CAPÍTULO 35 LA LEY DE AMPÉRE En el capítulo anterior estudiamos el efecto de un campo magnético sobre una carga en movimiento. Ahora nos concentraremos en la fuente misma del campo, y en el presente capítulo estudiaremos el campo magnético producido por un conductor por el cual fluye corriente. Presentaremos dos métodos para calcular B: uno basado en una técnica directa, análoga a la ley de Coulomb para el cálculo de los campos eléctricos, y otro basado en argumentos de simetría, análogos a la ley de Gauss para los campos eléctricos. En analogía con nuestro estudio previo de los campos eléctricos de algunas distribuciones de carga sencillas, investigaremos en este capítulo los campos magnéticos producidos por algunas distribuciones de corriente sencillas: alambres rectos y anillos circulares. Describiremos también el campo dipolar magnético, similar al campo dipolar eléctrico y, por último, demostraremos que la relación entre los campos eléctrico y magnético es mucho más profunda que la que existe en una simple semejanza de las ecuaciones; la relación se extiende a la transformación de los campos uno dentro del otro cuando las distribuciones de carga o de corriente son observadas desde marcos inercia les diferentes.

35-1 La ley de Biot Sarvat El descubrimiento de que las corrientes producen campos magnéticos lo observó Hans Christian Oersted en 1820. Oersted observó que, como se ilustra en la figura 1, cuando se coloca una brújula cerca de un alambre recto por el pasa una corriente, la aguja se almea siempre perpendicularmente al alambre (despreciando la influencia del campo magnético de la Tierra sobre la brújula). Esto fue el primer vínculo experimental entre la electricidad y el magnetismo, y proporcionó el comienzo del desarrollo de una teoría formal del electromagnetismo. En términos modernos, analizamos el experimento de Oersted diciendo que la corriente en el alambre crea un campo magnético, que ejerce un momento de torsión sobre la aguja de la brújula y la alinea con el campo. Desarrollemos ahora un procedimiento para calcular el campo magnético debido a una distribución de corriente especificada y, antes de considerar el campo magnético, repasemos primero el procedimiento análogo para calcular los campos eléctricos.

La figura 2 muestra dos distribuciones de carga q1 y q de magnitud y forma arbitrarias. Consideramos los elementos de carga dq1 y dq2 en las dos distribuciones. El campo eléctrico dE1 creado por dq, en la ubicación de dq2 está dado por

en donde r es el vector de dq1 a dq2 (Fig. 2), r es su magnitud, y ur (=r/r) es un vector unitario en la dirección de r. Para hallar el campo eléctrico total E1 que actúa en dq2 debido a toda la distribución q1, integramos sobre q1:

La fuerza dF21 que actúa sobre dq2 debida a la distribución de la carga q1

puede entonces escribirse:

Las ecuaciones 1 o 2 (para el campo eléctrico de una distribución de carga) y 3 (que da la fuerza debida a aquella distribución que actúa sobre otra carga) juntas pueden considerarse como una forma de la ley de Coulomb para hallar la fuerza electrostática entre las cargas.

En el caso de los campos magnéticos, buscamos la fuerza entre los elementos de corriente (Fig. 3). Esto es, consideramos dos corrientes i1

e i2 y sus correspondientes elementos de corriente i1 ds1 e i2 ds2. Suponemos, basados en nuestros resultados del capítulo anterior, que las direcciones relativas de los elementos de corriente (especificadas por los vectores ds1 y ds2) serán importantes y que la fuerza entre las corrientes puede incluir los productos cruz de los vectores. La ley de Coulomb de la fuerza entre las cargas se desarrolló como un enunciado a partir de resultados experimentales; una ley análoga para la fuerza magnética la propuso el físico francés André-Marie Ampére en 1820, poco después de conocer los resultados de Oersted. La fuerza magnética dF21 ejercida sobre el elemento de corriente 2 por i1 puede escribirse, usando la ecuación 30 del capitulo 34, así:

en donde el campo magnético B1 en la ubicación del elemento de corriente i2ds2 se debe a toda la corriente i1.

La contribución dB de cada elemento de corriente de i1 al campo total está dada por

en donde r es el vector del elemento de corriente 1 al elemento de corriente 2, y Ur es el vector unitario en la dirección de r. Las ecuaciones 4 y 5 juntas dan la fuerza magnética entre los elementos de corriente de una manera análoga a las ecuaciones 1 y 3 para los elementos de carga. En la ecuación 5 está incluida una constante indeterminada k, al igual que incluimos una constante similar en la ley de Coulomb (véase la Ec. 1 del capitulo 27). Se recordará que, en electrostática, teníamos dos

opciones para determinar la constante en la ley de Coulomb: (1) fijar la constante igual a un valor conveniente, y usar la ley de la fuerza para determinar por experimentación la unidad de carga eléctrica o bien (2) definir la unidad de carga y luego determinar la constante por experimentación. Elegimos la opción 2, que define a la unidad de carga en términos de la unidad de corriente. En el caso de la constante en la ley de la fuerza magnética elegimos la opción 1: fijar la constante igual a un valor conveniente y usar la ley de la fuerza para definir a la unidad de corriente, el ampere. Se define que la constante k en unidades del SI tiene el valor exacto 10-7 tesla * metro/ampere (T* m/A). Sin embargo, como fue el caso en electrostática, hallamos conveniente escribir a la constante en una forma diferente:

donde la constante µ0, llamada la constante de permeabilidad, tiene el valor exacto

La constante de permeabilidad µ0 desempeña un papel en el cálculo de los campos magnéticos similar al de la constante de permitividad ε0 al calcular los campos eléctricos.

