Material de Estudio

Actividades

Secundaria

MODULO DE MATEMÁTICAS, SECUNDARIA

Lecturas Bibliografía Resolución de problemas -Bosch Giral, Carlos." Resolución de problemas" ACADEMIA

MEXICANA DE CIENCIAS. La Ciencia en tu escuela. 2002. Pág. 3 Patrones geométricos -Hidalgo Solís, Laura. "Patrones geométricos". UAM Iztapalapa.

Departamento de Matemáticas. 2003. Pág. 33 Los números de Fibonacci -Hidalgo Solís, Laura. "Los números de Fibonacci". Pág. 53 Proporciones y números -Fernández-Alonso González, Rogelio. " Proporciones y números".

UAM Iztapalapa. Agosto 2003. Pág. 76 Estadística -Alfaro Aguilar, Felipe. "Estadística". 2003. Pág. 84 Probabilidad -Alfaro Aguilar, Felipe. "Probabilidad". 2003. Pág. 100 El teorema de Pitágoras -Pérez Chavela, Ernesto. "El teorema de Pitágoras". 2003. Pág. 114 Pi y probabilidad -Alfaro Aguilar, Felipe. Bosch Giral Carlos "Pi y probabilidad". 2003.

Pág. 124 Otras Geometrías -Hidalgo Solís, Laura. "Otras Geometrías". 2002. Pág. 137

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Resolución de problemas

Carlos Bosch Giral

1. Introducción

2. Juegos

3. Ejercicios

4. Acercamiento a la resolución de problemas

5. Ejercicios

6. Principios en la resolución de problemas

Ejemplo 1: Adivinar y verificar

Ejemplo 2: Hacer una lista ordenada

Ejemplo 3: Hacer un diagrama

7. Ejercicios

8. Otras estrategias

Ejemplo 1: Patrones

Ejemplo 2: Hacer unas tablas

Ejemplo 3: Uso de casos especiales

9. Ejercicios

1. Introducción

En 1980, el “National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)” publicó un importante documento con el título:

“An Agenda for Action: Recomendations for School Mathematics of the 1980’s”. Este documento tuvo importantes consecuencias, sin lugar a dudas la de mayor alcance fue:

La resolución de problemas debe estar en el centro de las matemáticas escolares en los años 1980’s.

Esa recomendación sigue siendo válida en la actualidad. En el libro para el maestro de matemáticas de secundaria de 1994, nos encontramos un apartado que habla del aprendizaje de las matemáticas y la solución de problemas en donde indica que es necesario plantearse y resolver problemas. Los alumnos

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deben involucrarse activamente en todas las fases por las que pasa la solución de un problema, desde el planteamiento mismo la producción de las primeras conjeturas y su discusión, hasta la redacción de la solución.

Es claro que si los jóvenes y niños van a aprender a resolver problemas, sus maestros también tienen que ser competentes en la resolución de problemas.

En realidad la actividad de resolver problemas no tiene por finalidad obtener una respuesta, si no construir el razonamiento que nos lleve a la respuesta. Con esta actividad el alumno irá formandose en matemáticas y se sentirá más confortable con el razonamiento matemático. A veces los problemas no parecen ser muy interesantes, sin embargo lo importante será cómo se resuelve.

Empezaremos esta sesión con una serie de juegos.

2. Juegos

Juego 1.

Sigue las siguientes indicaciones:

Paso 1. Escriba el número del mes en el que nació.

Paso 2. Multiplique por 2 el número del paso 1.

Paso 3. Sume 5 al resultado.

Paso 4. Multiplique el resultado del paso 3 por 50.

Paso 5. Resta 250 al año actual.

Paso 6. Sume los resultados del paso 5 y 4.

Paso 7. Reste el año de su nacimiento al resultado del paso 6.

Paso 8. Los dos últimos dígitos del resultado en 7.

paS. indican la edad que tendrá en su cumpleaños de este año

Paso 9. Los otros números indican el mes en el que nació.

¿Funcionó el proceso? ¿Está usted sorprendido? ¿Creé usted que les llame la atención a los alumnos? ¿Funcionaría para alguien nacido después de 1999?

Juego 2

Paso 1. Escribir su número favorito (entre 1 y 9).

Paso 2. Multiplique su número favorito por 101.

Paso 3 Multiplique el resultado del paso 2 por 11 00 11 (puede usar una calculadora si desea).

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¿Se esperaba usted el resultado? ¿Siempre funciona? ¿Cómo se puede probar que esto siempre funciona? ¿Claramente 101 y 11 00 11 son “mágicos” son 73 ó 7 030 307 mágicos?

Juego 3

Haga las siguientes multiplicaciones y vea que tan rápido puede usted obtener el resultado de la última multiplicación, si gusta use una calculadora.

1 x 9 =

21 x 9 =

321 x 9 =

4321 x 9 =

54321 x 9 =

654321 x 9 =

7654321 x 9 =

87654321 x 9 =

987654321 x 9 =

¿Impresionante verdad? En realidad basta hacer tres o cuatro multiplicaciones para descubrir el patrón. Sin embargo puede ser que el patrón no continúe, ¿Qué pasa con 10987654321. x 9?

Juego 4

Paso 1. (a) Trace dos rectas que no sean paralelas.

(b) Coloque los puntos A, E, C en una y D, B, F en la otra.

(c) Trace los segmentos AB, BC, CD, DE, EF y FA.

(d) Sean P, Q y R las intersecciones respectivas de AB y DE, BC y EF, CD y FA.

¿Qué propiedad tienen los puntos PQR?

Paso 2. Haga la construcción anterior con los puntos colocados como se indica en la figura 2. Extienda cada segmento tanto como sea necesario para obtener los puntos P, Q y R.

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Figura 1

¿Qué propiedad tienen los puntos PQR? ¿Creé usted que eso pasará siempre independientemente de como se coloque A, B, C, y D, E, F en cada recta?

Figura 2

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Juego 5

El problema de Collatz.

Este juego se puede hacer en la computadora o con una calculadora, si usa esta última no olvide ir anotando los números intermedios. Haga el siguiente proceso para distintos números.

Ejemplo

17

3.(17) + 1 = 52

52 ÷ 2 = 26

26 ÷ 2 = 13

3.(13) + 1 = 40

40 ÷ 2 = 20

20 ÷ 2 = 10

10 ÷ 2 = 5

3.(5) + 1 = 16

16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

(a) ¿Cree usted que este proceso siempre termina?

(b) ¿Cuántos pasos se requieren si empieza con 9?

7

3. Ejercicios

En estos ejercicios se puede usar la calculadora.

1. (a) Calcule los siguientes productos:

9 x 9 =

79 x 9 =

679 x 9 =

5679 x 9 =

45679 x 9 =

345679 x 9 =

2345679 x 9 =

12345679 x 9 =

(b) ¿Tuvo usted que hacer todas las operaciones para estar seguro de que podía obtener rápidamente las últimas respuestas?

Explique eso cuidadosamente con una frase escrita.

2. (a) Haga las siguientes operaciones

1 x 9 + 2 =

12 x 9 + 3 =

123 x 9 + 4 =

1234 x 9 + 5 =

12345 x 9 + 6 =

123456 x 9 + 7 =

1234567 x 9 + 8 =

12345678 x 9 +9 =

123456789 x 9 + 10 =

8

(b) Tuvo usted que hacer todas las operaciones para estar seguro de que podía obtener rápidamente las últimas respuestas?

Explique eso cuidadosamente con una frase escrita.

3. Número de Kaprekar

Haga los siguientes pasos

Inicio

Ejemplo tomemos 2002

El número siempre debe tener 4 dígitos así que empezamos con

9

(a) Observemos que se obtiene el número 6174 en seis pasos.

(b) ¿El proceso termina si empieza usted en 1996? Si termina, ¿en cuántos pasos?

(c) Empezando con su número de 4 dígitos creé usted que el proceso siempre terminará?

(d) ¿Qué pasa si se empieza con un número de 3 dígitos? ¿Con uno de 5 dígitos?

Explique brevemente.

4 (a) Dibuje un círculo y coloque seis puntos como se indica en la figura. Dibuje las cuerdas AB, BC, CD, DE, EF y FA. Sean P,Q y R los puntos de intersección de AB y DE, BC y EF y CD y FA respectivamente.

¿Qué propiedad parecen tener P, Q y R? (b) El resultado de (a) será el mismo si los puntos se colocan en orden distinto? Trate de hacer algunos casos distintos con cuidado para que las intersecciones de las cuerdas caigan en la hoja de papel que está usted usando.

4. Acercamiento a la resolución de problemas

Consideremos el siguiente problema:

En una granja hay un total de 37 animales entre cerdos y gallinas. Juntos todos esos animales tienen 98 patas. ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay?

Para los alumnos siempre son divertidos los problemas y más aún si se organizan en grupos para resolverlos. Sin lugar a dudas hay herramientas poderosas en matemáticas que permiten resolver este problema pero es mucho más interesante oír a los alumnos como lo resuelven. Nuestro grupo está formado por 4 alumnos, Claudia, Sofía, Pablo y Carlos y la conversación fue la siguiente.

Claudia: “Apuesto a que hay 20 gallinas y 17 cerdos”

María: “Veamos si el número de patas coinciden 20 x 2 = 40 y 17 x 4 = 68 así con 20 gallinas y 17 cerdos, tendríamos 108 patas, así que son demasiadas patas”.

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Carlos: “Pero si hay más patas que las debidas tratemos con más gallinas y menos cerdos, que tal 30 gallinas y 7 cerdos”

Pablo: “Tampoco está bien pues 30 x 2 =60 y 7 x 4 = 28,tenemos 88 patas, ahora faltan, pero si en un caso hay de más y en el otro de menos, debemos buscar entre los dos, por ejemplo 25 gallinas y 12 cerdos”.

Como se vé, estos jóvenes están usando una estrategia de adivinar y verificar. Por cierto Pablo le atinó al número de animales de cada especie.

En otro grupo de alumnos hicieron una tabla empezando con 20 gallinas:

Gallinas Cerdos Patas de las

Gallinas Patas de los

Cerdos Total de

Patas

20 17 40 68 108 21 16 42 64 106

22 15 44 60 104 ... ... ... ... ...

Esto es un refinamiento de adivinar y verificar. Hacer una tabla puede hacer que se descubran patrones lo cual es a menudo una buena estrategia. ¿Cree usted que este último grupo encontrará pronto una solución? ¿Cuántos renglones más necesitan en la tabla? ¿Puede usted pensar en un atajo?

En otro grupo un alumno dijo “Hagamos un dibujo donde cada bolita será la cabeza de una gallina o de un cerdo”, luego coloquemos dos segmentos en todas las bolitas así tenemos 37 x 2 = 74 patas y añadimos 2 extra en cada bolita para convertir esta en cerdos y así aumentar el número de patas y así obtendremos el resultado.

Hacer un dibujo es en general una buena estrategia. ¿Cree usted que en este caso funcione?

La alumna más brillante de la clase, Sofía dijo “El problema es fácil: si pensamos que los cerdos están únicamente sobre dos patas tendremos 37 x 2 = 74 patas que tocan el piso. Eso quiere decir que hay 98 -74 = 24 patas en el aire o bien 24 ÷2 = 12 cerdos con dos patas arriba. De manera que hay 12 cerdos y 25 gallinas”.

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Ayuda ser brillante, pero no es esencial y a los alumnos se les puede enseñar distintas estrategias como por ejemplo

Adivinar y verificar hacer una tabla buscar patrones hacer un dibujo.

Discutiremos otro tipo de estrategias más adelante.

Observemos que seguramente un matemático usaría la herramienta de ecuaciones lineales simultáneas o una sola ecuación para resolver el problema pero es una herramienta demasiado pesada para un problema tan sencillo, la ecuación a resolver en este caso es 2x + 4(37-x) = 98 que lleva más tiempo en plantear y resolver que la solución de Sofía.

Veamos otro ejemplo

Pablo piensa un número. Si lo multiplica por 3 y le suma 4 obtiene 37. ¿Qué número pensó Pablo?

Solución 1: Adivina y verifica

el 5 5 x 3 + 4 = 19 demasiado pequeño

el 10 10 x 3 + 4 = 34 demasiado pequeño pero cercano.

el 12 12 x 3 + 4 = 40 demasiado grande pero cercano.

el 11 11 x 3 + 4 = 37 ¡Ese es!

El número de Pablo es 11.

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Solución 2 Tabla y patrones

____tres más ____tres más ____tres más

Número Resultado usando

la regla de Pablo

5 3 x 5 + 4 = 19

6 3 x 6 + 4 = 22

7 3 x 7 + 4 = 25

8 3 x 8 + 4 = 28 ... ...

Cada vez que el número aumenta de 1 aumentamos el resultado en tres unidades así que si estamos en 28 con el 8 y queremos llegar a 37 nos faltan 37 — 28 = 9 números los cuales se obtienen en 3 pasos así el número de Pablo es 8 + 3 = 11.

Otro ejemplo:

(a) Coloque los números 1,2,3,4 y 5 uno en cada casilla de manera que la suma de los tres números en horizontal sea igual a la de los tres números en vertical.

Solución.

(b) Se puede resolverel problema si se coloca el 2en el centro.

Con la estrategia de adivinar y verificar si colocamos el 3 en el centro y luego los otros números de modo que sumen lo mismo: 5 + 1 = 4 + 2 así se tiene.

ó ó estas son simples simetría o rotaciones de la anterior.

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Además hay otras soluciones esencialmente distintas a la anterior:

(b) Si el 2 se coloca en el centro sobran 1,3,4,5 y esos números no se pueden agrupar de modo a que dos de ellos sumen lo mismo que los otros dos. Lo mismo sucede con el 4.

Ejercicios

1. (a) Coloque los dígitos 4 y 9 uno en cada casilla de modo que la suma de los tres números en horizontal sea igual a la suma de los tres números en vertical y sea 19.

Ejercicios

(a) (b) ¿Hay más de una respuesta? Explique

2. En el diagrama la suma de dos números adyacentes horizontales es el número que aparece en la bola debajo de ellos.

Usando esa regla complete los siguientes arreglos.

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(a) (b) (c)(d) ¿hay más de una solución en las partes a), b) o e)

3. La casa del rin de plata vende triciclos y bicicletas. Hay 27 asientos y 60 ruedas en total. Determine cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay.

(a) Use el método de adivinar y verificar.

(b) Complete la tabla.

bicicletas triciclos Ruedas de bicicleta

Ruedas de triciclo

Total

17 10 34 30 64

18 9 36 27 63

(c) Encuentre una solución completando este diagrama.

5. Principios en la resolución de problemas

George Polyá en su libro “How to Solve it” (1945) identificó cuatro principios que forman la base de la resolución de problemas:

1. Entender el problema.

2. Hacer un plan.

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3. Llevar a cabo el plan.

4. Revisar el trabajo.

A pesar de que los principios parecen obvios a menudo los estudiantes no los siguen. Para que los alumnos entiendan bien un problema se pueden hacer preguntas del tipo:

- ¿Entiendes todas las palabras que se usan en el problema? Si no búscalas en un diccionario, libro de matemáticas o en cualquier otro sitio donde encuentres una explicación.

- ¿Qué se pide que encuentres, que muestres o que pruebes?

- ¿Puedes reescribir el problema con tus propias palabras?

- ¿Hay alguna otra forma de plantear el problema?

- ¿Cuáles son y que significan las palabras clave?

- ¿Puedes trabajar algunos ejemplos numéricos que te ayuden a aclarar el problema?

- ¿Puedes hacer un dibujo o diagrama que ayude a entender el problema?

- ¿Hay suficiente información para encontrar una solución?

- ¿Hay información irrelevante?

- ¿Qué se necesita conocer para encontrar la solución?

Una vez que el problema está entendido, se requiere de otro esfuerzo a veces mayor para vislumbrar un plan que lleve a la solución del problema. Pero no hay que tener miedo de empezar y de equivocarse, bien dice el dicho que “de los errores se aprende”. Hay muchas formas de atacar un problema y al intentar resolverlo aparecerán ideas interesantes que llevarán a la solución. Una lista parcial de estrategias para la resolución de problemas es la siguiente:

- Adivinar y verificar

- Hacer una lista ordenada.

- Pensar que el problema está parcialmente resuelto.

- eliminar posibilidades.

- Resolver algo equivalente.

- Usar simetrías.

- Considerar casos especiales.

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- Usar el razonamiento directo.

- Resolver una ecuación.

- Buscar un patrón.

- Hacer un dibujo.

- Pensar en un problema similar que ya está resuelto.

- Usa un modelo.

- Trabajar hacia atrás.

- Usar una fórmula.

- Ser original y usar el ingenio.

Usualmente una vez que se ha determinado un plan, llevarlo a cabo no suele ser tan difícil. Si un plan no funciona inmediatamente hay que ser persistente y paciente. Si sigue sin funcionar entonces hay que desecharlo y buscar otra estrategia. Así es como los matemáticos profesionales trabajan.

Una vez resuelto el problema se gana mucho revisando la solución completa y analizando la forma en que se resolvió el problema, viendo cual fue el razonamiento y los puntos claves. Así es como se gana “fuerza en las matemáticas y se crea la habilidad de aportar buenas ideas para la resolución de problemas”. Poincaré (1854 - 1912) el gran matemático francés indica que ese paso es esencial, que no tiene sentido resolver un problema si no se gana experiencia e intuición que nos haga entender mejor las matemáticas.

También al revisar una solución se puede a menudo encontrar una estrategia más sencilla o más poderosa que acrecenta la habilidad en la resolución de problemas.

Veamos con algunos ejemplos como funciona todo esto.

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Ejemplo 1. Adivinar y verificar.

En el siguiente diagrama el número que se encuentra en un círculo grande es la suma de los números que se encuentran en los dos círculos pequeños que le son adyacentes.

Completa el diagrama que aparece a continuación de manera que el mismo patrón se cumpla, la suma de los números de los dos círculos pequeños adyacentes al grande es al número que aparece en el grande.

Solución

(1) Entendamos el problema para eso veamos el ejemplo inicial:

3 + 5 nos da 8

11 + 5 nos da 16

y 11 + 3 nos da 14

18

Así que es claro que debemos de encontrar los tres números que deben ir en los círculos pequeños y tales que si los denotamos como en la figura por a, b y c tengamos:

a + b = 16

a + c = 11

c + b = 15

¿Pero ahora como proceder?

Los alumnos que saben álgebra podrán resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incognitas pero eso no es lo normal así que hagamos un plan.

(2) Hagamos un plan.

Usemos la estrategia de adivinar y verificar, ya que la hemos utilizado con éxito en varios problemas. Incluso si falla nos podría dar alguna idea de por donde seguir.

(3) Llevemos a cabo el plan.

Empecemos por tratar de adivinar a. Observemos que a debe ser menor que 11 pues a + c debe ser 11 así que empecemos con a = 10 de este modo como a + c = u, c debe ser 1 y tenemos que como c + b = 15

entonces b = 14 de manera que 14 + 10, a + b

debería ser 16 pero obtenemos 24.

Tomemos una a más pequeño a ver si así le atinamos, sea a = 5, entonces c es 5 y b debe ser 9. Esta vez

a + b es 5 + 9 = 14 que es más

pequeño que 16 con lo cual

sabemos que a debe estar entre 5 y 10.

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Tratemos a = 6 así c debe ser 11 — 6 = 5 y b debe s15 — 5 = 10

er

Ahora a + b = 6 + 10 = 16

Le atinamos!

(4) Revisemos el trabajo.

Adivinar y verificar funcionó bien. Nuestra primera elección a = 10 fue muy grande y a = 5 muy pequeño, al tomar a = 6 acertamos a la solución. Este tipo de técnica funcionó bien en este problema y puede servir para resolver otros problemas similares.

¿Pero realmente entendimos completamente bien el problema, habrá otra solución más sencilla o bien simplemente otra solución.? Analicemos los dos ejemplos que tenemos

Observemos que en ambos casos la suma de los números en los círculos grandes es igual al doble de la suma de los números en los círculos pequeños. En efecto en el primer ejemplo tenemos

8 + 14 + 16 = 38 y 3 + 5 + 11 = l9

En el segundo se tiene

16 + 11 + 15 = 42 y 6 + 5 + 10 = 21

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Entonces si analizamos el caso:

se tiene que

16 + 11 + 15 = 42

y que

a + b + c = 21

pero sabemos que a 1- b = 16 así que ahora es muy sencillo obtener c: a + b + e = 16 + e = 21 de modo que c = 5, análogamente se encuentran a y b. Es decir que ahora, al descubrir el patrón de funcionamiento de este “juego2 nos es más fácil resolver este tipo de problemas”. Una pregunta más: ¿porqué la suma de los números en los círculos grandes es el doble de la suma de los números en los círculos pequeños? Para ver esto basta observar el siguiente diagrama.

Explique con par de frases

cortas como llega usted a la conclusión.

Ejercicios.

Usando las reglas anteriores encuentre los números que van en los círculos pequeños.

1) 2)

¿Qué observas en el segundo ejercicio?

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Ejemplo 2: Hacer una lista ordenada.

Hay problemas en los que se requiere considerar varias posibilidades y para eso es muy adecuado hacer una lista ordenada o una tabla asegurándose que no falten posibilidades. Aunque a veces el problema parece tan complicado que es casi imposible enumerar todas las posibilidades, sin embargo si se hacen las cosas ordenadamente se puede llegar a conclusiones interesantes. Analicemos el siguiente problema.

Si se lanzaron tres dardos al siguiente tablero cuales son las posibles sumas de los puntos indicando por los tres dardos.

Solución

Para entender bien el problema veamos unos ejemplos: si los tres dardos marcan 2 la suma es 6 si los tres dardos marcan 5 la suma es 15 si uno está marcando 2 y los otros dos 10 entonces la suma es 22 etc. El preguntar cuáles son las sumas posibles no es más que preguntar que número se puede escribir usando tres números donde cada uno es 2,5 6 10.

Si sólo escribimos sumas, casi seguro que se nos olvidará alguna posibilidad. Usando un esquema estaremos seguros de no olvidar alguna posibilidad Para esto hagamos una lista empezando con tres 2, luego dos 2 y un 5, luego dos 2 y en 10 etc.

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De esta manera estaremos seguros de que no se nos olvida algún caso.

Número de 2 Número de 5 Número de 10 Total

3 0 0 6

2 1 0 3

2 0 1 14

2 0 12 1

1 1 1 17

1 0 2 22

0 3 0 15

0 2 1 20

0 1 2 25

0 0 3 30

4. Enliste los números de 4 dígitos que se pueden escribir usando una sola vez cada uno los números 1,3,5 y 7.

5. Nueve cuadrados se usan para formar una figura. Cada cuadrado debe tocar en al menos un lado completo a otro de los cuadrados. Todos los cuadrados tienen lados de longitud 1.

1. En el diagrama se da un ejemplo de dichas figuras.

(a) ¿Cuáles son los posibles perímetros de las figuras?

(b) ¿Cuál figura tiene el menor perímetro?

6. Serafín el leñador corta un tronco en un minuto. ¿Cuánto tarda Serafín en cortar un tronco de 10 m. de largo en secciones de 1 m. de largo?

6. Otras estrategias

Ejemplo 1: Patrones

Este ejercicio apareció en el cartel de Octubre de 1999 del concurso de Primavera.

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Sofía construye cuadrados con cerrillos, cada día forma un cuadrado mayor al del día anterior.

¿Cuántos cerillos debe añadir a su construcción del día 30 para obtener

la que corresponde al día 31?

er ía 3er día

1 d 2do día

Solución.

Primero veamos el número de cerrillos en cada caso y luego tratemos de encontrar un patrón para poder encontrar la respuesta.

Preguntas que nos pueden ayudar a descubrir un patrón son del tipo: ¿los números crecen o decrecen? ¿Cómo es cada número respecto a su predecesor? ¿Un término depende de los dos anteriores? Esto es un poco adivinar y verificar.

Veamos los números que se obtienen:

Segundo día 8 cerillos más respecto al primer día

Tercer día 12 cerillos más respecto al segundo día

Aparentemente cada día hay que aumentar el número del día multiplicado por 4.

Tratemos de asegurarnos de este patrón:

El cuarto día se aumentan

16 cerillos es decir

4 x 4 = 16

número de día por 4 igual a número cerillos

El quinto

día se aumentan

20 cerillos es decir

5 x 4 =20 días por 4 cerillos

24

Ahora es claro que el aumento de cerillos está regido por 4n donde n el número del día que estamos considerando de manera que al pasar del día 30 al 31 debemos aumentar: 31 x 4= 124 cerrillos.

Ejemplo 2: Hacer una tabla.

(a) Dibuje los dos siguientes diagramas para continuar la sucesión de puntos

(b) ¿Cuántos puntos hay en cada figura?

(c) ¿Cuántos puntos hay en la centésima figura?

(d) ¿Cuántos puntos hay en la millonésima figura?

Solución.

¿Qué es lo que nos dan?

En la parte (a) nos dan una sucesión ordenada de puntos y debemos reconocer cómo se puede continuar dos veces más el arreglo.

En la (b) se nos pide pasar de puntos a números. En la (c) y la (d) piden encontrar el número específico de puntos que tiene cierta figura.

Para seguir el patrón de las figuras que aparecen en el inciso (a) veamos como cada arreglo se asocia con el anterior, esperando encontrar algo con lo que nos permita encontrar dos figuras más. Observamos que el arreglo de una u otra figura es similar excepto que en cada caso añadimos dos puntos.

Así las dos figuras siguientes serán:

La parte (b) es entonces

1, 3, 7, 9, 11,....

Sólo tenemos números impares.

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Hagamos una tabla para detectar como van aumentando los números de esta sucesión:

Número de

figura Número de puntos

1 1 2 3 = 1 + 2 3 5 = 3 + 2 = l + 2 + 2= l + 2 x 2

4 7 = 5 + 2 = 1 + 2 x 2 + 2 = l + 3 x 2

5 9 = 7 + 2 = l + 3 x 2 + 2 = l + 4 x 2

Observemos cada paso con cuidado: en el paso 3 tenemos 1 + 2 x 2 el 2 en el círculo es 3 — 1.- En el paso 4 tenemos 1 + 3 x 2 el 3 en el círculo es 4 — 1, y así sucesivamente en el paso 10 tendremos m1 + 9 x 2.Gracias a la tabla hemos descubierto una fórmula que nos permite calcular el número de puntos de la centésima figura: 1 + ( 100 — l ) x 2 = 1 + 99 x 2 = 199.

