leyes de newton y energia

MOMENTO LINEAL, FUERZA Y ENERGIA MECANICABERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Fsica 2011

ndice general

2. Momento lineal, fuerza y energa mecnica 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Aceleracin de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Vector aceleracin (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Vector aceleracin media ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.3. Vector aceleracin instantnea (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Aceleracin en el movimiento rectilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Movimiento rectilneo acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Movimiento rectilneo desacelerado o retardado . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . . . . . . . . 2.3. Cambio en el momento lineal y leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Fuerza neta, total o resultante de un sistema de fuerzas concurrentes . . . . 2.3.3. Resultante de un sistema de fuerzas utilizando componentes rectangulares 2.3.4. Movimiento vertical de los cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Movimiento en un plano vertical debido a la interaccin con la tierra . . . . 2.3.6. Fuerza elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Fuerza trabajo y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Fuerza, desplazamiento y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Trabajo y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Fuerza, trabajo y energa cintica Ek ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Casos particulares del teorema del trabajo y la energa . . . . . . . . . . . . 2.5. Trabajo, fuerza conservativa y energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Trabajo realizado por una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Trabajo realizado por el peso de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Trabajo realizado por la fuerza elstica de un resorte . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Fuerza conservativa y energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Conservacin de la energa para una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Curvas de energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Derivada direccional, energa potencial y sistema conservativo . . . . . . . . . . . . 2.9. Fuerza de friccin entre supercies en contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Fuerza de friccin en uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Fuerza de friccin y sistema no conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 7 11 14 14 21 23 28 29 30 33 35 35 38 38 38 38 39 40 42 45 47 52 53 55

Captulo

2Identique la relacin entre fuerza conservativa, energa potencial y derivada direccional. Distinga entre fuerza conservativa y fuerza no conservativa. Analice el efecto de la fuerza de friccin sobre el movimiento de los cuerpos. Distinga entre sistema conservativo y sistema no conservativo. Enuncie y aplique la ley de conservacin de la energa. Analice situaciones fsicas empleando los conceptos de trabajo y energa.

Momento lineal, fuerza y energa mecnicaCompetencias En esta unidad se busca que el estudiante Dena, conceptual y matemticamente, el vector aceleracin de una partcula. Distinga entre movimiento rectilneo acelerado y movimiento rectilneo desacelerado. Identique y analice el movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Inera la relacin entre interaccin y cambio en el momento lineal. Enuncie, analice y aplique las leyes de Newton.

Analice situaciones fsicas utilizando las CONCEPTOS BASICOS En esta unidad, se denirn y analizarn los leyes de Newton. siguientes conceptos: Vector aceleracin (a), Obtenga diagramas de cuerpo libre, en el Vector fuerza (F), peso (W), diagrama de cuerpo libre, trabajo (W), teorema del Trabajo y la Enercaso de partculas. ga, sistema conservativo, energa potencial Ep , Analice el movimiento de cada libre y el fuerza elstica, fuerza central, sistema no conmovimiento parablico. servativo y energa total E. Dena, conceptual y matemticamente, el trabajo realizado por una fuerza.

2.1. Introduccin

Obtenga y aplique el teorema del trabajo y Cuando se analiza el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, es posible hacerlo la energa. por dos caminos o mtodos diferentes, en uno ellos se utilizan las leyes de Newton y en el Enuncie y aplique la ley de Hooke.

2

CAPTULO 2. MOMENTO LINEAL, FUERZA Y ENERGA MECNICA

otro el concepto de energa. Estos mtodos se conocen en fsica como mtodos dinmicos, ya que permiten describir de manera adecuada los cambios en el estado de los cuerpos, tales como pasar del reposo al movimiento o de un movimiento lento a un movimiento rpido.

y A

vA B vBDv

vB - vA x

j

2.2. Aceleracin de una partcula2.2.1. Vector aceleracin (a)La velocidad de un cuerpo, respecto a determinado sistema de referencia, puede cambiar slo en magnitud slo en direccin simultneamente en magnitud y direccin. Cuando se presenta uno de estos cambios en el vector velocidad, o lo que es igual, en el vector momento lineal, se dice que el cuerpo adquiere una aceleracin. De este modo se puede armar: La aceleracin de un cuerpo se dene como la rapidez con que cambia su vector velocidad al transcurrir el tiempo.

O i

Figura 2.1: Vector aceleracin media. tiempo v = 0 y la aceleracin sera cero. Dimensiones y unidades del vector aceleracin media De acuerdo con la ecuacin (2.1), las dimensiones del vector aceleracin media son LT2 . Por consiguiente, las unidades son m s2 en el sistema SI, cm s2 en el sistema gaussiano, p s2 en el sistema ingls; y en general, cualquier unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado, tal como km h2 .Ejemplo 2.1 Una partcula pasa por el punto A en el instante tA y por el punto B en el instante tB . Determine el vector aceleracin media de la partcula entre estos dos puntos, sabiendo que su vector velocidad est dado por v = i 2tj, donde v est dado en m s1 y t en s. Solucin En este caso, la velocidad de la partcula en el punto A est dada por vA = i 2tA j y en el punto B por vB = i 2tB j , o sea que el cambio en la velocidad es v = 2(tB tA )j. Reemplazando v y t = tB tA en la ecuacin (1.8), se encuentra que el vector aceleracin media es dado por a = (2 m s2 )j. Por el resultado obtenido, se tiene que la velocidad no cambia en la direccin del eje x y por ello no aparece componente de aceleracin en dicha direccin, mientras que se presenta un cambio de velocidad en la direccin del eje y lo que hace que se presente una componente de aceleracin en esta direccin.

2.2.2. Vector aceleracin media ( ) aEn la gura 2.1, la partcula en el tiempo tA se encuentra en el punto A y tiene una velocidad vA y en un instante posterior tB (tB > tA ) se encuentra en el punto B y tiene una velocidad vB . La aceleracin media a durante el movimiento de A a B se dene como el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo correspondiente, es decir v vA v = B , (2.1) a t tB tA donde se observa que a es un vector, ya que se obtiene dividiendo el vector v con el escalar t, o sea, que se caracteriza por su magnitud y direccin. Su direccin es la de v, que siempre apunta hacia la concavidad, y su magnitud est dada por |v/t|. El vector a es una aceleracin media ya que no se ha dicho la forma como vara el vector velocidad durante el intervalo de tiempo t. Si durante este intervalo de tiempo no hay cambio en el vector velocidad, esto es, si el vector velocidad permanece constante, en magnitud y en direccin, entonces en todo el intervalo de

2.2. ACELERACIN DE UNA PARTCULA

3

Ejercicio 2.1 Una partcula, de masa 500 g, pasa por el punto A en el instante tA y por el punto B en el instante tB . Determine el vector aceleracin media de la partcula entre estos dos puntos, sabiendo que su vector momento lineal est dado por p = 2ti 1.5t2 j, donde p est dado en kg m s1 y t en s.

y ax i a jO

q ay j

i

x

2.2.3.

Vector aceleracin instantnea (a)

Figura 2.2: Componentes rectangulares del vector aceleracin. De la denicin de aceleracin, ecuacin (2.2), se encuentra quet

Si una partcula se mueve de tal manera que su aceleracin media, medida en varios intervalos de tiempo diferentes no resulta constante, se dice que se tiene una aceleracin variable. La aceleracin puede variar bien sea en magnitud, en direccin o simultneamente en magnitud y direccin. En tales casos, se trata de determinar la aceleracin de la partcula en un instante dado cualquiera, llamada aceleracin instantnea a y denida por a = lm dv d2 r v = = 2. dt dt t0 t

v = vo +to

a(t)dt.

(2.4)

Esta integral se puede resolver slo si se conoce la forma como vara la aceleracin con el tiempo. En el caso particular que el vector aceleracin permanezca constante, en magnitud y di(2.2) reccin, entonces

v = vo + a(t to ). (2.5) Si el vector velocidad en componentes rectangulares est dado por v = v x i + vy j, entonces el Reemplazando la ecuacin (2.5) en la ecuacin (1.7), luego de integrar y evaluar se llega a vector aceleracin se expresa en la forma dvy dv x a= i+ j = a x i + ay j. dt dt1 r = ro + vo (t to ) + 2 a(t to )2 .

(2.6)

Expresin que nicamente es vlida si el vector aceleracin permanece constante mientras la De este modo su magnitud y direccin estn partcula est en movimiento. dadas, respectivamente, por a= a2 + a2 x y y = tan1 ax . ayEjemplo 2.2 Halle la aceleracin de una partcula en funcin del tiempo, cuya velocidad respecto a determinado sistema de referencia, est dada por v = i 2tj. Solucin Derivando la expresin anterior respecto al tiempo, se encuentra que la aceleracin est dada por a = ( 2 m s2 )j. Este resultado muestra que la aceleracin de la partcula es una constante a lo largo

(2.3)

Como se muestra en la gura 2.2, el vector aceleracin siempre apunta hacia la concavidad de la trayectoria y en general no es tangente ni perpendicular a ella. Las dimensiones y unidades del vector aceleracin instantnea, o simplemente aceleracin, son las mismas que las del vector aceleracin media.

4de la direccin y, lo que se esperaba ya que coinciden la aceleracin media (ejemplo 2.1) y la aceleracin instantnea. Ejercicio 2.2 Halle la aceleracin, en funcin del tiempo, de una partcula de masa 500 g y cuyo vector momento lineal est dada por p = 2ti 1.5t2 j. Ejemplo 2.3 Halle, en funcin del tiempo t , la velocidad de una partcula cuya aceleracin est dada por a = ( 2 m s2 )j, si vo = (1.0 m s1 )i en to = 0. Solucin Luego de reemplazar a y vo en la ecuacin (2.4), al integrar y evaluar se llega a la expresin v = i 2tj, que es un resultado idntico a la expresin dada en el ejemplo 2.2, como se esperaba. Ejercicio 2.3 Halle, en funcin del tiempo t , el momento lineal de una partcula de masa 500 g y cuya aceleracin est dada por a = 4i 6tj, si vo = 0 en to = 0. Compare con la expresin dada para v en el ejercicio 2.1


y cuya direccin coincide con la del movimiento o con la opuesta, dependiendo de si la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye con el tiempo. Igual que para la velocidad, el signo de la aceleracin lo da el sistema de referencia.

2.2.5.

Movimiento rectilneo acelerado

Si la magnitud de la velocidad aumenta con el tiempo, se tiene movimiento rectilneo acelerado, y en este caso la velocidad y la aceleracin tienen el mismo sentido, como se ilustra en la gura 2.3. Esta situacin se presenta, por ejemplo, cuando en un auto se aplica el pedal del acelerador.a v i O v> 0 a> 0 a v i O v< 0 a< 0 x x

Figura 2.3: Movimiento rectilneo acelerado.