Las dos constantes no son independientes entre sí; como demostraremos en el capítulo 41, se enlazan a través de la velocidad de

la luz c, de modo que . Por lo tanto, no estamos en libertad de elegir a ambas constantes de modo arbitrario; podemos elegir una arbitrariamente pero entonces la otra está determinada por el valor aceptado de c.

Ahora podemos escribir los resultados generales para el campo magnético debido a una distribución de corriente arbitraria. La figura 4 ilustra la geometría general. No estamos ya considerando la fuerza entre dos elementos de corriente; en su lugar, calculamos el campo dB en el punto P debido a un solo elemento de corriente i ds. Si nos interesa calcular el efecto de ese campo sobre las cargas en movimiento o las corrientes en el punto P, usamos las fórmulas que desarrollamos en el capítulo anterior. Eliminando los subíndices en la ecuación 5 y usando la ecuación 6 para la constante k, tenemos

Este resultado se conoce como la ley de Biot y Savart. La dirección de dB es la misma que la dirección de ds x u, (o sea ds x r), hacia adentro del plano del papel en la figura 4.

Podemos expresar la magnitud de dB a partir de la ley de Biot y Savart como

donde θ es el ángulo entre ds (que está en la dirección de i), y r, como se muestra en la figura 4. Para hallar el campo total B debido a toda la distribución de corriente, debemos integrar sobre todos los elementos de corriente i ds:

Del mismo modo como lo hicimos en el capítulo 28 para los campos eléctricos, al calcular esta integral debemos tener en cuenta que no todos los elementos dB están en la misma dirección (véase la Sec. 28-5

para ejemplos de esta clase de integral vectorial en el caso de los campos eléctricos). 35-2 APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART Un alambre recto largo Ilustramos la ley de Biot-Savart aplicándola para hallar B debido a una corriente ¡ en un alambre recto largo. La figura 5 muestra un elemento de corriente i ds representativo. La magnitud de la contribución dB de este elemento al campo magnético en P se encuentra a partir de la ecuación 8,

Elegimos que x sea la variable de la integración que corre a lo largo del alambre, y así la longitud del elemento de corriente es dx. Las direcciones de las contribuciones dB en el punto P para todos los elementos son las mismas, es decir, hacia adentro del plano de la figura en ángulo recto con la página. Ésta es la dirección del producto vectorial ds x r. Podemos entonces evaluar una integral escalar en lugar de la integral vectorial de la ecuación 9, y B puede escribirse como

Ahora x, θy r no son independientes, estando relacionadas (véase la Fig. 5) por

de modo que la ecuación 10 se convierte en

Este problema nos recuerda su equivalente electrostático. Deducimos una expresión para E debido a una barra larga cargada por métodos de integración, usando la ley de Coulomb (Sec. 28-5). Resolvimos también el mismo problema usando la ley de Gauss (Sec. 29-5). Más adelante, en este capítulo, consideraremos una ley de los campos magnéticos, la ley de Ampére, que es similar a la ley de Gauss en cuanto a que simplifica los cálculos del campo magnético en los casos (como éste) en que tenga un alto grado de simetría. Un anillo circular de corriente La figura 6 muestra un anillo circular de radio R por el que pasa una corriente i. Calculemos B en el punto P sobre el eje a una distancia z del centro del anillo. El ángulo θ entre el elemento de corriente i ds y r es de 90°. Según la ley de Biot y Savart, sabemos que el vector dB de este elemento está en ángulo recto con el plano formado por i ds y r y por lo tanto, se encuentra en ángulo recto con r, como lo muestra la figura. Resolvamos a dB en dos componentes, una, dBll, a lo largo del eje del anillo y otra, dBl en ángulo recto con el eje. Sólo dBll contribuye al campo magnético total B en el punto P. Esto se deduce porque las componentes dBll de todos los elementos de corriente están sobre el eje y se suman directamente; sin embargo, las componentes dBl apuntan en direcciones distintas perpendicularmente al eje, y la suma de todas las dBl para el anillo completo es cero, según la simetría. (Un elemento de corriente diametralmente opuesto, indicado en la figura 6, produce el mismo dBll pero el dBl opuesto).

Por lo tanto, podemos reemplazar a la integral vectorial de todas las dB con una integral escalar de las componentes paralelas únicamente:

Para el elemento de corriente en la figura 6, la ley de Biot y Savart (Ec. 8) da

Tenemos también que

la cual, combinada con la ecuación 13, da

La figura 6 muestra que r y a no son independientes una de la otra. Expresemos a cada una en términos de z, la distancia desde el centro del anillo hasta el punto P. Las relaciones son

y

Al sustituir estos valores en la ecuación 14 para dBll nos da

Nótese que i, R, y z tienen los mismos valores para todos los elementos de corriente. Al integrar esta ecuación, obtenemos

o bien, observando que .f ds es simplemente la circunferencia del anillo (= 2πR),

En el centro de] anillo (z = O), la ecuación 15 se reduce a

La magnitud del campo magnético en el eje de un anillo circular de corriente está dado por la ecuación 15. El campo tiene su valor máximo en el plano del anillo (Ec. 16) y disminuye conforme la distancia z aumenta. La dirección del campo está determinada por la regla de la mano derecha: se empuña el alambre con la mano derecha, con el pulgar indicando la dirección de la corriente, y los demás dedos se enroscan en dirección al campo magnético. Si z » R, de modo que no se consideren los puntos cerca del anillo, la ecuación 15 se reduce a

En una bobina de N vueltas circulares idénticas, devanadas apretadamente, el campo total es N veces este valor, o sea (sustituyendo el área A = πR2 del anillo)

en donde µ es el momento dipolar magnético (véase la Sec. 34-7) de la espira de corriente. Esto nos recuerda el resultado deducido en el problema 11 del capitulo 28 [E = (1/2 πε0) (p/z3)], que es la fórmula para el campo eléctrico en el eje de un dipolo eléctrico. El problema 33 da un ejemplo del cálculo del campo magnético en puntos distantes perpendiculares al eje de un dipolo magnético.