De manera análoga la millonésima figura corresponde a

1 + ( 1000000 — 1 ) x 2 = 1 + 999999 x 2 = 1999999

En general podríamos decir que el número de puntos que corresponden a la figura n-ésima son

1 + ( n — 1 ) x 2

Ejemplo 3 Uso de casos especiales.

Para tratar de resolver problemas complicados a veces es conveniente considerar casos especiales o casos manejables y ver si en esas situaciones hay algún patrón que aparece.

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Consideremos el problema siguiente.

Encontrar cuantos caminos diferentes hay desde el punto A hasta el punto P considerando la cuadrícula que aparece a continuación, donde un camino se forma usando los lados de los cuadros y forman la cuadrícula y solamente se

puede transitar hacia abajo.

Dos caminos están

marcados en la figura.

Si empezamos a trazar caminos al azar, nos daremos cuenta que encontrar todos los caminos posibles es difícil a pesar de que seamos ordenados. Un mejor acercamiento a este problema es observar que para ir de A a P debemos usar dos movimientos hacia la izquierda (y abajo) y cuatro hacia la derecha (y abajo).

Así la pregunta es encontrar el número de distintas formas en que se pueden colocar 21 (izquierda) y 4D (derecha) en orden. Así que en realidad ya hemos usado aquí una estrategia que es el cambiar un problema por otro equivalente. La idea aquí es encontrar un problema equivalente al que tenemos que resolver pero más sencillo o más claro para nosotros. Ahora lo que tenemos es que colocar dos letras 1 y cuatro letras D, de manera que podamos contar cuantos acomodos posible hay. Ese será el número de caminos que hay de A hasta P. Por ejemplo los dos caminos marcados en la figura corresponden a IJDDDD y a DIDDID. Sin embargo, incluso este problema parece difícil y complicado sobre todo para caminos largos.

Como indicamos anteriormente una estrategia que suele ser útil es resolver un problema similar pero más sencillo. Sin lugar a dudas sería más sencillo resolver el problema si P no estuviera tan lejos. Consideremos ahora el problema similar y más sencillo de encontrar el número de caminos de A a E. Analicemos varios problemas a la vez.

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¿Cuántos caminos hay de A a B? Claramente

es 1 lo mismo que de A a C.

¿Cuántos caminos hay de A a D?

Nuevamente sólo hay 1 lo mismo que A a F ¿Cuántos caminos hay de A a E? Los posibles caminos son ABE o bien ACE, es decir que hay dos caminos distintos posibles. En la siguiente figura tenemos el número de caminos

marcados hasta el punto donde se encuentra la letra

Esto sin lugar a dudas no nos resuelve el problema pero nos da. un punto de partida e incluso una idea de como debemos proceder.

Habiendo determinado el número de los caminos que hay de A a B, C, D, E y F tal vez pudieramos determinar el número de caminos desde A hasta G, H, I, J y luego poder continuar hacia abajo hasta eventualmente resolver el problema original.

Desde A hasta G la única forma de llegar es llegar, es añadiendo al camino AD el pedazo DG.

Así que sólo hay un camino desde A hasta G. Para ir desde A hasta H sólo lo podemos hacer vía D o E así que el número de caminos de A a H será el número de caminos que hay hasta D más el número de caminos que hay

hasta E, es decir 1 + 2 = 3, la suma de los caminos que hay hasta las dos letras inmediatamente conectados con H. Algo análogo sucede con 1 y sólo hay un camino de A a J. Así tenemos que el número de caminos de A hasta un G, H, I, J es la suma del número de caminos que llegan a las letras unidas a la letra que queremos:

28

Habiendo observado esto podemos continuar nuestro diagrama añadiendo una fila más y calculando en cada nivel el número de caminos.

Al añadir el nivel 6 obtenemos

Observemos que el número que corresponde al número P es 15 de manera que hay 15 caminos distintos de A hasta P. De esta manera es fácil saber el número de caminos que hay de A a cualquier punto de la cuadrícula. Si no colocamos la cuadrícula tenemos.

29

Ese arreglo de números se denomina el triángulo de Pascal en honor al matemático francés Blas Pascal (1623-1662) que probó que esos números jugaban un papel importante en la teoría de probabilidad. Sin embargo ese arreglo ya era conocido por los chinos en el Siglo XII. En el triángulo de Pascal se pueden encontrar distintos patrones al tomar ciertas diagonales pero no nos ocuparemos de eso aquí. Además este triángulo también es útil para elevar un binomio a diferentes potencias. Tampoco tomaremos aquí ese camino.

Hay muchas otras estrategias para resolver distintos problemas, lo difícil es elegir en cada caso la estrategia que se debe usar. Aquí hemos visto algunos ejemplos pero como siempre sucede en matemáticas la única posibilidad para resolver problemas es haciéndolo uno mismo y haciendo muchos ejemplos.

7. Ejercicios

1. (a) ¿Qué número sigue en esta sucesión: 1,3,6,10,15...?

(b) Encuentre el número que se encuentre en el número 56 en esa sucesión.

(Este ejercicio apareció en el cartel de enero de 1998 en el Concurso de Primavera)

2. Una banda de papel interminable se divide en casillas. En la primera se coloca el 8 y luego se continúa de la siguiente manera: si el último número escrito es par, se escribe en la siguiente casilla ese número entre dos; si el último número es impar, se escribe la suma de los dos anteriores. ¿Cuál es el número que corresponde a la casilla 2002?

Este problema apareció en el cartel de febrero de 1998 en el Concurso de Primavera de Matemáticas.

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3. Dibuje tres esquemas para continuar la sucesión de puntos.

(a)

(b)

(c) ¿Qué números corresponde a la sucesión determinada en (a)? ¿Cual es el número de puntos que corresponden al esquema del lugar 28?

(d) ¿Qué número corresponde a la sucesión determinada en (b)? ¿Cuál es el número de puntos que corresponden al esquema 2002?

4. Esta es una parte de una tabla.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 36 37 38 39

Sin continuar la tabla encuentre el número que corresponde a las casillas sombreadas.

(a) (b) (c)

53

37

34

31

(d)

22

(e) Comente lo sucedido en d con una frase corta.

5. ¿Cuántos segmentos se determinan al unir puntos de una circunferencia si se tienen

(a) 4 puntos distintos? (b) diez puntos distintos?

(e) 100 puntos distintos? (d) n puntos distintos?

(e) Escribe los argumentos que te hacen pensar que la respuesta a d es correcta.

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Patrones Geométricos Laura Hidalgo Solís

Departamento de Matemáticas, AT-321, UAM-Iztapalapa

30 de agosto de 2003

Índice Ejemplos de patrones geométricos en la pintura

Resumen El Albertismo

Fundamentos Matemáticos

Actividades a desarrollar

Teselaciones

Teselaciones regulares

Problemas

Teselaciones Semi-regulares

Problemas

Actividades

Geometría en papel plegable

El cuadrado

Problemas

El triángulo equilátero

Problemas

Solución y comentarios

Referencias Bibliográficas

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Resumen

En 1997 la Sociedad Matemática Americana (A.M.S.), publicó el documento, Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, en donde, como el nombre lo indica, se discute el problema de la enseñanza de la geometría en el siglo XXI [M.V.]. Basados en algunas de las ideas de los artículos que aquí se presentan, y tratando de ubicarnos en la problemática de la enseñanza en México, hemos planteado nuestros objetivos, así como la metodología a seguir en esta sesión.

Cabe aclarar también que no se pretende olvidar los temas clásicos de la enseñanza de la geometría, simplemente pretendemos replantear la enseñanza de los problemas clásicos de la geometría, así como estimular el estudio de la enseñanza de nuevos tópicos.

Fundamentos Matemáticos

Basándonos en los estudios que hemos realizado, podemos decir que la geometría es el estudio de ciertas propiedades de las figuras "geométricas'' en el plano o en el espacio (Euclidiano), sin embargo, no todas las propiedades de una figura son de interés en nuestro estudio, sólo las propiedades geométricas.

Podemos decir que dos figuras son geométricamente equivalentes si mediante un movimiento rígido podemos llevar una figura sobre otra de tal manera que las dos figuras coincidan. Por un movimiento rígido en el plano entenderemos una composición de traslaciones (desplazamientos), rotaciones (giros), y/o reflexiones.

Las propiedades comunes a las figuras geométricamente equivalentes se llaman propiedades geométricas.

Ejemplos de propiedades geométricas:

El área de un polígono.

El número de vértices de un polígono.

La longitud de una curva.

Decimos que dos subconjuntos A y B del plano son equivalentes, si por medio de traslaciones, reflexiones y rotaciones, podemos enviar A en B. En el siguiente ejemplo, los dos triángulos sombreados son equivalentes, pues mediante una traslación y una reflexión podemos pasar de una figura a la siguiente.

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En el particular lenguaje de las transformaciones, decimos que un conjunto S contenido en el plano tiene una simetría rotacional con centro en el origen si, al girarla un ángulo q e (0, 2p), la figura se superpone sobre ella misma.

Una reflexión con respecto a una línea l la podemos pensar como sigue: Si hacemos un dibujo S con tinta china, y antes de que seque la tinta, doblamos la hoja a lo largo de l, la figura se marca sobre el otro lado, dando lugar a una figura S', "el reflejo de S ", al abrir la hoja obtenemos dos figuras simétricas. Y decimos que la figura S' es el reflejo de S a lo largo de l, y l es el eje de reflexión.

O también, si colocamos un espejo sobre la línea l podemos pensarla como la figura que se "refleja" en el espejo.

Finalmente, diremos que el conjunto S tiene una simetría traslacional, si desplazamos una figura con centro en un punto Q, a la misma figura con centro en el punto P+Q.

Nótese entonces que vía traslaciones podemos hablar de simetrías rotacionales con centro en cualquier punto, así como de simetrías bilaterales con respecto a cualquier línea.

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El efecto que tienen las transformaciones rígidas sobre una figura dada.

En la siguiente lámina podemos ver diversos tipos de configuraciones geométricas:

Configuraciones Geométricas

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Si bien, no toda figura tiene un eje de simetría, hay varias figuras geométricas elementales que tienen uno o más ejes de simetría, podemos practicar la comprensión de este concepto resolviendo las siguientes preguntas.

Problemas:

1. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? 2. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isóceles? 3. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo escaleno? 4. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? 5. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un trapecio? 6. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un pentágono regular? 7. ¿ Cuántos ejes de simetría tiene un círculo? 8. ¿ Cuáles de las figuras antes mencionadas, tienen una simetría de tipo rotacional, y

cuáles son los ángulos de rotación admisibles ?

Actividades a desarrollar

Patrones Geométricos. En ésta parte planteamos las actividades que se realizarán durante la sesión 2 del módulo de matemáticas, con el fin de introducir los conceptos mencionados en la parte anterior, o bien, reafirmar la información dada, confirmar un hecho, o inducir nuevas propiedades sobre los objetos de estudio. Tomando en cuenta que se le dedican tres horas al presente módulo, hemos decidido dividirlo básicamente en dos actividades: teselaciones, y figuras geométricas en papel plegable. Las herramientas a utilizar son papel, o papel fumi, tijeras o cuter, pegamento, cinta adhesiva, hilo, un alfiler de cabeza (o chincheta) y colores.

Teselaciones

Hemos elegido iniciar las actividades con las teselaciones. Por una parte, es una forma agradable de introducir el concepto de transformación rígida en el plano Euclidiano, mencionado en la sección anterior, además de que todos podemos realizarlas sin necesidad de un equpo sofisticado, sólo requerimos un poco de imaginación, paciencia, papel, pegamento, tijeras y colores, y si además se cuenta con equipo de cómputo, con cualquier programa como paint o paintbrush podemos generar fácilmente diversas teselaciones. Además, en internet hay una gran cantidad de referencias y ejercicios, tanto en matemáticas como en arte, que pueden realizarse con las teselaciones entre las cuales podemos citar la página de Suzanne Alejandre http://mathforum.org/, así como varias páginas dedicadas al artista M. C. Escher, entre las cuales podemos mencionar http://www.WorldOfEscher.com y http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher.

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De acuerdo con el diccionario, la palabra tesela (del latín tessella) significa, "cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra, barro cocido, vidrio, etc., con que los antigüos formaban los pavimentos y mosaicos."

Hay diversos tipos de teselaciones, el primero que trabajaremos es el siguiente:

Teselaciones regulares

Un polígono regular que tiene 3 o más lados y ángulos iguales se denomina una tesela regular o mosaico.

Diremos que podemos teselar el plano por medio de una tesela regular P si por medio de rotaciones, traslaciones y reflexiones de P podemos llenar el plano sin que haya traslapes y sin que queden huecos.

Ir al principio

Problemas:

1. ¿ Es posible teselar el plano con cualquier tipo de polígono regular?

Solución: No, Sólo hay tres polígonos regulares con los que podemos teselar el plano Euclidiano: triángulos, cuadrados y hexágonos.

La respuesta se basa en que los ángulos interiores del polígono deben ser un divisor exacto de 360°. Esto lo podemos ver en la siguiente tabla:

Figura ángulo medido en grados

triángulo 60°

cuadrado 90°

pentágono 108°

hexágono 120°

más de seis lados más de 120°

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2. ¿ Qué tipo de transformaciones geométricas aparecen en la teselación dada en el siguiente fragmento del cuadro duendes de Escher?

Solución: Tenemos simetrías rotacionales, donde un centro de rotación se encuentra en el punto donde se juntan los sombreros de los duendes, y tenemos otro centro de rotación, donde se juntan los talones de los zapatos. También encontramos simetrías traslacionales, por ejemplo, en la parte inferior del dibujo traslación

horizontal, (y por ende, el primer grupo de duendes en el siguiente). Tenemos resultados análogos con los otros duendes que sobresalen en las orillas.

sobresalen dos duendes, uno va a dar al siguiente por medio de una

Teselaciones Semi-regulares

También podemos usar polígonos regulares para crear teselaciones semiregulares. Una teselación semiregular posee las siguientes dos propiedades:

Está formada por polígonos regulares.

El arreglo de polígonos en cada vértice es idéntico.

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Problemas:

¿ Cuántos tipos de teselaciones semi-regulares, que no sean regulares, hay ?

Solución: Hay ocho teselaciones semi-regulares, que no son regulares, las cuales están formadas utilizando triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octágonos y dodecágonos.

A la derecha mostramos una ilustración de cómo podemos generar las teselaciones semiregulares.

Los números que se encuentran en cada una de las figuras indican cuántos polígonos regulares de qué tipo son necesarios en cada caso, por ejemplo: (3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semiregular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.

Ahora mostramos unos ejemplos de figuras que pueden generarse conteselaciones semiregulares.

Ejemplos de teselaciones semi-regulares, realizadas por alumnos y maestros de secundaria.

(Proyecto Piloto: La Ciencia en tu Escuela)

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Actividades:

Realiza tus propias teselaciones:

Utiliza uno de los polígonos regulares con los que se puede teselar el plano, por ejemplo, un cuadrado.

Recorta una sección del cuadrado, a lo largo de una curva que no tenga autointersercciones.

Pega el segmento recortado del lado opuesto al que fue cortado.

Repite este proceso cuantas veces quieras.

Utiliza esta figura como molde para copiarla en una hoja, después trasladala sobre la hoja sin que haya traslapes.

Ilumina y pon detalles bonitos a tus figuras.

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Geometría en Papel Plegable

Justificación:

Basándose en los principios de la geometría Euclidiana, y aplicando algunas de las técnicas que aquí se presentan, es posible crear modelos de algunas de sus proposiciones plegando papel. Esto permite obtener figuras aseadas y exactas, grabando en las mentes de los jóvenes la veracidad de las proposiciones. Además de que nos permite presentar ocupaciones interesantes a los alumnos, también nos permite preparar sus mentes para la apreciación de la ciencia y el arte. Recíprocamente la enseñanza de la ciencia y el arte puede motivarse basándose en los fundamentos de la geometría de papel plegable. Notando en este punto que la geometría ha formado parte del arte, así como el arte es parte de la geometría.

Para introducirnos a la geometría en papel plegable sólo son necesarios unos trozos de papel, y un cuter. Los ejemplos que aquí se presentan, así como otra serie de construcciones de figuras geométricas, entre ellas las cónicas, han sido tomados del libro de Sundara Row [Sun.], en donde pueden estudiarse estas, y otras construcciones, con más detalle.

Plegando papel, en algunas ocasiones podemos realizar diversos procesos geométricos, el único instrumento adicional que requerimos nos los proporcionan los axiomas y postulados de la geometría Euclidiana. Por ejemplo, podemos dividir líneas rectas y ángulos en dos partes iguales, dibujar la perpendicular y la paralela a una línea recta dada. Sin embargo, en papel plegado no podemos describir un círculo, aunque si podemos marcar varios puntos sobre este, (sin embargo, podemos auxiliarnos de un pedazo de cuerda y una chincheta para trazar nuestros círculos, veremos más adelante). En estos ejercicios no se trata simplemente de dibujar figuras geométricas que involucren líneas rectas, se requiere, como nos aclara Sundara Row en su libro, una aplicación inteligente del proceso de plegar papel, lo cual esperemos se aclare con los ejemplos aquí mencionados.

El cuadrado

Podemos utilizar cualquier pedazo de papel, ya sea que tenga o no forma regular, por simplicidad, iniciaremos nuestro trabajo utilizando una hoja de papel rectangular. Para obtener el cuadrado realizaremos el siguiente procedimiento:

Podemos obtener que los lados de nuestro rectángulo sean iguales, midiendo el lado más corto, digamos A'B'=AB sobre BC, de aquí obtenemos el cuadrado ABCD, es decir, los cuatro ángulos son rectos y los cuatro lados son iguales, además este doblez nos da una diagonal del cuadrado.

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Problemas

¿Cómo son los dos triángulos que se forman?

Solución: Cada diagonal divide al cuadrado en dos triángulos isósceles con ángulo ápice recto, cuyos vértices están en esquinas opuestas.

Si superponemos ahora AB sobre AD marcamos la otra diagonal del cuadrado.

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Al marcar las dos diagonales el cuadrado queda dividido en cuatro triángulos rectángulos, que a la vez, son isósceles.

¿ Qué propiedad tiene el punto de intersección de las diagonales del cuadrado?

Solución: Notamos que las diagonales se intersectan en el centro del cuadrado.

¿ Qué propiedades tienen en los cuatro triángulos que se forman en el interior del cuadrado, (ej., DABO)?

Solución: Las dos diagonales dividen el cuadrado en cuatro de estos trángulos congruentes, DABO, D BCO, D CDO y DDAO cuyos vértices están en el centro O del cuadrado.

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Doblemos, como muestra la figura anterior, un lado del cuadrado sobre el lado opuesto, (por ejemplo AB sobre DC). Obtenemos así un pliegue que pasa por el centro del cuadrado. Esto divide al cuadrado en dos rectángulos

¿Qué propiedades satisface esta línea con respecto a los lados del cuadrado?

Solución: Este nuevo pliegue forma ángulos rectos con los otros lados y:

los biseca;

también es paralelo a los primeros dos lados;

se bisectan en el centro;

divide el cuadrado por consiguiente en dos rectángulos congruentes que son, cada uno, la mitad del cuadrado original;

El área de cada uno de estos rectángulos es igual al área de uno de los triángulos en que cualquier diagonal divide el cuadrado.

Si doblamos nuevamente el cuadrado, en forma tal que uno de los lados faltantes se identifique con el lado opuesto, (AD sobre BC), de donde nuestra figura queda dividida en cuatro triángulos congruentes. (por ej. DAOB, DBOC, etc.)

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Doblando nuevamente sobre las esquinas de los cuadrados pequeños los cuales están en los centros de los lados del cuadrado grande, obtenemos un cuadrado inscrito en el anterior.

¿ Qué relación hay entre el cuadrado original y el que construimos en el párrafo anterior?

Solución: Este cuadrado tiene como área la mitad del cuadrado original, y tiene el mismo centro.

Únanse los puntos medios de los lados del cuadrado interior, obtenemos un cuadrado JKLM, cuya área es la cuarta parte del cuadrado original, según muestra la figura anterior.

Repitiendo este proceso obtenemos cualquier número de cuadrados, cuyas áreas son respectivamente la mitad del anterior, esto es

1/2, 1/4, 1/8, etc.,

¿Que relación hay entre la suma de las áreas de la familia de cuadrados que se construye siguiendo el proceso anterior?

Solución: La suma de las áreas que forman todos los cuadrados que se obtienen al aplicar sucesivamente el proceso anterior, podemos ver se incrementa, pero no puede exceder el área del cuadrado original, pero estas áreas están dadas por

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1/2+1/4+1/8+etc.~ =1

Podemos convencernos de esto por medio de la siguiente figura:

El triángulo equilátero

Para construir el triángulo equilátero seguiremos las siguientes instrucciones:

Tomemos ahora un pedazo de papel rectangular, y doblemos el lado más corto, digamos AB por la mitad, superponiendo los lados opuestos, de aquí obtenemos una recta que, por ahora llamaremos ED corta los otros lados en el punto medio.

Si tomamos el punto C sobre la línea ED, en forma tal, que la distancia a las esquinas A y B del rectángulo sea igual a la longitud del lado AB, obtenemos un triángulo equilátero. Llamaremos a este triángulo, el triángulo ABC, como se indica en la siguiente figura:

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Nótese que:

La línea media divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes.

La línea media bisecta el ángulo ápice.

Problemas

Obtenga las medianas del triángulo equilátero DABC, esto es, las líneas que pasan por un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

¿ Qué relación hay entre las medianas y los lados del triángulo original?

¿ Qué relación hay entre las medianas?

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Si A',B',C' denotan los puntos medios de los segmentos BC, AC y AB respectivamente, y consideramos el triángulo DA'B'C':

¿ Qué relación hay entre sus lados y los lados del triángulo DABC?

¿ Qué relación hay entre el área del triángulo DABC y D A'B'C'?

¿ Qué otros tipos de configuraciones se pueden encontrar aquí, y qué propiedades satisfacen?

Solución y comentarios

El punto medio sobre los lados BC y AC se obtienen fácilmente superponiendo la línea AC sobre AB.

Obtenemos de esta forma las tres altitudes del triángulo, AA', BB', CC'.

Cada altitud divide el triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes.

Estas líneas bisectan los lados en ángulos rectos.

Las altitudes AA', BB', CC' se intersectan en un punto común O. Como los triángulos DC'OA y DCOA' son congruentes, OC'=OA', similarmente los triángulos DOC'B y DA'OB son congruentes, por lo que \angle OBC'=\angle A'BO, y finalmente, como los triángulos DABB' y DCB'B son congruentes, los ángulos \angle AB'B = BB'C, cada uno de ellos es recto. Esto es, BOB'es una altitud del triángulo equilátero DABC.

Las longitudes de los segmentos OA,OB, y OC son iguales, también las longitudes de los segmentos OA', OB', y OC' son iguales.

Coloquemos una chincheta en el centro O del triángulo ABC, y con un hilo tomemos la distancia del punto O al punto A, nótese que ésta distancia es la misma que hay del punto O al punto B, y de O a C, luego entonces podemos hace un círculo que tiene centro en O y que pasa por los tres puntos A,B, y C, análogamente tenemos un círculo con centro en O y que pasa por A',B' y C, como se muestra en los dos últimos cuadros de la siguiente figura.

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El triángulo equilátero DABC queda dividido en seis triángulos rectángulos congruentes.

Si doblamos las hojas por A'B', B'C' y C'A', entonces el triángulo DA'B'C' es un triángulo equilátero, y su área es la cuarta parte del área del triángulo DABC.

A continuación presentamos una serie de referencias bibliográficas en las que pueden consultarse los tópicos aquí mencionados, así como algunos temas afines.

Referencias Bibliográficas

[Bold] Bold, B., Famous problems of Geometry and how to solve them. Dover Pub. Inc. New York, 1982.

[Bou] Bouleau, Ch., Tramas, La geometría secreta de los puntos. AKAL, S.A., Arte y Estética, # 47. Madrid España, 1996.

[Cox.1] Coxeter, H.S.M., Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa-Wiley, S.A., México, 1971.

[D.D.] Davis, D. M., The Nature an Power of Mathematics, Princeton Univ. Press, New Jersey, 1993.

[DVL] Da Vinci, L., Tratado de Pintura. Editora Nacional, Madrid España, 1980.

[Er] Ernst, B., El Espejo Mágico de M.C. Escher, Ed. Taschen, Impreso en Singapur, 1994.

[E] Escher, M.C. M.C. Escher, Estampas y Dibujos, Ed. Taschen, Impreso en Alemania, 1994.

50

[Ger.] Gerdes, P., Geometry from Africa. Mathematical an Educational Explorations. The Mathematical Association of America, USA, 1999.

[Han.] Hansen, V. L., Geometry in Nature. A.K. Peters Wellesley, Massachusetts, 1993.

[Hun.] Huntley, H.E., The divine proportion: A study in Mathematical Beauty. Dover Pub. Inc., New York, 1970.

[K] Kappraff, J., Conections. The geometric Bridge between Art and Science. McGraw-Hill, Inc., USA, 1991.

[M.V.] Mammana, C., & Villiani, V., Editors, Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st. Century. An ICMI study, Kluwer Acad. Pub., New ICMI Study Series, Vol. 5, Netherlands, 1997.

[Mar.] Martin, G.E., Transformation Geometry. An Introduction to Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlagm New York, USA, 1982.

[Og.] Ogilvy, C.S., Excursions in Geometry. Dover Publications. Inc. New-York, 1990.

[R.S.] Ramírez-Galarza, A.I., & Sienra-Loera,G., Invitación a las geometrías no Euclidianas. Coordinación de Servicios Editoriales, Fac. de Ciencias, UNAM, 2000.

[Sin] Singer, D.A., Geometry: Plane and Fancy. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1997.

