Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ALBERTO JAIME nombre JAIME

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 1 y f = −4x2 + 4y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ALONSO GONZALEZ nombre ELENA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − y2, f2 = x4 + 5x2 − 4 y f = −x2 + 5y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − y2 y g = −2x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ANDRADES RODRIGUEZ nombre MARIA JOSE

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 4x2 − 2 y f = −5x2 + 5y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −2x2y + y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ANGULO FABERO nombre ALVARO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −2x2 + 5y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ANTON DIAZ nombre ANDREA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos BELLIDO BELLIDO nombre TERESA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = x4 + 4x2 − 5 y f = −4x2 + 3y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −3x2y + 3y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos BENITEZ GARRIDO nombre MARIA ISABEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 4 y f = −2x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 4y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos BLANCO CARMONA nombre MARIA MERCEDES

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = x4 + 4x2 − 2 y f = −2x2 + 3y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = −3x2y + 2y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos BLANCO GUILLEN nombre MARIA MONTAÑA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 2y2 y g = −3x2y + 3y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CARABALLO ROMERO nombre VERONICA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = x4 + x2 − 3 y f = −3x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CARRASCO CARRASCO nombre MARIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 1 y f = −2x2 + 5y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 3y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CARRION GARCIA nombre MARIA CRISTINA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 1 y f = −3x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 5y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CARVAJAL LABRADOR nombre MARIA DEL ROSARIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 5 y f = −x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 5y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CASADO ULGAR nombre ALEJANDRO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 1 y f = −5x2 + 5y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos CHICARDI AUGUSTO nombre ANA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 2y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 2 y f = −x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos CRESCENTINI nombre MAGDA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 2 y f = −5x2 + 2y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + 5y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos CUADRI CRESPO nombre SOCRATES

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos CURQUEJO OTERO nombre LUIS FRANCISCO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − y2, f2 = x4 + 4x2 − 1 y f = −4x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −2x2y + 5y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos DEL VALLE BENAVIDES nombre ANA ROCIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 2x2 − 5 y f = −4x2 + 4y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos DURAN TEJONERO nombre MARIA OLIVA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 4x4 + x2 − 5 y f = −4x2 + 5y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 5y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos FERNANDEZ GOMEZ nombre TRINIDAD

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 5x2 − 5 y f = −2x2 + y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos FERNANDEZ ANTUNEZ nombre FATIMA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 5x2 − 3 y f = −4x2 + 2y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 2y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos FRANCO GALVIN nombre FRANCISCO JAVIER

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 4y2, f2 = x4 + 2x2 − 4 y f = −4x2 + 4y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 4y2 y g = −3x2y + 3y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos FUENTES LORCA nombre VICTORIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 4 y f = −3x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − y2 y g = −5x2y + 2y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos GALLARDO GOMEZ nombre ROCIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −5x2y + y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos GIL RODRIGUEZ nombre NEREA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 2y2, f2 = 5x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 3y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos GIL SANCHEZ nombre CARMEN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 2x2 − 3 y f = −3x2 + y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −2x2y + 2y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos GILABERT FRANCO nombre JOSE JOAQUIN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 2x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos GOMEZ SERVAN nombre CARMEN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 1 y f = −2x2 + 4y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −3x2y + y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos GUTIERREZ VICTORIO nombre Ma CARMEN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 3y2, f2 = x4 + 3x2 − 3 y f = −3x2 + 5y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 2y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos HOLGUIN VALDERRAMA nombre MANUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + x2 − 5 y f = −3x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 4y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos JIMENEZ JIMENEZ nombre MIGUEL ANGEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 4y2, f2 = 3x4 + 3x2 − 4 y f = −3x2 + 2y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 4y2 y g = −3x2y + 4y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos KLEIN nombre EILEEN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 2y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 3 y f = −2x2 + 2y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos LAO ROMERO nombre MARIA DOLORES

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −4x2 + 3y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + 4y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos LOBATO LOPEZ nombre MARTA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + 3x2 − 1 y f = −4x2 + 5y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos LOPEZ REYES nombre DANAE

