Ley de Ohm

Luis Alejandro Duenas Bulla, Codigo: 25161417

laduenasb@unal.edu.co

1. Introduccion

La resistencia electrica es una propiedad que poseen los materiales, y esta definida como la oposi-cion que tiene la carga electrica al moverse a traves de un material. Experimentalmente se ha visto quealgunos materiales tienen la caracterıstica especial, que cuando por ellos se establece una diferencia depotencial, esta es proporcional a la intensidad de corriente, donde este coeficiente de proporcionalidad esprecisamente la resistencia, a estos materiales se les llama materiales ohmicos, porque cumplen con la leyde ohm mencionada anteriormente, ademas de esto las resistencias pueden ser utiles cuando tenemos dis-positivos que operan con corrientes pequenas, pero tenemos corrientes altas, entonces solo debemos poneruna resistencia que reduzca la cantidad de corriente, ya que sin esta podrıan generarse danos internos. Elproposito de este informe fue medir la diferencia de potencial en un circuito en funcion de la intensidadde corriente para tres resistencias y un bombillo, estableciendo si los materiales de que estan hechas estasresistencias son ohmicos.

A continuacion presentamos la teorıa necesaria para comprender mejor los resultados experimentales.

Modelo de Drude

El modelo de Drude es un modelo matematico propuesto por Paul Drude en 1900, que dice que unmaterial conductor, especialmente los metales, esta formado por una red cristalina, donde en esta existenelectrones fijos a la red y electrones libres, este modelo matematicamente esta expresado ası:

M ∗ U cj + e ∗ Ej ∗ tj = M ∗ Uj ; j=1,2,...,N (1)

Teniendo en cuenta que N es el numero de electrones, U cj es la velocidad j-esima del electron inme-diatamente despues de chocar con la red cristalina, e la carga del electron, Ej el campo electrico queactua sobre el electron j-esimo, tj es el tiempo promedio entre colisiones del electron j-esimo, M es lamasa del electron y Uj es la velocidad del electron j-esimo en cada instante de tiempo.

Ahora si realizamos la suma en N de cada lado de la igualdad de la ecuacion (1), con U el promediode las velocidades de cada electron, tenemos lo siguiente:

M ∗ U = 1N ∗

∑Nj (M ∗ ucj + e ∗ Ej ∗ tj) (2)

Suponiendo que el campo electrico que actua sobre cada electron es el mismo y usando un resultadoprobabilıstico que dice que

∑Nj (M ∗ ucj) es cero, entonces la ecuacion (2) se reduce a:

U =e∗E∗

∑Nj tj

NM = e∗E∗τ

M (3) donde τ es el promedio de los tiempos entre colisiones de cada electron.

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Intensidad de corriente

La intensidad de corriente I en cada punto de un circuito cerrado esta definida como I = dqdt y se mide en

amperios (A), aunque tambien es equivalente a:

I =∫∫

~J. ~dA (4) donde ~J = n ∗ q ∗ ~u es el vector densidad de corriente, con n el numero deportadores de carga por unidad de volumen, q la carga electrica, ~u el vector velocidad de cada portadorde carga, y ~dA es el vector diferencial de area.

Reemplazando la ecuacion (3) en la densidad de corriente con q=e, tenemos:

~J = n∗e2∗ ~E∗τM = σ ∗ ~E (5) con σ = n∗e2∗τ

M , que es lo que se denomina conductividad del mate-rial.

Notese que la igualdad (5) es valida siempre y cuando el valor del campo electrico sea el mismo entodo el circuito.

Reemplazando (5) en (4), asumiendo que el vector densidad de corriente es paralelo al vector diferen-cial de area en todo punto del circuito y que A el area transversal por donde pasan los electrones es lamisma en todo punto del circuito:

I = σ ∗ E ∗A (6)

Diferencia de potencial o voltaje

El voltaje V se mide en voltios (v) y esta definido como:

V =∫ ba~E.~dl (7) donde ~dl es el vector diferencial de posicion del electron, a y b las posiciones

inicial y final del electron respectivamente.

Despejando E de la ecuacion (6) y reemplazandolo en (7), teniendo en cuenta que ~E es paralelo a ~dl:

V =1σ∗LA ∗ I = ρ∗L

A ∗ I = R ∗ I (8) Con ρ el inverso de la conductividad, que se denomina re-sistividad, L la distancia entre dos puntos recorrida por los electrones o simplemente la longitud delmaterial y R = ρ∗L

A la resistencia del material, en donde se puede apreciar que esta es proporcional a lalongitud del material e inversamente proporcional al area transversal de este.

La ecuacion (8) es precisamente la ley de ohm, que dice que si al establecer una diferencia de poten-cial entre dos puntos de un circuito, el campo electrico en todo punto del circuito es el mismo, entoncesel voltaje es proporcional a la intensidad de corriente, donde este coeficiente de proporcionalidad es laresistencia.