[Sun.] T. Sundara Row, Geometric Exercises in Paper Folding. Dover. Pub. Inc., New York, 1966.

[S.W.] Schattschneider, D., & Walker, W., M.C. Escher Calidociclos. Ed. Taschen, Impreso en Alemania,1992.

[W] Weyl, H., Simetría. Serie Mc-Graw Hill de Divulgación Científica, Mc-Graw Hill, España, 1991.

Hay una gran cantidad de páginas de internet que contienen información relacionada con los temas aquí mencionados, sus aplicaciones en el arte, (escultura pintura, música), la naturaleza (cristales, plantas, animales), y otros temas de carácter general, algunas de estas páginas son:

http://www.floweroflife.org/spiral04.htm

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html

http://www.ibiblio.org/wm/paint/

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http://www.ies.co.jp/math/java/misc/oum/oum.html

http://www.uaq.mx/matematica/origami

http://www.iproject.com/escher/escher100.html

http://www.mcescher.nl/

http://www.WorldOfEscher.com

http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher

http://www.origami.com/index.html

http://www.pajarita.org/ususarios/448

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Los números de Fibonacci y la Razón Áurea Laura Hidalgo Solís

UAM-Iztapalapa. Departamento de Matemáticas. AT-201

Índice

Resumen

1. Los números de Fibonacci

El problema de los conejos

Actividad 1

Algunas propiedades matemáticas de los números de Fibonacci

Actividad 2

Actividad 3

2. La razón áurea

Teorema II.11

3. Números de Fibonacci y Geometría

Actividad 4

Los rectángulos de Fibonacci y los rectángulos áureos

Actividad 5

Espirales y caracoles

Actividad 6

La estrella de cinco picos

Actividad 7

4. Los Números de Fibonacci y su relación con las plantas

5. La razón aurea y el cuerpo humano

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Referencias Bibliográficas

Referencias Electrónicas

Inicio

Resumen:

En las matemáticas elementales existen muchos problemas, los cuales se han convertido en parte del folklore matemático, tales problemas pueden hallarse en la literatura matemática, tanto popular como recreativa, y en muchas ocasiones estos problemas tienen, además de su valor recreativo, un gran interés teórico, así sucede con la teoría de los números de Fibonacci. Los números de Fibonacci surgen del famoso problema de los conejos que, en la actualidad, tiene más de 800 años. En la presente nota proporcionamos una introducción al análisis de las propiedades elementales de los números de Fibonacci, sus aplicaciones a la geometría, el arte, y su relación con el estudio de la naturaleza.

1. Los números de Fibonacci

Los llamados números naturales, 1; 2; 3; 4; : : : muestran su grandeza de una manera muy familiar, se lo deben en parte, a la propiedad que nos dice que uno va tras otro, así, el 2 sigue del 1, el 3 sigue del 2, etcétera. Esta propiedad permite definir una sucesión, de elementos de un conjunto de números, simplemente como una colección ordenada de números. Esto simplemente quiere decir que tomamos un elemento del conjunto y lo identificamos como el primero, luego otro y lo identificamos con el segundo y así sucesivamente.

Consideremos por ejemplo, la figura (1).

Figura 1. Los números triangulares

Al principio tenemos un punto, t1 = 1, el segundo arreglo tiene dos puntos más, así que; t2 = 1 + 2 = 3. El tercero tiene exactamente tres más, así que; t3 = 3 + 3 = 6. El cuarto tiene 4 puntos más que el anterior, por lo que hay t4 = 6+4 = 10 puntos. Mientras que el quinto tendrá t5 = 10+5 = 15 puntos. Por lo que, resulta natural preguntarse ¿Cuántos puntos tendrá el sexto arreglo? Siguiendo el patrón antes indicado, el sexto arreglo tendrá t6 = 15 + 6 = 21 puntos, y podemos deducir que, si ya sabemos que el n-ésimo arreglo tiene tn puntos, el siguiente tendrá tn+1 = tn + n + 1 puntos. Podemos ver así que, el n-ésimo arreglo tendrá tn puntos, donde: tn = n(n + 1)/2

54

Cuando hablamos de sucesiones de números, una que resulta útil, y un tanto curiosa, es la sucesión de Fibonacci. Leonardo de Pisa [1170-1250], mejor conocido como Fibonacci, que significa hijo de Bonaccio, fue uno de los más grandes matemáticos en la Europa de la edad media, Fibonacci creció en el norte de África, donde adquirió los conocimientos de las matemáticas avanzadas de los estudiosos árabes. En 1202 escribe Liber Abaci, el libro del ábaco, texto donde defiende el uso de los números arábigos, que usamos hoy en día, y explica como sumar, restar, multiplicar y dividir en este sistema, así como la resolución de otros tipos de problemas sobre álgebra y geometría, uno de problemas que aparece en este libro es el siguiente:[redesc]

1.1 El problema de los conejos. ``En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos, recién nacidos, para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva."

Para resolver este problema se supondrá adicionalmente, que en este periodo de tiempo, ningún conejo muere y que la hembra siempre produce una nueva pareja formada por un macho, y una hembra. Para más información de este problema puede consultar http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate4j.htm

Actividad 1. Resuelva el problema de los conejos.

Solución: Como la primer pareja es recién nacida, y no se reproduce hasta el segundo mes de vida, al finalizar el primer mes, e iniciar el segundo, tenemos sólo una pareja adulta.

Esta pareja, al finalizar el segundo mes, se reproduce y obtenemos así una nueva pareja. Por lo que, al final del segundo mes, e inicio del tercero, tenemos dos parejas de conejos, una adulta, que podrá reproducirse el mes siguiente, y otra, recién nacida.

De éstas dos parejas, sólo la primer pareja tiene descendencia en el mes siguiente, mientras que la otra, se convierte en adulta, e inicia su edad reproductiva. De manera que, al finalizar el tercer mes, hay tres parejas de conejos: dos parejas adultas, y una recién nacida.

De estas tres parejas de conejos, sólo las dos parejas adultas tienen descendencia en el mes siguiente, de manera que, al finalizar el cuarto mes hay cinco parejas. Tres parejas adultas, y dos parejas recién nacidas.

Nuevamente, de las cinco parejas, sólo las tres parejas adultas se reproducen, por lo que, al finalizar el quinto mes hay ocho parejas. Cinco parejas adultas, y tres parejas de conejos recién nacidos. Es más fácil ilustrar este proceso que describirlo, por lo que, si consideramos el primer día del mes 10 como el fin del mes cero, podemos ilustrarlo por medio de la figura (2).

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Figura 2. El problema de los conejos

Podemos resumir la información de la Figura (2) en la siguiente tabla:

Fin de mes Pares de conejos recién nacidos

Pares de conejos adultos

Total de pares de conejos

0 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2 3 4 2 3 5 5 3 5 8 6 5 8 13 7 8 13 21 8 13 21 34 9 21 34 55 10 34 55 89 11 55 89 144 12 89 144 233

Esto es, si fn denota el número de conejos que hay al finalizar el n-esimo mes, tenemos que : f0 = 1; f1 = 1, y

fn = fn-1 + fn-2 si n ≥ 2

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Por lo cual, la pareja original produjo una descendencia de 232 parejas de conejos.

Desde luego, la solución a este problema no es muy realista, pues como sabemos, genéticamente trae problemas el hecho de que se apareen macho y hembra de la misma familia, por lo que sería necesario reemplazar los conejos machos por machos provenientes de otra familia. El otro problema que tenemos, y que no suele darse en la vida real, es que cada mes una pareja produzca exactamente dos conejos, un macho y una hembra.

Sin embargo, Henry E. Dudeney (1857-1930) en su libro 536 puzzles and Curious Problems, adapta el problema de los conejos a un problema, mas realista, en donde se estudia la reproducción de ganado vacuno, podemos encontrar información sobre este problema, y otros

1.2. Algunas propiedades de los números de Fibonacci. Olvidémonos, por un momento, de los conejos y, consideremos la sucesión de números

(1) f0, f ,... f1

1

1

n,...

en la cual, cada término es la suma de los dos términos anteriores, es decir, para n ≥ 1 tenemos:

(2) fn+1 = fn + fn-1

una sucesión f0, f1, f2,... que satisface la ecuación (2) se denomina una sucesión de tipo Fibonacci.

La sucesión dada por

(3) f0 = 1 f = 1 f2 = 2 f3 = 3 f4 = 5 f5 = 8 f6 = 13 f7 = 21 f8 = 34 f9 = 55 f10 = 89 ....

es la sucesión de Fibonacci, pues es la que se obtiene al resolver el problema de los conejos.

Además de la ecuación (2), la sucesión de Fibonacci satisface otras propiedades. Por ejemplo, como f3 = f2 + f1, entonces f2 = f3 -f1, así, podemos ver que

f + f0 = f2 = f3 -f1 = f3 -1 = 3 - 1 = 2

ahora, si sustituimos esto en la siguiente suma, también podemos ver que:

f2 + f1 + f0 = f2 + (f3 -1) = (f2 + f3) -1 = f4 -1 = 5 -1 = 4

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Actividad 2. De manera similar a la descrita en el párrafo anterior, calcula las siguientes expresiones:

1. f3 + f2 + f1 + f0. 2. f5 + f4 + f3 + f2 + f1 + f0. 3. f10 + f9 + f8 + f7 + f6 + f5 + f4 + f3 + f2 + f1 + f0.

Solución: (1)f5 - 1; (2) f7 - 1; (3) f12 - 1.

Como te has podido dar cuenta, podemos resolver de manera similar estos problemas, es decir, podemos generalizar este resultado.

Para calcular fn + fn-1 + .... + f1 + f0; bastará continuar el proceso arriba descrito. Si ya tenemos que fn-1 + ....+ f + f1

1 1

1

1

0 = fn+1 - 1 podemos ver que:

fn + fn- + : : : + f1 + f0 = fn + (fn-1 + : : : + f + f0) fn + (fn+ - 1) = (fn + fn+1) -1 = fn+2 -1

es decir, para cualesquier n ≥ 1 tenemos que la suma de los primeros n + 1 números de la sucesión de Fibonacci está dada por:

(4) f0 + f + f2 + f3 + : : : + fn = fn+2 -1

Los números de Fibonacci satisfacen muchas otras propiedades, por ejemplo, hay una forma fácil de generar ternas de Pitágoras, esto es, podemos encontrar tres números naturales (x; y; z) tales que x2 + y2 = z2, Quizá la terna pitagórica más conocida es la (3; 4; 5), pues 32+42 = 52. Usando cuatro números de Fibonacci podemos generar otras ternas pitagóricas como sigue:

Consideremos cuatro números de Fibonacci consecutivos fn; fn+1 fn+2, y fn+3, y procedamos en la siguiente forma:

1. Multipliquemos los dos números del centro, esto es fn+1 fn+2. 2. Dupliquemos el resultado, este será el valor x en la terna de Pitágoras, es decir, x = 2(fn+1

fn+2). 3. Multipliquemos ahora los dos números externos, este será el valor y en la terna de Pitágoras, así y = fn fn+3. 4. El tercer lado, correspondiente a la hipotenusa del triángulo, se encuentra sacando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos números anteriores, es decir,

.

Actividad 3. Obtén, utilizando el algoritmo anterior, 3 ternas pitagóricas distintas. ¿Es z un número de Fibonacci?

Solución: Por ejemplo, si tomamos f2 = 2; f3 = 3; f4 = 5 y f5 = 8, entonces: x = 30; y = 16; z = 34. Notamos que, z = 34 es nuevamente un número de Fibonacci.

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Quizá la más sorprendente de todas las propiedades de los números de Fibonacci es la siguiente:

Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, siempre el mayor entre el menor, y veamos que sucede:

1/1= 1, 2/1= 2, 3/2= 1,5, 5/3= 1,666..., 8/5= 1,6, 13/8= 1,625, 21/13= 1;6153846153846153846...,

Al tomar más términos de la sucesión, y hacer sus cocientes, nos acercamos a un número, nada fácil de imaginar, y que constantemente convive con la humanidad, pues aparece frecuentemente en la naturaleza. Este número, se conoce como el número áureo, o número dorado. A inicios del siglo XX se sugirió utilizar la letra griega φ-la letra inicial del nombre de Phidias, constructor del Partenon- para designar el número áureo, y hablaremos más de él, en la siguiente sección.

Todas las sucesiones de Fibonacci tienen la propiedad que, cuando tomamos n arbitrariamente grande, el cociente fn+1 / fn se aproxima al número Á, lo cual lo describimos por medio del siguiente símbolo :

En efecto, si usamos un poco de aritmética, y pedimos que los "límites" respeten sus propiedades, podemos ver que:

Finalmente, como φ = 1 + 1/φ, entonces φ2− φ− 1 = 0, de donde, el valor numérico de φ está dado por:

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2. La Razón Áurea

La localización del corte áureo en un segmento de línea se obtiene dividiendo ésta en un punto exacto donde se equilibra su razón media y extrema. El problema de encontrar el corte áureo de un segmento se encuentra resuelto en el Teorema 11 del libro II de la Geometría de Euclides. A continuación presentamos el enunciado, y la construcción que se da en la demostración de este teorema.

Teorema II.11 (T.C.) Dividir una recta de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y por una de sus partes sea igual al cuadrado de la parte restante.

(1) Construye sobre AB el cuadrado ABDG, (2) Y sea E el punto medio de AG, (3) Trace BE, y (4) Prolongue GA hasta el punto Z (5) Y, haga EZ igual a BE (6) Descríbase sobre AZ el cuadrado ZHCA (7) Prolongue HC hasta el punto K Entonces , el segundo AB esta cortado por el punto C de manera que el área del rectángulo comprendida por los lados AB, BC es igual al cuadrado del lado AC. Es decir: (AC)2= (BC)(AB), equivalente, (AB)/(AC)=(AC)/(BC)

Figura 3. El punto C denota el corte áureo del segmento AB.

En otras palabras: se trata de dividir una línea cualquiera en dos partes desiguales, de manera que el trazo más corto sea, en comparación al mayor, igual que éste es en comparación al total. En la terminología antigua el segmento AB se divide por C en razón extrema y media. Kepler [1571-1630] la denomina \ La divina proporción ", y considera que: La geometría posee dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea en razón extrema y media. El primero puede compararse con el valor del oro; el segundo, permítame llamarlo, una preciosa joya.

El segmento de línea AB, de longitud ℓ, se divide en dos segmentos AC y BC de longitudes a y b respectivamente.

Si C es el punto tal que ℓ es a a como a es a b, entonces C es el corte áureo del segmento AB.

El cociente

ℓ/a=a/b

se denomina la razón áurea.

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Si la longitud b la elegimos unitaria, es decir b = 1, podemos obtener el valor numérico de este cociente como sigue:

ℓ/a=a/1

Y como ℓ = a + b = a + 1, entonces

de donde,

a2 - (a + 1) = 0.

Anteriormente hemos visto que, una solución a esta ecuación es: a =

Si φ′ denota la otra solución de ésta ecuación, entonces: - 0,61803.

El número φ′ satisface φ ⋅ φ′ = -1, además φ es el único número positivo con la siguiente propiedad

φ -1 = 1/φ, entonces φ2− φ− 1 = 0

y es evidente que: φ + φ′ = 1y φ ⋅ φ′ = -1

Aún más, podemos ver que este número tiene un comportamiento aditivo, esto es, la relación φ2− φ− 1 = 0, implica

φ2 = φ + 1

multiplicando ambos lados de la igualdad por φn tenemos

φn+2 = φn+1 + φn

Obtenemos así que

...1/φ2+1/φ = 1, 1/φ +1= φ, 1+ φ = φ2, φ + φ2= φ3

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Por lo cual las potencias de φ constituyen una sucesión de tipo Fibonacci, pues satisfacen la ecuación (2), esta sucesión es conocida como la φ-serie:

(5) ...,1/φ2 , 1/φ , 1, φ, φ2, φ3, ...

Como vimos en la sección anterior, la razón áurea se obtiene como , sin embargo, hay otras relaciones entre los números de Fibonacci y la razón áurea. El matemático Frances Jacques Philipe Marie Binet [1786-1856] mostró que podemos obtener el n-esimo número de Fibonacci fn a partir del la número áureo φ como sigue:

(6)

La fórmula (6) se denomina la fórmula de Binet, en honor del matemático que la probó por primera vez.

Por ejemplo, podemos aplicar la fórmula de Binet para obtener los siguientes valores: f6 = 13; f12 = 233; f18 = 4; 181; f24 = 75; 025; f36 = 24; 157; 817 y f48 = 7; 778; 742; 049.

Note que: = 573; 147; 844; 013; 817; 084; 101 es decir, si los conejos se reprodujeran como mencionamos en la primera sección, después de ocho años y cuatro meses tendríamos: quinientos setenta y tres trillones, ciento cuarenta y siete mil ochocientos cuarenta y cuatro billones, trece mil ochocientos diez y siete millones, ochenta y cuatro mil ciento un conejos.

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3. Números de Fibonacci y Geometría

Ya hemos hablado anteriormente de los números de Fibonacci y de la razón áurea, en la presente sección veremos algunas construcciones geométricas relacionadas con ellos.

Actividad 4. Si tenemos un segmento AB, el cual supondremos que es de longitud unitaria, deseamos construir un segmento cuya longitud sea Á.

Figura 4. El corte dorado

1. Tracemos un cuadrado con base AB, el cuál tiene vértices A,B,C,D. 2. Tómese el punto medio M del segmento AB. 3. La distancia del punto M al punto C la denotamos d(M,C). 4. Con centro en M y radio d(M,C) trace una circunferencia C. 5. C corta el semieje AB en E. 6. φ es igual a la distancia de A a E.

Podemos convencernos fácilmente de esto, pues la distancia de punto A al punto E es igual a la distancia del punto A al punto M más la distancia de M a E, simbólicamente:

d(A,E)=d(A,M)+d(M,E).

Pero la distancia de M a E es la misma que la de M a C, de donde: d(A,E)=d(A,M)+d(M,C).

Como d(A,B)=1, entonces d(A,M) = 1/2, y como los puntos MBC determinan un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes 1/2 y 1, como consecuencia del Teorema de Pitágoras, en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir:

de donde:

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3.1 Los rectángulos de Fibonacci y los rectángulos áureos. Tómese un cuadrado cuyo lado sea un número de Fibonacci, sobre uno de sus lados, copie el cuadrado anterior, de manera que obtenga un rectángulo, cuyos lados sean dos números de Fibonacci consecutivos, e inscríbase en él sucesivamente los cuadrados más grandes que sea posible, tal como muestra la figura 5. Entonces, todos los cuadrados, excepto los dos más pequeños, serán de tamaños diferentes.

Ahora considérese un rectángulo cuyos lados sean miembros consecutivos de la doble serie geométrica, descrita en la ecuación (7), a estos rectángulos los llamaremos rectángulos áureos. Esto es

base/altura = φ, o bien, base/altura=1/φ

La Figura 5 muestra cómo puede agotarse casi por completo un rectángulo áureo, la figura restante después de que se inscribe cada cuadrado sucesivo es un rectángulo áureo.

Los rectángulos áureos se ven bien proporcionados, y producen un efecto estético, por lo general, estos objetos también son funcionales, por lo que muchos de nuestros objetos rectangulares, tales como libros, cajas de fósforos, tarjetas de crédito, tienen esta forma particular.

Vemos ahora otra curiosidad geométrica de los números de Fibonacci.

Actividad 5. Examina el rectángulo del lado izquierdo de la figura 5, nota que tenemos 5 cuadrados, y 4 rectángulos de Fibonacci, compara sus áreas, y deduce que puede pasar en general.

Solución:

1. El más pequeño, tiene altura 2, y anchura 1, y esta formado por dos cuadrados de lado 1. Así,

por una parte, el área del rectángulo es: f1 f2 = (1)(2), y por otro, = 1 + 1.

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2. El siguiente, tiene altura 2, y base 3, y esta formado por tres cuadrados, dos de lado 1, y uno de lado 2. Si nuevamente comparamos sus áreas tenemos:

3. Si continuamos con este proceso, tenemos un rectángulo de Fibonacci de altura 5, y base 3. El cual consta de 4 cuadrados, dos de lado 1, uno de lado 2, y otro de lado 3 así, comparando nuevamente sus áreas:

4. Finalmente, podemos ver que nuestro último rectángulo tiene altura 5 y base 8, el cual esta formado por 5 cuadrados; dos de lado 1, uno de lado 2, uno de lado 3, y otro de lado 5. Y si comparamos sus áreas tenemos:

Podemos deducir de aquí que, la suma de los cuadrados de los primeros n números de Fibonacci, es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos, a saber:

3.2. Espirales y caracoles. ¿Quién no ha admirado una concha o un caracol y ha notado la hermosa construcción creada por la naturaleza?

Consideraremos la concha de un primitivo caracol marino, llamado nautilus, como modelo para abrir la discusión de esta parte, en la concha de este caracol, podemos encontrar una curva dotada de una elegancia especial, la curva que describe es una espiral.

Podemos notar varias propiedades que satisface tan extraordinaria curva. La propiedad fundamental de ésta espiral corresponde precisamente al principio biológico que gobierna el crecimiento de los moluscos de concha, este principio es de lo más simple posible, y dice lo siguiente:

"El tamaño se incrementa, pero la forma no se altera."

La concha del molusco crece a lo largo y ancho de acuerdo con el crecimiento del animal, pero la concha preserva su forma, es decir, es similar a ella misma.

Esta crece en forma tal, que cada incremento en la longitud está balanceado junto con un incremento proporcional del radio, así la forma de la concha no cambia.

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Figura 6. El nautilus.

La única curva en matemáticas que tiene esta propiedad se denomina la espiral logarítmica.

Por esta razón Bernoulli la describió como una spira mirabilis. Por supuesto, el patrón de desarrollo del caracol puede imitarse utilizando otras formas matemáticas distintas a la espiral, siempre y cuando se mantenga similar el patrón de crecimiento de la forma.

En matemáticas se utiliza la palabra espiral para reconocer la curva plana C que describe la trayectoria que sigue un punto P que mientras gira alrededor de un punto fijo O, se aleja simultáneamente de este punto.

Actividad 6. Construya una espiral utilizando los rectángulos de Fibonacci, y otra utilizando rectángulos áureos.

Solución: Véase la figura (7).

Figura 7. La espiral.

3.3. La estrella de cinco picos. Los Pitagóricos, utilizaron la estrella de cinco picos como bagage de la Sociedad de Pitágoras. Con este símbolo se reconocían como miembros. Esta figura posee una gran cantidad de proporciones áureas.

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Actividad 7. Construye y analiza el pentágono.

Figura 8. construcción del pentágono regular utilizando regla y compás

Solución: A continuación presentamos un método que nos permite construir el pentágono equiángulo y equilátero, si conocemos un lado, como se muestra en la figura (8). Hay muchos métodos para esto, todos ellos son muy similares, puedes encontrar esta construcción , y otras similares, en la página interactiva [roble].

1. Sea AB el lado del pentágono, por comodidad se ha situado sobre una semirrecta horizontal. 2. Se traza la recta perpendicular a AB por el punto B. 3. Se traza la mediatriz del segmento AB. 4. Con centro en B se traza la circunferencia de radio AB, el punto donde esta circunferencia corta a la perpendicular a AB por B lo llamamos M. 5. Con centro en O, el punto medio del segmento AB, se traza la circunferencia con radio OM. Sea S el punto donde esta circunferencia corta a la semirecta AB. 6. Tracemos la circunferencia de centro A y radio AS, obtenemos el punto C como corte con la circunferencia anterior, esta circunferencia corta en D a la mediatriz de AB. 7. Podemos obtener E como simétrico de C con respecto a la mediatriz de A Esta figura posee una gran cantidad de proporciones áureas. Las siguientes propiedades pueden verificarse fácilmente, tomando como O el centro de los pentágonos ABCDE y PQRST, OA, y OP son los radios de sus circuncírculos, y supóngase, (sólo para simplificar las expresiones), que PQ tiene longitud unitaria, tenemos entonces que: (Ver figura 9)

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5. Una diagonal tal como QS tiene longitud φ. 6. Si X es el punto de intersección de dos diagonales PR, y QS, entonces

7. Si el segmento SQ se prolonga hasta intersectar en segmento AB en V , entonces V QS es paralelo a AD, y se satisfacen las siguientes relaciones:

8. Las longitudes de los seis segmentos BD; BS; BR; RS;RX; y XZ están en progresión geométrica.

BD = φ3 BS = φ2 BR = φ RS = 1 RX = φ-1 XZ = φ2

Podemos ver en el pentágono que la serie es aditiva: La suma de dos miembros consecutivos es igual al siguiente, por ejemplo, AP + AT = φ + φ2 = φ3 = AD.

9. La longitud de un lado del pentágono ABCDE es φ2..

10. OA/OP = φ2.

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4. Los números de Fibonacci y su relación con las plantas

La hoja vuelve siempre su cara superior hacia el cielo por que pueda así recibir con toda su superficie el rocío que lentamente desciende del árbol. Las hojas se distribuyen sobre sus plantas de modo que se incomoden lo menos posible: terciándose unas de otras, tal como podemos ver en la hiedra que cubre los muros. Esta alternancia sirve a dos fines, a saber: dejar intervalos por los que el aire y el sol puedan penetrar y, una segunda razón, permitir que las gotas caídas de la primera hoja puedan caer sobre la cuarta, o en otros árboles, sobre la sexta.

[DV, Botánica para pintores y otros elementos de paisaje.(403)]

Anteriormente hemos estudiado los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . que aparecen en la sucesión de Fibonacci. Desde luego, las plantas no saben esto, simplemente se desarrollan eficientemente. Una gran cantidad de plantas exhibe los números de Fibonaci en los pétalos de sus flores, y en los arreglos que tienen sus hojas, alrededor de sus tallos1.

1 La filotaxis es el estudio de la disposición de las hojas sobre el tallo. El estudio de la filotaxis puede hacerse de dos maneras: estudiando el arreglo de las hojas a lo largo del tallo ya desarrollado, o estudiando un corte transversal de una yema, donde se puede analizar la situación respectiva de varias hojas jóvenes [biol], [smith].