Hemos demostrado de dos maneras que podemos ver a un anillo de corriente como un dipolo magnético: por una parte, experimenta un momento de torsión dado por r = µ x B cuando lo situamos en un campo magnético externo (Ec. 37 del capítulo 34); por otra, genera su propio campo magnético dado, para los puntos en el eje, por la ecuación 17. La tabla 1 resume algunas propiedades de los dipolos magnéticos y eléctricos. Problema muestra 1 Por dos alambres largos paralelos separados por una distancia 2d entre sí fluyen corrientes iguales i en direcciones opuestas, como se muestra en la figura 7a. Obtenga una expresión para el campo magnético B en un punto P sobre la línea que une a los alambres ya una distancia x desde el punto medio entre ellos.

Solución El estudio de la figura 7a muestra que B1 debido a la corriente i1 y B2 debido a la corriente i2 apuntan en la

misma dirección en P. Cada uno está dado por la ecuación 11 de modo que

La inspección de este resultado muestra que (1) B es simétrico alrededor de x = 0; (2) B tiene su valor

mínimo en x = 0; y (3) B —> �. cuando x ± d. Esta última conclusión no es correcta, porque la ecuación 11 no puede aplicarse a puntos dentro de los alambres. En realidad (véase el problema muestra 5, por ejemplo) el campo debido a cada alambre se anularía en el centro de ese alambre. Se recomienda al lector demostrar que nuestro resultado del campo combinado permanece válido en los

puntos en donde . La figura 7b muestra la variación de B con x para ¡ = 25 A y d =25 mm.

Problema muestra 2 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor del núcleo en una trayectoria de 5.29 x l0~’ m de radio con una frecuencia ν de 6.63 x l015 Hz (o rev/s). (a) ¿Qué valor de B se establece en el centro de la órbita? (b) ¿Cuál es el momento dipolar magnético equivalente? Solución (a) La corriente es la rapidez con la cual la carga pasa por cualquier punto en la órbita y está dada por

El campo magnético B en el centro de la órbita está dado por la ecuación 16,

(b) De la ecuación 36 del capítulo 34 con N (el número de espiras) = 1, tenemos que

Problema muestra 3 La figura 8 muestra una cinta plana de cobre de anchura a y espesor despreciable por la cual pasa tina corriente i. Determine el campo magnético B en el punto P, a una distancia R desde el centro de la cinta a lo largo de su bisectriz perpendicular. Solución Subdividamos la cinta en filamentos infinitesimales largos de anchura dx, cada uno de los cuales puede considerarse como un alambre portador de corriente di dada por i(dx/a). La contribución d13 del campo en el plinto P en la figura 8 está dada, para el elemento mostrado, por la forma diferencial de la ecuación 11,o sea

donde r R/cos θ R sec θ. Nótese que el vector dB forma un ángulo recto con la línea marcada por r.

Sólo es efectiva la componente horizontal de dB, es decir, dB cos θ; la componente vertical se cancela por la contribución de un filamento ubicado simétricamente en el otro lado del origen (la segunda cinta sombreada en la Fig. 8). Así, B en el punto P está dado por la integral (escalar)

Las variables x y θ no son independientes, estando relacionadas Por

o bien

Los límites en θ son ± α en donde α tan-1 (a/2R). Al sustituir a dx por B en la expresión, hallamos

Este es el resultado general para el campo magnético debido a la cinta.

En los puntos alejados de la cinta, a es un ángulo pequeño, para el cual α ≈ α tan a = a/2R. Así, tenemos, como un resultado aproximado,

Este resultado era de esperarse pues en los puntos distantes la cinta no puede distinguirse de un alambre delgado (véase la Ec. 11).

35-3 LAS LINEAS DE B La figura 9 muestra las líneas que representan al campo magnético B cerca de un alambre recto largo. Nótese el aumento en el espaciamiento de las líneas cuando aumenta la distancia desde el alambre. Esto representa la disminución 1/r predicha por la ecuación 11. La figura 10 muestra las líneas magnéticas resultantes asociadas a la corriente de un alambre orientado en ángulo recto con un campo externo uniforme Bc que se dirige hacia la izquierda. En cualquier punto, el campo magnético total resultante Bi es el vector suma de Bc y Bi, en donde Bi es el campo magnético creado por la corriente del alambre. Los campos Bc y Bi tienden a cancelarse arriba del alambre y a reforzarse entre sí abajo del alambre. En el punto P de la figura 10, Bc y Bi se cancelan exactamente, y Bt= 0. Muy cerca del alambre el campo está representado por líneas circulares, y Bt = Bi. Para Michael Faraday, creador del concepto, las líneas del campo magnético representaban la acción de fuerzas mecánicas, un poco parecida a la acción de una liga elástica estirada. Usando la interpretación de Faraday, podemos ver sin dificultad que el alambre de la figura 10 es jalado hacia arriba por la “tensión” de las líneas del campo. Este concepto tiene sólo una utilidad limitada, y hoy día usamos las líneas de B principalmente para formarnos una imagen mental. En los cálculos cuantitativos usamos los vectores del campo, y describiríamos la fuerza magnética sobre el alambre de la figura 10 usando la relación F = i L x B.