En sntesis, un cuerpo tiene movimiento recEn el caso de una partcula que tenga tilneo acelerado, cuando tanto la velocidad comovimiento rectilneo, la aceleracin tendr s- mo la aceleracin tienen el mismo signo. lo una componente si se hace coincidir la trayectoria con un eje, bien sea el eje x o el eje y. En caso contrario, la aceleracin tendr dos com- 2.2.6. Movimiento rectilneo desaceleraponentes rectangulares. do o retardado

2.2.4. Aceleracin en el movimiento rec- Cuando la magnitud de la velocidad disminuye con el tiempo, se tiene movimiento rectiltilneoDe acuerdo con la denicin de aceleracin y para el caso de movimiento rectilneo, con el eje de coordenadas coincidente con la trayectoria, un cuerpo posee aceleracin si cambia la magnitud de la velocidad con el tiempo, es decir, si v = v (t). Teniendo en cuenta la denicin de aceleracin, esta corresponde a un vector cuya magnitud est dada por a= dv , dt

neo desacelerado o retardado, es decir, cuando la velocidad y la aceleracin tienen sentidos opuestos, como se muestra en la gura 2.4. Esta situacin se presenta, por ejemplo, cuando en un auto se aplican los frenos. En sntesis, un cuerpo tiene movimiento rectilneo desacelerado o retardado, cuando la velocidad y la aceleracin tienen signos opuestos. Para movimiento en una dimensin, la ecuacin (2.7) se puede escribir en forma inte(2.7) gral y es posible resolverla si se conoce la forma

2.2. ACELERACIN DE UNA PARTCULA

5

a v i O v> 0 a< 0 a v i O v< 0 a> 0 x x

v v

voArea = Dx

O

t to t

Figura 2.4: Movimiento rectilneo retardado. funcional de a(t).t

Figura 2.5: Grca de la velocidad en funcin del tiempo para un MRUA.

v = vo +to

a(t)dt.

Ejercicio 2.4 Determine, en funcin del tiempo, la velocidad de una partcula que se mueve a lo largo del eje x, si la ecuacin cinemtica de aceleracin est dada por a = 18t 8, con vo = 1 m s1 en to = 0.

Al comparar la ecuacin (2.10) con la ecuacin (2.9), se encuentra que la pendiente de la rec(2.8) ta corresponde a la aceleracin de una partcula con movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

a

a Area = Dv O t to t

2.2.7.

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA)

Este es un movimiento en el cual la magnitud de la aceleracin permanece constante, es de- Figura 2.6: Grca de la aceleracin en funcin del cir, a(t) = a = Constante. De este modo, la tiempo para un MRUA. ecuacin (2.8) toma la forma La ecuacin cinemtica de posicin de una v = vo + a ( t to ), (2.9) partcula con movimiento rectilneo uniformeque corresponde a la ecuacin cinemtica de ve- mente acelerado, se obtiene al sustituir la locidad para el movimiento rectilneo uniformemente ecuacin (2.9) en la ecuacin (1.8), donde al integrar y evaluar se llega a la expresin acelerado (MRUA). La ecuacin (2.9) corresponde a la ecuacin de una lnea recta, donde su pendiente es la magnitud de la aceleracin del movimiento. En las guras 2.5 y 2.6 se muestran las grcas de velocidad y aceleracin en funcin del tiempo, para el caso de movimiento rectilneo uniformemente acelerado. De la gura 2.5, se tiene que la pendiente de la grca de velocidad en funcin del tiempo est dada por: Pendiente = v vo = a. t to x = xo + vo ( t to ) + 1 a ( t to )2 , 2 (2.11)

expresin que slo es vlida si la magnitud de la aceleracin permanece constante. Cuando se graca la posicin de una partcula con movimiento rectilneo uniformemente acelerado, en funcin del tiempo, se obtiene una parbola cuya concavidad depende del signo de la aceleracin. En la gura 2.7 se muestra la grca en el caso de una aceleracin positiva. La pendiente de la recta tangente en un pun(2.10) to, tal como A en la gura 2.7, corresponde a la

6x x


camioneta? Por qu? d) Calcule el tiempo en que se detiene el autobs. e) Calcule la posicin del autobs y de la camioneta en el instante que se detiene el autobs.

xA xo O to

ASolucin a) Diagrama ilustrativo de la situacin plateadaMovimiento MovimientoC

t tA t

Figura 2.7: Grca de la posicin en funcin del tiempo para un MRUA. velocidad de una partcula cuando pasa por la posicin xA . En forma matemtica vA = dx | dtx = xA .

A

x(m)O B 30

Ejercicio 2.5. Demuestre que el rea sombreada, en la grca de la gura 2.6, es igual al cambio en la velocidad v de una partcula en el intervalo de tiempo t = t to , cuando se tiene movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Ejercicio 2.6. Demuestre que el rea sombreada, en la grca de la gura 2.5, es igual al desplazamiento x de una partcula en el intervalo de tiempo t = t to , cuando tiene movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Ejemplo 2.4. Un autobs viaja con una rapidez de 60 km h1 a lo largo de una pista recta. El conductor del autobs ve una camioneta que se mueve delante de l a una distancia de 30 m y con una velocidad de 13.89 m s1 . El conductor del autobs aplica los frenos a los 2 s de haber observado la camioneta, generando una aceleracin de 50 cm s2 . a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin plateada, incluyendo el sistema de referencia a emplear. b) Plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad que rigen el movimiento del autobs y de la camioneta. c) El autobs alcanza la

En el diagrama se considera la situacin inicial de los mviles, y se toma el origen de coordenadas del sistema de referencia en la posicin donde el conductor del autobs ve la camioneta. El punto B es la posicin de la camioneta en el instante que el autobs aplica los frenos. De acuerdo con el enunciado, las cantidades dadas son voA = 60 km h1 16.67 m s1 , xoC = 30 m, vC = 13.89 m s1 , tA = 2 s y a = 50 cm s2 0.5 m s2 . b) Ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad para el autobs y para la camioneta: Antes de aplicar los frenos, el autobs tiene movimiento rectilneo uniforme entre O y B. As la ecuacin (1.8), con to = 0 y xo = 0 adquiere la forma xA = 16.67t.

(1)

A partir del punto B, en el autobs se aplican los frenos y este adquiere un movimiento rectilneo uniformemente retardado, por lo que la ecuacin (2.11) se transforma en1 xA = xB + 16.67(t 2) 2 0.5(t 2)2 . (2) En cambio, la camioneta se mueve con movimiento rectilneo uniforme a partir de xoC = 30 m, por lo que la ecuacin (1.8) se puede escribir como

xC = 30 + 13.89t.

(3)

Ahora, reemplazando tA = 2 s en la ecuacin (1), se tiene que la posicin del autobs cuando aplica los frenos es xB = 33.34 m.

(4)

2.3. CAMBIO EN EL MOMENTO LINEAL Y LEYES DE NEWTON

7el camin, generando una aceleracin de 50 cm s2 . a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin plateada, incluyendo el sistema de referencia a emplear. b) Plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad que rigen el movimiento del auto y del camin. c) El auto alcanza al camin? Por qu? d) Calcule el tiempo en que se detiene el auto. e) Calcule la posicin del auto y del camin en el instante que se detiene el auto. f) Analice completamente los resultados obtenidos.

O sea que al reemplazar la ecuacin (4) en la ecuacin (2), se tiene xA = 33.34 + 16.67(t 2) 1 0.5(t 2)2 . 2 (5) vA = 16.67 0.5(t 2). (6) En las expresiones (3), (5) y (6), t es el tiempo medido a partir de la situacin inicial del autobs y de la camioneta, mostrada en la gura. c) Si el autobs y la camioneta se encuentran, su posicin debe ser la misma. Por lo tanto, al igualar las ecuaciones (3) y (5), se llega a una expresin cuadrtica en t, cuya solucin es t = 7.56 66.85, que corresponde a soluciones fsicamente no aceptables, ya que se obtiene un tiempo imaginario que no tiene signicado dentro del marco de la fsica clsica. Lo anterior, permite concluir que el autobs y la camioneta no se encuentran. d) Para hallar el tiempo que tarda el autobs en detenerse, la ecuacin (6) se iguala a cero, lo que lleva al resultado t = 35.34 s. e) La posicin de los mviles cuando se detiene el autobs, se encuentra reemplazando la ecuacin (7) en las ecuaciones (3) y (5). De este modo se obtiene xA = 311.23 m y xC = 520.87 m.

2.3. Cambio en el momento lineal y leyes de NewtonEn esta seccin, se obtendr la forma matemtica de las leyes que rigen el cambio en el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. A partir de estas leyes y con ayuda de los conceptos vistos hasta ahora para una partcula, es posible llegar a conocer la forma como vara la posicin de una partcula con el tiempo [r(t)], es decir, es posible resolver completamente el problema dinmico de una partcula. De acuerdo con la situacin considerada en el primer experimento de la seccin 1.9.1, el cuerpo permanecer con movimiento rectilneo uniforme, momento lineal constante, mientras ningn otro cuerpo interacte con l, o lo que es igual, mientras ningn otro cuerpo lo obligue a cambiar dicho estado. La experiencia tambin muestra que un cuerpo permanece en reposo sobre una supercie, hasta que llegue otro cuerpo y lo obligue a moverse. En cualquiera de los dos casos, esto signica que su momento lineal no cambia o lo que es igual que su aceleracin es nula, ya que al no cambiar su momento lineal, no cambia su velocidad. Cuando se presenta una de estas dos situaciones, (reposo o MRU) se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio mecnico y se habla de equilibrio esttico si el cuerpo est en reposo, y de equilibrio dinmico o cintico si el cuerpo tiene movimiento rectilneo uniforme. Tambin puede ocurrir que un cuerpo, interactuando con varios cuerpos simultneamente,

El resultado anterior muestra que cuando el autobs se detiene, la camioneta se encuentra 209.64, m delante de l. Esto signica que el autobs, mientras se encuentra en movimiento, est atrs de l camioneta y por consiguiente no es posible que se encuentren como se concluy en el numeral c). Ejercicio 2.7. Un auto viaja a 16.67 m s1 a lo largo de una pista recta. El conductor del auto ve un camin que viaja delante de l a una distancia de 5 m y con una velocidad de 40 km h1 . El conductor del auto aplica los frenos a los 0.5 s de haber observado

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permanezca en estado de equilibrio. En este caso, se presenta una situacin en la cual las interacciones se anulan entre s, en otras palabras, el efecto de todas las interacciones es nulo. Por ejemplo, una lmpara suspendida del techo mediante una cuerda, se encuentra en estado de equilibrio esttico, aunque interacta simultneamente con la cuerda y la tierra. Igualmente, en el caso de un auto que se mueve sobre una supercie con MRU, est en equilibrio dinmico cintico, aunque simultneamente est interactuando con la tierra, con el piso y con el aire. En lenguaje matemtico, cualquiera de los dos estados considerados anteriormente, reposo y MRU, se pueden expresar en la forma v=0 v = Constante, es decir a = 0.

Se acostumbra denir un sistema de referencia inercial, como aquel que se encuentra en reposo o con movimiento rectilneo uniforme respecto a la tierra, ya que esta se toma aproximadamente como un sistema de referencia inercial, pues estrictamente no lo es. Como consecuencia de esta denicin, se tiene que todo sistema de referencia en reposo o con un movimiento rectilneo uniforme, respecto a un sistema de referencia inercial, tambin es un sistema de referencia inercial. En sntesis: La ley de inercia nicamente es vlida respecto a sistemas de referencia inerciales.

