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Leyes de los operadores fundamentales unin e interseccin.

Propiedades de la unin e interseccin

Proporcionamos ejercicios sobre las propiedades delaunin einterseccin deconjuntos.

TEORA

A, B, CA, B, C

(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC).(AB)C=A(BC),

(AB)C=A(BC).

AB=BA,AB=BA.AB=BA,AB=BA.

AA=A,AA=A.AA=A,AA=A.

A

=A,A

=

.A

=A,A

=

.

A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC).A(BC)=(AB)

(AC),A(BC)=(AB)(AC).

Demostrar la propiedad asociativa de la unin de conjuntos, es

decir (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC) para cualquier terna de

conjuntos A,B,C.A,B,C.

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SOLUC!".

uedar! demostrada la i"ualdad si demostramos los contenidos#

(AB)CA(BC). ($)(AB)CA(BC). ($)

A(BC)(AB)C.(%)A(BC)(AB)C.(%)

&ea ' (AB) C' (AB) C. sto

si"niica 'AB'AB o 'C'C. &i ocurre lo primero,

ser! 'A'A o 'B'B. &i 'A'A, ser! 'A (BC) 'A

(BC)* si 'B'B ser! 'BC'BC + por tanto 'A (BC)

'A (BC). Por ltimo, si 'C'C, ser! 'BC'BC + por

tanto 'A(BC) 'A(BC). -emos demostrado ($) ($).

&ea 'A (BC) 'A (BC). sto

si"niica 'A'A o 'BC'BC. &i ocurre lo primero,

ser! 'AB'AB + por tanto ' (AB) C' (AB) C.

&i 'BC'BC, ser! 'B'B o 'C'C. &i 'B'B,

ser! 'AB'AB + por tanto ' (AB) C' (AB) C*

si 'C'C ser! '(AB) C'(AB) C. -emos demostrado (%).

Unin.

s el suceso que se veriica si se veriica A o se veriica B o se veriican

ambos, uno u otros cambios.

a union de los sucesos A + B la desi"naremos por (A o B) o tambi/n (A u

B).

nterseccin.

s el suceso que se veriica si se veriica A + se veriica B uno + otro.

a interseccin de los sucesos A + B la desi"naremos por (A + B) o tambi/n

(A B).

Dierencia de los sucesos A + B

Dierencia A0b# s el suceso que se reali1a cuando se reali1a A + no B.

a desi"naremos por A0B =(A B)

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Dierencia B0A# s el suceso que se reali1a cuando se reali1a B + no A.

a desi"naremos por B0A= (B A)

Propiedades de las operaciones entre conjuntos.

&ean A + B dos subconjuntos de un conjunto universal 2. Deinimos las

si"uientes operaciones entre conjuntos#

2nin# AB = 3 4 '2 # 'A 'B

5nterseccin# A B = 3 4 '2 # 'A + 'B

Dierencia o resta# A 6 B = 3 4 '2 # 'A + 'B

Dierencia sim/trica# A7B = ( )( ) A 6 B B 6 A

Complementario# A 2 A 3 4 ' 2 ' A c = 6 = #

Propiedades#

$ AAB, B AB A BA, A BB

%) A (B C)= (A B) C (propiedad asociativa de la unin) A (B

C )= (A B) C (propiedad asociativa de la interseccin)8) A ( )( ) ( )

B C = A B A C (propiedad distributiva) A (B C) =( A B)

( A C) (propiedad distributiva)

9) (AB )= (A B) (le+es de :or"an) (A B )= (AB)

;) AB = B A (conmutativa de la unin)

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A B = B A (conmutativa de la interseccin)