Al aplicar esta relación a la figura 10, recordamos que la fuerza sobre el alambre es causada por el campo externo en el que está inmerso el alambre; esto es, es Bc, el cual apunta hacia la izquierda. Puesto que L apunta hacia adentro de la página, la fuerza magnética sobre el alambre (= i L x Bc) apunta en efecto hacia arriba. Es importante usar sólo el campo externo en tales cálculos, pues el campo creado por la corriente del alambre no puede ejercer una fuerza sobre el alambre, del mismo modo en que el campo gravitatorio de la Tierra no puede ejercer una fuerza sobre la Tierra misma sino sólo sobre otro cuerpo. En la figura 9, por ejemplo, no existe una fuerza magnética sobre el alambre porque no está presente ningún campo magnético externo. 35-4 DOS CONDUCTORES PARALELOS Poco después de que Oersted descubriera que un conductor portador de corriente desviaba la aguja de una brújula magnética, Ampére concluyó que tales conductores deberían atraerse entre si con una fuerza de origen magnético. Analizaremos la interacción magnética de dos corrientes de manera similar al método que utilizábamos para el análisis de la interacción eléctrica entre dos cargas:

Esto es, una carga crea un campo eléctrico, y la otra carga interactúa con el campo en su ubicación particular. Usamos un procedimiento similar para la interacción magnética:

Aquí una corriente genera un campo magnético, y la otra corriente interactúa entonces con ese campo.En la figura 11, el alambre 1, que conduce una corriente i1, produce un campo magnético B1 cuya magnitud, en el sitio del segundo alambre es, de acuerdo con la ecuación 11,

La regla de la mano derecha muestra que la dirección de B1 en el alambre 2 es hacia abajo, como se muestra en la figura. El alambre 2, por el cual fluye una corriente i2, puede entonces considerarse como inmerso en un campo magnético externo B. Una longitud L de este alambre experimenta una fuerza magnética lateral F21

= i2 L x B1 de magnitud

La regla vectorial para el producto cruz muestra que F21 se encuentra en el plano de los alambres y apunta hacia el alambre 1 como se ve en la figura 11. Hubiéramos podido igualmente haber comenzado con el alambre 2 al calcular primero el campo magnético B2 producido por el alambre 2 en el sitio del alambre 1 y luego determinar la fuerza F12

ejercida sobre una longitud L del alambre 1 por el campo del alambre 2. Esta fuerza sobre el alambre 1 apuntaría, en corrientes paralelas, hacia el alambre 2 en la figura 11. Las fuerzas que ejercen los dos alambres uno sobre el otro son de igual magnitud y de dirección opuesta; forman un par acción-reacción de acuerdo con la tercera ley de Newton. Si, en la figura 11, las corrientes fuesen antiparalelas, hallaríamos que las fuerzas sobre los alambres tendrían la dirección opuesta: los alambres se repelerían entre si. La regla general es: Las corrientes paralelas se atraen, y las corrientes antiparalelas se repelen. Esta regla es, de alguna manera, opuesta a la regla para las cargas eléctricas, en la que las corrientes iguales (paralelas) se atraen, pero las cargas iguales (del mismo signo) se repelen.

La fuerza entre alambres paralelos largos se usa para definir al ampere. Dados dos alambres paralelos largos de sección transversal circular despreciable separados en el vacío por una distancia de 1 metro, se define al ampere como la corriente en cada alambre que produciría una fuerza de 2 x 10-7 newtons por metro de longitud. Las mediciones de corriente primarias pueden realizarse con una balanza de corriente, mostrada esquemáticamente en la figura 12. Esta consta de una bobina de alambre devanada cuidadosamente y colocada entre otras dos bobinas; las bobinas exteriores están sujetas a una mesa, mientras que la bobina interior cuelga del brazo de una balanza. Las tres bobinas conducen la misma corriente. Al igual que los alambres paralelos de la figura 11, las bobinas ejercen fuerzas mutuas, las cuales pueden medir- se al cargar con pesas la charola de la balanza. La corriente puede determinarse a partir de esta fuerza medida y de las dimensiones de las bobinas. Este procedimiento de uso de bobinas es más práctico que aquél de los alambres paralelos largos de la figura 11. Las mediciones con la balanza de corriente se emplean para calibrar otros estándares secundarios más convenientes para medir la corriente. Problema muestra 4 Un alambre horizontal largo soportado rígidamente conduce una corriente i, de 96 A. Directamente encima de él y paralelo a él hay un alambre delgado conductor de una corriente ‘b de 23 A y de 0.73 N/m de peso. ¿A qué altura en el alambre inferior habría que extender este segundo alambre si esperamos soportarlo mediante repulsión magnética? Solución Para proporcionar repulsión, las dos corrientes deben apuntar en direcciones opuestas. En el equilibrio, la fuerza magnética por unidad de longitud debe ser igual al peso por unidad de longitud y debe estar dirigida opuestamente. Al despejar d de la ecuación 18 da

Suponemos que los diámetros de los alambres son mucho más pequeños que su separación. Esta hipótesis es necesaria porque al deducir la ecuación 18 supusimos tácitamente que el campo magnético producido por un alambre es uniforme en todos los puntos dentro del segundo alambre.