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −4x2 + 2y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 4y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos LUCEÑO BORRERO nombre LAURA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 5x2 − 1 y f = −x2 + 5y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = x2(−y) + 3y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos LUQUE TEBA nombre ANTONIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 2 y f = −2x2 + 5y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 4y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MACIAS BORRERO nombre GONZALO SEBASTIAN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 1 y f = −5x2 + 2y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MANZORRO CASTRILLON nombre LUCIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 2y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −3x2 + y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 2y2 y g = −4x2y + 2y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MARQUEZ ESCUDERO nombre JUAN MANUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 3y2, f2 = 4x4 + 2x2 − 3 y f = −2x2 + 2y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 3y2 y g = −3x2y + 2y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MARQUEZ BERNAL nombre MANUEL ALEJANDRO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = x4 + 5x2 − 1 y f = −5x2 + y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + 5y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MARTIN DELGADO nombre JOSE

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 2 y f = −x2 + 4y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −5x2y + 3y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MARTINEZ MARTIN nombre MARIA INMACULADA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + x2 − 3 y f = −2x2 + 5y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 4y2 y g = −4x2y + 3y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MAZUELOS JIMENEZ nombre ELISA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −2x2 + 5y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MENDEZ RUFO nombre ULISES

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + 2x2 − 1 y f = −x2 + y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 4y2 y g = −2x2y + y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MESA MARQUEZ nombre MARIA DEL CARMEN

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 2y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 2 y f = −x2 + 4y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −5x2y + 3y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MINUESA ABRIL nombre MARIA JOSE

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − y2, f2 = 4x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MOLERO DEL RIO nombre MARIA CRISTINA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 2 y f = −2x2 + 4y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −3x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MORA MORA nombre MANUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 3x4 + x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 2y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos MUÑOZ NOGUERA nombre JUAN MANUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 2y2, f2 = x4 + 4x2 − 3 y f = −5x2 + 3y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 2y2 y g = −3x2y + y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos NUÑEZ DE ARCO VALENZUELA nombre LAURA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 1 y f = −5x2 + y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −4x2y + 3y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos OLIVARES GIL nombre MARIA DOLORES

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + x2 − 5 y f = −x2 + 5y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ORTEGA CARRASCO nombre RAQUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 5y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 3 y f = −5x2 + 5y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ORTEGA VALLADARES nombre MARIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 2y2, f2 = 4x4 + 5x2 − 2 y f = −2x2 + 3y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 2y2 y g = −4x2y + y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos PARIENTE AGUILAR nombre RAFAEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 1 y f = −x2 + 3y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −5x2y + 4y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos PAVON DIAZ nombre ALVARO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 3 y f = −4x2 + 4y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 3y2 y g = −4x2y + 3y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos PEÑA GALLARDO nombre MIGUEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 5 y f = −4x2 + 4y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 3y2 y g = −2x2y + y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos PEREZ MORENO nombre ANA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − y2, f2 = 3x4 + 4x2 − 5 y f = −3x2 + 5y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −3x2y + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos PIEDRA DE LA CUADRA nombre RAMON

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − y2, f2 = 2x4 + 4x2 − 5 y f = −x2 + 3y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − y2 y g = −2x2y + 4y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos PORRAS NARANJO nombre MIGUEL ANGEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 5y2, f2 = x4 + x2 − 5 y f = −2x2 + 4y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 5y2 y g = −2x2y + 4y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos PRADOS GOMEZ nombre ISABEL MARIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 2x4 + 3x2 − 1 y f = −5x2 + 2y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = x2(−y) + 4y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos RAMOS LUCENA nombre ISABEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 3 y f = −x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 4y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos RIVERA BUSTOS nombre ANA ALICIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 4xy2 − 5y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =4xy2 − 5y2 y g = −5x2y + 5y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos RODRIGUEZ CHAVARRIA nombre DANIEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = x4 + x2 − 3 y f = −4x2 + 5y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 5y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos RODRIGUEZ HUERTAS nombre ROCIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 3y2, f2 = x4 + 5x2 − 3 y f = −2x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 3y2 y g = x2(−y) + 2y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos RODRIGUEZ JIMENEZ nombre JOSE ANTONIO

