LEY DE DARCYIntroducción

Hemos visto que las rocas, contienen algunos espacios vacíos, por lo que exhiben porosidad. En muchos casos estos espacios se encuentran interconectados entre ellos. El fluido contenido en los espacios vacíos es capaz de moverse desde un espacio a otro, lo que produce la circulación del fluido a través de la roca.

En 1856, como resultado de estudios experimentales de flujo de agua a través de filtros de arena no consolidada, Henry Darcy dedujo la fórmula que lleva su nombre. La ley de Darcy se ha extendido, con ciertas limitaciones, al movimiento de otros fluidos, incluyendo dos o más fluidos no miscibles, en rocas consolidadas y otros medios porosos.

La Ley de Darcy es un modelo matemático que indica el flujo de fluidos por un medio poroso. En el caso de la ingeniería petrolera, esta ecuación posibilita la determinación de propiedades importantes en la roca como la permeabilidad, pero es preciso reconocer que al momento de caracterizar los fluidos de un yacimiento de petróleo presenta ciertas limitaciones.

Experimento De Darcy

En la segunda mitad del siglo XIX, un ingeniero francés, Henry Darcy, desarrolló el primer estudio sistemático del movimiento del agua a través de un medio poroso. En este estudio se analizó el movimiento de agua a través de filtros de arena usados para la filtración de agua potable. Darcy encontró que la tasa o velocidad a la cual el agua fluye a través del medio poroso es directamente proporcional a la diferencia de altura entre los dos extremos del filtro, e inversamente proporcional a la longitud del filtro. Presentó el resultado de sus trabajos como un apéndice a su informe de la red de distribución de Dijón, Ese pequeño apéndice fue la base de todos los estudios físico-matemáticos posteriores sobre el flujo del agua subterránea.

La Figura 1 muestra una tubería horizontal llena con arena, en la cual se aplica agua mediante presión a través del extremo A, la cual fluye y se descarga a través del extremo B. La presión observada en cada extremo de la tubería (o en alguna posición intermedia) puede ser medida mediante un tubo vertical de pequeño diámetro (piezómetro). Darcy encontró experimentalmente que la descarga, Q, es directamente proporcional a la diferencia en la altura de aguas entre los piezómetros A y B e inversamente proporcional a la longitud de la tubería, L:

Figura 1: Experimento Darcy

A B

El flujo es también proporcional al área perpendicular al escurrimiento, A, por lo cual al combinar todos estos elementos podemos escribir:

donde K es la constante de proporcionalidad y se denomina conductividad hidráulica o permeabilidad. Esta expresión puede ser expresada en términos generales como:

Donde dh/dl es conocido como el gradiente hidráulico. La cantidad dh representa el cambio en cota piezométrico entre dos puntos situados muy cercanos, y dl es una distancia muy pequeña. El signo negativo indica que el flujo es en la dirección de cota piezométrico decreciente.

Conductividad Hidráulica o Coeficiente de Permeabilidad.La Ec. 3 puede ser modificada para mostrar que el coeficiente K tiene las dimensiones de longitud/tiempo, o velocidad. Este coeficiente ha sido denominado conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad:

El flujo, Q, tiene dimensiones de volumen/tiempo (L3/T), el área A (L2), y el gradiente hidráulico (L/L). Substituyendo estas dimensiones en la ecuación (4) obtenemos:

Hubbert (1956) mostró que la constante de proporcionalidad de Darcy, K, es una función de propiedades del medio poroso y el fluido que pasa a través de él. De hecho es intuitivo pensar que un fluido muy viscoso, por ejemplo petróleo, se moverá a una tasa menor que agua en un mismo tipo de roca. La descarga es directamente proporcional al peso específico del fluido, g, e inversamente proporcional a la viscosidad dinámica del fluido, μ. A partir de esta información podemos escribir:

……. (Ec. 1)Y Qα 1/L……

Qαha−hb

……. (Ec. 2)Q=K∗A∗( ha−hb

L )

……. (Ec. 3)Q=−K∗A∗( dhdl )

……. (Ec. 4)K= −QA∗dhdl

……. (Ec. 5)K=

− L3

T

L2∗( LL )= LT

O ……. (Ec. 7)K=k '∗ρgμ……. (Ec. 6)K=k '∗γ

μ

Donde k’ es la permeabilidad intrínseca de la roca, la cual tiene unidades de área, L2. En la última expresión ρ es la densidad del fluido y g es la aceleración de gravedad.

