Ley de composicin interna: Ley de composicin interna: operacin *: A x A A (x,y) x*yEstructura algebraica: Estructura algebraica: lci definida en un conjunto. (A,*) Propiedades que puede poseer una estructura algebraica: sea (A,*) 1.- Asociatividad 2.- Neutro e 3.- Inverso 4.- Conmutatividad 5.- Elemento absorvente 6.- Elemento idempotente El neutro es nico Si la estructura algebraica (A,*) tiene neutro e y * es asociativa, entonces los inversos (en el caso en que existan) son nicos. Propiedades de estructura algebraica asociativa con neutro e. Sea (A,*)1.- 2.-3.-

Clase de equivalencia: Congruencia de mdulo p: sea n , n. Se define en Z la relacin n porn Se tiene que Zn ={ [0]n, [1]n, , [n-1]n} +n y n son leyes de composicin interna en Zn, por tanto Zn es estructura algebraica. Si [x1]n = [x2]n y [y1]n = [y2]n , entonces [x1+y1]n = [x2+y2]n y [x1y1]n = [x2y2]n

Grupo: Sea (G,*) estructura algebraica. Diremos que es un grupo si1.- * es asociativa2.- (G,*) posee neutro 3.- Todo elemento posee inverso Si * es conmutativa, llamaremos a (G,*) grupo abeliano. Se cumplen propiedades dichas anteriormente para EA con neutro e inverso. Sea (G,*) grupo, entonces1.- Para todo a, b , las ecuaciones 1 y 2 tienen como soluciones 1 y 12.- El nico elemento idempotente es el neutro.

Sea (G,*), un grupo, y sea H G, H. Diremos que H es subgrupo de G si (H,*) tambin es grupo. Todo grupo tiene dos subgrupos triviales: (G,*) y (e,*). G y H tienen neutros iguales nicos. G y H tienen elementos inversos iguales del mismo elemento. Cerradura: Esta propiedad nos permite decir que * es una ley de composicin interna tambin en H Para demostrar que H es subgrupo de G, se debe demostrar la propiedad cerradura, y demostrar que H cumple con todas las propiedad de la definicin de grupo.

Teorema de Lagrange: Sea (G,*) un grupo finito y (H,*) un subgrupo cualquiera de l. Entonces |H| divide a |G|.Morfismo: sean (A,*) y (B,) dos estructuras algebraicas, y sea f : A B una funcin. Definicin morfismo: Si es f es morfismo y es funcin biyectiva, se llamar isomorfismo. (A,*) y (B,) son estructuras isomorfas, denotadas (A,*) (B,). Propiedades de morfismos sobreyectivos:1.- Si * es asociativa, entonces tambin:2.- Si * es conmutativa, entonces tambin.3.- Si (A,*) tiene neutro , entonces (B,) tambin tiene neutro, el cual es f(e).4.- Sea (A,*) es asociativa con neutro e, y sea . Si a posee inverso a-1,entonces f(a) tambin posee inverso, y ms an, (f(a))1 = f(a1).