z)

f=xx+xy+xz+yx+yy+yz f=xz+y+xy+yx+yz f=xz+y(1+x+x+z) f=xz+y Es equivalente a la de arriba (ver tabla de la verdad)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Implantaciones alternativas de f

Suma de productos cannica

Suma de productos minimizada

Producto de sumas cannica

Producto de sumas minimizado

A

B

F 2

F 3

F 4

F 1 C

F = A' B C + A B' C' + A B' C + A B C' + A B C

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Simplificacin mediante el mtodo de Karnaugh Hay muchos mtodos para simplificar (aplicando

directamente los postulados del Algebra) Programas de simplificacin automtica El mtodo de Karnaugh es un mtodo grfico muy til para

funciones de 2 a 4 variables lgicas. Se basa en buscar trminos adyacentes en la tabla de la verdad. Los trminos adyacentes son aquellos que tienen las mismas

variables con el mismo estado de complemento, excepto una. xyz y xyz son adyacentes

Los trminos adyacentes se pueden simplificar fcilmente xyz+xyz = xy(z+z) = xy

Para buscar fcilmente los trminos adyacentes se dispone la tabla de la verdad de tal forma que los valores de las variables de entrada vecinos resulten adyacentes. Esta tabla recibe el nombre de tabla o mapa de Karnaugh.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplos de simplificacin por Karnaugh I

ba

0 1

0 1

0 1

0

1

f = b

1 1

1 1

0 0

0 1

00 01 11 10

0

1

yz

x

f = y + xz

Construir el mapa de Karnaugh. Colocar los ceros y unos de la tabla

de verdad sobre el mapa de Karnaugh.

Formar grupos (paralelogramos) con las casillas que tienen 1, de tal forma que contengan el mximo nmero de elementos y ste sea potencia de 2.

Casillas de un grupo pueden formar parte de otro.

Cada grupo representa un producto. ste est formado por las variables que no cambian de valor en dicho grupo. Si est a 1 la variable se escribe tal cual, y si est a 0, se complementa.

adyacente

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplos de simplificacin por Karnaugh IIAB

00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10

CD

f = c + db + abd

AB 00 01 11 10

0 0 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 0 1 0

00

01

11

10

CD

f =abc+abd+cda+cdb

f = abcd + abcd+abcd+

+abcd+abcd+abcd

Adyacentes

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplos de simplificacin por Karnaugh III

AB 00 01 11 10

1 0 1 1

0 1 1 1

X X X X

1 1 X X

00

01

11

10

CD

f = a + c + bd + bd

Dont care: combinacin de entradas que nunca se dan.

Pueden ser utilizadas para simplificar las funciones lgicas: se toma su valor como 1 o como 0, en funcin de lo que ms interese.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Funciones lgicas y tiempo Si las entradas de la funcin lgica varan en el tiempo, la

funcin lgica tambin vara. Al variar la entrada, la salida tardar un cierto tiempo en

cambiar, dependiendo de la tecnologa. Retardo de la funcin lgica: tiempo que media entre el

cambio en la entrada de la funcin y el cambio en el valor de dicha funcin. Depender del tipo de cambio.

a

b

f=a+b

t

retardo1 retardo2

a

bf = a+b

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Rels y contactos Rel: todo dispositivo que utilizando,

ya sea un impulso elctrico que le es enviado a distancia, o la accin de otros fenmenos ajenos (como presin, temperatura, etc) acta de modo automtico como interruptor, accionando o desconectando un circuito.

De modo manual o automtico retorna a su posicin inicial, una vez terminada la accin del impulso delaccionador; a esta operacin se le llama rearme o desbloqueo.

Clasificacin: Rels:gobiernan circuitos de baja

potencia. Contactores: circuitos de alta

potencia.

I

M

R S T

M = I

Variable de entradaI

M Variable de salida

Esquema de conexin

Esquema

de contactos (PLC)

Esquema elctrico /

Esquema de rels

Ecuacinlgica

I M

Contacto Bobina

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Rel con ms detalle

M = I

A = I

P = I

I M

A

P

I

M

R S T

24VDC

24VDCPA

Esquema General de conexiones

I

KM

I

AP

Esquema de Mando

M

R S TEsquema de

Potencia

Esquema Elctrico (Esquema de rels)

KM

Esquema deContactos (PLC)

Ecuacin Lgica

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplo de circuito de mando y de potencia real

Rel de mxima

corriente

Contacto temporizado.

Evita que el pico de intensidad en el arranque abra

el circuito

Rel de proteccin

trmica

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Tipos de rels y estructura Clasificacin segn

tecnologa: Electromagnticos Neumticos Trmicos Electrnicos

Clasificacin segn misin: Instantneos Temporizados

En automatismos industriales tienen dos funciones:

Separacin galvnica. Elemento de memoria (se

contar ms adelante)

Partes de un rel (contactor) Contactos principales

Cierre o apertura del circuito principal.

Contactos auxiliares Gobierno del contactor y su

sealizacin. Circuito electromagntico Sistema de soplado

Apaga el arco al abrir el circuito. Aunque se separen los contactos, la corriente sigue pasando a travs del aire ionizado, cuando la carga es inductiva. Esto aumenta la resistencia y por tanto el calor originado, que puede daar los contactos.

Soporte o estructura del aparato.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Circuito electromagntico de un rel Puede trabajar en continua o

en alterna. Estructura:

Ncleo Chapa magntica aislada

Armadura Chapa magntica aislada

Bobina En alterna se coloca una

espira de sombra para evitar la vibracin por los pasos por 0 de la corriente alterna.