En las siguientes páginas puedes leer más información sobre este tema

http://www.biologia.edu.ar/botanica/tema2/tema2_7filotaxis.htm

http://www.math.smith.edu/~phyllo

¿Alguna vez te has detenido a observar el número de pétalos de una flor?

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Figura 10. Flores y números de Fibonacci

Si lo haces, encontraras que frecuentemente el número de pétalos de una flor es uno de los números de Fibonacci. En la Figura anterior mostramos algunos ejemplos que tomamos de http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm

Como mencionamos anteriormente, la relación entre los números de Fibonacci y las plantas no se restringe a los pétalos

Al examinar los tallos de las plantas, podemos ver que, en la mayoría de ellas, las hojas se desarrollan alrededor del tallo formando una espiral. Si fijamos nuestra atención en una hoja de la base del tallo, y le asignamos el número "cero", y posteriormente contamos cuantas hojas hay en el tallo hasta situarnos directamente sobre la hoja "cero", en general conseguimos un término de la sucesión de Fibonacci. (Ver Figura 11)

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Figura 11. Hojas y números de Fibonacci

Si nuevamente fijamos nuestra atención en el tallo, y contamos cuantas vueltas le dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci. (Ver Figura 11)

En nuestro ejemplo tenemos 8 hojas, y damos 5 vueltas, por lo que se dice que esta planta tiene filotaxis 5/8. Cada especie esta caracterizada por su filotaxis. Casi todos los cocientes se obtienen considerando dos números consecutivos, o alternados, de la sucesión de Fibonacci.

Aún más, podemos determinar el ángulo de divergencia, de una planta, trazando los lados sobre los ejes de dos hojas sucesivas, y podemos ver que: La posición de cada nuevo retoño se encuentra situado aproximadamente a 222.5° grados del anterior, (o su complemento, que es de 137.5°) pues en principio, es el máximo ángulo posible entre ellos. Este ángulo se denomina el ángulo áureo, y divide a 360o precisamente en la sección dorada, esto es

360/ángulo áureo = ángulo áureo/360-ángulo áureo=1/φ

¿Porqué sucede esto? Después de más de cien años de estudio, el porqué las plantas crecen de acuerdo con los dictados de la sucesión de Fibonacci y la razón áurea ha sido un misterio, sin embargo, en diversos estudios se ha observado que las plantas siguen un principio de crecimiento muy simple, a saber, el crecimiento se da en los lugares donde hay más espacio.

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La naturaleza no intenta utilizar los números de Fibonacci, estos aparecen como parte de un proceso físico más profundo, esta es la razón del porqué las espirales que vemos en el centro de un girasol, o en las piñas de las coniferas, no son perfectas, no siguen una regla matemática, simplemente responden a restricciones físicas, podemos ver esto en la Figura 12.

Figura 12

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5. La razón áurea y el cuerpo humano

El canon más antiguo conocido (3,000 A. de C.) acerca de las proporciones del cuerpo humano se encontró en una tumba de las pirámides de Menfis, por lo que, podemos concluir que desde esos tiempos hasta nuestros días, el estudio de las proporciones del cuerpo humano es un tópico de interés tanto para los artistas como para los científicos.

Los artistas del renacimiento relacionaron la razón áurea con las partes del cuerpo humano, por ejemplo, la Venus de Botticelli (figura 13) fue subdividida por Theodore Cook en una sucesión de potencias de la razón áurea φ.

Figura 13. La Venus de Boticceli

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Por ejemplo:

( Del ombligo a la parte superior de la cabeza)/(Del ombligo a los pies)= φ5/(φ4+ φ5 )=φ5/φ6=1/φ.

Lo cual es cercano al valor promedio de esta proporción en un adulto.

Por ejemplo, Leonardo Da Vinci realiza un estudio de las proporciones del cuerpo humano, y en su inquietud por establecer el canon perfecto del cuerpo humano, así como su relación con las formas geométricas más simples y perfectas realiza su dibujo sobre el Homo Cuadratus el cual es la traslación de las medidas perfectas en un ser humano ideal, que puede inscribirse tanto en un círculo como en un cuadrado.

Tanto el círculo como el cuadrado eran figuras relacionadas con la divinidad, puesto que se consideraban las más exactas y perfectas, por la correspondencia de sus partes con el todo, y entre sí.

Figura 14 . El análisis del Homo Cuadratus.

Y Leonardo nos explica en su Tratado de Pintura [DV. Proporciones y movimientos del cuerpo humano, pág. 286], que:

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La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde la raíz de los cabellos hasta la sotabarba tenemos 1/10 de la altura del hombre; desde la sotabarba hasta el extremo superior de la cabeza, 1/6 del hombre; desde el extremo superior del pecho hasta la raíz de los cabellos, 1/7 de todo el hombre; desde las tetillas hasta el extremo superior de la cabeza, 1/4 del hombre. La anchura máxima de los hombros contiene en sí 1/4 del hombre; desde el codo hasta la punta de la mano 1/5 del hombre; desde ese mismo codo hasta el término del hombro, 1/8 de ese hombre. Toda la mano es 1/10 del hombre; el miembro viril nace del centro del hombre; el pie es 1/7 del hombre; desde la planta del pie hasta la parte inferior de la rodilla tenemos 1/4 del hombre; desde la parte inferior de la rodilla hasta la base del miembro, 1/4 del hombre. Los espacios comprendidos entre el mentón y la nariz y entre la raíz de los cabellos y el entrecejo son iguales y equivalen a la oreja, a saber 1/3 del rostro. (Lado izquierdo de la figura 14).

Partiendo de la divisibilidad del cuerpo humano en proporción armónica, el arquitecto francés Le Corbusier desarrolló su teoría de las proporciones en la construcción. Marcó tres intervalos en el cuerpo que, como descubrió Fibonacci, forman una serie armónica. Los extremos y puntos de división son el pie, el plexo solar, la cabeza y las puntas de los dedos con el brazo en alto. Basándonos nuevamente en el Homo Cuadratus mostramos, del lado derecho de la figura 14, la relación que hay entre el cuerpo humano y la razón áurea.

Referencias Bibliográficas • [B] Bergon, G.E., Howard, F.T., et. al. , Applications of Fibonacci Numbers. Proceedings of the

Eight International Research Conference on Fibonacci Numbers and their Applications. Rochester Institute of Technology, Rochester, New York, USA, June 22-26-1998. Vol. 7 & 8, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1999.

• [DV] Da Vinci, L., Tratado de Pintura. Biblioteca de la Literatura y el Pensamiento Universales, Editora Nacional, Madrid, 1980.

• [D] Dunlap, R. A., The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scienti¯c. Singapore. 1997. • [E] Euclides, Los Elementos. UNAM, 1980. • [Ha] Hansen, V. L., Geometry in Nature. A.K. Peters Wellesley, Massachusetts, 1993. • [H] Huntley, H.E., The divine proportion: A study in Mathematical Beauty. Dover Pub. Inc. New

York, 1970. • [K] Kappraff, J., Conections. The geometric bridge between art and science. McGraw-Hill, Inc.,

USA, 1991. • [V] Vaida, S., Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications,

Halsted Press: a division of Jhon Wiley & Sons, New York, 1989. • [Vo] Vorobyov, N.N., Los Números de Fibonacci. Ed. Limusa, México, 1973.

Referencias Electrónicas: Hay una gran cantidad de páginas en internet que contienen información sobre los temas aquí expuestos, algunas de ellas son las siguentes: http://www.brantacan.co.uk http://www.biologia.edu.ar/botanica/tema2/tema2_7filotaxis.htm http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html http://www.ibiblio.org/wm/paint/ http://www.ies.co.jp/math/java/misc/oum/oum.html http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate4j.htm http://www.math.smith.edu/~phyllo

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Proporciones y Números. Rogelio Fernández- Alonso González

Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Iztapalapa.

1. Cantidades discretas y continuas .

En la vida cotidiana podemos separar de manera muy general dos tipos de cantidades: las que contamos y las que medimos. En matemáticas esto corresponde a las cantidades discretas y continuas, respectivamente. Detrás de esta sutil diferencia, se encuentran dos tipos de números que usamos diariamente: los naturales, que forman el conjunto infinito {O, 1,2, ...}, y los racionales1, o comúnmente llamados quebrados, que son cocientes de números naturales2, y finalmente los números reales que son los que corresponden a los puntos sobre una recta.

Actividad.

Material para cada equipo: Medio kilo de frijol, medio kilo de arroz o algún material de granos finos, 5 círculos de cartulina, de 10 cm de diámetro. Se realizan los siguientes pasos:

1) Contar el número de frijoles repartidos.

2) Intentar contar el número de granos de arroz repartida.

3) Medir el área de los círculos de cartulina.

_________________________

1 Para efectos prácticos de medición, usualmente basta considerar a los naturales y a los racionales positivos. En algunos casos, como en la contabilidad, es necesario distinguir entre dos maneras de contar o medir, y para ello se consideran también números negativos.

2 De hecho, los racionales reflejan una propiedad llamada densidad. La continuidad es reflejada de manera exacta por los números reales, que abarcan tanto a los racionales como a los irracionales, pero esa... es otra historia.

2. Proporciones y Porcentajes.

Las proporciones de utilizan para comparar dos cantidades, sean discretas o continuas. La vida cotidiana está llena de aplicaciones de este concepto, como lo indican los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Si un mapa, está a escala 1 :300, eso significa que las distancias reales son trescientas veces más grandes que las representadas en el mapa.

Ejemplo 2. Si una receta de cocina pide como ingrediente 3/8 de tazas de leche, primero debemos medir un tercio de taza y luego contar ocho de dichas medidas.

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Ejemplo 3. Si un candidato a presidente es elegido por obtener el 35% de los votos, esto significa que el número de votos que obtuvo se puede calcular dividiendo el total de votos en cien partes y contando 35 de dichas partes.

Ejemplo 4. Si nos fijamos en la relación que existe entre la circunferencia de un círculo y su diámetro obtenemos un número que resulta ser de esos que llamamos irracionales" es el número π.

En estos ejemplos podemos darnos cuenta de la importancia de unidades respecto a las cuales se hace la comparación, En el primer ejemplo, la unidad de medición puede ser el centímetro; en el segundo es la taza y en el tercero el total de votos. Las cantidades que queremos medir o contar se obtienen a partir de dichas unidades multiplicando por un número racional; en los ejemplos se multiplica por 300/1, 8/3, 35/100, π/1.

El último ejemplo merece mención aparte y no nos ocuparemos aquí de ese tipo de números, La proporción utilizada en el penúltimo se llama porcentaje, porque siempre se divide la unidad considerada en cien partes iguales, Cuando se usan porcentajes la unidad siempre se considera como el total de objetos que se va a contar o medir,

Actividad.

Material para cada equipo: Medio kilo de frijol, medio kilo de arroz o algún material de granos finos, 4 círculos de cartulina, de 10 cm de diámetro: dos recortados en tres "rebanadas de pizza" desiguales, y dos recortados en tres partes iguales.

1) Dividir las cantidades de frijol, y arroz en un cierto número de partes iguales y representar físicamente con los dos tipos de material algunos ejemplos de proporciones, considerando una unidad específica (por ejemplo, decena de frijol) o bien la totalidad de los granos.

2) Utilizando las partes iguales de los círculos recortados, considerar una unidad específica (por ejemplo, un décimo de círculo) para encontrar la representación numérica de las partes desiguales de los círculos recortados.

3) Considerando como unidad la, totalidad del círculo, encontrar los porcentajes que representan las partes desiguales de los círculos recortados.

3. Números Grandes.3

A medida que nuestra civilización avanza, números cada vez más grandes entran en escena para contar las cantidades discretas que aparecen en diversos aspectos.

Estos son algunos datos numéricos del orden de un millón, mil millones y un billón, respectivamente:

Poder destructivo de los arsenales 1 millón de ciudades nucleares a fines de los 1 millón de ciudades como Hiroshima

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ochenta: Número de segundos en un año: 31.7 millones Muertes en la Segunda Guerra Mundial: 60 millones Distancia de la Tierra al Sol: 150 millones de km. Población de la Tierra en tiempos de Cristo: 250 millones de hab,

Longitud de la órbita de la Tierra alrededor del Sol: 1,000 millones de Km

Edad de la Tierra: 4,600 millones de años Población actual de la Tierra (estimación): 6,000 millones de hab, Presupuesto de defensa de Estados Unidos: 300,000 millones de dls.

PIB de todos los países deAfrica Subsahariana: 322, 000 millones de dls

PIB de México: 630,000 millones de dls, Retroceso de la Bolsa de Valores de NY en la semana del 14 al 21 de Julio de 2002: 750, 000 millones de dls

Peso de todas las plantas de la Tierra: 1 billón de toneladas Gastos militares mundiales anuales: 1 billón de dls, PIB de todos los países de América Latina y de Caribe: 2 billones de dls

Pérdidas en Wall Street de marzo de 2000 a julio de 2002 7.7 billones de dls

PIB de Estados Unidos: 9.8 billones de dls, Valor de la economía de todos los países del mundo en un año: 31.5 billones de dls

Distancia de nuestro sistema solar, a la estrella más cercana (Alfa Centauri): 40 billones de Kms

Manejar estos números se convierte en algo cada vez más difícil. De ahí la necesidad de utilizar la notación exponencial. Se trata de expresar el número contando los dígitos que se necesitan para expresarlo normalmente. Esto corresponde a la potencia de diez más cercana al número en cuestión.

____________________

3 [AS] y [SA]

En la siguiente tabla aparecen en la columna izquierda, algunas potencias de diez que representan grandes números; para dar una idea de su tamaño, aparece en la columna derecha el tiempo que llevaría contar desde uno hasta dicho número, si lo hiciéramos a razón de una cifra por segundo:

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Número Tiempo que llevaría contar desde uno hasta el número, una cifra por segundo

1 1 segundo 103 17 minutos

1006(un millón) 12 días 109(mil millones) 32 años 1012(un trillón) 32,000 años

lO15(mil billones) 32 millones de años 1018(un trillón) 32,000 millones de años

Con la notación exponencial podemos hablar de números todavía más grandes. A continuación se enlistan los nombres que reciben algunos de estos números así como su representación en notación exponencial: un millón (106), mil millones (109), un billón (1012), un trillón (1018), un cuatrillón (1024), un quintillón (1030), un sextillón (1036), un septillón (1042), un octillón (1048), un nonillón (1054) y un decillón (1060).

Parece increíble que éstos números aparezcan en la realidad, pero así es. A continuación se aportan algunos datos que los involucran:

Número de microbios en una cucharadita de tierra 108

Número de granos de arena en todas las playas de la tierra: 1020

Número de seres vivos en toda la Tierra 1029 Número de átomos en toda la biosfera: 1041 Número de núcleos atómicos en el Sol: 1057 Número de partículas elementales en todo el cosmos: 1080

4. Leyenda de la invención del Ajedrez.

El ajedrez es un juego apasionante por varias razones. A continuación presentamos la leyenda de la invención del ajedrez como una curiosa situación que, sin parecerlo, involucra un número muy grande

Actividad.

Material por equipo: Medio kilo de arroz o un material de grano fino. También un tablero de ajedrez.

Colocar granos sobre el tablero, comenzando por una esquina con un grano y prosiguiendo con las siguientes casillas, colocando en cada casilla el doble de granos que en la casilla. anterior.

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Leyenda de la invención del juego de ajedrez.4

Hace mucho tiempo, en la antigua Persia (aunque también pudo haber ocurrido en la India o incluso en China, el gran visir, el primer consejero del rey, había inventado un nuevo juego sobre un tablero de 64 casillas rojas y negras, organizadas en ocho filas y ocho columnas. La pieza más importante era el rey, y cuyo objetivo era capturar al rey enemigo. En consecuencia, recibió en lengua persa el nombre de shahmat, que significa muerte al rey5. El rey se sintió tan complacido que pidió al gran visir que determinara su recompensa por tan maravillosa invención. Este explicó que deseaba una modesta gratificación: solicitó que el rey le entregase un solo grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente, siempre duplicando el número de granos de trigo de la casilla anterior. El rey pensó que el premio solicitado era harto mezquino y le ofreció joyas, bailarinas, palacios. Todo fue rechazado por el gran visir, y el rey, fascinado por la humildad de aquel, finalmente accedió. Sin embargo, cuando el senescal estaba contando los granos, el rey recibió una desagradable sorpresa. La cantidad de trigo que el gran visir había pedido equivalía a 150 veces la producción actual de trigo en todo el mundo.

Usando la notación exponencial en base 2, es posible realizar el cálculo exacto del número total de granos que deberían estar sobre el tablero, como se explica a continuación:

Sea S el número total de granos de trigo en el tablero, es decir:

S = 1 + 2 + 22 + 23... + 262 + 263

Multiplicando por 2 ambos miembros de la ecuación se obtiene:

2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 + 264

Restando la primera ecuación de la segunda:

S = 2S - S = 264 - 1

Hagamos ahora una aproximación de este número usando la notación ordinaria en base 10. Si 210 se aproxima a 1000, es decir, 103, entonces 260 = (210)6 es aproximadamente (103)6 = 1018. Así que 264 = 24 X 260 = 16 X 260 es aproximadamente 16 x 1018, es decir, 16 seguido de 18 ceros o 18 trillones de granos. Una aproximación más exacta es 18.6 trillones de granos. El peso de esta, cantidad de granos de trigo es de 75, 000 millones de toneladas. Esto es equivalente a toda la producción actual de trigo en todo el mundo multiplicada por 150.

A continuación se presentan tres aplicaciones de los números en notación exponencial en tres áreas muy distintas, que tienen además particular interés en la actualidad.

__________________________

1 [SA] capítulo 2. 5 De hecho en español el movimiento final se llama jaque mate, y en inglés checkmate .

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5. Interés simple y compuesto.6

Cuando se invierte cierto capital a un banco, se considera una tasa específica que indica el porcentaje del capital, o interés, que el banco paga al ahorrador por el hecho de haber tenido el capital guardado un determinado tiempo. La diferencia entre interés simple e interés compuesto es que en el primer caso el capital sobre el cual se calcula la tasa es el mismo, y en el segundo caso, el interés obtenido se adjunta al capital, aumentándolo, de tal forma que el nuevo interés se calcula a partir del nuevo capital aumentado.

Supongamos que un antepasado nuestro haya ingresado 10 dólares en un banco hace 200 años.7 A continuación se presenta una tabla que contiene la fortuna en dólares que tendríamos hoy con diversas tasas de interés anual, tanto con interés simple, como con interés compuesto.

Tasa Capital, con interés simple Capital, con interés compuesto 5% 10 + 200 (10 x .05) = 1, 010 10 x (1.05)200 = 172,926 6% 10 + 200 (10 x .06) = 1,210 10 x (1.06)200= 1,151,259 7% 10 + 200 (10 x .07) = 1,410 10 x (1.07)200 = 7,529,316 10% 10 + 200 (10 x .1) = 2,010 10 x (1.1)200= 1,899,052,765

En el primer caso, al capital inicial (10 dólares) hay que sumar los intereses (que son los mismos con una tasa específica) generados durante 200 años. En el segundo caso, el cálculo del capital variable es como sigue, suponiendo que la tasa de inversión es t: al término del primer año el capital es de 10+ 10 x t = 10 x (1 + t) , al finalizar el segundo año, el capital es de 10 x (1 + t) x (1 + t) = 10 x (1 + t)2 , Y al término de 200 años, es de 10 x (1 + t)200.Es interesante notar que en el caso del interés simple la fórmula con la que se calcula el dinero que se obtiene después de 200 años es una multiplicación en la que el interés se multiplica por una constante (en este ejemplo esa constante es 2000) y luego se suma al capital sin embargo en el interés compuesto se eleva a la potencia 200 ( número de años) uno más el interés con lo cual es claro que en el caso del interés compuesto el crecimiento será mayor es lo que se llama un crecimiento exponencial.

Nótese la gran diferencia entre ambos tipos de interés. En el caso del interés compuesto, a un pequeño cambio en las tasas le corresponde un gran cambio en el capital.

6. Crecimiento de Población.8

Durante la mayor parte del tiempo en que la Tierra ha sido habitada por seres humanos su población ha permanecido estable. A partir de la, invención de la agricultura la población comenzó a crecer, entrando en una fase exponencial. Actualmente la población mundial tarda unos cuarenta años en duplicarse. Suponiendo que este periodo de duplicación se mantiene constante, a continuación se muestra la población humana aproximada en algunos años venideros. _____________________ 6 [SA] Capítulo 2. 7 Si utilizamos dólares y no pesos no es por malinchismo, sino porque el dólar ha sido más estable a lo largo de dos siglos. 8 [SA], capítulo 2.

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Año Población Mundial (millones de personas) 2000 6000 2040 12,000 2080 24,000 2120 48,000

Así pues, es urgente que consigamos detener el crecimiento exponencial en este siglo.

7. Decaimiento radiactivo .

Un material radiactivo como el plutonio, el uranio, o el carbono 14, se "desintegra" transformándose en otra forma o isótopo del mismo material. Esta desintegración no es inmediata. La vida media de este material es el periodo de tiempo que le lleva desintegrarse a la mitad. A continuación se presenta una tabla con el tiempo que transcurre cuando un kilogramo de algún material radiactivo se va desintegrando. Se supone que la vida media de dicho material es de un año.

Tiempo transcurrido (años)

Cantidad de material (kilos)

O 20 = 1 1 2-1 = 1/2 2 2-2= 1/4 3 2-3 = 1/8 10 2-10= 1/1024

Obsérvese como la notación exponencial también puede echar mano de exponentes negativos en un fenómeno de decrecimiento como éste.

Una aplicación importante de este fenómeno es la posibilidad de calcular con gran precisión el tiempo transcurrido a partir de un suceso. A continuación presentamos la siguiente tabla de eventos de los que se ha podido conocer su antigüedad gracias a la desintegración radiactiva.

Evento Tiempo transcurrido (años) Elaboración del Santo Sudario

de Turín 500 Primeras hogueras prendidas

por humanos 2 millones Fósiles más antiguos en la

Tierra 3500 millones

Formación de la Tierra 4600 millones

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[AS] Asimov, Isaac, Only a Trillion, Ace Books, New York, 1976. [SA] Sagan, Carl, Miles de Millones, Editorial Biblioteca de Bolsillo, España, 2000. [PE-A] Perelman, Y. Algebra Recreativa, Ediciones Quinto Sol, México, 1993. [PE-M] Perelman, Y., Matemáticas Recreativas, Editorial Mir, Moscú, 1971. Interest and Exponential Growth Table http://www.math.com/tables/general/interest.htm Suzanne's Math Lessons: Graphing http://forum.swarthmore.edu/alejandre/spreadsheet.html http://www.thirteen.org/edonline/lessons/grphing/b.html Exponential Growth and Decay http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/exp/Q.exp.html

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Estadística Felipe Alfaro Aguilar

Indice

1. Introducción 2. Organización y representación de datos 3. Correlación y regresión lineal simple 4. Inferencia estadística 5. Bibliografía 6. La Estadística en Internet

Introducción

En el ámbito internacional, actualmente el interés por la enseñanza de la Estadística está cobrando un auge cada vez más considerable, los investigadores pedagogos y prestigiadas instituciones educativas están apoyando decididamente su impartición en las escuelas desde los niveles educativos más básicos. La razón de este movimiento se debe a la gran importancia que está adquiriendo, por su carácter instrumental, en prácticamente todas las disciplinas del quehacer humano.

Investigadores de la educación han señalado la conveniencia de educar estadísticamente a los futuros ciudadanos, ya que éstos se verán en la constante necesidad de leer e interpretar eficientemente tablas y gráficos estadísticos, que con frecuencia aparecen en los medios de comunicación. Además de la utilidad que, por supuesto, representa para el futuro desarrollo profesional de los jóvenes estudiantes, pues gran parte de las actuales opciones educativas requieren de ella un mínimo de conocimientos elementales (Holmes, 1980).

Dentro del ambiente docente la Estadística es necesaria al menos para llevar a cabo las siguientes 4 tareas (ICE 2001):

1. "Lectura de literatura profesional. La investigación en ciencias de la educación emplea la Estadística como una herramienta habitual en la realización de cualquier experimento. Por lo tanto, el profesor que quiera estar al día respecto a la enseñanza de su disciplina debe estar en condiciones de poder comprender textos de investigación docente.

2. Conocimiento de la clase. El profesor se enfrenta a la tarea de la educación de unos alumnos ubicados en una clase, centro escolar y contexto social concreto, que van a interaccionar con sus características personales. El conocimiento profundo de este contexto en que está involucrado el alumno resulta de vital importancia para el educador y no será posible sin el análisis estadístico de los datos individuales de los elementos del contexto.

3. Diagnosis didáctica. El profesor, a la hora de tomar decisiones acerca de sus alumnos, contará con el apoyo del análisis comparativo de la situación relativa de cada individuo en su clase, distintas asignaturas y distintas variables psico-sociológicas. También la propia actividad del profesor puede verse mejorada tras un análisis del rendimiento

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escolar del grupo en su conjunto. Estas tareas requieren tratamientos estadísticos simples de los datos de los alumnos.

4. Investigación y predicción. El profesor puede estar interesado en averiguar si una nueva técnica didáctica es realmente más efectiva para el rendimiento de sus alumnos, que la usada por él hasta ahora. O en saber el efecto que producen variables familiares, rasgos psicológicos en la destreza del alumno en realizar tal o cual tarea. Este tipo de trabajos requieren el uso de métodos estadísticos"

2.Organización y representación de datos.

Un estudio estadístico se desarrolla en las siguientes etapas:

1. Recolección de datos, 2. Presentación de resultados en tablas y gráficos, 3. Análisis matemático de los datos y 4. Conclusiones.

Vamos a comenzar a desarrollarlas con algunos ejercicios muy sencillos

ACTIVIDADES A DESARROLLAR

Ejemplo 1.

a. Frecuencia absoluta y relativa.

Se desea conocer qué recuerdan los profesores de algunos aspectos como son las formas de representación gráfica (sectores, barras, líneas, frecuencia absoluta, la media, la moda, etc.) Sería muy interesante realizar una encuesta sobre algunos aspectos sociales, para después plasmarlo en una tabla de datos. Los aspectos a preguntar pueden ser muy variados y se podrían decidir en grupo.

b. La media.