O lo que es igual p=0 p = Constante, es decir a = 0.

Pregunta : Por qu se arma que la tierra realmente no es un sistema de referencia inercial, aunque aproximadamente s lo es?

Esta es la forma matemtica de expresar la Primera ley de Newton, tambin conocida como la ley de inercia, que en palabras se puede enunciar en la forma: Todo cuerpo permanecer en un estado de equilibrio mecnico, mientras no interacte con ningn otro cuerpo o al interactuar con otros cuerpos la interaccin neta es nula. Como el movimiento de un cuerpo depende del observador, o lo que es igual del sistema de referencia correspondiente, esta ley es prcticamente un enunciado relativo a sistemas de referencia, ya que al enunciarla hay que especicar respecto a cul sistema de referencia la partcula se encuentra en estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme. Para que un cuerpo pueda estar en reposo o tener MRU, el sistema de referencia debe ser tal que su aceleracin sea cero. A un sistema de este tipo se le conoce como sistema de referencia inercial y al observador ligado a dicho sistema de referencia se le conoce como observador inercial. El concepto de sistema de referencia inercial es de mucha utilidad, ya que uno de los modelos que se discutir para resolver el problema dinmico de una partcula, solo es vlido respecto a este tipo de sistemas de referencia.

A los sistemas de referencia con aceleracin diferente de cero o momento lineal variable, se les conoce como sistemas de referencia acelerados o sistemas de referencia no inerciales. Respecto a estos sistemas, no tienen validez las leyes Newton. A continuacin se consideran situaciones comunes, en las que se maniesta la ley de inercia. 1. En la gura 2.8, se muestra un cuerpo en reposo respecto a una supercie horizontal.

y

v= 0 x

O

Figura 2.8: Cuerpo en reposo sobre una supercie horizontal. Como el cuerpo est en reposo respecto al piso, su momento lineal respecto al piso es cero. Necesariamente, el cuerpo permanecer en reposo mientras ningn otro cuerpo interacte


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con l, obligndolo a cambiar de estado, es de- tante de bajarse. Cuando una persona no lleva cir, obligndolo a moverse sobre la supercie. a cabo esta accin, lo ms seguro es que cae de Si el cuerpo corresponde a un auto con sus narices al piso. pasajeros, cuando este arranca, los pasajeros Pregunta : se mueven hacia el espaldar de la silla, ya que Suponga que se encuentra en el interior por la ley de inercia, cuando acelera el auto, los de un ascensor. Qu se percibe cuando pasajeros tienden a continuar en el estado de el ascensor, arranca ascendiendo y arranvelocidad cero, esto es, en reposo. 2. En la gura 2.9, se tiene un cuerpo sobre una supercie horizontal lisa y con movimiento La primera ley de Newton o ley de inercia tamrectilneo uniforme, respecto a dicha supercie. bin se relaciona con el concepto de masa. Para ello, se consideran los cuerpos de masas M y y m (M > m), mostrados en las guras 2.10 y 2.11. v = constante - Cuando los dos cuerpos se encuentran en reposo, respecto a un observador inercial jo al piso, a cul es ms difcil cambiarle su estado de reposo?yca descendiendo? Explique sus respuestas a la luz de la Primera ley de Newton.

O

x

Figura 2.9: Cuerpo en movimiento sobre una supercie horizontal. En este caso, el cuerpo contina movindose con el mismo momento lineal o la misma velocidad, mientras no interacte con ningn otro cuerpo. Si el cuerpo corresponde a un auto con sus pasajeros, cuando este acelera, la ley de inercia se maniesta cuando el cuerpo aprisiona el espaldar de la silla, debido a la rapidez menor que se tena en el instante de acelerar. Por otro lado, cuando frena ocurre lo contrario debido a la ley de inercia, ya que los pasajeros tienen un movimiento involuntario en el sentido de movimiento, debido a la velocidad mayor que se tena en el instante de frenar. 3. Para no caer de narices al piso, qu debe hacer una persona cuando se baja de un autobs en movimiento? Si una persona desciende de un autobs en movimiento, en el instante que tiene contacto con el pavimento, debe correr en el mismo sentido del auto para no caer al piso. Esto se debe hacer, ya que por la ley de inercia la persona contina con la velocidad que tena en el ins-

v=0 M

v=0 m x

Figura 2.10: Cuerpos en reposo. La experiencia muestra que es ms difcil cambiar el estado del cuerpo que tiene mayor masa. De este modo, el cuerpo de masa M presenta ms oposicin o resistencia a cambiar de estado, en otras palabras, el cuerpo de masa M tiene mayor tendencia a continuar en reposo. En conclusin, el cuerpo de masa M tiene mayor inercia que el cuerpo de masa m.Actividad : Trate de mover una silla vaca y luego una silla con una persona sentada en ella. Nota la diferencia?

- Si los dos cuerpos se mueven con igual velocidad respecto a un sistema de referencia jo al piso, cul es ms difcil llevar al estado de reposo? Igual que en el caso anterior, el cuerpo de masa M tiene una mayor tendencia a continuar

10y


v M

v m x

Figura 2.11: Cuerpos en movimiento. con movimiento rectilneo uniforme, es decir, que este cuerpo posee mayor inercia. De estos dos casos, se puede inferir que la masa es una medida de la inercia de los cuerpos. Esto es, la masa es una medida de la resistencia que presentan los cuerpos al cambio de estado y presenta mayor inercia o resistencia el cuerpo que tiene mayor masa. En este sentido, como se analiza en el tema de la gravitacin universal, hay distincin entre los conceptos de masa inercial y masa gravitacional. Para la situacin considerada en la gura 1.20, las partculas interactan durante un intervalo de tiempo t = t t. Al dividir la ecuacin (1.18) por t, se tiene

La ecuacin (2.14), es la forma matemtica de expresar la interaccin de la partcula 2 sobre la partcula 1, y se conoce como la segunda ley de Newton, ley de fuerza ecuacin de movimiento. Como m1 es la masa de la partcula 1, su momento lineal es p1 = m1 v1 y la ecuacin (2.14) se transforma en d F1 = (m1 v1 ). (2.15) dt Si la masa m1 es constante, la ecuacin (2.15) se convierte en dv1 F1 = m1 dt = m 1 a1 . (2.16)

Para el caso particular de masa constante, la segunda ley de Newton queda dada entonces por la ecuacin (2.16). Generalmente, la segunda ley de Newton se reere al caso de una partcula sobre la que actan varias fuerzas simultneamente, siendo F la fuerza neta, total resultante de las fuerzas aplicadas. Adems, cada fuerza representa la interaccin de la partcula con otra. As, cuando el momento lineal de una partcula cambia con el tiempo, es porque sop2 p1 = . (2.12) bre la partcula acta una fuerza neta diferent t te de cero. En adelante, la interaccin accin Si, adems, se hace que t 0, la ecuacin del medio ambiente sobre una partcula se rep(2.12) se puede escribir en la forma resenta matemticamente mediante el concepto de fuerza ( F ). p2 p1 A la recta innita sobre la que acta una lm = lm , t0 t t0 t fuerza se le denomina lnea de accin de la fuerza. y por denicin de derivada se obtiene dp1 dp2 = . dt dt (2.13) Dimensiones y unidades fuerza De acuerdo con la denicin del vector fuerza, se tiene que sus dimensiones corresponden al cociente de las dimensiones del vector momento lineal con la dimensin de tiempo, es decir [F ] = [dp] [dt]1 = MLT2 . Por ello, las unidades correspondientes son kg m s2 en el sistema internacional de unidades, donde se dene el Newton en la forma 1 kg m s2 1 N. En el sistema gaussiano la unidad es g cm s2 donde se utiliza la denicin 1 g cm s2 1 dina. En el sistema ingls la unidad es la lb y su relacin con el sistema de unidades SI est dada por 1 lb 4.448 N.

La ecuacin (2.13) muestra que las variaciones respecto al tiempo, del momento lineal de las dos partculas, son iguales y opuestas. La fuerza que acta sobre la partcula 1, debido a su interaccin con la partcula 2, se dene como el cambio con respecto al tiempo del vector momento lineal de la partcula 1, esto es, la fuerza que acta sobre la partcula 1 es F1 = dp1 . dt (2.14)


11 fuerza que se ejerce sobre ella es la accin, entonces la reaccin corresponde a la fuerza que la piedra ejerce sobre el pi y es la responsable del dolor que puede presentarse una vez que esta situacin ocurre. Por qu se le hecha la culpa a la piedra, si ella solo responde a la accin que ejercemos sobre ella?

Otra unidad que es utilizada algunas veces es el kilogramo fuerza, denido como 1 kgf 9.8 N. La relacin entre la unidad de fuerza en el sistema SI y el sistema gaussiano est dada por 1 N 105 dinas. De las ecuaciones (2.13) y (2.14) se tiene que F1 = F2 (2.17)

La ecuacin (2.17), es la forma matemtica de expresar la tercera ley de Newton y se puede enunciar en la forma La fuerza que ejerce la partcula 1 sobre la partcula 2 es igual en magnitud pero opuesta en direccin a la fuerza que la partcula 2 ejerce sobre la partcula 1.

2.3.1. Diagrama de cuerpo libreEn esta unidad se han considerado las causas por las que cambia el estado de reposo de movimiento de un cuerpo, cuando este interacta con otros cuerpos. Para su estudio, se dispone de los conceptos descritos y analizados hasta este momento en el curso. Slo se ha considerado el movimiento de traslacin de los cuerpos, o sea, que estos se pueden tratar bajo el modelo de partcula. Ahora, cuando se va a analizar el comportamiento dinmico de un cuerpo, lo primero que se hace es llevar a cabo los siguientes pasos: Denir un sistema, que generalmente est formado por varios cuerpos. Elegir, del sistema, el cuerpo al cual se le va a analizar el estado de reposo o de movimiento, es decir, el cuerpo o partcula de inters. Delimitar el medio ambiente o alrededores, formado por el resto del sistema, o sea, por los cuerpos cercanos que interactan con el cuerpo de inters.

1

F1 F2 2

Figura 2.12: Par accin-reaccin. Es costumbre decir que F1 y F2 forman un par accin-reaccin. Las dos fuerzas que conforman un par accinreaccin, como el mostrado en la gura 2.12, cumple simultneamente las siguientes condiciones 1. Aparecen simultneamente. 2. Nunca actan sobre el mismo cuerpo, sino una sobre cada uno de los cuerpos.