Los contactos pueden estar normalmente abiertos o normalmente cerrados. Permite realizar la operacin complemento fcilmente.

NUCLEO

BOBINA

ARMADURA

Contactosmoviles

Contactosfijos

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Usos del rel Aislamiento galvnico

Circuito de bobina y circuito de los contactos son independientes Suficiente rigidez elctrica

Amplificador Seal en potencia: Contactor

Ejemplo: Con 24V manejar 380 voltios trifsicos Repetidor lgico

Utilizar la misma variable lgica en diferentes circuitos elctricos.

Memoria de 1 bit Muy utilizado en el pasado Relegado actualmente a esquemas sencillos de marcha/paro.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplo combinacional con contactos y bobinasf = a + bc

a

b c

f

Esquema de contactos

a b

c

K

Esquema elctrico

K

f

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Pulsadores, interruptores y contactos. Pulsadores slo se mantiene

la accin mientras se pulsa. Interruptores: la accin se

mantiene despus de conmutar.

Contactos: mecnicamente acoplado al pulsador/ interruptor se pueden colocar contactos que cambian al cambiar el estado del pulsador/interruptor.

Normalmente abierto. Normalmente cerrado

Muelle

Pulsador

Contacto normalmenteabierto NO

Contacto normalmentecerrado NC

Interruptor

IEC 1082

IEC 1082

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplo combinacional con contactos y bobinas IIf = ab + ac+bd

Esquema de contactos Esquema de elctrico Esquema de Conexiones

a

a c

fb

b d

a b

d

f

b c

a

f

fa d

c b

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Variables negadas con interruptores Una variable asociada a un interruptor no puede ser 0 y 1

simultneamente, si no es un doble interruptor con un contacto normalmente abierto y otro normalmente cerrado

f=yx+yz

a

a

y y

x z

f

Esquema elctrico

y

y

x

z

f

Esquema de contactos

a

a

a

a

a

Conmutador

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Funciones lgicas y la prctica Una funcin lgica de ms de 4 variables es comn en la prctica

Ir por la tabla de la verdad y obtener la funcin lgica es inviable. Imposible de aplicar Karnaugh. Hay programas para simplificar (orientados al diseo digital).

Solucin prctica Obtener directamente desde la especificacin del problema una funcin

lgica representativa que, por supuesto, no ser la ptima Refleja directamente el funcionamiento del sistema

A veces, aplicando Karnaugh aparecen expresiones que son difciles de interpretar desde el punto vista del sistema a controlar

Problema de escribir la funcin lgica directamente Habr contemplado todos los casos?

Ejemplo: Poner en marcha un motor cuando no se debe Muy grave si hay un obrero manipulndolo

Con la tabla no haba problemas porque se contemplaban todos losposibles valores de las entradas

Solucin: Intentar prevenir que la funcin tome valor 1 en casos indeseados. Cmo? Analizando y separando las condiciones de parada

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Escribir funciones lgicas de control en la prctica Primero: Analizar las condiciones bajo las cuales no debe

funcionar el sistema (variable a controlar) Si ninguna de estas condiciones se cumple entonces es posible arrancar el

sistema Ejemplo:

No arrancar el motor si est activado su rel trmico de temperatura No poner en marcha una bomba si no hay agua en su depsito

Segundo: Analizar las condiciones que hacen que el sistema funcione (1 lgico) cuando no hay ninguna condicin de parada activa.

Ejemplo: Interruptor de arranque Pieza en la posicin correcta

Formato de la funcin lgica final:f = CondicinParada1*CondicinParada2*...*(Condicin Arranque1 + + CondicinArranque2 + ...) Si no se cumple ninguna de las condiciones de parada y se cumple alguna de las

condiciones de arranque se pone en marcha el sistema

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ejemplo Una cinta trasportadora que

se pone en marcha al cerrar el interruptor de arranque o cuando recibe una orden de arranque remota

IA: Interruptor de arranque RA: seal remota de arranque M: seal arranque motor

La cinta no debe funcionar si el motor tiene sobrecalentamiento

TM: contacto rel trmico motor. Se abre el contacto cuando hay sobrecalentamiento

M

M = TM(IA+RA)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Resumen automatismos combinacionales Primero: Identificar las entradas de la planta:

Variables a controlar: bomba, motor, piloto, etc. Salidas del control

Segundo: Identificar las salidas de la planta: Variables a partir de las cuales se construyen las funciones lgicas

que rigen las salidas Entradas del control

Tercero: Construir las funciones lgicas que rigen las salidas del control a partir de las entradas del control Primero: las condiciones que hacen que la salida no se active.

(PRIMERO ASEGURAR LA PARADA) Segundo: las condiciones que hacen que la salida se active. Simplificarlas si es posible y no se pierde la legibilidad del control.

Cuarto: Implementar Lgica de rels, sistema digital, PLC

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Ms informacin Telesquemario de Schneiderelectric: pgina web de la

asignatura: captulos 6 y 7. Automatismos y Cuadros elctricos. Roldn Viloria.

Paraninfo 2001. Mdulo 1: Aparellaje, esquemas de automatismos, esquemas de

alimentacin. Mdulo 3: Ejemplo completo.

Pgina web muy completa sobre automatismos: http://www.cnice.mecd.es/recursos/fp/cacel/CACEL1/menu_1.htm