¿Es el equilibrio del alambre suspendido estable o inestable contra los desplazamientos verticales? Esto puede demostrarse si desplazamos el alambre verticalmente y examinamos cómo cambian las fuerzas sobre el alambre. ¿Es el equilibrio estable o inestable contra los desplazamientos horizontales? Supongamos que el alambre delgado está suspendido debajo del alambre soportado rígidamente. ¿Cómo puede hacerse que “flote”? ¿Es el equilibrio estable o inestable contra los desplazamientos verticales? ¿Y contra los desplazamientos horizontales?

35-5 LA LEY DE AMPÉRE La ley de Coulomb puede considerarse como una ley fundamental de la electrostática; podemos usarla para calcular el campo eléctrico asociado con cualquier distribución de cargas de corriente. Sin embargo, en el capitulo 29 demostramos que la ley de Gauss nos permite resolver cierta clase de problemas que contienen un alto grado de simetría, con facilidad y elegancia. Además, demostramos que la ley de Gauss contiene en sí a la ley de Coulomb para el campo eléctrico de una carga puntual. En resumen, consideramos que la ley de Gauss es más básica que la ley de Coulomb, y que la ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones fundamentales (Maxwell) del electromagnetismo. La situación es similar en el magnetismo. Usando la ley de Biot-Savart, podemos calcular el campo magnético de cualquier distribución de corrientes, del mismo modo en que usamos la ecuación 2 (equivalente a la ley de Coulomb) para calcular el campo eléctrico de cualquier dis-tribución de cargas. Un enfoque más fundamental de los campos magnéticos hace uso de una ley que (como la ley de Gauss para los

campos eléctricos) aprovecha la simetría presente en ciertos problemas para simplificar el cálculo de B. Esta ley se considera más fundamental que la ley de Biot-Savart y conduce a otra de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Este nuevo resultado es lo que constituye la ley de Ampére y se escribe

Se recordará que, al usar la ley de Gauss, primero construiamos una superficie cerrada imaginaria (una superficie gaussiana) que encerraba una cierta cantidad de carga. Al usar la ley de Ampére construimos una curva cerrada imaginaria (llamada anillo amperiano), como se indica en la figura 13. El lado izquierdo de la ecuación 19 nos dice que dividamos a la curva en segmentos pequeños de longitud ds. Al recorrer el anillo (nuestra dirección de viaje determinará la dirección de ds), evaluamos la cantidad B * ds y sumamos (integramos) todas esas cantidades al-rededor del anillo. La integral de la izquierda en la ecuación 19 se llama integral de línea. (Anteriormente hemos usado integrales de línea en el capitulo 7 para calcular el trabajo y en el capitulo 30 para calcular la diferencia de potencial.) El círculo sobrepuesto en el signo de la integral nos recuerda que la integral de línea debe evaluarse alrededor de una trayectoria cerrada. Si θ representa el angulo entre ds y B, podemos escribir la integral de línea como

El lado derecho de la ecuación 19 es la corriente total “encerrada” por el anillo; esto es, es la corriente total que pasa por los alambres que perforan la superficie encerrada por el anillo. Como en el caso de la ley de Gauss para las cargas, no se incluyen las corrientes afuera del anillo. La figura 13 muestra tres alambres portadores de corriente. El campo magnético B es el efecto neto de las

corrientes en todos los alambres. Sin embargo, en la evaluación del lado derecho de la ecuación 19, sólo incluimos las corrientes i1 e i2, porque el alambre que conduce a i3, no pasa a través de la superficie encerrada por el anillo. Los dos alambres que pasan a través del anillo conducen corrientes en dirección opuesta. Se emplea una regla de la mano derecha para asignar signos a las corrientes: con los dedos de la mano derecha en la dirección en que se recorre el anillo, las corrientes que siguen la dirección del pulgar (como i2) se toman como positivas, mientras que las corrientes en dirección opuesta (como ~2) se toman como negativas. La corriente neta ¡ en el caso de la figura 13 es, entonces,

El campo magnético B en los puntos sobre el anillo y dentro del anillo depende, ciertamente, de la corriente i3; sin embargo, la integral de B *

ds alrededor del anillo no depende de corrientes como i3 que no penetran la superficie encerrada por el anillo. Esto es razonable, porque B* ds para el campo creado por i1 o por i2 tiene siempre el mismo signo cuando viajamos alrededor del anillo; sin embargo, B*ds para el campo debido únicamente a i3 cambia de signo cuando recorremos el anillo, y de hecho las contribuciones positiva y negativa se cancelan exactamente entre sí. Nótese que el hecho de incluir a la constante arbitraria 4π en la ley de Biot-Savart reduce la constante que aparece en la ley de Ampére a µ0

simplemente. (Se obtuvo una simplificación similar de la ley de Gauss al incluir la constante 4π en la ley de Coulomb.) Nos fue posible emplear la ley de Gauss para calcular los campos eléctricos sólo en aquellos casos que tienen un alto grado de simetría. En esos casos, argumentábamos que E era constante y que podía eliminarse de la integral. Elegimos a los anillos amperianos de manera similar, de modo que B sea constante y pueda eliminarse de la integral. A modo de ilustración, usemos la ley de Ampére para hallar el campo magnético a una distancia r de un alambre recto largo, problema que ya hemos resuelto al usar la ley de Biot-Savart. Como se ilustra en la figura 14, elegimos como nuestra trayectoria amperiana un círculo de radio r. A partir de la simetría del problema, B puede depender únicamente de r (y no, por ejemplo, de la coordenada angular alrededor del círculo). Al elegir una trayectoria que esté a la misma distancia del alambre en todos sus puntos, sabemos que B es constante alrededor de la tra-yectoria. De los experimentos de Oersted sabemos que B tiene sólo una componente tangencial Entonces, el ángulo O es cero, y la integral de línea es

