ley de gauss y conductores

7/23/2019 Ley de Gauss y Conductores

1/63

La Ley de Gauss

Una misma ley fsica enunciada desdediferentes puntos de vista

Coulomb Gauss Son equivalentes

Pero ambas tienen situaciones para las cualesson superiores que la otra (Gauss condiciones

de alta simetria: perspicacia Colulomb. Caballo

de batalla

!qu "ay encerrada una #ran verdad

fundamental. $s bueno tener varias maneras

de mirar una misma realidad.


2/63

Qu informacin nos proporciona el mapa de campo elctrico?

La direccin del campo elctrico

La intensidad del campo elctrico

Tangente a la lnea de campo en un punto dado

Es directamente proporcional con la densidad delneas de campo.


3/63

LEY DE GAUSS

Flujo

Cantidad de fluido que atraviesan una superficie

Adada durante un intervalo de tiempo dt

vx=

dV=dxdA

dx

dA

v

dt

dx

= dtdV

A


4/63

LEY DE GAUSS

Flujo

dx

dA

v

= v dA

A


5/63

LEY DE GAUSS

Flujo

Cantidad de fluido que atraviesan una superficie

dada durante un intervalo de tiempo

v

A

= v A


6/63

LEY DE GAUSS

Flujo de un Campo Elctrico Cantidad de fluido que atraviesan una superficie

dada durante un intervalo de tiempo

= E dA

v

A


7/63

El Concepto General de Flujo Algo multiplicado por AreaFlujo de Fluido

Volumen que cruza una superficie en unidad de

tiempo. Pero el elemento del tiempo no esfundamental al concepto de flujo mientras que la

superficie s. El concepto general de flujo es algo

que cruza una superficie. Matemticamente es

algo multiplicado por rea. En este caso !.

Flujo El"ctrico

Matemticamente# es lo mismo e$ceptoque tomamos el !ector E en !ez dev.

%campo uniforme & superficies planas'

Generalizamos al caso en que E no es

uniforme & superficies de forma &

orientaci(n ar)itraria. *efinimos muc+as

superficies peque,as A %apro$.superficies planas & la direcci(n es la

normal +acia fuera de este elemento

indinitesimal'.


8/63

El flujo elctrico se representa por medio de lneas decampo elctrico que atraviesan algunas superficies ! ). "uando la superficie que se esta cru#ando

encierra una carga neta. el numero de lneas que traspasanla superficie es directamente proporcional a la cargadentro de la superficie Q

El flujo elctrico es directamente proporcional al campoelctrico $ al %rea normal &nde la superficie atravesadapor las lneas de un campo elctrico uniforme..

$ !n % $n ! % $ ! Cos % ! $


9/63

E

&

&

"onsideremos una regin del espacio donde e'iste uncampo elctrico uniformeE. "olocamos dentro del

campo una superficie plana en distintas posiciones parao(servar cual es el flujo elctrico neto que atraviesa lasuperficie.

El flujo elctrico puede ser positivo) negativo o nulo.

$ !n % $n ! % $ ! Cos % ! $


10/63

&esumen 'luo $l)ctrico

*#ual que el fluo de lquido+ es el producto de al#o porarea+ en este caso $.

La orientaci,n de la superficie es importante. Por lotanto+ "ay que usar el producto interno (cos -.

Si $ no es constante+ "ay que usar una inte#ral. $s proporcional al nmero de lineas de campo que

cru/an una superficie. $l concepto de fluo el)ctrico es nuevo para nosotros. La

manera de entenderlo es a trav)s de la analo#acon fluo

de fluido. !l final viene siendo esencialmente el nmerode lineas que cru/an una superficie. $sto puede parecerun concepto raro y lo es pero resulta que ue#a un papelimportante en la ley de Gauss como veremospr,0imamente.


11/63

* es el flujo elctrico en la superficie ds)normal al campo elctrico.

ds

La superficie ds node(e alterar lascaractersticas delcampo elctrico

+uperficie ds normal al campo elctrico


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Elemento infinitesimal de superficie

que es atravesada por lineas de campoelctrico

Vector unitario normal a ds

Campo elctrico en el punto delespacio donde se encuentra ds

Flujo elctrico

(cantidad de lneas decampo) que atraviesa la

superficie ds


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El flujo elctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o

sale de la superficie.