Leyes de Kirchhoff

Ley de nodos: esta ley establece que en un nodo la suma de las corrientes que entran es igual a lascorrientes que salen, esta ley es una consecuencia de la conservacion de la carga.

Ley de mallas: esta ley dice que la suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero, o equi-

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valentemente que el voltaje suministrado por una fuente de voltaje contenida en una malla cerrada esigual a las demas diferencias de potencial en esta malla.

Resistencias en serie

Es un conjunto de resistencias en donde cada resistencia va enseguida de otra y ademas tienen la ca-racterıstica que por estas transcurre la misma intensidad de corriente. Aplicando las leyes de Kirchhoff yla ley de ohm podemos establecer la siguientes igualdades, donde Vb es el voltaje de la baterıa y VRN esel voltaje asociado a la resistencia N-esima:

Vb = VR1 + VR2 + ....+ VRNVb = I ∗R1 + I ∗R2 + ....+ I ∗RNVb = I ∗ (R1 +R2 + ....+RN ) = I ∗ReRe = R1 +R2 + ....+RN (9) Re es la resistencia equivalente.

Resistencias en paralelo

Es un conjunto de resistencias ubicadas en paralelo, que tienen la caracterıstica que sus diferencias depotencial son las mismas. Aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de ohm podemos escribir las siguientesrelaciones, donde IT es la suma de las corrientes que pasan atraves de cada resistencia, Re la resistenciaequivalente:

IT = I1 + I2 + ....+ IN

VbRe

= VbR1

+ VbR2

+ ....+ VbRN

1Re

= 1R1

+ 1R2

+ ....+ 1RN

(10)

Resistencia de un material en funcion de su temperatura

El valor de la resistencia de un material esta relacionada con la temperatura mediante la siguiente formula:

R = Ro ∗ (1 + α ∗ (T − To)) (11) Donde Ro es la resistencia inicial cuando se encontraba a unatemperatura To, α el coeficiente de temperatura y R es el valor de la resistencia cuando esta tiene unatemperatura T .

Objetivos

Los objetivos de este informe son los siguientes:

Comprobar que existen materiales ohmicos y no ohmicos.

Comprobar que la grafica del voltaje en funcion de la intensidad de corriente es una linea recta,donde su pendiente es el valor la resistencia.

Encontrar el valor numerico de la resistencias usando el metodo de mınimos cuadrados, y compa-rarlos con el valor de la resistencias teoricas.

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Comprobar las ecuaciones (9) y (10) son validas.

2. Materiales y Metodos

Para la realizacion del siguiente informe se utilizaron los siguientes instrumentos de medicion:

Multımetro

Tres resistencias

Un bombillo

Cables caiman

Fuente de voltaje

A continuacion se presentan los pasos seguidos para obtener las mediciones experimentales:

1. Se midieron las resistencias teoricas con el multımetro para las tres resistencias y el bombillo.

2. Se forma el circuito bombillo-fuente de voltaje-multımetro, donde el multımetro esta en serie con elbombillo, luego se enciende la fuente de voltaje, enseguida se hace variar la diferencia de potencialque establece la fuente de voltaje, para luego medir la intensidad de corriente con el multımetro,anotando diferencia de potencial en funcion de la intensidad de corriente, para varios valores. Elprocedimiento anterior es analogo para las tres resistencias faltantes.

3. Se forma el circuito resistencia 1-resistencia 2-resistencia 3-fuente de voltaje, donde el multımetroesta en serie con la resistencia 3 y la resistencia 3 esta en serie con las resistencias 1 y 2, lasresistencias 1 y 2 se encuentran en paralelo, luego se enciende la fuente de voltaje, enseguida se hacevariar la diferencia de potencial que establece la fuente de voltaje, para luego medir la intensidadde corriente con el multımetro, anotando diferencia de potencial en funcion de la intensidad decorriente, para varios valores.

3. Medidas

Tabla 1. Voltajes medidos V, en funcion de la Intensidad corriente I, para el bombillo.

Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA) Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA)

0.0 0.2 3.5 30.2

0.1 3.5 3.7 31.0

0.5 10.7 3.8 31.7

0.8 13.1 4.2 33.3

1.1 15.6 4.4 34.6

1.3 16.9 5.9 41.5

1.7 20.1 8.2 50.9

1.9 21.4 10.1 57.7

2.1 22.8 13.4 67.8

2.4 25.0 15.8 75.0

2.7 25.7 18.5 82.2

2.9 27.0 21.6 90.2

3.3 28.9 23.3 94.2

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Tabla 2. Voltajes medidos V, en funcion de la Intensidad corriente I, para la resistencia 1.

Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA)

1.1 0.8

2.3 1.8

5.3 4.3

11.0 9.2

16.9 14.1

23.0 19.2

27.1 22.8

28.4 24.0

29.3 24.8

Tabla 3. Voltajes medidos V, en funcion de la Intensidad corriente I, para la resistencia 2.

Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA)

1.5 2.1

4.3 6.4

8.5 12.6

10.7 16.0

14.5 21.5

18.0 26.8

23.3 34.7

26.8 40.0

28.2 42.1

29.3 43.8

Tabla 4. Voltajes medidos V, en funcion de la Intensidad corriente I, para la resistencia 3.

Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA)

0.5 0.2

2.7 1.3

9.4 4.7

13.7 6.9

21.0 10.6

27.0 13.8

29.1 14.9

29.3 15.0

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Tabla 5. Voltajes medidos V, en funcion de la Intensidad corriente I, cuando la resistencia 1 y 2 seencuentran en paralelo y estas resistencias estan en serie con la resistencia 3.

Voltaje V (± 0.1 v) Corriente I (± 0.1 mA)

0.9 0.3

1.5 0.5

2.3 0.9

3.0 1.2

4.7 1.9

7.5 3.1

8.0 3.3

9.2 3.8

10.4 4.3

13.8 5.7

14.5 6.0

17.3 7.2

18.1 7.6

22.8 9.5

26.7 11.1

27.3 11.4

27.8 11.6

28.9 12.1

29.3 12.3

Los valores de las resistencias medidas con multımetro y las que venıan en el empaque de fabrica para lasresistencias 1, 2 y 3 son:

Resistencia 1.Multımetro =1.181 ± 0.001 kΩFabrica = 1200 ± 60 Ω

Resistencia 2.Multımetro = 0.669 ± 0.001 kΩFabrica = 670.0 ± 33.5 Ω

Resistencia 3.Multımetro = 1.960 ± 0.001 kΩFabrica = 2000 ± 100 Ω

La resistencia del bombillo medida con multımetro es 23.0 ± 0.1 Ω.

4. Analisis

Las siguientes graficas fueron obtenidas usando el software ”Gnuplot”.

En las siguientes graficas el valor de la pendiente es el valor de la resistencia equivalente segun sea elcaso, pero se hace notar que no esta dado en ohmios sino en kilo-ohmios por que el eje horizontal esta enmili-amperios.

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Grafica 1.

Como podemos apreciar en la grafica 1, es notorio que una linea recta no es la mejor representaciondel voltaje en funcion del tiempo para el bombillo y esto es debido a que cuando se aumenta la intensidadde corriente no solo aumenta el voltaje sino tambien la resistencia ya que la temperatura del filamentodel bombillo tambien aumenta, y varia segun la ecuacion (11), por lo tanto es razonable pensar que elfilamento del bombillo no es un material ohmico.

De las graficas 2 a la 6, podemos observar que sus coeficientes de correlacion r resaltan que voltaje eintensidad tienen una relacion directa y que una linea recta representa a los materiales ohmicos donde supendiente es la resistencia equivalente segun sea el caso.

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Grafica 2.

Grafica 3.

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Grafica 4.

Grafica 5.

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Nota: Para las graficas anteriores las barras de error son pequenas, por lo tanto no son muy visibles.

Ahora se presentan los errores relativos entre el valor teorico de la resistencia medida con multımetroy la obtenida por la regresion lineal, para las tres resistencias.

Resistencia 1.ER1 = 0,3 %Resistencia 2.ER2 = 0,1 %Resistencia 3.ER2 = 0,8 %

Como podemos ver los errores relativos son pequenos, significa que los valores de las resistencias ob-tenidas por el metodo de mınimos cuadrados son una aproximacion muy buena del valor real.

Para la grafica 6, el valor teorico de la resistencia equivalente esta dada por la ecuacion:

Re = R3 + 11R1

+ 1R2

(12)

Esta ecuacion es valida porque las resistencias 1 y 2 se comportan como una resistencia equivalenteen paralelo dada por (10), y como estas resistencias estan en serie con 3, entonces la resistencia totalusando (10), es la hallada por (12).

Si la ecuacion (12) es valida entonces el valor de la pendiente de la grafica 6 ha de ser la resistenciaequivalente dada por (12), entonces usando los valores de las resistencias teoricas medidas con multımetroes:

Re = 2387 ΩComparando este valor con la pendiente de la grafica 6 podemos hallar el error porcentual:ER1 = 0,5 % entonces podemos decir que la ecuacion (12) es valida.

5. Resultados y Conclusiones

• Los materiales que estan hechas las resistencias son ohmicos, mientras que el filamento del bombilloes un material no ohmico, donde su resistencia depende de la temperatura.

• En un circuito en serie el valor de la resistencia equivalente es la suma de las resistencias en serie,mientras que en un circuito en paralelo, el inverso de la resistencia equivalente es igual a la sumade los inversos de cada resistencia.

6. Bibliografıa

• Purcell, E. M., Berkeley Physics Course 2/e, V olume2 − Electricity and Magnetism, EditorialREVERTE, 1988.

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