Nótese que la integral de ds alrededor de la trayectoria es simplemente la longitud de la trayectoria, o sea 2πr en el

caso del círculo. El lado derecho de la ley de Ampére es simplemente p0i (tomada como positiva, de acuerdo con la regla de la mano derecha). La ley de Ampére da

Esto es idéntico a la ecuación 11, un resultado que obtuvimos (con mucho más esfuerzo) usando la ley de BiotSavart. Problema muestra 5 Deduzca una expresión para B a una distancia r del centro de un alambre cilíndrico largo de radio R, en donde r < R. El alambre conduce una corriente i, distribuida uniformemente en la sección transversal del alambre. Solución La figura 15 muestra un anillo amperiano circular adentro del alambre. La simetría sugiere que B es de magnitud constante a lo largo del anillo y tangente a él como se muestra. La ley de Ampére da

en donde el lado derecho incluye únicamente la fracción de la corriente que pasa a través de la superficie encerrada por la trayectoria de integración. Al despejar B se obtiene

En la superficie del alambre (r= R), esta ecuación se reduce a la misma expresión que hallamos al poner r= R en la ecuación 11 (B=µ0i/2πR). Esto es, ambas expresiones dan el mismo resultado para el campo de la superficie del alambre. La figura 16 muestra el grado al que el campo depende de r, tanto dentro como fuera del alambre.

35-6 SOLENOIDES Y TOROIDES Dos clases de componentes prácticos basados en los devanados de espiras de corriente son los solenoides y los toroides. El solenoide suele utilizarse para crear un campo magnético uniforme, al igual que el capacitor de placas paralelas crea un campo eléctrico uniforme. En los timbres de las puertas y en los altavoces, el solenoide a menudo proporciona el campo magnético que acelera a un material magnético. Los toroides se emplean también para crear campos grandes.

SOLENOIDE. El solenoide es un alambre largo devanado en una hélice fuertemente apretada y conductor de una corriente i. La hélice es muy larga en comparación con su diámetro. ¿Cuál es el campo magnético B que genera el solenoide? La figura 17 muestra, sólo con fines de ilustración, la sección de un solenoide “extendido”. En los puntos cercanos a una sola vuelta del solenoide, el observador no puede percibir que el alambre tiene la forma de arco. El alambre se comporta magnéticamente casi como un alambre recto largo, y las líneas de B debidas a esta sola vuelta son casi círculos concéntricos. El campo del solenoide es la suma vectorial de los campos creados por todas las espiras que forman el solenoide. La figura 17 sugiere que los campos tienden a cancelarse entre alambres contiguos. También sugiere que, en los puntos dentro del solenoide y razonablemente alejados de los alambres, B es paralelo al eje del solenoide. En el caso limite de alambres cuadrados empaquetados en forma compacta, el solenoide se convierte esencialmente en una lámina de corriente cilíndrica, y las necesidades de simetría obligan entonces a que sea rigurosamente cierto el hecho de que B sea paralelo al eje del solenoide.

A continuación, damos por sentado que esto es así. Para puntos como P en la figura 17, el campo creado por la parte superior de las espiras del solenoide (marcadas con el signo O, porque la corriente sale de la página) apunta a la izquierda y tiende a cancelar al campo generado por la parte inferior de las espiras del solenoide (marcadas como O, porque la corriente entra a la pagina), que apunta hacia la derecha. Cuando el solenoide se vuelve más y más ideal, esto es, cuando se aproxima a la configuración de una lámina de corriente cilíndrica e infinitamente larga, el campo B en los puntos de afuera tiende a cero. Considerar que el campo externo sea cero es una buena hipótesis de un solenoide práctico si su longitud es mucho mayor que su diámetro y si consideramos únicamente los puntos externos cerca de la región central del solenoide, es decir, lejos de los extremos. La figura 18 muestra las líneas de B para un solenoide real, que está lejos de ser ideal, puesto que la longitud es ligeramente mayor que el diámetro. Aun aquí, el espaciamiento de las lineas de B en el plano central muestra que el campo externo es mucho más débil que el campo interno. Apliquemos la ley de Ampére,

a la trayectoria rectangular abcd en el solenoide ideal de la figura 19.

Escribiremos la integral como la suma de cuatro integrales, una por cada segmento de la trayectoria:

La primera integral a la derecha es Bh, donde B es la magnitud de B dentro del solenoide y h es la longitud arbitraria de la trayectoria desde a hasta b. Nótese que la trayectoria ab, si bien paralela al eje del solenoide, no necesariamente coincide con él. Resultará que B adentro del solenoide es constante en su sección transversal e independiente de la distancia desde el eje (como se sugiere por el espaciamiento igual de las líneas de B en la figura 18 cerca del centro del solenoide). La segunda y cuarta integrales de la ecuación 21 son cero, porque en cada elemento de estas trayectorias B está en ángulo recto con la trayectoria (para los puntos dentro del solenoide) o bien es cero (para los puntos fuera de él). En cualquier caso, B* ds es cero, y las integrales se anulan. La tercera integral, que incluye la parte del rectángulo que se encuentra fuera del solenoide, es cero porque hemos aceptado que B es cero en todos los puntos externos de un solenoide ideal. Para toda la trayectoria

rectangular, tiene el valor Bh. La corriente neta i que pasa por el anillo amperiano rectangular no es la misma que la corriente i0 en el solenoide porque el devanado atraviesa el anillo más de una vez. Hagamos que n sea el número de espiras por unidad de longitud: entonces la corriente total, que está fuera de la página dentro del anillo amperiano rectangular de la figura 19, es