Para aclarar los pasos anteriores, se conside3. Intervienen mientras los cuerpos interac- ran las siguientes situaciones tan. 1. Sistema cuerpo-tierra: Proyectil que se lanza 4. Tienen la misma lnea de accin. Las condiciones anteriores, permiten concluir que, en el universo no existen fuerzas aisladas, sino que siempre aparecen por parejas (pares accinreaccin), o sea, un cuerpo no puede autoacelerarse. La ley de accin y reaccin se maniesta en muchas situaciones comunes. Por ejemplo, cuando con el pi se le da a una piedra, si la desde el punto A con una velocidad que forma un ngulo no nulo con la horizontal. Para el sistema de la gura 2.13, tomando el proyectil como cuerpo o partcula de inters, los alrededores lo conforman el aire y la tierra. 2. Sistema masa-resorte: Bloque sujeto a un resorte y en movimiento sobre una supercie

12


vo A q

v S TTierra

Figura 2.13: Proyectil lanzado desde el punto A. plana. Para el sistema de la gura 2.14.a Figura 2.15: Satlite que rota alrededor de la tierra. 2.14.b, si el bloque se toma como cuerpo o partcula de inters, los alrededores lo conPara poder llevar a cabo lo anterior, es neceformarn el resorte, la supercie plana, el sario hacer lo que se conoce como diagrama de aire y la tierra. cuerpo libre (DCL), que consiste en tomar el cuerpo de inters y reemplazar la interaccin de l Movimiento con cada cuerpo de sus alrededores por el vector fuerza correspondiente. A continuacin se muestran los diagramas de (a) cuerpo libre para cada uno de los casos anteriores.

o ient vim Mo

(b)Figura 2.14: Bloque sujeto a un resorte sobre una supercie a) horizontal, b) inclinada.

1. Sistema cuerpo-tierra: En la gura 2.16, se muestra el diagrama de cuerpo libre para el proyectil, en varias posiciones de su trayectoria, donde slo se considera una fuerza ya que se ha considerado la interaccin del proyectil nicamente con la tierra.Mg Mg Mg Tierra Mg

Mg

3. Sistema satlite-tierra: Satlite que rota alrededor de la tierra. En el sistema de la gura 2.15, el cuerpo o partcula de inters puede ser el satlite, o sea que el medio ambiente corresponde a la tierra. En los tres casos anteriores, se observa que los alrededores slo incluyen el medio o los cuerpos ms cercanos al cuerpo de inters, ya que los efectos de los cuerpos ms alejados generalmente son insignicantes. De este modo, en estas situaciones o en cualquier otra, lo que se busca es analizar la forma como es afectado el movimiento de traslacin del cuerpo de inters por los alrededores. As, el movimiento del cuerpo queda determinado por la accin del medio ambiente sobre l.

A Mg

Figura 2.16: Proyectil lanzado desde el punto A. Ac se tiene el caso de un cuerpo de masa M, que se mueve sometido a la fuerza que le ejerce la tierra, por lo que est sometido a una aceleracin conocida como la aceleracin de la gravedad g, con un valor experimental de 9.8 m s2 en el sistema de unidades SI y 32.2 p s2 en el sistema ingls. Por consiguiente, la fuerza que la tierra ejerce sobre dicho cuerpo, comnmente


13Movimiento N Fe (a)imie M ov nto

llamada peso, est dada por F = W = mg El peso es una propiedad caracterstica de todo cuerpo, independientemente que se encuentre en reposo o en movimiento, respecto a un observador inercial, como se ilustra en la gura 2.17.

Mg

N

Fe Mg

y v=0 m O W = Mg (a) y Movimiento m O x W = Mg (b)Figura 2.17: Peso de un cuerpo: a) en reposo b) en movimiento. 2. Sistema masa-resorte: En la gura 2.18 se tiene el diagrama de cuerpo libre para el bloque, donde la fuerza Fe conocida como fuerza elstica, se debe a la interaccin del bloque con el resorte, la fuerza Mg denida como el peso del cuerpo, debido a su interaccin con la tierra y la fuerza N conocida como normal, es la fuerza que la supercie ejerce perpendicularmente sobre el cuerpo. A la ltima fuerza se le conoce como normal, ya que siempre es perpendicular a la supercie que la genera. En este diagrama de cuerpo libre no se han tenido en cuenta los efectos del aire, que se estudiarn posteriormente. Ms adelante se considera con mayor detalle la fuerza que ejerce un resorte cuando interacta con un cuerpo. 3. Sistema Satlite-Tierra: El diagrama de cuerpo libre, teniendo en cuenta que el Satlite que rota alrededor de la Tierra es el cuerpo de inters, se muestra en la gura 2.19. En este caso, el medio ambiente corresponde a la Tierra.(b)

x

Figura 2.18: Bloque sujeto a un resorte sobre una supercie a) horizontal, b) inclinada.

S F T

Figura 2.19: Satlite que rota alrededor de la Tierra. La lnea de accin de la fuerza que ejerce la Tierra sobre el Satlite, pasa por el centro de la tierra, independientemente de la posicin del Satlite en su trayectoria. Como se ver en lo que sigue, el objetivo ltimo de la dinmica es poder predecir, en un problema mecnico especco, cmo se seguir moviendo una partcula cuando sus alrededores y condiciones iniciales se conocen. Una vez realizado lo anterior, se dice que se ha resuelto completamente el problema dinmico, lo que matemticamente equivale a conocer la forma como vara el vector posicin con el tiempo, es decir, conocer la forma explcita de r(t).

14Pregunta : La gura 2.17 corresponde al diagrama de cuerpo libre para el cuerpo de masa M? Explique.


currentes, se tiene F = F1 + F2 + F3 + . . . dp = dt = Fi

2.3.2. Fuerza neta, total o resultante de un sistema de fuerzas concurrentesDebido a la interaccin con otros cuerpos, al cuerpo de la gura 2.20 se le aplican varias fuerzas en el punto A, es decir, las fuerzas son concurrentes. Es posible reemplazar este sistema de fuerzas por una sola fuerza, llamada resultante, que produce el mismo efecto que las fuerzas concurrentes simultneamente aplicadas.

= =z F2 F3 x

( Fxi i + Fyi j + Fzi k) ( Fxi )i + ( Fyi )j + ( Fzi )k.z F1 FZ k y F4 x A Fx i F Fy j y

A

F2A A

F1

Figura 2.21: Resultante de varias fuerzas.

F

A

Como en general se tiene que la resultante est dada por F = Fx i + Fy j + Fz k,

F3

igualando componentes, por ser los vectores unitarios i, j y j linealmente independientes, se Figura 2.20: Fuerzas concurrentes sobre un cuerpo. encuentra que Fx = Fxi , Matemticamente se opera de acuerdo con las reglas de la geometra vectorial, ya que en este Fy = Fyi . caso se cumple el principio de superposicin, Fz = Fzi . que arma: La resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo, es igual a la suma vectorial de En el caso de dos dimensiones, si se conotodas las fuerzas simultneamente aplicadas al cuer- cen las componentes de cada fuerza coplanar, la po. Esta es la operacin inversa a la descomposi- magnitud de la resultante se obtiene mediante cin de fuerzas. esto es la aplicacin del teorema de Pitgoras 2 2 F = F1 + F2 + F3 + . . . F = Fx + Fy = Fi y para su direccin, se acostumbra emplear dp = la denicin de la funcin trigonomtrica tandt gente Fy tan = Fx 2.3.3. Resultante de un sistema de Para analizar el caso de tres dimensiones, se fuerzas utilizando componentes considera la gura 2.22, en la que F es la rerectangulares sultante de un sistema de fuerzas espaciales, Suponiendo que sobre la partcula de la gura la cual tiene componentes en tres dimensiones 2.21, actan varias fuerzas necesariamente conpara el caso ms general. En la gura 2.22 se ha

F4


15z Fzk

z F A y x

A Fxi

q Fh

F Fy j j y

x

Figura 2.22: Resultante en tres dimensiones. tomado el origen del sistema de coordenadas, coincidente con el punto A de concurrencia de las fuerzas componentes. Esta fuerza se puede descomponer en una componente paralela al eje z, Fz k, y otra componente paralela al plano xy, Fh , como se ilustra en la gura 2.23.z Fzk q A Fh x F y

Figura 2.24: Resultante en tres dimensiones. Por lo tanto, la magnitud de la componente Fh al cuadrado, de acuerdo con la gura 2.24, es Fh 2 = Fx 2 + Fy 2 . (2.23)

Donde al reemplazar la ecuacin (2.23) en la ecuacin (2.20), se tiene que la magnitud de la fuerza resultante se obtiene mediante la expresin 2 2 2 F = Fx + Fy + Fz . Donde la magnitud de cada componente se encuentra al reemplazar la ecuacin (2.19) en las ecuaciones (2.21) y (2.22), junto con la ecuacin (2.18) se llega nalmente a Fx = F sen sen . Fy = F sen cos .

Figura 2.23: Resultante en tres dimensiones.

(2.24) Fz = F cos . Las magnitudes de estas componentes estn En las ecuaciones (2.24), se expresa la magnitud dadas por de las componentes en funcin del ngulo que Fz = F cos (2.18) forma la fuerza resultante con el eje z y del nFh = F sen . (2.19) gulo que forma la componente horizontal con el eje y. Otra forma es expresar las componentes De este modo, utilizando la gura 2.23, se tiene rectangulares en funcin de la magnitud de la que el cuadrado de la magnitud de la fuerza ne- resultante y de los ngulos que forma la fuerza total con cada uno de los ejes, como se ilustra en ta est dada por la gura 2.25. 2 2 2 Donde es el ngulo que forma la resultante F = Fh + Fz . (2.20) con el eje x, con el eje y y con el eje z. De acuerdo con la gura 2.25, la fuerza neta Adicionalmente, la componente Fh paralela al tiene componentes en las tres direcciones perplano xy se descompone en sus componentes rectangulares Fx i y Fy j como lo muestra la gura pendiculares, de tal manera que se puede expresar en la forma 2.24. La magnitud de las componentes rectangulaF = Fx i + Fy j + Fz k, res de Fh , estn dadas respectivamente, por F = ( F cos )i + ( F cos )j + ( F cos )k, Fx = Fh sen Fy = Fh cos . (2.21) (2.22) F = F (cos i + cos j + cos k), F = F . (2.25)

16z g F b A x


a

y

Figura 2.25: Angulos que forma la resultante con cada eje. Teniendo en cuenta la gura 2.26, en la ecuacin (2.25) se ha expresado la fuerza resultante en funcin del ngulo que forma el vector con cada eje de coordenadas y se ha denido el vector unitario , que en componentes rectangulares queda expresado porz g a l A x b F y

Es importante hacer nfasis en el hecho que que la fuerza resultante, fuerza neta o fuerza total F, es fsicamente equivalente a las fuerzas F1 , F2 , F3 y F4 aplicadas simultneamente a la cuerpo de la gura 2.20. Pautas generales a seguir en la solucin de situaciones fsicas, relacionadas con la dinmica de una partcula Hasta este momento, en esta unidad se han denido y analizado los conceptos: de aceleracin como consecuencia del cambio en la velocidad, de fuerza como causa del cambio en el momento lineal, de diagrama de cuerpo libre donde se consideran todas las interacciones del cuerpo de inters con otros cuerpos y de fuerza resultante como la suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo. Estos conceptos constituyen el primer mtodo que permite resolver completamente el problema dinmico de una partcula, donde se deben tener en cuenta las siguientes pautas en la solucin de diferentes situaciones fsicas a resolver. 1. Tener claridad sobre la situacin planteada en el enunciado, identicando las cantidades dadas, las cantidades conocidas y las incgnitas a obtener. 2. Si no es dado, hacer un diagrama ilustrativo de la situacin fsica que se ha planteado, y en el cual se muestren las condiciones fsicas del problema. A este diagrama se le conoce como diagrama espacial. 3. Elegir el cuerpo de inters y hacer un diagrama que muestre todas las fuerzas que acten sobre l, esto es, hacer el diagrama de cuerpo libre. 4. Elegir un sistema de referencia adecuado que facilite la solucin del problema, en lugar de generar complejidad. 5. De acuerdo con el sistema de referencia elegido, plantear las ecuaciones de movimiento que garanticen la situacin planteada. 6. Resolver el sistema de ecuaciones simultneas encontrado, con el n de obte-

Figura 2.26: Vector unitario paralelo a la fuerza resultante.