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −3x2 + 4y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −4x2y + y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ROGG nombre NATHALIE

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 2y2, f2 = 3x4 + 2x2 − 5 y f = −3x2 + 3y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −4x2y + 5y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos ROMERO MARQUEZ nombre VICTORIA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 1 y f = −x2 + 3y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 5y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos ROMERO VIDAL nombre MIRIAM

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 5xy2 − 4y2, f2 = 2x4 + x2 − 5 y f = −4x2 + y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =5xy2 − 4y2 y g = −5x2y + 3y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos ROSALES TRISTANCHO nombre ABEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − y2, f2 = 4x4 + 4x2 − 4 y f = −x2 + 4y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − y2 y g = −4x2y + y2 + 5y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos RUBIO MORENO nombre BEATRIZ

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 4y2, f2 = 5x4 + 5x2 − 3 y f = −3x2 + 4y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 4y2 y g = −2x2y + 3y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos SAADI HADDACH nombre YOUNESS

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 5y2, f2 = 3x4 + 5x2 − 5 y f = −5x2 + 5y + 4.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 5y2 y g = −4x2y + 4y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos SANCHEZ DOMINGUEZ nombre MARINA

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − 5y2, f2 = x4 + 3x2 − 2 y f = −5x2 + y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − 5y2 y g = x2(−y) + 4y2 + y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos VALERO MORENO nombre ANA ISABEL

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 3xy2 − y2, f2 = x4 + 3x2 − 5 y f = −4x2 + 2y + 2.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =3xy2 − y2 y g = −4x2y + 3y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos VALVERDE MARTIN nombre CARLOS

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − y2, f2 = 5x4 + 3x2 − 5 y f = −5x2 + 2y + 1.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − y2 y g = −5x2y + 2y2 + 2y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

Álgebra, Combinatoria y Computación Práctica 3 19-5-2016

apellidos VELASCO DE ARMAS nombre JAVIER

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = xy2 − 2y2, f2 = x4 + x2 − 2 y f = −3x2 + 3y + 5.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =xy2 − 2y2 y g = −3x2y + 5y2 + 4y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.

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apellidos VENTURA VARELA nombre JOSE CARLOS

Pertenencia al radical de un ideal

Teorema.- Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal, sea f ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio y sea wuna nueva variable. Entonces f ∈

√I si y sólo si 1 ∈ 〈f1, . . . , fs, 1− wf〉 ⊂ k[x1, . . . , xn, w].

Ejercicio 1. En Q[x, y] se consideran los polinomios

f1 = 2xy2 − 3y2, f2 = 5x4 + 4x2 − 2 y f = −5x2 + 2y + 3.

Sea el ideal I = 〈f1, f2〉, usar SAGE y bases de Groebner para comprobar si f ∈√I.

Teoría de eliminación e intersección de ideales

Teorema.- Sean I, J ⊂ k[x1, . . . , xn] ideales y sea w una nueva variable. Consideremos el ideal〈wI, (1− w)J〉 en k[w, x1, . . . , xn]. Entonces

I ∩ J = 〈wI, (1− w)J〉 ∩ k[x1, . . . , xn].

Observación.- Si I = 〈f1, . . . , fr〉 y J = 〈g1, . . . , gs〉 entonces

〈wI, (1− w)J〉 = 〈wf1, . . . , wfr, (1− w)g1, . . . , (1− w)gs〉.

Proposición.- Dados f, g ∈ k[x1, . . . , xn] no nulos, se tiene

〈f〉 ∩ 〈g〉 = 〈LCM(f, g)〉.

Ejercicio 2. Usar SAGE y los resultados anteriores para calcular el mínimo común múltiplo de f =2xy2 − 3y2 y g = −5x2y + 4y2 + 3y.

Enviar a miguelolalla@us.es la sesión en SAGE con la resolución detallada de cada ejercicio. Lassoluciones entregadas el viernes 20 de mayo optarán a una calificación de 10 sobre 10, las entregadasel lunes 23 (fecha límite para la entrega de la práctica) optarán a una calificación de 8 sobre 10.