La ley de Ampére se convierte entonces en

La ecuación 22 muestra que el campo magnético adentro de un solenoide depende únicamente de la corriente i0 y del número de espiras n por unidad de longitud.Si bien hemos deducido la ecuación 22 para un solenoide ideal infinitamente largo, se cumple bastante bien con los solenoides reales en los puntos internos cerca del centro del solenoide. Para un solenoide ideal, la ecuación 22 indica que B no depende del diámetro o de la longitud del solenoide y que B es constante en la sección transversal del solenoide. El solenoide es una manera práctica de crear un campo magnético uniforme.

Toroides La figura 20 muestra un toroide, que debemos considerar que es un solenoide doblado en forma de rosca. Hallemos el campo magnético en los puntos interiores usando la ley de Ampére y ciertas consideraciones de simetría. Partiendo de la simetría, las lineas de B forman círculos concéntricos en el interior del toroide, como se muestra en la figura. Elegimos un círculo concéntrico de radio r como anillo amperiano y lo recorremos en dirección de las manecillas del reloj. La ley de Ampére da

donde i0 es la corriente en el devanado del toroide y N es el número total de espiras. Esto da

Al contrario de lo que ocurre con el solenoide, B no es constante en la sección transversal de un toroide. Debemos poder demostrar, a partir de la ley de Ampére, que B=0 en los puntos fuera de un toroide ideal. Una observación más detallada de la ecuación 23 justifica nuestra anterior aseveración de que el toroide es “un solenoide doblado en forma de rosca”. En la ecuación 23, el denominador, 2π, es la circunferencia central del toroide, y N/2 π es justamente n, el número de espiras por unidad de longitud. Con esta sustitución, la ecuación 23 se reduce a B = µ0i0n, la ecuación del campo magnético en la región central de un solenoide. La dirección del campo magnético dentro de un toroide (o de un solenoide) se deduce de la regla de la mano derecha: doble los dedos de

la mano derecha en dirección de la corriente; el pulgar derecho extendido apunta entonces en dirección al campo magnético. Los toroides forman la característica central del tokanak, máquina que muestra ser prometedora como base del reactor termonuclear. Estudiaremos su modo de operación en el capítulo 55 de este mismo texto. Problema muestra 6 Un solenoide tiene una longitud de L = 1.23 m y un diámetro interior d = 3.55 cm. El devanado tiene cinco capas de 850 espiras cada una y conduce una corriente i0 = 5.57 A. ¿Cuál es B en su centro? Solución De la ecuación 22

Nótese que la ecuación 22 se cumple aun cuando el solenoide tenga más de una capa de devanado porque el diámetro del devanado no interviene en la ecuación.

El campo fuera de un solenoide (Opcional) Hasta el momento hemos despreciado el campo fuera del solenoide pero, aun en un solenoide ideal, el campo no es cero en los puntos fuera del devanado. La figura 21 muestra una trayectoria amperiana en forma de circulo de radio r. Ya que los devanados del solenoide son helicoidales, una espira del devanado cruza la superficie encerrada por el circulo. El producto B*ds para esta trayectoria depende de la componente tangencial del campo B1’ y por tanto la ley de Ampére da

que es el mismo campo (en magnitud y también en dirección) que se generaría por un alambre recto. Nótese que los devanados, además de conducir corriente alrededor de la superficie del solenoide, conducen también corriente de izquierda a derecha en la figura 21, y a este respecto el solenoide se comporta como un alambre recto en los puntos fuera del devanado. El campo tangencial es mucho más pequeño que el campo interior (Ec. 22), como podemos ver al considerar la razón

Supongamos que el solenoide consta de una capa de vueltas en la que los alambres se tocan entre si, como en la figura 19. Cada intervalo a lo largo del solenoide de longitud igual al diámetro D del alambre contiene una espira, y así el número de espiras n por unidad de longitud debe ser de 1/D. Entonces, la razón se convierte en

En un alambre típico, D = 0.1 mm. La distancia r a los puntos exteriores debe ser cuando menos tan grande como el radio del solenoide, el cual podría ser de unos cuantos centímetros. Entonces B1/B� 0001, y el campo tangencial exterior es realmente despreciable comparado con el campo interior a lo largo del eje. Por lo tanto, estamos en lo seguro al despreciar el campo exterior.Al dibujar un círculo amperiano similar al de la figura 21 pero con un radio más pequeño que el del solenoide, uno debe poder demostrar que la componente tangencial del campo interior es cero.

35-7 EL ELECTROMAGNETISMO Y LOS MARCOS DE REFERENCIA (Opcional)