Las unidades de k pueden ser en metros o centímetros cuadrados (Ec.8). En la industria petrolera, el Darcy es usado como la unidad para la permeabilidad intrínseca. El Darcy se define como:

El gasto que fluye de 1 cm3/seg a través de un medio poroso que tiene una sección transversal, que tiene un área de 1 cm2, que tiende a una caída depresión (Δp) de 1 atm y el fluido tiene una viscosidad de 1 centipoise (cp), y recorre una longitud a 1 cm

Esta expresión puede ser convertida a centímetros cuadrados utilizando:

Sustituyendo en la definición de Darcy podemos observar que

La cuantificación del coeficiente de permeabilidad o conductividad hidráulica puede ser realizada a través de dos tipos de métodos diferentes, los que tienen aspectos positivos y negativos inherentes a cada uno de ellos. Los dos tipos de métodos que existen son los indirectos y directos. Los métodos directos se pueden subdividir a su vez en dos grandes categorías: campo y laboratorio.

Métodos para la determinación de la conductividad hidráulica.

1. Métodos Indirectos para Determinación de K

Sedimentos de grano grueso y no consolidado son los mejores productores de agua subterránea que existen en la naturaleza. Asimismo, arcillas son a menudo utilizadas en aplicaciones de ingeniería debido a su reducida permeabilidad intrínseca. Rangos típicos de permeabilidad intrínseca y conductividad hidráulica para distintos tipos de sedimentos no consolidados se presentan en la Tabla 1.

……. (Ec. 9)1Darcy=

−1cp∗1cm3/s

1cm2

1atm1cm

Y …. (Ec. 11)1atm=1.0132∗106 dinacm2…. (Ec. 10)1cp=0.01 dina∗s

cm2

…. (Ec. 12)1darcy=9.87∗10−9 cm2

……. (Ec. 8)k '=Kμ

ρg=

( LT )(M¿ )

( ML3 )( LT 2 )

=L2

Tabla 1Rangos de Permeabilidad y Conductividad Hidráulica para Sedimentos No Consolidados

La

permeabilidad intrínseca es una función del tamaño de los poros en el sedimento no consolidado. Mientras más pequeño es el tamaño de los sedimentos, más grande es el área superficial en contacto con el agua contenida en los poros. Este aumento en el área superficial provoca un incremento en la resistencia friccional al flujo, lo que disminuye la permeabilidad intrínseca. En sedimentos bien distribuidos (es decir no homogéneos) la permeabilidad intrínseca es proporcional al tamaño representativo del sedimento.

Método de HazenLa conductividad hidráulica de sedimentos arenosos puede ser estimada a partir de la curva granulométrica o de distribución de tamaños. Una serie de métodos han sido diseñados a partir de esta idea. El método de Hazen puede ser utilizado en el caso de arenas cuyo diámetro efectivo (d10) se encuentra entre 0.1 y 0.3 mm. La aproximación de Hazen es:

Donde K es la conductividad hidráulica (cm/s), d10 es el tamaño efectivo de los sedimentos (cm) y C es un coeficiente que se describe a continuación:

Método de ShepperdEn otros estudios (Shepperd, 1989) se demostró que la relación presentada en (Ec.13) puede ser escrita en forma más general como:

Donde d50 es el tamaño medio de los sedimentos (cm) y j es un exponente cuyo valor depende del tipo de textura de los sedimentos. De esta manera, un sedimento redondeado presenta un valor de j cercano a 2.0, mientras que para sedimentos naturales este exponente es igual a 1.5.