= (cos )i + (cos )j + (cos )k, . (2.26) Ahora, como tiene magnitud 1 por ser un vector unitario, se satisface la relacin 1 = x + y + z .2 2 2

(2.27)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.26) y (2.27), se tiene que los ngulos que forma la fuerza resultante con los ejes coordenados no son independientes, sino que cumplen la condicin cos2 + cos2 + cos2 = 1. (2.28)

En las ecuaciones (2.25), (2.26) y (2.28), los trminos cos , cos y cos , se conocen como cosenos directores de la fuerza neta F, los cuales permiten conocer sus componentes rectangulares, de acuerdo con la ecuacin (2.25).


17Lo cual permite expresar la fuerza neta en componentes las rectangulares F = ( 41.53i 114.6j)N Por lo que su magnitud est dada por F = 121.89 N y su direccin, mostrada en la gura siguiente, por = 70.08o .

ner la informacin solicitada. De ser posible, resolverlo en forma literal, ya que esto permite hacer un anlisis del resultado y permite vericar si las dimensiones son correctas. 7. Dar los resultados numricos, con las unidades adecuadas.Ejemplo 2.5. Sobre una partcula de masa 3.0 kg, actan cuatro fuerzas como se indica en la gura. a) Calcular la fuerza neta o resultante que acta sobre la partcula. b) Calcular la aceleracin de la partcula. c) Escribir las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, si la partcula parte del origen con velocidad inicial cero. d) Obtener la ecuacin de la trayectoria seguida por la partcula.

y F i x q Fy j F x

De este modo

yo F 2 = 5 N 37

F = 121.89 NF 1= 10 N

70.08o

30 50 oF 3=100 N

o

x

b) De acuerdo con la forma de la segunda ley de Newton para masa constante, F = ma, la ecuacin de movimiento para la partcula considerada, est dada por

F 4= 50 N

( 41.53i 114.6j)N = (3.0 kg)a.As, la aceleracin en componentes rectangulares es a = ( 13.83i 38.2j)m s2 , con magnitud a = 40.63 m s2 y direccin = 70.08o , como se esperaba, ya que la aceleracin es paralela a la fuerza resultante. O sea

20

o

Solucin Este es un caso en el cual se da directamente el diagrama de cuerpo libre, es decir, no se muestran los cuerpos que conforman los alrededores, sino sus interacciones con la partcula de inters. a) En el caso de dos dimensiones, la fuerza neta o resultante F = F1 + F2 + F3 + F4 , se obtiene hallando sus componentes rectangulares Fx y Fy , teniendo en cuenta el sistema de referencia mostrado. De este modo, la componente en x de la resultante, adquiere el valor Fx

a = 40.63 ms-2

70.08

o

= Fix = 41.53 N.

+

Igualmente, la componente en y de la resultante, est dada por Fy

= + Fiy = 114.6 N.

c) De acuerdo con el enunciado y el resultado anterior, las condiciones iniciales estn dadas por a x = 13.83 m s2 , ay = 38.2 m s2 , v xo = 0, vyo = 0 y to = 0. Ahora, como a x y ay son constantes, se tienen componentes de movimiento uniformemente acelerado a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas. As, las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad que rigen el movimiento de la partcula, adquieren la forma siguiente: Componente de movimiento en x x = 6.9t2 , v x = 13.8t.

18Componente de movimiento en y y = 19.1t2 , vy = 38.2t.


y F2 = 5 N 53o40 F 3=100 No

60oo

d) Utilizando las ecuaciones cinemticas de posicin, se encuentra que la ecuacin de la trayectoria seguida por la partcula tiene la forma y = 2.8x, que corresponde a la ecuacin de una lnea recta, con pendiente 2.8 es decir, forma un ngulo = 70.09o con la horizontal, como se muestra en la siguiente gura.

F 1= 10 N F5

x

70

F 4= 50 N

y x 70.08 TrayectoriaMediante este ejemplo se ha podido mostrar que con el objetivo de la dinmica se ha cumplido, ya que fue posible obtener la trayectoria seguida por la partcula, con slo conocer las fuerzas que actan sobre ella y las condiciones iniciales impuestas. Ejercicio 2.8. Sobre una partcula de masa 3.0 kg, actan cinco fuerzas como se indica en la gura siguiente. a) Calcule la fuerza adicional F5 que se aplica a la partcula, para que la resultante de las fuerzas sea horizontal, con magnitud 50 N y dirigida horizontalmente hacia la derecha. b) Calcule la aceleracin correspondiente de la partcula. c) Escriba las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, si la partcula parte del origen con una velocidad de 10.0 m s1 , dirigida en la direccin positiva del eje y. d) Obtenga la ecuacin de la trayectoria seguida por la partcula y trace una grca de ella. Ejemplo 2.6. Desde la base de un plano inclinado y liso, que forma un ngulo de 30o con la horizontal, se lanza un bloque de masa 500 g, con una velocidad de 15.0 m s1o

paralela al plano inclinado. a) Haga el diagrama de cuerpo libre para el bloque y plantee las ecuaciones de movimiento. b) Determine la aceleracin del bloque. c) Halle la fuerza que la supercie ejerce sobre el bloque. d) Plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, que rigen el movimiento del bloque. e) Cunto tiempo asciende el bloque por el plano inclinado? f) Hasta qu altura, respecto a la base del plano inclinado, asciende el bloque? Solucin De acuerdo con el enunciado, las cantidades dadas son m = 500 g 0.5 kg, = 30o y vo = 15.0 m s1 , con la cantidad conocida g = 9.8 m s2 . a) Diagrama de cuerpo libre: Sobre el bloque acta la normal N debido a su interaccin con la supercie; y el peso mg debido a su interaccin con la tierra.to en mi vi

MoN

mg q

La ecuacin de movimiento en la direccin paralela al plano inclinado, adquiere la forma

mg sen = ma x . (1) Adicionalmente, la ecuacin de movimiento en la direccin perpendicular al plano inclinado adquiere la forma + Fiy = 0,N mg cos = 0, (2)

+ Fix = ma x ,


19inclinado es xmx = 22.96 m, as, mediante la gura anterior se encuentra que la altura mxima alcanzada por el cuerpo es h = 11.48 m.

ya que en dicha direccin no hay movimiento. b) Como slo hay movimiento en la direccin paralela al eje x, se tiene que la aceleracin del bloque es a = a x , as, mediante la ecuacin (1)se encuentra que la aceleracin de la partcula es a = g sen, cuyo valor es a = 4.9 m s2 . c) Empleando la ecuacin (2), correspondiente a la ecuacin de movimiento en la direccin paralela al eje y, se encuentra que la fuerza ejercida por la supercie sobre el bloque es N = mg cos, encontrndose el valor N = 4.24 N. d) De acuerdo con el sistema de referencia mostrado en la gura, el bloque se mueve sobre el eje x con una aceleracin de 4.9 m s2 .

En este caso ha sido posible resolver completamente el problema dinmico del bloque, sabiendo con que otros cuerpos interacta y cules son las condiciones iniciales.Ejercicio 2.9. Un bloque, de masa 500 g, parte del reposo y se mueve sobre un plano inclinado liso que forma un ngulo de 30o con la horizontal. El bloque inicia su movimiento desde una altura de 9.0 m respecto a la base de plano inclinado. a) Haga el diagrama de cuerpo libre para el bloque. b) Determine la aceleracin del bloque. c) Plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, que rigen el movimiento del bloque. d) Cunto tiempo tarda el bloque en llegar a la base del plano inclinado? e) Cul es la velocidad del bloque cuando llega a la base del plano inclinado? Ejemplo 2.7. Como se muestra en la gura, dos bloques unidos son empujados por una persona sobre una supercie horizontal, como se ilustra en la gura. La fuerza F representa la interaccin entre la persona y el bloque 1. Analice los pares accin que se presentan, debido a la interaccin de los bloques con otros cuerpos.

y

Mo

ien vim

to

x

qDe este modo, las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, estn dadas por x = 15t 2.45t2 y v = 15 4.9t

F

e) Como el bloque tiene un movimiento rectilneo uniformemente retardado, llega un momento en el cual su velocidad se hace cero. De este nodo, mediante la ecuacin cinemtica de velocidad, se encuentra que en ese instante t = 3.06 s. f) Reemplazando t = 3.06 s en la ecuacin cinemtica de posicin, se encuentra que el mximo desplazamiento sobre el plano

1 2

Solucin Para hacer referencia a los pares accinreaccin que se tienen en este caso, se consideran los diagramas de cuerpo libre mostrados en la siguiente gura. En la gura (a) se tiene el diagrama de cuerpo libre para el sistema formado por los dos cuerpos, mientras que las guras (b) y (c) corresponde, respectivamente, a

20N1 F W1 1 2 (i) W2 Fc N2 , 1 W2 (iii)los diagramas de cuerpo libre de los bloques 1 y 2. En lo que sigue, se supone que cada una de las fuerzas que aparecen en los diagramas de cuerpo libre corresponden a la accin. La reaccin de la fuerza F, acta sobre la persona que interacta sobre el bloque. La reaccin de las normales N1 y N2 , actan sobre el piso que es quien las ejerce sobre los bloques. La reaccin de los pesos W1 y W2 , acta sobre la tierra ya que ella es la que ejerce dichas fuerzas. En el diagrama de cuerpo libre del sistema formado por los dos bloques, no aparecen las fuerzas de contacto, esto es, la fuerza que un bloque ejerce sobre el otro ya corresponde a fuerzas internas al sistema considerado, mientras que en los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo por separado estas s aparecen por tomar el carcter de fuerza externa ejercida a cada bloque. De este modo, si Fc es la accin que acta sobre 1, la reaccin es F,c que acta sobre 2. Debe quedar claro que en cualquier diagrama de cuerpo libre las fuerzas que aparecen son las fuerzas externas que acten sobre el cuerpo o sistema que se desee analizar. Ejemplo 2.8. La torre de la gura se sostiene mediante tres cables sujetos en la parte superior, como se indica. La tensin en el cable AB es 500 N, la tensin en el cable AC es 800 N, la tensin en el cable AD es 103 N y la distancia OD es 7 m.(a) Halle las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas. (b) Encuentre la fuerza neta que acta sobre la torre en el extremo A. Solucin (a) Para determinar las componentes de la tensin en cada una de las cuerdas, se


N2 F

N1 1 W1 (ii) Fc17 m

z

A

3m

C O 35o

3.5 m 2m

B 1m

y

x

D

denen los vectores unitarios AB , AC y AD , paralelos respectivamente a las tensiones T AB , T AC y T AD , como se ilustra en la gura.zC

A l lD

T AB 17 m T AC T AD 3m C O 35 xo

3.5 m 2m

B 1m

y

D

De acuerdo con la gura, las coordenadas de los extremos de cada cuerda estn dadas por A(0, 0, 17 m), B(1 m, 2, 0), C (3 m, 3.5 m, 0) y D (5.73 m, 4.01 m, 0) Teniendo en cuenta las coordenadas anteriores, se encuentra que los vectores unitarios en componentes rectangulares estn dados por AB AC AD

= 0.06i + 0.12j 0.99k, = 0.17i 0.2j 0.97k, = 0.31i + 0.22j 0.92k.