La media es un parámetro de centralización que sólo se da en conjuntos numéricos. No todos los conjuntos de datos tienen media. Es una cantidad que representa un conjunto de datos, pero no se debe olvidar que no tiene porqué ser real y, además no nos aporta información sobre cómo se distribuyen los datos. Es interesante que los profesores conozcan y comenten la conocida paradoja de que si una persona come un pollo y otra persona no come ninguno, la media dirá que cada uno se ha comido una mitad. Es bueno que practiquen, y para ello se pueden proponer muchos cálculos de medias estadísticas deportivas, datos de prensa, espectadores de televisión, estatura de la clase, temperatura diurna, etc.

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c. La moda.

La moda existe en todos los conjuntos de datos, ya que es el valor que más se repite. Incluso puede haber varias modas, si varios datos de repiten un mismo número de veces.

d. Los gráficos de sectores.

Puede ser interesante acabar todas las encuestas y muestreos que hayan realizado elaborando un gráfico de sectores de cada uno de ellos. Deben fijarse en que el sector que ocupa más superficie corresponde al dato que es moda de la muestra.

Ejemplo 2.

Se les proporciona un texto a cada grupo. Tras la lectura del texto deberán elaborar una serie de conclusiones que quedarán registradas en un cuadro de frecuencias. A partir de estos datos, los profesores calcularán la media, moda y mediana. Posteriormente confeccionarán un gráfico (barras, sectores, lineal, etc.)

En el caso de los alumnos, esperamos que con todos estos datos y muchos más, éstos se verán más familiarizados con el mundo estadístico de una forma fácil y amena. Los alumnos podrían debatir y comentar todos los aspectos que quieran en clase. Pueden comunicar datos al resto de los grupos. Al final de cada actividad se hará una puesta en común de todos los grupos unificando los datos y los resultados obtenidos.

Tras estas actividades, los profesores pueden empezar ya a elaborar otros gráficos algo más complicados: densidad de población, natalidad, mortalidad, migraciones... para cuya elaboración se les proporcionarán datos actualizados de México.

También pueden realizar la lectura e interpretación de gráficos como el siguiente. Haciendo una valoración final de los aspectos más resaltados e importantes.

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Ejemplo 3. Un estudio más completo

Con base a la siguiente pregunta:

¿Cuántas letras suelen tener las palabras en nuestro idioma?

Desarrollar los siguientes pasos:

Paso 1: Recogida de datos.

De un texto que les entregaremos elijan al azar una línea y empiecen a contar las letras de cada palabra (sólo aquellas que no tengan mas de 15 letras) Cambia de página y de línea de cuando en cuando. Toma nota en la tabla de abajo, haciendo marcas de la forma: ////

Continuar hasta rellenar la tabla con 200 datos como mínimo.

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TABLA DE RECOLECCIÓN DE DATOS

# de letras

Palabras encontradas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

88

Paso 2. Presentación de resultados en tablas y gráficos.

Escribe el número de marcas en cada renglón en la columna de la frecuencia:

Dato X Frecuencia

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

¿Qué te llama la atención de esta tabla?

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Si no se te ha ocurrido nada, te ayudo con preguntas: Se llama MODA al valor más frecuente:

¿Cuál ha sido la MODA de esta tabla?

¿La ves simétrica o asimétrica (es decir, no simétrica)?

¿Por qué ha salido así?

¿Están los valores concentrados o dispersos?

GRÁFICO

En este caso el gráfico más adecuado es el de barras. Sigue estas instrucciones para dibujar el gráfico en el hueco de abajo:

- En el eje X escribimos los números del 1 al 15 bien ordenados a intervalos iguales.

- Sobre cada número dibujamos una barra, que será proporcional a la frecuencia, a mayor frecuencia, barra más alta. Si quieres hacerlo bien usa una proporción: "Si a la frecuencia 10 le doy 2 centímetros, a la frecuencia 16 le daré X"

- Escribe bien los títulos en los dos ejes.

DIBUJO DEL GRÁFICO

Comenta lo que te llame la atención:

Debería haber salido como una campana asimétrica ¿Es así? Si no lo es, no importa, porque a cada equipo le habrá salido con una forma distinta.

Compara tu gráfico con los equipos de al lado. ¿Se parecen?

Paso 3: Análisis Matemático

Ya hemos visto lo que es la MODA: el valor más frecuente. Ahora veremos la MEDIANA y la MEDIA:

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MEDIANA en una tabla es el valor que está en el centro. ¿Cómo lo averiguamos? Si tenemos 200 datos será el dato que ocupe el lugar entre el 100 y el 101. Razona bien cuál sería.

Compara las tres cantidades y coméntalo:

MODA: _______ MEDIANA: __________ MEDIA: _______

Estas cantidades se llaman medidas centrales. ¿Por qué se llamarán así? Explícalo.

Ejemplo 4. Una escala de actitudes consta de 50 proposiciones ó ítems acerca de la enseñanza de la Estadística. Hemos elegido dos de éstas:

1. Sólo deberían estudiarla los especialistas en Estadística 2. Es un instrumento imprescindible para un profesor.

Contestaron 80 personas en una escala de 1 a 5 (desde total desacuerdo hasta total acuerdo) y se obtuvieron estos resultados:

Puntuaciones f1 f2 1 30 4 2 15 9 3 25 23 4 6 34 5 4 10

a. ¿Se debe preferir la media o la mediana como índice de tendencia central? ¿Por qué? b. Calcula la más adecuada para ambas proposiciones. c. Comenta a partir de ellas el grado de acuerdo de la muestra ante las dos proposiciones.

Ejemplo 5. En la siguiente tabla aparecen las distribuciones de frecuencias de la variable X: puntuación obtenida en una prueba de la asignatura de Química realizada en cuatro grupos A, B, C y D de primero de Bachillerato de 100 alumnos cada uno. Compara estas distribuciones visualmente, sin ningún tipo de cálculo, en cuanto a propiedades estadísticas (tendencia central, variabilidad, simetría,...) y ofrece al profesor de cada grupo sugerencias didácticas para optimizar el funcionamiento de la clase.

Puntuación A B C D 10 5 2 1 6 9 10 5 2 8 8 15 8 3 9 7 22 10 6 10

91

6 16 15 8 11 5 12 20 12 12 4 8 15 16 11 3 6 10 22 10 2 3 8 15 9 1 2 5 10 8 0 1 2 5 6

3.Correlación y regresión lineal simple.

Un caso particular del campo de problemas del que emerge la asociación estadística es realizar un juicio de asociación en una tabla de contingencia 2x2, como la que se muestra en el ítem 1.

Ítem 1: En un centro médico se han observado a 250 personas para observar si el hábito de fumar tiene alguna relación con los trastornos bronquiales, obteniendo los siguientes resultados:

Fuma No fuma

Total

Padece trastornos bronquiales 90 60 150

No padece trastornos bronquiales

60 40 100

Total 150 100 250

Usando la información contenida en la tabla,

¿Se podría pensar que, para esta muestra, los trastornos bronquiales dependen de fumar?

Razone la respuesta.

92

Ítem 2: Al medir la presión sanguínea antes y después de haber efectuado un tratamiento médico a un grupo de 10 personas se obtuvieron los siguientes valores:

Presión sanguínea en cada mujer

Mujer Sra. A

Sra. B

Sra. C

Sra. D

Sra. E

Sra. F

Sra. G

Sra. H

Sra. I Sra. J

Antes del tratamiento

115 112 107 119 115 138 126 105 104 115

Después del tratamiento

128 115 106 128 122 145 132 109 102 117

Usando la información contenida en esta tabla,

¿Piensa que la presión sanguínea en esta muestra depende del momento de que se tome, antes o después del tratamiento?

Razone la respuesta.

Ítem 3: En un estudio sociológico, se han recogido datos relativos a la tasa de natalidad y el consumo diario de proteínas animales en diferentes países representándolos en el gráfico de la figura 1. ¿Cree que la relación entre el consumo diario de proteínas animales y la tasa de natalidad en los diferentes países es directa, inversa o no existe relación entre estas variables? Razone su respuesta.

Ítem 4: Numerosas investigaciones señalan que ver la televisión con asiduidad afecta al rendimiento escolar de los niños. Se ha preguntado a 10 niños de 6º de Primaria el número de horas semanales que dedican a ver la televisión (Variable X) Hemos llamado variable Y a la nota media de la última evaluación. Los datos obtenidos son los siguientes:

X Y 9 5 10 6 4 10 10 7 8 4 6 6 4 9 9 8 5 8 3 9

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a) ¿Compruebe gráficamente si hay relación lineal entre las dos variables?

b) ¿Qué conclusión se puede obtener de dicho resultado?

4.Inferencia estadística.

POBLACIÓN Y MUESTRAS

Distinguir entre una muestra y una población es fundamental en un estudio estadístico. Lo siguiente ilustra esta diferencia a la perfección:

Supongamos que se desea inspeccionar una nueva marca de cerillos. Encenderlos a todos ellos para probar que funcionan bien, seria tan absurdo como intentar medir la contaminación de un río examinando toda el agua que pasa por él.

¿PARA QUE SIRVE LA INFERENCIA ESTADÍSTICA?

La inferencia estadística responde a preguntas como las siguientes:

¿Por qué una encuesta de 1000 o 1500 personas permite predecir bastante bien el resultado de la elección con 8 millones de votantes?

¿Cómo se logra este resultado?

¿Cómo se mide la precisión del resultado?

EL EJEMPLO DEL TIMSS

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Un ejemplo que encaja perfectamente por la relevancia y las repercusiones que ha tenido es la evaluación internacional (TIMSS) en la que participó nuestro país en 1995, sobre Matemáticas y Ciencia para estudiantes de la escuela primaria y secundaria. Dicha evaluación, por supuesto, no se realizó sobre todo el universo de estudiantes involucrados que son varios millones, lo que resultaría muy costoso tanto en tiempo como económicamente; en su lugar, lo que se hace es seleccionar adecuadamente una muestra representativa de los estudiantes, y sólo a ellos se practican las evaluaciones. Posteriormente, las evaluaciones obtenidas para esta muestra se extienden al conjunto completo de estudiantes.

PREGUNTAS EN UN MUESTREO

1. Imagina que de la población formada por todos los alumnos de tu escuela, extraes aleatoriamente una muestra de 40 alumnos, y les preguntas por su edad, encontrando que la edad media obtenida es de 15,8 años. Pero,

¿Qué ocurriría, si extrajéramos otra muestra?

¿Coincidirían las medias?

¿Y coincidirían con la media de la población, es decir, con la media de toda la escuela?

Lo cierto es que parece lógico pensar que aunque no tengan porqué coincidir, si deberían estar bastante próximas. Pero,

¿Cuán próximas?

¿Dependería esta proximidad del tamaño de las muestras que elegimos?

2. Un profesor quiere medir la eficacia del uso sistemático de la hemeroteca para la enseñanza de la historia contemporánea. Este profesor no puede realizar un estudio que involucre a todos los estudiantes de todo el país, así que decide realizar un experimento con los dos grupos de los cuales el mismo es profesor. En primer lugar confecciona una prueba de conocimientos previos de un tema de la asignatura y la pasa a sus alumnos. En la clase A, aparte de la clase habitual, pide a sus alumnos que lean algunos periódicos que reflejen algún aspecto del tema. En la clase B, se limita a dar su clase habitual. Cuando acaba de explica el tema examina a sus alumnos. Ahora, con ayuda de la Estadística, puede responder algunas preguntas como:

¿Obtienen mejores notas los alumnos de la clase A que los de la clase B?

¿Partían del mismo nivel de conocimientos previos?

¿Podría este hecho influir sobre los resultados del experimento?

¿Se pueden generalizar los resultados del experimento de este profesor?

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ACTIVIDADES DE MUESTREO

1.-Encuentra en un periódico o revista, un artículo o información en la que a tu juicio se esté haciendo uso de una muestra.

2.-Utilizando una tabla de números aleatorios, elige 15 elementos de una población numerada del 1 al 89.

3.- Di de que forma elegirías una muestra de 50 alumnos de tu escuela, por muestreo aleatorio simple, sistemático y estratificado (cada estrato una clase, o un nivel)

4.- Establece un método para elegir una muestra de vecinos de una calle.

5.- Si pretendieras hacer una encuesta a una muestra de tamaño 50, ¿cómo la tomarías?, ¿Sería indiferente el aspecto estadístico que tuvieras que estudiar?

6. - Un hospital dispone de un listado de los pacientes, organizados por áreas de atención (neurología, traumatología, etc.) Dí que tipos de muestreo podrían realizarse, y como los harías.

7.- Para realizar una encuesta sobre el consumo de un producto en una ciudad, se tomó una muestra de forma que de cada barrio se consultaba a un número de personas proporcional a la superficie ocupada por el barrio. ¿Te parece un método fiable?. Escribe un comentario.

8.- Un mayorista de alimentos, quiere enviar muestras de sus productos, a una muestra de supermercados. Elige de las 5 grandes cadenas de supermercados, una muestra de cada una, y manda sus productos para ponerlos a prueba. ¿Qué tipo de muestreo está utilizando?

Bibliografía. Batanero, C. (1998) Recursos para la educación estadística en Internet. UNO, 15, 13-26. Batanero C., Godino J., Estepa A., (1998) Construcción del significado de la asociación estadística mediante actividades de análisis de datos. Proceedings of the 22nd Conference of the International Group for he Psychology of Mathematics Education (Research Forum), Vol 1: 221-236. Batanero C. (2000) Controversias sobre el papel de los contrastes estadísticos de hipótesis en la investigación experimental. Mathematical Thinking and Learning, 2(1-2), 75-98. Número monográfico sobre Educación Estadística. Batanero C. (2001) Presente y Futuro de la Educación Estadística. Jornadas europeas de estadística. (http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Bataneromallorca.doc) Cañizares J., Estepa A., Batanero C., (2000) Perspectiva de la investigación del grupo de trabajo: Didáctica de la Probabilidad, Estadistica y Combinatoria. IV Simposio SEIEM. Cobo, B. (2001) Problemas y algoritmos relacionados con la media de los libros de texto de secundaria. Jornadas europeas de la Estadística.

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La Estadística en Internet.

Direcciones de páginas Web educativas

Nombre/Tema Lo que contiene la

página

Dirección

Grupo de Educación Estadística. Univ. de Granada

Web que incorpora mucha documentación acerca de la didáctica de la Estadística y la Probabilidad

www.ugr.es/~batanero/

Estudios sobre didáctica de la Estadística

Directorio de artículos de investigación docente

www.ugr.es/~batanero/ListadoEstadistica.htm

97

Net-Stat Toda la Estadística de la red en una sola página

www.e-biometria.com/ebiometria/net-stat/net-stat.htm

Centro nacional de inf. y comunicación educativa

Recursos para el aula

http://www.pntic.mec.es/recursos/secundaria/matematicas/

Página del Centro Comenius de la USACH

Contiene información acerca de Enlaces, Matemática en la Red y otras actividades del Centro

Redemat Simplifica la búsqueda de información sobre Matemáticas

http://www.redemat.com/redemat.html

Educación Matemática e Internet

Una introducción para profesores de secundaria. Obtención de softwares

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/internet/sevilla1.htm

Instituto de Ciencias de la Educación

Estadística para profesores. Plan experimental de Tele enseñanza

www.unizar.es/ice/asignaturas/estadistica/estadistica.html

Universidad de Chile

Curso Probabilidades y Estadística para profesores. Innovaciones Didácticas para la Enseñanza

http://www.ideamas.cl/cursoProb/material.html

Programa Descriptiva

Recursos educativos para profesores

http://www.ucv.cl/web/estadistica/

Proyecto Descartes

Material didáctico de

http://www.pntic.mec.es/Descartes/index.html

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matemáticas para secundaria

Platea Pagina personal (premiada) sobre matemáticas educativas

http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4/

Redemat Trabajo premiado en el concurso de materiales curriculares

http://www.redemat.com/apuntes.html

TeeChartOffice Herramienta Gratuita de Gráficos

Estadísticos y de Negocio.

http://www.teemach.com/products/TeeChartOffice/index_spanish.htm

Jornadas europeas de estadística.

La enseñanza y la difusión de la estadística

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/cast/eprograma.htm

Sicomoro Herramientas escolares.

Softwares educativos, varios niveles

http://www.sicomoro-2.com/~lopez_sa/herramientas_escolares.htm

99

PPrroobbaabbiilliiddaadd

Felipe Alfaro Aguilar ÍÍnnddiiccee

1. Introducción 2. Método de frecuencias relativas 3. Método de Laplace 4. Paradojas 5. Juegos 6. Bibliografía 7. La probabilidad en Internet

11.. IInnttrroodduucccciióónn En la actualidad, en muchos países se están desarrollando nuevos currículos de enseñanza

secundaria, que reflejan un cambio en la creencia de cómo se debe enseñar la probabilidad. Hasta hace poco, la probabilidad se pudo incluir desde el comienzo de la educación secundaria. La metodología que recomiendan pretende ayudar a los estudiantes a construir concepciones e intuiciones correctas sobre los sucesos aleatorios, ya que diversos investigadores han llamado la atención sobre el pobre razonamiento probabilístico en sujetos adultos (Serrano, 1999).

Para esta sesión abordaremos los diferentes elementos que integran la probabilidad. En

particular nos interesa la probabilidad aplicada al mundo real ya que el uso constante que hacemos de ella lo justifica. Esta disciplina que desde su nacimiento ha estado estrechamente relacionada con los juegos de azar. La preocupación por la equitatividad de los juegos, el volumen de las apuestas y el reparto de las ganancias han sido los grandes motivadores e impulsores en el desarrollo de esta teoría. En resumen, la idea central es aprender jugando.

CONCEPTOS BÁSICOS

El azar que por definición representa todo aquello que no se puede prever ni evitar, sin embargo, tiene sus reglas. Cuando participas en la Lotería sabes que si adquieres muchos billetes tienes más oportunidades de ganar, que si sólo adquieres uno. Pero también es verdad que, por muchos billetes que hayas comprado, si no los tienes todos, nunca tendrás la seguridad de conseguir un premio.

Experimentos como participar en la Lotería, lanzar una moneda al aire, tirar los dados, el sexo de los próximos recién nacidos, y el tiempo de viaje del D. F. a Guadalajara en automóvil, se

100

llaman experimentos aleatorios, y se caracterizan por no poder conocer el resultado hasta que el experimento se haya realizado, ya que se trata de fenómenos en los que interviene el azar.

En cambio, si el resultado se conoce desde antes de empezar el acto, entonces estamos ante un experimento determinista. Ejemplo: Antes de calentar el agua, sabemos que hervirá cuando llegue a 100o C.

Los experimentos aleatorios quedan, por decirlo de alguna manera, ubicados entre dos tipos de experimentos deterministas, los que corresponden a eventos imposibles y los eventos seguros. En el juego de la Lotería, el evento imposible es ganar sin tener billetes, y el evento seguro es ganar comprando todos los billetes. Ambos son experimentos deterministas porque el resultado de los dos eventos se conoce desde antes de realizar el sorteo. Éstos son los casos extremos, los eventos seguros, que siempre acompañan a un experimento aleatorio.

ganar ganar con ganar con

sin billetes algunos billetes todos los billetes

Evento imposible

E x p e r i m e n t o s

a l e a t o r i o s

Evento Seguro

22.. MMééttooddoo ddee ffrreeccuueenncciiaass rreellaattiivvaass

Los experimentos aleatorios, si bien son impredecibles, unos tienen más oportunidad de suceder que otros. Por ejemplo, sabemos que es imposible determinar si lloverá el próximo 15 de enero o el 15 de agosto de 2003, pero si podemos decir que usualmente llueve con más frecuencia en agosto que en enero, y por tanto, hay más confianza en que llueva el día 15-08-03.

101

¿Cómo medir este grado de confianza? Para responder a esta pregunta consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire, que tiene dos eventos: “águila” o “sol”. Sabemos que el resultado es impredecible, lo mismo cae “águila” que “sol”, cualquiera de los dos resultados puede suceder. Sin embargo, dentro de la incertidumbre de este evento hay cierta regularidad que sólo se detecta cuando el experimento se reproduce muchas veces. Si hacemos esto último y realizamos un pequeño ejercicio estadístico que consiste en contar el número de lanzamientos que caen “águila” (frecuencia absoluta), entonces podremos observar el particular comportamiento de la frecuencia relativa (cociente de la frecuencia absoluta y el número de lanzamientos). Conforme el número de lanzamiento se incrementa, la frecuencia relativa se va acercando lentamente al número 0.50. Este número se conoce como la probabilidad de obtener un águila.

n Número de

pruebas

F Frecuencia absoluta

f / n Frecuencia

relativa 20 11 0.550 40 18 0.450 60 31 0.517 80 42 0.525 100 48 0.480 120 59 0.492 140 72 0.514 160 83 0.519 180 92 0.511 200 101 0.505

En conclusión, cada prueba individual es aleatoria porque cualquier resultado puede suceder, pero en cambio, cuando consideramos a todas las pruebas en conjunto, no todo es aleatorio. La frecuencia relativa tiene un comportamiento muy regular, pues sus valores y la probabilidad tienden a aproximarse a medida que el número de pruebas se incrementa. Esta regularidad que presentan los experimentos aleatorios se conoce como la Ley de los grandes números.

El siguiente ejemplo es muy ilustrativo e interesante, que nos ayudará a comprender mejor los conceptos anteriores.

Un meteorólogo dice que la probabilidad de lluvia es del 70%, ¿Si no llueve el día en cuestión, pensarías que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones?

102

Solución. Recordemos que saber si lloverá el día de mañana es un experimento aleatorio, y por tanto, impredecible. Puede llover o no llover, y en cualquiera de los dos casos, no significa que el meteorólogo se equivocó o acertó (enfoque del resultado aislado). La probabilidad tiene sentido sólo cuando aplica la ley de los grandes números, esto es, cuando el meteorólogo mencionó que la probabilidad es p = 0.70, lo que estaba diciendo es que si tuviéramos muchos días con las mismas condiciones climatológicas, entonces aproximadamente en el 70% de los casos acertaría al decir que lloverá al día siguiente.

Si no has comprendido aún, el siguiente ejemplo simpático, estamos seguros te ayudará.

Cuando lees en las especificaciones de un condón que la efectividad es del 99%, nada te están asegurando sobre el condón que has comprado, cualquier resultado puede suceder (enfoque del resultado aislado). Las especificaciones lo que están señalando es que el 99% de los condones de esa marca funcionan correctamente. Si usas un condón del 1% restante, entonces la probabilidad de que falle, con las consabidas consecuencias, es del 100 %.

ESCALA DE PROBABILIDAD. La probabilidad es un número que cuantifica el grado de confianza en la ocurrencia de un evento aleatorio, de acuerdo a la siguiente escala: A los eventos imposibles se les asigna la probabilidad p = 0, los eventos seguros tienen probabilidad p = 1, y los eventos aleatorios tienen probabilidad 0 < p < 1.

ACTIVIDAD 1. (MONEDA CARGADA) Este experimento requiere de una moneda cargada, y para obtenerla pegaremos un objeto delgado en uno de los lados de la moneda. Entonces se trata de calcular la probabilidad de obtener “águila”.

Para lograr este propósito hay que lanzar la moneda al aire repetidamente, para de esta manera, ir elaborando una estadística de los resultados. De vez en cuando dividimos el número de pruebas que resultan “águila” entre el número total de pruebas realizadas, es decir, la suma de “águilas” y “soles”. El resultado de la división se coloca en la columna de las frecuencias relativas. Si continuamos con este proceso podremos observar que las frecuencias relativas son cada vez más parecidas entre sí, más aún, sus valores se van acercando, aunque lentamente, a un valor fijo. Este número es la probabilidad de obtener un “águila”.

En la siguiente tabla mostramos, a manera de ejemplo, los resultados que podríamos obtener en el experimento. Estos números, que poco a poco se van acercando a 0.75, indican que la moneda cae “águila” con una probabilidad del 75%.

Recuento de resultados

Frecuencia relativa

Águila //// //// // 0.69 0.77 0.73 0.76 0.74 0.73 0.74 > 0.75Sol //// //// //// > ?

103

Al llenar una tabla con los resultados del experimento podemos conocer la probabilidad de ambos eventos, obtener “águila” o “sol”. El cálculo de ambas probabilidades por los diferentes equipos, nos lleva a concluir que la suma de ellas siempre es 1. Ejemplo:

Probabilidad del evento A = {águila}

Prob. del evento complementario Ac = {sol}

0.50 0.50 0.60 0.40 0.37 0.63

... ...

Esta es una propiedad general de la probabilidad:

p(águila) + p(sol) = 1

O en forma simbólica:

p(A) + p(Ac) = 1

ACTIVIDAD 2. (JUEGO DE LA BOLITA) Se colocan sobre una mesa tres tazas iguales y se avisa que debajo de una de ella hay un objeto. Se mezclan las tazas (como hacen los conocidos jugadores de la bolita, sólo que ellos hacen trampa escondiéndola entre las uñas) y se les pide que adivinen debajo de que taza está el objeto. Entonces mediante la repetición sucesiva de este juego se elaboran las estadísticas, esto es, una tabla que contenga el número de pruebas realizadas y cuantas de ellas fueron adivinadas. De cuando en cuando, por ejemplo, cada 5 pruebas se calcula la frecuencia relativa (el número de pruebas adivinadas dividido entre el número de pruebas realizadas). Entonces observando el comportamiento de estos resultados, las frecuencias relativas, deben decir cual es la probabilidad de adivinar en que taza se encuentra la bolita.

104

Ejemplo:

Recuento de resultados Frecuencia relativa Adivina //// //// 0.20 0.30 0.38 0.35 0.31 ... > ? No adivina //// //// /// 0.80 0.70 0.62 0.65 0.69 ... > ?