…. (Ec. 13)K=C∗(d10)2

…. (Ec. 14)K=C∗(d50)j

Material Permeabilidad Intrínseca k’, darcys

Conductividad HidráulicaK, cm/s

Arcilla 10-6 - 10-3 10-9 – 10-6

Limo, limos arenosos, arenas arcillosas 10-3 - 10-1 10-6 – 10-4

Arenas limosas, arenas finas 10-2 - 1 10-5 – 10-3

Arenas bien distribuidas 1 - 102 10-3 – 101

Gravas bien distribuidas 10 - 103 10-2 - 1

Arena muy fina, mal distribuida 40 - 80Arena fina con una gran cantidad de material fino 40 - 80Arena media, bien distribuida 80 - 120Arena gruesa, mal distribuida 80 - 120Arena gruesa, bien distribuida, limpia 120 – 150

2. Métodos Directos – Laboratorio

La permeabilidad o conductividad hidráulica de una muestra saturada se puede medir en laboratorio a través de dispositivos denominados permeámetros.

Todos los permeámetros se componen de una cámara en la cual se ubica una muestra de roca o suelo. En el caso particular de ensayos en roca los permeámetros utilizan muestras de forma cilíndrica. En el caso de muestras no consolidadas existen dos posibilidades. La primera es trabajar con una muestra reconstituida que es remoldeada en la cámara del permeámetro y la segunda considera el uso de muestras inalteradas que son recolectadas en el terreno mediante técnicas especiales. Si los sedimentos son reconstituidos dentro de un permeámetro los valores de la conductividad hidráulica obtenidos con este procedimiento son sólo una aproximación del valor real de K. La conductividad hidráulica de los suelos recompactados depende en forma muy directa de la densidad a la cual el material es recompactado.

Permeámetro de Carga Constante

El permeámetro de carga constante se utiliza en el caso de sedimentos no cohesivos tales como arena y rocas. Un esquema de un permeámetro de carga constante se presenta en la Figura 2. En este caso una cámara de carga provee una alimentación de agua a una carga constante, con lo que el agua se mueve a través de la muestra hasta alcanzar un régimen de equilibrio o estacionario. Para utilizar este dispositivo se genera un flujo a través de la muestra de suelo y luego que se alcanza una situación de equilibrio se mide el caudal de salida desde el permeámetro, así como la diferencia de carga entre la cámara de nivel constante y el nivel de agua en la salida.

Permeámetro de Carga VariableEn el caso de sedimentos cohesivos y con baja permeabilidad se utiliza un permeámetro de carga variable (Figura 3). En este caso la cámara de carga de nivel constante se reemplaza por un tubo vertical en el cual se produce el descenso del nivel de agua a medida que ésta atraviesa la muestra de suelo. Para la determinación de la conductividad hidráulica se anota el nivel inicial de agua en el tubo, h0. Luego de un período de tiempo t se mide la posición del agua en el tubo vertical, h. El diámetro interior del tubo vertical, dt, la longitud de la muestra, L, así como

su diámetro, dC, son también conocido.

Requisitos de La ley de Darcy

1. El medio debe ser homogéneo e isótropo.

Fig. 2 Permeámetro de Carga Constante

Esto significa que la estructura porosa y sus propiedades deben ser iguales en cualquier dirección.

2. Flujo estacionario. Se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura con el tiempo.

3. Flujo laminar. La ecuación de Darcy es inválida para números de Reynolds mayores de uno. En las cercanías del pozo cuando las velocidades son elevadas, por ejemplos en producción de gas puede ser flujo transitorio.

4. Medio saturado.La ecuación de Darcy no aplica en regiones donde fluya más de un fluido, sin embargo si existen modificaciones.