"ampo elctrico

+-

n-

+

n

El flujo elctrico en lasuperficie +-esnegativo) las lneas decampo entran a lasuperficie

El flujo elctrico en la superficie +

es positivo) las lneas de campo salende la superficie


14/63

+- +

"ompare el flujo elctrico en lassuperficies +-$ +. +-!+/

+a

+(

"ompare el flujo elctrico en lassuperficies +a$ +(. +a$ +(son

superficies cerradas/


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EjemploSea Q una carga puntual positiva.

Obtenga el flujo elctrico en una superficie esfrica de radio R en cuyo centro se

encuentra la carga Q.

Lneas de campo elctrico

+uperficie esfricaimaginaria para el campoelctrico


16/63

0ara calcular el flujo elctrico de(emos conocer el campo elctrico en todopunto de la superficie) en este caso el campo elctrico es generado por la cargapuntual Q) por lo que el campo elctrico a la distancia 1 de la carga es*

El vector unitario normal a la superficie esfrica est% en la mismadireccin que el campo elctrico*

+e reempla#a en la definicin de flujo*

Llevando las constantes fuera de la integral $ desarrollando el producto punto


17/63

donde

1eempla#ando se tiene que*

4(serve que el flujo elctrico no depende del radio de la esfera

+- ++-$ + son atravesadas por igual cantidad de lneas de

campo.


18/63

+a

Sb

Las lneas de campo que pasan por +a$ por+(son iguales) por lo tanto el flujo en am(assuperficies es igual) es decir no depende de la

u(icacin de Q en el interior de la superficie+

Sa

Sb

Las lneas de campo que atraviesan aam(as superficies son iguales) por lo

tanto el flujo no depende de la forma dela superficie.


19/63

+a

Sb

En la superficie +(el flujo es cero) las lneasque entran tam(in salen de ella.

Las observaciones anteriores nos permiten concluir que el flujo elctrico en

una superficie cerrada solo depende de la carga total en el interior de dicha

superficie.


20/63

Ley de Gauss

Cualquier superficie cerrada(ima#inariaes una superficie Gaussiana.

La car#a es la car#a neta dentrode la

superficie. 1atem2ticamente


21/63

Ley de Gauss 3 Para qu) sirve4

Para calcular la ma#nitud de $en

situaciones donde "ay muc"a simetra.

Para saber c,mo est2 distribuida la car#aen situaciones donde "ay materiales

conductores.


22/63

Ley de Gauss 3 C,mo se usa4

$s cierta siempre pero5.

S,lo es til para situaciones donde "aymuc"a simetra.

Su uso es sutil6666

7ay que usar la simetra para saber d,nde$ es constante y cu2l es su direcci,n.

7ay que encontrar una superficie cerradaen la cual $ sea constante o donde el fluosea cero ($ perpendicular a la superficie.


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&eceta para la Ley de Gauss

$sco#er superficie de Gauss de acuerdo a la simetra.3 8ue pase por P.3 8ue sea cerrada.

3 8ue $ sea constante (por lo menos en parte de la superficie.

3 8ue $ sea paralela a la superficie en las partes donde no es

constante. $l inte#ral sale directo a una e0presi,n al#ebr2ica que

contiene $.

Calcular q9(el meollo del asunto.3 $s lo que distin#ue cada situaci,n y cada re#i,n.

3 $s diferente en cada re#i,n.

3 ! veces "ay que calcular la densidad de car#a. q9 es el productode densidad por el volumen de car#a dentro de la superficie.

&esolver por $ al#ebr2icamente.


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Le$ de 5auss para el campo elctrico

"omo el flujo elctrico en una superficiecerrada slo depende de la carga total en suinterior) proporciona una valiosa6erramienta de c%lculo) que permitir%o(tener el campo elctrico

=S

s dsnE ,

7 si + es cerrada

3

int

Q=

+e reunen los dos resultados $ se o(tiene*


25/63

3

int,

QdsnES

s =

S, es una superficie cerradaque no altera las

caractersticas del campo

elctrico en la regin, suele

denominarse !Superficie

"aussiana

E+* 8uncin campo elctrico) v%lida entodo punto de la superficie +

n* vector unitario normal a lasuperficie ds

ds* elemento infinitesimal

de la superficie +

"arga total en el interior dela superficie +

0ermitividad elctricadel vacio

L& LE7 9E5&:++


26/63

Ejemplo*

+ea una varilla infinita recta con densidad de carga constante.4(tener el campo elctrico a una distancia r de la varilla