Nota: Observen en la tabla, nuevamente la relación entre dos eventos que se complementan {adivinar} y {no adivinar}. La suma de sus probabilidades, como puede observarse en cada columna de las frecuencias relativas, es siempre 1.00

ACTIVIDAD 3. (JUEGO DE LA BOLITA MODIFICADO) El proceso es igual que en el juego anterior con la siguiente variante:

Una vez revueltas las tazas y hecho el pronóstico sobre la ubicación de la bolita, se levanta una de las tazas vacías. Quedan dos tazas sin levantar y una de ellas con la bolita. Entonces se da la oportunidad de que reconsideren su pronóstico, pueden cambiar de taza o seguir con la misma. ¿Con cuál de las dos opciones hay más probabilidad de ganar? ¿Son igualmente probables? ¿Cuál es la probabilidad de ganar en ambos situaciones?

Nota: Este juego es semejante a uno que tuvo mucho éxito en la TV de los Estados Unidos, excepto que en lugar de la bolita había un automóvil, que era el premio si adivinaban detrás de cual de las tres puertas se hallaba. Entonces el concursante escogía una puerta, a continuación se abría una de las puertas sin premio, dejando las otras dos puertas cerradas, una de las cuales escondía el automóvil. A continuación se ofrecía al concursante la oportunidad de escoger la otra puerta, o seguir con la misma.

El juego es muy engañoso porque aparentemente resulta lo mismo cambiar de puerta o continuar con la misma. Un pequeño análisis muestra que las probabilidades no son iguales. ¿Qué opción escogerías?

33.. MMééttooddoo ddee LLaappllaaccee

EVENTOS EQUIPROBABLES. En la sección anterior aprendimos a calcular la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, mediante su realización en forma repetitiva. Ahora usaremos una técnica diferente que no requiere de la realización del experimento, y sólo se aplica en aquellos casos donde todos los posibles resultados elementales del proceso aleatorio tienen la misma probabilidad. Algunos ejemplos que cumplen con esta restricción son los juegos de azar como sorteos, Lotería Nacional, Melate, la Quiniela deportiva, cartas, dados, monedas, etc. En cualquiera de ellos, todos los resultados son equiprobables. Por eso son igualmente justos.

Algunos ejemplos que no cumplen con esta restricción son los siguientes. En una moneda cargada, como hemos podido observar, es diferente la probabilidad de obtener un “águila” o un “sol”.

105

Otro ejemplo. Eduardo tiene una caja chica con 10 bolas blancas y 20 negras, y Valente tiene una caja grande con 30 bolas blancas y 60 negras. Juegan una partida de azar. El ganador es el niño que saque primero una bola blanca. Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continua. Eduardo afirma que el juego no es justo porque en la caja de Valente hay más bolas blancas que en la suya. ¿Es correcta su apreciación? ¿Los eventos son equiprobables?

REGLA DE LAPLACE. Supongamos que nos interesa observar si en el lanzamiento de un dado, el resultado es un número par, evento que denotaremos con la letra A. De todos los casos posibles: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} o {6}, hay tres que cumplen la condición de ser pares. Éstos son {2}, {4} y {6}, y los llamaremos casos favorables. Entonces el método de Laplace dice que la probabilidad de obtener un número par se obtiene con la siguiente división:

P(A) =número de casos favorables/número de casos posibles

es decir, la probabilidad es p = 3/6 = 0.50

Ejemplo 1. Aplicando la regla de Laplace, ahora es inmediato decir que la probabilidad de obtener “águila” en una moneda normal es p = 1/2 = 0.5, porque hay un caso favorable y dos casos posibles.

Ejemplo 2. La probabilidad de obtener {3} o {4} con un dado es p = 2/6 = .33, porque hay dos casos favorables y 6 casos posibles.

Ejemplo 3. En la baraja española, la probabilidad de obtener un “caballo” es 4/40, porque hay 4 caballos y 40 cartas.

ACTIVIDAD 4. Este ejercicio tiene como objetivo el uso de estrategias ganadoras en un experimento aleatorio. Se trata de arrojar 2 dados y adivinar la suma de los puntos de las caras superiores. Las diferentes sumas posibles son los números del 2 al 12. Cada participante escoge uno de éstos números (pueden coincidir en esta selección), y gana el primero que adivine. ¿Hubo ganadores? ¿Con que números?

Repitan el procedimiento algunas veces más.¿Cuál es el resultado que aparece con más frecuencia? Calculen la probabilidad de obtener este número usando el método de Laplace.

44.. PPaarraaddoojjaass

ACTIVIDAD 5 (LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS)

Las coincidencias son algunos de los hechos que más suelen llamar nuestra atención, sobre todo por la sorpresa que nos causa el descubrir conexiones inesperadas entre grupos de personas o

106

cosas. Uno de los ejemplos más famosos y trascendentes es conocido como la paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de N personas existan al menos dos con la misma fecha de cumpleaños?

¿Cuántas personas se necesitan para que esta probabilidad sea del 50%?

Los objetivos de este ejercicio son varios. Uno es comprender como a veces nuestra intuición nos lleva por caminos completamente equivocados. Otro aspecto de interés es la simulación, es decir, la sustitución de un problema por otro, que en principio se ve muy diferente, pero que en el fondo es equivalente, pues ofrece los mismos resultados.

a) Probabilidad empírica. Antes de realizar dicho experimento pediremos a los profesores

que, en base a su intuición, indiquen la posibilidad de que entre ellos coincidan las fechas de sus cumpleaños (probabilidad empírica).

O bien, ¿Cuántas personas se necesitan considerar para que la probabilidad sea del 50%? ¿Se necesitan tantas personas como la mitad de días en el año, es decir, 183 personas?

Más adelante cotejaremos sus predicciones con los resultados obtenidos.

b) Experimentación. Analizar el caso de los profesores preguntándoles directamente sus fechas de cumpleaños (día y mes). ¿Hubo coincidencias o no? Si no las hubo podemos repetir el experimento, pero ahora con datos de algún familiar o cualquier otra persona cercana.

c) Cálculo de la probabilidad por el método de las frecuencias relativas. Para conocer la

probabilidad de que entre los profesores coincidan al menos dos fechas de cumpleaños, con el método de las frecuencias relativas, debemos repetir el experimento muchas veces, y los profesores en cada caso inventar o usar otras fechas de cumpleaños. Dado que este procedimiento puede ser muy lento y tedioso, haremos una simulación con problemas equivalentes. Te propongo dos opciones:

· Simulación. Un problema equivalente al de la repetición de fechas de cumpleaños

consiste en colocar aleatoriamente en 365 urnas, tantas bolas como participantes en el experimento. Así, una urna con más de una bola corresponde a coincidencias en las fechas de cumpleaños. Aquí no se trata de llevar a cabo esta simulación, mas bien la idea es observar que el planteamiento es equivalente al original.

· Otra simulación, más fácil de realizar, consiste en que cada profesor selecciona

aleatoriamente un número entre 1 y 365, y después se observa si entre todos los números escogidos, hay al menos dos que sean iguales. La repetición de números equivale a repeticiones en las fechas de cumpleaños. No se debe perder de vista que los números se tienen que seleccionar al azar, de otra manera, la simulación no sirve.

Este procedimiento se repite hasta observar el valor al que tienden las frecuencias relativas en la tabla siguiente:

107

Evento Recuento de resultados

Frecuencia relativa

Al menos 2 cumpleaños coinciden > ?

Todos las fechas son diferentes > ?

d) Podemos usar esta técnica de simulación para dar respuesta al siguiente cuestionamiento:

Si el año tiene 365 días, entonces para tener una probabilidad del 50% en la repeticiónde cumpleaños, se necesitan tantas personas como la mitad de días en el año , es decir, 183personas.

¿Es esto correcto?

Para responder a esta pregunta usando la misma técnica de simulación, necesitamos

183 personas reunidas, pero como no las tenemos, entonces cada profesor va escoger varios números al azar, para que entre todos junten los 183 números. Grande será la sorpresa al ver que en casi todas las pruebas hay números que coinciden. De hecho la probabilidad de este evento es:

p = 0.999999999999999999999999522...

En conclusión, para N = 183, la probabilidad no es 50%, sino casi 100%. Este evento se

encuentra muy próximo de lo que llamamos un evento seguro. Es muy interesante hacer notar como, a pesar de esta proximidad en el valor de la probabilidad, ésta no se puede redondear a la unidad.

La explicación de esta imposibilidad es que entre el evento seguro (p = 1) y el evento cercano (p = 0.99...), pueden surgir diferencias muy notables cuando se trata de una prueba individual y no de pruebas repetitivas (recuerden el ejemplo del condón en la página 4). Esta es una de las rarísimas ocasiones en que el redondeo de números no está permitido.

e) Tabla de resultados. La siguiente tabla muestra la probabilidad de que en un grupo de N personas, existan al menos dos que cumplen años el mismo día,

N = 10 p = 0.12 N = 15 p = 0.25 N = 20 p = 0.41 N = 23 p = 0.51 N = 25 p = 0.57 N = 30 p = 0.71 N = 35 p = 0.81

108

N = 50 p = 0.97 N = 183 p = 0.99

de acuerdo con la fórmula

p = 1 - .

f) Un ejercicio que podrían poner en práctica los estudiantes de los profesores, generalmente aficionados al fútbol, es que revisen las fechas de cumpleaños de las 23 personas que se encuentran presentes en la cancha para un encuentro de fútbol, son 11 jugadores por cada equipo y el árbitro, y verifiquen si los cumpleaños de estas 23 personas son todos diferentes, o bien, hay algunos que coinciden. En alguna parte se han de poder consultar estas estadísticas.

Es más, si se organizan por grupos, podrían realizar esta actividad en todos los encuentros de una jornada del fútbol profesional mexicano. Para de esta manera, ellos observen con que frecuencia suceden las coincidencias de cumpleaños en grupos de 23 personas.

g) ¿Qué sucede con otros partidos? ¿Cuál es la frecuencia con que suceden las coincidencias de cumpleaños?

55.. JJuueeggooss

TAREA: (SERPIENTES Y ESCALERAS)

Este juego es una versión simplificada del juego de las serpientes y escaleras que todos hemos practicado alguna vez. Si bien, el juego es un generador de actividades donde pueden experimentarse muy diversas variantes, la probabilidad teórica no es inmediatamente obvia.

En este juego calculamos la probabilidad de ocurrencia de diversos eventos mediante la repetición sucesiva del juego, para estimar de esta manera la frecuencia relativa, y en el límite de este proceso, la probabilidad.

Reglas del juego: No hay límite en el número de participantes. Se juega con un solo dado y gana el primero que llegue a la casilla {6}. Por ejemplo, si estas en la casilla {1}, tiras el dado y marca 5 puntos, entonces ya ganaste porque llegaste a la última casilla exactamente con los puntos obtenidos, sin pasarte. En cambio, si te encuentras en la casilla {4}, tiras el dado y marca 3

109

puntos, entonces los primeros dos puntos te llevan a la última casilla y el tercer punto te regresa a la casilla {5}, donde, por cierto, hay una cabeza de serpiente que te hace bajar hasta la cola, es decir, la casilla {3}. La escalera se utiliza para subir, y esto sucede sólo cuando los puntos del dado te llevan a la casilla {2}, entonces subes por la escalera hasta la casilla {4}.

¿El jugador que inicia tiene la ventaja? Generalmente todos responderíamos afirmativamente a esta pregunta, pero muy rara vez nos detenemos a pensar si esta ventaja es medible o no, es decir, ¿Podemos cuantificar la ventaja del jugador que inicia sobre el otro jugador? Para responder a estas preguntas llena la siguiente tabla, utilizando tantas columnas en la frecuencia relativa como sea necesario, de manera que puedas observar hacia que número tienden las frecuencias relativas de cada jugador. Este número es la probabilidad de triunfo. Entonces observando las probabilidades de triunfo podrás medir la ventaja que tiene un jugador sobre los demás participantes, por el sólo hecho de haber tirado primero.

Participantes Recuento de resultados Frecuencia relativa 1er Jugador > 2o Jugador > 3er Jugador > ... ...

¿Crees que a tus estudiantes les resulte interesante investigar las semejanzas y las diferencias que surgen cuando cambiamos serpientes por escaleras, o simplemente, las ubicamos en otra posición?

6. Bibliografía Batanero, C. (2001). Aleatoriedad, Modelización, Simulación. Presentado en las X Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Zaragoza. Batanero, C. y Serrano, L. (1995). La aleatoriedad, sus significados e implicaciones educativas. UNO, 5, pp. 15-28. Cañizares, M. J. y Batanero, C. (1998). Influencia del razonamiento proporcional y de las creencias subjetivas en la comparación de probabilidades. UNO, 14, 99-114. Cañizares, M. J., Batanero, C., Serrano, L. y Ortiz, J. J. (1999). Comprensión de la idea de juego equitativo en los niños. Números. 37, 37-55. Fernández, A. Obstáculos para la Enseñanza de la Probabilidad en los Estudiantes de Economía y Administración de Empresas. Garfield J. y Ahlgren A. (1995). Dificultades en el aprendizaje de conceptos básicos de probabilidad y estadística. Implicaciones para la Investigación. http://www3.unileon.es/dp/ado/lectura/garfield.html Godino, J. D., Batanero, C., Cañizares, M. J. y Vallecillos, A. (1998). Recursos para el estudio de los fenómenos estocásticos. Seminario sobre "Recursos para el aprendizaje en el aula de matemáticas. Elaboración y uso de material didáctico". Federación Española de Profesores de Matemáticas y S. A. E. M "Thales".

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111

Pacheco, S., Sacara, F. y Baccala, N., Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad (trabajos áulicos). Dirección Web.

Fortes, M. y Salas, M. Relación entre Actividades de Azar-Probabilidad y Geometría para 3ºde E.S.O.

7.La Probabilidad en Internet

DIRECCIONES DE PÁGINAS WEB EDUCATIVAS Nombre/Tema Lo que contiene

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Granada

Incorpora mucha documentación acerca de la didáctica de la Estadística y la Probabilidad

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Curso Probabilidades y Estadísti- ca para profesores. Innovaciones Didácticas para la Enseñanza

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113

El Teorema de Pitágoras. Ernesto Pérez Chavela

Índice

1. Un poco de Historia 2. Pitágoras de Samos 3. El Teorema de Pitágoras 4. Otras relaciones interesantes 5. Generalizaciones del Teorema de Pitágoras 6. Actividades 7. Bibliografía

1. Un poco de Historia

Para hacer una breve reseña histórica del Teorema de Pitágoras, debemos remitirnos más de mil años antes del nacimiento de este gran matemático, ya que se tienen vestigios de que este Teorema, o mejor dicho, de las ternas pitagóricas que estudiaremos un poco más adelante fueron conocidas por los chinos, egipcios y babilonios.

La era de los babilonios data del año 2000 A.C. hasta el año 600 A.C.. Ellos habitaron el valle de La Mesopotamia, una fértil y rica región formada por los ríos Tigris y Eúfrates, en parte de lo que hoy es Irak. Los babilonios estaban muy interesados en los números cuadrados, ellos sabían que el área de un terreno rectangular se calculaba al multiplicar el largo por el ancho del terreno, por tanto, si el largo y el ancho medían lo mismo, digamos a, entonces el terreno tenía área igual a a2 (a cuadrada). Ellos querían saber cuando un número cuadrado podría ser descompuesto como la suma de dos números cuadrados, por ejemplo, un ranchero con un terreno de (5 X 5) u2 lo podía cubrir con dos terrenos uno de (4 X 4) u2 y otro de (3 X 3) u2. Es decir 52 = 32+42. Las tripletas de números con esta propiedad son llamadas ternas pitagóricas, en este caso 3,4 y 5 forman una terna pitagórica. Los babilonios habían desarrollado una primitiva forma de escritura, la cual plasmaban en tablas, muchas de las cuales han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a estas tablas conocemos varios aspectos sobre la vida, la organización social y los conocimientos matemáticos de los babilonios. De entre todas estas tablas una de las más famosas es la llamada Plimpton 322, en ella se pueden apreciar claramente 15 ternas pitagóricas. No se sabe a ciencia cierta para qué usaban estas tablas, algunos historiadores piensan que era para enseñar matemáticas en las escuelas, esperamos que algún día, en los cientos de tablas que aún no han sido decifradas, podamos obtener más información al respecto.

2. Pitágoras de Samos

Este gran filósofo y matemático griego vivió en el siglo VI A.C. Se cree que nació en el año 580 A.C. en la isla griega de Samos. Pitágoras viajó extensivamente a través del mundo antiguo por más de 20 años, algunos relatos hacen pensar que llegó hasta Inglaterra y la India, pasando

114

por Egipto y Babilonia, fue aquí donde entabló contacto con los matemáticos de ese lugar, de quienes aprendió a realizar cálculos complejos usando técnicas complicadas; y donde conoció las famosas tripletas; que hoy en día, en su honor, son llamadas ternas pitagóricas. Después de sus largos viajes, Pitágoras regresó a Samos con la idea de fundar una escuela dedicada al estudio de la filosofía y la matemática, pero por razones políticas tuvo que emigrar a la ciudad de Crotona, situada sobre la península itálica, que en ese entonces pertenecía a Grecia. Fue en Crotona donde Pitágoras fundó la Hermandad Pitagórica", una escuela que funcionaba como secta religiosa, con un estilo de vida propio, donde los casi 600 discípulos tenían una dieta estricta, y eran extremadamente reservados.

Fue en esta escuela donde Pitágoras enseñaba matemáticas y filosofía a sus discípulos quienes aportaban nuevas ideas y de esta forma incrementaban sus conocimientos; los miembros de la hermandad creían que todas las relaciones podían reducirse a relaciones numéricas, de hecho, encontraron bellas relaciones en música, astronomía y matemáticas, su principio universal era "todas las cosas son números".

Se sabe con certeza que Pitágoras y sus discípulos impulsaron una actitud de llegar al fondo de las cosas, esto y su gran escepticismo los llevaron a cambiar el rumbo de la matemática. Sin embargo, en cuanto a sus descubrimientos, la Hermandad formaba una sociedad exageradamente cerrada, era muy difícil entrar a ella, y una vez dentro, sólo se comunicaban entre ellos. Esta actitud provocó envidias y recelos en la sociedad griega de Crotona, y fue precisamente fruto de un revanchismo político, que en una acción detestable por la humanidad entera, la escuela de Pitágoras o Templo de la Sabiduría (como él la llamaba), fue rodeada, sus puertas atrancadas, y le prendieron fuego. De esta forma murió Pitágoras y la mayoría de sus discípulos. Los sobrevivientes huyeron de Crotona y buscaron refugio en otras ciudades de la Magna Grecia donde fundaron nuevas escuelas y enseñaron a sus alumnos el método de la demostración lógica. Fue gracias a ellos que la humanidad pudo recobrar mucho de las enseñanzas de la antigua Hermandad Pitagórica.

Con el paso de los años, los discípulos de los discípulos de los discípulos dejaron de ser tan cerrados; de hecho, para darnos una mejor idea de lo que sucedía en aquella época, basta decir que la primera demostración formal del Teorema de Pitágoras apareció 300 años después de su muerte, cuando Euclides publicó "Los Elementos".

3. El Teorema de Pitágoras

De todas las relaciones entre números y naturaleza que estudió la Hermandad, sin duda, la más importante es la que establece el Teorema de Pitágoras, el cual proporciona una ecuación verdadera para todos los triángulos rectángulos.

Teorema: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración. Consideremos un triángulo rectángulo cualquiera de lados a; b; c (Figura 1).

115

Figura 1

Tomemos ahora 4 triángulos idénticos al anterior y los colocamos como muestra la Figura 2 para formar un cuadrado (Figura 2).

Ya que cada lado de este cuadrado mide a + b, su área es

A = (a + b)2 (1)

Por otro lado, esta área también la podemos calcular tomando el área del cuadrado interior de lado c que por comodidad llamaré también c (siempre que c sea un cuadrado), y sumándole el área de los 4 triángulos. Veamos primeramente que efectivamente c es un cuadrado, es decir que sus cuatro ángulos interiores son rectos. De la Figura 2 tenemos que

α + β + γ = 180;

por ser la suma de los ángulos interiores de un triángulo; por otro lado

α + β +δ = 180;

Figura 2

116

Por formar un ángulo llano. De las dos igualdades anteriores vemos que γ = δ, y como γ = 90°, tenemos que δ es un ángulo recto. Para comprobar que los tres ángulos restantes de c son rectos, procedemos en forma análoga.

Por lo tanto el área del cuadrado mostrado en la Figura 2 es

(2)

Igualando las dos cantidades dadas por las relaciones (1) y (2) obtenemos

(a + b)2 = c2 + 2ab;

desarrollando el paréntesis

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab;

cancelando el término 2ab de ambos lados tenemos

a2 + b2 = c2

La importancia de este teorema radica en que esta relación es cierta para todo triángulo rectángulo que nos imaginemos, no importa lo raro que éste parezca. Debemos puntualizar aquí que si bien los egipcios, chinos y babilonios conocían varias ternas pitagóricas, y que a cada una de estas ternas le asociaban un triángulo rectángulo, no conocían la demostración del Teorema, de hecho, estaban muy lejos de imaginar que el teorema era cierto para absolutamente todos los triángulos rectángulos. Fue precisamente este concepto de prueba matemática, sagrado para la Hermandad Pitagórica, lo que los llevó a descubrir tantas cosas.

4.Otras relaciones interesantes

A manera de ejemplo, veamos dos relaciones numéricas manejadas por la Hermandad Pitagórica.

Ejemplo 1. Todo número cuadrado es la suma de una sucesión de números impares consecutivos.

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Demostración. Todo número cuadrado puede ser representado como un cuadrado con el mismo número de elementos en cada lado, tenemos entonces

de esta forma

22 = 4 = 1 + 3

32 = 9 = 1 + 3 + 5

42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7

52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

y así sucesivamente. En otras palabras, para obtener el 4, debemos sumar al primer cuadro (1) los elementos que están en el segundo renglón y segunda columna, y forman el cuadrado 2 X 2. El 32 = 9 lo obtenemos sumando al segundo cuadrado el número impar de elementos que están en el renglón 3 y columna 3 y forman el cuadrado 3 X 3; y así sucesivamente.

Ejemplo 2. Hay un número infinito de ternas pitagóricas.

Demostración. Esta afirmación podría parecer trivial, ya que cuando encontramos una terna pitagórica, por ejemplo 3, 4, 5, y a cada uno de estos números lo multiplicamos por cualquier entero positivo, digamos 2, obtenemos la terna pitagórica 6, 8, 10, ya que

62 + 82 = 102.

Es decir, cuando encontramos una terna pitagórica, tenemos una infinidad de ellas: todos los múltiplos enteros de la original. La pregunta entonces debería plantearse de la siguiente manera: ¿Cuántas ternas pitagóricas independientes existen? ¿Hay una infinidad de ellas?

La respuesta es sí, como veremos a continuación: observemos primeramente que la diferencia entre dos cuadrados sucesivos es un número impar

22 - 12 = 3 32 - 22 = 5

118

42 - 32 = 7 52 - 42 = 9 --- 62 - 52 = 11 72 - 62 = 13 82 - 72 = 15 92 - 82 = 17 102 - 92 = 19 112 - 102 = 21 122 - 112 = 23 132 - 122 = 25 ---

del lado derecho de la tabla tenemos a todos los números impares mayores que 1. Ahora, cuando este número impar es un cuadrado, hemos localizado una terna pitagórica, por ejemplo

52 - 42 = 9 = 32 es decir 52 = 32 + 42

132 - 122 = 25 = 52 es decir 132 = 122 + 52:

Ya que tenemos un número infinito de números impares que son cuadrados, el número de ternas pitagóricas es infinito. Otra demostración diferente de este hecho es la siguiente:

Escojamos dos números naturales arbitrarios, uno mayor que otro a los que llamamos n y m respectivamente (n > m). Con estos números definamos las cantidades

a = n2 - m2; b = 2nm; c = n2 + m2;

observemos lo siguiente

a2 = n4 - 2n2m2 + m4; b2 = 4n2m2;

sumando estas cantidades obtenemos

a2 + b2 = n4 + 2n2m2 + 4m4 = (n2 + m2)2 = c2;

es decir, a; b; c forman una terna pitagórica; ya que hay una infinidad de posibilidades para escoger los valores n y m, el número de ternas pitagóricas es infinito. Otra demostración más geométrica es la siguiente:

Supongamos que tenemos una terna pitagórica a; b; c, es decir

a2 + b2 = c2;

dividiendo por c2 ambos miembros de la igualdad tenemos

119

Si hacemos x = a/c y y = b/c obtenemos

x2 + y2 = 1.

Que, como todos sabemos, es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 1. Por tanto, encontrar ternas pitagóricas es equivalente a localizar puntos (x; y) sobre el círculo unitario, en donde ambos x y y son el cociente

de dos enteros x = p/q, y = r/s. De esta forma, como x y y están sobre el círculo unitario

lo cual implica, que al multiplicar por el común múltiplo del denominador

p2s2 + r2q2 = q2s2

es decir ps; rq; qs forman una terna pitagórica, y nuevamente, como hay una infinidad de posibilidades para escoger x y y con esta propiedad, el número de ternas pitagóricas es infinito.

Figura 3

120

5. Generalizaciones del Teorema de Pitágoras

Antes de empezar a estudiar algunas generalizaciones de este Teorema debemos puntualizar que este Teorema tiene su recíproco, es decir, cada triángulo que satisfaga el teorema de Pitágoras es, sin lugar a dudas, un triángulo rectángulo (un bonito ejercicio que dejamos de tarea a los lectores). Este hecho fue conocido y manejado por los integrantes de la Hermandad Pitagórica, quienes de hecho se vanagloriaban de haber descubierto un gran secreto del Universo: Todo sobre los triángulos rectángulos. La Hermandad, como comunidad religiosa que era, creía que con este tipo de descubrimientos se acercaban más a los Dioses.

Después de esta breve disgregación histórica, volvamos a las generalizaciones del Teorema de Pitágoras, es decir, veamos algunas formas de abstraer lo que es común a muchas relaciones para formar un concepto más general, donde, por supuesto, el Teorema original es una relación particular.

La primera y más sencilla de estas generalizaciones lo constituye "La ley de los cosenos".

