ley del seno y coseno. b c a b c a letras mayúsculas a, b y c, representan a los ángulos de un...
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LEY DEL SENO Y COSENO
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B
Ca
b
c
A
Letras mayúsculas A, B y C, representan a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, representan los lados.
Notación
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A
B
C
c
ab
A
B
Cc
a
b
Ley de los senos
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,
a c bsensen sen
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LEY DEL SENO
La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que
siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualquiera.
a c bsensen sen
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C
ABc
ab
Aplicaciones
En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los
ángulos y lados restantes.
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Solución:
El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.
Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts.
Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.
Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3
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Ejercicios:
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.
2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes.
No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.
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Respuestas a los ejercicios:Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.
1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .
2. = 109° 5’ 33’’
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Sirve para resolver triángulos que NO son Rectángulos.
Permite encontrar el valor de un lado de un triángulo conociendo dos lado y el ángulo formado entre estos dos lados
c² = a² + b² - 2a·b·cos α
a² = b² + c² - 2b·c·cos β
b² = a² + c² - 2a·c·cos φ
LEY DEL COSENO
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B
b=19 mts.C
c=14 mts.
A
a=8 mts.
Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 m, b = 19 m., c=14 m.
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Solución.
Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 +
142 – 192) = -0.4508.
Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582.
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.
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Revisión del estudio individual
Dos nadadores se encuentran a 250 m uno de otro. Ambos están nadando hacia el mismo punto, que se halla a 423m del primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos?
Rta/ = 36,8o
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Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se encuentra del puerto?
P
B
C
PBC = 450
PC = ?
PB = 15 km
BC = 4,8km
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Ejercicio 1Ejercicio 1
Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera?
Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera?
N
S
EO
NENO
SESOA B
C
165 km
72 k
m
185 km
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Ejercicio 2
Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras.
N
S
EO
NENO
SESO
A B
C
15 km
10 k
m
14 km