5. Las características físicas y químicas de los medios poros deben permanecer constantes.

Existen casos donde esto no cumple, por ejemplo cuando un pozo es estimulado durante un trabajo de fracturamiento hidráulico. Los fluidos usados pueden reaccionar con los minerales de la roca y reducir la permeabilidad.

6. Interconexión de poros en el medio.

De la discusión anterior se sigue que la Ley de Darcy se aplica estrictamente sólo a un flujo laminar, gravitacional, estacionario, donde el agua fluye a lo largo conductos irregulares en la masa del material y sigue los principios generales de la hidráulica. Tal es el caso de gravas y arenas, pero no de los suelos cohesivos. No obstante, las aproximaciones y extensiones propuestas son indudablemente útiles y tienen un fundamento empírico solido en el hecho que el caudal unitario a través de un medio resistente al mismo depende de la carga hidráulica, de la longitud de material que debe atravesar, y de la resistencia que el medio opone al flujo como lo propuso Darcy a partir de sus experimentos en Dijon.

Sin embargo estos requisitos en la industria petrolera, son muy variantes y son necesarias considerarlas para aplicar la ecuación por ello se han realizado modificaciones en la misma.

La Ec. 7 se tiene que considerar en la industria petrolera, donde se estudian fluidos de diferentes características. En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso específico ni la viscosidad. Solamente habría que considerar la variación de la viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 °C, con lo que la permeabilidad de Darcy (K) sería la mitad y también se reduciría en la misma proporción el caudal por la sección

considerada del medio poroso. Por tanto, aunque sabemos que K depende del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para el agua a efectos prácticos asumimos que la K de Darcy, o Conductividad hidráulica es una característica del medio poroso.

Como en la industria petrolera los fluidos tienen características propias la ecuación de Darcy se modifica y se tienen que considerar para los cálculos.

Aplicación en la Ingeniería Petrolera.La ley de Darcy tiene como principal aplicación en la determinación de la permeabilidad. La permeabilidad es una propiedad que mide la capacidad de transferencia que tienen los fluidos para atravesar la roca. En su forma más simple, la ley de Darcy, se aplica a una losa rectangular de roca de la siguiente forma:

Donde:q = Caudal en cm3/segμ =Viscosidad del fluido en centipoisek = permeabilidad de la roca en DarcyL = Largo de la Roca en cmA = área de la sección transversal al flujo en cm2(p1 - p2) = diferencia de presión en atm

Esta ecuación asume un estado estacionario, fluido incompresible, flujo lineal de un fluido monofásico, en un medio poroso homogéneo y saturado con el mismo fluido. Aunque estas condiciones raramente se encuentran en un yacimiento, todos los métodos prácticos están basados en la ley de Darcy.

Modificaciones a la Ley de Darcy.En el caso de un yacimiento de petrolero, el flujo monofásico ocurre cuando la presión dinámica de fondo de los fluidos del yacimiento está por encima de la presión de punto de burbuja a la temperatura del yacimiento. Durante la depleción del yacimiento, la presión de este continúa cayendo, y puede mantenerse por la inyección de fluidos en una recuperación asistida. Como consecuencia, durante la depleción la presión dinámica cae por debajo del punto de burbuja, lo cual resulta en la combinación de un flujo monofásico con uno bifásico dentro del yacimiento.

Muskat (1949) extendió la ecuación de Darcy a fin de modelar el flujo multifásicos agregando un factor de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema por lo que la ecuación toma la forma:

……. (Ec. 15)Q=−k∗Aμ ( P1−P2

L )

…. (Ec. 16)Q x=−k∗krx

μx(∇ px−ρ x∗g )

Donde x=o,g,w (aceite, gas y agua)krx= permeabilidad relativa de cada fluido (aceite, gas y agua)k= permeabilidad intrínseca de la rocaux= viscosidad de cada fluido (aceite, gas y agua)px= presión en cada fluidoρ x= densidad de cada fluido