En todo triángulo con lados a; b y c, sea A el ángulo opuesto al lado a, tenemos entonces (Figura 4),

Figura 4

a2 = b2 + c2 - 2ab cos A.

Observemos que si el ángulo A mide 90°, es decir, si A es un ángulo recto, entonces cos A = 0 y

a2 = b2 + c2

que es, ni más ni menos que el Teorema de Pitágoras.

Para una segunda generalización, consideremos un paralelepípedo con lados a; b; c (imaginemos una caja de zapatos (Figura 5)). Sabemos que el Teorema de Pitágoras mide la longitud de la diagonal de un rectángulo, nos

121

gustaría saber cuál es la longitud de la diagonal mayor en esta caja (línea punteada). Observemos que esta diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman el lado de longitud c, y la diagonal del cuadrado que forman los lados a y b. Por el Teorema de Pitágoras

esta diagonal mide por lo tanto, aplicando nuevamente este Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo señalado previamente, tenemos que el valor de la hipotenusa o diagonal mayor es

.

Otra generalización interesante es la siguiente: Dado un triángulo rectángulo de lados a; b; c, sabemos por el Teorema de Pitágoras que a2 + b2 = c2, es decir que el área de un rectángulo de área c2 es igual a la suma de dos cuadrados con lados a y b respectivamente. Surge entonces la pregunta: Si sobre los lados a, b y c construimos triángulos equiláteros con lados a; b y c respectivamente, ¿ el área del triángulo equilátero de lado c será igual a la suma de las áreas de los triángulos equiláteros de lados b y c? La respuesta es sí, como veremos a continuación.

En un triángulo rectángulo de lado a, podemos calcular su altura facilmente observando que en el triángulo formado por el lado a, el lado de longitud a = 2 y la altura h es un triángulo rectángulo, que tiene a como su hipotenusa, por el Teorema de Pitágoras

de donde

o bien

Por tanto, el área de este triángulo es Análogamente, las áreas de los

triángulos de longitudes b y c es y . Como a; b y c son los lados de un triángulo rectángulo

¿Qué pasaría si en lugar de triángulos equiláteros, sobre los lados a; b; c; construyéramos pentágonos regulares o hexágonos regulares de lados a; b o c, respectivamente?

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6. Actividades

• Construir varios rompecabezas que nos sirvan para demostrar el Teorema de Pitágoras. • Basados en el punto anterior, dar otras demostraciones del Teorema de Pitágoras. • Demostrar el recíproco del Teorema de Pitágoras. • Buscar otra generalización del Teorema de Pitágoras.

Figura 6

7. Bibliografía 1. Simon Singh, "El enigma de Fermat", Ed. Planeta, 1997. 2. Euclides, "The Elements", Ed. Dover, 1986. 3. Tomas Heath, "A History of Greek Mathematics", Ed. Dover, 1981. 4. Enciclopedia Σigma de Matemáticas. 5. http://www.eut-the-knot.com/pythagoras/ 6. http://math.rice.edu/pemi/

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Pi y Probabilidad Felipe Alfaro Aguilar

Carlos Bosch

Índice

Resumen

1. Introducción. La historia de Pi.

2. Probabilidad Geométrica

2.1 La aguja de Buffon

ACTIVIDAD 1 (La Aguja de Buffon)

2.2 Una variante de aguja de Buffon

ACTIVIDAD 2 (Tiro al Blanco)

ACTIVIDAD 3

Bibliografía

Páginas de Internet

Resumen

En este trabajo hacemos una revisión de uno de los números más populares de la Matemática: π ≈ 3.1416, y su relación con algunos experimentos probabilísticas.

1. Introducción. La historia de Pi.

Las primeras civilizaciones, por su nuevo estilo sedentario de vida, se vieron motivadas a desarrollar diversos tipos de habilidades, entre ellas la ingeniería y la astronomía, áreas en las que el conocimiento del círculo era de primera importancia.

Ya desde tiempos muy remotos, se intuía que todos los círculos conservan una estrecha relación entre perímetro y diámetro. Los babilonios conocían que la rueda, uno de los inventos más trascendentales a lo largo de la historia de la humanidad, al dar una vuelta completa recorre un poco más de 3 veces la longitud de su diámetro, independientemente del tamaño de

124

la rueda. Este valor se conoce como el número pi: π, y es la más famosa de todas las constantes matemáticas.

Figura 1. Una rueda al dar una vuelta completa recorre un poco más de 3 veces su diámetro, esto es, π = 3.1415926535.... veces.

Este número ha cautivado a generaciones enteras de matemáticos tanto profesionales como aficionados, lo mismo en las civilizaciones antiguas que en la actualidad, lo que puedes verificar fácilmente buscando con los navegadores de Internet, donde encontrarás miles y miles de páginas, tan sólo en español, dedicadas exclusivamente a este número, que parece tener una magia muy especial.

Así la historia nos demuestra que las antiguas civilizaciones, de manera independiente, le han asignado diferentes valores a esta constante de proporcionalidad entre la longitud del perímetro y el diámetro. En la Biblia, en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido en el año 950 a.C., le dan a π el valor de 3. En Babilonia le asignaron el valor 3 + 1/8 = 3.125, en Egipto 4*(8/9) 2 ≈ 3.1605, y en China 3.1724.

Un caso muy interesante lo encontramos en dos de los textos matemáticos más antiguos que se conocen: los papiros egipcios que actualmente se conservan en Londres y Moscú. El primero fue sacado de una tumba y después vendido al inglés Henry Rind en un mercado en Luxor, Egipto, en 1858, en una época en que apenas se habían logrado descifrar los jeroglíficos egipcios. En el documento dice que fue elaborado por el escriba “Ahmes” alrededor de 1600 a.C., y que era copia de otro más antiguo de varios siglos atrás. La importancia de este documento radica obviamente en su antigüedad, y también porque nos permite conocer el tipo de matemáticas que hacían los egipcios de hace más de 4000 años, tal vez 5000, lo que de alguna manera refleja el nivel de vida que habían logrado alcanzar, ya que contiene problemas generalmente aritméticos, algunos de interés práctico, y ¡otros propuestos sólo por el gusto de resolverlos!

En el segundo papiro egipcio, el papiro de Moscú, encontramos el siguiente procedimiento para calcular el área de un círculo, y sobretodo un maravilloso ejemplo que ilustra bastante bien la forma como se hacían las matemáticas en una época donde la notación algebraica estaba todavía muy lejos de ser implementada: http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_geometry.html

125

En términos actuales lo que dice este fragmento de papiro egipcio es que el área de un círculo de diámetro 9 es igual al área de un cuadrado de lado 8. Si en aquella época hubieran conocido la notación algebraica diríamos que los egipcios calculaban el área de un círculo así:

A = (8D/9) 2 Fórmula egipcia

lo que indirectamente dice que los egipcios le asignaban a π el valor aproximado de 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 (aproximadamente 3.1605), ya que ellos sólo escribían fracciones con numerador 1.

126

Sin embargo, fue en Grecia, alrededor del año 400 a.C., donde las diversas relaciones en la circunferencia, se comenzaron a considerar como los grandes retos a resolver. Para ellos los métodos de demostración eran esencialmente geométricos, y atacaban el mismo problema buscando un cuadrado que tuviera la misma área que la de un círculo dado, usando únicamente regla (no graduada) y compás, este problema se conoce como la Cuadratura del Círculo . Y a pesar de que desde hace tiempo fue demostrado que la cuadratura es imposible usando sólo regla y compás, en la actualidad se continúa buscando soluciones aproximadas con fines pedagógicos o recreativos.

Figura 2. La Cuadratura del círculo trascendió en la historia como uno de los grandes problemas de la antigüedad.

Otra idea que desarrollaron los griegos Antiphon y Euclides fue inscribir en el círculo un cuadrado, luego, doblando el número de lados, un octágono, y así sucesivamente para aproximar la circunferencia de un círculo. Arquímedes, finalmente, recopiló y amplió la información anterior inscribiendo y circunscribiendo polígonos en una circunferencia, para no sólo encontrar una aproximación del número π , sino acotar su valor entre dos fracciones muy cercanas: 223/7 < π < 22/7, usando polígonos de 96 lados. Arquímedes fue el primero que utilizó un método analítico para obtener el valor del número π , y hubieron de pasar muchos siglos para mejor estas aproximaciones.

El método que usamos en este trabajo es usando juegos de azar, además de incluir algunas otras relaciones muy curiosas entre estos dos elementos, que en principio parecen ser temas completamente ajenos: el número π y la Probabilidad.

2. Probabilidad Geométrica

La Probabilidad Geométrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII con el experimento de “la aguja de Buffon”, desarrollado por el célebre naturalista George Louis Leclerc (1707-1788), mejor conocido como el conde de Buffon. Aunque se le identifica más por su monumental obra divulgativa “Histoire Naturelle” de 44 volúmenes en que recopila el conocimiento científico de la época, también estuvo profundamente intereresado por las pasiones humanas y los juegos de azar. A la edad de 26 años presentó a los miembros de la Academia de Ciencias de Paris, otra forma de ver la Probabilidad usando Geometría.

127

Veamos la siguiente figura e imagina un juego en que lanzas un dardo al azar sobre el cuadrado, si cae dentro de la región sombreada tú ganas, y si cae fuera pierdes. ¿Tienes más posibilidades de ganar que de perder?

Figura 3. Si arrojas al azar un dardo sobre el cuadrado, ¿Qué probabilidad tiene de caer en B ?

Intuitivamente es claro que la respuesta depende del tamaño de la región sombreada con respecto al cuadrado. Todo depende únicamente de las áreas. Si la región B tuviera un tercio de área del cuadrado, entonces tu probabilidad de ganar sería 1 de 3, en general, la que probabilidad que tienes de ganar se calcula así:

área de B P=

área del cuadrado

Nota la diferencia que esto tiene con respecto a la forma clásica de calcular la probabilidad de ganar en otros juegos de azar, por ejemplo, los dados, las cartas, la quiniela deportiva, melate, etc., en todos ellos los resultados posibles se numeran. En el lanzamiento de un dado tienes 1 de 6 opciones posibles; en la quiniela deportiva, donde hay 13 juegos de fútbol con 3 resultados posibles: perder, empatar o ganar, tienes 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 opciones posibles, es decir, tus posibilidades de ganar la quiniela son de 1 en 1 594 323 posibles, etc. En conclusión, en algunos juegos de azar los resultados se numeran, y en otros, se miden por medio de áreas. En ambos casos, la probabilidad se calcula con el método de Laplace, es decir,

casos favorables P=

casos posibles

La gran aportación del conde de Buffon en la Matemática consistió en distinguir este otro tipo de juegos de azar que, por su propia naturaleza, requieren de métodos geométricos para su análisis, dando origen a una nueva área de la Matemática: la Probabilidad Geométrica, con grandes repercusiones en muchas otras áreas de la ciencia y la tecnología.

2.1 La aguja de Buffon

Históricamente este experimento fue el primero que relacionó el número π con la probabilidad, y también el primero que mostró que la probabilidad no se reducía a métodos exclusivamente analíticos, sino que también podían ser geométricos.

128

La idea básica de este experimento consiste en calcular la probabilidad de un evento aleatorio de dos formas diferentes:

• Usando la regla de Laplace y Probabilidad Geométrica se obtiene una fórmula que da el valor exacto de la probabilidad del evento aleatorio.

• Usando la ley de los grandes números aproximamos el valor de la probabilidad P, repitiendo el experimento aleatorio una gran cantidad de veces, entre más repeticiones mejor es la aproximación.

ACTIVIDAD 1 (La Aguja de Buffon)

Mediante un experimento aleatorio llamado la Aguja de Buffon, obtendremos, de manera aproximada, el valor del número π.

Material Necesario:

• Una superficie plana de rectas paralelas igualmente espaciadas.

• 1 Palillo u otro objeto similar (cuya longitud sea igual que la distancia entre paralelas).

Procedimiento:

Arrojar el palillo sobre la superficie, en la forma más aleatoria posible, y repitiendo este procedimiento un número grande de veces, contabilizar el número de lanzamientos y el número de veces que el palillo cortó alguna de las líneas.

Entonces un valor aproximado del número π se obtiene sustituyendo en la siguiente fórmula:

2. no. de tiradas

no. de veces que la aguja corta a una linea

129

Sugerencia: Dado que la aproximación de π mejora incrementando el número de lanzamientos, se puede acelerar este proceso formando equipos. Al final sumamos todos los resultados y sustituimos en la fórmula anterior.

Equipo N o de lanzamientos N o de veces que el palillo

cortó alguna línea 1 2 3 …

SUMATotal de lanzamientos Total de cortes

2.2 Una variante de aguja de Buffon

ACTIVIDAD 2 (Tiro al Blanco)

Esta es una variante de la Aguja de Buffon, que consiste en reemplazar la aguja o palillo por objetos con otro tipo de figuras geométricas, estudiando de paso la importancia del factor aleatorio.

Material Necesario :

• Una superficie plana de rectas paralelas igualmente espaciadas.

• 1 objeto con forma de polígono regular.

Procedimiento :

Como en el experimento anterior, aquí se trata de arrojar sobre la superficie el objeto triangular, cuadrado, pentagonal, o cualquier otra figura con forma de polígono regular, y contabilizar tanto el número de lanzamientos como el número de veces que cortó alguna de las líneas.

130

Conforme los jugadores arrojan el polígono, periódicamente hay que evaluar el conteo en la siguiente fórmula que aproxima el número π :

Perímetro no. de tiradas

D ⋅ no. de veces que la figura corta una linea

Aquí sólo necesitamos conocer el perímetro del objeto poligonal que se arroja y la distancia D entre las líneas paralelas de la superficie.

Para que este cálculo sea válido es necesario que el objeto sea de un tamaño tal, que pueda estar entre dos líneas paralelas sin cortarlas, para esto es suficiente suponer que 2L<D, donde L es la distancia del centro del polígono a uno de sus vértices.

Para conocer la distancia L sólo tienes que medir la longitud b de los lados del polígono, y usar la siguiente tabla:

N L = b /2*sen ( π/ N ) 3 L = 0.577350 b 4 L = 0.707107 b 5 L = 0.850651 b 6 L = 1.000000 b 7 L = 1.152382 b 8 L = 1.306563 b

Explicación :

En primer lugar, comprendamos qué es lo que hace que π aparezca en estos experimentos. La razón es muy simple, la diferencia entre cortar o no cortar una línea radica en la inclinación que tiene el objeto al caer, es decir, imagina que colocas el objeto sobre la superficie, fija su centro geométrico y hazlo girar, entonces verás que en algunos momentos corta las líneas y después ya no; cortar líneas depende del ángulo de giro al caer, y es este último el que lleva al número pi a la mesa de juego.

131

En el caso de un pentágono, para encontrar la probabilidad de que corte alguna línea del tablero, debemos determinar los casos favorables y los casos posibles, ya que su cociente será la probabilidad buscada. Los casos posibles son todos los pentágonos del mismo tamaño que se pueden dibujar sobre el tablero, y una parte de ellos, los que cortan alguna línea del tablero constituyen los casos favorables. Estos conjuntos son tan grandes que no se pueden contar con los números naturales 1, 2, 3, etc., en su lugar, lo que hacemos es controlarlos con únicamente dos datos, obtenidos una vez que el objeto cae sobre el tablero:

1. La distancia más próxima del centro del pentágono a las líneas paralelas, y 2. el ángulo que hay entre la línea que une al centro con uno de los vértices, y las

líneas paralelas.

Estos dos números es todo lo que necesitamos para saber si el objeto, al caer, corta o no corta las líneas del tablero. El primero tiene sus valores en el intervalo [0, D/2], y el segundo en el intervalo [0, 2π /N].

ACTIVIDAD 3

• Discutir con los profesores alumnos el caso en que el objeto que se arroja sobre el tablero de líneas paralelas, es una moneda. ¿Este experimento sirve para aproximar el valor del número π ?

• Discutir la variante en que las líneas paralelas del tablero son sustituidas por un reticulado de puntos igualmente espaciados.

3. Curiosidades sobre el número π

Si el evento de los palillos resultó extraño al descubrir que pi tenía algo que ver con la Probabilidad, tal vez te interesará saber que este número aparece en esta área de la ciencia

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con mucha más frecuencia de la que podríamos imaginar. Algunos casos sorprenden y llaman poderosamente la atención, por ejemplo:

¿Sabías que si escoges dos números enteros al azar, la probabilidad de que no tengan factores comunes depende de pi?

P = 6/ π² ≈ 0.6079

Los números que tienen esta propiedad se llaman primos relativos. Entonces lo anterior significa que hay más parejas de primos relativos, que parejas que no lo son, pero no es mucha la diferencia.

Pero si te gustan los números, puedes usar esta información para ganar un poco de dinero. Escoge a un incauto y convéncelo que ninguna pareja de números pares pueden ser primos relativos porque a ambos los divide el número 2, agregando que los números pares son la mitad de todos los enteros. Esto parece decir que son más las posibilidades de encontrar números que no son primos relativos, entonces invítalo a escribir cada quien un número entero, y si no son primos relativos él gana un peso, y en caso contrario tú ganas. Tu oponente parece tener la ventaja, pero lo cierto es que después de un buen rato terminarás ganando aproximadamente el 60% de las veces, es decir, 6/ π² multiplicado por el número de veces que hayan jugado.

Otro ejemplo que llama mucho la atención es el de los triángulos. Se trata de fijar la longitud del lado mayor y jugar con todos los diferentes valores que pueden tener los dos lados menores.

Por simplicidad supongamos que el lado mayor mide 1, y los lados menores a y b. Para usar la Probabilidad Geométrica debemos empezar por representar en un solo dibujo a todos los triángulos con estas características.

Como el lado mayor mide 1, entonces a y b son números mayores que 0 y menores que 1. Si los representamos en un sistema coordenado donde el eje horizontal controla los valores de de a y el eje vertical los valores de b, entonces cualquier triángulo con las características antes mencionadas queda representado como un punto en el interior del siguiente cuadrado:

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Claro está que no todos los puntos de este cuadrado pueden representar triángulos. Veamos estos ejemplos:

• El punto con valores a = b = 0.7, representa un triángulo isósceles cuyos lados miden {0.7, 0.7, 1}.

• El vértice superior tiene a = b = 1, esto es un triángulo equilátero donde los tres lados miden 1.

• Los puntos más cercanos al origen de coordenadas, como a = 0.4 y b = 0.2, son demasiado pequeños para poder formar un triángulo donde el lado mayor mida 1 y los lados menores midan 0.4 y 0.2.

Para que un triángulo se pueda formar debe suceder que la suma de cualesquiera dos de sus lados sea estrictamente mayor que el tercero, esto nos conduce a que los únicos puntos del cuadrado que representan triángulos son los que satisfacen la desigualdad:

a + b > 1

es decir, los puntos que satisfacen la desigualdad son los que se encuentran en la parte superior de la diagonal que atraviesa el cuadrado de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha.

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Los puntos de la diagonal representan el caso degenerado en que los dos lados menores son tan pequeños que, colocados uno a continuación del otro en la misma dirección, apenas alcanzan a sumar lo mismo que lado mayor, impidiendo que se forme el triángulo.

Entendido esto, ahora podemos ver que de todos los puntos del cuadrado unitario, sólo el 50% representan los lados de un triángulo con un lado mayor igual a 1, y los otros dos lados a , b <1 . En otras palabras:

Dados dos números a y b al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que la terna { a , b , 1 } represente las longitudes de los lados de un triángulo es 0.5

La pregunta que seguramente ya se estarán haciendo es ¿y dónde aparece el número π?

Para responder a esta pregunta clasificaremos los triángulos contenidos en la región sombreada. Los más fáciles de identificar son los triángulos rectángulos, ya que al aplicar el Teorema de Pitágoras resulta a 2 + b 2 = 1, que son los puntos ubicados sobre el arco de circunferencia de radio 1, centro en el origen, y en el cuadrante positivo:

Según se puede ver en la figura, el arco de circunferencia separa dos regiones, esto en el lenguaje de los triángulos que hemos estado refiriendo, equivale a decir que los triángulos rectángulos separan a los triángulos agudos (los tres ángulos interiores son agudos, es decir, miden menos de 90º ), de los obtusos (tienen un ángulo que mide más de 90º ).

Para saber cual es cual, sólo recuerden que en la esquina superior derecha del cuadrado unitario, se encuentra representado el triángulo equilátero, que es agudo. Entonces cada punto de la zona obscura representa a un triángulo agudo, y cada punto de la región sombreada representa a un triángulo obtuso.

Aquí es donde aparece el número π, en el área de los sectores circulares. El área de la región sombreada se obtiene como ¼ (área del círculo) menos el área del triángulo vacío, es decir, ¼(π) - ½ . Y el área de la región obscura es el área del cuadrado unitario menos ¼ (área del círculo), es decir, 1 - ¼(π).

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Ahora es el momento de aplicar la Probabilidad Geométrica. Supón que te pones a practicar el tiro al blanco lanzando dardos al azar sobre el cuadrado unitario de la figura anterior, la probabilidad de que aciertes a la región sombreada es dividir el área sombreada [ ¼(π) - ½] entre el área del cuadrado unitario [1], y de la misma manera se calcula la probabilidad de acertar a la región obscura. Esto nos da los resultados que deseaba ilustrar:

Dados dos números a y b al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que la terna { a , b , 1 } represente las longitudes de los lados de un triángulo agudo es ¼(π) - ½, y de un triángulo obtuso es 1 - ¼(π).

Bibliografía

Título Pi : a source book Autor Lennart Berggren , Jonathan M. Borwein , Peter Borwein Editorial New York : Springer-Verlag, 1997 Título Tratado de Geometría Autor Gabriel Velazco Sotomayor Editorial Limusa, 1983 Título Nuevos pasatiempos matemáticos Autor Martín Gardner Editorial Alianza

Páginas de Internet

Dirección http://www.ciencianet.com/pi.html Tema La Aguja de Buffon Contenido Algunas curiosidades sobre el número pi

Dirección http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient- Africa/mad_ancient_egypt_geometry.html

Tema Geometría Egipcia Contenido Obtención de pi en los papiros de Rhind y de Moscú

Dirección http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0430-01/ed99-0430-01.html

Tema El número pi y la cuadratura del círculo Contenido Actividades didácticas sobre aprox. de pi y la cuadratura del círculo. Dirección http://www.ciencia-hoy.retina.ar/hoy02/seccionesindiscretas.htm Tema De los juegos de azar a la Tomografía Computarizada

Contenido Un camino de los juegos de azar a la estereología y la moderna tomografía computada.

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Otras Geometrías

Laura Hidalgo Solís Departamento de Matemáticas, AT-321

UAM-Iztapalapa

Índice Resumen Capítulo 1. Algunas Curiosidades Geométricas Capítulo 2. Sistemas Axiomáticos. Capítulo 3. La Geometría de la Esfera Capítulo 4. La geometría hiperbólica y sus modelos. Bibliografía Resumen En 1989, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) planteó, como una de susprincipales metas, reformar el estudio de la geometría, tanto a nivel medio como a nivel mediosuperior. Concretamente plantean como uno de sus principales objetivos el desarrollar unaforma de entender un sistema axiomático investigando y comparando la geometría Euclidianacon la no Euclidiana. La justificación que dan a esto, y que considero totalmente válida en nuestro caso, se basa enlos siguientes hechos: En matemáticas, a diferencia del lenguaje común, la palabra "definición" tiene un significado

preciso, lo cual se hace evidente cuando se trabaja con la geometría. Asimismo, se marcan las

diferencias entre definiciones y teoremas.

Por ejemplo, tanto en la geometría hiperbólica como en la geometría Euclidiana tenemos que:dos líneas, en el mismo plano, son paralelas si no se intersectan, mientras que en la geometríaEuclidiana esto equivale a que las rectas sean equidistantes, en la geometría hiperbólica estoya no sucede. En el lenguaje común, una definición corresponde a la descripción de un objeto"existente en el mundo real". En la geometría, se realizan definiciones abstractas de objetosque no pueden visualizarse, quizá por esto, las geometrías no Euclidianas tardaron tanto enaparecer, aceptarse, y ser desarrolladas. Debido al papel que las geometrías no Euclidianas juegan en el desarrollo actual de la ciencia yla tecnología, éstas presentan al alumno a la geometría como un área de investigación activa, nocomo algo que fue finiquitado hace ya más de 2000 años. Esta sesión la dividimos en cuatro partes, donde constantemente mezclamos el desarrollo delos modelos y el estudio de sus propiedades, con las actividades a desarrollar, las cualesconsisten fundamentalmente en la verificación de dichos resultados, o en su caso, la discusiónde otros. En la primera parte, con el fin de abrir nuestra mente a las propiedades no Euclidianas,presentamos una serie de curiosidades geométricas. En la segunda, recordamos los postulados de la geometría de Euclides, asimismo, presentamoslas dos "formas posibles" de sustituir el quinto postulado, lo cual da origen a las geometrías no

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Euclidianas. Hablamos del significado de un sistema axiomático y la importancia de un modelopara éste, lo cual nos ayuda a entender el sistema axiomático, deducir e interpretar suspropiedades. En la tercera parte, introducimos la geometría de la esfera como un ejemplo de una geometríadonde no existen las rectas paralelas. En la cuarta parte, presentamos el sistema axiomático de la geometría hiperbólica, ytrabajamos con el modelo del disco de Poincaré, en el cual verificamos el cumplimiento de losaxiomas, y planteamos el análisis de algunas propiedades. Finalmente quiero agradecer a mi hermano, Luis Ángel por realizar las fotografías que seutilizan en el presente texto, así como a mi hermana Leticia por sus observaciones que me hanayudado en la corrección del texto.

1. Algunas Curiosidades Geométricas 1.1 El Cilindro Una de las primeras figuras en el espacio con las que tenemos contacto es el cilindro, esta superficie la podemos representar fácilmente tomando una banda de papel y pegando dos lados opuestos.