La figura 22a muestra una partícula portadora de una carga positiva q en reposo cerca de un alambre recto largo por el que fluye una corriente i. Vemos al sistema desde un marco de referencia S en el que el alambre está en reposo. Dentro del alambre hay electrones negativos que se mueven a una velocidad de arrastre vd y núcleos de iones positivos en reposo. En cualquier longitud dada del alambre, el numero de electrones es igual al número de corazas de iones, y la carga neta es cero. Los electrones pueden considerarse instantáneamente como una línea de carga negativa, la cual crea un campo eléctrico en la ubicación de q de acuerdo con la ecuación 33 del capitulo 28:

en donde ë es la densidad de carga lineal de los electrones (un número negativo). Las corazas de iones positivos generan también un campo eléctrico dado por una expresión similar, dependiendo de la densidad de carga lineal R, de los iones positivos. Puesto que las densidades de carga son de magnitud igual y signo opuesto, ë+ + ë- = 0, y el campo eléctrico neto que actúa sobre la partícula es cero también. Existe un campo magnético distinto de cero sobre la partícula, pero, como la partícula está en reposo, no existe fuerza magnética. Por lo tanto, en este marco de referencia no actúa ninguna fuerza neta de origen electromagnético sobre la partícula. Consideremos ahora la situación desde la perspectiva de un marco de referencia S’ que se mueve paralelo al alambre a velocidad Vd (la velocidad de arrastre de los electrones). La figura 22b muestra la situación en este marco de referencia, donde los electrones están en reposo y las corazas de iones se mueven hacia la derecha a una velocidad Vd. Claramente, en este caso la partícula, por estar en movimiento, experimenta una fuerza magnética FB como se muestra en la figura. Observadores en marcos inerciales diferentes deben estar de acuerdo en que, si no existe una aceleración en el marco S, tampoco existirá una aceleración en el marco S’. Por lo tanto, la partícula no debe experimentar una fuerza neta en S’, y entonces, debe haber otra fuerza además de FB que actúe sobre la partícula para que la fuerza neta sea cero. Esta fuerza adicional que actúa en el marco S’ debe ser de origen eléctrico. Consideremos en la figura 22a que el alambre tiene una longitud L. Podemos imaginar que la longitud del alambre consta de dos barras de medición, una barra (los iones) en reposo cargada positivamente y una barra (los electrones) en movimiento cargada negativamente. Las dos barras tienen la misma longitud (en S) y contienen el mismo número de cargas. Cuando transformamos a

aquellas barras en S’, hallamos que la barra de carga negativa tiene una longitud mayor en S’. En S, esta barra en movimiento tiene su longitud contraída, de acuerdo con el efecto relativista de contracción de la longitud que ya hemos estudiado en la sección 21-3. En S’, está en reposo y tiene su longitud propia, la cual es más larga que la longitud contraída en S. La densidad lineal negativa ë’ de carga en S’ es de una magnitud menor que la de aquélla en S (esto es, porque la misma cantidad de carga se distribuye sobre una longitud mayor en S’. Para las cargas positivas, la situación es opuesta. En S, las cargas positivas están en reposo, y la barra de carga positiva tiene su longitud propia. En S’, está en movimiento y tiene una longitud contraída más corta. La densidad lineal R de la carga positiva en S’ es mayor que aquélla en S , porque la misma cantidad de carga está distribuida sobre una longitud menor. Por lo tanto, tenemos las relaciones siguientes para las densidades de carga:

La carga q experimenta los campos eléctricos debidos a una línea de carga positiva y una línea de carga negativa. En S’, estos campos no se cancelan, porque las densidades de carga lineal son diferentes. El campo eléctrico en q dentro de S’ es, por lo tanto, debido a una densidad lineal neta de carga positiva, y q es repelida del alambre. La fuerza eléctrica FE sobre q se opone por tanto a la fuerza magnética FB, como se muestra en la figura 22b. Un cálculo detallado demuestra que la fuerza eléctrica resultante es exactamente igual a la fuerza magnética, y la fuerza neta dentro de S’ es cero. Así, la partícula no experimenta ninguna aceleración en cualquiera de los marcos de referencia. Podemos extender este resultado a otras situaciones diferen-tes al caso especial que consideramos aquí, en el que S’ se mueve a la velocidad Vd con respecto a S. En otros marcos de referencia, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética tienen valores diferentes de sus valores en S’; sin embargo, en cada marco son iguales y opuestas entre si, y la fuerza neta sobre la partícula es cero en todos los marcos de referencia. este es un resultado sorprendente. De acuerdo con la relatividad especial, los campos eléctrico y magnético no se presentan en forma independiente. Un campo que sea puramente eléctrico o puramente magnético en un marco de referencia tiene componentes tanto eléctricas como magnéticas en otro marco. Usando las ecuaciones relativistas de transformación, podemos fácilmente ir y venir de un marco al otro, y a menudo podemos resolver problemas difíciles escogiendo un marco de referencia en el que los campos tengan un carácter más sencillo y

transformando luego el resultado otra vez al marco original. La relatividad especial puede tener un gran valor práctico para resolver tales problemas, porque las técnicas de la relatividad especial pueden ser más sencillas que las técnicas clásicas. En lenguaje matemático, decimos que las leyes del electromagnetismo (las ecuaciones de Maxwell) son invariantes con respecto a la transformación de Lorentz. Recordemos nuestro estudio en la sección 3-6 acerca de las leyes físicas invariantes: ponemos por escrito la ley en un marco de referencia, la transformamos a otro marco, y obtenemos una ley exactamente de la misma forma matemática. Por ejemplo, la ley de Gauss, una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, tiene exactamente la misma forma en todo marco de referencia. Las palabras de Einstein son directas y sin ambages: “La fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento dentro de un campo magnético no es otra cosa que un campo eléctrico.” (De hecho, el trabajo original de Einstein en 1905, en el que presentó por vez primera las ideas de la relatividad especial, se titulaba “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento.”) En este contexto, podemos ver al magnetismo como un efecto relativista, dependiente de la velocidad de la carga relativa al observador. Sin embargo, al contrario de lo que ocurre con otros efectos relativistas, tiene consecuencias sustancialmente observables a velocidades mucho menores que la velo-cidad de la luz.