Como TAB = TAB AB , TAC = TAC AC y TAD = TAD AD , las componentes rectangulares de las tensiones en cada una de las cuerdas, estn dadas por TAB TAC TAD

= (30i + 60j 495k) N, = (136i 160j 776k) N, = (310i + 220j 920k) N.

(b) Teniendo en cuenta las componentes rectangulares en cada cuerda, las componentes rectangulares de la fuerza neta, total o resultante que acta en el extremo A de la torre, son F = (144i + 120j 2191k) N.


21ya=-gj

De este modo, su magnitud y direccin estn dadas por F = 2199 N, x = 86.25o , y = 86.87o , z = 4.89o .

O O

Tierra Tierra

2.3.4.

Movimiento vertical de los cuerpos

Este movimiento, ms conocido como cada libre, se presenta cuando un cuerpo se mueve en el vaco, sometido nicamente a su interaccin con la tierra. En esta seccin se desprecian los efectos que pueda tener el aire sobre el movimiento de los cuerpos, lo que equivale a suponer que se mueven en el vaco. Este es un ejemplo muy importante de movimiento rectilneo uniformemente acelerado, y se presenta cuando los cuerpos caen libremente bajo la accin de la gravedad. La gura 2.27 muestra que en este caso slo acta el peso del cuerpo, por lo que el cuerpo adquiere un MRUA, ya que el cuerpo se mueve en lnea recta, sometido a la aceleracin de la gravedad que se toma constante.

a=+gj y

Figura 2.28: El signo de la aceleracin depende del sistema de referencia. eje y. As, g = gj, es decir, el signo es positivo cuando el eje y se toma positivo verticalmente hacia abajo y negativo cuando el eje y se toma positivo verticalmente hacia arriba. En sntesis, el signo depende del sistema de referencia como se indica en las guras 2.28. En la gura 2.29, se indican los dos sentidos de movimiento que puede presentar un cuerpo, cuando se mueve verticalmente sometido a la aceleracin de la gravedad. En este caso, el cuerpo A tiene movimiento rectilneo uniformemente retardado ya que el sentido del vector velocidad se opone al sentido del vector aceleracin de la gravedad; en su lugar, el cuerpo B tiene movimiento rectilneo uniformemente acelerado ya que el sentido del vector velocidad coincide con el sentido del vector aceleracin de la gravedad.

mg

TierraFigura 2.27: Diagrama de cuerpo libre. La aceleracin con la cual se mueven libremente los cuerpos a lo largo de la vertical, se debe a la accin de la tierra sobre los ellos y como ya se sabe, se denomina aceleracin de la gravedad, as que es un vector dirigido siempre hacia abajo en la direccin vertical y se representa por el smbolo g. El signo de g y por ende de la fuerza, independientemente del sentido de movimiento del cuerpo a lo largo de la vertical, depende del sentido que se tome como positivo para el eje vertical, que generalmente se hace coincidir con el

Movimiento A

a=g

B Movimiento

TierraFigura 2.29: Movimiento vertical acelerado y desacelerado. En conclusin, cuando un cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba, el movimiento es retardado y cuando un cuerpo se suelta o se lanza verticalmente hacia abajo, el movimiento es acelerado, independiente del sistema de referencia. El valor de la aceleracin de la gravedad g vara de un lugar a otro de la supercie terres-

22


tre, debido a los cambios de altura respecto al nivel del mar. El mximo valor de la aceleracin de la gravedad se encuentra sobre la supercie de la tierra, ya que esta disminuye cuando nos alejamos de ella o cuando nos acercamos al centro de la tierra. El valor mximo es cercano a g = 9.8 m s2 en el sistema de unidades SI g = 32.2 p s2 en el sistema ingls de unidades. El valor de g es el mismo para todos los cuerpos que caen y se toma independiente de la altura, mientras no se alejen mucho de la supercie terrestre ya que como se expres antes su valor disminuye a medida que la distancia sobre la supercie terrestre o bajo ella, menos masa que atrae aumenta. La aceleracin de la gravedad en Medelln es del orden de 9.7658 m s2 , que es un valor cercano al tomado como referencia.Ejemplo 2.9. Desde la supercie de la tierra se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 54 km h1 . A los 0.7 s de lanzada la piedra, se deja caer un pequeo bloque de madera desde una altura de 10 m, respecto a la supercie de la tierra. Los cuerpos se mueven sobre trayectorias paralelas. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin planteada, donde se muestre el sistema de referencia a emplear y el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. b) Plante la ecuacin de movimiento para cada cuerpo y encuentre su aceleracin. c) Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad que rigen el movimiento de la piedra y del bloque. d) Calcule el tiempo que demoran los cuerpos en pasar uno frente al otro. e) En el instante que el bloque llega al piso, dnde se encuentra la piedra? Asciende o desciende la piedra? Solucin De acuerdo con el enunciado, las cantidades dadas son voP = 54 km h1 15 m s1 , to = 0.7 s y yob = 10 m, donde la cantidad dada es g = 9.8 m s2 . a) Diagrama ilustrativo de la situacin planteada y diagrama de cuerpo libre En el diagrama se ha tomado el origen de coordenadas del sistema de referencia, en la supercie de la tierra. Igualmente se

y (m) 10 vob= 0 m1g

15 m s -1 m2g

O

Tierra

muestra la posicin inicial de la piedra y la posicin del bloque en ese instante. Al despreciar los efectos del aire, la nica interaccin de la piedra y el bloque es con la tierra que genera el peso en cada caso. b) Ecuaciones de movimiento o forma de la segunda ley de Newton para cada cuerpo. Para m1

+ Fiy = m1 a; m1 g = m1 a1Para m2

(1)

+ Fiy = m2 a; m2 g = m2 a2

(2)

De la ecuacin (1) (2), se encuentra que la aceleracin de cada cuerpo es a1 = a2 = g.

(3)

La ecuacin (3) muestra que para ambos cuerpos la aceleracin es negativa debido al sistema de referencia. Lo anterior indica que la piedra adquiere un movimiento rectilneo uniformemente desacelerado, mientras que el bloque de madera adquiere un movimiento rectilneo uniformemente acelerado. c) De acuerdo con el sistema de referencia mostrado, las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad para la piedra y el bloque son Para la piedra yp = 15t 1 9.8t2 , 2 vp = 15 9.8t. Para el bloque de madera yb = 10 1 9.8(t 0.7)2 , 2 vb = 9.8(t 0.7).

(4) (5)

(6) (7)

d) Cuando la piedra y el bloque se encuentran frente a frente, la posicin vertical es


23

la misma, es decir, las ecuaciones (4) y (6) son iguales. Al igualar y llevar a cabo el procedimiento, se encuentra que el tiempo que tardan en encontrarse es t = 0.93s. e) Cuando el bloque llega al piso, se tiene que yb = 0 , por lo que mediante la ecuacin (6) se encuentra que el tiempo de cada del bloque es t = 2.13 s.

2.3.5. Movimiento en un plano vertical debido a la interaccin con la tierraEn esta seccin se considera el movimiento de una partcula en el plano, utilizando las coordenadas rectangulares x, y. Posteriormente se analiza el movimiento de una manera ms general empleando las coordenadas polares r y . Este es un caso de movimiento, en el cual la partcula est interactuando con la tierra, es decir, est sometida a una fuerza que es constante en magnitud y direccin. Por consiguiente la fuerza y por lo tanto la aceleracin, slo tienen componente en una direccin. En la vida real se presenta este movimiento cuando se patea un baln de ftbol, cuando se golpea un baln de voleibol, cuando se lanza una pelota de bisbol, cuando se dispara un proyectil, o en general, cuando se lanza o dispara un cuerpo con una velocidad que forma un ngulo con la horizontal diferente de 0o 90o es decir, siempre que se cumple la condicin 0o < < 90o . Se presenta una situacin particular para = 0o , estos es, cuando el cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura determinada respecto a la supercie terrestre. Cuando un cuerpo adquiere tal movimiento, en todo instante est sometido a la aceleracin de la gravedad, que como se sabe, su magnitud y direccin permanecen constantes. En el anlisis que sigue, se supone que el aire no tiene ningn efecto sobre el movimiento de los cuerpos, o sea, se considera el movimiento como si fuera en el vaco, considerando nicamente la interaccin con la tierra. Se supone que una partcula se lanza desde el punto A, con una velocidad vo que forma un ngulo con la horizontal, como se muestra en la gura 2.30. En este movimiento, es posible descomponer la velocidad inicial en componentes horizontal y vertical, lo que permite hacer el anlisis utilizando coordenadas rectangulares. Al considerar slo la interaccin entre el cuerpo y la tierra, en el diagrama de cuerpo libre de la gura 2.30 aparece el peso como nica fuerza actuante. En este caso, la ecuacin de movimiento a lo largo de la vertical adquiere la

(8)

Para determinar la posicin de la piedra en ese instante, se remplaza la ecuacin (8) en la ecuacin (4) obtenindose el valor yp = 9.72 m. Para saber si la piedra asciende o desciende en ese instante, se remplaza la ecuacin (8) en la ecuacin (5), encontrndose el valor vp = 5.87 m s1 . Como el signo de la velocidad es negativo, de acuerdo con el sistema de referencia, se tiene que la piedra est descendiendo. Ejercicio 2.10. Desde la supercie de la tierra se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 54 km h1 . En el instante que se lanza la piedra, se deja caer un pequeo bloque de madera desde una altura de 10 m , respecto a la supercie de la tierra. Los cuerpos se mueven sobre trayectorias paralelas. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin planteada, donde se muestre el sistema de referencia a emplear y el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. b) Plantee las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo y obtenga la aceleracin de ellos. c) Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, plantee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad que rigen el movimiento de la piedra y del bloque. d) Calcule el tiempo que demoran los cuerpos en pasar uno frente al otro. e) En el instante que el bloque llega al piso, dnde se encuentra la piedra? Asciende o desciende la piedra?