#qu se desea calcular el campo elctrico

r

;arilla cargada

0ara o(tener el campo elctrico es necesario seguir los siguientes pasos

0


27/63

-


28/63


29/63

Superficie #aussiana de radio r y lon#itud L

Lneas de campo queatraviesan la superifice


30/63

3

int,

QdsnE

S

s =

1ecordemos que*

En este caso la integral 6a$ que descomponerla en tres parte) una para cada (ase $una para el manto.

3

int

---- ,,,

QdsnEdsnEdsnE

manto

mmmbb

base

b

base

bbb =++

0ero en las (ases el campo elctrico es perpendicular a los vectores unitarios portanto en ellas el flujo es cero. La ecuacin se reduce a*

3

int,

QdsnE

manto

mmm =


31/63

En el manto)el campo elctrico es radial a la varilla $ de intensidad constante.

En el manto el vector unitario a ds) tam(in es radial

La carga en el interior de la cilindro gaussiano) corresponde a la carga en el tro#o devarilla que queda en el interior) luego*

1eempla#ando*

3

3

3

,,

$r$E

$

dsE

$dsrrE

manto

manto

=

=

=

Luego


32/63

+e tiene una superficie regular de %rea cerrada) divididaen elementos infinitesimales d& inmersa dentro de uncampo elctrico uniformeE. +e deseaencontrarel flujo

neto que atraviesa la superficie.

El flujo elctrico eque atraviesa la superficie cerrada & es *

ei% $n d!%$n d!%$d! Cose% $d!

>rea

d&

$

e% $ d!


33/63

&

d&

E

"onsidere una superficie irregular de %rea cerrada)dividida en elementos infinitesimales d& colocada en uncampo elctrico uniformeE. +e desea encontrar el flujo

neto que atraviesa la superficie.

El flujo elctrico eque atraviesa la superficie cerrada

irregular & es*

ei% $n d!%$n d!%$d! Cose% $d!

e% $ d!


34/63

e% $d!

El flujo elctrico eque atraviesa cualquier superficiecerrada es independiente de la superficie que encierra a lacarga.

+upongamos que tenemos una carga positiva Q con suslneas de campo. "erramos la carga en diferentessuperficies cerradas.

&


35/63

"onsideremos un cilindro cerrado 6ipottico de radio 1inmerso en un campo elctrico uniformeE) siendo el ejedel cilindro paralelo al campo. cu%l es el valor del en

esta superficie cerrada?

Ejemplo .-

EE & &

&

! E&n @ E&n @ E& ! E&"os -A3B @ E&"os 3B @ E&"os

C3B ! E&@ E&@ 3 ! 3


36/63

Ejemplo .-A:na superficie cerrada tiene dimensiones a ! ( ! 3.2 m $c ! 3.D m el campo elctrico por toda la regin no

es uniforme $ esta dado por E! @ '/i FG" donde '

esta metros. cu%l es la carga neta encerrada por lasuperficie?

H

7

I

ac

H

7

I

a

(

a


37/63

H

7

I

a

(

a

'luo el)ctrico que entra%s$ d!

%$ !

e % (;.< =.;.< =.< (


38/63

c

(

a

H

7

I

a

'luo el)ctrico quesale

%s$ d! %$ !s % (;.< =.;.< =.


39/63

H

7

I

ac

H

7

I

a

(

a

n % s e %


40/63

Ejemplo de -so de e& de Gauss /imetra Esf"rica

Para todadistribuci,n de car#a con simetra esf)rica+ podemos

lle#ar a las mismas conclusiones acerca de $.

$ es en direccion radial+

= La ma#nitud de $ es constante en la superficie de cualquier

superficie esf)rica conc)ntrica con la car#a. $s obvio que

debemos tomar la superficie Gaussiana como tal esfera.