Figura 1: La figura que obtenemos tiene la propiedad de que, si apoyamos la base circular sobre la mesa, y caminamos sobre la superficie en la dirección horizontal sin separarnos de la superficie, podemos regresar al punto de donde partimos, como lo muestra nuestro amiguito Mobi en la siguiente lámina en la figura 1. Esto es, al pegar dos lados opuestos de una banda de papel, las líneas horizontales se transforman en circunferencias. Por otra parte, si caminamos sobre el cilindro en cualquier otra dirección, podemos llegar a la orilla, y encontrar el otro lado. Al caminar nuevamente en línea recta en dirección horizontal, regresamos nuevamente al punto de partida (ver Fig. 1.2). Desde luego que podemos dar otros usos a esta figura, entre ellos, la elaboración de algunos tipos de mapas o planisferios.

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Figura 2: La figura es fiel cerca del ecuador, pero deforma los polos

Esto simplemente es una proyección cilíndrica, y realmente es un escalado linear de longitudes y latitudes. Esta construcción también es conocida como la Proyección de Plate Carée. Es característico observar que todas las líneas de los meridianos y paralelos son líneas rectas, y que todas las áreas representadas corresponden a cuadrados. Podemos observar que las áreas en la proyección se deforman cerca de los polos. Para una mayor información sobre mapas y proyecciones puede consultarse la página http://www.uco.es/~bb1rofra/documentos/proyecciones/proyecciones.html#MERC Desde luego que podemos hacer con esto un juego que nos permita proyectar figuras de un cilindro a un plano, y viceversa. Por ejemplo, Rosita vio una de esas lámparas con muñequitos que se proyectan en las mesa y las paredes, así que calcó una de sus fotografías en un acetato, y observó que al proyectarla sobre un cilindro la figura se ve más angosta, conforme el dibujo se aleja del cilindro. Posteriormente enrolló el acetato en forma cilíndrica, y con una lámpara proyecto la luz sobre la mesa. Rosita marcó el contorno de la figura proyectada sobre la hoja. La figura parecía un pequeño duendecito:

Figura 3

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Rosita iluminó la figura, y se pregunto: ¿qué sucede si coloco nuevamente en cilindro sobre la hoja?, al hacerlo pudo comprobar que en el cilindro recupera el dibujo que proyectó inicialmente, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 1.6.

1.2. Actividades: Dibujemos una figura en una tarjeta cuadriculada, como la que se muestra en la siguiente ilustración:

Figura 5:

Esta tarjeta tiene números que representan las alturas y quedan indicados en las líneas horizontales, y números que representarán "grados" en las verticales. Las dimensiones de dicha tarjeta son de aproximadamente 15 X 10cm2 (en realidad necesitamos 4; 8πX10cm2). La figura, puede ser un patrón geométrico, una muñeca, o cualquier otra cosa que se le ocurra. Note donde se corta su patrón con las líneas horizontales y verticales, (procure no dibujar por abajo

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de la línea 1; 1, ni por arriba de la línea 7; 7), y "transcriba" su dibujo al patrón formado por circunferencias y rayos, respetando los cortes números-grados de su patrón original.

Figura 6:

Esto corresponde a una proyección del cilindro sobre el plano desde una altura de 8,8cm, similar a la que nos mostró Rosi en la primera sección. 2. Sistemas Axiomáticos. Una Introducción a las Geometrías no Euclideanas. 2.1. Introducción Los orígenes de la geometría se pierden en el tiempo, aún mas allá de las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia (2,000 a. c.), sin embargo, se considera que la geometría -como ciencia- empezó en Grecia en el siglo IV A.C. siendo Tales de Mileto el principal representante de la escuela Jónica, y Pitágoras de la escuela Pitagórica. El periodo más fecundo de la geometría en Grecia es en el siglo III A.C. con Euclides, Apolonio y Arquímedes, siendo el libro Los Elementos de Euclides el primer tratado formal y sistemático de la geometría elemental. Posteriormente, Arquímedes completó la obra de Euclides

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extendiendo los problemas de la geometría plana a la geometría de los sólidos (o tridimensional). Recordamos que los postulados de Euclides nos dicen lo siguiente: (I) Dos puntos distintos determinan una única línea recta. (II) Una segmento de línea recta puede extenderse sin limitaciones. (III) Dado un punto y una distancia, es posible trazar una circunferencia que tenga a ese punto como centro, y a esa distancia como radio. (IV) Todos los ángulos rectos son iguales. (V) Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos interiores que suman menos de dos ángulos rectos, al prolongar in definidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que los ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos. Este postulado, que en su versión más conocida, se denomina el postulado de Playfair:1 "Dado un punto exterior a una recta, es posible trazar una, y sólo una recta paralela a la recta dada"

Euclides definió como paralelas a dos líneas rectas que no se cortan, y en virtud del quinto

postulado, la suma de los ángulos interiores que dichas

Figura 7: El postulado de las paralelas.

rectas forman con una línea transversal debe ser, tanto de un lado como del otro, igual a dos ángulos rectos. El lector estará de acuerdo en que el Postulado V tiene una forma bastante más complicada que los cuatro primeros. Hay que aclarar, a favor de Euclides, que si bien existen formas más sencillas de este postulado, la redacción que él propone corresponde a la versión que permite utilizar el postulado. Ese era el propósito de Euclides: aplicar los postulados para derivar, utilizando la lógica y resultados ya demostrados, nuevos resultados.[R.S., pg. 12] El postulado V ha sido sin duda el más discutido, debido quizá a que las primeras veintiocho proposiciones del libro de los Elementos no hacen uso de dicho postulado, lo cual durante mucho tiempo hizo pensar a los estudiosos del tema que éste podía deducirse de los cuatro postulados anteriores, siendo este hecho la fuerza motora que ha dado lugar a una gran

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cantidad de investigaciones en matemáticas, y que en particular dio origen a la creación de las geometrías no Euclidianas.

1Esta versión del quinto postulado de Euclides se le atribuye a John Playfair (1748-1819), aunque Proclo (410-485 D.C) lo enunció en el siglo V de nuestra era. Hay que notar que ésta última forma de enunciar el quinto postulado resalta dos de las cualidades que caracterizan el concepto Euclidiano de líneas paralelas: La existencia de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ésta, y el hechode que dicha paralela sea única.

Debido a esto, al negar el postulado de Playfair, y por ende, el quinto postulado de Euclides, tenemos dos opciones: negar la unicidad de la paralela, o bien, negar su existencia, lo cual expresamos mediante los siguientes enunciados:

• Por un punto exterior a una recta, hay al menos dos paralelas a ella. • Por un punto exterior a una recta, no existe paralela alguna.

El primero de estos enunciados, y que da origen a la geometría hiperbólica, será discutido en el capítulo 4, mientras que el segundo enunciado da lugar a la geometría proyectiva, el cual sólo mencionaremos al final del siguiente capítulo, y que será consecuencia de las propiedades que satisface la geometría de la esfera. 3. La Geometría de la Esfera

Aquí tenéis por qué formó Dios con varios todos untodo único y perfecto y a resguardo de la vejez ylas enfermedades. En cuanto a su forma... no podíaser más que la que abarca todas las formas. Poresto redondeó el mundo hasta hacer de él unaesfera, y puso las extremidades en todas partes aigual distancia del centro, lo que es la másperfecta de las figuras y la más semejante a símisma, porque pensó que lo semejante esinfinitamente más bello que lo desemejante.

Diálogos de Platón.Timeo o de la Naturaleza.

Otra de las superficies con las que tenemos contacto desde una edad temprana son las esferas, ¿qué niño no ha jugado alguna vez con una pelota? Este tipo de objetos tienen una geometría distinta a la del plano, la cual discutiremos en el presente capítulo, una buena referencia que podemos encontrar en Internet sobre el presente tema es: http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html

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En el presente capítulo las actividades consistirán en verificar que se cumplen las propiedades aquí mencionadas, o desarrolladas. 3.1. Conceptos básicos Podemos pensar a una esfera como la generalización de una circunferencia, pues mientras una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro. Al igual que en el caso de la circunferencia, la distancia que hay del centro a uno de los puntos de la esfera se denomina radio. Una pelota de fútbol, así como nuestro planeta son buenas aproximaciones de la esfera. 3.1.1. Líneas y esferas Si en nuestro espacio tomamos una línea arbitraria, y una esfera pueden suceder varias cosas, las cuales enumeramos a continuación:

• Es posible que la línea y la esfera no se intersecten. • Es posible que la línea toque a la esfera en un solo punto, y de manera similar al caso de

la circunferencia, decimos que la línea es tangente a la esfera, como podemos ver en la tercera foto de la figura 8.

• Y finalmente, es posible que la línea toque a la esfera precisamente en dos puntos, como muestra la cuarta foto de la figura 8.

Este caso tiene particular interés cuando la línea pasa justo por el centro de la esfera, pues en este caso se dice que los puntos de intersección de la línea con la esfera son antípodas, tal como sucede con los polos norte y sur en nuestro planeta. Rosita nos muestra estos casos con su mundo de juguete y una barra recta que utiliza como línea en la siguiente lámina:

Figura 8:

Así pues, la pregunta natural que podemos hacernos es la siguiente: ¿quiénes juegan el papel de líneas rectas en la esfera? Bueno, si tomamos en cuenta que una línea recta es el camino más corto entre dos puntos, entonces dicho papel en la esferas lo juegan las circunferencias máximas, las cuales llamaremos E-líneas. Una circunferencia máxima es la circunferencia que obtenemos al cortar la esfera con un plano que pasa justo por el centro de esta. Como se muestra en la figura 9. En nuestro planeta los meridianos y el ecuador juegan este papel, no así los otros paralelos, los cuales tienen longitud menor.

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Figura 9:

Así, mientras en la geometría Euclidiana tenemos puntos y líneas rectas, en la esfera nuevamente tenemos puntos, que llamaremos E-puntos, para enfatizar que los pensamos como puntos en la esfera, y las circunferencias máximas las llamaremos E-líneas. En este momento, y ya que practicamente vivimos en una esfera, resulta natural preguntarse: ¿qué tipo de geometría es ésta? ¿qué propiedades tiene? Trataremos de contestar estas preguntas haciendo referencia a los postulados de Euclides. El primer postulado de Euclides nos dice que dos puntos distintos determinan una única línea recta. Podemos ver que si tomamos dos puntos distintos sobre la esfera, digamos P y Q, junto con el centro de la esfera, que de ahora en adelante denotaremos con la letra C, entonces P, Q y C determinan tres puntos distintos. Cuando P, Q y C no son colineales, (esto es, P y Q no son antípodas), siempre determinan un único plano, que llamaremos P. Por construcción, este plano pasa por el centro de la esfera, por lo que, al intersectarlo con la esfera nos determina una E-línea. Cuando P, Q y C son colineales, (esto es, P y Q son antípodas), hay muchos planos que los contienen, por lo que la E-línea que pasa por ellos no es única. Por ejemplo, si P es el polo norte, y Q es el polo sur, todos los meridianos son E-líneas que pasan por estos puntos. Es decir, no se cumple la unicidad en el primer postulado de Euclides. ¿Qué sucede con el segundo postulado? Este nos dice que un segmento de línea recta puede extenderse sin limitaciones, si tomamos dos puntos distintos en la esfera, digamos P y Q el segmento de línea que los une es un arco de circunferencia, y si prolongamos uno de los extremos, por ejemplo Q, después de un tiempo llegaremos al punto P y posteriormente a Q, por lo cual la E-línea se "prolonga arbitrariamente" pero los puntos se cuentan varias veces. Por otra parte, el tercer postulado nos dice que, dado un punto y una distancia, es posible trazar una circunferencia que tenga a ese punto como centro, y a esa distancia como radio. En este momento cabe preguntarnos:

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Dados P y Q dos puntos distintos, ¿cómo medimos la distancia entre P y Q? Ya que unimos los puntos sobre la esfera por medio de arcos de circunferencia, basta recordar cómo medimos un arco de circunferencia en el plano. Para esto, recordamos que un radián queda determinado por la condición de que caben 2π radios en una circunferencia. Así, 2 π radianes es igual a 360 grados, es decir 1 radian = 180= π grados, y 1 grado = π =180 radianes, lo cual ilustramos mediante la siguiente lámina, en donde vemos cómo una cadena de longitud π D se enreda alrededor de un círculo de radio D. Si C es una circunferencia de radio r y con centro en el punto S , dados dos puntos distintos P y Q sobre C, si α es el ángulo PSQ medido en radianes(0 ≤ α ≤ π), entonces la distancia entre P y Q está dada por

d(P,Q) = r . α y si medimos este ángulo en grados tenemos

d(P,Q) = rαπ/180

Ya que sabemos cómo medir la distancia entre dos puntos, procedamos como sigue: Consideremos una esfera con centro en el punto C, y cuyo radio mida R unidades. Tomemos un punto S sobre la esfera, y cualquier E-línea que pase por él, sobre esta línea tomemos un punto P que diste p del punto S, este punto queda caracterizado por la condición de que el ángulo PCS medido en radianes es igual a p / R, donde R es el radio de la esfera. Ya que esta E-línea es arbitraria, tenemos nuestra E-circunferencia. Por otra parte, medimos el ángulo entre dos E-líneas L1 y L2, como el ángulo entre sus líneas tangentes, por lo cual, la forma de medir los ángulos entre E-líneas coincide con la Euclidiana. Por lo que se cumple el cuarto postulado, el cual nos dice que todos los ángulos rectos son iguales. Finalmente, como todos los meridianos de una esfera se intersectan en dos puntos, no hay E-rectas paralelas, es decir, no se cumple el quinto postulado de Euclides, el cual nos dice que dado un punto exterior a una recta es posible trazar una y sólo una paralela a la recta dada, pues en ésta "geometría" no existen E-líneas paralelas.

Figura 10:

3.1.2. Polígonos esféricos Mientras que en el plano el polígono más sencillo es el triángulo, pues no hay polígonos que sólo tengan dos lados, en la esfera no sucede esto. Si tomamos dos E- líneas, éstas se intersectan

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en puntos antípodas, y divide a la esfera en cuatro regiones, cada una de las cuales tiene como sus dos lados los segmentos de las E-líneas. Estas regiones se denominan lunas. Estas regiones tienen las siguientes propiedades:

• Los vértices de una luna son puntos antípodas. • Los dos ángulos de una luna son iguales.

3.1.3. El área de la esfera En el colegio nos han enseñado que el área de una esfera de radio R es igual a 4 π R2. Si tomamos una E-línea, ésta divide a la esfera en dos hemisferios, cada uno de área 2πR2. Si tomamos otra E-línea, que intersecte a la anterior formando un ángulo recto, el área de dicha luna es πR2, y es claro que podemos continuar con este proceso. Ahora bien, si ahora dividimos un hemisferio en q lunas iguales, el ángulo lunar de cada luna es π =q, por lo que el área de cada una de estas lunas es 2πR2=q. Si ahora tomamos p de estas lunas, tenemos que el área de una luna con ángulo lunar p/π=q, es: área de la luna con ángulo (pπ/q) = 2R2(ángulo lunar medido en radianes) 3.1.4. Triángulos esféricos De manera similar al caso Euclidiano, un E-triángulo consta de tres puntos, denominados vértices, y los E-segmentos de línea que los unen. Para quitar ambigüedades, uno necesita elegir que segmentos utilizará. Por ejemplo si nuestros vértices son los que constituyen los E-puntos P Q y S, donde P denota el polo norte, Q y S son dos puntos (no antípodas) situados en el ecuador, podemos ver que la suma de los ángulos interiores del E-triángulo suman más de dos ángulos rectos (es decir, π radianes, o equivalentemente, 180°). Esta es una propiedad geométrica de los triángulos esféricos. Otra propiedad de los triángulos esféricos, nos dice que el área de un E-triángulo es igual al excedente de la suma de los E-ángulos interiores sobre π, esto es: Área del triángulo con ángulos interiores(α, β, γ) = R2 (α + β + γ - π), donde R denota el radio de la esfera. Esta fórmula se denomina "El Teorema de Girard". Aunque también puede obtenerse como consecuencia del "Teorema de Gauss". El teorema de Girard puede extenderse facilmente a poligonos esféricos, por ejemplo, si P es un E-cuadrilatero con ángulos interiores α, β, γ, δ entonces

α + β + γ + δ = área de (P) / R2

Ejercicios: 1. Obtenga el área de un E-pentágono. 2. Deduzca una fórmula para el área de un E-polígono. 3. ¿Hay teselaciones esféricas regulares? ¿Puedes dar algún ejemplo? 3.1.5. Comentario. El hecho de que dos puntos no determinen una única recta es una propiedad que a los geómetras no nos agrada mucho, por lo cual, para obtener una "geometría agradable", para nosotros, necesitamos identificar los puntos antípodas. La geometría que se obtiene al hacer esto se denomina geometría proyectiva. La geometría proyectiva satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no el quinto, pues en esta geometría al igual que en la geometría de las esferas no hay líneas paralelas, sino que dos líneas en la geometría proyectiva siempre se intersectan en, exactamente, un punto. Un modelo para esta geometría lo constituye tomar los

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puntos en el hemisferio norte, e identificar los puntos antípodas que se encuentran en el ecuador. Este modelo no puede realizarse en nuestro mundo, pero es como si a una banda de Möbius le pegaremos un disco en la orilla. 4. La geometría hiperbólica y sus modelos.

La geometría es la interpretación de los dibujos mal hechos. H. Poincaré

La geometría hiperbólica toma de la geometría Euclidiana los términos indefinidos que son: punto, línea, plano, etc. El término definido: dos "líneas son paralelas" si son "líneas que no se intersectan"; así como los postulados (I)-(IV), sin embargo, refuta el postulado (V) diciendo que dada una línea L y un punto P que no esté en L, hay al menos dos líneas (distintas) que pasan por P, y que son paralelas a L, lo cual es realmente muy difícil de visualizar, quizá por esto su descubrimiento tardó casi dos mil años más. Tener un modelo tiene un propósito lógico, pues nos ayuda a explorar propiedades geométricas del plano hiperbólico, algunos de estos modelos son conocidos como el modelo del semi-plano superior y el modelo del disco de Poincaré, este último será el que discutiremos en la presente sección. En es6a sección. utilizamos el programa Cabri Goemetry II para mostrar los diversos elementos que nos ayudarán a entender este modelo. 4.1. El modelo del disco de Poincaré. Para describir el modelo del disco de Poincaré, sin perder generalidad, en el plano euclidiano R2, consideremos el disco con centro en el origen y radio uno, esto es, ∆ = {(x; y) / x2 + y2 < 1}, y denotamos la frontera ∆ por C, C simplemente es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Un h-punto P en el plano hiperbólico corresponde a un punto P є ∆. En ∆ podemos distinguir "dos tipos" distintos de h-líneas, a saber:

• La intersección de ∆ y un diámetro de C (Línea A0B0 de la figura 11), o bien; • La intersección de ∆y una circunferencia C ortogonal a C (Arco APB en la figura 11).

Figura 11:

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El modelo del disco incluye una función distancia, la cual satisface las siguientes propiedades: 1. Para cada dos h-puntos P,Q є ∆, la función distancia dh (P,Q)está definida. 2. dh (P,Q) = 0 si, y sólo si P = Q, de otro modo, obtenemos un número real positivo, es

decir, dh (P,Q) > 0. 3. dh (P,Q) = dh (Q, P). 4. dh satisface la desigualdad del triángulo, es decir, dh(P;Q) ≤ dh(P;R)+dh(R;Q). En otras

palabras, las h-líneas rectas son los caminos más cortos a seguir entre dos h-puntos. 5. La función distancia es continua.

A Rosita le parece muy extraño esto, así que decidió visitar a su amigo Cal, quien vive en el mundo hiperbólico para verificar esto, Cal le recuerda a Rosita que dos h-líneas son paralelas si no se intersectan, y ya que las h-líneas son arcos de circunferencia o diámetros del círculo unitario, por un punto pasan al menos dos h-líneas paralelas a una h-línea dada.

Figura 12:

Cal le explicó a Rosita que, en este modelo, la distancia hiperbólica se "comporta de manera similar a las proyecciones que hacia del cilindro en el plano con su lamparita,[ ξ 1, 1]. En el cilindro todos los cuadritos miden lo mismo, pero al proyectarlos los que están mas cerca de la base parecen ser más pequeños, mientras que los que están más arriba parecen más grandes, sólo que ahora es como si en lugar de proyectar la luz hacia afuera del cilindro, lo hiciera hacia adentro, entre más se pegan las cosas a la orilla se ven más pequeñas, y entre más se acercan al centro se parecen más a las figuras del mundo euclidiano.

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Figura 13: M. C. Escher. Estampas y Dibujos. Ed. Taschen.

Cal le muestra a Rosita (figura 13) un cuadro de Escher, y le explica que los pececitos están formados a lo largo de h-líneas, y además todos los pececitos tienen el mismo tamaño. Además, Cal le explicó que, si d (P,Q) denota la distancia Euclidiana que hay entre dos puntos P,Q є ∆, entonces podemos definir la dh distancia en el disco de Poincaré como sigue: Los dos h-puntos P y Q determinan una única h-línea que corta a C en dos puntos euclidianos A y B. Nótese que A,B no pertenecen a ∆ Con la notación anterior, la dh-distancia entre P y Q está dada por

d(P,A) d(P,B)

d(Q,A)

dh

(P,Q) = ln

d(Q,B)

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Rosita decide caminar a lo largo de una h-línea, y observa lo siguiente:

Figura 14:

Aún más, Rosita se da cuenta que en el mundo de Cal no es lo mismo ser paralelo que equidistante, como nos muestra la siguiente lámina:

Figura 15:

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Además, los ángulos del mundo de Cal y de Rosita son iguales, pues dados tres h-puntos A,B,C, construyamos los rayos euclidianos BA'y BC' tangentes a las h-líneas BA y BC. La medida del h-ángulo LABC se define como la medida del ángulo euclidiano LA' BC'.

Figura 16:

Cal también le explicó a Rosita que en el mundo hiperbólico también pueden definir objetos geométricos que involucren el concepto de h-distancia

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Figura 17

en particular le explico que una h-circunferencia es el lugar geométrico de los h-puntos que distan una dh-distancia r fija de un h-punto P dado. Además, Cal le explica a Rosita que las h-líneas azules dadas en la siguiente lámina son paralelas, pues en el mundo de Cal, por más que se prolonguen las h-líneas azules, éstas nunca se intersectan mientras que, la h-línea roja es la perpendicular a las líneas azules además, cabe notar que dadas dos h-líneas paralelas, no necesariamente hay una perpendicular a ambas. Así que Rosita decidió verificar que, en efecto, la h-línea que Cal marcó con rojo (punteada), es perpendicular a las h-líneas azules:

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Figura 18.

4.2. Actividades

1. ¿Hay triángulos hiperbólicos H-congruentes y/o H-semejantes? O de manera más general:

2. ¿Cómo es un polígono hiperbólico (regular) y qué propiedades geométricas tiene? 3. ¿Cómo es una circunferencia hiperbólica? 4. ¿También hay patrones geométricos en esta geometría? 5. ¿Qué sería una teselación hiperbólica para este modelo?

En Internet hay varias páginas dedicadas a este tema, entre ellas me permito recomendar las siguientes: http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid http://members.tripod.com/noneuclidean/hyperbollic.html http://mcs.open.ac.uk/tcl2/nonE/intro.html En la última dirección, además de encontrar una explicación elemental de los postulados de la geometría hiperbólica se incluye un demo gratuito del programa CabriII, donde además de poder verificar varias de las propiedades de la geometría Euclidiana podemos verificar, en el modelo del disco de Poincaré, las propiedades de la geometría hiperbólica, trazar h-líneas,

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medir h-distancias, y trazar h-circunferencias e inclusive teselaciones hiperbólicas. Otra dirección donde pueden ver diversas aplicaciones de Cabri II es: http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/cabrimenu.html En las otras direcciones también podrán encontrar bellas explicaciones de los modelos, incluyendo el de la pseudoesfera (el cual no discutimos en la presente nota), de la geometría hiperbólica y diversos programas con software gratuito. 4.3. Comentario Final Además de las geometrías aquí mencionadas, hay otros tipos de geometrías que, junto con otras ramas de las matemáticas, sirven para tratar diversos tipos de problemas, por mencionar algunos de estos temas:

• Algunos tipos de problemas de optimización son los conocidos como los problemas de las galerías de arte, y que podemos resumir con la siguiente pregunta: ¿Cuántos guardias son ocasionalmente necesarios, y siempre suficientes, para vigilar el interior de una galería de arte con n paredes y sin obstáculos en su interior? constituyen un tema que la geometría computacional, se encarga de resolver.( La geometría computacional estudia el diseño y análisis de algoritmos para problemas cuyos datos y resultados son objetos geométricos en dimensiones bajas)

• La geometría de las superficies de Riemann, con las cuales es posible modelar distintos fenómenos físicos, entre ellos, la teoría de la relatividad, y el espacio tiempo de Minkowski.

• Las aplicaciones que tiene la geometría en problemas tan diversos como pueden ser determinar y programar los movimientos del brazo de un robot; en medicina, cuando nos permiten ayudar a estudiar imágenes que se obtienen por ultrasonido, y limpiar de "ruido" una señal para determinar la magnitud del problema de un paciente; en la química, donde las geometría se encuentra íntimamente relacionada con el estudio de los cristales. En la biología, donde la intersección de gráficas ha permitido a diversos grupos de científicos estudiar la estructura de los genes; o en la ecología, donde la geometría de los fractales, figuras que se parecen a sus partes, permiten modelar incluso bosques completos.

Con lo cual, podemos decir que la geometría es una ciencia que se encuentra en pleno desarrollo, y que actualmente en sus diversas facetas se interrelaciona con casi cualquier otra área del conocimiento humano, contribuyendo en el estudio y entendimiento de diversos problemas, y tomando de estos ideas para continuar su desarrollo. Esperamos que los temas aquí mencionados sirvan para motivar el estudio y desarrollo de tan maravillosa rama de las matemáticas. Referencias Electrónicas: Hay una gran cantidad de páginas de Internet que contienen información relacionada con los temas aquí mencionados, sus aplicaciones , y otros temas de carácter general, algunas de estas páginas son: http://members.tripod.com/noneuclidean/hyperbolic.html http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/ http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/index.html#toc http://www.cabri.net/cabrijava/EMed01.html http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/cabrimenu.html http://www.geom.umn.edu/apps/gallery.html

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