24y


vo yo j O i Aa

mg xo Tierra x

Como los vectores unitarios i y j son linealmente independientes, entonces al igualar componentes en la ecuacin (2.32), se encuentra que las ecuaciones cinemticas de posicin para este movimiento, en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente estn dadas por x = xo + vo cost. (2.33) (2.34)

Figura 2.30: Movimiento parablico con origen en la tierra. forma

y = yo + vo sen t 1 gt2 . 2

+ Fiy = m a, m g = m a.

Al derivar las ecuaciones (2.33) y (2.34) respecto al tiempo, se encuentra que las ecuaciones cinemticas de velocidad, en sus componentes horizontal y vertical para este caso, estn dadas por (2.29) v x = vo cos. vy = vo sen gt. (2.35) (2.36)

De acuerdo con la ecuacin (2.29), se tiene que a = g.

Finalmente, al derivar las ecuaciones (2.35) y (2.36) respecto al tiempo, se encuentra que las que corresponde a la aceleracin de la componentes de aceleracin son gravedad, como era lo esperado. De acuerdo con el sistema de referencia elegiax = 0 y ay = g. do, el eje x se hace coincidir con la supercie de la tierra. Adems, el tiempo se empieza a medir desde el instante que es lanzado el cuerpo, es En conclusin, las ecuaciones (2.33) a (2.36) rigen el movimiento en las direcciones horizondecir, to = 0. Considerando la gura 2.30, las condiciones tal y vertical, donde en la horizontal se tiene iniciales en componentes rectangulares, estn una componente de movimiento con velocidad constante y en la vertical una componente de dadas por movimiento con aceleracin constante. Medianro = xo i + yo j. te dichas expresiones es posible obtener toda la vo = vo cosi + vo sen j. (2.30) informacin sobre el movimiento de la partcula, hasta el instante que llega a la supercie de a = gj. la tierra. Ahora, la posicin del cuerpo, en cualquier insDe acuerdo con lo anterior, es posible intertante, est dada por pretar este movimiento como una superposicin de un movimiento uniforme en la direcr = xi + yj. (2.31) cin horizontal y un movimiento uniformeReemplazando las ecuaciones (2.30) y (2.31) en mente acelerado en la direccin vertical. Con el n de simplicar y obtener ms inforla ecuacin macin sobre el movimiento de la partcula, se 1 2 considera el caso en el cual se toma el origen de r = ro + vo (t to ) + a(t to ) , 2 coordenadas en el punto de lanzamiento A, coque es vlida cuando el vector aceleracin es mo se muestra en la gura 2.31. En este caso, xo = 0 y yo = 0, por lo que las constante, se encuentra ecuaciones (2.33) y (2.34) se transforman en xi + yj = ( xo + vo cost)i + (yo + vo sen t 1 gt2 )j. 2 x = vo cost. (2.37) (2.32)


25 Para determinar el tiempo que la partcula demora en cruzar el eje x, se hace y = 0 en la ecuacin (2.38), permitiendo llegar a las expresiones

y a =-g j j vo a A O i -h Tierra

x

t=0

y

t=2

vo sen . g

(2.43)

La posicin horizontal de la partcula, cuando llega al eje x, se encuentra al reemplazar el tiemFigura 2.31: Movimiento parablico con origen en po dado por la ecuacin (2.43) en la ecuacin (2.37), obtenindose el punto de lanzamiento. y = vo sent 1 2 2 gt .

(2.38)

xmax =

v2 o sen2. g

(2.44)

Para hallar la ecuacin de la trayectoria seguida por la partcula, se despeja el tiempo t de la ecuacin (2.37) y se reemplaza en la ecuacin (2.38), obtenindose la ecuacin cuadrtica en la coordenada x y = tanx gsec2 2 x , 2v2 o (2.39)

que corresponde a la ecuacin de una parbola de la forma y = ax bx2 donde a y b son constantes. Esta es la razn por la cual a este movimiento se le denomina movimiento parablico, aunque tambin se le conoce como movimiento de proyectiles ya que estos describen generalmente esta trayectoria. Como la componente vertical de la velocidad se hace cero en la altura mxima alcanzada por la partcula, mediante la ecuacin (2.36), se encuentra que el tiempo que demora en alcanzarla est dado por t= vo sen . g (2.40)

Reemplazando la ecuacin (2.40) en la ecuacin (2.38) se obtiene la altura mxima alcanzada por la partcula, respecto al punto de lanzamiento, es decir (vo sen) 2 ymax = . (2.41) 2g De este modo, la altura mxima respecto a la supercie de la tierra, est dada por Hmax =

De acuerdo con la ecuacin (2.44), el mximo valor que puede adquirir el alcance se obtiene cuando sen2 = 1 , es decir, para 2 = 90o = 45o . Cuando el cuerpo llega a la supercie de la tierra y = h, por lo que al reemplazar en la ecuacin (2.38) y luego de simplicar, se llega a una ecuacin cuadrtica en el tiempo t, cuyas soluciones estn dadas por [ ] / vo sen 2 1 1 + 2gh (vo sen) , t= g (2.45) donde el radicando es una cantidad mayor que uno. As, solo se tiene un valor real para el tiempo, es decir, un valor con signicado fsico, cuando se toma el signo positivo que antecede al radical. Lo anterior, est de acuerdo con la situacin planteada ya que el cuerpo, luego de ser lanzado, slo se encuentra en la supercie de la tierra una vez. Los resultados obtenidos en esta seccin, son vlidos cuando se cumplen las siguientes condiciones: El alcance debe ser sucientemente pequeo, para que se pueda despreciar la curvatura de la tierra, y de este modo poder considerar la supercie de la tierra como plana. La altura mxima debe ser sucientemente pequea, para poder despreciar la variacin de la gravedad con la altura

(vo sen) + h. 2g

2

(2.42)

26


La magnitud de la velocidad inicial del proyectil debe ser sucientemente pequea, para poder despreciar los efectos del aire. Como se ver posteriormente, los efectos del aire sobre el movimiento de los cuerpos, se hacen signicativos entre mayor sea la magnitud de la velocidad. En la gura 2.32 se muestra la diferencia en la trayectoria de una partcula, cuando se mueve en el vaco y cuando se mueve en un medio como el aire.

25.0 m s1 , xo = yo = 0, to = 0 , = 30o , yA = 2.0 m. Para el delantero xod = 60.0 m , y como cantidad conocida g = 9.8 m s2 . Solucin a) Diagrama ilustrativo de la situacin planteada

y

a =-g j

voa

A(xA, yA) xA x xod

y a =-g j voa

O

Aire

O

Vaco x

b) De acuerdo con el sistema de referencia mostrado en la gura, las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad, estn dadas por Para el baln xb = 25.0 cos30 t,

(1)

Figura 2.32: Movimiento en el aire y en el vaco.

v xb = 25.0 cos30, yb = 25.0 sen 30 t 1 9.8 t2 , 2 vyb = 25.0 sen30 9.8 t. Para el delantero xd = 60.0 + vd t, vd = Constante. c) Para calcular la posicin horizontal del baln, cuando da en la cabeza del delantero, es necesario calcular primero el tiempo que demora en llegar a dicha posicin, tanto el baln como el delantero. Para ello, se reemplaza yA = 2.0 m en la ecuacin (2). As, se obtiene una ecuacin cuadrtica en el tiempo, cuyas soluciones son t1 = 0.2 s y t2 = 2.4 s.

(2)

Ejemplo 2.10. En un partido de ftbol, un defensa patea el baln desde el piso, con una velocidad de 25.0 m s1 formando un ngulo de 30o con la horizontal. En el instante que sale el baln, un delantero que se encuentra a 60 m del defensa, corre hacia el baln y lo recibe en la cabeza a una altura de 2 m. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin planteada donde se muestre el sistema de referencia a emplear. b) Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, planteee las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad para el baln y para el delantero. c) Calcule la posicin horizontal del baln cuando da en la cabeza del delantero. d) Halle la velocidad del delantero, suponiendo que corre a velocidad constante. Solucin a) De acuerdo con el diagrama ilustrativo del problema, el origen de coordenadas del sistema de referencia, se toma en el punto donde es pateado el baln; igualmente se muestra la posicin nal tanto del baln como del delantero. Teniendo en cuenta el enunciado, las cantidades dadas son, para el baln vo =

(3)

En principio estos valores reales de tiempo tienen signicado fsico, ya que el baln pasa dos veces por la posicin en la cual y = 2.0 m. Ahora, reemplazando estos valores de tiempo en la ecuacin (1), se encuentra que las posiciones horizontales correspondientes, estn dadas por xb1 = 4.3 m y xb2 = 52.0 m.


27Solucin Esta pregunta slo se puede responder, cuando se haya denido con exactitud quien est analizando el movimiento. En este caso, se debe especicar si es el observador A o el observador B quien responde la pregunta anterior.

d) Como en el instante que el baln da en la cabeza, la posicin horizontal del delantero es la misma del baln, entonces la ecuacin (3), para los dos valores de la posicin, da las siguientes velocidades del delantero vd1 = 278.5 m s1 y vd2 = 3.3 m s1 .

Los resultados anteriores, muestran que en ambos casos el delantero debe correr hacia la izquierda, ya que las velocidades son negativas, es decir, se debe mover en el sentido negativo del eje x. Por otro lado, el valor de velocidad vd1 = 278.5 m s1 , en el caso real no se debe considerar, puesto que hasta el momento en condiciones normales no ha sido posible que un atleta alcance esta velocidad tan alta. En los cien metros planos la velocidad alcanzada es del orden de 10 m s1 . Por consiguiente, la velocidad del delantero debe ser 3.3 m s1 , lo que indica que el baln ya ha pasado por la altura mxima cuando se encuentran baln y delantero. Ejercicio 2.11. En un partido de ftbol, un defensa patea el baln desde el piso, con una velocidad de 25.0 m s1 formando un ngulo de 30o con la horizontal. En el instante que sale el baln, un delantero que se encuentra a 45 m del defensa, corre hacia el baln y lo recibe en la cabeza a una altura de 2.0 m. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situacin planteada donde se muestre el sistema de referencia a emplear. b) Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, plantear las ecuaciones cinemticas de posicin y velocidad para el baln y para el delantero. c) Calcular la posicin horizontal del baln cuando da en la cabeza del delantero. d) Hallar la velocidad del delantero, suponiendo que corre a velocidad constante. Ejemplo 2.11. El observador A, que viaja en la plataforma de un mvil con movimiento rectilneo uniforme respecto al piso, lanza una partcula verticalmente hacia arriba. El observador A est en reposo respecto al mvil y el observador B est en reposo respecto a la tierra. Cul es la trayectoria seguida por la partcula? Despreciar los efectos del aire.