; Por tanto $ y da apuntan en la misma direccion y el inte#ral

del lado i/quierdo de la ley de Gauss nos da

Para cada situaci,n de simetra esf)rica lo que cambia es el lado derec"o de la ley de Gauss. e

"ec"o+ esta es diferente an para diferentes re#iones en una misma situaci,n. !s que el meollo de

resolver uno de estos problemas es determinar cu2nta car#a "ay dentro de la Gaussiana+ q9.

Homemos el eemplo de un cascar,n esf)rico de car#a q y radio &. (Ier dibuo. ebemos

considerar dos re#iones: * fuera del cascar,n y ** dentro del cascar,n. Siempre llamamos r a la

distancia entre el punto donde queremos calcular $ y el centro de simetra. 1atem2ticamente las

re#iones se definen como * rJ& y ** rK&. Por supuesto+ nuestra esfera Gaussiana la co#emos con

radio r.

Para la re#i,n *+ tomamos la esfera Gaussiana S= . $s obvio queq9 % q ya que esa es la car#aadentro de la esfera S=. $n esta re#i,n la car#a se comporta como si fuese puntiforme.

Para la re#i,n **+ tomamos la esfera Gaussiana S. !"ora q9 % < y no "ay $ dentro de la car#a 666666


41/63

0tro ejemplo de simetra esf"rica *istri)uci(n en un Volumen

$l lado i/quierdo de la ley de Gauss depende solo de la simetra. Lo que tenemos que

determinar es el lado derec"o+ o sea+ la car#a encerrada.

'uera de la distribuci,n de car#a+ la contestaci,n es i#ual que el caso anterior.

entro de la car#a+ q9% Ir donde es la densidad de car#a % q D I&.

!s que q9 % y cuando resolvemos por $ encontramos proporcional a

r6


42/63

0tro ejemplo de la e& de Gauss

-na inea 1ecta e 2nfinita de Carga /imetra Cilndrica

Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir quetodos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilndrica

(en amarillo tienen la misma ma#nitud de $. $n la pr2ctica+ por

supuesto+ no e0isten lineas infinitas pero el resultado que obten#amos

ser2 una buena apro0imaci,n al caso de puntos que quedan cerca de

una linea de car#a finita.

$n una situaci,n como esta con un punto y una linea+ la nica

direcci,n definida por la realidad fsica es la direcci,n radial(coordenadas cilndricas. $ tiene que ser en esa direcci,n.

9uestra superficie Gaussiana tiene lados y dos tapas. $n las tapas $

no es constante pero da es perpendicular a $ asi que el inte#ral sobre

las tapas es cero y el inte#ral sobre los lados es

$se resultado es siempre i#ual para toda simetra cilndrica.

Como siempre+ la soluci,n al problema particular se reduce a determinar la car#a dentro de lasuperficie. $n este caso resulta ser M" donde M es la densidad lineal de car#a. !s que la

ecuaci,n de la ley de Gauss se convierte en este problema en y resolviendo

por $ obtenemos o sea el campo disminuye con la primera potencia de r no con

la

se#unda. $sto qui/2s no debe e0traNarnos ya que tenemos una car#a muc"o m2s #rande que

una car#a puntiforme.

Para el caso de una linea de lon#itud L con car#a total 8+ entonces M % 8 D L y nuestro

resultado es correcto solo ara untos donde r KK L ue uedan le os de los e0tremos de la


43/63

Ley de Gauss 3 Simetra PlanaLa nica direcci,n especificada por la situaci,n fsica

es la direcci,n perpendicular al plano. Por tanto+ )statiene que ser la direcci,n de $.

Puntos que quedan en planos paralelos est2n

equidistantes al plano y tienen que tener el mismo $.

La superficie Gaussiana que usamos tiene tapas que

son dos de esos planos paralelos. $l fluo a trav)s de

los lados de esta superficie Gaussiana es cero. Losfluos a trav)s de las dos tapas son i#uales.

E es -niforme 2ndependiente de la Posici(n33


44/63

-n caso importantsimo Placas Paralelas

-niforme 2ndependiente de la Posici(n33

Esta estructura se usa muc+o en la prctica.