A

Respecto al observador A, la respuesta es que la partcula describe una trayectoria rectilnea y vertical, ya que la velocidad horizontal del observador es la misma velocidad horizontal de la partcula, es decir, para el observador A la partcula no tiene componente horizontal de la velocidad. De acuerdo con esto, la partcula regresa de nuevo a la mano del observador A como se ilustra en la gura.

vB

BEn su lugar, para el observador B, la partcula tiene tanto una componente horizontal como vertical de velocidad, y de este modo la partcula describe una trayectoria parablica, ya que respecto a la tierra la partcula regresa a una posicin diferente como se muestra en la gura. Ejercicio 2.12. Desde un avin que vuela horizontalmente a una velocidad de 200kmh1 , se deja caer un cuerpo. Un observador en tierra, quiere correr de tal manera que su velocidad le permita mantener el cuerpo por encima de su cabeza, para de este modo, poderlo recibir en su mano. Explique si es

28posible esta situacin, considerando que el observador en tierra se mueve en lnea recta.


la gura 2.33, por la segunda ley de Newton

Fx = ma Fe = macon Fe = kx se tiene

+

2.3.6. Fuerza elstica

Si como se muestra en la gura 2.33, se estira ma = kx, un resorte a partir del punto O, de modo que su extremo se mueva hasta una posicin x, la expe- as que ( / ) riencia muestra que el resorte ejerce una fuerza a = k m x, sobre el bloque al que est sujeto y cuyo valor, de este modo, la aceleracin es variable y opuescon buena aproximacin est dado por ta a la deformacin del resorte. Este resultado es caracterstico del movimiento peridico llamaFe = kx, do Movimiento Armnico Simple (MAS), que ser donde k es una constante llamada constante els- analizado en unidad 5. tica del resorte, cuyo valor depende de la forma del resorte, de la longitud del resorte y del material que est hecho el resorte. Esta es la ley de fuerza para resortes reales y se conoce como la ley de Hooke, que se satisface si el resorte no se estira ms all de cierto lmite. El sentido de la fuerza siempre se opone al sentido en que se deform el resorte. Para el sistema de referencia de la gura 2.33, cuando se estira el resorte, x > 0 y F es negativo; cuando se comprime x < 0 y F es positiva. Esto lleva a que la fuerza ejercida por el resorte sea una fuerza restauradora en el sentido de que siempre est dirigida hacia el origen, es decir, tiende siempre a llevar el cuerpo a la posicin de no estiramiento. En la ley de Hooke se puede considerar que k es la magnitud de la fuerza por unidad de deformacin; as, los resortes muy duros tienen valores grandes de k. Este es otro caso de fuerza variable, ya que depende de la deformacin del resorte.Ejemplo 2.12. Como se indica en la gura, mediante un bloque de masa m se comprime un resorte de constante k y luego se suelta. Suponga que el bloque est adherido al resorte.a) Haga el diagrama de cuerpo libre para el bloque. b) Plantee las ecuaciones que rigen el movimiento del bloque. c) Determine la aceleracin del bloque y halle las posiciones en las cuales sta adquiere la mxima y mnima magnitud. d) Determine la velocidad de la partcula, respecto a la posicin x, y halle las posiciones donde su magnitud adquiere los valores mximo y mnimo. e) Determine, en funcin del tiempo, la posicin de la partcula y analice dicha solucin

Fe m x -xo

O

xo

m x O Fe m x O x

Solucin a) Diagrama de cuerpo libre para el bloque

N Fe

Movimiento

Figura 2.33: Fuerza elstica de un resorte.

x -xo mg O

Si el cuerpo se suelta, desde la posicin x de

2.4. FUERZA TRABAJO Y ENERGA

29del tiempo, esto es, el bloque tiene un movimiento que se repite continuamente, entre las posiciones extremas x = xo , siempre y cuando se puedan despreciar los efectos debidos a la friccin. En sntesis, en los puntos de la trayectoria donde la aceleracin se hace mxima, la velocidad adquiere su mnimo valor y donde la aceleracin se hace mnima la velocidad se hace mxima.

b) Ecuaciones de movimiento para el bloque

Fix = ma; + Fiy = 0,

+

kx = ma,N mg = 0.

(1) (2)

El signo menos en la ecuacin (1) se justica, teniendo en cuenta que mientras el bloque se encuentra a la izquierda de O, x es negativo y la fuerza elstica es positiva. c) De la ecuacin (1) se encuentra que la aceleracin est dada por a= k x, m

2.4. Fuerza trabajo y energa(3)

donde el sentido de la deformacin es opuesto a la aceleracin del bloque. De la ecuacin (3) se concluye - La aceleracin es mxima cuando x es mxima, es decir, cuando x = xo ya que como no hay friccin, el mximo desplazamiento corresponde a la deformacin inicial que sufre el resorte, y se obtiene en los extremos de la trayectoria. - La aceleracin es mnima en magnitud, cuando la deformacin del resorte es nula, es decir, en x = 0, que corresponde a la posicin donde la fuerza elstica es cero, o sea cuando el bloque pasa la posicin de equilibrio. d) Mediante la ecuacin (3) y utilizando la denicin de aceleracin, por integracin se encuentra que la velocidad del bloque es k 2 v= ( x2 + xo ). (4) m La ecuacin (4) permite concluir - La velocidad se hace mxima cuando 2 xo x2 es mxima, o sea cuando x = 0 que corresponde a la posicin de equilibrio. 2 - La velocidad se hace cero cuando xo 2 = 0, as x = x que coincide con los x o extremos de la trayectoria. e) Con ayuda de la ecuacin (4) y empleando la denicin de velocidad, por integracin se encuentra que la posicin de la partcula en funcin del tiempo, est dada por x = xo cos(t), (5) donde se dene k/m como la frecuencia angular de oscilacin. La ecuacin (5) indica que la posicin de la partcula depende peridicamente

El problema fundamental de la dinmica de una partcula, es poder predecir su posicin en funcin del tiempo t, sabiendo con cules partculas interacta, adems de conocer las condiciones iniciales a las que est sometida. De acuerdo con las secciones anteriores, el procedimiento que se debe llevar a cabo es el siguiente: se determina la fuerza neta F, que acta sobre la partcula de masa m y mediante la segunda ley de Newton para masa constante F = ma, se encuentra la aceleracin de la partcula. Luego, utilizando la denicin de aceleracin a = dv/dt, se obtiene la velocidad de la partcula en funcin del tiempo v(t). Finalmente, por medio de la denicin de velocidad v = dr/dt, se resuelve el problema fundamental de la dinmica al poder determinar la posicin del cuerpo en funcin del tiempo r(t). En lo que sigue, se trata la dinmica de una partcula desde otro punto de vista, lo que permitir resolver de nuevo y completamente el problema de la dinmica de una partcula. Necesariamente, para denir los nuevos conceptos, se debe partir de las leyes de Newton ya que son el soporte de la dinmica de una partcula. Por otro lado, se observa que la notacin de estas cantidades fsicas, corresponde a cantidades escalares, lo que generalmente evita el uso de cantidades vectoriales en los procedimientos matemticos. En sntesis, para su estudio ya se dispone de los conceptos cinemticos y dinmicos descritos y analizados hasta este momento. Igual que en la cinemtica y en la dinmica slo se considera el movimiento de traslacin de los cuerpos, o sea, que estos

30


se pueden seguir tratando bajo el modelo de partcula. Igual que hasta ahora, cuando se analiza el comportamiento dinmico de un cuerpo, se llevan a cabo los mismos pasos, esto es: Denir el sistema, que generalmente est formado por varios cuerpos. Elegir, del sistema, el cuerpo al cual se le va a analizar el movimiento, es decir, el cuerpo o partcula de inters.

FT dr m FNq

F

Figura 2.34: Trabajo realizado por F en un dt.

De acuerdo con la ecuacin (2.47), se concluye Delimitar el medio ambiente o alrededores, formado por el resto del sistema, o sea, por que la componente de la fuerza normal a la los cuerpos cercanos que interactan con el trayectoria seguida por la partcula, no realiza trabajo. As, las fuerzas perpendiculares al descuerpo de inters. plazamiento de una partcula no realizan trabaEn principio, en cuanto a la forma funcional de jo. Esta situacin se presenta siempre con la norla fuerza, matemticamente, se pueden considemal (N) y con el peso (W) en el caso de un cuerrar dos casos po que se mueve sobre una supercie horizon1. Que la fuerza sea funcin del tiempo, es de- tal. Igualmente, ocurre con la fuerza centrpeta cuando un cuerpo se mueve sobre una trayectocir, F(t). ria circular, como se analizar en la unidad 3. 2. Que la fuerza sea funcin de la posicin, esGeneralmente, interesa determinar el trabato es F(r ). jo total realizado por la fuerza F, cuando la Pero como se ver ms adelante, la forma fun- partcula se mueve desde un punto A hasta cional de la fuerza con la posicin es la de ma- un punto B de su trayectoria, como en el caso yor inters, ya que este es el tipo de fuerzas que mostrado en la gura 2.35. Como el trabajo total corresponde a la suma de los trabajos innigeneralmente se presentan en la naturaleza. tesimales entre los dos puntos considerados, la sumatoria se transforma en una integral por lo 2.4.1. Fuerza, desplazamiento y trabajo que las ecuaciones (2.46) y (2.47) adquieren la Se considera una partcula de masa m sobre la forma que acta una fuerza F. Si en un tiempo dt la B partcula sufre un desplazamiento dr debido a W = F dr la accin de la fuerza, el trabajo realizado por A ella durante tal desplazamiento, se dene porB

dW F dr.

(2.46)

=A

FT dS.

(2.48)

Si se toma |dr| = dS, mediante la denicin de producto escalar, la ecuacin (2.46) adquiere la forma dW = F cos dS. Casos particulares de la ecuacin (2.48) De la gura 2.34, se observa que FT = Fcos 1. Una partcula con movimiento rectilneo, es la componente de la fuerza a lo largo de la est sometida a la accin de una fuerza tangente a la trayectoria seguida por la partcuconstante F que forma un ngulo con la. De este modo, la trayectoria, como se ilustra en la gudW = FT dS. (2.47) ra 2.36. En este caso, mediante la ecuacin

2.4. FUERZA TRABAJO Y ENERGA

31

B

de unidades g cm2 s2 y en el sistema ingls lb p. Es costumbre designar estas unidades con los siguientes nombres: 1 J 1 kg m2 s2 en el sistema SI, 1 ergio 1 g cm2 s2 en el sistema gaussiano. Por consiguiente, la relacin entre estas unidades es 1 J 107 ergios.

FT A FN

F

Figura 2.35: Trabajo realizado por F entre A y B. (2.48), se encuentra que el trabajo realizado Interpretacin geomtrica de la ecuacin (2.48) por la fuerza entre las posiciones A y B est dado por Cuando se conoce la grca de la forma como W = Fcos ( xB xA ). vara la componente tangencial de la fuerza con el desplazamiento de la partcula, es posible inMovimiento terpretar la ecuacin (2.48) de la siguiente maF F nera. Si esta componente de la fuerza vara en q la forma mostrada en la gura 2.38, el rea del x B O A pequeo rectngulo, dA = FT dS, es igual al traFigura 2.36: Trabajo realizado por F no paralela al bajo innitesimal realizado por la fuerza correspondiente durante el desplazamiento dS. Ahodesplazamiento. ra, el rea total bajo la curva entre las posiciones

leyes de newton y energia

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