.-2 Le$ 5auss


45/63

e%$d! % $(r!e% (D(?))(8 D r=A(?r=

e % 8 D

.-2 Le$ 5aussEncerramos la carga Q en una esfera superficie

6ipottica cerrada/ de radio r $ de elementosinfinitesimales d&

+ea una carga Q positiva que genera un campo elctricoE.

d&

d&

e % $d! % 8D


46/63

El campo elctrico E/ de una partcula puntual esinversamente proporcional a la distancia r/ al cuadrado.

E 1/ rE ! - G2 ) (Q G r/ El %rea &/

de una esfera es directamente proporcional a su radio r al

cuadrado. & r

& ! 2 r

$l producto $ ! % 8 D + es independiente de la superficie que encierra a lacar#a neta+ entonces el fluo depende nicamente de la car#a neta encerrada.

Se selecciona el elemento infinitesimal de 2rea (d! paralelo al campo el)ctrico

($ para que la ma#nitud de este sea constante sobre esa parte de la superficie.

Ley de Gauss

$d! % 8D .


47/63

Ejemplo .3 "ampo elctrico de una partcula puntual

El campo elctrico E esta dirigido en todas direcciones)encerramos la carga Q/ en una superficie 6ipotticacerrada de tal manera que el campo elctrico sea el mismoen cualquier punto de la superficie.

d&

La le$ de 5auss es*

$d! % 8 D

9onde E es el campo de(ido a la carga puntual Q u o(jetocargado) d& es un elemento de la superficie 6ipottica $Q es la carga neta encerrada en la superficie.

$d! % $Cos d! % $(r = 8 D $(r (?r== 8 D $(r = 8 D (?r=) % O8 D r=

+i l d ( i i d d l


48/63

+i colocamos una carga de prue(a q positiva dentro delcampo generado por la carga Q a una distancia r.

$(r q %(O8 q D r= r 4 '^$(r = (O8 D r= r

Encontramos la le$ de "oulom( a partir de la le$ de 5auss

Ej l - " l i d (id 6il d


49/63

Ejemplo .- "ampo elctrico de(ido a una 6ilo cargado

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

Envolvemos el 6ilo en una superficie gaussiana

6ipottica/ cilndrica de radio r) longitudL) de talmanera que el %rea transversal sea perpendicular a laslneas de campo.

Queremos encontrar el campo elctrico de un 6iloque tiene una densidad lineal de carga a unadistancia r.

$%D(= r

d&

En las tapas transversales el flujo es cero) puestoque) E ) Jnicamente 6a$ flujo elctrico por el%rea lateral.

$!% 8D $(=rL%L D$d! % 8 D

+ea un 6ilo que tiene una densidad lineal de carga, que produce un campo elctrico perpendicular aleje del 6ilo.

Ej l " l i d l d


50/63

Ejemplo . "ampo elctrico de una placa cargadauniformemente

+e desea encontrar el campo elctrico producido por unaplaca plana no conductora que tiene una densidad superficialde carga uniforme .

E

$ %D=

+. 6ipottica -+. 5aussiana

$d! % 8D .%$ = !%!D

"onsideremos una placa plana con una distri(ucinuniforme de carga que engendra un campo elctrico E $unas lneas de campo perpendiculares a la superficie.

"onstruimos superficies cilindros 6ipotticos/ a lado $lado de la placa) de tal manera que el %rea transversal sea

paralelo a las lneas de campo.


51/63

Un Conductor en $lectrost2tica

$%< en el cuerpo del conductor.

La car#a est2 locali/ada en la superficie(si es s,lido o las superficies (si es

"ueco. Sabiendo lo de arriba y usando la ley de

Gauss+ podemos determinar cu2nta car#a

"ay en las diferentes superficies de unconductor. (Usar la ley de Gauss alrev)s.

0 ( i t l d l l d 5


52/63

"olocamos cerca de la superficie del(aln dos esferas conductorasdescargadas e introducimos una tercera

esfera conductora cargadapositivamente.

0rue(a e'perimental de la le$ de 5auss

+upongamos que tenemos un (aln de co(reelctricamente neutro con un orificio en la parte superior$ aislado de tierra.


53/63

& medida que la esfera cargada se introduce en el(aln. las esferas conductoras $ el (alnpermanecen elctricamente neutros.


54/63

@

@

@ @@

@

@@

@@@

@

@

@

"uando la esfera cargada 6ace contacto con el (aln) setransfieren electrones del (aln 6acia la esfera quedando

este con defecto de electrones $ la esfera elctricamenteneutra) en tanto que) en las esferas conductoras seproduce una induccin de carga.

Esto muestra que cualquier carga

transferida a un conductor reside ensu superficie en equili(rioelectroest%tico.


55/63

@

@

@ @@

@

@@

@@@

@

@

@

@

1etiramos la esfera) la carga en el (alnse distri(u$o inmediatamente en susuperficie $ las esferas permanecen concarga inducida.


56/63

@

@

@ @@

@

@@

@@@

@

@

@

@


57/63

@

@

@ @@

@

@@

@@@

@

@

@

@

&6ora podemos llevar el (aln $ cada una de las esferaspor separado a un electroscopio para constatarefectivamente la presencia de carga elctrica.

& 6 l ( l d i l d d i


58/63

& 6ora con el (aln cargado $ aislado de tierra)vamos a introducir dos pequeKas esferasconductoras descargadas

+i llevamos las esferas a unelectroscopio podemos o(servar queestas permanecen descargadas) esdecir) en el interior del (aln

conductor no 6a$ carga neta parainducir carga en las esferasconductoras.

"olocamos las esferas en el interior del (aln $luego las retiramos

@

@

@ @@

@

@@

@@@

@

@

@

@


59/63

"uando una carga neta se coloca so(re un conductor) estase distri(u$e por si sola so(re la superficie de unamanera tal) que el campo elctrico interior es cero)entonces dentro de un conductor en equili(rio

electrost%tico la le$ de 5auss indica que no puede 6a(ercarga neta dentro del conductor.

"4F"L:+4F

Ejemplo


60/63

(/E! G )+ G ) ! / c/ E! G )M G ) !3a/E! G ) G ) = 0

+e tienen dos laminas conductoras con densidad

superficial de cargas iguales pero de diferente signo."alcule el campo elctrico a/ a la derec6a de las placas (/en el centro de las placas c/ a la i#quierda de las placas.

@@@

@@

===

==

Ejemplo .

E ! 3 E ! / E ! 3


61/63

Para unconductor# E45 en el cuerpo del conductor3

a carga est en las superficies &a sea e$terna o interna o am)as3

Una esfera de car#a (amarilla dentro de un cascar,n de material


62/63

Una esfera de car#a (amarilla dentro de un cascar,n de material

conductor (a/ul claro.

-sando el principio que aca)amos de aprender#

sa)emos que E45 en la regi(n

22' c 6 r 6 )# dentro del cuerpo del conductor.

Con la le& de Gauss podemos calcular E en las otras

tres regiones como +icimos antes7

2' r 6 c# afuera de todo.

222' ) 6 r 6 a# el +ueco entre la carga & el metal.

2V' a 6 r# dentro de la carga.

Ese clculo lo dejamos para que lo +agas tu.

Para determinar la distri)uci(n de carga en el conductor# usamos una superficie Gaussiana

en la regi(n 22. Como queda dentro del conductor# E45 & el flujo el"ctrico es cero & la cargaencerrada es cero. Eso quiere decir que# en la superficie interior del conductor# se tiene que

depositar una carga que es el negati!o de la carga amarilla. Para calcular la carga en la

superficie e$terior# se le resta la carga interior a la carga total del conductor. %8e tienen que

decir cul es la carga total en el conductor. -sualmente es diferente a la carga amarilla.'


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*os pro)lemas que de)es poder +acer# o sea# e$plicar c(mo se usa la le& de Gauss#

c(mo se usa la simetra para sa)er las caractersticas del campo electrco# c(mo se

calcula la carga encerrada para diferentes puntos en diferentes regiones# c(mo se

calcula la carga que +a& en las superficies de los conductores.

%a' -na esfera %no conductora' de carga de radio ) con un +ueco esf"rico de radio a.

%9a& tres regiones.'

%)' -na carga puntiforme en el centro de un cascar(n esf"rico de material conductor.9a& tres regiones. 9a& que determinar cunta carga +a& en las superficies del

cascar(n.

8am)i"n puede !enir alguna com)inaci(n de los elementos que +a& en estas dos

situaciones con algunos de los elementos de las situaciones que se e$plicaron

anteriormente en las transparencias :5 & ::.

ley de gauss y conductores

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